Algemene informatie over een recht prisma

Het laterale oppervlak van het prisma (meer precies, het laterale oppervlak) wordt genoemd som zijvlakken. Het totale oppervlak van het prisma is gelijk aan de som van het zijoppervlak en de oppervlakten van de bases.

Stelling 19.1. Het zijoppervlak van een recht prisma is gelijk aan het product van de omtrek van de basis en de hoogte van het prisma, d.w.z. de lengte van de zijrand.

Een bewijs. De zijvlakken van een recht prisma zijn rechthoeken. De basis van deze rechthoeken zijn de zijden van de veelhoek die aan de basis van het prisma ligt, en de hoogten zijn gelijk aan de lengte van de zijranden. Hieruit volgt dat zijvlak prisma is

S = een 1 l + een 2 l + ... + een n l = pl,

waarbij a 1 en n de lengtes van de ribben van de basis zijn, p de omtrek van de basis van het prisma en I de lengte van de zijribben. De stelling is bewezen.

praktische taak

Taak (22) . In een hellend prisma sectie, loodrecht op de zijranden en alle zijranden snijdend. Zoek het zijoppervlak van het prisma als de omtrek van de sectie p is en de zijranden l zijn.

Oplossing. Het vlak van de getekende doorsnede verdeelt het prisma in twee delen (Fig. 411). Laten we een ervan onderwerpen aan een parallelle vertaling die de basissen van het prisma combineert. In dit geval krijgen we een recht prisma, waarbij het gedeelte van het oorspronkelijke prisma als basis dient en de zijranden gelijk zijn aan l. Dit prisma heeft hetzelfde zijoppervlak als het origineel. Het zijoppervlak van het oorspronkelijke prisma is dus gelijk aan pl.

Generalisatie van het onderwerp

En laten we nu samen met u proberen het onderwerp van het prisma samen te vatten en te onthouden welke eigenschappen een prisma heeft.

Prisma-eigenschappen

Ten eerste zijn voor een prisma alle bases gelijke veelhoeken;
Ten tweede zijn voor een prisma alle zijvlakken parallellogrammen;
Ten derde zijn in zo'n veelzijdige figuur als een prisma alle zijranden gelijk;

Er moet ook aan worden herinnerd dat veelvlakken zoals prisma's recht en hellend kunnen zijn.

Wat is een recht prisma?

Als de zijrand van een prisma loodrecht op het vlak van zijn basis staat, wordt zo'n prisma een rechte lijn genoemd.

Het is niet overbodig eraan te herinneren dat de zijvlakken van een recht prisma rechthoeken zijn.

Wat is een schuin prisma?

Maar als de zijrand van het prisma niet loodrecht op het vlak van zijn basis staat, kunnen we gerust zeggen dat dit een hellend prisma is.

Wat is het juiste prisma?

Als een regelmatige veelhoek aan de basis van een recht prisma ligt, dan is zo'n prisma regelmatig.

Laten we ons nu de eigenschappen herinneren die een gewoon prisma heeft.

Eigenschappen van een regulier prisma

Ten eerste, altijd gronden rechter prisma dienen regelmatige veelhoeken;
Ten tweede, als we de zijvlakken van een regelmatig prisma beschouwen, dan zijn het altijd gelijke rechthoeken;
Ten derde, als we de afmetingen van de zijribben vergelijken, dan zijn ze in het juiste prisma altijd gelijk.
Ten vierde is een gewoon prisma altijd recht;
Ten vijfde, als in een regelmatig prisma de zijvlakken in de vorm van vierkanten zijn, wordt zo'n figuur in de regel een semi-regelmatige veelhoek genoemd.

Prisma sectie

Laten we nu eens kijken naar de doorsnede van een prisma:

Huiswerk

En laten we nu proberen het bestudeerde onderwerp te consolideren door problemen op te lossen.

Laten we een hellend driehoekig prisma tekenen, waarbij de afstand tussen de randen zal zijn: 3 cm, 4 cm en 5 cm, en het zijoppervlak van dit prisma zal gelijk zijn aan 60 cm2. Zoek met deze parameters de zijrand van het gegeven prisma.

En je weet dat geometrische figuren ons constant omringen, niet alleen in meetkundelessen, maar ook in het dagelijks leven zijn er objecten die op een of andere geometrische figuur lijken.

Elk huis, elke school of elk werk heeft een computer waarvan de systeemeenheid de vorm heeft van een recht prisma.

Als je een eenvoudig potlood oppakt, zul je zien dat het grootste deel van het potlood een prisma is.

Lopend langs de hoofdstraat van de stad zien we dat onder onze voeten een tegel ligt die de vorm heeft van een zeshoekig prisma.

A. V. Pogorelov, Geometrie voor de rangen 7-11, Leerboek voor onderwijsinstellingen

Definitie 1. Prismatisch oppervlak
Stelling 1. Op evenwijdige secties van een prismatisch oppervlak
Definitie 2. Loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak
Definitie 3. Prisma
Definitie 4. Prismahoogte:
Definitie 5. Direct prisma
Stelling 2. Het gebied van het zijoppervlak van het prisma

Parallellepipedum:
Definitie 6. Parallellepipedum
Stelling 3. Op het snijpunt van de diagonalen van een parallellepipedum
Definitie 7. Rechter parallellepipedum
Definitie 8. Rechthoekig parallellepipedum
Definitie 9. Afmetingen van een parallellepipedum
Definitie 10. Kubus
Definitie 11. Rhomboëder
Stelling 4. Op de diagonalen van een rechthoekig parallellepipedum
Stelling 5. Volume van een prisma
Stelling 6. Volume van een recht prisma
Stelling 7. Volume van een rechthoekig parallellepipedum

prisma een veelvlak wordt genoemd, waarin twee vlakken (bases) in evenwijdige vlakken liggen, en de randen die niet in deze vlakken liggen, evenwijdig aan elkaar.
Andere gezichten dan bases worden genoemd lateraal.
De zijkanten van de zijvlakken en bases worden genoemd prisma randen, de uiteinden van de randen heten de toppen van het prisma. Laterale ribben randen genoemd die niet bij de bases horen. De vereniging van zijvlakken heet zijoppervlak van het prisma, en de vereniging van alle gezichten wordt genoemd volledige oppervlak van het prisma. Prisma hoogte genaamd de loodlijn gedaald van het punt van de bovenste basis naar het vlak van de onderste basis of de lengte van deze loodlijn. recht prisma een prisma genoemd, waarbij de zijranden loodrecht op de vlakken van de basis staan. Juist een recht prisma genoemd (Fig. 3), aan de basis waarvan een regelmatige veelhoek ligt.

Benamingen:
l - zijrib;
P - basisomtrek;
S o - basisgebied;
H - hoogte;
P ^ - omtrek van de loodrechte sectie;
S b - zijoppervlak;
V - volume;
S p - oppervlakte van het totale oppervlak van het prisma.

V=SH S p \u003d S b + 2S uit Sb = P^l

Definitie 1 . Een prismatisch oppervlak is een figuur gevormd door delen van verschillende vlakken evenwijdig aan één rechte lijn, begrensd door die rechte lijnen waarlangs deze vlakken elkaar achtereenvolgens snijden *; deze lijnen lopen evenwijdig aan elkaar en worden genoemd randen van het prismatische oppervlak.
*Er wordt aangenomen dat elke twee opeenvolgende vlakken elkaar snijden en dat het laatste vlak de eerste snijdt.

Stelling 1 . Secties van een prismatisch oppervlak door vlakken evenwijdig aan elkaar (maar niet evenwijdig aan de randen) zijn gelijke veelhoeken.
Laat ABCDE en A"B"C"D"E" secties zijn van een prismatisch oppervlak door twee evenwijdige vlakken. Om te verifiëren dat deze twee polygonen gelijk zijn, volstaat het om aan te tonen dat driehoeken ABC en A"B"C" gelijk zijn en dezelfde draairichting hebben en dat hetzelfde geldt voor de driehoeken ABD en A"B"D", ABE en A"B"E". Maar de corresponderende zijden van deze driehoeken zijn evenwijdig (bijvoorbeeld AC is evenwijdig aan A "C") als de snijlijnen van een bepaald vlak met twee evenwijdige vlakken; hieruit volgt dat deze zijden gelijk zijn (bijvoorbeeld AC is gelijk aan A"C") als tegenoverliggende zijden van een parallellogram, en dat de hoeken gevormd door deze zijden gelijk zijn en dezelfde richting hebben.

definitie 2 . Een loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak is een doorsnede van dit oppervlak door een vlak loodrecht op zijn randen. Op basis van de vorige stelling zullen alle loodrechte secties van hetzelfde prismatische oppervlak gelijke veelhoeken zijn.

Definitie 3 . Een prisma is een veelvlak begrensd door een prismatisch oppervlak en twee vlakken evenwijdig aan elkaar (maar niet evenwijdig aan de randen van het prismatische oppervlak)
De gezichten die in deze laatste vlakken liggen heten prisma bases; vlakken die tot een prismatisch oppervlak behoren - zijvlakken; randen van het prismatische oppervlak - zijranden van het prisma. Op grond van de vorige stelling zijn de basissen van het prisma: gelijke veelhoeken. Alle zijvlakken van het prisma parallellogrammen; alle zijranden zijn gelijk aan elkaar.
Het is duidelijk dat als de basis van het prisma ABCDE en een van de randen AA" in grootte en richting worden gegeven, het mogelijk is om een ​​prisma te construeren door de randen BB", CC", .., gelijk en evenwijdig aan de rand AA".

Definitie 4 . De hoogte van een prisma is de afstand tussen de vlakken van zijn basis (HH").

Definitie 5 . Een prisma wordt een rechte lijn genoemd als de bases loodrechte delen van een prismatisch oppervlak zijn. In dit geval is de hoogte van het prisma natuurlijk zijn zijrib; zijranden zullen rechthoeken.
Prisma's kunnen worden geclassificeerd door het aantal zijvlakken, gelijk aan het aantal zijden van de veelhoek die als basis dient. Prisma's kunnen dus driehoekig, vierhoekig, vijfhoekig, enz. zijn.

Stelling 2 . Het oppervlak van het zijoppervlak van het prisma is gelijk aan het product van de zijrand en de omtrek van de loodrechte sectie.
Laat ABCDEA"B"C"D"E" het gegeven prisma zijn en abcde zijn loodrechte doorsnede, zodat de segmenten ab, bc, .. loodrecht op de zijranden ervan staan. Gezicht ABA"B" is een parallellogram; de oppervlakte is gelijk aan het product van de basis AA " tot een hoogte die overeenkomt met ab; het gebied van het vlak BCV "C" is gelijk aan het product van de basis BB" met de hoogte bc, enz. Daarom is het zijoppervlak (d.w.z. de som van de gebieden van de zijvlakken) gelijk aan het product van de zijrand, oftewel de totale lengte van de segmenten AA", BB", .., door de som ab+bc+cd+de+ea.

De videocursus "Get an A" bevat alle onderwerpen die nodig zijn voor een succesvolle slagen voor het examen in wiskunde voor 60-65 punten. Volledig alle taken 1-13 profiel examen wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basis GEBRUIK in de wiskunde. Als je het examen met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het examen voor de klassen 10-11, evenals voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het examen wiskunde (de eerste 12 opgaven) en opgave 13 (driehoeksmeting) op te lossen. En dit is meer dan 70 punten op het Unified Staatsexamen, en noch een honderdpuntige student noch een humanist kan zonder.

Alle benodigde theorie. Snelle manieren oplossingen, valkuilen en geheimen van het examen. Alle relevante taken van deel 1 van de Bank of FIPI-taken zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van de USE-2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanuit het niets gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden examentaken. Tekstproblemen en kansrekening. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten USE-taken. Stereometrie. Lastige trucs oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeeldingskracht. Trigonometrie van nul tot taak 13. Begrijpen in plaats van proppen. Visuele uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Basis voor het oplossen van complexe problemen van het 2e deel van het examen.

Prisma. Parallellepipedum

prisma heet een veelvlak waarvan de twee vlakken gelijk zijn aan n-gons (gronden) , liggend in evenwijdige vlakken, en de overige n vlakken zijn parallellogrammen (zijkanten) . Zijrib prisma is de zijde van het zijvlak die niet tot de basis behoort.

Een prisma waarvan de zijranden loodrecht op de vlakken van de basis staan, wordt genoemd Rechtdoor prisma (afb. 1). Als de zijranden niet loodrecht op de vlakken van de basis staan, wordt het prisma genoemd schuin . Juist Een prisma is een recht prisma waarvan de basis regelmatige veelhoeken zijn.

Hoogte prisma wordt de afstand tussen de vlakken van de bases genoemd. Diagonaal Een prisma is een segment dat twee hoekpunten verbindt die niet tot hetzelfde vlak behoren. diagonale doorsnede Een gedeelte van een prisma door een vlak dat door twee zijranden gaat die niet tot hetzelfde vlak behoren, wordt genoemd. Loodrechte doorsnede genoemd de sectie van het prisma door een vlak loodrecht op de zijrand van het prisma.

Zijoppervlak prisma is de som van de oppervlakten van alle zijvlakken. Volledige oppervlakte de som van de oppervlakten van alle vlakken van het prisma wordt genoemd (d.w.z. de som van de oppervlakten van de zijvlakken en de oppervlakten van de bases).

Voor een willekeurig prisma zijn de formules waar:

waar ik is de lengte van de zijrib;

H- hoogte;

P

Q

S kant

S vol

S hoofd is het gebied van de bases;

V is het volume van het prisma.

Voor een recht prisma gelden de volgende formules:

waar p- de omtrek van de basis;

ik is de lengte van de zijrib;

H- hoogte.

Parallellepipedum Een prisma waarvan de basis een parallellogram is, wordt genoemd. Een parallellepipedum waarvan de zijranden loodrecht op de basis staan, heet direct (Figuur 2). Als de zijranden niet loodrecht op de basis staan, wordt het parallellepipedum genoemd schuin . Een rechts parallellepipedum waarvan de basis een rechthoek is, heet rechthoekig. Een rechthoekig parallellepipedum waarin alle randen gelijk zijn heet kubus.

De vlakken van een parallellepipedum die geen gemeenschappelijke hoekpunten hebben, worden genoemd tegenovergestelde . De lengtes van randen die uit een hoekpunt komen, worden genoemd afmetingen parallellepipedum. Omdat de doos een prisma is, worden de belangrijkste elementen ervan op dezelfde manier gedefinieerd als voor prisma's.

Stellingen.

1. De diagonalen van het parallellepipedum snijden elkaar op één punt en halveren het.

2. In een rechthoekig parallellepipedum is het kwadraat van de lengte van de diagonaal gelijk aan de som van de kwadraten van zijn drie dimensies:

3. Alle vier de diagonalen van een rechthoekig parallellepipedum zijn gelijk aan elkaar.

Voor een willekeurig parallellepipedum zijn de volgende formules waar:

waar ik is de lengte van de zijrib;

H- hoogte;

P is de omtrek van de loodrechte sectie;

Q– Oppervlakte van loodrechte doorsnede;

S kant is het laterale oppervlak;

S vol is de totale oppervlakte;

S hoofd is het gebied van de bases;

V is het volume van het prisma.

Voor een rechts parallellepipedum zijn de volgende formules waar:

waar p- de omtrek van de basis;

ik is de lengte van de zijrib;

H is de hoogte van het rechter parallellepipedum.

Voor een rechthoekig parallellepipedum zijn de volgende formules waar:

(3)

waar p- de omtrek van de basis;

H- hoogte;

d- diagonaal;

abc– metingen van een parallellepipedum.

De juiste formules voor een kubus zijn:

waar a is de lengte van de rib;

d is de diagonaal van de kubus.

voorbeeld 1 De diagonaal van een rechthoekige balk is 33 dm en de afmetingen zijn gerelateerd als 2:6: 9. Zoek de afmetingen van de balk.

Oplossing. Om de afmetingen van het parallellepipedum te vinden, gebruiken we formule (3), d.w.z. het feit dat het kwadraat van de hypotenusa van een balk gelijk is aan de som van de kwadraten van zijn afmetingen. Aanduiden door k evenredigheidscoëfficiënt. Dan zijn de afmetingen van het parallellepipedum gelijk aan 2 k, 6k en 9 k. We schrijven formule (3) voor de probleemgegevens:

Deze vergelijking oplossen voor k, we krijgen:

De afmetingen van het parallellepipedum zijn dus 6 dm, 18 dm en 27 dm.

Antwoorden: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Voorbeeld 2 Bereken het volume van een hellend driehoekig prisma waarvan de basis een gelijkzijdige driehoek is met een zijde van 8 cm, als de zijrand gelijk is aan de zijde van de basis en een hoek van 60º maakt met de basis.

Oplossing . Laten we een tekening maken (Fig. 3).

Om het volume van een hellend prisma te vinden, moet u het gebied van de basis en hoogte weten. Het gebied van de basis van dit prisma is het gebied van een gelijkzijdige driehoek met een zijde van 8 cm Laten we het berekenen:

De hoogte van een prisma is de afstand tussen de bases. Vanaf het begin MAAR 1 van de bovenste basis verlagen we de loodlijn op het vlak van de onderste basis MAAR 1 D. De lengte is de hoogte van het prisma. Overweeg D MAAR 1 ADVERTENTIE: aangezien dit de hellingshoek is van de zijrib MAAR 1 MAAR naar het basisvlak MAAR 1 MAAR= 8 cm Uit deze driehoek vinden we MAAR 1 D:

Nu berekenen we het volume met formule (1):

Antwoorden: 192cm3.

Voorbeeld 3 De zijrand van een regelmatig hexagonaal prisma is 14 cm, het gebied van de grootste diagonale sectie is 168 cm 2. Zoek het totale oppervlak van het prisma.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 4)

De grootste diagonale sectie is een rechthoek AA 1 DD 1, sinds de diagonaal ADVERTENTIE regelmatige zeshoek ABCDEF is de grootste. Om het laterale oppervlak van een prisma te berekenen, is het noodzakelijk om de zijkant van de basis en de lengte van de laterale ribbe te kennen.

Als we het gebied van de diagonale sectie (rechthoek) kennen, vinden we de diagonaal van de basis.

Vanaf dat moment

Vanaf dat moment AB= 6cm.

De omtrek van de basis is dan:

Zoek het gebied van het zijoppervlak van het prisma:

De oppervlakte van een regelmatige zeshoek met een zijde van 6 cm is:

Zoek de totale oppervlakte van het prisma:

Antwoorden:

Voorbeeld 4 De basis van een rechts parallellepipedum is een ruit. De oppervlakten van diagonale secties zijn 300 cm 2 en 875 cm 2. Zoek het gebied van het zijoppervlak van het parallellepipedum.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 5).

Geef de zijkant van de ruit aan met a, de diagonalen van de ruit d 1 en d 2, de hoogte van de doos: h. Om het laterale oppervlak van een recht parallellepipedum te vinden, is het noodzakelijk om de omtrek van de basis te vermenigvuldigen met de hoogte: (formule (2)). Basisomtrek p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, omdat ABCD- ruit. H = AA 1 = h. Dat. Moet vinden a en h.

Overweeg diagonale secties. AA 1 SS 1 - een rechthoek waarvan één zijde de diagonaal van een ruit is AC = d 1, tweede - zijrand AA 1 = h, dan

Hetzelfde voor de sectie: BB 1 DD 1 krijgen we:

Gebruikmakend van de eigenschap van een parallellogram zodat de som van de kwadraten van de diagonalen gelijk is aan de som van de kwadraten van al zijn zijden, krijgen we de gelijkheid. We krijgen het volgende.