Hoe de vierkantswortel te onthullen. Wortelextractie

13.10.2019

Wiskunde ontstond toen de mens zich bewust werd van zichzelf en zichzelf begon te positioneren als een autonome eenheid van de wereld. Het verlangen om te meten, vergelijken en tellen wat je omringt, ligt ten grondslag aan een van de fundamentele wetenschappen van onze tijd. Aanvankelijk waren dit deeltjes van de elementaire wiskunde, die het mogelijk maakten getallen met hun fysieke uitdrukkingen te verbinden, later werden de conclusies alleen theoretisch gepresenteerd (vanwege hun abstractheid), maar na een tijdje, zoals een wetenschapper het uitdrukte: “ de wiskunde bereikte het plafond van de complexiteit toen ze eruit verdwenen.” Het concept van ‘vierkantswortel’ verscheen in een tijd waarin het gemakkelijk kon worden ondersteund door empirische gegevens, die verder gingen dan het vlak van berekeningen.

Waar het allemaal begon

De eerste vermelding van de wortel, die momenteel wordt aangeduid als √, werd vastgelegd in de werken van Babylonische wiskundigen, die de basis legden voor de moderne rekenkunde. Natuurlijk leken ze weinig op de huidige vorm: wetenschappers uit die jaren gebruikten voor het eerst omvangrijke tabletten. Maar in het tweede millennium voor Christus. e. Ze leidden een geschatte berekeningsformule af die liet zien hoe je de vierkantswortel moest extraheren. De onderstaande foto toont een steen waarop Babylonische wetenschappers het proces voor het afleiden van √2 hebben uitgehouwen, en het bleek zo correct te zijn dat de discrepantie in het antwoord alleen op de tiende decimaal werd gevonden.

Bovendien werd de wortel gebruikt als het nodig was om een zijde van een driehoek te vinden, op voorwaarde dat de andere twee bekend waren. Welnu, bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen is er geen ontkomen aan het extraheren van de wortel.

Samen met de Babylonische werken werd het onderwerp van het artikel ook bestudeerd in het Chinese werk ‘Mathematics in Nine Books’, en de oude Grieken kwamen tot de conclusie dat elk getal waaruit de wortel niet kan worden afgeleid zonder een rest een irrationeel resultaat oplevert. .

De oorsprong van deze term houdt verband met de Arabische weergave van getallen: wetenschappers uit de oudheid geloofden dat het kwadraat van een willekeurig getal uit een wortel groeit, zoals een plant. In het Latijn klinkt dit woord als radix (je kunt een patroon volgen - alles wat een "wortel" betekent is medeklinker, of het nu radijs of radiculitis is).

Wetenschappers van volgende generaties hebben dit idee overgenomen en het Rx genoemd. Om bijvoorbeeld aan te geven dat de vierkantswortel van een willekeurig getal a was genomen, schreven ze in de 15e eeuw R 2 a. De "teek", bekend bij moderne ogen, verscheen pas in de 17e eeuw dankzij Rene Descartes.

Onze dagen

In wiskundige termen is de wortel van een getal y het getal z waarvan het kwadraat gelijk is aan y. Met andere woorden, z 2 =y is equivalent aan √y=z. Echter deze definitie alleen relevant voor de rekenkundige wortel, aangezien deze een niet-negatieve waarde van de uitdrukking impliceert. Met andere woorden: √y=z, waarbij z groter is dan of gelijk is aan 0.

In het algemeen, wat van toepassing is op het bepalen van een algebraïsche wortel, kan de waarde van de uitdrukking positief of negatief zijn. Dus vanwege het feit dat z 2 =y en (-z) 2 =y, geldt: √y=±z of √y=|z|.

Vanwege het feit dat de liefde voor wiskunde alleen maar is toegenomen met de ontwikkeling van de wetenschap, zijn er verschillende uitingen van genegenheid ervoor die niet in droge berekeningen worden uitgedrukt. Naast interessante verschijnselen als Pi-dag worden bijvoorbeeld ook vierkantswortelvakanties gevierd. Ze worden negen keer per honderd jaar gevierd en worden bepaald volgens het volgende principe: de cijfers die in volgorde de dag en de maand aangeven, moeten de vierkantswortel van het jaar zijn. Dus de volgende keer dat we deze feestdag vieren is 4 april 2016.

Eigenschappen van de vierkantswortel op het veld R

Bijna alles wiskundige uitdrukkingen een geometrische basis hebben, is dit lot niet ontsnapt aan √y, die wordt gedefinieerd als de zijde van een vierkant met oppervlakte y.

Hoe vind je de wortel van een getal?

Er zijn verschillende berekeningsalgoritmen. De eenvoudigste, maar tegelijkertijd behoorlijk omslachtig, is de gebruikelijke rekenkundige berekening, die als volgt is:

1) van het getal waarvan we de wortel nodig hebben, worden op hun beurt de oneven getallen afgetrokken - totdat de rest aan de uitgang kleiner is dan de afgetrokken één of zelfs gelijk is aan nul. Het aantal zetten wordt uiteindelijk het gewenste aantal. Rekenen bijvoorbeeld vierkantswortel van de 25:

Als vervolg op oneven nummer- dit is 11, de rest is als volgt: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Voor dergelijke gevallen is er een uitbreiding van de Taylorreeks:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , waarbij n waarden aanneemt van 0 tot

+∞, en |y|≤1.

Grafische weergave van de functie z=√y

Beschouw de elementaire functie z=√y op het veld van reële getallen R, waarbij y groter is dan of gelijk is aan nul. Het schema ziet er als volgt uit:

De curve groeit vanaf de oorsprong en snijdt noodzakelijkerwijs het punt (1; 1).

Eigenschappen van de functie z=√y op het veld van reële getallen R

1. Het definitiedomein van de betreffende functie is het interval van nul tot plus oneindig (nul is inbegrepen).

2. Het waardenbereik van de betreffende functie is het interval van nul tot plus oneindig (nul is opnieuw inbegrepen).

3. De functie neemt zijn minimumwaarde (0) alleen aan op het punt (0; 0). Er is geen maximale waarde.

4. De functie z=√y is noch even noch oneven.

5. De functie z=√y is niet periodiek.

6. Er is slechts één snijpunt van de grafiek van de functie z=√y met de coördinaatassen: (0; 0).

7. Het snijpunt van de grafiek van de functie z=√y is tevens het nulpunt van deze functie.

8. De functie z=√y groeit voortdurend.

9. De functie z=√y neemt alleen positieve waarden aan, daarom beslaat de grafiek de eerste coördinaathoek.

Opties voor het weergeven van de functie z=√y

Om de berekening van complexe uitdrukkingen te vergemakkelijken, wordt in de wiskunde soms de machtsvorm van het schrijven van de vierkantswortel gebruikt: √y=y 1/2. Deze optie is bijvoorbeeld handig als u een functie tot een macht wilt verheffen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Deze methode is ook een goede weergave voor differentiatie met integratie, omdat hierdoor de vierkantswortel wordt weergegeven als een gewone machtsfunctie.

En bij het programmeren wordt het symbool √ vervangen door de combinatie van letters sqrt.

Het is vermeldenswaard dat er in dit gebied veel vraag is naar de vierkantswortel, omdat deze deel uitmaakt van de meeste geometrische formules die nodig zijn voor berekeningen. Het telalgoritme zelf is behoorlijk complex en is gebaseerd op recursie (een functie die zichzelf aanroept).

Vierkantswortel in complex lichaam C

Over het algemeen was het het onderwerp van dit artikel dat de ontdekking van het veld van complexe getallen C stimuleerde, aangezien wiskundigen gekweld werden door de vraag hoe ze een even wortel van een negatief getal konden verkrijgen. Dit is hoe de denkbeeldige eenheid i verscheen, die wordt gekenmerkt door een zeer interessante eigenschap: het kwadraat is -1. Hierdoor werden kwadratische vergelijkingen zelfs met een negatieve discriminant opgelost. In C zijn dezelfde eigenschappen relevant voor de vierkantswortel als in R, het enige is dat de beperkingen op de worteluitdrukking zijn verwijderd.

De wortel van een groot getal extraheren. Lieve vrienden!In dit artikel laten we zien hoe je de wortel van een groot getal kunt extraheren zonder rekenmachine. Dit is niet alleen nodig voor het oplossen van bepaalde soorten Unified State Exam-problemen (er zijn er enkele waarbij beweging betrokken is), maar ook voor algemene wiskundige ontwikkeling is het raadzaam om deze analytische techniek te kennen.

Het lijkt erop dat alles eenvoudig is: factoreer het in factoren en extraheer het. Geen probleem. Als het nummer 291600 wordt uitgevouwen, krijgt het product bijvoorbeeld het volgende:

Wij berekenen:

Er is één MAAR! De methode is goed als de delers 2, 3, 4, enzovoort gemakkelijk kunnen worden bepaald. Maar wat als het getal waaruit we de wortel halen een product is van priemgetallen? 152881 is bijvoorbeeld het product van de getallen 17, 17, 23, 23. Probeer deze delers meteen te vinden.

De essentie van de methode die we overwegen- Dit is pure analyse. Met ontwikkelde vaardigheden kan de wortel snel worden gevonden. Als de vaardigheid niet is geoefend, maar de aanpak eenvoudigweg wordt begrepen, dan is deze iets langzamer, maar nog steeds vastberaden.

Laten we de wortel van 190969 nemen.

Laten we eerst bepalen tussen welke getallen (veelvouden van honderd) ons resultaat ligt.

Het is duidelijk dat het resultaat van de wortel van dit getal in het bereik van 400 tot 500 ligt. omdat

400 2 =160000 en 500 2 =250000

Echt:

in het midden, dichter bij 160.000 of 250.000?

Het getal 190969 ligt ongeveer in het midden, maar nog steeds dichter bij 160000. We kunnen concluderen dat het resultaat van onze wortel minder dan 450 zal zijn. Laten we eens kijken:

Het zijn er inderdaad minder dan 450, sinds 190.969< 202 500.

Laten we nu het nummer 440 controleren:

Dit betekent dat ons resultaat sindsdien minder dan 440 is 190 969 < 193 600.

Nummer 430 controleren:

We hebben vastgesteld dat het resultaat van deze wortel in het bereik van 430 tot 440 ligt.

Het product van getallen met 1 of 9 aan het einde geeft een getal met 1 aan het einde. 21 bij 21 is bijvoorbeeld gelijk aan 441.
Het product van getallen met 2 of 8 aan het einde geeft een getal met 4 aan het einde. 18 bij 18 is bijvoorbeeld gelijk aan 324.
Het product van getallen met een 5 aan het einde geeft een getal met een 5 aan het einde. 25 bij 25 is bijvoorbeeld gelijk aan 625.
Het product van getallen met 4 of 6 aan het eind geeft een getal met 6 aan het eind. 26 bij 26 is bijvoorbeeld gelijk aan 676.
Het product van getallen met 3 of 7 aan het einde geeft een getal met 9 aan het einde. 17 bij 17 is bijvoorbeeld gelijk aan 289.

Omdat het getal 190969 eindigt met het getal 9, is het het product van het getal 433 of 437.

*Alleen zij kunnen, in het kwadraat, aan het eind een 9 geven.

Wij controleren:

Dit betekent dat het resultaat van de wortel 437 zal zijn.

Dat wil zeggen: we lijken het juiste antwoord te hebben ‘gevonden’.

Zoals u kunt zien, is het maximale dat nodig is het uitvoeren van 5 acties in een kolom. Misschien raak je meteen de juiste snaar, of neem je slechts drie stappen. Het hangt allemaal af van hoe nauwkeurig u uw eerste schatting van het aantal maakt.

Pak zelf de wortel van 148996 uit

Een dergelijke discriminant wordt verkregen in het probleem:

Het motorschip legt 336 km af langs de rivier naar zijn bestemming en keert na een tussenstop terug naar het vertrekpunt. Vind de snelheid van het schip in stilstaand water als de huidige snelheid 5 km/u is, het verblijf 10 uur duurt en het schip 48 uur na vertrek terugkeert naar het vertrekpunt. Geef uw antwoord in km/u.

Bekijk oplossing

Het resultaat van de wortel ligt tussen de getallen 300 en 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Inderdaad, 90.000<148996<160000.

De essentie van verdere redenering komt neer op het bepalen hoe het getal 148996 zich bevindt (op afstand) ten opzichte van deze getallen.

Laten we de verschillen berekenen 148996 - 90000=58996 en 160000 - 148996=11004.

Het blijkt dat 148996 dichtbij (veel dichter) bij 160000 ligt. Daarom zal het resultaat van de wortel zeker groter zijn dan 350 en zelfs 360.

We kunnen concluderen dat ons resultaat groter is dan 370. Verder is het duidelijk: aangezien 148996 eindigt met het getal 6, betekent dit dat we een getal moeten kwadrateren dat eindigt op 4 of 6. *Alleen deze getallen geven, wanneer ze worden gekwadrateerd, einde 6 .

Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ik zou het op prijs stellen als je me over de site op sociale netwerken vertelt.

Wortel N-de macht van een natuurlijk getal A dit nummer wordt gebeld N waarvan de e graad gelijk is aan A. De root wordt als volgt aangeduid: . Het symbool √ wordt genoemd wortel teken of wortelteken, nummer A - radicaal getal, N - wortel exponent.

De actie waarmee de wortel van een bepaalde graad wordt gevonden, wordt genoemd wortelextractie.

Omdat, volgens de definitie van het concept van een wortel N e graad

Dat wortelextractie- een actie die omgekeerd is aan het verheffen tot een macht, met behulp waarvan de basis van de graad wordt gevonden vanuit een bepaalde graad en vanuit een bepaalde exponent.

Vierkantswortel

Vierkantswortel van een getal A is het getal waarvan het kwadraat gelijk is aan A.

De actie waarmee de vierkantswortel wordt berekend, wordt vierkantswortel genoemd.

Vierkantswortel- de tegenovergestelde actie van kwadrateren (of een getal tot de tweede macht verheffen). Wanneer je een getal kwadrateert, moet je het kwadraat ervan vinden. Wanneer u de vierkantswortel extraheert, is het kwadraat van het getal bekend; u moet dit gebruiken om het getal zelf te vinden.

Om de juistheid van de actie te controleren, kunt u daarom de gevonden wortel tot de tweede macht verheffen en, als de graad gelijk is aan het wortelgetal, dan is de wortel correct gevonden.

Laten we eens kijken naar het extraheren van de vierkantswortel en deze controleren aan de hand van een voorbeeld. Laten we berekenen of (de wortel-exponent met een waarde van 2 wordt meestal niet geschreven, aangezien 2 de kleinste exponent is en er moet aan worden herinnerd dat als er geen exponent boven het wortelteken staat, de exponent 2 wordt geïmpliceerd), hiervoor hebben we moet het getal vinden, wanneer het wordt verhoogd naar de tweede graad zal het 49 zijn. Het is duidelijk dat een dergelijk getal 7 is, aangezien

7 7 = 7 2 = 49.

Berekening van de vierkantswortel

Als een bepaald getal 100 of minder is, kan de vierkantswortel ervan worden berekend met behulp van de tafel van vermenigvuldiging. De vierkantswortel van 25 is bijvoorbeeld 5, omdat 5 5 = 25.

Laten we nu eens kijken naar een manier om de vierkantswortel van een willekeurig getal te vinden zonder een rekenmachine te gebruiken. Laten we bijvoorbeeld het getal 4489 nemen en dit stap voor stap berekenen.

Laten we bepalen uit welke cijfers de vereiste wortel moet bestaan. Aangezien 10 2 = 10 · 10 = 100, en 100 2 = 100 · 100 = 10000, wordt het duidelijk dat de gewenste wortel groter dan 10 en kleiner dan 100 moet zijn, d.w.z. bestaat uit tientallen en eenheden.
Zoek het aantal tientallen van de wortel. Het vermenigvuldigen van tientallen levert honderden op, en er zijn er 44 in ons getal, dus de wortel moet zoveel tientallen bevatten dat het kwadraat van de tientallen ongeveer 44 honderdtallen oplevert. Daarom moet de wortel 6 tientallen hebben, omdat 60 2 = 3600 en 70 2 = 4900 (dit is te veel). We kwamen er dus achter dat onze wortel 6 tientallen en meerdere eenheden bevat, aangezien deze in het bereik van 60 tot 70 ligt.
De tafel van vermenigvuldiging helpt u bij het bepalen van het aantal eenheden in de wortel. Als we naar het getal 4489 kijken, zien we dat het laatste cijfer daarin een 9 is. Nu kijken we naar de tafel van vermenigvuldiging en zien dat 9 eenheden alleen kunnen worden verkregen door de getallen 3 en 7 te kwadrateren. Dit betekent dat de wortel van het getal zal zijn gelijk aan 63 of 67.
We controleren de getallen 63 en 67 die we hebben ontvangen door ze te kwadrateren: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

In de wiskunde wordt de vraag hoe je een wortel moet extraheren als relatief eenvoudig beschouwd. Als we getallen uit de natuurlijke reeks kwadrateren: 1, 2, 3, 4, 5...n, dan krijgen we de volgende reeks kwadraten: 1, 4, 9, 16...n 2. De rij vierkanten is oneindig, en als je er goed naar kijkt, zul je zien dat er niet veel gehele getallen in zitten. Waarom dit zo is, zal later worden uitgelegd.

Wortel van een getal: rekenregels en voorbeelden

Dus we kwadrateerden het getal 2, dat wil zeggen, vermenigvuldigden het met zichzelf en kregen 4. Hoe extraheer je de wortel van het getal 4? Laten we meteen zeggen dat de wortels vierkant, kubisch en elke graad tot oneindig kunnen zijn.

De macht van de wortel is altijd een natuurlijk getal, dat wil zeggen dat het onmogelijk is om de volgende vergelijking op te lossen: een wortel tot de macht van 3,6 van n.

Vierkantswortel

Laten we terugkeren naar de vraag hoe we de vierkantswortel van 4 moeten extraheren. Omdat we het getal 2 hebben gekwadrateerd, zullen we ook de vierkantswortel extraheren. Om de wortel van 4 correct te extraheren, hoef je alleen maar het juiste getal te kiezen dat, in het kwadraat, het getal 4 zou opleveren. En dit is natuurlijk 2. Kijk naar het voorbeeld:

2 2 =4
Wortel van 4 = 2

Dit voorbeeld is vrij eenvoudig. Laten we proberen de vierkantswortel van 64 te extraheren. Welk getal, vermenigvuldigd met zichzelf, geeft 64? Het is duidelijk dat het 8 is.

8 2 =64
Wortel van 64=8

Kubuswortel

Zoals hierboven gezegd, zijn wortels niet alleen vierkant aan de hand van een voorbeeld, we zullen proberen duidelijker uit te leggen hoe je een derdegraadswortel of een wortel van de derde graad kunt extraheren; Het principe van het extraheren van een derdemachtswortel is hetzelfde als dat van een vierkantswortel, het enige verschil is dat het vereiste aantal aanvankelijk niet één keer, maar twee keer met zichzelf werd vermenigvuldigd. Dat wil zeggen, laten we zeggen dat we het volgende voorbeeld hebben genomen:

3x3x3=27
Uiteraard is de derdemachtswortel van 27 drie:
Wortel 3 van 27 = 3

Laten we zeggen dat je de derdemachtswortel van 64 moet vinden. Om deze vergelijking op te lossen, volstaat het om een getal te vinden dat, verheven tot de derde macht, 64 zou opleveren.

4 3 =64
Wortel 3 van 64 = 4

Extraheer de wortel van een getal op een rekenmachine

Het is natuurlijk het beste om vierkanten, kubussen en andere wortels te leren berekenen door te oefenen, door veel voorbeelden op te lossen en tabellen met vierkanten en kubussen van kleine getallen uit het hoofd te leren. In de toekomst zal dit de tijd die nodig is om vergelijkingen op te lossen aanzienlijk vergemakkelijken en verkorten. Hoewel het moet worden opgemerkt dat je soms de wortel van zo'n groot getal moet extraheren dat het kiezen van het juiste kwadraat veel werk zal kosten, als dat überhaupt mogelijk is. Een gewone rekenmachine komt te hulp bij het extraheren van de vierkantswortel. Hoe de wortel op een rekenmachine te extraheren? Voer heel eenvoudig het getal in waarvan u het resultaat wilt vinden. Kijk nu eens goed naar de rekenmachineknoppen. Zelfs de eenvoudigste heeft een sleutel met een rootpictogram. Door erop te klikken, krijgt u onmiddellijk het eindresultaat.

Niet elk getal kan een hele wortel hebben; bekijk het volgende voorbeeld:

Wortel van 1859 = 43,116122…

Je kunt dit voorbeeld tegelijkertijd proberen op te lossen op een rekenmachine. Zoals u kunt zien, is het resulterende getal geen geheel getal; bovendien is de reeks cijfers na de komma niet eindig. Speciale technische rekenmachines kunnen een nauwkeuriger resultaat opleveren, maar het volledige resultaat past simpelweg niet op het display van gewone rekenmachines. En als je doorgaat met de reeks vierkanten waarmee je eerder bent begonnen, zul je het getal 1859 er niet in vinden, juist omdat het getal dat werd gekwadrateerd om het te verkrijgen geen geheel getal is.

Als u de derde wortel op een eenvoudige rekenmachine wilt extraheren, moet u dubbelklikken op de knop met het wortelteken. Neem bijvoorbeeld het hierboven gebruikte getal 1859 en neem daar de derdemachtswortel uit:

Wortel 3 van 1859 = 6,5662867…

Dat wil zeggen, als het getal 6,5662867... wordt verhoogd tot de derde macht, dan krijgen we ongeveer 1859. Het extraheren van wortels uit getallen is dus niet moeilijk, je hoeft alleen maar de bovenstaande algoritmen te onthouden.

Instructies

Selecteer een vermenigvuldiger voor het radicale getal, waarvan de verwijdering van onderaf wortel is eigenlijk een uitdrukking - anders verliest de operatie . Bijvoorbeeld als onder het bord wortel met een exponent gelijk aan drie (kubuswortel), kost dit nummer 128, dan kunt u onder het bord bijvoorbeeld eruit halen: nummer 5. Tegelijkertijd de radicaal nummer 128 moet worden gedeeld door 5 in de derde macht: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Als de aanwezigheid van een fractioneel getal onder het teken wortel niet in tegenspraak is met de voorwaarden van het probleem, dan is het in deze vorm mogelijk. Als je een eenvoudiger optie nodig hebt, breek dan eerst de radicale uitdrukking op in zulke gehele factoren, waarvan de derdemachtswortel een geheel getal zal zijn nummer m. Bijvoorbeeld: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Gebruik dit om factoren van een radicaal getal te selecteren als het niet mogelijk is om de machten van een getal in uw hoofd te berekenen. Dit geldt vooral voor wortel m met een exponent groter dan twee. Als u toegang heeft tot internet, kunt u berekeningen uitvoeren met de rekenmachines die zijn ingebouwd in de zoekmachines Google en Nigma. Als u bijvoorbeeld de grootste gehele factor wilt vinden die onder het kubieke teken kan worden gehaald wortel voor het nummer 250, ga dan naar de Google-website en voer de zoekopdracht “6^3” in om te controleren of het mogelijk is om het onder het bord te verwijderen wortel zes. De zoekmachine geeft een resultaat gelijk aan 216. Helaas kan 250 hierdoor niet worden gedeeld zonder een rest nummer. Voer vervolgens de zoekopdracht 5^3 in. Het resultaat is 125, en hierdoor kun je 250 verdelen in de factoren 125 en 2, wat betekent dat je het uit het teken haalt wortel nummer 5, daar weggaan nummer 2.

Bronnen:

hoe je het onder de wortels vandaan krijgt
Vierkantswortel van het product

Haal het eronder vandaan wortel een van de factoren is nodig in situaties waarin u een wiskundige uitdrukking moet vereenvoudigen. Er zijn momenten waarop het onmogelijk is om de nodige berekeningen uit te voeren met een rekenmachine. Als bijvoorbeeld letteraanduidingen voor variabelen worden gebruikt in plaats van cijfers.

Instructies

Breek de radicale uitdrukking op in eenvoudige factoren. Bekijk welke van de factoren hetzelfde aantal keren wordt herhaald, aangegeven in de indicatoren wortel, of meer. U moet bijvoorbeeld de vierde wortel van a nemen. In dit geval kan het getal worden weergegeven als a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indicator wortel in dit geval zal het overeenkomen met factor een3. Het moet uit het bord worden gehaald.

Extraheer de wortel van de resulterende radicalen waar mogelijk afzonderlijk. Extractie wortel is de algebraïsche bewerking omgekeerd aan machtsverheffing. Extractie wortel van een willekeurige macht, zoek een getal uit een getal dat, wanneer het tot deze willekeurige macht wordt verheven, zal resulteren in het gegeven getal. Indien extractie wortel niet geproduceerd kan worden, laat de radicale uitdrukking dan onder het teken staan wortel gewoon hoe het is. Als gevolg van bovenstaande acties wordt u van onderaf verwijderd teken wortel.

Video over het onderwerp

opmerking

Wees voorzichtig bij het schrijven van radicale uitdrukkingen in de vorm van factoren - een fout in dit stadium zal tot onjuiste resultaten leiden.

Behulpzaam advies

Bij het extraheren van wortels is het handig om speciale tabellen of tabellen met logaritmische wortels te gebruiken - dit zal de tijd die nodig is om de juiste oplossing te vinden aanzienlijk verkorten.

Bronnen:

wortelextractieteken in 2019

Vereenvoudiging van algebraïsche uitdrukkingen is op veel gebieden van de wiskunde vereist, inclusief het oplossen van vergelijkingen van hogere orde, differentiatie en integratie. Er worden verschillende methoden gebruikt, waaronder factorisatie. Om deze methode toe te passen, moet je een generaal vinden en maken factor achter beugels.

Instructies

Het uitvoeren van de totale vermenigvuldiger beugels- een van de meest gebruikelijke ontbindingsmethoden. Deze techniek wordt gebruikt om de structuur van lange algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen, d.w.z. veeltermen. Het algemene getal kan een getal, een monomiaal of een binomiaal getal zijn, en om dit te vinden wordt de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging gebruikt.

Getal. Kijk goed naar de coëfficiënten van elke polynoom om te zien of ze door hetzelfde getal kunnen worden gedeeld. In de uitdrukking 12 z³ + 16 z² – 4 is dit bijvoorbeeld duidelijk factor 4. Na de transformatie krijg je 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Met andere woorden, dit getal is de kleinste gemene gehele deler van alle coëfficiënten.

Monomiaal. Bepaal of dezelfde variabele in elk van de termen van de polynoom voorkomt. Ervan uitgaande dat dit het geval is, kijken we nu naar de coëfficiënten zoals in het vorige geval. Voorbeeld: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Elk element van dit polynoom bevat een variabele z. Bovendien zijn alle coëfficiënten getallen die veelvouden zijn van 3. Daarom zal de gemeenschappelijke factor de monomial 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1) zijn.

Binomiaal.Voor beugels algemeen factor van twee, een variabele en een getal, wat een veelgebruikt polynoom is. Daarom, als factor-de binominale waarde is niet duidelijk, dan moet je minstens één wortel vinden. Selecteer de vrije term van de polynoom; dit is een coëfficiënt zonder variabele. Pas nu de substitutiemethode toe op de algemene uitdrukking van alle gehele delers van de vrije term.

Beschouw: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Controleer of een van de gehele factoren van 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 is. Vind door eenvoudige substitutie z1 = 1 en z2 = 2, wat betekent voor beugels we kunnen de binominale waarden (z - 1) en (z - 2) verwijderen. Om de resterende uitdrukking te vinden, gebruikt u opeenvolgende staartdelingen.