Wat is een staande golf? Wat is een staande golf? Hoe ontstaat het? Wat is het verschil tussen een staande golf en een lopende golf?

1. Heb je de leisteen gezien?
   Hetzelfde aan de oppervlakte van het water, een plas op een winderige dag bijvoorbeeld.
2. oh wat heb je hard geantwoord. Ik leg het gewoon uit als een peperkoekmannetje.
   Wat is een golfproces. Dit is wanneer er iets verandert en het heeft een maximum en een minimum (een voorbeeld van watergolven wanneer in verschillende momenten tijd op hetzelfde punt verandert het golfmaximum (piek) naar een minimum) . Wanneer het maximum wordt vervangen door een minimum, zijn dit lopende golven. Golven staan. Dit is wanneer het maximum niet verandert in het minimum, maar er op verschillende plaatsen verschillende niveaus zijn (staande rimpelingen op het wateroppervlak tegen de wind).
3. Oh o. Dit is zo'n concept dat het brein van tienduizenden mensen de klok rond doet zwellen! staande golf Dit is de essentie van BTG. De essentie van Tesla. De essentie van de toekomstige energie uit het niets!)))
4. staande "theegolf" oscillaties in gedistribueerde oscillerende systemen met een karakteristieke opstelling van afwisselende maxima (antinodes) en minima (knooppunten) van amplitude. In de praktijk ontstaat zo'n golf tijdens reflecties van obstakels en inhomogeniteiten als gevolg van de superpositie van de gereflecteerde golf op de invallende golf. In dit geval zijn de frequentie, fase en verzwakkingscoëfficiënt van de golf op de plaats van reflectie uiterst belangrijk.

   Voorbeelden van een staande golf zijn snaartrillingen, luchttrillingen in een orgelpijp; Schumann golven in de natuur.

   Een puur staande golf kan strikt genomen alleen bestaan ​​als er geen verliezen in het medium zijn en de golven volledig worden gereflecteerd vanaf de grens. Gewoonlijk zijn er naast staande golven ook lopende golven in het medium, die energie leveren aan de plaatsen van absorptie of emissie.

   Een Rubensbuis wordt gebruikt om staande golven in een gas aan te tonen.

5. Giet water in het bad en sla met je hand op het oppervlak. Golven verspreiden zich vanuit de hand in alle richtingen. Ze worden lopers genoemd. Door de frequentie van handtrillingen soepel te veranderen, kunt u ervoor zorgen dat de golven niet meer naar de zijkanten bewegen, maar op hun plaats blijven. De beweging zou alleen op en neer gaan. Dit zijn staande golven.

   Ze worden in dit geval alleen gevormd omdat het bad muren heeft waarvan reflectie optreedt, als er geen muren waren, zouden zich geen staande golven vormen, zoals bijvoorbeeld op een open wateroppervlak.

   De verklaring voor het verschijnen van staande golven is eenvoudig, wanneer een directe golf en een door de muur weerkaatste golf botsen, versterken ze elkaar, en als deze botsing de hele tijd op dezelfde plaats plaatsvindt, verdwijnt de horizontale beweging van de golven .

6. staande golven,
   golven die ontstaan ​​door de interferentie van golven die zich in onderling tegengestelde richtingen voortplanten. Praktisch S. eeuw. ontstaan ​​wanneer golven worden gereflecteerd door obstakels en inhomogeniteiten als gevolg van de superpositie van de gereflecteerde golf op de rechte lijn. Verschillende plaatsen van S. van eeuw. oscilleren in dezelfde fase, maar met verschillende amplitudes (Fig.). In S. eeuw. , in tegenstelling tot de lopende, is er geen stroom van energie. Dergelijke golven ontstaan ​​bijvoorbeeld in een elastisch systeem, een staaf of een luchtkolom in een aan één uiteinde gesloten pijp, wanneer de zuiger in de pijp trilt. Reizende golven worden gereflecteerd vanaf de grenzen van het systeem, en als gevolg van de superpositie van de invallende en gereflecteerde golven, S. op. In dit geval langs de lengte van de luchtkolom, de zogenaamde. knooppunten van verplaatsingen (snelheden) van het vlak loodrecht op de as van de kolom, waarop geen verplaatsingen van luchtdeeltjes zijn, en drukamplitudes maximaal zijn, en antinodes van verplaatsingen van het vlak, waarop verplaatsingen maximaal zijn, en drukken zijn gelijk aan nul. Verplaatsingsknooppunten en buikknooppunten bevinden zich in de pijp op afstanden van een kwart van de golflengte, en een verplaatsingsknooppunt en drukbuidel worden altijd gevormd in de buurt van een massieve wand. Een soortgelijk beeld wordt waargenomen als de massieve wand aan het uiteinde van de buis wordt verwijderd, maar dan liggen de buik van de snelheid en het drukknooppunt in het vlak van het gat (ongeveer). In elk volume dat duidelijke grenzen heeft en een geluidsbron, worden geluidsgolven gevormd. , maar met een complexere structuur.

   Elk golfproces dat verband houdt met de verspreiding van verstoringen kan gepaard gaan met de vorming van een golfvorm. Ze kunnen niet alleen in gasvormige, vloeibare en vaste media ontstaan, maar ook in vacuüm tijdens de voortplanting en reflectie van elektromagnetische storingen, bijvoorbeeld in lange elektrische leidingen. De radiozenderantenne is vaak uitgevoerd in de vorm van een rechtlijnige vibrator of een systeem van vibrators, over de lengte waarvan de S. is geïnstalleerd. In segmenten van golfgeleiders en gesloten volumes verschillende vormen gebruikt als resonatoren in de techniek microgolf frequenties, zijn vastgesteld door S. eeuw. bepaalde types. In elektromagnetische S. eeuw. elektrisch en magnetische velden zijn op dezelfde manier gescheiden als in elastische S. eeuw. verplaatsing en druk zijn gescheiden.

   Zuivere S.in. kan strikt genomen alleen worden vastgesteld bij afwezigheid van demping in het medium en volledige reflectie van de golven vanaf de grens. Meestal, behalve S. in. , zijn er ook lopende golven die energie naar de plaatsen van absorptie of emissie brengen.

   In de optica is het ook mogelijk om S. eeuw vast te stellen. met zichtbare hoogte- en dieptepunten elektrisch veld. Als het licht niet monochromatisch is, dan in S. eeuw. de antinodes van het elektrische veld van verschillende golflengten zullen zich op verschillende plaatsen bevinden en kleurscheiding wordt vaak waargenomen.

staande golf- het fenomeen van interferentie van golven die zich in tegengestelde richtingen voortplanten, waarbij de overdracht van energie verzwakt of afwezig is.

staande golf(elektromagnetisch) - periodieke verandering amplitude de sterkte van de elektrische en magnetische velden langs de voortplantingsrichting, veroorzaakt door de interferentie van de invallende en gereflecteerde golven.

Een staande golf treedt bijvoorbeeld op wanneer een golf wordt gereflecteerd door obstakels en inhomogeniteiten als gevolg van de interactie (interferentie) van de invallende en gereflecteerde golven. Het resultaat van interferentie wordt beïnvloed door de frequentie van oscillaties, de modulus en fase van de reflectiecoëfficiënt, de voortplantingsrichtingen van de invallende en gereflecteerde golven ten opzichte van elkaar, de verandering of het behoud van de polarisatie van de golven tijdens reflectie, de verzwakkingscoëfficiënt van de golven in het voortplantingsmedium. Strikt genomen kan een staande golf alleen bestaan ​​als er geen verliezen zijn in het voortplantingsmedium (of in actieve omgeving) en totale reflectie van de invallende golf. In een echt medium wordt echter de modus van gemengde golven waargenomen, omdat er altijd een overdracht van energie is naar de plaatsen van absorptie en emissie. Als, wanneer een golf valt, deze volledig is absorptie, dan is de gereflecteerde golf afwezig, is er geen golfinterferentie, is de amplitude van het golfproces in de ruimte constant. Zo'n golfproces wordt een lopende golf genoemd.

Voorbeelden van een staande golf zijn snaartrillingen, luchttrillingen in een orgelpijp; in de natuur - Schumanns golven. Een Rubensbuis wordt gebruikt om staande golven in een gas aan te tonen.

Staande golven zijn oplossingen van golfvergelijkingen. Ze kunnen worden gezien als een superpositie van golven die zich in tegengestelde richting voortplanten.

Wanneer er een staande golf in het medium is, zijn er punten waar de trillingsamplitude gelijk is aan nul. Deze punten heten knopen staande golf. De punten waarop de oscillaties de maximale amplitude hebben, worden antinodes genoemd.

Encyclopedisch YouTube

• 1 / 5

  De verschillende trillingsmodi van een snaar die aan de uiteinden is vastgeklemd, bepalen bijvoorbeeld de grondtoon en boventonen.

  Wiskundige beschrijving van staande golven

  In het eendimensionale geval zullen twee golven van dezelfde frequentie, golflengte en amplitude die zich in tegengestelde richtingen voortplanten (bijvoorbeeld naar elkaar toe), op elkaar inwerken, wat resulteert in een staande golf. Een harmonische golf die zich naar rechts voortplant en het einde van een snaar bereikt, produceert bijvoorbeeld een staande golf. De golf die vanaf het uiteinde wordt weerkaatst, moet dezelfde amplitude en frequentie hebben als de invallende golf.

  Beschouw het incident en de gereflecteerde golven in de vorm:

  y 1 = y 0 sin ⁡ (k x − ω t) (\ Displaystyle y_(1) \;=\;y_(0)\, \sin(kx-\omega t)) y 2 = y 0 sin ⁡ (k x + ω t) (\displaystyle y_(2)\;=\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t))

  Daarom is de resulterende vergelijking voor een staande golf ja zal in de vorm van een som zijn y 1 en y2:

  y = y 0 sin ⁡ (k x − ω t) + y 0 sin ⁡ (k x + ω t) . (\displaystyle y\;=\;y_(0)\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t).)

  Met behulp van trigonometrische relaties kan deze vergelijking worden herschreven als:

  y = 2 y 0 cos ⁡ (ω t) sin ⁡ (k x) . (\displaystyle y\;=\;2\,y_(0)\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).)

  Als we naar mode kijken x = 0 , / 2 , 3 λ / 2 , . . . (\displaystyle x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...) en anti-mode x = / 4 , 3 λ / 4 , 5 λ / 4 , . . . (\displaystyle x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...), dan is de afstand tussen aangrenzende modi / antimodi gelijk aan de helft van de golflengte

Beschouw het resultaat van de interferentie van twee sinusoïdale vlakke golven met dezelfde amplitude en frequentie die zich in tegengestelde richtingen voortplanten. Voor de eenvoud van redenering nemen we aan dat de vergelijkingen van deze golven de vorm hebben:

Dit betekent dat bij de oorsprong beide golven oscillaties veroorzaken in dezelfde fase. Op punt A met coördinaat x is de totale waarde van de oscillerende grootheid, volgens het principe van superpositie (zie § 19),

Deze vergelijking laat zien dat als gevolg van de interferentie van voorwaartse en achterwaartse golven op elk punt van het medium (met een vaste coördinaat) een harmonische oscillatie optreedt met dezelfde frequentie, maar met een amplitude

afhankelijk van de waarde van de x-coördinaat. Op punten in het medium waar helemaal geen trillingen zijn: deze punten worden trillingsknooppunten genoemd.



Op de punten waar de amplitude van de oscillaties de grootste waarde heeft, worden deze punten de antinodes van de oscillaties genoemd. Het is gemakkelijk om aan te tonen dat de afstand tussen aangrenzende knopen of aangrenzende antinodes gelijk is aan de afstand tussen de antinode en de dichtstbijzijnde knoop is gelijk aan Wanneer x verandert met cosinus in formule (5.16), keert het zijn teken om (het argument verandert in zo als binnen een halve golf - van het ene knooppunt naar het andere - de deeltjes van het medium in één richting afweken, dan zullen de deeltjes van het medium binnen de aangrenzende halve golf in de tegenovergestelde richting worden afgebogen.

Het golfproces in een medium beschreven door formule (5.16) wordt een staande golf genoemd. Grafisch kan een staande golf worden weergegeven zoals weergegeven in Fig. 1.61. Laten we aannemen dat y een verplaatsing heeft van de punten van het medium vanuit de evenwichtstoestand; dan beschrijft formule (5.16) een "staande verplaatsingsgolf". Op een bepaald moment, wanneer alle punten van het medium maximale verplaatsingen hebben, wordt de richting, afhankelijk van de waarde van de x-coördinaat, bepaald door het teken. 1.61 met stevige pijlen. Na een kwart van de periode, wanneer de verplaatsingen van alle punten van het medium gelijk zijn aan nul; deeltjes van het medium passeren de lijn met verschillende snelheden. Na nog een kwart van de periode, wanneer de deeltjes van het medium weer maximale verplaatsingen zullen hebben, maar in de tegenovergestelde richting; deze verschuivingen worden getoond in

rijst. 1,61 gestippelde pijlen. De punten zijn de antinodes van de staande verplaatsingsgolf; puntenknooppunten van deze golf.

De karakteristieke kenmerken van een staande golf, in tegenstelling tot een conventionele voortplantende of lopende golf, zijn als volgt (dat wil zeggen vlakke golven zonder demping):

1) in een staande golf zijn de oscillatieamplitudes verschillend in verschillende delen van het systeem; het systeem heeft knopen en antiknopen van oscillaties. In een "reizende" golf zijn deze amplitudes overal hetzelfde;

2) binnen het gebied van het systeem van het ene knooppunt naar het aangrenzende oscilleren alle punten van het medium in dezelfde fase; bij het overgaan naar een naburig gedeelte worden de fasen van de oscillaties omgekeerd. In een lopende golf zijn de fasen van de trillingen volgens formule (5.2) afhankelijk van de coördinaten van de punten;

3) bij een staande golf is er geen eenrichtingsoverdracht van energie, zoals bij een lopende golf het geval is.



Bij het beschrijven van oscillerende processen in elastische systemen kan de oscillerende waarde y niet alleen worden genomen als de verplaatsing of snelheid van de deeltjes van het systeem, maar ook als de waarde van de relatieve vervorming of de waarde van de spanning in compressie, trek of afschuiving, enz. Tegelijkertijd vallen in een staande golf, op plaatsen waar antinodes van deeltjessnelheden worden gevormd, vervormingsknooppunten samen, en omgekeerd vallen snelheidsknooppunten samen met vervormingsknooppunten. De transformatie van energie van kinetisch naar potentiaal en vice versa vindt plaats binnen het gedeelte van het systeem van de antinode naar de naburige knoop. We kunnen aannemen dat elk van deze secties geen energie uitwisselt met aangrenzende secties. Merk op dat de transformatie van de kinetische energie van bewegende deeltjes in de potentiële energie van vervormde secties van het medium twee keer in één periode plaatsvindt.

Hierboven, gezien de interferentie van directe en achterwaartse golven (zie uitdrukkingen (5.16)), waren we niet geïnteresseerd in de oorsprong van deze golven. Laten we nu aannemen dat het medium waarin trillingen zich voortplanten beperkte afmetingen heeft, bijvoorbeeld trillingen worden veroorzaakt in een vast lichaam - in een staaf of draad, in een vloeistof- of gaskolom, enz. Een golf die zich in zo'n medium voortplant ( lichaam), wordt gereflecteerd vanaf de grenzen, daarom treedt binnen het volume van dit lichaam continu interferentie op van golven veroorzaakt door een externe bron en gereflecteerd door de grenzen.

Beschouwen het eenvoudigste voorbeeld; stel dat op een punt (Fig. 1.62) van een staaf of snaar een oscillerende beweging met een frequentie wordt opgewekt met behulp van een externe sinusoïdale bron; we kiezen de oorsprong van de tijdreferentie zodat op dit punt de verplaatsing wordt uitgedrukt door de formule



waar de oscillatie-amplitude op het punt De golf die in de staaf wordt geïnduceerd, wordt gereflecteerd vanaf het tweede uiteinde van de staaf 0% en gaat in de tegenovergestelde richting

richting. Laten we het resultaat vinden van interferentie van directe en gereflecteerde golven op een bepaald punt van de staaf met de coördinaat x. Voor de eenvoud van redenering nemen we aan dat er geen absorptie van trillingsenergie in de staaf is en dat daarom de amplituden van de directe en gereflecteerde golven gelijk zijn.

Op een bepaald moment, wanneer de verplaatsing van oscillerende deeltjes op een punt gelijk is aan y, zal op een ander punt op de staaf de verplaatsing veroorzaakt door een directe golf, volgens de golfformule, gelijk zijn aan

De gereflecteerde golf gaat ook door hetzelfde punt A. Om de verplaatsing te vinden die in punt A wordt veroorzaakt door de gereflecteerde golf (tegelijkertijd is het noodzakelijk om de tijd te berekenen gedurende welke de golf van en naar het punt zal reizen. Aangezien de verplaatsing veroorzaakt op het punt door de gereflecteerde golf zal zijn gelijk aan



In dit geval wordt aangenomen dat er aan het reflecterende uiteinde van de staaf in het reflectieproces geen abrupte verandering in de oscillatiefase is; in sommige gevallen treedt een dergelijke faseverandering (faseverlies genoemd) op en moet hiermee rekening worden gehouden.

De toevoeging van trillingen veroorzaakt op verschillende punten van de staaf door directe en gereflecteerde golven geeft een staande golf; Echt,

waar is een constante fase, onafhankelijk van de x-coördinaat, en de hoeveelheid

is de oscillatie-amplitude op het punt; het hangt af van de x-coördinaat, d.w.z. het is anders op verschillende plaatsen van de staaf.

Laten we de coördinaten vinden van die punten van de staaf waar de knopen en buiken van de staande golf worden gevormd. De cosinus wordt nul of één komt voor bij argumentwaarden die veelvouden zijn van

waar is een geheel getal. Voor een oneven waarde van dit getal verdwijnt de cosinus en formule (5.19) geeft de coördinaten van de knopen van de staande golf; want zelfs wij krijgen de coördinaten van de antinodes.

Hierboven zijn slechts twee golven toegevoegd: een directe afkomstig van en een gereflecteerde golf die zich voortplant, maar er moet rekening mee worden gehouden dat de gereflecteerde golf aan de staafgrens weer wordt gereflecteerd en in de richting van de directe golf gaat. zulke reflecties

er zal veel van de uiteinden van de staaf zijn, en daarom is het noodzakelijk om het resultaat van interferentie te vinden, niet van twee, maar van alle golven die tegelijkertijd in de staaf bestaan.

Laten we aannemen dat een externe bron van trillingen enige tijd golven in de staaf veroorzaakte, waarna de stroom van trillingsenergie van buitenaf stopte. Gedurende deze tijd traden er reflecties op in de staaf, wat de tijd is waarin de golf van het ene uiteinde van de staaf naar het andere ging. Dientengevolge zullen er in de staaf tegelijkertijd golven bestaan ​​die in voorwaartse richting bewegen en golven die zich in de tegenovergestelde richting voortbewegen.

Laten we aannemen dat als gevolg van de interferentie van één paar golven (direct en gereflecteerd), de verplaatsing in punt A gelijk bleek te zijn aan y. Laten we de voorwaarde vinden waaronder alle verplaatsingen y veroorzaakt door elk paar golven dezelfde richting hebben in het punt A van de staaf en dus optellen. Hiervoor moeten de fasen van de oscillaties die door elk paar golven op een punt worden veroorzaakt, verschillen met de fase van de oscillaties die door het volgende paar golven worden veroorzaakt. Maar elke golf keert pas na een tijd terug naar punt A met dezelfde voortplantingsrichting, d.w.z. hij blijft in fase achter door deze vertraging te evenaren waarbij een geheel getal is, we krijgen



d.w.z. een geheel aantal halve golven moet over de lengte van de staaf passen. Merk op dat onder deze voorwaarde de fasen van alle golven die in voorwaartse richting reizen van elkaar verschillen door waar een geheel getal is; op precies dezelfde manier zullen de fasen van alle golven die van in de tegenovergestelde richting komen, van elkaar verschillen door . alleen de amplitude van oscillaties zal toenemen. Als de maximale amplitude van oscillaties tijdens interferentie van twee golven, volgens formule (5.18), gelijk is, dan zal deze bij interferentie van veel golven groter zijn. Laten we het aanduiden, want dan wordt de verdeling van de oscillatie-amplitude langs de staaf in plaats van de uitdrukking (5.18) bepaald door de formule



Uitdrukkingen (5.19) en (5.20) bepalen de punten waarop de cosinus de waarden of 1 heeft:

waar is een geheel getal De coördinaten van de knooppunten van de staande golf worden verkregen uit deze formule voor oneven waarden dan, afhankelijk van de lengte van de staaf, d.w.z. de waarde

antinode-coördinaten worden verkregen met even waarden

Op afb. 1.63 toont schematisch een staande golf in een staaf, waarvan de lengte; de punten zijn de knooppunten, de punten zijn de knooppunten van deze staande golf.

In ch. er werd aangetoond dat bij afwezigheid van periodieke externe invloeden, de aard van de co-debaterende bewegingen in het systeem en vooral de hoofdgrootheid - de oscillatiefrequentie - worden bepaald door de afmetingen en fysieke eigenschappen systemen. Elk oscillerend systeem heeft zijn eigen, inherente oscillerende beweging; deze fluctuatie kan worden waargenomen als het systeem uit evenwicht wordt gehaald en externe invloeden worden geëlimineerd.



In ch. 4 uur heb ik overwegend oscillerende systemen met gebundelde parameters overwogen, waarin sommige lichamen (punt) traagheidsmassa hadden en andere lichamen (veren) elastische eigenschappen. Daarentegen worden oscillerende systemen, waarin massa en elasticiteit inherent zijn aan elk elementair volume, systemen met gedistribueerde parameters genoemd. Deze omvatten de hierboven besproken staven, snaren, evenals kolommen van vloeistof of gas (in blaasinstrumenten), enz. Voor dergelijke systemen zijn staande golven natuurlijke trillingen; het belangrijkste kenmerk van deze golven - de golflengte of de verdeling van knopen en buiken, evenals de frequentie van oscillaties - wordt alleen bepaald door de grootte en eigenschappen van het systeem. Staande golven kunnen ook bestaan ​​bij afwezigheid van een externe (periodieke) actie op het systeem; deze actie is alleen nodig om staande golven in het systeem te veroorzaken of in stand te houden of om de amplitudes van oscillaties te veranderen. In het bijzonder, als een externe actie op een systeem met gedistribueerde parameters plaatsvindt met een frequentie die gelijk is aan de frequentie van zijn natuurlijke oscillaties, d.w.z. de frequentie van een staande golf, dan vindt het resonantiefenomeen plaats, dat werd beschouwd in Hfst. 5.

Hetzelfde voor verschillende frequenties.



Zo worden in systemen met gedistribueerde parameters natuurlijke oscillaties - staande golven - gekenmerkt door een heel spectrum van frequenties die veelvouden van elkaar zijn. De kleinste van deze frequenties, overeenkomend met grootste lengte de golf wordt de grondfrequentie genoemd; de rest) zijn boventonen of harmonischen.

Elk systeem wordt niet alleen gekenmerkt door de aanwezigheid van een dergelijk spectrum van oscillaties, maar ook door een bepaalde verdeling van energie tussen oscillaties van verschillende frequenties. Voor muziekinstrumenten geeft deze verdeling het geluid een eigenaardig kenmerk, het zogenaamde klanktimbre, dat voor verschillende instrumenten verschillend is.

De bovenstaande berekeningen hebben betrekking op een vrij oscillerende "staaf van lengte. We hebben echter meestal staven die aan een of beide uiteinden zijn bevestigd (bijvoorbeeld trillende snaren), of er zijn een of meer punten langs de staaf. bewegingen zijn geforceerde verplaatsingsknopen. Bijvoorbeeld,

als het nodig is om staande golven in de staaf te verkrijgen op één, twee, drie bevestigingspunten, enz., dan kunnen deze punten niet willekeurig worden gekozen, maar moeten ze langs de staaf worden geplaatst zodat ze zich op de knooppunten van de gevormde staande golf bevinden . Dit wordt bijvoorbeeld getoond in Fig. 1.64. In dezelfde figuur toont de stippellijn de verplaatsingen van de punten van de staaf tijdens trillingen; verplaatsingsknooppunten worden altijd gevormd aan de vrije uiteinden en verplaatsingsknopen aan de vaste uiteinden. Voor oscillerende luchtkolommen in leidingen worden verdringingsknopen (en snelheden) verkregen bij reflecterende massieve wanden; aan de open uiteinden van de buizen worden antinodes van verplaatsingen en snelheden gevormd.

§4 Interferentie van golven.

Het principe van superpositie. Het concept van golfcoherentie

Als meerdere golven zich gelijktijdig in het medium voortplanten, dan zijn de trillingen van de deeltjes van het medium gelijk aan geometrische som trillingen die de deeltjes zouden maken tijdens de voortplanting van elk van de golven afzonderlijk. Bijgevolg overlappen de golven elkaar eenvoudig zonder elkaar te storen - het principe van superpositie (superpositie) van golven.

Twee golven worden coherent genoemd als hun faseverschil onafhankelijk is van de tijd


-
coherentie voorwaarde.

bronnen coherente golven worden coherente bronnen genoemd.



omdat voor coherente bronnen, het initiële faseverschil, dan de amplitude een onderzoek op verschillende punten hangt af van de groottehet padverschil genoemd. Als een

dan wordt het maximum waargenomen.

Bij



minimum wordt waargenomen.

Wanneer golven van coherente bronnen worden gesuperponeerd, worden minima en maxima waargenomen in de resulterende amplitude, d.w.z. onderlinge versterking op sommige punten in de ruimte en verzwakking op andere, afhankelijk van de verhouding tussen de fasen van deze golven, zijn de essentie van interferentieverschijnselen.

§5 staande golven

Een speciaal geval van interferentie zijn staande golven - golven die worden gevormd wanneer twee lopende golven over elkaar heen worden geplaatst, golven die zich naar elkaar voortplanten met dezelfde amplituden en frequenties.

Om de vergelijking van een staande golf af te leiden, accepteren we: 1) golven planten zich voort in een medium zonder demping; 2) A 1 \u003d A 2 \u003d A- gelijke amplitudes hebben; 3) ω 1 = ω 2 = ω - gelijke frequenties; 4)φ 10 = φ 20 = 0.

De vergelijking van een lopende golf die zich voortplant langs de positieve richting van de x-as (d.w.z. de vergelijking van een invallende golf):

(1)

De vergelijking van een lopende golf die zich voortplant in de negatieve richting van de x-as (d.w.z. de vergelijking van een gereflecteerde golf):

(2)

Als we (1) en (2) toevoegen, krijgen we de staande golfvergelijking:




Een kenmerk van een staande golf is dat de amplitude afhangt van de coördinaat X. Bij het verplaatsen van het ene punt naar het andere verandert de amplitude volgens de wet:



staande golf amplitude.

Die punten van het medium waar de amplitude van de staande golf maximaal is en gelijk is aan 2 MAAR, worden antinodes genoemd. De coördinaten van de antinode zijn te vinden in de voorwaarde dat

vanaf hier



De afstand tussen twee aangrenzende antinodes is.

De punten waarop de amplitude van de staande golf minimaal en gelijk aan 0 is, worden knopen genoemd. De knoopcoördinaat kan worden gevonden in de voorwaarde

vanaf hier





De afstand tussen twee aangrenzende knooppunten is.



In tegenstelling tot een lopende golf, waarvan alle punten oscilleren met dezelfde amplitude, maar met verschillende fasen afhankelijk van de coördinaat X punten (), oscilleert het punt van een staande golf tussen twee knopen met verschillende amplitudes, maar met dezelfde fasen (). Bij het passeren van een knooppunt, de vermenigvuldigerverandert zijn teken, dus de fase van oscillaties mee verschillende kanten verschilt van het knooppunt door , d.w.z. punten die aan weerszijden van het knooppunt liggen, oscilleren in tegenfase.

Een staande golf is het gevolg van de interferentie van de invallende en gereflecteerde golven. De aard van de reflectie wordt beïnvloed door de interface tussen de twee media, van waaruit de reflectie plaatsvindt. Als de golf wordt gereflecteerd door een minder dicht medium (Fig. a), dan verandert de fase van de golf op het grensvlak niet en zal er een antinode zijn op het grensvlak tussen de twee media. Als de golf wordt gereflecteerd door een dichter medium, verandert de fase in het tegenovergestelde, d.w.z. reflectie van een dichter medium treedt op met een verlies van de helft van de golflengte (λ/2). De lopende golf draagt ​​de energie van oscillerende beweging over in de richting van golfvoortplanting. Een staande golf draagt ​​geen energie, omdat Invallende en gereflecteerde golven van dezelfde amplitude dragen dezelfde energie in tegengestelde richtingen. Daarom blijft de totale energie van de resulterende staande golf ingesloten tussen de knooppunten constant. Alleen binnen afstanden gelijk aan λ/2 vindt de omzetting van kinetische energie in potentiële energie plaats.

staande golven. 6.1 Staande golven in elastisch medium

6.1 Staande golven in een elastisch medium

Volgens het principe van superpositie, wanneer meerdere golven zich gelijktijdig voortplanten in een elastisch medium, vindt hun superpositie plaats en verstoren de golven elkaar niet: de trillingen van de deeltjes van het medium zijn de vectorsom van de trillingen die de deeltjes zouden maken tijdens de voortplanting van elk van de golven afzonderlijk.

Golven die trillingen van het medium veroorzaken, waarvan de faseverschillen constant zijn op elk punt in de ruimte, worden genoemd samenhangend.

Bij het toevoegen van coherente golven ontstaat het fenomeen interferentie, die erin bestaat dat op sommige punten in de ruimte de golven elkaar versterken en op andere punten verzwakken. Een belangrijk geval van interferentie wordt waargenomen wanneer twee tegengestelde vlakke golven met dezelfde frequentie en amplitude worden gesuperponeerd. De resulterende oscillaties worden genoemd staande golf. Meestal ontstaan ​​staande golven wanneer een lopende golf wordt gereflecteerd door een obstakel. In dit geval geven de invallende golf en de ernaartoe gereflecteerde golf, bij elkaar opgeteld, een staande golf.

We krijgen de staande golfvergelijking. Laten we twee vlakke harmonische golven nemen die zich naar elkaar voortplanten langs de as X en met dezelfde frequentie en amplitude:

waar - de fase van oscillaties van de punten van het medium tijdens de passage van de eerste golf;

- de fase van oscillaties van de punten van het medium tijdens de passage van de tweede golf.

Faseverschil op elk punt op de as X het netwerk is niet afhankelijk van tijd, d.w.z. zal constant zijn:

Daarom zullen beide golven coherent zijn.

De oscillatie van de deeltjes van het medium als gevolg van de toevoeging van de beschouwde golven zal als volgt zijn:

We transformeren de som van de cosinuslijnen van de hoeken volgens de regel (4.4) en krijgen:

Als we de factoren herschikken, krijgen we:

Om de uitdrukking te vereenvoudigen, kiezen we de oorsprong zodat het faseverschil en de oorsprong van de tijd, zodat de som van de fasen gelijk is aan nul: .

Dan zal de vergelijking voor de som van de golven de vorm aannemen:

Vergelijking (6.6) heet staande golf vergelijking. Hieruit blijkt dat de frequentie van de staande golf gelijk is aan de frequentie van de lopende golf, en de amplitude, in tegenstelling tot de lopende golf, afhangt van de afstand tot de oorsprong:

. (6.7)

Rekening houdend met (6.7), heeft de staande golfvergelijking de vorm:

. (6.8)

De punten van het medium oscilleren dus met een frequentie die samenvalt met de frequentie van de lopende golf, en met een amplitude a, afhankelijk van de positie van het punt op de as X. Dienovereenkomstig verandert de amplitude volgens de cosinuswet en heeft deze zijn eigen maxima en minima (Fig. 6.1).




Om de locatie van de minima en maxima van de amplitude te visualiseren, vervangen we, volgens (5.29), het golfgetal door zijn waarde:

Dan heeft uitdrukking (6.7) voor de amplitude de vorm

(6.10)

Hieruit wordt duidelijk dat de verplaatsingsamplitude maximaal is bij , d.w.z. op punten waarvan de coördinaat voldoet aan de voorwaarde:

, (6.11)

waar

Hieruit verkrijgen we de coördinaten van de punten waar de verplaatsingsamplitude maximaal is:

; (6.12)

De punten waar de amplitude van de trillingen van het medium maximaal is, worden genoemd golf antinodes.

De golfamplitude is nul op de punten waar . De coördinaten van dergelijke punten, genaamd golf knopen, voldoet aan de voorwaarde:

, (6.13)

waar

Uit (6.13) blijkt dat de coördinaten van de knopen de volgende waarden hebben:

, (6.14)

Op afb. 6.2 toont een geschatte weergave van een staande golf, de locatie van knopen en antinodes is gemarkeerd. Het is te zien dat de aangrenzende knooppunten en antinodes van de verplaatsing op dezelfde afstand van elkaar zijn verwijderd.




Zoek de afstand tussen aangrenzende antinodes en nodes. Uit (6.12) verkrijgen we de afstand tussen de antinodes:

(6.15)

De afstand tussen de knooppunten wordt verkregen uit (6.14):

(6.16)

Uit de verkregen relaties (6.15) en (6.16) blijkt dat de afstand tussen aangrenzende knopen, evenals tussen aangrenzende antiknopen, constant is en gelijk is aan; nodes en antinodes zijn ten opzichte van elkaar verschoven met (Fig. 6.3).

Uit de definitie van de golflengte kunnen we een uitdrukking schrijven voor de lengte van de staande golf: deze is gelijk aan de helft van de lengte van de lopende golf:

Laten we, rekening houdend met (6.17), uitdrukkingen schrijven voor de coördinaten van knopen en antiknopen:

, (6.18)

, (6.19)

De vermenigvuldiger , die de amplitude van de staande golf bepaalt, verandert van teken bij het passeren van de nulwaarde, waardoor de fase van de oscillaties aan weerszijden van de knoop met . Bijgevolg oscilleren alle punten die aan weerszijden van het knooppunt liggen in tegenfase. Alle punten tussen aangrenzende knooppunten oscilleren in fase.




De knooppunten verdelen het medium voorwaardelijk in autonome regio's waarin harmonische oscillaties onafhankelijk optreden. Er is geen overdracht van beweging tussen de regio's, en daarom is er geen energiestroom tussen de regio's. Dat wil zeggen, er is geen overdracht van verstoring langs de as. Daarom wordt de golf staand genoemd.

Een staande golf wordt dus gevormd uit twee tegengesteld gerichte lopende golven met gelijke frequenties en amplitudes. De Umov-vectoren van elk van deze golven zijn gelijk in modulus en tegengesteld in richting, en wanneer ze worden opgeteld, geven ze nul. Daarom draagt ​​een staande golf geen energie over.

6.2 Voorbeelden van staande golven

6.2.1 Staande golf in een snaar

Overweeg een reeks van lengte L, aan beide uiteinden bevestigd (Fig. 6.4).






Laten we de as langs de string plaatsen X zodat het linkeruiteinde van de string de coördinaat heeft x=0, en rechts x=L. Er treden trillingen op in de snaar, beschreven door de vergelijking:

Laten we de randvoorwaarden voor de beschouwde string opschrijven. Aangezien de uiteinden vast zijn, dan op punten met coördinaten x=0 en x=L geen aarzeling:

(6.22)

Laten we de vergelijking van snaartrillingen vinden op basis van de geschreven randvoorwaarden. We schrijven vergelijking (6.20) voor het linkeruiteinde van de string, rekening houdend met (6.21):

Relatie (6.23) geldt voor elk moment t in twee gevallen:

1. . Dit is mogelijk als er geen trillingen in de snaar () zitten. Deze zaak is niet interessant en we zullen er niet over nadenken.





2. . Hier is de fase. Dit geval stelt ons in staat om de vergelijking voor snaartrillingen te verkrijgen.

Laten we de verkregen fasewaarde vervangen door de randvoorwaarde (6.22) voor het rechteruiteinde van de string:

. (6.25)

Gezien het feit dat

, (6.26)

van (6.25) krijgen we:

Opnieuw doen zich twee gevallen voor waarin aan relatie (6.27) wordt voldaan. Het geval dat er geen trillingen in de snaar zijn (), zullen we niet overwegen.

In het tweede geval moet de gelijkheid gelden:

en dit is alleen mogelijk als het sinusargument een veelvoud is van een geheel getal:

We negeren de waarde, omdat in dit geval , wat zou betekenen dat de tekenreekslengte nul is ( L=0) of wave-nieuw nummer k=0. Gezien het verband (6.9) tussen het golfgetal en de golflengte, is het duidelijk dat om het golfgetal gelijk te laten zijn aan nul, de golflengte oneindig zou moeten zijn, en dit zou de afwezigheid van oscillaties betekenen.

Uit (6.28) blijkt dat het golfgetal tijdens trillingen van een aan beide uiteinden bevestigde snaar slechts bepaalde discrete waarden kan aannemen:

Rekening houdend met (6.9), schrijven we (6.30) als:

waaruit we de uitdrukking voor de mogelijke golflengten in de string afleiden:

Met andere woorden, over de lengte van de string L moet een geheel getal zijn n halve golf:

De bijbehorende oscillatiefrequenties kunnen worden bepaald uit (5.7):

Hier is de fasesnelheid van de golf, die volgens (5.102), afhangt van de lineaire dichtheid van de snaar en de trekkracht van de snaar:

Door (6.34) te vervangen door (6.33) krijgen we een uitdrukking die de mogelijke trillingsfrequenties van de snaar beschrijft:

, (6.36)

Frequenties worden genoemd natuurlijke frequenties snaren. frequentie (wanneer) n = 1):

(6.37)

genaamd grondfrequentie(of hoofdtoon) snaren. Frequenties bepaald op n>1 genaamd boventonen of harmonischen. Het harmonische getal is n-1. Bijvoorbeeld frequentie:

komt overeen met de eerste harmonische, en de frequentie:

correspondeert met de tweede harmonische, enzovoort. Aangezien een string kan worden weergegeven als discreet systeem met een oneindig aantal vrijheidsgraden, dan is elke harmonische mode snaar trillingen. In het algemeen zijn snaartrillingen een superpositie van modi.




Elke harmonische heeft zijn eigen golflengte. Voor de hoofdtoon (met n= 1) golflengte:

voor respectievelijk de eerste en tweede harmonischen (at n= 2 en n= 3) de golflengten zullen zijn:

Figuur 6.5 toont een weergave van verschillende trillingsmodi uitgevoerd door een snaar.

Zo realiseert een snaar met vaste uiteinden een uitzonderlijk geval in het kader van de klassieke fysica - een discreet spectrum van oscillatiefrequentie (of golflengten). Een elastische staaf met een of beide geklemde uiteinden gedraagt ​​zich op dezelfde manier, evenals schommelingen in de luchtkolom in leidingen, die in de volgende paragrafen zullen worden besproken.

6.2.2 Invloed begincondities onderweg

doorlopende snaar. Fourier-analyse

Trillingen van een snaar met vastgeklemde uiteinden hebben, naast het discrete spectrum van trillingsfrequenties, nog een belangrijk bezit: de specifieke vorm van trilling van de snaar hangt af van de wijze van excitatie van trillingen, d.w.z. van beginvoorwaarden. Laten we het in meer detail bekijken.

Vergelijking (6.20), die één modus van een staande golf in een string beschrijft, is een specifieke oplossing van de differentiaalgolfvergelijking (5.61). Aangezien de trilling van een snaar bestaat uit alle mogelijke modi (voor een snaar een oneindig aantal), dan: gemeenschappelijke beslissing golfvergelijking (5.61) is samengesteld uit een oneindig aantal privé oplossingen:

, (6.43)

waar i is het nummer van de oscillatiemodus. Expressie (6.43) is geschreven rekening houdend met het feit dat de uiteinden van de string vast zijn:

en ook rekening houdend met de frequentieverbinding i de modus en het golfnummer:

(6.46)

Hier – golfnummer i de mode;

is het golfnummer van de 1e modus;

Laten we de waarde van de beginfase voor elke oscillatiemodus vinden. Hiervoor, destijds t=0 laten we de string een vorm geven die wordt beschreven door de functie f 0 (x), de uitdrukking waarvoor we verkrijgen uit (6.43):

. (6.47)

Op afb. 6.6 toont een voorbeeld van de vorm van een string beschreven door mijn functie f 0 (x).




Op het moment t=0 de snaar is nog in rust, d.w.z. de snelheid van al zijn punten is gelijk aan nul. Uit (6.43) vinden we een uitdrukking voor de snelheid van de stringpunten:

en door er in te substitueren t=0, verkrijgen we een uitdrukking voor de snelheid van de punten van de string op het begintijdstip:

. (6.49)

Aangezien op het beginmoment de snelheid gelijk is aan nul, zal uitdrukking (6.49) gelijk zijn aan nul voor alle punten van de string, als . Hieruit volgt dat de beginfase voor alle modi ook nul is (). Met dit in gedachten neemt uitdrukking (6.43), die de beweging van de snaar beschrijft, de vorm aan:

, (6.50)

en uitdrukking (6.47) beschrijven beginvorm snaren, ziet eruit als:

. (6.51)

Een staande golf in een snaar wordt beschreven door een functie die periodiek is op het interval , waarbij gelijk is aan twee snaarlengtes (Fig. 6.7):

Dit blijkt uit het feit dat de periodiciteit op het interval betekent:

Vervolgens,

wat ons bij uitdrukking brengt (6.52).






Uit wiskundige analyse is bekend dat elke periodieke functie met hoge nauwkeurigheid kan worden uitgebreid tot een Fourier-reeks:

, (6.57)

waarbij , , de Fourier-coëfficiënten zijn.

keer bekeken