Grafische oplossing van vergelijkingen les. Grafische oplossing van vergelijkingen - Knowledge Hypermarket
Tijdens de les demonstreerden de studenten de kennis en vaardigheden van het programma:
- de soorten functies herkennen, hun grafieken bouwen;
– oefende de vaardigheden van het construeren van een kwadratische functie;
– grafische methoden geoefend voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen met behulp van de selectiemethode vol plein.
ik wilde geven Speciale aandacht het oplossen van problemen met een parameter, aangezien de USE in de wiskunde veel van dit soort taken biedt.
De mogelijkheid om dit soort werk in de klas toe te passen, werd mij door de studenten zelf gegeven, omdat ze een voldoende kennisbasis hebben die kan worden verdiept en uitgebreid.
Vooraf voorbereide sjablonen door studenten toegestaan om lestijd te besparen. Tijdens de les slaagde ik erin om de taken aan het begin van de les uit te voeren en het verwachte resultaat te krijgen.
Het gebruik van een minuut lichamelijke opvoeding hielp om overwerk van studenten te voorkomen, om een productieve motivatie voor het opdoen van kennis te behouden.
Over het algemeen ben ik tevreden met het resultaat van de les, maar ik denk dat er nog steeds reservemogelijkheden zijn: moderne innovatieve technologische hulpmiddelen, die we helaas niet kunnen gebruiken.
Soort les: consolidatie van het bestudeerde materiaal.
Lesdoelen:
- Algemene vorming en didactiek:
- een verscheidenheid aan manieren van mentale activiteit van studenten ontwikkelen;
- het vermogen vormen om zelfstandig problemen op te lossen;
- de wiskundige cultuur van studenten opvoeden;
- het ontwikkelen van de intuïtie van studenten en het vermogen om de opgedane kennis te gebruiken.
- leerdoelen:
- eerder bestudeerde informatie samenvatten over het onderwerp "Grafische oplossing van kwadratische vergelijkingen";
- herhaal het plotten van kwadratische functies;
- de vaardigheden ontwikkelen om algoritmen te gebruiken voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen met een grafische methode.
- Leerzaam:
- interesse wekken in leeractiviteiten, op het gebied van wiskunde;
- vorming van tolerantie (tolerantie), het vermogen om in een team te werken.
TIJDENS DE LESSEN
I. Organisatorisch moment
- Vandaag zullen we in de les de grafische oplossing van kwadratische vergelijkingen op verschillende manieren generaliseren en consolideren.
In de toekomst zullen we deze vaardigheden op de middelbare school nodig hebben in wiskundelessen bij het oplossen van trigonometrische en logaritmische vergelijkingen, het vinden van het gebied van een kromlijnig trapezium, evenals bij natuurkundelessen.
II. Huiswerk nakijken
Laten we analyseren op het bord nr. 23.5 (g).
Los deze vergelijking op met behulp van een parabool en een rechte lijn.
Oplossing:
x 2 + x - 6 = 0
Laten we de vergelijking transformeren: x 2 \u003d 6 - x
Laten we functies introduceren:
y \u003d x 2; kwadratische functie y \u003d 6 - x lineair,
grafiek yavl. parabool, grafiek yavl. Rechtdoor,
We bouwen grafieken van functies in één coördinatensysteem (volgens een sjabloon)
We hebben twee kruispunten.
Beslissing kwadratische vergelijking zijn de abscis van deze punten x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 2.
Antwoord: - 3; 2.
III. Frontaal onderzoek
- Wat is een grafiek? kwadratische functie?
- Kun je me het algoritme vertellen voor het plotten van een grafiek van een kwadratische functie?
- Wat is een kwadratische vergelijking?
- Geef voorbeelden van kwadratische vergelijkingen?
- Schrijf je voorbeeld van een kwadratische vergelijking op het bord Wat zijn de coëfficiënten?
- Wat betekent het om een vergelijking op te lossen?
- Hoeveel manieren ken jij voor het grafisch oplossen van kwadratische vergelijkingen?
- Wat zijn de grafische methoden voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen:
IV. Het materiaal bevestigen
Op het bord beslissen de leerlingen op de eerste, tweede en derde manier.
Klasse beslist als vierde
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Ik zal de kwadratische vergelijking transformeren en het volledige kwadraat van de binomiaal benadrukken:
- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4
We hebben een kwadratische vergelijking:
- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0
Laten we een functie introduceren:
y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4
Kwadratische functie van de vorm y \u003d a (x + L) 2 + m
Grafiek yavl. parabool, takken naar beneden gericht, verschuiving van de hoofdparabool langs de Os-as naar rechts met 3 eenheden, omhoog met 4 eenheden langs de Oy-as, hoekpunt (3; 4).
We bouwen volgens het sjabloon.
De snijpunten van de parabool met de x-as gevonden. Absissen van deze punten yavl. oplossing van deze vergelijking. x=1, x=5.
Laten we eens kijken naar andere grafische oplossingen op het bord. Geef commentaar op uw manier om kwadratische vergelijkingen op te lossen.
1 leerling
Oplossing:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
We introduceren de functie y \u003d - x + 6x - 5, een kwadratische functie, de grafiek is een parabool, de takken zijn naar beneden gericht, de bovenkant
x 0 \u003d - in / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; punt (3; 9)
symmetrieas x = 3
We bouwen volgens de sjabloon
We hebben snijpunten met de Ox-as, de abscis van deze punten is de oplossing van een kwadratische vergelijking. Twee wortels x 1 = 1, x 2 = 5
2 studenten
Oplossing:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Laten we transformeren: - x 2 + 6x \u003d 5
We introduceren de functies: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, lineaire functie, kwadratische functie, grafiek grafiek yavl. regel y || Oh jawel. parabool, takken naar beneden gericht, hoekpunt x 0 \u003d - in / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
symmetrieas x = 3
We bouwen volgens de sjabloon
Heb snijpunten
parabolen en een rechte lijn, hun abscis zijn de oplossing van een kwadratische vergelijking. Twee wortels x 1 = 1, x 2 = 5
Dus dezelfde vergelijking kan op verschillende manieren worden opgelost, en het antwoord zou hetzelfde moeten zijn.
V. Lichamelijke opvoeding
VI. Een probleem met een parameter oplossen
Op welke waarden? R vergelijking x 2 + 6x + 8 = p:
- Heeft geen wortels?
- Heeft één wortel?
Heeft het twee wortels?
Waarin verschilt deze vergelijking van de vorige?
Juist, brief!
We zullen naar deze brief verwijzen als: parameter, R.
Zolang ze je niets vertelt. Maar we zullen doorgaan met het oplossen van verschillende problemen met een parameter.
Vandaag zullen we een kwadratische vergelijking met een parameter oplossen met behulp van een grafische methode met behulp van de derde methode met behulp van een parabool en een rechte lijn evenwijdig aan de x-as.
De student helpt de leraar om op te lossen op het bord.
Waar beginnen we met beslissen?
Laten we de functies instellen:
y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p lineaire functie,
kwadratische functie, de grafiek is een rechte lijn
grafiek yavl. parabool,
takken die naar beneden wijzen
x 0 \u003d - in / 2a,
x 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)
De symmetrie-as x = 3, ik zal geen tabel bouwen, maar ik zal de sjabloon y = x 2 nemen en deze aan de bovenkant van de parabool bevestigen.
De parabool is gebouwd! Nu moeten we een lijn trekken y = p.
Waar moet een lijn worden getrokken? R om twee wortels te krijgen?
Waar moet een lijn worden getrokken? R om één wortel te krijgen?
Waar moet een lijn worden getrokken? R zonder wortels?
– Dus, hoeveel wortels kan onze vergelijking hebben?
Vond je de taak leuk? Bedankt voor de hulp! Niveau 5.
VII. Onafhankelijk werk per opties (5 min.)
y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6
Los de kwadratische vergelijking grafisch op door voor jou te kiezen handige manier. Als iemand de taak eerder voltooit, controleer dan je oplossing op een andere manier. Dit zal onderhevig zijn aan extra punten.
VIII. Les samenvatting
- Wat heb je geleerd in de les van vandaag?
- Vandaag hebben we in de les kwadratische vergelijkingen opgelost met behulp van een grafische methode, met behulp van verschillende oplossingsmethoden, en hebben we een grafische methode overwogen voor het oplossen van een kwadratische vergelijking met een parameter!
- Laten we verder gaan met huiswerk.
IX. Huiswerk
1. Zelfgemaakt testen op pagina 147, uit het probleemboek van Mordkovich voor opties I en II.
2. Op de cirkel lossen we woensdag de V-de methode op (hyperbool en rechte lijn).
X. Literatuur:
1. AG Mordkovich. Algebra-8. Deel 1. Studieboek voor studenten van onderwijsinstellingen. Moskou: Mnemosyne, 2008
2. AG Mordkovich, L.A. Aleksandrova, TN. Mishustin, E.E. Tulchinskaya. Algebra - 8. Deel 2. Takenboek voor studenten van onderwijsinstellingen. Moskou: Mnemosyne, 2008
3. AG Mordkovich. Algebra 7-9. Methodologische gids voor een leraar M.: Mnemosyne, 2004
4. LA. Alexandrova. Algebra-8. Zelfstandig werken voor studenten van onderwijsinstellingen./Ed. AG Mordkovitsj. Moskou: Mnemosyne, 2009
Grafische oplossing van vergelijkingen
Dag, 2009
Invoering
De noodzaak om kwadratische vergelijkingen in de oudheid op te lossen, werd veroorzaakt door de noodzaak om problemen op te lossen met betrekking tot het vinden van gebieden percelen en met grondwerken militaire aard, evenals met de ontwikkeling van astronomie en wiskunde zelf. De Babyloniërs wisten hoe ze kwadratische vergelijkingen voor ongeveer 2000 voor Christus moesten oplossen. De regel voor het oplossen van deze vergelijkingen, vermeld in de Babylonische teksten, valt in wezen samen met moderne, maar het is niet bekend hoe de Babyloniërs tot deze regel kwamen.
Formules voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen in Europa werden voor het eerst uiteengezet in het Book of the Abacus, geschreven in 1202 door de Italiaanse wiskundige Leonardo Fibonacci. Zijn boek droeg niet alleen bij aan de verspreiding van algebraïsche kennis in Italië, maar ook in Duitsland, Frankrijk en andere Europese landen.
Maar algemene regel het oplossen van kwadratische vergelijkingen, met alle mogelijke combinaties van coëfficiënten b en c, werd in Europa pas in 1544 geformuleerd door M. Stiefel.
in 1591 François Viet formules geïntroduceerd voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.
Sommige soorten kwadratische vergelijkingen konden worden opgelost in het oude Babylon.
Diophantus van Alexandrië en Euclides, Al-Khwarizmi en Omar Khayyam loste vergelijkingen op geometrische en grafische manieren op.
In de 7e klas hebben we functies bestudeerd y \u003d C, y=kx, y =kx+ m, y =x 2,y = -x 2, in de 8e klas - y =x, y =|x|, y=bijl2 + bx+ c, y =k/ x. In het leerboek algebra van groep 9 zag ik functies die ik nog niet kende: y=x 3, y=x 4,y=x 2n, y=x- 2n, y= 3√x, (x– a) 2 + (jij -b) 2 = r 2 en anderen. Er zijn regels voor het construeren van grafieken van deze functies. Ik vroeg me af of er andere functies zijn die aan deze regels voldoen.
Het is mijn taak om grafieken van functies te bestuderen en vergelijkingen grafisch op te lossen.
1. Wat zijn de functies?
De grafiek van een functie is de verzameling van alle punten van het coördinatenvlak, waarvan de abscis gelijk is aan de waarden van de argumenten en de ordinaat gelijk is aan de overeenkomstige waarden van de functie.
Lineaire functie gegeven door de vergelijking y=kx+ b, waar k en b- enkele cijfers. De grafiek van deze functie is een rechte lijn.
Inverse proportionele functie y=k/ x, waarbij k ¹ 0. De grafiek van deze functie wordt een hyperbool genoemd.
Functie (x– a) 2 + (j-b) 2 = r2 , waar a, b en r- enkele cijfers. De grafiek van deze functie is een cirkel met straal r gecentreerd in punt A ( a, b).
kwadratische functie ja= bijl2 + bx+ c waar a,b, Met- enkele cijfers en a¹ 0. De grafiek van deze functie is een parabool.
De vergelijking Bij2 (a– x) = x2 (a+ x) . De grafiek van deze vergelijking zal een kromme zijn die een strofoïde wordt genoemd.
/>Vergelijking (x2 + ja2 ) 2 = a(x2 – ja2 ) . De grafiek van deze vergelijking wordt de Bernoulli-lemniscaat genoemd.
De vergelijking. De grafiek van deze vergelijking wordt een asteroïde genoemd.
Kromme (x2 ja2 – 2x)2 =4 a2 (x2 +y2 ) . Deze curve wordt een cardioïde genoemd.
Functies: y=x 3 - kubieke parabool, y=x 4, y = 1/x 2.
2. Het concept van een vergelijking, zijn grafische oplossing
De vergelijking is een uitdrukking die een variabele bevat.
los De vergelijking op- dit betekent het vinden van al zijn wortels, of bewijzen dat ze niet bestaan.
Wortel van de vergelijking is een getal dat, wanneer het in de vergelijking wordt gesubstitueerd, de juiste numerieke gelijkheid oplevert.
Grafische vergelijkingen oplossen stelt u in staat om de exacte of geschatte waarde van de wortels te vinden, stelt u in staat om het aantal wortels van de vergelijking te vinden.
Bij het plotten van grafieken en het oplossen van vergelijkingen worden de eigenschappen van een functie gebruikt, daarom wordt de methode vaak functioneel-grafisch genoemd.
Om de vergelijking op te lossen, "verdelen" we deze in twee delen, introduceren we twee functies, plotten we hun grafieken en vinden we de coördinaten van de snijpunten van de grafieken. De abscis van deze punten zijn de wortels van de vergelijking.
3. Algoritme voor het construeren van een grafiek van een functie
De grafiek van de functie kennen y=f(x) , u kunt functies plotten y=f(x+ m) ,y=f(x)+ ik en y=f(x+ m)+ ik. Al deze grafieken worden verkregen uit de grafiek van de functie y=f(x) met behulp van de parallelle translatietransformatie: on │ m│ schaaleenheden naar rechts of links langs de x-as en aan │ ik│ schaal eenheden omhoog of omlaag langs de as ja.
4. Grafische oplossing van de kwadratische vergelijking
Aan de hand van het voorbeeld van een kwadratische functie zullen we een grafische oplossing van een kwadratische vergelijking overwegen. De grafiek van een kwadratische functie is een parabool.
Wat wisten de oude Grieken over de parabool?
Moderne wiskundige symboliek is ontstaan in de 16e eeuw.
De oude Griekse wiskundigen hadden noch de coördinatenmethode, noch het concept van een functie. De eigenschappen van de parabool werden echter in detail door hen bestudeerd. De inventiviteit van oude wiskundigen is gewoon verbazingwekkend, omdat ze alleen tekeningen en verbale beschrijvingen van afhankelijkheden konden gebruiken.
Meest volledig verkend de parabool, hyperbool en ellips Apollonius van Perga, die leefde in de 3e eeuw voor Christus. Hij gaf ook namen aan deze krommen en gaf aan aan welke voorwaarden de punten die op een bepaalde kromme liggen voldoen (formules waren er immers niet!).
Er is een algoritme voor het construeren van een parabool:
Zoek de coördinaten van het hoekpunt van de parabool A (x0; y0): X=- b/2 a;
y0=aho2+in0+s;
Zoek de symmetrie-as van de parabool (rechte lijn x=x0);
PAGINA-EINDE--
Het samenstellen van een tabel met waarden voor het bouwen van controlepunten;
We construeren de verkregen punten en construeren punten die symmetrisch zijn ten opzichte van de symmetrie-as.
1. Laten we een parabool bouwen volgens het algoritme ja= x2 – 2 x– 3 . Absissen van snijpunten met de as x en zijn de wortels van de kwadratische vergelijking x2 – 2 x– 3 = 0.
Er zijn vijf manieren om deze vergelijking grafisch op te lossen.
2. Laten we de vergelijking opsplitsen in twee functies: ja= x2 en ja= 2 x+ 3
3. Laten we de vergelijking opsplitsen in twee functies: ja= x2 –3 en ja=2 x. De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de snijpunten van de parabool met de lijn.
4. Transformeer de vergelijking x2 – 2 x– 3 = 0 door het volledige vierkant op de functie te selecteren: ja= (x–1) 2 en ja=4. De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de snijpunten van de parabool met de lijn.
5. We delen term voor term beide delen van de vergelijking x2 – 2 x– 3 = 0 op de x, we krijgen x– 2 – 3/ x= 0 Laten we deze vergelijking opsplitsen in twee functies: ja= x– 2, ja= 3/ x. De wortels van de vergelijking zijn de abscis van de snijpunten van de lijn en de hyperbool.
5. Grafische oplossing van graadvergelijkingenn
voorbeeld 1 los De vergelijking op x5 = 3 – 2 x.
ja= x5 , ja= 3 – 2 x.
Antwoorden: x = 1.
Voorbeeld 2 los De vergelijking op 3 √ x= 10 – x.
De wortels van deze vergelijking zijn de abscis van het snijpunt van de grafieken van twee functies: ja= 3 √ x, ja= 10 – x.
Antwoorden: x=8.
Conclusie
Gezien de functiegrafieken: y=bijl2 + bx+ c, y =k/ x, y =x, y =|x|, y=x 3, y=x 4,y= 3√x, Ik heb gemerkt dat al deze grafieken zijn gebouwd volgens de regel van parallelle vertaling ten opzichte van de assen x en ja.
Aan de hand van het voorbeeld van het oplossen van een kwadratische vergelijking kunnen we concluderen dat de grafische methode ook toepasbaar is op vergelijkingen van graad n.
Grafische methoden voor het oplossen van vergelijkingen zijn mooi en begrijpelijk, maar ze geven geen 100% garantie voor het oplossen van een vergelijking. De abscis van de snijpunten van de grafieken kan bij benadering zijn.
In de 9e klas en in de bovenbouw ga ik nog kennis maken met andere functies. Ik ben geïnteresseerd om te weten of die functies voldoen aan de regels van parallelle vertaling bij het plotten van hun grafieken.
Op de volgend jaar Ik zou ook de problemen van de grafische oplossing van stelsels van vergelijkingen en ongelijkheden willen bespreken.
Literatuur
1. Algebra. Groep 7. Deel 1. Leerboek voor onderwijsinstellingen / A.G. Mordkovitsj. Moskou: Mnemosyne, 2007.
2. Algebra. 8e leerjaar. Deel 1. Leerboek voor onderwijsinstellingen / A.G. Mordkovitsj. Moskou: Mnemosyne, 2007.
3. Algebra. Groep 9 Deel 1. Leerboek voor onderwijsinstellingen / A.G. Mordkovitsj. Moskou: Mnemosyne, 2007.
4. Glazer G.I. Geschiedenis van de wiskunde op school. VII-VIII klassen. – M.: Verlichting, 1982.
5. Tijdschrift Wiskunde №5 2009; nr. 8 2007; nr. 23 2008.
6. Grafische oplossing van vergelijkingen Internetsites: Tol WIKI; stimul.biz/nl; wiki.iot.ru/afbeeldingen; berdsk.edu; koppeling 3–6.htm.
In deze videoles is het onderwerp "Functie y \u003d x 2. Grafische oplossing van vergelijkingen. Tijdens deze les kunnen studenten kennis maken met een nieuwe manier om vergelijkingen op te lossen - grafisch, die gebaseerd is op kennis van de eigenschappen van functiegrafieken. De docent laat je zien hoe je de functie y=x 2 grafisch oplost.
Onderwerp:Functie
Les:Functie. Grafische oplossing van vergelijkingen
De grafische oplossing van vergelijkingen is gebaseerd op de kennis van functiegrafieken en hun eigenschappen. We vermelden de functies waarvan we de grafieken kennen:
1), is de grafiek een rechte lijn evenwijdig aan de x-as, die door een punt op de y-as gaat. Beschouw een voorbeeld: y=1:
Bij verschillende waarden we krijgen een familie van rechte lijnen evenwijdig aan de x-as.
2) Directe evenredigheidsfunctie de grafiek van deze functie is een rechte lijn die door de oorsprong gaat. Overweeg een voorbeeld:
We hebben deze grafieken al in eerdere lessen gemaakt, onthoud dat om elke lijn te bouwen, je een punt moet selecteren dat eraan voldoet en de oorsprong als het tweede punt moet nemen.
Denk aan de rol van de coëfficiënt k: naarmate de functie toeneemt, wordt de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as scherp; wanneer de functie afneemt, is de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as stomp. Bovendien is er de volgende relatie tussen twee parameters k van hetzelfde teken: voor positieve k, hoe groter deze is, hoe sneller de functie toeneemt, en voor negatieve neemt de functie sneller af voor grote waarden k modulo.
3) Lineaire functie. Wanneer - krijgen we het snijpunt met de y-as en alle lijnen van deze soort gaan door het punt (0; m). Bovendien, als de functie toeneemt, wordt de hoek tussen de lijn en de positieve richting van de x-as scherp; wanneer de functie afneemt, is de hoek tussen de rechte lijn en de positieve richting van de x-as stomp. En natuurlijk heeft de waarde van k invloed op de veranderingssnelheid van de waarde van de functie.
vier). De grafiek van deze functie is een parabool.
Denk aan voorbeelden.
Voorbeeld 1 - los de vergelijking grafisch op:
We kennen geen functies van dit type, dus we moeten de gegeven vergelijking transformeren om met bekende functies te kunnen werken:
We hebben bekende functies in beide delen van de vergelijking:
Laten we grafieken van functies maken:
Grafieken hebben twee snijpunten: (-1; 1); (2; 4)
Laten we controleren of de oplossing correct is gevonden, vervang de coördinaten in de vergelijking:
Het eerste punt is goed gevonden.
, 
, , , , ,
Het tweede punt is ook correct gevonden.
Dus de oplossingen van de vergelijking zijn en
We gaan op dezelfde manier te werk als in het vorige voorbeeld: we transformeren de gegeven vergelijking naar de functies die ons bekend zijn, plotten hun grafieken, vinden de snijstromen en vanaf hier geven we de oplossingen aan.
We krijgen twee functies:
Laten we grafieken maken:
Deze grafieken hebben geen snijpunten, wat betekent dat de gegeven vergelijking geen oplossingen heeft
Conclusie: in deze les hebben we de ons bekende functies en hun grafieken bekeken, hun eigenschappen onthouden en een grafische manier overwogen om vergelijkingen op te lossen.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 7. 6e editie. M.: Verlichting. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva MV, Fedorova N.E. en anderen Algebra 7 .M .: Onderwijs. 2006
Taak 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al. Algebra 7, nr. 494, blz. 110;
Taak 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. en anderen Algebra 7, nr. 495, item 110;
Taak 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al. Algebra 7, nr. 496, blz. 110;
Laat er een volledige kwadratische vergelijking zijn: A*x2+B*x+C=0, waarbij A, B en C willekeurige getallen zijn, en A niet gelijk is aan nul. Dit is het algemene geval van een kwadratische vergelijking. Er is ook een gereduceerde vorm waarbij A=1. Om elke vergelijking grafisch op te lossen, moet u de term met de hoogste graad naar een ander deel overbrengen en beide delen gelijkstellen aan een variabele.
Daarna blijft A*x2 aan de linkerkant van de vergelijking en B*x-C aan de rechterkant (we kunnen aannemen dat B - een negatief getal, het verandert niets aan de essentie). We krijgen de vergelijking A*x2=B*x-C=y. Voor de duidelijkheid: in dit geval worden beide delen gelijkgesteld aan de variabele y.
Resultaten plotten en verwerken
Nu kunnen we twee vergelijkingen schrijven: y=A*x2 en y=B*x-C. Vervolgens moet u elk van deze functies plotten. De grafiek y=A*x2 is een parabool met een hoekpunt in de oorsprong, waarvan de takken naar boven of naar beneden zijn gericht, afhankelijk van het teken van het getal A. Als het negatief is, zijn de takken naar beneden gericht, als het positief is - omhoog.
De grafiek y=B*x-C is een regelmatige rechte lijn. Als C=0, gaat de lijn door de oorsprong. In het algemeen snijdt het een segment af dat gelijk is aan C. De hellingshoek van deze rechte lijn ten opzichte van de abscis wordt bepaald door de coëfficiënt B. Het is gelijk aan de helling van deze hoek.
Nadat de grafieken zijn gebouwd, zal men zien dat ze elkaar op twee punten snijden. De coördinaten van deze punten langs de abscis bepalen de wortels van de kwadratische vergelijking. Om ze nauwkeurig te bepalen, moet u duidelijke grafieken maken en de juiste schaal kiezen.
Een andere grafische oplossing
Er is nog een andere manier om een kwadratische vergelijking grafisch op te lossen. Het is niet nodig om B*x+C naar de andere kant van de vergelijking te verplaatsen. Je kunt de functie y=A*x2+B*x+C meteen plotten. Zo'n graaf is een parabool met een hoekpunt op een willekeurig punt. Deze methode is ingewikkelder dan de vorige, maar je kunt daarvoor maar één grafiek maken.
Eerst moet je het hoekpunt van de parabool bepalen met de coördinaten x0 en y0. De abscis wordt berekend met de formule x0=-B/2*a. Om de ordinaat te bepalen, moet u de verkregen waarde van de abscis in de oorspronkelijke functie vervangen. Wiskundig is deze verklaring als volgt geschreven: y0=y(x0).
Dan moet je twee punten vinden die symmetrisch zijn met de as van de parabool. Daarin moet de oorspronkelijke functie verdwijnen. Daarna kun je een parabool bouwen. De punten van zijn snijpunt met de X-as geven twee wortels van de kwadratische vergelijking.
Lineair programmeren gebruikt een grafische methode om te bepalen: convexe verzamelingen(oplossing veelvlak). Als het belangrijkste lineaire programmeerprobleem een optimaal plan heeft, dan neemt de doelfunctie een waarde aan op een van de hoekpunten van het beslissingsveelvlak (zie figuur).
Dienstopdracht. Door het gebruiken van deze dienst je kunt het lineaire programmeerprobleem online oplossen met behulp van de geometrische methode, evenals de oplossing van het dubbele probleem (schat het optimale gebruik van middelen). Bovendien wordt een oplossingssjabloon gemaakt in Excel.
Instructie. Selecteer het aantal rijen (aantal limieten).
Als het aantal variabelen meer dan twee is, is het noodzakelijk om het systeem naar SZLP te brengen (zie voorbeeld en voorbeeld nr. 2). Als de beperking dubbel is, bijvoorbeeld 1 ≤ x 1 ≤ 4 , dan wordt deze in tweeën gesplitst: x 1 ≥ 1 , x 1 ≤ 4 (dat wil zeggen, het aantal rijen neemt toe met 1).U kunt met deze service ook een haalbaar oplossingsgebied (DDR) bouwen.
De volgende worden ook gebruikt met deze rekenmachine:
Simplex-methode voor het oplossen van LLP
Oplossing van het transportprobleem
Matrix-speloplossing
Met behulp van de service online kunt u de prijs van een matrixspel bepalen (onder- en bovengrenzen), controleren op een zadelpunt, een oplossing vinden voor een gemengde strategie met behulp van de volgende methoden: minimax, simplex-methode, grafische (geometrische) methode, Browns methode.
Extremum van een functie van twee variabelen
Limiet Berekening
Het oplossen van een lineair programmeerprobleem met een grafische methode omvat de volgende stappen::
- Lijnen zijn gebouwd op het vlak X 1 0X 2.
- Halve vlakken worden gedefinieerd.
- Definieer een beslissingspolygoon;
- Bouw een vector N(c 1 ,c 2), die de richting van de doelfunctie aangeeft;
- Verplaats de directe doelfunctie c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 in de richting van de vector N naar het uiterste punt van de oplossingsveelhoek.
- Bereken de coördinaten van het punt en de waarde van de doelfunctie op dit punt.
Voorbeeld. Het bedrijf produceert twee soorten producten - P1 en P2. Voor de productie van producten worden twee soorten grondstoffen gebruikt - C1 en C2. Groothandelsprijzen eenheid van productie is gelijk aan: 5 c.u. voor P1 en 4 c.u. voor P2. Het verbruik van grondstoffen per productie-eenheid van type P1 en type P2 is weergegeven in de tabel.
Tabel - Verbruik van grondstoffen voor productie
Het is nodig om te bepalen:
Hoeveel producten van elk type moet het bedrijf produceren om de inkomsten uit de verkoop van producten te maximaliseren?
- Formuleren wiskundig model lineaire programmeerproblemen.
- Los een lineair programmeerprobleem grafisch op (voor twee variabelen).
Laten we een wiskundig model formuleren van een lineair programmeerprobleem.
x 1 - productie P1, eenheden.
x 2 - productie van P2-producten, eenheden.
x 1 , x 2 ≥ 0
Resourcelimieten
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
Vraaglimieten
x 1 +1 x 2
x2 ≤ 2
objectieve functie
5x1 + 4x2 → max
Dan krijgen we het volgende LLP:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x 1 , x 2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → max
