Systemen van lineaire ongelijkheden en convexe puntenreeksen. Systemen van lineaire ongelijkheden grafisch oplossen

LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN I

§ 23 Systemen van lineaire ongelijkheden

Een systeem van lineaire ongelijkheden is een verzameling van twee of meer lineaire ongelijkheden die dezelfde onbekende grootheid bevatten.

Voorbeelden van dergelijke systemen zijn de volgende systemen:

Het oplossen van een systeem van ongelijkheden betekent het vinden van alle waarden van de onbekende grootheid waarvoor aan elke ongelijkheid van het systeem is voldaan.

Laten we de bovenstaande systemen oplossen.

Laten we twee getallenlijnen onder elkaar plaatsen (Fig. 31); bovenaan markeren we die waarden X , waarvoor aan de eerste ongelijkheid is voldaan ( X > 1), en onderaan die waarden X , waarvoor aan de tweede ongelijkheid is voldaan ( X > 4).

Als we de resultaten op de getallenlijnen vergelijken, zien we dat aan beide ongelijkheden tegelijkertijd zal worden voldaan X > 4. Antwoord, X > 4.

De eerste ongelijkheid geeft -3 X < -б, или X > 2, en de tweede - X > -8, of X < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения X , waarvoor aan de eerste ongelijkheid van het systeem is voldaan, en op de tweede getallenlijn, gelegen onder de eerste, al die waarden X , waarvoor aan de tweede ongelijkheid van het systeem is voldaan (Fig. 32).

Een vergelijking van deze twee resultaten laat zien dat beide ongelijkheden tegelijkertijd voor alle waarden zullen gelden X , ingesloten van 2 tot en met 8. De verzameling van dergelijke waarden X geschreven als dubbele ongelijkheid 2< X < 8.

Voorbeeld 3. Los het systeem van ongelijkheid op

De eerste ongelijkheid van het systeem geeft 5 X < 10, или X < 2, второе X > 4. Elk getal dat tegelijkertijd aan beide ongelijkheden voldoet, mag dus niet groter zijn dan 2 en niet groter dan 4 (Fig. 33).

Maar zulke aantallen bestaan ​​niet. Daarom geldt dit systeem van ongelijkheid voor geen enkele waarde X . Dergelijke systemen van ongelijkheid worden inconsistent genoemd.

Opdrachten

Los deze systemen van ongelijkheid op (nr. 179 -184):

Ongelijkheden oplossen (nr. 185, 186):

185. (2X + 3) (2 - 2X ) > 0. 186. (2 - π ) (2X - 15) (X + 4) > 0.

Zoek de geldige waarden van de letters in de gelijkheidsgegevens (nr. 187, 188):

Ongelijkheden oplossen (nr. 189, 190):

189. 1 < 2X - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Oh < 5.

191. Wat moet de temperatuur zijn van 10 liter water om het te mengen met 6 liter water met een temperatuur van 15° om water te verkrijgen met een temperatuur van minimaal 30° en maximaal 40°?

192. Eén zijde van de driehoek is 4 cm, en de som van de andere twee is 10 cm. Vind deze zijden als ze in gehele getallen worden uitgedrukt.

193. Het is bekend dat aan het systeem van twee lineaire ongelijkheden niet wordt voldaan voor waarden van de onbekende grootheid. Kunnen we zeggen dat aan de individuele ongelijkheden van dit systeem niet wordt voldaan voor waarden van de onbekende hoeveelheid?

is een verzameling van twee of meer lineaire ongelijkheden die dezelfde onbekende grootheid bevatten

Hier zijn voorbeelden van dergelijke systemen:

Het snijinterval van twee stralen is onze oplossing. Daarom is de oplossing voor deze ongelijkheid alles X gelegen tussen twee en acht.

Antwoord: X

Het gebruik van dit soort mapping om een ​​systeem van ongelijkheden op te lossen wordt ook wel genoemd dak methode.

Definitie: Het snijpunt van twee sets A En IN wordt de derde set genoemd die alle elementen bevat die erin zijn opgenomen A en in IN. Dit is de betekenis van de kruising van verzamelingen van willekeurige aard. We beschouwen numerieke verzamelingen nu in detail. Bij het vinden van lineaire ongelijkheden zijn dergelijke verzamelingen dus stralen: codirectioneel, tegendirectioneel, enzovoort.

Laten we het in het echt ontdekken voorbeelden vinden lineaire systemen ongelijkheden, hoe de snijpunten van reeksen oplossingen voor individuele ongelijkheden in het systeem te bepalen.

Laten we berekenen systeem van ongelijkheid:

Laten we twee krachtlijnen onder elkaar plaatsen. Bovenaan zullen we die waarden plotten X, die aan de eerste ongelijkheid voldoen X>7 , en aan de onderkant - die fungeren als een oplossing voor de tweede ongelijkheid X>10 Laten we de resultaten van de getallenlijnen vergelijken en ontdekken dat aan beide ongelijkheden zal worden voldaan wanneer X>10.

Antwoord: (10;+∞).

We doen het naar analogie van het eerste monster. Op een gegeven getallenas plotten we al die waarden X waarvoor de eerste bestaat systeemongelijkheid en op de tweede numerieke as, gelegen onder de eerste, al deze waarden X, waarvoor aan de tweede ongelijkheid van het systeem is voldaan. Laten we deze twee resultaten vergelijken en vaststellen dat aan beide ongelijkheden gelijktijdig zal worden voldaan voor alle waarden X gelegen tussen 7 en 10, rekening houdend met de borden, krijgen we 7<x≤10

Antwoord: (7; 10].

De volgende problemen worden op een vergelijkbare manier opgelost. systemen van ongelijkheid.

In deze les gaan we systemen van ongelijkheid bestuderen. Eerst zullen we systemen van lineaire ongelijkheden beschouwen. Aan het begin van de les zullen we bekijken waar en waarom systemen van ongelijkheid ontstaan. Vervolgens zullen we bestuderen wat het betekent om een ​​systeem op te lossen, en de vereniging en het snijpunt van verzamelingen onthouden. Aan het einde zullen we specifieke voorbeelden van systemen van lineaire ongelijkheden oplossen.

Onderwerp: Eetpatroonalle ongelijkheden en hun systemen

Les:Voornaamstconcepten, het oplossen van systemen van lineaire ongelijkheden

Tot nu toe hebben we individuele ongelijkheden opgelost en de intervalmethode daarop toegepast; lineaire ongelijkheden, zowel vierkant als rationeel. Laten we nu eerst verder gaan met het oplossen van systemen van ongelijkheid lineaire systemen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld waaruit de noodzaak voortkomt om systemen van ongelijkheid te overwegen.

Zoek het domein van een functie

Zoek het domein van een functie

Er bestaat een functie als beide vierkantswortels bestaan, d.w.z.

Hoe zo’n systeem op te lossen? Het is noodzakelijk om alle x te vinden die aan zowel de eerste als de tweede ongelijkheid voldoen.

Laten we op de os-as de reeks oplossingen voor de eerste en tweede ongelijkheid weergeven.

Het snijinterval van twee stralen is onze oplossing.

Deze methode om een ​​oplossing voor een systeem van ongelijkheden weer te geven, wordt ook wel de dakmethode genoemd.

De oplossing voor het systeem is het snijpunt van twee verzamelingen.

Laten we dit grafisch weergeven. We hebben een verzameling A van willekeurige aard en een verzameling B van willekeurige aard, die elkaar kruisen.

Definitie: Het snijpunt van twee sets A en B is de derde set die bestaat uit alle elementen in zowel A als B.

Laten we aan de hand van specifieke voorbeelden van het oplossen van lineaire systemen van ongelijkheid bekijken hoe we snijpunten van reeksen oplossingen kunnen vinden voor individuele ongelijkheden die in het systeem zijn opgenomen.

Los het systeem van ongelijkheid op:

Antwoord: (7; 10].

4. Los het systeem op

Waar kan de tweede ongelijkheid van het systeem vandaan komen? Bijvoorbeeld door de ongelijkheid

Laten we de oplossingen voor elke ongelijkheid grafisch aanwijzen en het interval van hun snijpunt vinden.

Als we dus een systeem hebben waarin een van de ongelijkheden aan een willekeurige waarde van x voldoet, kan deze worden geëlimineerd.

Antwoord: het systeem is tegenstrijdig.

We onderzochten typische ondersteuningsproblemen waartoe de oplossing van elk lineair systeem van ongelijkheid kan worden herleid.

Beschouw het volgende systeem.

7.

Soms wordt een lineair systeem gegeven door een dubbele ongelijkheid; denk eens aan dit geval.

8.

We keken naar systemen van lineaire ongelijkheden, begrepen waar ze vandaan komen, keken naar de standaardsystemen waartoe alle lineaire systemen kunnen worden gereduceerd, en losten er enkele op.

1. Mordkovich A.G. en anderen. Algebra 9e leerjaar: leerboek. Voor algemeen vormend onderwijs Instellingen.- 4e druk. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. Mordkovich A.G. en anderen Algebra 9e leerjaar: Probleemboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4e druk. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. Makarychev Yu. 9e leerjaar: leerzaam. voor leerlingen van het algemeen vormend onderwijs. instellingen / Yu N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, I.E. Feoktistov. – 7e druk, herz. en extra - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9e leerjaar. 16e druk. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich AG Algebra. 9e leerjaar. In 2 uur Deel 1. Leerboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12e druk, gewist. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. Algebra. 9e leerjaar. In 2 delen Deel 2. Problemenboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs / A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustina en anderen; Ed. A.G. Mordkovich. – 12e druk, herz. - M.: 2010.-223 pag.: ill.

1. Portaal voor natuurwetenschappen ().

2. Elektronisch educatief en methodologisch complex voor het voorbereiden van 10-11 cijfers voor toelatingsexamens in informatica, wiskunde, Russische taal ().

4. Onderwijscentrum “Onderwijstechnologie” ().

5. College.ru-sectie over wiskunde ().

1. Mordkovich A.G. en anderen Algebra 9e leerjaar: Probleemboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, etc. - 4e druk. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. Nr. 53; 54; 56; 57.

Les en presentatie over het onderwerp: "Systemen van ongelijkheid. Voorbeelden van oplossingen"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet uw opmerkingen, beoordelingen en wensen achter te laten! Alle materialen zijn gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Leermiddelen en simulatoren in de Integral online winkel voor groep 9
Interactief leerboek voor graad 9 "Regels en oefeningen in de meetkunde"
Elektronisch leerboek "Begrijpelijke geometrie" voor groep 7-9

Systeem van ongelijkheid

Jongens, jullie hebben lineaire en kwadratische ongelijkheden bestudeerd en geleerd hoe je problemen over deze onderwerpen kunt oplossen. Laten we nu verder gaan met een nieuw concept in de wiskunde: een systeem van ongelijkheden. Een stelsel van ongelijkheden is vergelijkbaar met een stelsel van vergelijkingen. Herinner jij je stelsels van vergelijkingen? Je hebt stelsels vergelijkingen bestudeerd in de zevende klas, probeer je te herinneren hoe je ze hebt opgelost.

Laten we de definitie van een systeem van ongelijkheid introduceren.
Verschillende ongelijkheden met een bepaalde variabele x vormen een systeem van ongelijkheden als je alle waarden van x moet vinden waarvoor elk van de ongelijkheden een correcte numerieke uitdrukking vormt.

Elke waarde van x waarvoor elke ongelijkheid de juiste numerieke uitdrukking aanneemt, is een oplossing voor de ongelijkheid. Kan ook een particuliere oplossing genoemd worden.
Wat is een particuliere oplossing? In het antwoord ontvingen we bijvoorbeeld de uitdrukking x>7. Dan is x=8, of x=123, of elk ander getal groter dan zeven een bepaalde oplossing, en de uitdrukking x>7 is gemeenschappelijk besluit. De algemene oplossing wordt gevormd door veel particuliere oplossingen.

Hoe hebben we het systeem van vergelijkingen gecombineerd? Dat klopt, een accolade, en dus doen ze hetzelfde met ongelijkheden. Laten we eens kijken naar een voorbeeld van een systeem van ongelijkheden: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Als het systeem van ongelijkheden uit identieke uitdrukkingen bestaat, bijvoorbeeld $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Wat betekent het dus: een oplossing vinden voor een systeem van ongelijkheid?
Een oplossing voor een ongelijkheid is een reeks deeloplossingen voor een ongelijkheid die beide ongelijkheden van het systeem tegelijk bevredigen.

We schrijven de algemene vorm van het ongelijkheidssysteem als $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Laten we $Х_1$ aanduiden als de algemene oplossing voor de ongelijkheid f(x)>0.
$X_2$ is de algemene oplossing voor de ongelijkheid g(x)>0.
$X_1$ en $X_2$ zijn een reeks specifieke oplossingen.
De oplossing voor het systeem van ongelijkheden zijn getallen die zowel bij $X_1$ als bij $X_2$ horen.
Laten we de bewerkingen op sets onthouden. Hoe vinden we elementen van een set die tot beide sets tegelijk behoren? Dat klopt, hiervoor bestaat een kruispuntoperatie. De oplossing voor onze ongelijkheid zal dus de verzameling $A= X_1∩ X_2$ zijn.

Voorbeelden van oplossingen voor systemen van ongelijkheid

Laten we eens kijken naar voorbeelden van het oplossen van systemen van ongelijkheid.

Los het systeem van ongelijkheid op.
a) $\begin(gevallen)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(gevallen)2x-4≤6\\-x-4
Oplossing.
a) Los elke ongelijkheid afzonderlijk op.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$ 5x-10
Laten we onze intervallen op één coördinatenlijn markeren.

De oplossing van het systeem zal het snijpunt van onze intervallen zijn. Als de ongelijkheid groot is, zal het segment open zijn.
Antwoord: (1;3).

B) We zullen elke ongelijkheid ook afzonderlijk oplossen.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $ 5.
$-x-4 -5$.


De oplossing van het systeem zal het snijpunt van onze intervallen zijn. De tweede ongelijkheid is strikt, dan is het segment aan de linkerkant open.
Antwoord: (-5; 5].

Laten we samenvatten wat we hebben geleerd.
Laten we zeggen dat het nodig is om het stelsel van ongelijkheden op te lossen: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Het interval ($x_1; x_2$) is dan de oplossing voor de eerste ongelijkheid.
Interval ($y_1; y_2$) is de oplossing voor de tweede ongelijkheid.
De oplossing voor een systeem van ongelijkheid is het snijpunt van de oplossingen voor elke ongelijkheid.

Systemen van ongelijkheid kunnen niet alleen bestaan ​​uit ongelijkheden van de eerste orde, maar ook uit alle andere soorten ongelijkheid.

Belangrijke regels voor het oplossen van systemen van ongelijkheid.
Als een van de ongelijkheden van het systeem geen oplossingen heeft, heeft het hele systeem geen oplossingen.
Als aan een van de ongelijkheden wordt voldaan voor welke waarde van de variabele dan ook, dan zal de oplossing van het systeem de oplossing zijn van de andere ongelijkheid.

Voorbeelden.
Los het stelsel van ongelijkheden op:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Oplossing.
Laten we elke ongelijkheid afzonderlijk oplossen.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Laten we de tweede ongelijkheid oplossen.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

De oplossing voor de ongelijkheid is het interval.
Laten we beide intervallen op dezelfde lijn tekenen en het snijpunt vinden.
Het snijpunt van intervallen is het segment (4; 6).
Antwoord: (4;6].

Los het systeem van ongelijkheid op.
a) $\begin(gevallen)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(gevallen)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(gevallen )$.

Oplossing.
a) De eerste ongelijkheid heeft een oplossing x>1.
Laten we de discriminant voor de tweede ongelijkheid vinden.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Laten we de regel onthouden: als een van de ongelijkheden geen oplossingen heeft, heeft het hele systeem geen oplossingen.
Antwoord: Er zijn geen oplossingen.

B) De eerste ongelijkheid heeft een oplossing x>1.
De tweede ongelijkheid is voor alle x groter dan nul. Dan valt de oplossing van het stelsel samen met de oplossing van de eerste ongelijkheid.
Antwoord: x>1.

Problemen met systemen van ongelijkheid voor onafhankelijke oplossing

Los systemen van ongelijkheid op:
a) $\begin(gevallen)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(gevallen)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(gevallen)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(gevallen)x^2+36

Systeem van ongelijkheid.
voorbeeld 1. Zoek het domein van een uitdrukking
Oplossing. Onder het teken vierkantswortel moet zijn niet-negatief getal, wat betekent dat aan twee ongelijkheden tegelijkertijd moet worden voldaan: In dergelijke gevallen zeggen ze dat het probleem beperkt blijft tot het oplossen van een systeem van ongelijkheid

Maar met dit wiskundig model(systeem van ongelijkheid) hebben we nog niet ontmoet. Dit betekent dat we de oplossing van het voorbeeld nog niet kunnen voltooien.

De ongelijkheden die een systeem vormen, worden gecombineerd met een accolade (hetzelfde geldt voor stelsels van vergelijkingen). Opnemen bijvoorbeeld

betekent dat de ongelijkheden 2x - 1 > 3 en 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Soms wordt een systeem van ongelijkheden geschreven in de vorm van een dubbele ongelijkheid. Bijvoorbeeld een systeem van ongelijkheid

kan worden geschreven als een dubbele ongelijkheid 3<2х-1<11.

In de algebracursus van het 9e leerjaar beschouwen we alleen systemen van twee ongelijkheden.

Denk eens aan het systeem van ongelijkheid

U kunt verschillende specifieke oplossingen selecteren, bijvoorbeeld x = 3, x = 4, x = 3,5. Voor x = 3 heeft de eerste ongelijkheid in feite de vorm 5 > 3, en de tweede de vorm 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Tegelijkertijd is de waarde x = 5 geen oplossing voor het systeem van ongelijkheid. Wanneer x = 5, heeft de eerste ongelijkheid de vorm 9 > 3 - een correcte numerieke ongelijkheid, en de tweede heeft de vorm 13< 11- неверное числовое неравенство .
Het oplossen van een systeem van ongelijkheid betekent het vinden van al zijn specifieke oplossingen. Het is duidelijk dat het hierboven gedemonstreerde gissen geen methode is om een ​​systeem van ongelijkheid op te lossen. In het volgende voorbeeld laten we zien hoe mensen gewoonlijk redeneren bij het oplossen van een systeem van ongelijkheid.

Voorbeeld 3. Los het systeem van ongelijkheid op:

Oplossing.

A) Als we de eerste ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we 2x > 4, x > 2; Als we de tweede ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
B) Als we de eerste ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we x > 2; het oplossen van de tweede ongelijkheid van het systeem, vinden we Laten we deze intervallen op één coördinatenlijn markeren, met behulp van de bovenste arcering voor het eerste interval en de onderste arcering voor het tweede (Fig. 23). De oplossing voor het systeem van ongelijkheid zal het snijpunt zijn van de oplossingen voor de ongelijkheid van het systeem, d.w.z. het interval waar beide arceringen samenvallen. In het beschouwde voorbeeld verkrijgen we een balk

V) Als we de eerste ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Laten we de redenering in het beschouwde voorbeeld generaliseren. Stel dat we het systeem van ongelijkheid moeten oplossen

Laat bijvoorbeeld het interval (a, b) een oplossing zijn voor de ongelijkheid fx 2 > g(x), en het interval (c, d) een oplossing voor de ongelijkheid f 2 (x) > s 2 (x ). Laten we deze intervallen op één coördinatenlijn markeren, met behulp van de bovenste arcering voor het eerste interval en de onderste arcering voor het tweede (Fig. 25). De oplossing voor een systeem van ongelijkheid is de kruising van oplossingen voor de ongelijkheid van het systeem. het interval waar beide arceringen samenvallen. In afb. 25 is het interval (c, b).

Nu kunnen we gemakkelijk het systeem van ongelijkheden oplossen dat we hierboven in voorbeeld 1 hebben verkregen:

Als we de eerste ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we x > 2; Als we de tweede ongelijkheid van het systeem oplossen, vinden we x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Natuurlijk hoeft het systeem van ongelijkheid niet noodzakelijkerwijs uit lineaire ongelijkheden te bestaan, zoals tot nu toe het geval is geweest; Elke rationele (en niet alleen rationele) ongelijkheid kan voorkomen. Technisch gezien is het werken met een systeem van rationele niet-lineaire ongelijkheden natuurlijk ingewikkelder, maar er is hier niets fundamenteel nieuws (vergeleken met systemen van lineaire ongelijkheden).

Voorbeeld 4. Los het systeem van ongelijkheid op

Oplossing.

1) Los de ongelijkheid op die we hebben
Laten we de punten -3 en 3 op de getallenlijn markeren (Fig. 27). Ze verdelen de lijn in drie intervallen, en op elk interval behoudt de uitdrukking p(x) = (x- 3)(x + 3) een constant teken - deze tekens worden aangegeven in Fig. 27. We zijn geïnteresseerd in de intervallen waarop de ongelijkheid p(x) > 0 geldt (ze zijn gearceerd in figuur 27), en de punten waarop de gelijkheid p(x) = 0 geldt, d.w.z. punten x = -3, x = 3 (ze zijn in figuur 2 7 gemarkeerd met donkere cirkels). Zo is in afb. Figuur 27 presenteert een geometrisch model voor het oplossen van de eerste ongelijkheid.

2) Los de ongelijkheid op die we hebben
Laten we de punten 0 en 5 op de getallenlijn markeren (Fig. 28). Ze verdelen de lijn in drie intervallen, en op elk interval de uitdrukking<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (gearceerd in figuur 28), en de punten waarop aan de gelijkheid g (x) - O is voldaan, d.w.z. punten x = 0, x = 5 (ze zijn in figuur 28 gemarkeerd met donkere cirkels). Zo is in afb. Figuur 28 presenteert een geometrisch model voor het oplossen van de tweede ongelijkheid van het systeem.

3) Laten we de gevonden oplossingen voor de eerste en tweede ongelijkheid van het systeem op dezelfde coördinatenlijn markeren, waarbij we de bovenste arcering gebruiken voor oplossingen voor de eerste ongelijkheid, en de onderste arcering voor oplossingen voor de tweede (Fig. 29). De oplossing voor het systeem van ongelijkheid zal het snijpunt zijn van de oplossingen voor de ongelijkheid van het systeem, d.w.z. het interval waar beide arceringen samenvallen. Zo'n interval is een segment.

Voorbeeld 5. Los het systeem van ongelijkheid op:

Oplossing:

A) Uit de eerste ongelijkheid vinden we x >2. Laten we eens kijken naar de tweede ongelijkheid. De vierkante trinominaal x 2 + x + 2 heeft geen echte wortels en de leidende coëfficiënt (de coëfficiënt van x 2) is positief. Dit betekent dat voor alle x de ongelijkheid x 2 + x + 2>0 geldt, en daarom heeft de tweede ongelijkheid van het systeem geen oplossingen. Wat betekent dit voor het systeem van ongelijkheid? Dit betekent dat het systeem geen oplossingen heeft.

B) Vanaf de eerste ongelijkheid vinden we x > 2, en aan de tweede ongelijkheid wordt voldaan voor alle waarden van x. Wat betekent dit voor het systeem van ongelijkheid? Dit betekent dat de oplossing de vorm x>2 heeft, d.w.z. valt samen met de oplossing van de eerste ongelijkheid.

Antwoord:

a) geen oplossingen; B) x >2.

Dit voorbeeld is een illustratie van het volgende

1. Als in een systeem van meerdere ongelijkheden met één variabele één ongelijkheid geen oplossingen heeft, dan heeft het systeem geen oplossingen.

2. Als in een systeem van twee ongelijkheden met één variabele aan één ongelijkheid wordt voldaan voor alle waarden van de variabele, dan is de oplossing voor het systeem de oplossing voor de tweede ongelijkheid van het systeem.

Laten we ter afsluiting van dit gedeelte terugkeren naar het probleem over het beoogde aantal dat aan het begin is gegeven en het oplossen, zoals ze zeggen, volgens alle regels.

Voorbeeld 2(zie pagina 29). Bedoeld natuurlijk nummer. Het is bekend dat als je 13 optelt bij het kwadraat van het beoogde getal, de som groter zal zijn dan het product van het beoogde getal en het getal 14. Als je 45 optelt bij het kwadraat van het beoogde getal, dan zal de som kleiner zijn dan het product van het beoogde getal en het getal 18. Welk getal is bedoeld?

Oplossing.

Eerste fase. Opstellen van een wiskundig model.
Het beoogde getal x moet, zoals we hierboven zagen, voldoen aan het systeem van ongelijkheid

Tweede fase. Werken met het gecompileerde wiskundige model Laten we de eerste ongelijkheid van het systeem naar de vorm transformeren
x2- 14x+ 13 > 0.

Laten we de wortels van de trinominale x 2 - 14x + 13 vinden: x 2 = 1, x 2 = 13. Met behulp van de parabool y = x 2 - 14x + 13 (Fig. 30) concluderen we dat de ongelijkheid waarin we geïnteresseerd zijn tevreden bij x< 1 или x > 13.

Laten we de tweede ongelijkheid van het systeem transformeren naar de vorm x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.