Bằng cấp có số mũ tự nhiên là gì (V.A. Tarasov)

Video hướng dẫn 2: độ c chỉ số tự nhiên và tính chất của nó

Bài học:

Bằng cấp với chỉ số tự nhiên

Dưới bằng cấp một số số "MỘT" với một số chỉ số "N" hiểu tích của một số "MỘT" riêng của nó "N" một lần.

Khi chúng ta nói về độ với số mũ tự nhiên, điều đó có nghĩa là số đó "N" phải là số nguyên và không âm.

MỘT- cơ số của bậc, biểu thị số nào cần được nhân với chính nó,

N- số mũ - nó cho biết cơ số cần được nhân với chính nó bao nhiêu lần.

Ví dụ:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Trong trường hợp này, cơ số của bậc được hiểu là số “8”, số mũ của bậc là số “4”, giá trị của bậc là số “4096”.

Sai lầm lớn nhất và phổ biến nhất khi tính độ là nhân số mũ với cơ số - ĐIỀU NÀY KHÔNG ĐÚNG!

Khi Chúng ta đang nói về về một mức độ có số mũ tự nhiên, nghĩa là chỉ có số mũ (N) phải là số tự nhiên.

Bạn có thể lấy bất kỳ số nào trên trục số làm cơ số.

Ví dụ,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Phép toán được thực hiện trên cơ số và số mũ được gọi là lũy thừa.

Phép cộng\trừ là một phép toán của giai đoạn đầu tiên, phép nhân\chia là một hành động của giai đoạn thứ hai, nâng lũy ​​thừa là một phép toán của giai đoạn thứ ba, tức là một trong những phép toán cao nhất.

Hệ thống phân cấp của các phép toán này xác định thứ tự trong phép tính. Nếu hành động này xảy ra trong các nhiệm vụ trong số hai nhiệm vụ trước đó thì nó sẽ được thực hiện trước.

Ví dụ:

15 + 6 *2 2 = 39

TRONG trong ví dụ này trước tiên bạn phải tăng lũy ​​thừa 2, tức là

sau đó nhân kết quả với 6, tức là

Mức độ với số mũ tự nhiên không chỉ được sử dụng cho các phép tính cụ thể mà còn để dễ ghi lại số lượng lớn. Trong trường hợp này, khái niệm này cũng được sử dụng "dạng chuẩn của số". Ký hiệu này liên quan đến việc nhân một số nhất định từ 1 đến 9 với lũy thừa bằng 10 với một số mũ nào đó.

Ví dụ, để ghi bán kính Trái đất ở dạng chuẩn, hãy sử dụng ký hiệu sau:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

và khối lượng của Trái đất chẳng hạn được viết như sau:

Tính chất của bằng cấp

Để thuận tiện cho việc giải các ví dụ bằng độ, bạn cần biết các tính chất cơ bản của chúng:

1. Nếu bạn cần nhân hai lũy thừa có cùng cơ số thì trong trường hợp này cơ số phải được giữ nguyên và cộng các số mũ.

một n * một m = một n+m

Ví dụ:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Nếu cần chia hai độ có cùng cơ số thì trong trường hợp này phải giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ. Xin lưu ý rằng đối với các phép tính có lũy thừa với số mũ tự nhiên, số mũ của số bị chia phải lớn hơn số mũ của số chia. Nếu không, thương của hành động này sẽ là một số có số mũ âm.

a n / a m = a n-m

Ví dụ,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Nếu cần nâng lũy ​​thừa này lên lũy thừa khác, thì số đó vẫn là cơ số của kết quả và số mũ được nhân lên.

(a n) m = a n*m

Ví dụ,

4. Nếu cần nâng tích của các số tùy ý lên một lũy thừa nhất định thì bạn có thể sử dụng một luật phân phối nhất định, theo đó chúng ta thu được sản phẩm nhiều lý do khác nhau với cùng mức độ.

(a * b) m = a m * b m

Ví dụ,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Nói cách khác, một tính chất tương tự có thể được sử dụng để phân chia lũy thừa, nâng gấp đôi thông thường lên lũy thừa.

(a/b) m = a m/b tôi

6. Bất kỳ số nào được nâng lên số mũ bằng một đều bằng số ban đầu.

một 1 = một

Ví dụ,

7. Khi nâng bất kỳ số nào lên lũy thừa có số mũ bằng 0, kết quả của phép tính này sẽ luôn là một.

và 0 = 1

Ví dụ,

>>Toán học: Thế nào là bậc có số mũ tự nhiên

Bằng cấp với số mũ tự nhiên là gì?

A. V. Pogorelov, Hình học lớp 7-11, Sách giáo khoa cho các cơ sở giáo dục

Nội dung bài học ghi chú bài học hỗ trợ phương pháp tăng tốc trình bày bài học khung công nghệ tương tác Luyện tập nhiệm vụ và bài tập tự kiểm tra hội thảo, đào tạo, tình huống, nhiệm vụ bài tập về nhà thảo luận câu hỏi câu hỏi tu từ của học sinh Minh họa âm thanh, video clip và đa phương tiện hình ảnh, hình ảnh, đồ họa, bảng biểu, sơ đồ, hài hước, giai thoại, truyện cười, truyện tranh, ngụ ngôn, câu nói, ô chữ, trích dẫn Tiện ích bổ sung tóm tắt bài viết thủ thuật cho trẻ tò mò sách giáo khoa từ điển cơ bản và bổ sung các thuật ngữ khác Cải thiện sách giáo khoa và bài họcsửa lỗi trong sách giáo khoa cập nhật một đoạn trong sách giáo khoa, những yếu tố đổi mới trong bài, thay thế kiến ​​thức cũ bằng kiến ​​thức mới Chỉ dành cho giáo viên bài học hoàn hảo kế hoạch lịch trong năm hướng dẫn chương trình thảo luận Bài học tích hợp

Công thức dưới đây sẽ là định nghĩa độ với số mũ tự nhiên(a là cơ số lũy thừa và thừa số lặp, n là số mũ, biểu thị số lần lặp của thừa số đó):

Biểu thức này có nghĩa là lũy thừa của một số a với số mũ tự nhiên n là tích của n thừa số, mặc dù thực tế là mỗi thừa số đều bằng a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - bằng cấp cơ sở,

5 - số mũ,

1419857 - giá trị độ.

Một lũy thừa có số mũ bằng 0 bằng 1, với điều kiện a\neq 0:

a^0=1 .

Ví dụ: 2^0=1

Khi nào nên viết ra con số lớn quyền hạn của 10 thường được sử dụng.

Ví dụ, một trong những loài khủng long cổ xưa nhất trên Trái đất sống cách đây khoảng 280 triệu năm. Tuổi của ông được viết như sau: 2,8 \cdot 10^8 .

Mọi số lớn hơn 10 đều có thể được viết dưới dạng \cdot 10^n , với điều kiện là 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют chế độ xem chuẩn con số.

Ví dụ về những con số như vậy: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Bạn có thể nói cả “a lũy thừa thứ n” và “sức mạnh thứ n của số a” và “a lũy thừa thứ n”.

4^5 - “bốn lũy thừa 5” hoặc “4 lũy thừa năm” hoặc bạn cũng có thể nói “lũy thừa năm của 4”

Trong ví dụ này, 4 là cơ số và 5 là số mũ.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một ví dụ với phân số và số âm. Để tránh nhầm lẫn, người ta thường viết các cơ số không phải số tự nhiên trong ngoặc đơn:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4, v.v.

Cũng lưu ý sự khác biệt:

(-5)^6 - nghĩa là độ số âm−5 với số mũ tự nhiên là 6.

5^6 - tương ứng với số đối diện 5^6.

Tính chất của độ với số mũ tự nhiên

Thuộc tính cơ bản của mức độ

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Cơ số vẫn giữ nguyên nhưng số mũ được thêm vào.

Ví dụ: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Tính chất các lũy thừa thương có cùng cơ số

a^n: a^k=a^(n-k), nếu n > k .

Số mũ bị trừ đi nhưng cơ số vẫn giữ nguyên.

Hạn chế n > k này được đưa ra để không vượt quá số mũ tự nhiên. Thật vậy, với n > k số mũ a^(n-k) sẽ là số tự nhiên, nếu không nó sẽ là số âm (k< n ), либо нулем (k-n ).

Ví dụ: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Thuộc tính nâng quyền lực lên quyền lực

(a^n)^k=a^(nk)

Cơ số vẫn giữ nguyên, chỉ nhân số mũ.

Ví dụ: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Tính chất lũy thừa của tích

Mỗi thừa số được nâng lên lũy thừa n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Ví dụ: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Tính chất lũy thừa của một phân số

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

Cả tử số và mẫu số của một phân số đều được lũy thừa. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu nó là gì mức độ. Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra các định nghĩa về lũy thừa của một số, đồng thời chúng tôi sẽ xem xét chi tiết tất cả các số mũ có thể có, bắt đầu bằng số mũ tự nhiên và kết thúc bằng số vô tỷ. Trong tài liệu, bạn sẽ tìm thấy rất nhiều ví dụ về độ, bao gồm tất cả những điều tinh tế nảy sinh.

Điều hướng trang.

lũy thừa với số mũ tự nhiên, bình phương của một số, lập phương của một số

Hãy bắt đầu với . Nhìn về phía trước, giả sử rằng định nghĩa lũy thừa của một số a với số mũ tự nhiên n được đưa ra cho a, mà chúng ta sẽ gọi là cơ sở bằng cấp, và n, mà chúng ta sẽ gọi số mũ. Chúng tôi cũng lưu ý rằng độ với số mũ tự nhiên được xác định thông qua tích số, vì vậy để hiểu tài liệu bên dưới, bạn cần hiểu biết về phép nhân số.

Sự định nghĩa.

lũy thừa của một số với số mũ tự nhiên n là một biểu thức có dạng an n, giá trị của nó bằng tích của n thừa số, mỗi thừa số bằng a, tức là .
Cụ thể, lũy thừa của một số a có số mũ 1 chính là số a đó, tức là a 1 = a.

Điều đáng nói ngay về các quy định về trình độ đọc. Phương pháp phổ quátđọc mục an n là: “a lũy thừa n”. Trong một số trường hợp, các tùy chọn sau cũng có thể được chấp nhận: “a lũy thừa thứ n” và “sức mạnh thứ n của a”. Ví dụ: hãy lấy lũy thừa 8 12, đây là “tám lũy thừa mười hai”, hoặc “tám lũy thừa mười hai”, hoặc “lũy thừa mười hai của tám”.

Sức mạnh thứ hai của một số, cũng như sức mạnh thứ ba của một số, đều có tên riêng. Sức mạnh thứ hai của một số được gọi là bình phương số, ví dụ: 7 2 được đọc là “bảy bình phương” hoặc “bình phương của số bảy”. Sức mạnh thứ ba của một số được gọi là số lập phương, ví dụ: 5 3 có thể được đọc là “năm lập phương” hoặc bạn có thể nói “khối lập phương của số 5”.

Đã đến lúc mang theo ví dụ về độ với số mũ tự nhiên. Hãy bắt đầu với độ 5 7, ở đây 5 là cơ số và 7 là số mũ. Hãy đưa ra một ví dụ khác: 4,32 là cơ số và số tự nhiên 9 – số mũ (4.32) 9 .

Xin lưu ý rằng trong ví dụ trước, cơ số lũy thừa 4.32 được viết trong ngoặc đơn: để tránh sai lệch, chúng ta sẽ đặt trong ngoặc đơn tất cả các cơ số của lũy thừa khác với số tự nhiên. Ví dụ: chúng tôi đưa ra các mức độ sau với số mũ tự nhiên , các cơ số của chúng không phải là số tự nhiên nên được viết trong ngoặc đơn. Vâng, để hoàn toàn rõ ràng, tại thời điểm này chúng ta sẽ chỉ ra sự khác biệt có trong các bản ghi có dạng (−2) 3 và −2 3. Biểu thức (−2) 3 là lũy thừa của −2 với số mũ tự nhiên là 3 và biểu thức −2 3 (có thể viết là −(2 3) ) tương ứng với số, giá trị của lũy thừa 2 3 .

Lưu ý rằng có một ký hiệu cho lũy thừa của một số a với số mũ n có dạng a^n. Hơn nữa, nếu n là số tự nhiên có nhiều giá trị thì số mũ được lấy trong ngoặc. Ví dụ, 4^9 là một ký hiệu khác cho lũy thừa của 4 9 . Và đây là một số ví dụ khác về cách viết độ bằng ký hiệu “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chủ yếu sử dụng ký hiệu bậc có dạng an .

Một trong những vấn đề ngược lại với việc nâng lũy ​​thừa với số mũ tự nhiên là vấn đề tìm cơ số của lũy thừa từ một giá trị đã biết của lũy thừa và số mũ đã biết. Nhiệm vụ này dẫn đến .

Được biết, nhiều số hữu tỉ bao gồm các số nguyên và phân số, và mỗi số phân số có thể được biểu diễn dưới dạng dương hoặc âm phân số chung. Chúng ta đã định nghĩa một độ với số mũ nguyên trong đoạn trước, do đó, để hoàn thành định nghĩa về một độ với số mũ hữu tỉ, chúng ta cần đưa ra ý nghĩa cho độ của số a với số mũ phân số m/n, trong đó m là số nguyên và n là số tự nhiên. Hãy làm nó.

Hãy xem xét một mức độ với số mũ phân số có dạng . Để đặc tính quyền lực vẫn có hiệu lực, sự bình đẳng phải được giữ nguyên . Nếu chúng ta tính đến đẳng thức thu được và cách chúng ta xác định , thì sẽ hợp lý khi chấp nhận nó với điều kiện là với m, n và a biểu thức đã cho có ý nghĩa.

Có thể dễ dàng kiểm tra xem tất cả các thuộc tính của một độ có số mũ nguyên đều hợp lệ (điều này được thực hiện trong phần thuộc tính của một độ có số mũ hữu tỷ).

Suy luận trên cho phép chúng ta đưa ra nhận xét sau Phần kết luận: nếu cho m, n và biểu thức a có ý nghĩa, thì lũy thừa của a với số mũ phân số m/n được gọi là căn bậc n của a lũy thừa của m.

Tuyên bố này đưa chúng ta đến gần hơn với định nghĩa về mức độ với số mũ phân số. Tất cả những gì còn lại là mô tả ý nghĩa của m, n và a. Tùy thuộc vào các hạn chế đặt trên m, n và a, có hai cách tiếp cận chính.

Cách dễ nhất là áp đặt một ràng buộc lên a bằng cách lấy a ≥0 đối với m dương và a>0 đối với m âm (vì đối với m<0, độ 0 của m không được xác định). Sau đó, chúng ta nhận được định nghĩa sau đây về mức độ với số mũ phân số.

Sự định nghĩa.

lũy thừa của số dương a với số mũ phân số m/n, trong đó m là số nguyên và n là số tự nhiên, được gọi là căn bậc n của số a lũy thừa m, nghĩa là .

lũy thừa phân số của 0 cũng được xác định với lưu ý duy nhất là chỉ báo phải dương.

Sự định nghĩa.

lũy thừa của số 0 với số mũ dương phân số m/n, trong đó m là số nguyên dương và n là số tự nhiên, được định nghĩa là .
Khi chưa xác định được bậc, tức là bậc của số 0 với số mũ âm phân số không có ý nghĩa.

Cần lưu ý rằng với định nghĩa về độ có số mũ phân số này, có một lưu ý: đối với một số a âm và một số m và n, biểu thức có ý nghĩa và chúng tôi đã loại bỏ những trường hợp này bằng cách đưa ra điều kiện a ≥0. Ví dụ: các mục có ý nghĩa hoặc , và định nghĩa nêu trên buộc chúng ta phải nói rằng lũy ​​thừa có số mũ phân số có dạng không có ý nghĩa, vì cơ số không được âm.

Một cách tiếp cận khác để xác định bậc với số mũ phân số m/n là xem xét riêng biệt số mũ chẵn và số lẻ của nghiệm. Cách tiếp cận này yêu cầu một điều kiện bổ sung: lũy thừa của số a, số mũ của nó là , được coi là lũy thừa của số a, số mũ của số đó là phân số tối giản tương ứng (chúng tôi sẽ giải thích tầm quan trọng của điều kiện này dưới đây ). Nghĩa là, nếu m/n là một phân số tối giản thì với mọi số tự nhiên k bậc đầu tiên được thay thế bằng .

Đối với n chẵn và m dương, biểu thức có ý nghĩa đối với mọi a không âm (căn chẵn của số âm không có ý nghĩa); đối với m âm, số a vẫn phải khác 0 (nếu không sẽ có phép chia bằng 0). Và với n lẻ và m dương, số a có thể là bất kỳ (căn gốc mức độ lẻđược xác định cho bất kỳ số thực nào) và với m âm thì số a phải khác 0 (sao cho không có phép chia cho 0).

Lý do trên dẫn chúng ta đến định nghĩa về mức độ có số mũ phân số.

Sự định nghĩa.

Cho m/n là phân số tối giản, m là số nguyên và n là số tự nhiên. Đối với bất kỳ phân số có thể rút gọn nào, độ được thay thế bằng . lũy thừa của một số có số mũ phân số tối giản m/n là



Hãy để chúng tôi giải thích tại sao một bậc có số mũ phân số rút gọn trước tiên được thay thế bằng một bậc có số mũ tối giản. Nếu chúng ta định nghĩa đơn giản mức độ là , và không bảo lưu về tính tối giản của phân số m/n, thì chúng ta sẽ gặp phải các tình huống tương tự như sau: vì 6/10 = 3/5, nên đẳng thức phải đúng , Nhưng , MỘT .

TÔI. Công việc N các yếu tố, mỗi yếu tố đều bằng nhau MỘT gọi điện N- sức mạnh thứ của số MỘT và được chỉ định MỘTN.

Ví dụ. Viết sản phẩm dưới dạng bằng cấp.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.

Giải pháp.

1) mmmm=m 4, vì, theo định nghĩa về mức độ, tích của bốn thừa số, mỗi thừa số đều bằng nhau tôi, sẽ lũy thừa thứ tư của m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.

II. Hoạt động tìm tích của nhiều thừa số bằng nhau được gọi là phép lũy thừa. Số được nâng lên lũy thừa được gọi là cơ số lũy thừa. Số biểu thị lũy thừa của cơ số được nâng lên được gọi là số mũ. Vì thế, MỘTN- bằng cấp, MỘT- cơ sở của bằng cấp, N– số mũ. Ví dụ:

2 3 — đó là một bằng cấp. Con số 2 là cơ số của bậc, số mũ bằng 3 . Giá trị độ 2 3 bằng 8, bởi vì 2 3 =2·2·2=8.

Ví dụ. Viết các biểu thức sau không có số mũ.

5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .

Giải pháp.

5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. và 0 = 1 Bất kỳ số nào (trừ số 0) có lũy thừa bằng 0 đều bằng một. Ví dụ: 25 0 = 1.
IV. một 1 = mộtBất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó.

V. là∙ MỘT= là + N Khi nhân các lũy thừa cùng cơ số thì cơ số giữ nguyên, số mũ gấp lại

Ví dụ. Đơn giản hóa:

9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .

Giải pháp.

9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .

VI. là: MỘT= là - NKhi chia các lũy thừa có cùng cơ số thì cơ số được giữ nguyên và số mũ của số chia được trừ vào số mũ của số bị chia.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

12) a 8:a 3 ; 13)m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .

12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) phút 11: phút 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.

VII. (là) N= một phút Khi nâng lũy ​​thừa lên lũy thừa, cơ số được giữ nguyên và số mũ được nhân lên.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.

ghi chú, mà vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số, Cái đó:

15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .

V.TÔI II. (a∙b) n =a n ∙b n Khi nâng một sản phẩm lên một sức mạnh nào đó thì mỗi yếu tố đều được nâng lên sức mạnh đó.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 5 6 ; 19) 0,25 2 40 2.

Giải pháp.

17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;

19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.

IX. Khi nâng một phân số lên lũy thừa thì cả tử số và mẫu số của phân số đó đều được nâng lên lũy thừa đó.

Ví dụ. Đơn giản hóa:

Giải pháp.

Trang 1 trên 1 1