Sức mạnh số: định nghĩa, chỉ định, ví dụ. Video bài học “Bậc có số mũ tự nhiên là gì
Sau khi lũy thừa của một số đã được xác định, sẽ hợp lý khi nói về tính chất độ. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đưa ra các tính chất cơ bản của lũy thừa của một số, đồng thời đề cập đến tất cả các số mũ có thể có. Ở đây chúng tôi sẽ cung cấp bằng chứng về tất cả các tính chất của mức độ, đồng thời chỉ ra cách sử dụng các tính chất này khi giải các ví dụ.
Điều hướng trang.
Tính chất của độ với số mũ tự nhiên
Theo định nghĩa của lũy thừa có số mũ tự nhiên, lũy thừa an n là tích của n thừa số, mỗi thừa số bằng a. Dựa trên định nghĩa này và cũng sử dụng tính chất của phép nhân số thực, chúng ta có thể có được và chứng minh những điều sau đây tính chất bậc c chỉ số tự nhiên :
- tính chất chính của bậc a m ·a n =a m+n, tính tổng quát của nó;
- tính chất thương số có cơ số giống nhau a m:a n =a m−n ;
- thuộc tính sức mạnh của sản phẩm (a·b) n =a n ·b n , phần mở rộng của nó;
- tính chất của thương bậc tự nhiên (a:b) n =a n:b n ;
- nâng độ lên lũy thừa (a m) n =a m·n, khái quát hóa của nó (((an 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- so sánh mức độ với số 0:
- nếu a>0 thì a n>0 với mọi số tự nhiên n;
- nếu a=0 thì a n = 0;
- nếu một<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 nếu một<0 и показатель степени есть số lẻ 2 m−1 , rồi a 2 m−1<0 ;
- nếu a và b là số dương và a
- nếu m và n là các số tự nhiên sao cho m>n thì tại 0
- nếu m và n là các số tự nhiên sao cho m>n thì tại 0
Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng tất cả các đẳng thức được viết là giống hệt nhau tùy thuộc vào các điều kiện quy định, cả phần bên phải và bên trái của chúng đều có thể được hoán đổi. Ví dụ, tính chất chính của phân số a m ·a n =a m+n với đơn giản hóa biểu thức thường được dùng ở dạng a m+n =a m ·a n .
Bây giờ chúng ta hãy xem xét từng chi tiết.
Hãy bắt đầu với tính chất tích của hai lũy thừa có cùng cơ số, được gọi là tài sản chính của bằng cấp: với mọi số thực a và mọi số tự nhiên m và n, đẳng thức a m ·a n =a m+n đều đúng.
Hãy để chúng tôi chứng minh tài sản chính của mức độ. Theo định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên, tích của các lũy thừa có cùng cơ số dạng a m · a n có thể được viết dưới dạng tích. Do tính chất của phép nhân, biểu thức thu được có thể được viết là 
, và tích này là lũy thừa của số a với số mũ tự nhiên m+n, tức là a m+n. Điều này hoàn thành việc chứng minh.
Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ xác nhận tính chất chính của bằng cấp. Hãy lấy độ có cùng cơ số 2 và lũy thừa tự nhiên 2 và 3, sử dụng tính chất cơ bản của độ chúng ta có thể viết đẳng thức 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Hãy kiểm tra tính hợp lệ của nó bằng cách tính giá trị của các biểu thức 2 2 · 2 3 và 2 5 . Thực hiện lũy thừa, ta có 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 và 2 5 =2·2·2·2·2=32, vì thu được các giá trị bằng nhau nên đẳng thức 2 2 ·2 3 =2 5 là đúng và nó khẳng định tính chất chính của bậc.
Tính chất cơ bản của một bậc, dựa trên tính chất của phép nhân, có thể được khái quát hóa thành tích của ba lũy thừa trở lên có cùng cơ số và số mũ tự nhiên. Vậy với mọi số k gồm các số tự nhiên n 1, n 2, …, n k đẳng thức sau là đúng: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Ví dụ, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Chúng ta có thể chuyển sang tính chất tiếp theo của lũy thừa với số mũ tự nhiên – tính chất của thương số có cùng cơ số: với mọi số thực khác 0 a và các số tự nhiên tùy ý m và n thỏa mãn điều kiện m>n, đẳng thức a m:a n =a m−n là đúng.
Trước khi trình bày cách chứng minh tính chất này, chúng ta hãy thảo luận về ý nghĩa của các điều kiện bổ sung trong công thức. Điều kiện a≠0 là cần thiết để tránh phép chia cho 0, vì 0 n = 0, và khi chúng ta làm quen với phép chia, chúng ta đã đồng ý rằng chúng ta không thể chia cho 0. Điều kiện m>n được đưa ra để chúng ta không vượt quá số mũ tự nhiên. Thật vậy, với m>n số mũ a m−n là một số tự nhiên, nếu không nó sẽ bằng 0 (xảy ra với m−n ) hoặc một số âm (xảy ra với m Bằng chứng. Tính chất chính của phân số cho phép chúng ta viết đẳng thức a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Từ đẳng thức thu được a m−n ·a n =a m và suy ra a m−n là thương số của lũy thừa a m và an n . Điều này chứng tỏ tính chất của thương số có cơ số giống nhau. Hãy đưa ra một ví dụ. Lấy hai bậc có cùng cơ số π và số mũ tự nhiên 5 và 2, đẳng thức π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 tương ứng với tính chất đang xét của bậc. Bây giờ chúng ta hãy xem xét thuộc tính sức mạnh sản phẩm: lũy thừa tự nhiên n của tích hai số thực bất kỳ a và b bằng tích của hai lũy thừa a n và b n , nghĩa là (a·b) n =a n ·b n . Thật vậy, theo định nghĩa bậc với số mũ tự nhiên ta có Đây là một ví dụ: Tính chất này mở rộng đến lũy thừa của tích của ba yếu tố trở lên. Nghĩa là, tính chất bậc tự nhiên n của tích k thừa số được viết là (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Để rõ ràng, chúng tôi sẽ hiển thị thuộc tính này bằng một ví dụ. Đối với tích của ba thừa số lũy thừa của 7, chúng ta có . Thuộc tính sau đây là tính chất của thương số bằng hiện vật: thương của các số thực a và b, b≠0 với lũy thừa tự nhiên n bằng thương của các lũy thừa a n và b n, tức là (a:b) n =a n:b n. Việc chứng minh có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất trước đó. Vì thế (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, và từ đẳng thức (a:b) n ·b n =a n suy ra (a:b) n là thương của an chia cho b n . Hãy viết thuộc tính này bằng cách sử dụng các số cụ thể làm ví dụ: Bây giờ hãy lên tiếng thuộc tính nâng cao quyền lực lên quyền lực: với mọi số thực a và mọi số tự nhiên m và n, lũy thừa của a m lũy thừa n bằng lũy thừa của số a với số mũ m·n, nghĩa là (a m) n =a m·n. Ví dụ: (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Chứng minh tính chất lũy thừa theo mức độ là chuỗi đẳng thức sau: Thuộc tính được xem xét có thể được mở rộng đến mức độ này sang mức độ khác, v.v. Ví dụ, với mọi số tự nhiên p, q, r và s, đẳng thức Vẫn còn tập trung vào các tính chất so sánh độ với số mũ tự nhiên. Hãy bắt đầu bằng cách chứng minh tính chất so sánh số 0 và lũy thừa với số mũ tự nhiên. Đầu tiên, hãy chứng minh rằng a n > 0 với mọi a > 0. Tích của hai số dương là một số dương, như sau định nghĩa của phép nhân. Thực tế này và các tính chất của phép nhân cho thấy rằng kết quả của phép nhân bất kỳ số dương nào cũng sẽ là một số dương. Và lũy thừa của số a với số mũ tự nhiên n, theo định nghĩa, là tích của n thừa số, mỗi thừa số bằng a. Những lập luận này cho phép chúng ta khẳng định rằng với mọi cơ số dương a, bậc a n là một số dương. Do tính chất đã được chứng minh 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 và Rõ ràng là với mọi số tự nhiên n có a=0 thì bậc của n bằng 0. Thật vậy, 0 n =0·0·…·0=0 . Ví dụ: 0 3 =0 và 0 762 =0. Hãy chuyển sang cơ sở âm của mức độ. Hãy bắt đầu với trường hợp số mũ là số chẵn, hãy ký hiệu nó là 2·m, trong đó m là số tự nhiên. Sau đó Cuối cùng, khi cơ số a là số âm và số mũ là số lẻ 2 m−1, thì Chúng ta chuyển sang tính chất so sánh các lũy thừa có cùng số mũ tự nhiên, có công thức sau: trong hai lũy thừa có cùng số mũ tự nhiên, n nhỏ hơn lũy thừa có cơ số nhỏ hơn, lớn hơn là lũy thừa có cơ số lớn hơn . Hãy chứng minh điều đó. Bất bình đẳng n tính chất của bất đẳng thức một bất đẳng thức chứng minh được có dạng ann cũng đúng . Vẫn còn phải chứng minh tính chất cuối cùng được liệt kê của lũy thừa với số mũ tự nhiên. Hãy xây dựng nó. Trong hai lũy thừa có số mũ tự nhiên và các cơ số dương giống nhau nhỏ hơn một, số nào có số mũ nhỏ hơn thì lớn hơn; và của hai lũy thừa có số mũ tự nhiên và các cơ số giống nhau lớn hơn một, số nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn. Chúng ta hãy tiến hành chứng minh tính chất này. Hãy chứng minh rằng với m>n và 0 Nó vẫn còn để chứng minh phần thứ hai của tài sản. Hãy chứng minh rằng với m>n và a>1 a m >a n là đúng. Sự khác biệt a m −a n sau khi lấy n ra khỏi ngoặc có dạng a n ·(a m−n −1) . Tích này là dương, vì với a>1 thì độ a n là số dương và hiệu a m−n −1 là số dương, vì m−n>0 do điều kiện ban đầu và với a>1 thì độ một m−n lớn hơn một . Do đó, a m −a n >0 và a m >a n , đó là điều cần được chứng minh. Tính chất này được minh họa bằng bất đẳng thức 3 7 >3 2.
. Dựa vào tính chất của phép nhân, tích cuối cùng có thể được viết lại thành 
, bằng a n · b n .
.
.
.
. Để rõ ràng hơn, đây là một ví dụ với những con số cụ thể: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Với mỗi tích có dạng a·a bằng tích mô đun của các số a và a, nghĩa là nó là một số dương. Vì vậy, sản phẩm cũng sẽ tích cực 
và độ a 2·m. Hãy cho các ví dụ: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 và .
. Mọi tích a·a đều là số dương, tích các số dương này cũng dương và phép nhân với số còn lại một số âm a cho kết quả là số âm. Do tính chất này (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên
Vì số nguyên dương là số tự nhiên nên tất cả các tính chất của lũy thừa có số mũ nguyên dương trùng khớp hoàn toàn với tính chất của lũy thừa có số mũ tự nhiên được liệt kê và chứng minh ở đoạn trước.
Chúng tôi đã xác định một độ với số mũ âm nguyên, cũng như một độ có số mũ bằng 0, theo cách mà tất cả các tính chất của độ với số mũ tự nhiên, được biểu thị bằng đẳng thức, vẫn hợp lệ. Do đó, tất cả các tính chất này đều đúng cho cả số mũ bằng 0 và số mũ âm, trong khi tất nhiên, cơ số của lũy thừa khác 0.
Vì vậy, với mọi số thực và khác 0 a và b, cũng như mọi số nguyên m và n, điều sau đây là đúng: tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- nếu n là số nguyên dương thì a và b là số dương và a b−n ;
- nếu m và n là số nguyên và m>n thì tại 0
Khi a=0, lũy thừa của a m và a n chỉ có ý nghĩa khi cả m và n đều là số nguyên dương, tức là số tự nhiên. Như vậy, các tính chất vừa viết cũng đúng trong trường hợp a=0 và các số m, n là số nguyên dương.
Việc chứng minh từng tính chất này không khó, để làm được điều này, chỉ cần sử dụng các định nghĩa về độ với số mũ tự nhiên và số nguyên, cũng như các tính chất của phép toán với số thực là đủ. Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh rằng thuộc tính công suất áp dụng cho cả số nguyên dương và số nguyên không dương. Để làm điều này, bạn cần chỉ ra rằng nếu p bằng 0 hoặc số tự nhiên và q bằng 0 hoặc số tự nhiên, thì các đẳng thức (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) và (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hãy làm nó.
Đối với p và q dương, đẳng thức (a p) q =a p·q đã được chứng minh ở đoạn trước. Nếu p=0, thì chúng ta có (a 0) q =1 q =1 và a 0·q =a 0 =1, do đó (a 0) q =a 0·q. Tương tự, nếu q=0 thì (a p) 0 =1 và a p·0 =a 0 =1, do đó (a p) 0 =a p·0. Nếu cả p=0 và q=0, thì (a 0) 0 =1 0 =1 và a 0·0 =a 0 =1, từ đó (a 0) 0 =a 0·0.
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng (a −p) q =a (−p)·q . Theo định nghĩa của lũy thừa với số mũ nguyên âm thì 
. Theo tính chất thương số lũy thừa ta có 
. Vì 1 p =1·1·…·1=1 và , thì . Biểu thức cuối cùng, theo định nghĩa, là lũy thừa có dạng a −(p·q), biểu thức này, do quy tắc nhân, có thể được viết dưới dạng (−p)·q.
Tương tự như vậy 
.
VÀ 
.
Sử dụng nguyên tắc tương tự, bạn có thể chứng minh tất cả các tính chất khác của một bậc bằng số mũ nguyên, được viết dưới dạng đẳng thức.
Ở thuộc tính áp chót được ghi lại, cần tập trung vào chứng minh bất đẳng thức a −n >b −n, nó đúng với mọi số nguyên âm −n và mọi dương a và b thỏa mãn điều kiện a . Vì theo điều kiện a 0 . Tích a n · b n cũng dương là tích của các số dương a n và b n . Khi đó phân số thu được sẽ dương là thương của các số dương b n −a n và an ·b n . Do đó, từ đó a −n >b −n , đó là điều cần chứng minh.
Tính chất cuối cùng của lũy thừa với số mũ nguyên được chứng minh theo cách tương tự như tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ tự nhiên.
Tính chất của lũy thừa với số mũ hợp lý
Chúng tôi đã xác định một độ với số mũ phân số bằng cách mở rộng các thuộc tính của một độ với số mũ nguyên cho nó. Nói cách khác, lũy thừa có số mũ phân số có cùng tính chất với lũy thừa có số mũ nguyên. Cụ thể là:
Việc chứng minh tính chất của độ có số mũ phân số dựa trên định nghĩa của độ có số mũ phân số và tính chất của độ có số mũ là số nguyên. Hãy để chúng tôi cung cấp bằng chứng.
Theo định nghĩa của lũy thừa với số mũ phân số và , thì 
. Các tính chất của căn số học cho phép chúng ta viết các đẳng thức sau. Hơn nữa, bằng cách sử dụng tính chất của một độ với số mũ nguyên, chúng ta thu được , từ đó, theo định nghĩa của một độ có số mũ phân số, chúng ta có 
, và chỉ báo mức độ thu được có thể được chuyển đổi như sau: . Điều này hoàn thành việc chứng minh.
Tính chất thứ hai của lũy thừa với số mũ phân số được chứng minh theo cách hoàn toàn tương tự: 
Các đẳng thức còn lại được chứng minh bằng nguyên lý tương tự: 
Hãy chuyển sang chứng minh tính chất tiếp theo. Hãy chứng minh rằng với mọi dương a và b thì a b p . Hãy viết số hữu tỉ p dưới dạng m/n, trong đó m là số nguyên và n là số tự nhiên. Điều kiện p<0 и p>0 trong trường hợp này điều kiện m<0 и m>0 tương ứng. Với m>0 và a
Tương tự, đối với m<0 имеем a m >b m , nghĩa là từ đâu, và a p >b p .
Nó vẫn còn để chứng minh tính chất cuối cùng được liệt kê. Chứng minh rằng với các số hữu tỉ p và q thì p>q tại 0 
Và 
. Và định nghĩa về mức độ với số mũ hợp lý cho phép chúng ta chuyển sang các bất đẳng thức và theo đó. Từ đây ta rút ra kết luận cuối cùng: với p>q và 0
Tính chất của lũy thừa với số mũ vô tỉ
Từ cách định nghĩa một độ với số mũ vô tỉ, chúng ta có thể kết luận rằng nó có tất cả các tính chất của độ với số mũ hữu tỉ. Vì vậy, với mọi số a>0, b>0 và các số vô tỷ p và q, các điều sau đây là đúng tính chất của lũy thừa với số mũ vô tỷ:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- với mọi số dương a và b, a 0 bất đẳng thức a p bp ;
- đối với số vô tỷ p và q, p>q tại 0
Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng lũy thừa với bất kỳ số mũ thực p và q nào với a>0 đều có cùng các tính chất.
Thư mục.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Sách giáo khoa toán lớp 5. các cơ sở giáo dục.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: Sách giáo khoa lớp 7. các cơ sở giáo dục.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: SGK lớp 8. các cơ sở giáo dục.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Đại số: Sách giáo khoa lớp 9. các cơ sở giáo dục.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Đại số và khởi đầu của giải tích: Sách giáo khoa lớp 10 - 11 cơ sở giáo dục phổ thông.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Toán học (sách hướng dẫn dành cho thí sinh vào các trường kỹ thuật).
Trong bài học này chúng ta sẽ bắt đầu nghiên cứu độ với số mũ tự nhiên. Đầu tiên, chúng ta sẽ thảo luận tại sao các nhà toán học cần đưa ra khái niệm độ, đưa ra định nghĩa về độ với số mũ tự nhiên và xem xét một số ví dụ về độ. Tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa về độ với số mũ đơn vị và cuối cùng chúng tôi sẽ giải một số ví dụ về cách tính độ.
Chủ thể:Bằng cấp với chỉ số tự nhiên và tính chất của nó
Bài học:Bằng cấp với số mũ tự nhiên là gì?
Bằng cấp đến từ đâu?
Sự biểu lộ một+a+a trong toán học có thể được thay thế bằng a+a+a=3a.
Sự biểu lộ a+a+a+a+a có thể được biểu diễn dưới dạng a+a+a+a+a=5a.
Tức là nếu trong biểu thức N các thuật ngữ giống nhau, mỗi thuật ngữ MỘT, thì có thể viết ngắn gọn không có.
Và phép nhân có thể viết ngắn gọn như sau: số 3, đọc: MỘT MỘT.
- MỘTđến lũy thừa thứ năm hoặc lũy thừa thứ năm của một số MỘT.
Và nếu trong biểu thức N các yếu tố giống nhau, mỗi yếu tố MỘT, khi đó chúng ta sẽ viết:
= MỘT - N-sức mạnh thứ của a.
Sự định nghĩa. Bằng cấp MỘT công việc được gọi là N các yếu tố giống nhau, 
, Ở đâu N- số tự nhiên N={2,3,…..}
; MỘT- bất kỳ số nào.
Thuật ngữ:MỘT
a là cơ sở của bậc,
N- số mũ,
MỘT- bằng cấp, hoặc bằng cấpNbằng cấp, hoặcNlũy thừa của số a.
Ví dụ 1: Viết tích dưới dạng lũy thừa, gọi cơ số và số mũ và tính toán nếu có thể.
1. - đây là theo định nghĩa 4 lũy thừa bậc ba hoặc lũy thừa thứ ba của một số 4 , 4 - cơ sở của bằng cấp, 3 - số mũ. Kết quả:
Trả lời: 64
2. - theo định nghĩa, đây là xđến lũy thừa thứ tư, x- cơ sở của bằng cấp, 4 - số mũ. Không thể tính toán thêm được vì x bạn cần chỉ định một giá trị cụ thể.
Trả lời:
Cái này lũy thừa thứ năm, là cơ số của bậc, 5 - số mũ, nó cho biết cơ số được nhân với chính nó bao nhiêu lần. Bình luận: tích không thay đổi do vị trí thay đổi của các thừa số, hãy viết biểu thức này theo cách khác:
Vậy biểu thức là .
Trả lời:.
4. - Cái này hình khối, 3 là số mũ - cơ sở của bằng cấp.
Trả lời:
5.
Sức mạnh thứ hai của số 13 , - lũy thừa thứ hai của số 5 .
Trả lời: 4225
Sức mạnh thứ ba của một số 2 , - lũy thừa thứ hai của số 3 .
1. Viết tích dưới dạng lũy thừa, gọi cơ số và số mũ, tính toán nếu có thể.
2. Tính toán (-2) N, Nếu như
MỘT) N=2 b) N=3 V) N=4
3. Tính toán : một 5, Ở đâu
MỘT) a=1
b) một=-2
4. Tính diện tích hình vuông có cạnh bằng một/2, Ở đâu
TÔI. Công việc N các yếu tố, mỗi yếu tố đều bằng nhau MỘT gọi điện N- sức mạnh thứ của số MỘT và được chỉ định MỘTN.
Ví dụ. Viết sản phẩm dưới dạng bằng cấp.
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
Giải pháp.
1) mmmm=m 4, vì, theo định nghĩa về mức độ, tích của bốn thừa số, mỗi thừa số đều bằng nhau tôi, sẽ lũy thừa thứ tư của m.
2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.
II. Hoạt động tìm tích của nhiều thừa số bằng nhau được gọi là phép lũy thừa. Số được nâng lên lũy thừa được gọi là cơ số lũy thừa. Số biểu thị lũy thừa của cơ số được nâng lên được gọi là số mũ. Vì thế, MỘTN- bằng cấp, MỘT- cơ sở của bằng cấp, N– số mũ. Ví dụ:
2 3 — đó là một bằng cấp. Con số 2 là cơ số của bậc, số mũ bằng 3 . Giá trị độ 2 3 bằng 8, bởi vì 2 3 =2·2·2=8.
Ví dụ. Viết các biểu thức sau không có số mũ.
5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .
Giải pháp.
5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
III. và 0 = 1 Bất kỳ số nào (trừ số 0) có lũy thừa bằng 0 đều bằng một. Ví dụ: 25 0 = 1.
IV. một 1 = mộtBất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó.
V. là∙ MỘT= là + N Khi nhân các lũy thừa cùng cơ số thì cơ số giữ nguyên, số mũ gấp lại
Ví dụ. Đơn giản hóa:
9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .
Giải pháp.
9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .
VI. là: MỘT= là - NKhi chia các lũy thừa có cùng cơ số thì cơ số được giữ nguyên và số mũ của số chia được trừ vào số mũ của số bị chia.
Ví dụ. Đơn giản hóa:
12) a 8:a 3 ; 13)m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .
12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) phút 11: phút 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.
VII. (là) N= một phút Khi nâng lũy thừa lên lũy thừa, cơ số được giữ nguyên và số mũ được nhân lên.
Ví dụ. Đơn giản hóa:
15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.
15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.
ghi chú, mà vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số, Cái đó:
15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .
V.TÔI II. (a∙b) n =a n ∙b n Khi nâng một sản phẩm lên một sức mạnh nào đó thì mỗi yếu tố đều được nâng lên sức mạnh đó.
§ 1 Độ với số mũ tự nhiên
Chúng ta hãy nhớ lại một thao tác nổi tiếng như việc cộng một số số hạng giống nhau. Ví dụ: 5 + 5 + 5. Nhà toán học sẽ thay ký hiệu này bằng ký hiệu ngắn hơn:
5 ∙ 3. Hoặc 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 sẽ được viết là 7 ∙ 6
Nhưng viết a + a + a + …+ a (trong đó n số hạng a) sẽ không có tác dụng gì cả mà sẽ viết a ∙ n. Theo cách tương tự, một nhà toán học sẽ không viết dài dòng tích của nhiều thừa số giống nhau. Tích 2 ∙ 2 ∙ 2 sẽ được viết là 23 (2 mũ ba). Và tích 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 giống như 46 (4 lũy thừa sáu). Nhưng nếu cần, bạn có thể thay thế một mục ngắn bằng một mục dài hơn. Ví dụ: 74 (7 mũ 4) được viết là 7∙7∙7∙7. Bây giờ hãy đưa ra một định nghĩa.
Ký hiệu an (trong đó n là số tự nhiên) có nghĩa là tích của n thừa số, mỗi thừa số bằng a.
Bản thân phần tử a được gọi là lũy thừa của số a, số a là cơ số của lũy thừa và số n là số mũ.
Mục an có thể được đọc là “a lũy thừa thứ n” hoặc “a lũy thừa thứ n”. Các mục a2 (a lũy thừa thứ hai) có thể được đọc là “a bình phương” và mục a3 (a lũy thừa thứ ba) có thể được đọc là “một lập phương”. Một trường hợp đặc biệt khác là bậc có số mũ là 1. Ở đây cần lưu ý những điều sau:
lũy thừa của số a với số mũ bằng 1 gọi là chính số đó. Những thứ kia. a1 = a.
Bất kỳ lũy thừa nào của 1 đều bằng 1.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số lũy thừa có cơ số 10.
Bạn có để ý rằng lũy thừa của mười là số một theo sau là càng nhiều số 0 càng tốt, số mũ là gì? Nói chung, 10n = 100..0 (trong đó có n số 0 trong mục).
§ 2 Ví dụ về chủ đề bài học
Ví dụ 1. Viết tích (-2)∙(-2)∙(-2)∙(-2) dưới dạng lũy thừa.
Vì có 4 thừa số giống nhau ở đây, mỗi thừa số bằng -2 nên ta có phần tử (-2)4.
Ví dụ 2. Tính 1,52.
Số mũ 2 nói rằng chúng ta cần tìm tích của hai thừa số giống nhau, mỗi thừa số bằng 1,5. Những thứ kia. tính tích 1,5∙1,5 = 2,25.
Ví dụ 3. Tính tích 102 ∙ (-1)3.
Đầu tiên chúng ta tính 102 = 100. Sau đó chúng ta tính (-1)3 = -1. Cuối cùng, hãy nhân 100 và -1. Chúng tôi nhận được -100.
Danh sách tài liệu được sử dụng:
- Mordkovich A.G., Đại số lớp 7 gồm 2 phần, Phần 1, Sách giáo khoa dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông/A.G. Mordkovic. – tái bản lần thứ 10, sửa đổi – Moscow, “Mnemosyne”, 2007
- Mordkovich A.G., Đại số lớp 7 gồm 2 phần, Phần 2, Sách bài tập dành cho các cơ sở giáo dục phổ thông/[A.G. Mordkovich và những người khác]; được chỉnh sửa bởi A.G. Mordkovich - tái bản lần thứ 10, có sửa đổi - Moscow, “Mnemosyne”, 2007
- CÔ ẤY. Tulchinskaya, Đại số lớp 7. Khảo sát chớp nhoáng: sổ tay dành cho sinh viên các cơ sở giáo dục phổ thông, tái bản lần thứ 4, sửa đổi và mở rộng, Moscow, “Mnemosyne”, 2008
- Alexandrova L.A., Đại số lớp 7. Đề thi chuyên đề dạng mới dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông, do A.G. Mordkovich, Mátxcơva, “Mnemosyne”, 2011
- Alexandrova L.A. Đại số lớp 7. Tác phẩm độc lập dành cho sinh viên các cơ sở giáo dục phổ thông, do A.G. Mordkovich - tái bản lần thứ 6, rập khuôn, Moscow, “Mnemosyne”, 2010
TÔI. Công việc N các yếu tố, mỗi yếu tố đều bằng nhau MỘT gọi điện N- sức mạnh thứ của số MỘT và được chỉ định MỘTN.
Ví dụ. Viết sản phẩm dưới dạng bằng cấp.
1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 ccc; 4) ppkk+pppk-ppkkk.
Giải pháp.
1) mmmm=m 4, vì, theo định nghĩa về mức độ, tích của bốn thừa số, mỗi thừa số đều bằng nhau tôi, sẽ lũy thừa thứ tư của m.
2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5·5·5·5·ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+pppk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3.
II. Hoạt động tìm tích của nhiều thừa số bằng nhau được gọi là phép lũy thừa. Số được nâng lên lũy thừa được gọi là cơ số lũy thừa. Số biểu thị lũy thừa của cơ số được nâng lên được gọi là số mũ. Vì thế, MỘTN- bằng cấp, MỘT- cơ sở của bằng cấp, N– số mũ. Ví dụ:
2 3 — đó là một bằng cấp. Con số 2 là cơ số của bậc, số mũ bằng 3 . Giá trị độ 2 3 bằng 8, bởi vì 2 3 =2·2·2=8.
Ví dụ. Viết các biểu thức sau không có số mũ.
5) 4 3; 6) a 3 b 2 c 3 ; 7) a 3 -b 3 ; 8) 2a 4 +3b 2 .
Giải pháp.
5) 4 3 = 4·4·4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbccc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.
III. và 0 = 1 Bất kỳ số nào (trừ số 0) có lũy thừa bằng 0 đều bằng một. Ví dụ: 25 0 = 1.
IV. một 1 = mộtBất kỳ số nào có lũy thừa bậc một đều bằng chính nó.
V. là∙ MỘT= là + N Khi nhân các lũy thừa cùng cơ số thì cơ số giữ nguyên, số mũ gấp lại
Ví dụ. Đơn giản hóa:
9) a·a 3 ·a 7 ; 10) b 0 +b 2 b 3 ; 11) c 2 ·c 0 ·c·c 4 .
Giải pháp.
9) a·a 3 ·a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;
11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 =c 2+1+4 =c 7 .
VI. là: MỘT= là - NKhi chia các lũy thừa có cùng cơ số thì cơ số được giữ nguyên và số mũ của số chia được trừ vào số mũ của số bị chia.
Ví dụ. Đơn giản hóa:
12) a 8:a 3 ; 13)m 11:m 4 ; 14) 5 6:5 4 .
12)a 8:a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) phút 11: phút 4=m 11-4 =m 7; 14 ) 5 6:5 4 =5 2 =5·5=25.
VII. (là) N= một phút Khi nâng lũy thừa lên lũy thừa, cơ số được giữ nguyên và số mũ được nhân lên.
Ví dụ. Đơn giản hóa:
15) (a 3) 4 ; 16) (c 5) 2.
15) (a 3) 4=a 3·4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10.
ghi chú, mà vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số, Cái đó:
15) (a 3) 4 = (a 4) 3 ; 16) (c 5) 2 = (c 2) 5 .
V.TÔI II. (a∙b) n =a n ∙b n Khi nâng một sản phẩm lên một sức mạnh nào đó thì mỗi yếu tố đều được nâng lên sức mạnh đó.
Ví dụ. Đơn giản hóa:
17) (2a 2) 5 ; 18) 0,2 6 5 6 ; 19) 0,25 2 40 2.
Giải pháp.
17) (2a 2) 5=2 5 ·a 2·5 =32a 10 ; 18) 0,2 6 5 6=(0,2·5) 6 =1 6 =1;
19) 0,25 2 40 2=(0,25·40) 2 =10 2 =100.
IX. Khi nâng một phân số lên lũy thừa thì cả tử số và mẫu số của phân số đó đều được nâng lên lũy thừa đó.
Ví dụ. Đơn giản hóa:
Giải pháp.
Trang 1 trên 1 1
