Om het gebied van een figuur te vinden, heb je niet zoveel kennis nodig van de onbepaalde en definitieve integraal. De taak "bereken de oppervlakte met behulp van een bepaalde integraal" omvat altijd de constructie van een tekening, zo veel meer actueel onderwerp zal uw kennis en tekenvaardigheid zijn. In dit opzicht is het nuttig om het geheugen van de grafieken van de belangrijkste elementaire functies op te frissen en op zijn minst een rechte lijn en een hyperbool te kunnen bouwen.

Een kromlijnig trapezium is een platte figuur begrensd door een as, rechte lijnen en een grafiek van een continue functie op een segment dat op dit interval niet van teken verandert. Laat dit cijfer worden gelokaliseerd niet minder abscis:

Dan het gebied van een kromlijnig trapezium is numeriek gelijk aan een bepaalde integraal. Elke bepaalde integraal (die bestaat) heeft een zeer goede geometrische betekenis.

In termen van geometrie is de definitieve integraal de AREA.

Dat is, de bepaalde integraal (als deze bestaat) komt geometrisch overeen met het gebied van een figuur. Beschouw bijvoorbeeld de bepaalde integraal . De integrand definieert een curve op het vlak dat zich boven de as bevindt (degenen die dat willen, kunnen de tekening voltooien), en de definitieve integraal zelf is numeriek gelijk aan het gebied van het overeenkomstige kromlijnige trapezium.

voorbeeld 1

Dit is een typische taakverklaring. Het eerste en belangrijkste moment van de beslissing is het maken van een tekening. Bovendien moet de tekening worden gebouwd RECHTSAF.

Bij het bouwen van een blauwdruk raad ik de volgende volgorde aan: eerst het is beter om alle regels (indien aanwezig) te construeren en alleen na- parabolen, hyperbolen, grafieken van andere functies. Functiegrafieken zijn winstgevender om te bouwen puntsgewijs.

In dit probleem kan de oplossing er als volgt uitzien.
Laten we een tekening maken (merk op dat de vergelijking de as definieert):

Op het segment bevindt zich de grafiek van de functie over as, Dat is waarom:

Antwoorden:

Nadat de taak is voltooid, is het altijd handig om naar de tekening te kijken en erachter te komen of het antwoord echt is. In dit geval tellen we "met het oog" het aantal cellen in de tekening - nou ja, er zullen ongeveer 9 worden getypt, het lijkt waar te zijn. Het is vrij duidelijk dat als we bijvoorbeeld het antwoord hadden: 20 vierkante eenheden, dan is er duidelijk ergens een fout gemaakt - 20 cellen passen duidelijk niet in de figuur in kwestie, hooguit een dozijn. Als het antwoord negatief bleek te zijn, dan was de taak ook verkeerd opgelost.

Voorbeeld 3

Bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door lijnen, en coördinaatassen.

Oplossing: Laten we een tekening maken:

Als het kromlijnige trapezium zich bevindt onder de as(of ten minste niet hoger gegeven as), dan kan het gebied worden gevonden met de formule:

In dit geval:

Aandacht! Verwar de twee soorten taken niet:

1) Als u wordt gevraagd om alleen een bepaalde integraal op te lossen zonder enige meetkundige betekenis, dan kan deze negatief zijn.

2) Als je wordt gevraagd om de oppervlakte van een figuur te vinden met behulp van een bepaalde integraal, dan is de oppervlakte altijd positief! Daarom verschijnt de min in de zojuist overwogen formule.

In de praktijk bevindt de figuur zich meestal in zowel het bovenste als het onderste halve vlak, en daarom gaan we van de eenvoudigste schoolproblemen over naar meer betekenisvolle voorbeelden.

Voorbeeld 4

Vind gebied platte figuur, begrensd door lijnen , .

Oplossing: Eerst moet je de tekening voltooien. Over het algemeen zijn we bij het maken van een tekening in gebiedsproblemen het meest geïnteresseerd in de snijpunten van lijnen. Laten we de snijpunten van de parabool en de lijn zoeken. Dit kan op twee manieren. De eerste manier is analytisch. We lossen de vergelijking op:

Middelen, ondergrens integratie, bovengrens van integratie.

Het is het beste om deze methode indien mogelijk niet te gebruiken..

Het is veel winstgevender en sneller om de lijnen punt voor punt op te bouwen, terwijl de grenzen van integratie als "uit zichzelf" worden ontdekt. Desalniettemin moet de analytische methode om de limieten te vinden soms nog worden gebruikt als bijvoorbeeld de grafiek groot genoeg is, of als de schroefdraadconstructie de limieten van integratie niet onthulde (ze kunnen fractioneel of irrationeel zijn). En we zullen ook zo'n voorbeeld overwegen.

We keren terug naar onze taak: het is rationeler om eerst een rechte lijn te construeren en dan pas een parabool. Laten we een tekening maken:

En nu de werkformule: Als er een continue functie op het interval is groter dan of gelijk aan een continue functie, dan kan het gebied van de figuur dat wordt begrensd door de grafieken van deze functies en rechte lijnen, worden gevonden door de formule:

Hier is het niet langer nodig om na te denken waar de figuur zich bevindt - boven de as of onder de as, en ruwweg gezegd, het maakt uit welke grafiek BOVEN is(ten opzichte van een andere grafiek), en welke is HIERONDER.

In het beschouwde voorbeeld is het duidelijk dat op het segment de parabool zich boven de rechte lijn bevindt, en daarom is het noodzakelijk om af te trekken van

De voltooiing van de oplossing kan er als volgt uitzien:

Het gewenste cijfer wordt begrensd door een parabool van bovenaf en een rechte lijn van onderen.
Op het segment , volgens de bijbehorende formule:

Antwoorden:

Voorbeeld 4

Bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door de lijnen , , , .

Oplossing: Laten we eerst een tekening maken:

De figuur waarvan we het gebied moeten vinden, is blauw gearceerd.(kijk goed naar de staat - hoe is het cijfer beperkt!). Maar in de praktijk treedt door onoplettendheid vaak een "glitch" op, dat u het gearceerde gebied van de figuur moet vinden in het groen!

Dit voorbeeld is ook handig omdat daarin het gebied van de figuur wordt berekend met behulp van twee definitieve integralen.

Werkelijk:

1) Op het segment boven de as staat een rechte lijngrafiek;

2) Op het segment boven de as staat een hyperboolgrafiek.

Het is vrij duidelijk dat de gebieden kunnen (en moeten) worden toegevoegd, daarom:

a)

Oplossing.

Het eerste en belangrijkste moment van de beslissing is het maken van een tekening.

Laten we een tekening maken:

De vergelijking y=0 stelt de x-as in;

- x=-2 en x=1 - recht, evenwijdig aan de as OE;

- y \u003d x 2 +2 - een parabool waarvan de takken naar boven gericht zijn, met een hoekpunt in het punt (0;2).

Opmerking. Om een ​​parabool te construeren, volstaat het om de punten van zijn snijpunt met de coördinaatassen te vinden, d.w.z. zetten x=0 vind het snijpunt met de as OU en het beslissen van de juiste kwadratische vergelijking, zoek het snijpunt met de as Oh .

Het hoekpunt van een parabool kan worden gevonden met behulp van de formules:

U kunt lijnen tekenen en punt voor punt.

Op het interval [-2;1] de grafiek van de functie y=x 2 +2 gelegen over as Os , Dat is waarom:

Antwoorden: S \u003d 9 vierkante eenheden

Nadat de taak is voltooid, is het altijd handig om naar de tekening te kijken en erachter te komen of het antwoord echt is. In dit geval tellen we "met het oog" het aantal cellen in de tekening - nou ja, er zullen ongeveer 9 worden getypt, het lijkt waar te zijn. Het is vrij duidelijk dat als we bijvoorbeeld het antwoord hadden: 20 vierkante eenheden, dan is er duidelijk ergens een fout gemaakt - 20 cellen passen duidelijk niet in de figuur in kwestie, hooguit een dozijn. Als het antwoord negatief bleek te zijn, dan was de taak ook verkeerd opgelost.

Wat te doen als het kromlijnige trapezium zich bevindt? onder de as Oh?

b) Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen y=-e x , x=1 en coördinaatassen.

Oplossing.

Laten we een tekening maken.

Als een kromlijnig trapezium helemaal onder de as Oh , dan kan het gebied worden gevonden door de formule:

Antwoorden: S=(e-1) vierkante eenheid" 1,72 vierkante eenheid

Aandacht! Verwar de twee soorten taken niet:

1) Als u wordt gevraagd om alleen een bepaalde integraal op te lossen zonder enige meetkundige betekenis, dan kan deze negatief zijn.

2) Als je wordt gevraagd om de oppervlakte van een figuur te vinden met behulp van een bepaalde integraal, dan is de oppervlakte altijd positief! Daarom verschijnt de min in de zojuist overwogen formule.

In de praktijk bevindt de figuur zich meestal in zowel het bovenste als het onderste halve vlak.

Met) Vind het gebied van een vlakke figuur begrensd door lijnen y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Oplossing.

Eerst moet je een tekening maken. Over het algemeen zijn we bij het maken van een tekening in gebiedsproblemen het meest geïnteresseerd in de snijpunten van lijnen. Vind de snijpunten van de parabool en direct Dit kan op twee manieren. De eerste manier is analytisch.

We lossen de vergelijking op:

Dus de ondergrens van integratie a=0 , de bovengrens van integratie b=3 .

We bouwen de gegeven lijnen: 1. Parabool - hoekpunt op het punt (1;1); as kruising Oh - punten (0;0) en (0;2). 2. Rechte lijn - de bissectrice van de 2e en 4e coördinaathoeken. En nu Let op! Als op de pauze [ a;b] een continue functie f(x) groter dan of gelijk aan een continue functie g(x), dan kan het gebied van de overeenkomstige figuur worden gevonden door de formule: . En het maakt niet uit waar de figuur zich bevindt - boven de as of onder de as, maar het is belangrijk welke grafiek HOGER is (ten opzichte van een andere grafiek) en welke ONDER is. In het beschouwde voorbeeld is het duidelijk dat op het segment de parabool zich boven de rechte lijn bevindt, en daarom is het noodzakelijk om af te trekken van

Het is mogelijk om lijnen punt voor punt te construeren, terwijl de grenzen van integratie als "uit zichzelf" worden ontdekt. Desalniettemin moet de analytische methode om de limieten te vinden soms nog worden gebruikt als bijvoorbeeld de grafiek groot genoeg is, of als de schroefdraadconstructie de limieten van integratie niet onthulde (ze kunnen fractioneel of irrationeel zijn).

Het gewenste cijfer wordt begrensd door een parabool van bovenaf en een rechte lijn van onderen.

op het segment , volgens de bijbehorende formule:

Antwoorden: S \u003d 4,5 vierkante eenheden

Duidelijke integraal. Hoe de oppervlakte van een figuur te berekenen

We gaan nu over tot de overweging van toepassingen van de integraalberekening. In deze les analyseren we een typische en meest voorkomende taak. Hoe een bepaalde integraal te gebruiken om het gebied van een vlakke figuur te berekenen. Ten slotte, degenen die betekenis zoeken in hogere wiskunde - mogen ze die vinden. Je weet maar nooit. We zullen dichterbij moeten komen in het leven landhuis gebied elementaire functies en vind het gebied met behulp van een bepaalde integraal.

Om het materiaal met succes onder de knie te krijgen, moet je:

1) Begrijp de onbepaalde integraal op zijn minst op een tussenliggend niveau. Dummies moeten dus eerst de les lezen Niet.

2) De Newton-Leibniz-formule kunnen toepassen en de bepaalde integraal kunnen berekenen. Je kunt warme vriendschappelijke relaties aangaan met bepaalde integralen op de pagina Duidelijke integraal. Voorbeelden van oplossingen.

Om het gebied van een figuur te vinden, heb je niet zoveel kennis nodig van de onbepaalde en definitieve integraal. De taak "bereken de oppervlakte met behulp van een bepaalde integraal" omvat altijd de constructie van een tekening, dus je kennis en tekenvaardigheden zullen een veel relevanter probleem zijn. In dit verband is het nuttig om het geheugen van de grafieken van de belangrijkste elementaire functies op te frissen, en op zijn minst om een ​​rechte lijn, een parabool en een hyperbool te kunnen bouwen. Dit kan (veel nodig) worden gedaan met behulp van methodologisch materiaal en artikelen over geometrische transformaties van grafieken.

Eigenlijk is iedereen bekend met het probleem van het vinden van het gebied met behulp van een bepaalde integraal sinds school, en we zullen een beetje voorlopen op het schoolcurriculum. Dit artikel bestaat misschien helemaal niet, maar feit is dat het probleem zich in 99 van de 100 gevallen voordoet, wanneer een student wordt gekweld door een gehate toren die enthousiast een cursus hogere wiskunde beheerst.

De materialen van deze workshop worden eenvoudig, gedetailleerd en met een minimum aan theorie gepresenteerd.

Laten we beginnen met een kromlijnig trapezium.

kromlijnig trapezium een platte figuur genoemd die wordt begrensd door de as , rechte lijnen en de grafiek van een functie continu op een segment dat op dit interval niet van teken verandert. Laat dit cijfer worden gelokaliseerd niet minder abscis:

Dan het gebied van een kromlijnig trapezium is numeriek gelijk aan een bepaalde integraal. Elke bepaalde integraal (die bestaat) heeft een zeer goede geometrische betekenis. op de les Duidelijke integraal. Voorbeelden van oplossingen Ik zei dat een bepaalde integraal een getal is. En nu is het tijd om er nog een te zeggen nuttig feit. Vanuit het oogpunt van geometrie is de definitieve integraal de GEBIED.

Dat is, de bepaalde integraal (als deze bestaat) komt geometrisch overeen met het gebied van een figuur. Beschouw bijvoorbeeld de bepaalde integraal . De integrand definieert een curve op het vlak dat zich boven de as bevindt (degenen die dat willen, kunnen de tekening voltooien), en de definitieve integraal zelf is numeriek gelijk aan het gebied van het overeenkomstige kromlijnige trapezium.

voorbeeld 1

Dit is een typische taakverklaring. Het eerste en belangrijkste moment van de beslissing is het maken van een tekening. Bovendien moet de tekening worden gebouwd RECHTSAF.

Bij het bouwen van een blauwdruk raad ik de volgende volgorde aan: eerst het is beter om alle regels (indien aanwezig) te construeren en alleen na- parabolen, hyperbolen, grafieken van andere functies. Functiegrafieken zijn winstgevender om te bouwen punt voor punt, met de techniek van puntsgewijze constructie is te vinden in het referentiemateriaal Grafieken en eigenschappen van elementaire functies. Daar kun je ook materiaal vinden dat erg handig is in verband met onze les - hoe je snel een parabool kunt bouwen.

In dit probleem kan de oplossing er als volgt uitzien.
Laten we een tekening maken (merk op dat de vergelijking de as definieert):

Ik zal geen kromlijnig trapezium uitbroeden, het is hier duidelijk welk gebied in kwestie. De oplossing gaat als volgt verder:

Op het segment bevindt zich de grafiek van de functie over as, Dat is waarom:

Antwoorden:

Wie heeft er moeite met het berekenen van de bepaalde integraal en het toepassen van de Newton-Leibniz-formule? , zie de lezing Duidelijke integraal. Voorbeelden van oplossingen.

Nadat de taak is voltooid, is het altijd handig om naar de tekening te kijken en erachter te komen of het antwoord echt is. In dit geval tellen we "met het oog" het aantal cellen in de tekening - nou ja, er zullen ongeveer 9 worden getypt, het lijkt waar te zijn. Het is vrij duidelijk dat als we bijvoorbeeld het antwoord hadden: 20 vierkante eenheden, dan is er duidelijk ergens een fout gemaakt - 20 cellen passen duidelijk niet in de figuur in kwestie, hooguit een dozijn. Als het antwoord negatief bleek te zijn, dan was de taak ook verkeerd opgelost.

Voorbeeld 2

Bereken het gebied van de figuur begrensd door de lijnen , , en de as

Dit is een voorbeeld voor onafhankelijke oplossing. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Wat te doen als het kromlijnige trapezium zich bevindt? onder de as?

Voorbeeld 3

Bereken het gebied van de figuur begrensd door lijnen en coördinaatassen.

Oplossing: Laten we een tekening maken:

Als het kromlijnige trapezium zich bevindt onder de as(of ten minste niet hoger gegeven as), dan kan het gebied worden gevonden met de formule:
In dit geval:

Aandacht! Verwar de twee soorten taken niet:

1) Als u wordt gevraagd om alleen een bepaalde integraal op te lossen zonder enige meetkundige betekenis, dan kan deze negatief zijn.

2) Als je wordt gevraagd om de oppervlakte van een figuur te vinden met behulp van een bepaalde integraal, dan is de oppervlakte altijd positief! Daarom verschijnt de min in de zojuist overwogen formule.

In de praktijk bevindt de figuur zich meestal in zowel het bovenste als het onderste halve vlak, en daarom gaan we van de eenvoudigste schoolproblemen over naar meer betekenisvolle voorbeelden.

Voorbeeld 4

Zoek het gebied van een platte figuur begrensd door lijnen, .

Oplossing: Eerst moet je de tekening voltooien. Over het algemeen zijn we bij het maken van een tekening in gebiedsproblemen het meest geïnteresseerd in de snijpunten van lijnen. Laten we de snijpunten van de parabool en de lijn zoeken. Dit kan op twee manieren. De eerste manier is analytisch. We lossen de vergelijking op:

Vandaar de ondergrens van integratie, de bovengrens van integratie.
Het is het beste om deze methode indien mogelijk niet te gebruiken..

Het is veel winstgevender en sneller om de lijnen punt voor punt op te bouwen, terwijl de grenzen van integratie als "uit zichzelf" worden ontdekt. De punt-voor-punt constructietechniek voor verschillende grafieken wordt in detail besproken in de help Grafieken en eigenschappen van elementaire functies. Desalniettemin moet de analytische methode om de limieten te vinden soms nog worden gebruikt als bijvoorbeeld de grafiek groot genoeg is, of als de schroefdraadconstructie de limieten van integratie niet onthulde (ze kunnen fractioneel of irrationeel zijn). En we zullen ook zo'n voorbeeld overwegen.

We keren terug naar onze taak: het is rationeler om eerst een rechte lijn te construeren en dan pas een parabool. Laten we een tekening maken:

Ik herhaal dat bij puntsgewijze constructie de grenzen van integratie meestal "automatisch" worden ontdekt.

En nu de werkformule: Als er een continue functie op het interval is groter dan of gelijk aan een continue functie, dan kan het gebied van de figuur dat wordt begrensd door de grafieken van deze functies en rechte lijnen, worden gevonden door de formule:

Hier is het niet langer nodig om na te denken over waar de figuur zich bevindt - boven de as of onder de as, en ruwweg gezegd, het maakt uit welke grafiek BOVEN is(ten opzichte van een andere grafiek), en welke is HIERONDER.

In het beschouwde voorbeeld is het duidelijk dat op het segment de parabool zich boven de rechte lijn bevindt, en daarom is het noodzakelijk om af te trekken van

De voltooiing van de oplossing kan er als volgt uitzien:

Het gewenste cijfer wordt begrensd door een parabool van bovenaf en een rechte lijn van onderen.
Op het segment , volgens de bijbehorende formule:

Antwoorden:

In feite is de schoolformule voor het gebied van een kromlijnig trapezium in het onderste halve vlak (zie eenvoudig voorbeeld nr. 3) speciaal geval formules . Omdat de as wordt gegeven door de vergelijking , en de grafiek van de functie zich bevindt niet hoger assen, dan

En nu een paar voorbeelden voor een onafhankelijke oplossing

Voorbeeld 5

Voorbeeld 6

Zoek het gebied van de figuur omsloten door de lijnen , .

Tijdens het oplossen van problemen voor het berekenen van het gebied met behulp van een bepaalde integraal, gebeurt er soms een grappig incident. De tekening is correct gemaakt, de berekeningen waren correct, maar door onoplettendheid ... vond het gebied van de verkeerde figuur, zo heeft je gehoorzame dienaar het meerdere keren verpest. Hier is een real-life case:

Voorbeeld 7

Bereken de oppervlakte van de figuur begrensd door de lijnen , , , .

Oplossing: Laten we eerst een tekening maken:

...Eh, de tekening kwam er slecht uit, maar alles lijkt leesbaar.

De figuur waarvan we het gebied moeten vinden, is blauw gearceerd.(kijk goed naar de staat - hoe is het cijfer beperkt!). Maar in de praktijk komt er door onoplettendheid vaak een "glitch" voor, dat u het gebied van de figuur moet vinden dat groen gearceerd is!

Dit voorbeeld is ook handig omdat daarin het gebied van de figuur wordt berekend met behulp van twee definitieve integralen. Werkelijk:

1) Op het segment boven de as staat een rechte lijngrafiek;

2) Op het segment boven de as staat een hyperboolgrafiek.

Het is vrij duidelijk dat de gebieden kunnen (en moeten) worden toegevoegd, daarom:

Antwoorden:

Laten we verder gaan met een meer zinvolle taak.

Voorbeeld 8

Bereken het gebied van een figuur begrensd door lijnen,
Laten we de vergelijkingen in een "school"-vorm presenteren en een puntsgewijze tekening maken:

Uit de tekening blijkt dat onze bovengrens “goed” is: .
Maar wat is de ondergrens? Het is duidelijk dat dit geen geheel getal is, maar wat? Kan zijn ? Maar waar is de garantie dat de tekening perfect nauwkeurig is gemaakt, dat zou best eens kunnen blijken. Of wortel. Wat als we de grafiek helemaal niet goed hadden?

In dergelijke gevallen moet men extra tijd besteden en de grenzen van de integratie analytisch verfijnen.

Laten we de snijpunten van de lijn en de parabool vinden.
Hiervoor lossen we de vergelijking op:


,

Werkelijk, .

De verdere oplossing is triviaal, het belangrijkste is om niet in de war te raken in vervangingen en tekens, de berekeningen hier zijn niet de gemakkelijkste.

op het segment , volgens de bijbehorende formule:

Antwoorden:

Welnu, aan het einde van de les zullen we twee taken als moeilijker beschouwen.

Voorbeeld 9

Bereken het gebied van de figuur begrensd door lijnen , ,

Oplossing: Teken deze figuur in de tekening.

Verdomme, ik vergat het schema te tekenen en de foto opnieuw te maken, sorry, niet hotz. Geen tekening, kortom, vandaag is het zover =)

Voor puntsgewijze constructie moet u weten: uiterlijk sinusoïden (en in het algemeen is het handig om te weten) grafieken van alle elementaire functies), evenals enkele sinuswaarden, zijn te vinden in trigonometrische tafel. In sommige gevallen (zoals in dit geval) is het toegestaan ​​een schematische tekening te maken, waarop grafieken en integratiegrenzen in principe correct moeten worden weergegeven.

Er zijn hier geen problemen met de integratielimieten, ze volgen direct uit de voorwaarde: - "x" verandert van nul in "pi". We nemen nog een besluit:

Op het segment bevindt de grafiek van de functie zich boven de as, dus:

In dit artikel leert u hoe u het gebied van een figuur begrensd door lijnen kunt vinden met behulp van integrale berekeningen. Voor het eerst komen we de formulering van een dergelijk probleem tegen op de middelbare school, wanneer de studie van bepaalde integralen net is afgerond en het tijd is om de meetkundige interpretatie van de opgedane kennis in de praktijk te starten.

Dus, wat is er nodig om het probleem van het vinden van het gebied van een figuur met behulp van integralen met succes op te lossen:

• Vaardigheid om tekeningen correct te tekenen;
• Mogelijkheid om een ​​bepaalde integraal op te lossen met behulp van bekende formule Newton-Leibniz;
• Het vermogen om een ​​meer winstgevende oplossing te "zien" - d.w.z. om te begrijpen hoe het in dit of dat geval handiger is om de integratie uit te voeren? Langs de x-as (OX) of y-as (OY)?
• Wel, waar zonder correcte berekeningen?) Dit omvat ook het begrijpen van het oplossen van dat andere type integralen en het corrigeren van numerieke berekeningen.

Algoritme voor het oplossen van het probleem van het berekenen van het gebied van een figuur begrensd door lijnen:

1. We maken een tekening. Het is raadzaam om dit op grote schaal op een vel papier in een kooi te doen. We tekenen met een potlood boven elke grafiek de naam van deze functie. De ondertekening van de grafieken wordt uitsluitend gedaan voor het gemak van verdere berekeningen. Na ontvangst van de grafiek van het gewenste cijfer, zal in de meeste gevallen direct duidelijk zijn welke integratielimieten zullen worden gehanteerd. We lossen het probleem dus grafisch op. Het komt echter voor dat de waarden van de limieten fractioneel of irrationeel zijn. Daarom kunt u doen aanvullende berekeningen, ga naar stap twee.

2. Als de integratielimieten niet expliciet zijn ingesteld, dan vinden we de snijpunten van de grafieken met elkaar, en kijken of onze grafische oplossing met analytisch.

3. Vervolgens moet u de tekening analyseren. Afhankelijk van hoe de grafieken van functies zich bevinden, zijn er verschillende benaderingen om het gebied van de figuur te vinden. Beschouwen verschillende voorbeelden om het gebied van een figuur te vinden met behulp van integralen.

3.1. De meest klassieke en eenvoudigste versie van het probleem is wanneer u het gebied van een kromlijnig trapezium moet vinden. Wat is een kromlijnig trapezium? Dit is een platte figuur begrensd door de x-as (y=0), Rechtdoor x = a, x = b en elke curve continu op het interval van a voordat b. Tegelijkertijd is dit cijfer niet-negatief en bevindt het zich niet lager dan de x-as. In dit geval is het gebied van het kromlijnige trapezium numeriek gelijk aan de definitieve integraal berekend met behulp van de Newton-Leibniz-formule:

voorbeeld 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Welke lijnen definiëren de figuur? We hebben een parabool y = x2 - 3x + 3, die zich boven de as bevindt OH, het is niet-negatief, omdat alle punten van deze parabool hebben positieve waarden. Vervolgens, gegeven rechte lijnen x = 1 en x = 3 die evenwijdig aan de as lopen OU, zijn de begrenzingslijnen van de figuur links en rechts. We zullen y = 0, zij is de x-as, die de figuur van onderaf begrenst. De resulterende figuur is gearceerd, zoals te zien is in de figuur aan de linkerkant. In dit geval kunt u onmiddellijk beginnen met het oplossen van het probleem. Voor ons is een eenvoudig voorbeeld van een kromlijnig trapezium, dat we vervolgens oplossen met behulp van de Newton-Leibniz-formule.

3.2. In de vorige paragraaf 3.1 werd de casus geanalyseerd wanneer het kromlijnige trapezium zich boven de x-as bevindt. Beschouw nu het geval waarin de voorwaarden van het probleem hetzelfde zijn, behalve dat de functie onder de x-as ligt. Aan de standaard Newton-Leibniz-formule wordt een minpuntje toegevoegd. Hoe een dergelijk probleem op te lossen, zullen we verder overwegen.

Voorbeeld 2 . Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

BIJ dit voorbeeld we hebben een parabool y=x2+6x+2, die afkomstig is van onder de as OH, Rechtdoor x=-4, x=-1, y=0. Hier y = 0 beperkt het gewenste cijfer van bovenaf. direct x = -4 en x = -1 dit zijn de grenzen waarbinnen de bepaalde integraal zal worden berekend. Het principe van het oplossen van het probleem van het vinden van het figuurgebied valt bijna volledig samen met voorbeeld nummer 1. Het enige verschil is dat gegeven functie is niet positief, en alles is ook continu op het interval [-4; -1] . Wat betekent niet positief? Zoals te zien is in de figuur, heeft de figuur die binnen de gegeven x ligt uitsluitend "negatieve" coördinaten, wat we moeten zien en onthouden bij het oplossen van het probleem. We zoeken het gebied van de figuur met behulp van de Newton-Leibniz-formule, alleen met een minteken aan het begin.

Het artikel is niet voltooid.

We gaan nu over tot de overweging van toepassingen van de integraalberekening. In deze les analyseren we een typische en meest voorkomende taak. het gebied van een platte figuur berekenen met behulp van een bepaalde integraal. Tot slot, al diegenen die betekenis zoeken in hogere wiskunde - mogen ze die vinden. Je weet maar nooit. In het echte leven moet je een zomerhuisje met elementaire functies benaderen en het gebied vinden met behulp van een bepaalde integraal.

Om het materiaal met succes onder de knie te krijgen, moet je:

1) Begrijp de onbepaalde integraal op zijn minst op een tussenliggend niveau. Dummies moeten dus eerst de les lezen Niet.

2) De Newton-Leibniz-formule kunnen toepassen en de bepaalde integraal kunnen berekenen. Je kunt warme vriendschappelijke relaties aangaan met bepaalde integralen op de pagina Duidelijke integraal. Voorbeelden van oplossingen. De taak "bereken de oppervlakte met behulp van een bepaalde integraal" omvat altijd de constructie van een tekening daarom zijn je kennis en tekenvaardigheid ook een urgente kwestie. Men moet minimaal een rechte lijn, een parabool en een hyperbool kunnen bouwen.

Laten we beginnen met een kromlijnig trapezium. Een kromlijnig trapezium is een platte figuur begrensd door de grafiek van een functie ja = f(x), as OS en lijnen x = a; x = b.

De oppervlakte van een kromlijnig trapezium is numeriek gelijk aan een bepaalde integraal

Elke bepaalde integraal (die bestaat) heeft een zeer goede geometrische betekenis. op de les Duidelijke integraal. Voorbeelden van oplossingen we zeiden dat een bepaalde integraal een getal is. En nu is het tijd om nog een nuttig feit te vermelden. Vanuit het oogpunt van geometrie is de definitieve integraal de GEBIED. Dat is, de bepaalde integraal (als deze bestaat) komt geometrisch overeen met het gebied van een figuur. Overweeg de bepaalde integraal

Integrand

definieert een curve op het vlak (desgewenst kan deze worden getekend), en de definitieve integraal zelf is numeriek gelijk aan het gebied van het overeenkomstige kromlijnige trapezium.

voorbeeld 1

, , , .

Dit is een typische taakverklaring. Het belangrijkste moment oplossingen - tekenen. Bovendien moet de tekening worden gebouwd RECHTSAF.

Bij het bouwen van een blauwdruk raad ik de volgende volgorde aan: eerst het is beter om alle regels (indien aanwezig) te construeren en alleen na- parabolen, hyperbolen, grafieken van andere functies. De punt-voor-punt constructietechniek is te vinden in het referentiemateriaal Grafieken en eigenschappen van elementaire functies. Daar kun je ook materiaal vinden dat erg handig is in verband met onze les - hoe je snel een parabool kunt bouwen.

In dit probleem kan de oplossing er als volgt uitzien.

Laten we een tekening maken (merk op dat de vergelijking ja= 0 specificeert de as OS):

We zullen het kromlijnige trapezium niet uitbroeden, het is duidelijk over welk gebied we het hier hebben. De oplossing gaat als volgt verder:

Op de pauze [-2; 1] functie grafiek ja = x 2 + 2 gelegen over asOS, Dat is waarom:

Antwoorden: .

Wie heeft er moeite met het berekenen van de bepaalde integraal en het toepassen van de Newton-Leibniz-formule?

,

verwijzen naar de lezing Duidelijke integraal. Voorbeelden van oplossingen. Nadat de taak is voltooid, is het altijd handig om naar de tekening te kijken en erachter te komen of het antwoord echt is. In dit geval tellen we "met het oog" het aantal cellen in de tekening - nou ja, er zullen ongeveer 9 worden getypt, het lijkt waar te zijn. Het is vrij duidelijk dat als we bijvoorbeeld het antwoord hadden: 20 vierkante eenheden, dan is er duidelijk ergens een fout gemaakt - 20 cellen passen duidelijk niet in de figuur in kwestie, hooguit een dozijn. Als het antwoord negatief bleek te zijn, dan was de taak ook verkeerd opgelost.

Voorbeeld 2

Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen xy = 4, x = 2, x= 4 en as OS.

Dit is een doe-het-zelf voorbeeld. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Wat te doen als het kromlijnige trapezium zich bevindt? onder de asOS?

Voorbeeld 3

Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen ja = ex, x= 1 en coördinaatassen.

Oplossing: Laten we een tekening maken:

Als een kromlijnig trapezium helemaal onder de as OS , dan kan het gebied worden gevonden met de formule:

In dit geval:

.

Aandacht! De twee soorten taken moeten niet worden verward:

1) Als u wordt gevraagd om alleen een bepaalde integraal op te lossen zonder enige meetkundige betekenis, dan kan deze negatief zijn.

2) Als je wordt gevraagd om de oppervlakte van een figuur te vinden met behulp van een bepaalde integraal, dan is de oppervlakte altijd positief! Daarom verschijnt de min in de zojuist overwogen formule.

In de praktijk bevindt de figuur zich meestal in zowel het bovenste als het onderste halve vlak, en daarom gaan we van de eenvoudigste schoolproblemen over naar meer betekenisvolle voorbeelden.

Voorbeeld 4

Vind het gebied van een vlakke figuur begrensd door lijnen ja = 2x – x 2 , ja = -x.

Oplossing: Eerst moet je een tekening maken. Bij het maken van een tekening in oppervlakteproblemen zijn we het meest geïnteresseerd in de snijpunten van lijnen. Vind de snijpunten van de parabool ja = 2x – x 2 en recht ja = -x. Dit kan op twee manieren. De eerste manier is analytisch. We lossen de vergelijking op:

Dus de ondergrens van integratie a= 0, bovengrens van integratie b= 3. Het is vaak voordeliger en sneller om lijnen punt voor punt te construeren, terwijl de grenzen van integratie als "uit zichzelf" worden ontdekt. Desalniettemin moet de analytische methode om de limieten te vinden soms nog worden gebruikt als bijvoorbeeld de grafiek groot genoeg is, of als de schroefdraadconstructie de limieten van integratie niet onthulde (ze kunnen fractioneel of irrationeel zijn). We keren terug naar onze taak: het is rationeler om eerst een rechte lijn te construeren en dan pas een parabool. Laten we een tekening maken:

We herhalen dat bij puntsgewijze constructie de grenzen van integratie meestal "automatisch" worden ontdekt.

En nu de werkformule:

Als op het segment [ a; b] een continue functie f(x) groter dan of gelijk aan een continue functie g(x), dan kan het gebied van de overeenkomstige figuur worden gevonden door de formule:

Hier is het niet langer nodig om te denken waar de figuur zich bevindt - boven de as of onder de as, maar het maakt uit welke grafiek BOVEN is(ten opzichte van een andere grafiek), en welke is HIERONDER.

In het beschouwde voorbeeld is het duidelijk dat op het segment de parabool zich boven de rechte lijn bevindt, en dus vanaf 2 x – x 2 moet worden afgetrokken - x.

De voltooiing van de oplossing kan er als volgt uitzien:

Het gewenste cijfer wordt begrensd door een parabool ja = 2x – x 2 boven en recht ja = -x van beneden.

Op segment 2 x – x 2 ≥ -x. Volgens de bijbehorende formule:

Antwoorden: .

In feite is de schoolformule voor het gebied van een kromlijnig trapezium in het onderste halve vlak (zie voorbeeld nr. 3) een speciaal geval van de formule

.

Sinds de as OS wordt gegeven door de vergelijking ja= 0, en de grafiek van de functie g(x) bevindt zich onder de as OS, dan

.

En nu een paar voorbeelden voor een onafhankelijke oplossing

Voorbeeld 5

Voorbeeld 6

Vind het gebied van een figuur begrensd door lijnen

Tijdens het oplossen van problemen voor het berekenen van het gebied met behulp van een bepaalde integraal, gebeurt er soms een grappig incident. De tekening was correct gemaakt, de berekeningen waren correct, maar door onoplettendheid, ... vond het gebied van de verkeerde figuur.

Voorbeeld 7

Laten we eerst tekenen:

De figuur waarvan we het gebied moeten vinden, is blauw gearceerd.(kijk goed naar de staat - hoe is het cijfer beperkt!). Maar in de praktijk besluiten ze vanwege onoplettendheid vaak dat ze het gebied van de figuur moeten vinden dat groen gearceerd is!

Dit voorbeeld is ook handig omdat daarin het gebied van de figuur wordt berekend met behulp van twee definitieve integralen. Werkelijk:

1) Op het segment [-1; 1] boven de as OS de grafiek is recht ja = x+1;

2) Op het segment boven de as OS de grafiek van de hyperbool bevindt zich ja = (2/x).

Het is vrij duidelijk dat de gebieden kunnen (en moeten) worden toegevoegd, daarom:

Antwoorden:

Voorbeeld 8

Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen

Laten we de vergelijkingen presenteren in de "school"-vorm

en maak de lijntekening:

Uit de tekening blijkt dat onze bovengrens "goed" is: b = 1.

Maar wat is de ondergrens? Het is duidelijk dat dit geen geheel getal is, maar wat?

Misschien, a=(-1/3)? Maar waar is de garantie dat de tekening met perfecte nauwkeurigheid is gemaakt, het zou zomaar kunnen dat het zo is? a=(-1/4). Wat als we de grafiek helemaal niet goed hadden?

In dergelijke gevallen moet men extra tijd besteden en de grenzen van de integratie analytisch verfijnen.

Vind de snijpunten van de grafieken

Hiervoor lossen we de vergelijking op:

.

Vervolgens, a=(-1/3).

De verdere oplossing is triviaal. Het belangrijkste is om niet in de war te raken in vervangingen en tekens. De berekeningen hier zijn niet de gemakkelijkste. op het segment

, ,

volgens de bijbehorende formule:

Antwoorden:

Ter afsluiting van de les zullen we twee taken als moeilijker beschouwen.

Voorbeeld 9

Bereken de oppervlakte van een figuur begrensd door lijnen

Oplossing: Teken deze figuur in de tekening.

Om punt voor punt een tekening te maken, moet u het uiterlijk van de sinusoïde weten. Over het algemeen is het handig om de grafieken van alle elementaire functies te kennen, evenals enkele waarden van de sinus. Ze zijn te vinden in de tabel met waarden trigonometrische functies. In sommige gevallen (bijvoorbeeld in dit geval) is het toegestaan ​​om een ​​schematische tekening te maken, waarop grafieken en integratiegrenzen in principe correct moeten worden weergegeven.

Er zijn hier geen problemen met de integratielimieten, ze volgen direct uit de voorwaarde:

- "x" verandert van nul in "pi". We nemen nog een besluit:

Op het segment, de grafiek van de functie ja= zonde 3 x boven de as gelegen OS, Dat is waarom:

(1) Je kunt in de les zien hoe sinussen en cosinus worden geïntegreerd in oneven krachten Integralen van goniometrische functies. We knijpen één sinus af.

(2) We gebruiken de trigonometrische basisidentiteit in de vorm

(3) Laten we de variabele veranderen t= cos x, dan: boven de as , dus:

.

.

Opmerking: merk op hoe de integraal van de raaklijn in de kubus wordt genomen, hier wordt de consequentie van de trigonometrische basisidentiteit gebruikt

.