15 is een rationaal getal. Rationele getallen, definitie, voorbeelden
Definitie rationele nummers:
Een rationaal getal is een getal dat kan worden weergegeven als een breuk. De teller van zo'n breuk behoort tot de verzameling gehele getallen en de noemer behoort tot de verzameling natuurlijke getallen.
Waarom worden getallen rationeel genoemd?
In het Latijn betekent "ratio" (ratio) verhouding. Rationele getallen kunnen worden weergegeven als een verhouding, d.w.z. met andere woorden, als een breuk.
Rationeel getal voorbeeld
Het getal 2/3 is een rationaal getal. Waarom? Dit getal wordt weergegeven als een breuk, waarvan de teller behoort tot de verzameling gehele getallen en de noemer behoort tot de verzameling natuurlijke getallen.
Zie het artikel voor meer voorbeelden van rationale getallen.
Gelijke rationale getallen
Verschillende breuken kunnen hetzelfde rationale getal vertegenwoordigen.
Beschouw het rationale getal 3/5. Dit rationale getal is gelijk aan
Verklein de teller en noemer met een gemeenschappelijke factor van 2:
| 6 | = | 2 * 3 | = | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 2 * 5 | 5 |
We hebben de breuk 3/5, wat betekent dat
Set van rationale getallen
De verzameling rationale getallen wordt aangeduid en kan als volgt worden geschreven:
Het blijkt dat verschillende items dezelfde breuk kunnen vertegenwoordigen, bijvoorbeeld en , (alle breuken die van elkaar kunnen worden verkregen door te vermenigvuldigen of te delen door hetzelfde natuurlijke getal vertegenwoordigen hetzelfde rationale getal). Aangezien door de teller en noemer van een breuk te delen door hun grootste gemene deler, men de enige onherleidbare representatie van een rationaal getal kan verkrijgen, kan men spreken van hun verzameling als een verzameling onherleidbaar breuken met coprime gehele teller en natuurlijke noemer:
Hier is de grootste gemene deler van getallen en .
De verzameling rationale getallen is een natuurlijke veralgemening van de verzameling gehele getallen. Het is gemakkelijk in te zien dat als een rationaal getal een noemer heeft, het een geheel getal is. De verzameling rationale getallen is overal dicht op de getallenas: tussen twee verschillende rationale getallen is er minstens één rationaal getal (en dus een oneindige reeks rationale getallen). Het blijkt echter dat de verzameling rationale getallen een aftelbare kardinaliteit heeft (dat wil zeggen dat alle elementen ervan kunnen worden hernummerd). Merk trouwens op dat zelfs de oude Grieken overtuigd waren van het bestaan van getallen die niet als een breuk kunnen worden weergegeven (ze hebben bijvoorbeeld bewezen dat er geen rationaal getal is waarvan het kwadraat 2 is).
Terminologie
Formele definitie
Formeel worden rationale getallen gedefinieerd als de verzameling equivalentieklassen van paren met betrekking tot de equivalentierelatie als . In dit geval worden de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen als volgt gedefinieerd:
Verwante definities
Juiste, onjuiste en gemengde breuken
correct Een breuk wordt genoemd als de modulus van de teller kleiner is dan de modulus van de noemer. Juiste breuken vertegenwoordigen rationale getallen, modulo kleiner dan één. Een breuk die niet juist is, heet mis en vertegenwoordigt een rationaal getal groter dan of gelijk aan één modulo.
Een oneigenlijke breuk kan worden weergegeven als de som van een geheel getal en een juiste breuk genaamd gemengde fractie . Bijvoorbeeld, . Een soortgelijke notatie (met een ontbrekend optelteken), hoewel gebruikt in elementaire rekenkunde, wordt vermeden in rigoureuze wiskundige literatuur vanwege de gelijkenis van de notatie voor een gemengde breuk met de notatie voor het product van een geheel getal en een breuk.
Schothoogte:
Hoogte van een gewone breuk is de som van de modulus van de teller en noemer van deze breuk. Hoogte van een rationaal getal is de som van de modulus van de teller en noemer van de onherleidbare gewone breuk die overeenkomt met dit getal.
De hoogte van een breuk is bijvoorbeeld . De hoogte van het corresponderende rationale getal is , aangezien de breuk wordt verminderd met .
Een reactie
Termijn fractioneel getal (breuk) soms [ nader toelichten] wordt gebruikt als synoniem voor de term rationaal getal, en soms een synoniem voor een niet-geheel getal. In het laatste geval zijn fractionele en rationale getallen verschillende dingen, aangezien dan niet-gehele rationale getallen gewoon zijn speciaal geval fractioneel.
Eigenschappen
Basiseigenschappen
De reeks rationale getallen voldoet aan zestien basiseigenschappen die gemakkelijk kunnen worden verkregen uit de eigenschappen van gehele getallen.
- Ordelijkheid. Voor alle rationale getallen is er een regel waarmee u op unieke wijze één en slechts één van de drie relaties kunt identificeren: "", "" of "". Deze regel heet bestelregel en is als volgt geformuleerd: twee positieve getallen en zijn gerelateerd door dezelfde relatie als twee gehele getallen en ; twee niet-positieve getallen en zijn gerelateerd door dezelfde relatie als twee niet-negatieve getallen en ; indien plotseling niet-negatief, maar - negatief, dan .
optelling van breuken
- toevoeging operatie. sommatie regel som getallen en en wordt aangeduid met , en het proces om zo'n getal te vinden heet sommatie. De sommatieregel heeft de volgende vorm: .
- vermenigvuldiging operatie. Voor alle rationale getallen en er is een zogenaamde vermenigvuldigingsregel, waardoor ze in overeenstemming zijn met een of ander rationaal getal . Het nummer zelf wordt gebeld het werk getallen en en wordt aangegeven , en het proces om zo'n getal te vinden wordt ook wel vermenigvuldiging. De vermenigvuldigingsregel heeft de volgende vorm: .
- Transitiviteit van de orderrelatie. Voor elk triplet van rationale getallen, en indien kleiner dan en kleiner dan, dan kleiner dan, en indien gelijk aan en gelijk aan, dan gelijk aan.
- Commutativiteit van optellen. Door een verandering in de plaatsen van rationele termen, verandert de som niet.
- Associativiteit van optellen. De volgorde waarin drie rationale getallen worden opgeteld, heeft geen invloed op het resultaat.
- De aanwezigheid van nul. Er is een rationaal getal 0 dat elk ander rationaal getal behoudt wanneer het wordt opgeteld.
- De aanwezigheid van tegenovergestelde nummers. Elk rationaal getal heeft een tegengesteld rationaal getal, dat bij optelling 0 geeft.
- Commutativiteit van vermenigvuldiging. Door de plaatsen van rationele factoren te veranderen, verandert het product niet.
- Associativiteit van vermenigvuldiging. De volgorde waarin drie rationale getallen worden vermenigvuldigd, heeft geen invloed op het resultaat.
- De aanwezigheid van een eenheid. Er is een rationaal getal 1 dat elk ander rationaal getal behoudt wanneer het wordt vermenigvuldigd.
- De aanwezigheid van wederkerige. Elk rationaal getal dat niet nul is, heeft een invers rationaal getal, waarbij vermenigvuldiging 1 geeft.
- Distributiviteit van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen. De vermenigvuldigingsbewerking is consistent met de optelbewerking via de distributiewet:
- Verbinding van de orderrelatie met de bewerking van optellen. Naar links en rechts rationele ongelijkheid je kunt hetzelfde rationele getal toevoegen.
- Verbinding van de orderelatie met de bewerking van vermenigvuldiging. De linker- en rechterkant van een rationale ongelijkheid kunnen worden vermenigvuldigd met hetzelfde positieve rationale getal.
- Axioma van Archimedes. Wat het rationale getal ook is, u kunt zoveel eenheden nemen dat hun som groter zal zijn.
Extra eigenschappen
Alle andere eigenschappen die inherent zijn aan rationale getallen worden niet aangemerkt als basiseigenschappen, omdat ze over het algemeen niet langer rechtstreeks gebaseerd zijn op de eigenschappen van gehele getallen, maar kunnen worden bewezen op basis van de gegeven basiseigenschappen of rechtstreeks door de definitie van een of ander wiskundig object. Er zijn veel van dergelijke extra eigenschappen. Het is zinvol om er hier slechts enkele te noemen.
Telbaarheid instellen
Om het aantal rationale getallen te schatten, moet je de kardinaliteit van hun verzameling vinden. Het is gemakkelijk te bewijzen dat de verzameling van rationale getallen aftelbaar is. Om dit te doen, volstaat het om een algoritme te geven dat rationale getallen opsomt, dat wil zeggen een bijectie vaststelt tussen de verzamelingen van rationale en natuurlijke getallen. Het volgende eenvoudige algoritme kan als voorbeeld van een dergelijke constructie dienen. Er wordt een oneindige tabel met gewone breuken samengesteld, op elke -de rij in elke -de kolom waarvan er een breuk is. Voor de zekerheid wordt aangenomen dat de rijen en kolommen van deze tabel vanaf één zijn genummerd. Tabelcellen worden aangegeven met , waarbij het rijnummer is van de tabel waarin de cel zich bevindt en het kolomnummer.
De resulterende tabel wordt beheerd door een "slang" volgens het volgende formele algoritme.
Deze regels worden van boven naar beneden doorzocht en de volgende positie wordt geselecteerd door de eerste match.
Tijdens zo'n bypass wordt elk nieuw rationale getal toegewezen aan het volgende natuurlijke getal. Dat wil zeggen, breuken krijgen het nummer 1, breuken - het nummer 2, enz. Opgemerkt moet worden dat alleen onherleidbare breuken worden genummerd. Het formele teken van onherleidbaarheid is de gelijkheid tot eenheid van de grootste gemene deler van de teller en noemer van de breuk.
Door dit algoritme te volgen, kan men alle positieve rationale getallen opsommen. Dit betekent dat de verzameling positieve rationale getallen aftelbaar is. Het is gemakkelijk om een bijectie vast te stellen tussen de verzamelingen positieve en negatieve rationale getallen, simpelweg door aan elk rationaal getal het tegenovergestelde toe te kennen. Dat. de verzameling negatieve rationale getallen is ook aftelbaar. Hun unie is ook aftelbaar door de eigenschap van aftelbare sets. De verzameling rationale getallen is ook aftelbaar als de vereniging van een aftelbare verzameling met een eindige.
Natuurlijk zijn er andere manieren om de rationale getallen op te sommen. U kunt hiervoor bijvoorbeeld constructies gebruiken zoals de Calkin - Wilf tree, de Stern - Brokaw tree of de Farey serie.
De uitspraak over de telbaarheid van de verzameling rationale getallen kan enige verbijstering veroorzaken, aangezien men op het eerste gezicht de indruk krijgt dat deze veel groter is dan de verzameling natuurlijke getallen. In feite is dit niet het geval, en er zijn genoeg natuurlijke getallen om alle rationale getallen op te sommen.
Ontoereikendheid van rationale getallen
zie ook
|
|||||
| Rationele nummers | |||||
Opmerkingen:
Literatuur
- ik. Kushnir. Handboek wiskunde voor schoolkinderen. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 d.
- P.S. Alexandrov. Inleiding tot verzamelingenleer en algemene topologie. - M.: hoofd. red. Fys.-Wiskunde. verlicht. red. "Wetenschap", 1977
- I.L. Khmelnitsky. Inleiding tot de theorie van algebraïsche systemen
In deze paragraaf geven we verschillende definities van rationale getallen. Ondanks de verschillen in bewoording, hebben al deze definities dezelfde betekenis: rationale getallen combineren gehele getallen en gebroken getallen, net zoals gehele getallen natuurlijke getallen, hun tegengestelde getallen en het getal nul combineren. Met andere woorden, rationale getallen generaliseren gehele en fractionele getallen.
Laten we beginnen met definities van rationale getallen wat als het meest natuurlijk wordt ervaren.
Definitie.
Rationele nummers zijn getallen die kunnen worden geschreven als een positieve gemeenschappelijke breuk, een negatieve gemeenschappelijke breuk of het getal nul.
Uit de klinkende definitie volgt dat een rationaal getal is:
elk natuurlijk getal N. Elk natuurlijk getal kan inderdaad worden weergegeven als een gewone breuk, bijvoorbeeld 3=3/1 .
· Elk geheel getal, in het bijzonder het getal nul. Inderdaad, elk geheel getal kan worden geschreven als een positieve gemeenschappelijke breuk, of als een negatieve gemeenschappelijke breuk, of als nul. Bijvoorbeeld, 26=26/1 , .
Elke gewone breuk (positief of negatief). Dit wordt direct aangegeven door de gegeven definitie van rationale getallen.
Ieder gemengd getal. Het is inderdaad altijd mogelijk om een gemengd getal weer te geven als een onechte gewone breuk. Bijvoorbeeld, en.
· Elke eindige decimale breuk of oneindige periodieke breuk. Dit is zo omdat de aangegeven decimalen omgezet in gewone breuken. Bijvoorbeeld, een 0,(3)=1/3 .
Het is ook duidelijk dat een oneindig niet-herhalend decimaalteken GEEN rationaal getal is, omdat het niet kan worden weergegeven als een gewone breuk.
Nu kunnen we gemakkelijk brengen voorbeelden van rationale getallen. Cijfers 4 ,903 , 100 321 zijn rationale getallen, omdat het natuurlijke getallen zijn. Hele getallen 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 zijn ook voorbeelden van rationale getallen. Gemeenschappelijke breuken 4/9 , 99/3 , zijn ook voorbeelden van rationale getallen. Rationele getallen zijn ook getallen.
De bovenstaande voorbeelden laten zien dat er zowel positieve als negatieve rationale getallen zijn en dat het rationale getal nul noch positief noch negatief is.
De bovenstaande definitie van rationale getallen kan in een kortere vorm worden geformuleerd.
Definitie.
Rationele nummers noem een getal dat als een breuk kan worden geschreven z/n, waar z is een geheel getal, en N- natuurlijk nummer.
Laten we bewijzen dat deze definitie van rationale getallen gelijk is aan de vorige definitie. We weten dat we de staaf van een breuk als een teken van deling kunnen beschouwen, dan volgt uit de eigenschappen van de deling van gehele getallen en de regels voor het delen van gehele getallen de geldigheid van de volgende gelijkheden en. Dus dat is het bewijs.
We geven voorbeelden van rationale getallen op basis van deze definitie. Cijfers −5 , 0 , 3 , en zijn rationale getallen, omdat ze kunnen worden geschreven als breuken met een gehele teller en een natuurlijke noemer van de vorm en respectievelijk.
De definitie van rationale getallen kan ook in de volgende formulering worden gegeven.
Definitie.
Rationele nummers zijn getallen die kunnen worden geschreven als een eindige of oneindige periodieke decimale breuk.
Deze definitie is ook gelijk aan de eerste definitie, aangezien elke gewone breuk overeenkomt met een eindige of periodieke decimale breuk en vice versa, en elk geheel getal kan worden geassocieerd met een decimale breuk met nullen achter de komma.
Bijvoorbeeld cijfers 5 , 0 , −13 , zijn voorbeelden van rationale getallen, omdat ze kunnen worden geschreven als de volgende decimale breuken: 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 en −7,(18) .
We sluiten de theorie van deze sectie af met de volgende uitspraken:
gehele en fractionele getallen (positief en negatief) vormen de reeks rationale getallen;
Elk rationaal getal kan worden weergegeven als een breuk met een gehele teller en een natuurlijke noemer, en elke breuk is een rationaal getal;
Elk rationaal getal kan worden weergegeven als een eindige of oneindige periodieke decimale breuk, en elke breuk vertegenwoordigt een rationeel getal.
Bovenaan de pagina
De toevoeging van positieve rationale getallen is commutatief en associatief,
("a, b н Q +) a + b= b + een;
("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)
Voordat u de definitie van vermenigvuldiging van positieve rationale getallen formuleert, moet u rekening houden met het volgende probleem: het is bekend dat de lengte van het segment X wordt uitgedrukt als een breuk met de eenheidslengte E, en de lengte van het eenheidssegment wordt gemeten met de eenheid E 1 en wordt uitgedrukt als een breuk. Hoe vind je het getal dat de lengte van het segment X vertegenwoordigt, als je het meet met behulp van de lengte-eenheid E 1?
Aangezien X=E, dan nX=mE, en uit het feit dat E =E 1 volgt dat qE=pE 1 . We vermenigvuldigen de eerste verkregen gelijkheid met q, en de tweede met m. Dan (nq)X \u003d (mq)E en (mq)E \u003d (mp)E 1, vanwaar (nq)X \u003d (mp)E 1. Deze gelijkheid laat zien dat de lengte van het segment x op eenheidslengte wordt uitgedrukt als een breuk, en dus , =, d.w.z. vermenigvuldiging van breuken wordt geassocieerd met de overgang van de ene lengte-eenheid naar de andere bij het meten van de lengte van hetzelfde segment.
Definitie Als een positief getal a wordt weergegeven door een breuk, en een positief rationaal getal b een breuk, dan is hun product het getal a b, dat wordt weergegeven door een breuk.
Vermenigvuldiging van positieve rationale getallen commutatief, associatief en distributief met betrekking tot optellen en aftrekken. Het bewijs van deze eigenschappen is gebaseerd op de definitie van vermenigvuldiging en optelling van positieve rationale getallen, evenals op de overeenkomstige eigenschappen van optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen.
46. Zoals je weet aftrekken is het tegenovergestelde van optellen.
Als een en B - positieve getallen, en vervolgens het getal b van het getal a aftrekken, betekent een getal c vinden dat, wanneer opgeteld bij het getal b, het getal a geeft.
a - b = c of c + b = a
De definitie van aftrekken geldt voor alle rationale getallen. Dat wil zeggen, het aftrekken van positieve en negatieve getallen kan worden vervangen door optellen.
Om een ander van het ene getal af te trekken, moet je het tegenovergestelde getal bij de minuend optellen.
Of, op een andere manier, kunnen we zeggen dat het aftrekken van het getal b dezelfde optelling is, maar met het getal tegengesteld aan het getal b.
a - b = a + (- b)
Voorbeeld.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Voorbeeld.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Het is de moeite waard om de onderstaande uitdrukkingen te onthouden.
0 - a = - a
a - 0 = a
een - een = 0
Regels voor het aftrekken van negatieve getallen
Het aftrekken van het getal b is de optelling met het getal tegenover het getal b.
Deze regel blijft niet alleen behouden bij het aftrekken van een kleiner getal van een groter getal, maar maakt het ook mogelijk om van een kleiner getal af te trekken meer, dat wil zeggen, u kunt altijd het verschil van twee getallen vinden.
Het verschil kan een positief getal, een negatief getal of nul zijn.
Voorbeelden van het aftrekken van negatieve en positieve getallen.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Het is handig om de tekenregel te onthouden, waarmee u het aantal haakjes kunt verminderen.
Het plusteken verandert het teken van het cijfer niet, dus als er een plusteken voor het haakje staat, verandert het teken tussen de haakjes niet.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Het minteken voor de haakjes keert het teken van het getal tussen de haakjes om.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Uit de gelijkheden blijkt dat als er identieke tekens voor en tussen de haakjes staan, we "+" krijgen, en als de tekens verschillend zijn, krijgen we "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
De regel van tekens blijft ook behouden als er niet één getal tussen haakjes staat, maar een algebraïsche som van getallen.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Let op: als er meerdere cijfers tussen haakjes staan en er staat een minteken voor de haakjes, dan moeten de tekens voor alle cijfers tussen deze haakjes veranderen.
Om de tekenregel te onthouden, kunt u een tabel maken om de tekens van een getal te bepalen.
Tekenregel voor getallen + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Of leer een eenvoudige regel.
Twee negatieven maken een bevestigend,
Plus maal min is gelijk aan min.
Regels voor het delen van negatieve getallen.
Om de modulus van het quotiënt te vinden, moet je de modulus van het deeltal delen door de modulus van de deler.
Dus om twee getallen met dezelfde tekens te delen, heb je nodig:
Deel de modulus van het deeltal door de modulus van de deler;
Zet een "+" teken voor het resultaat.
Voorbeelden van het delen van getallen met verschillende tekens:
U kunt ook de volgende tabel gebruiken om het quotiëntteken te bepalen.
De regel van tekens bij het delen
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -
Bij het berekenen van "lange" uitdrukkingen, waarin alleen vermenigvuldiging en deling voorkomen, is het erg handig om de tekenregel te gebruiken. Om bijvoorbeeld een breuk te berekenen
U kunt erop letten dat er in de teller 2 "mintekens" staan, die bij vermenigvuldiging een "plus" geven. Er zijn ook drie mintekens in de noemer, die, wanneer vermenigvuldigd, een min opleveren. Daarom zal het resultaat uiteindelijk een minteken zijn.
Breukreductie (verdere acties met getallenmodules) wordt op dezelfde manier uitgevoerd als voorheen:
Het quotiënt van het delen van nul door een getal dat niet nul is, is nul.
0: a = 0, een ≠ 0
NIET delen door nul!
Alle eerder bekende regels voor delen door één zijn ook van toepassing op de verzameling rationale getallen.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, waarbij a een willekeurig rationaal getal is.
De afhankelijkheden tussen de resultaten van vermenigvuldigen en delen, die bekend zijn voor positieve getallen, blijven ook behouden voor alle rationale getallen (behalve voor het getal nul):
als a × b = c; a = c: b; b = c: een;
als a: b = c; a = c × b; b=a:c
Deze afhankelijkheden worden gebruikt om de onbekende factor, het deeltal en de deler te vinden (bij het oplossen van vergelijkingen), en om de resultaten van vermenigvuldigen en delen te controleren.
Een voorbeeld van het vinden van het onbekende.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2
Gelijkaardige informatie.
Middelbare scholieren en studenten van wiskundige specialiteiten zullen deze vraag waarschijnlijk gemakkelijk beantwoorden. Maar voor degenen die hier verre van van beroep zijn, zal het moeilijker zijn. Wat is het echt?
Essentie en aanduiding
Rationele getallen zijn getallen die kunnen worden weergegeven als een breuk. Positief, negatief en nul zijn ook inbegrepen in deze set. De teller van een breuk moet een geheel getal zijn en de noemer moet . zijn
Deze verzameling wordt in de wiskunde aangeduid als Q en wordt "het veld van rationale getallen" genoemd. Het bevat alle gehele getallen en natuurlijke getallen, respectievelijk aangeduid als Z en N. De verzameling Q zelf is opgenomen in de verzameling R. Het is deze letter die de zogenaamde reële of
Vertegenwoordiging
Zoals eerder vermeld, zijn rationale getallen een verzameling die alle gehele en fractionele waarden omvat. Ze kunnen worden gepresenteerd in verschillende vormen. Ten eerste in de vorm van een gewone breuk: 5/7, 1/5, 11/15, enz. Natuurlijk kunnen gehele getallen ook in een vergelijkbare vorm worden geschreven: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, enz. Ten tweede is een ander type weergave een decimale breuk met een eind fractioneel deel: 0.01, -15.001006, etc. Dit is misschien wel een van de meest voorkomende vormen.
Maar er is ook een derde - een periodieke breuk. Dit type is niet erg gebruikelijk, maar wordt nog steeds gebruikt. De breuk 10/3 kan bijvoorbeeld worden geschreven als 3,33333... of 3,(3). In dit geval worden verschillende representaties als gelijkaardige getallen beschouwd. Gelijke breuken worden ook wel 3/5 en 6/10 genoemd. Het lijkt erop dat duidelijk is geworden wat rationale getallen zijn. Maar waarom wordt deze term gebruikt om naar hen te verwijzen?
oorsprong van naam
Het woord 'rationeel' in het moderne Russisch heeft over het algemeen een iets andere betekenis. Het is eerder "redelijk", "overwogen". Maar wiskundige termen liggen dicht bij de directe betekenis hiervan. In het Latijn is "ratio" "ratio", "fractie" of "deling". De naam weerspiegelt dus de essentie van wat rationale getallen zijn. Echter, de tweede betekenis
niet ver van de waarheid.
Acties met hen
Bij het oplossen van wiskundige problemen komen we voortdurend rationale getallen tegen zonder het zelf te weten. En ze hebben een aantal interessante eigenschappen. Ze volgen allemaal uit de definitie van een verzameling of uit acties.
Ten eerste hebben rationale getallen de eigenschap orderrelatie. Dit betekent dat er slechts één verhouding kan bestaan tussen twee getallen - ze zijn ofwel gelijk aan elkaar, of de ene is groter of kleiner dan de andere. d.w.z.:
of a = b of a > b of een< b.
Bovendien impliceert deze eigenschap ook de transitiviteit van de relatie. Dat wil zeggen, als een meer B, B meer C, dan een meer C. In de taal van de wiskunde ziet het er als volgt uit:
(a > b) ^ (b > c) => (a > c).
Ten tweede zijn er rekenkundige bewerkingen met rationale getallen, dat wil zeggen optellen, aftrekken, delen en natuurlijk vermenigvuldigen. Tegelijkertijd zijn er in het proces van transformaties ook een aantal eigenschappen te onderscheiden.
- a + b = b + a (vervanging van termen, commutativiteit);
- 0 + een = een + 0;
- (a + b) + c = a + (b + c) (associativiteit);
- een + (-a) = 0;
- ab=ba;
- (ab)c = a(bc) (distributiviteit);
- een x 1 = 1 x een = een;
- a x (1 / a) = 1 (in dit geval is a niet gelijk aan 0);
- (a + b)c = ac + ab;
- (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).
Wanneer we zijn aan het praten over gewone, en niet of hele getallen, bewerkingen ermee kunnen bepaalde problemen veroorzaken. Dus optellen en aftrekken is alleen mogelijk als de noemers gelijk zijn. Als ze aanvankelijk verschillend zijn, zou je een gemeenschappelijke moeten vinden, door de hele breuk met bepaalde getallen te vermenigvuldigen. Vergelijking is ook meestal alleen mogelijk als aan deze voorwaarde is voldaan.
Deling en vermenigvuldiging van gewone breuken worden uitgevoerd in overeenstemming met voldoende eenvoudige regels. Reductie tot een gemene deler is niet nodig. De tellers en noemers worden afzonderlijk vermenigvuldigd, terwijl tijdens het uitvoeren van de actie, indien mogelijk, de breuk zo veel mogelijk moet worden verkleind en vereenvoudigd.
Wat betreft de verdeling, deze actie is vergelijkbaar met de eerste met een klein verschil. Voor de tweede breuk moet je de reciproke vinden, dat wil zeggen,
"draai het om. De teller van de eerste breuk moet dus worden vermenigvuldigd met de noemer van de tweede en vice versa.
Ten slotte wordt een andere eigenschap die inherent is aan rationale getallen, het axioma van Archimedes genoemd. De term "principe" komt ook vaak voor in de literatuur. Het is geldig voor de hele reeks reële getallen, maar niet overal. Dit principe werkt dus niet voor sommige verzamelingen van rationale functies. In wezen betekent dit axioma dat, gegeven het bestaan van twee grootheden a en b, je altijd genoeg a kunt nemen om b te overtreffen.
Toepassingsgebied
Dus voor degenen die hebben geleerd of onthouden wat rationale getallen zijn, wordt het duidelijk dat ze overal worden gebruikt: in de boekhouding, economie, statistiek, natuurkunde, scheikunde en andere wetenschappen. Natuurlijk hebben ze ook een plaats in de wiskunde. Omdat we niet altijd weten dat we ermee te maken hebben, gebruiken we constant rationale getallen. Zelfs jonge kinderen, die voorwerpen leren tellen, een appel in stukjes snijden of andere eenvoudige handelingen uitvoeren, komen ze tegen. Ze omringen ons letterlijk. En toch, om sommige problemen op te lossen, zijn ze niet voldoende, met name door het voorbeeld van de stelling van Pythagoras te gebruiken, kan men de noodzaak begrijpen om het concept te introduceren
In deze les maken we kennis met de verzameling rationale getallen. We zullen de basiseigenschappen van rationale getallen analyseren, leren hoe we decimale breuken kunnen vertalen naar gewone breuken en vice versa.
We hebben het al gehad over de verzamelingen natuurlijke en gehele getallen. De verzameling natuurlijke getallen is een deelverzameling van gehele getallen.
Nu hebben we geleerd wat breuken zijn, we hebben geleerd om ermee te werken. Een breuk is bijvoorbeeld geen geheel getal. Dit betekent dat het nodig is om een nieuwe reeks getallen te beschrijven, die alle breuken zal bevatten, en deze reeks heeft een naam, een duidelijke definitie en aanduiding nodig.
Laten we beginnen met de naam. Het Latijnse woord ratio wordt in het Russisch vertaald als ratio, breuk. De naam van de nieuwe set "rationele getallen" komt van dit woord. Dat wil zeggen, "rationele getallen" kunnen worden vertaald als "fractionele getallen".
Laten we eens kijken uit welke nummers deze set bestaat. Aangenomen kan worden dat het uit alle breuken bestaat. Bijvoorbeeld, dergelijke -. Maar zo'n definitie zou niet helemaal correct zijn. Een breuk is zelf geen getal, maar een vorm van het schrijven van een getal. In het onderstaande voorbeeld zijn twee verschillende breuken hetzelfde nummer vertegenwoordigen:
Dan is het nauwkeuriger om te zeggen dat rationale getallen die getallen zijn die als een breuk kunnen worden weergegeven. En dit is eigenlijk bijna dezelfde definitie die in de wiskunde wordt gebruikt.
Deze set wordt aangegeven met de letter . En hoe zijn de verzamelingen natuurlijke en gehele getallen verbonden met de nieuwe verzameling rationale getallen? Een natuurlijk getal kan op oneindig veel manieren als een breuk worden geschreven. En aangezien het kan worden weergegeven als een breuk, is het ook rationeel.
De situatie is vergelijkbaar met negatieve gehele getallen. Elk geheel getal negatief nummer kan worden uitgedrukt als een breuk 
. Kan nul worden weergegeven als een breuk? Dat kan natuurlijk, ook op oneindig veel manieren. 
.
Dus alle natuurlijke getallen en alle gehele getallen zijn ook rationale getallen. De verzamelingen natuurlijke en gehele getallen zijn onderverzamelingen van de verzameling rationale getallen ().
Sluiting van verzamelingen met betrekking tot rekenkundige bewerkingen
De noodzaak om nieuwe getallen in te voeren - gehele getallen en daarna rationale getallen - kan niet alleen worden verklaard door problemen van: echte leven. De rekenkundige bewerkingen zelf vertellen ons dit. Laten we twee natuurlijke getallen optellen: . We krijgen weer een natuurlijk getal.
Ze zeggen dat de verzameling natuurlijke getallen wordt gesloten onder de bewerking van optellen (gesloten onder optellen). Bedenk zelf of de verzameling natuurlijke getallen onder vermenigvuldiging gesloten is.
Zodra we proberen af te trekken van een getal gelijk aan of groter, dan hebben we niet genoeg natuurlijke getallen. De introductie van nul en negatieve gehele getallen lost de situatie op:
De verzameling gehele getallen wordt onder aftrekken gesloten. We kunnen elk geheel getal optellen en aftrekken zonder bang te hoeven zijn dat we geen getal hebben om het resultaat op te schrijven (gesloten onder optellen en aftrekken).
Is de verzameling gehele getallen gesloten onder vermenigvuldiging? Ja, het product van twee willekeurige gehele getallen resulteert in een geheel getal (gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen).
Er is nog een actie over - verdelen. Is de verzameling gehele getallen gesloten onder delen? Het antwoord ligt voor de hand: nee. Laten we delen door . Onder de gehele getallen is er niemand om het antwoord op te schrijven: .
Maar als we een fractioneel getal gebruiken, kunnen we bijna altijd het resultaat opschrijven van het delen van een geheel getal door een ander. Waarom bijna? Bedenk dat je per definitie niet door nul kunt delen.
Dus de verzameling rationale getallen (die voortkomt uit de introductie van breuken) beweert een verzameling te zijn die onder alle vier rekenkundige bewerkingen is gesloten.
Laten we het controleren.
Dat wil zeggen, de verzameling rationale getallen is gesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, exclusief delen door nul. In die zin kunnen we zeggen dat de reeks rationale getallen "beter" is gerangschikt dan de vorige reeksen natuurlijke en gehele getallen. Betekent dit dat de rationale getallen de laatste reeks getallen zijn die we bestuderen? Nee. Vervolgens hebben we andere getallen die niet als breuken kunnen worden geschreven, bijvoorbeeld irrationele.
Cijfers als hulpmiddel
Cijfers zijn een hulpmiddel dat de mens naar behoefte heeft gemaakt.
Rijst. 1. Gebruik van natuurlijke getallen
Verder, toen het nodig was om monetaire berekeningen uit te voeren, begonnen ze plus- of mintekens voor het nummer te plaatsen, om aan te geven of het nodig was om de oorspronkelijke waarde te verhogen of te verlagen. Er waren dus negatieve en positieve getallen. De nieuwe verzameling werd de verzameling gehele getallen () genoemd.
Rijst. 2. Gebruik van fractionele getallen
Daarom lijkt het nieuwe tool, nieuwe getallen zijn breuken. We schrijven ze op verschillende equivalente manieren: gewone en decimale breuken ( 
).
Alle getallen - "oud" (geheel) en "nieuw" (fractionele) - werden gecombineerd in één set en noemden het de verzameling rationale getallen ( - rationale getallen)
Een rationaal getal is dus een getal dat kan worden weergegeven als een gewone breuk. Maar deze definitie in de wiskunde is nog iets nauwkeuriger. Elk rationaal getal kan worden weergegeven als een breuk met een positieve noemer, dat wil zeggen de verhouding van een geheel getal tot een natuurlijk getal: 
.
Dan krijgen we de definitie: een getal wordt rationaal genoemd als het kan worden weergegeven als een breuk met een geheel getal en een natuurlijke noemer ( 
).
Naast gewone breuken gebruiken we ook decimalen. Laten we eens kijken hoe ze gerelateerd zijn aan de verzameling rationale getallen.
Er zijn drie soorten decimale breuken: eindig, periodiek en niet-periodiek.
Oneindige niet-periodieke breuken: zulke breuken hebben ook een oneindig aantal cijfers achter de komma, maar er is geen punt. Een voorbeeld is de decimale notatie voor het getal PI: 
Elke eindige decimale breuk is per definitie een gewone breuk met een noemer, enzovoort.
We lezen de decimale breuk hardop en schrijven deze in de vorm van een gewone:,.
In de omgekeerde overgang van het schrijven in de vorm van een gewone breuk naar een decimaal, kunnen definitieve decimale breuken of oneindige periodieke breuken worden verkregen.
Wijzigen van breuk naar decimaal
Het eenvoudigste geval is wanneer de noemer van een breuk een macht van tien is: enzovoort. Dan gebruiken we de definitie van een decimale breuk:
Er zijn breuken waarin de noemer gemakkelijk tot deze vorm kan worden teruggebracht: . Het is mogelijk om naar zo'n notatie te gaan als alleen tweeën en vijven worden opgenomen in de uitbreiding van de noemer.
De noemer bestaat uit drie tweeën en één vijf. Elk vormt een tien. We missen er dus twee. Vermenigvuldig met zowel de teller als de noemer:
Het had anders gekund. Deel door een kolom door (zie Fig. 1).
Rijst. 2. Staartdeling
In het geval van c kan de noemer niet worden omgezet in of een ander bitnummer, omdat de uitbreiding een triple omvat. Er is nog maar één manier - verdelen in een kolom (zie Fig. 2).
Zo'n deling bij elke stap geeft de rest en het quotiënt. Dit proces is eindeloos. Dat wil zeggen, we hebben een oneindige periodieke breuk met een punt
Laten we oefenen. Converteer gewone breuken naar decimalen.
In al deze voorbeelden kregen we de laatste decimale breuk, omdat er slechts tweeën en vijfen waren in de uitbreiding van de noemer.
(laten we onszelf controleren door in een tabel te verdelen - zie Fig. 3).
Rijst. 3. Staartdeling
Rijst. 4. Staartdeling
(zie afb. 4)
De uitbreiding van de noemer omvat een triple, wat betekent dat de noemer de vorm krijgt, enz. zal niet werken. We delen door in een kolom. De situatie zal zich herhalen. Het resultaatrecord zal zijn: oneindig getal verdrievoudigt. Op deze manier, .
(zie afb. 5)
Rijst. 5. Staartdeling
Dus elk rationaal getal kan worden weergegeven als een gewone breuk. Dit is zijn definitie.
En elk gemeenschappelijke breuk kan worden weergegeven als een eindige of oneindige periodieke decimale breuk.
Soorten schrijfbreuken:
het schrijven van een decimale breuk in de vorm van een gewone: ; 
;
het schrijven van een gewone breuk als een decimaal: (laatste breuk); (oneindig periodiek).
Dat wil zeggen, elk rationaal getal kan worden geschreven als een eindige of periodieke decimale breuk. Waarin laatste breuk kan ook als periodiek worden beschouwd met een periode van nul.
Soms krijgt een rationaal getal precies zo'n definitie: een rationaal getal is een getal dat kan worden geschreven als een periodieke decimale breuk.
Periodieke breuktransformatie
Beschouw eerst een breuk waarvan de punt uit één cijfer bestaat en geen punt heeft. Laten we dit getal noteren als . De methode is om een ander nummer met dezelfde periode te krijgen:
Dit kan door het oorspronkelijke getal te vermenigvuldigen met . Het getal heeft dus dezelfde periode. Trek van het getal zelf af:
Om er zeker van te zijn dat we alles goed hebben gedaan, gaan we nu over naar achterkant, al bekend bij ons op een manier - verdelen in een kolom door (zie Fig. 1).
In feite krijgen we een getal in zijn oorspronkelijke vorm met een punt van .
Beschouw een getal met een voor- en een langere periode: . De methode blijft precies hetzelfde als in het vorige voorbeeld. U moet een nieuw nummer krijgen met dezelfde periode en een voorperiode van dezelfde lengte. Om dit te doen, moet u de komma naar rechts verplaatsen over de lengte van de punt, d.w.z. voor twee karakters. Vermenigvuldig het oorspronkelijke getal met:
Trek de oorspronkelijke uitdrukking af van de resulterende uitdrukking:
Dus, wat is het vertaalalgoritme. Een periodieke breuk moet worden vermenigvuldigd met een getal van de vorm, enz., waarin er evenveel nullen als cijfers zijn in de periode van de decimale breuk. We krijgen een nieuwe periodiek. Bijvoorbeeld:
We trekken een andere af van een periodieke breuk, we krijgen de laatste decimale breuk:
Het blijft om de oorspronkelijke periodieke breuk uit te drukken in de vorm van een gewone breuk.
Om zelf te oefenen, schrijft u een paar periodieke breuken op. Gebruik dit algoritme om ze in de vorm van een gewone breuk te brengen. Om op een rekenmachine te controleren, deelt u de teller door de noemer. Als alles klopt, krijg je de originele periodieke breuk
We kunnen dus elke eindige of oneindige periodieke breuk schrijven als een gewone breuk, als een verhouding van natuurlijke en gehele getallen. Die. al dergelijke breuken zijn rationale getallen.
Hoe zit het met niet-periodieke breuken? Het blijkt dat niet-periodieke breuken niet kunnen worden weergegeven als gewone breuken (we accepteren dit feit zonder bewijs). Het zijn dus geen rationale getallen. Ze worden irrationeel genoemd.
Oneindige niet-periodieke breuken
Zoals we al zeiden, een rationaal getal in decimale notatie een eindige of een periodieke breuk is. Dus als we een oneindige niet-periodieke breuk kunnen bouwen, krijgen we een niet-rationeel, dat wil zeggen een irrationeel getal.
Hier is een manier om dit te doen: Het fractionele deel van dit getal bestaat alleen uit nullen en enen. Het aantal nullen tussen enen neemt toe met . Het is onmogelijk om hier een herhalend deel uit te kiezen. Dat wil zeggen, de breuk is niet periodiek.
Oefen zelf met het construeren van niet-recurrente decimale breuken, dat wil zeggen irrationele getallen
Een voorbeeld van een ons bekend irrationeel getal is het getal pi ( ). Er is geen punt in dit item. Maar naast pi zijn er oneindig veel andere irrationele getallen. Meer over irrationele nummers We praten later.
- Wiskunde 5e leerjaar. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31e ed., ster. - M: Mnemosyne, 2013.
- Wiskunde 5e leerjaar. Erina T.M.. Werkboek voor het leerboek Vilenkina N.Ya., M.: Examen, 2013.
- Wiskunde 5e leerjaar. Merzlyak AG, Polonsky VB, Yakir MS, M.: Ventana - Graf, 2013.
- Math-prosto.ru ().
- Slimme studenten.ru ().
- Wiskunde-herhaling.com().
Huiswerk
