Het concept van traagheidskrachten. Kinetostatische methode

IN klassieke mechanica ideeën over krachten en hun eigenschappen zijn daarop gebaseerd De wetten van Newton en zijn onlosmakelijk verbonden met het concept traagheidsreferentieframe.

Er wordt inderdaad rekening gehouden met een fysieke grootheid die kracht wordt genoemd door de tweede wet van Newton, terwijl de wet zelf alleen is geformuleerd voor traagheidsreferentiesystemen. Dienovereenkomstig blijkt het begrip kracht aanvankelijk alleen voor dergelijke referentiesystemen te worden gedefinieerd.

Vergelijking van de tweede wet van Newton heeft betrekking op versnelling En massa materieel punt met de kracht die erop inwerkt, staat in de vorm geschreven

Uit de vergelijking volgt onmiddellijk dat de versnelling van lichamen alleen door krachten wordt veroorzaakt, en omgekeerd: de werking van niet-gecompenseerde krachten op een lichaam veroorzaakt noodzakelijkerwijs de versnelling ervan.

De derde wet van Newton vormt een aanvulling en ontwikkeling van wat er in de tweede wet over krachten werd gezegd.

kracht is een maatstaf voor de mechanische werking van andere lichamen op een bepaald materieel lichaam

in overeenstemming met de derde wet van Newton kunnen krachten alleen in paren bestaan, en de aard van de krachten in elk van deze paren is hetzelfde.

elke kracht die op een lichaam inwerkt, heeft zijn oorsprong in de vorm van een ander lichaam. Met andere woorden: krachten vertegenwoordigen noodzakelijkerwijs het resultaat interacties tel.

Er worden geen andere krachten in de mechanica geïntroduceerd of gebruikt. De mogelijkheid van het bestaan ​​van krachten die onafhankelijk ontstaan, zonder op elkaar inwerkende lichamen, wordt door de mechanica niet toegestaan.

Hoewel de namen van de traagheidskrachten van Euler en d'Alembert het woord bevatten kracht, zijn deze fysieke grootheden geen krachten in de zin die in de mechanica wordt aanvaard.

34. Het concept van vlak-parallelle beweging van een stijf lichaam

Beweging stevig wordt vlak-parallel genoemd als alle punten van het lichaam bewegen in vlakken evenwijdig aan een vast vlak (het hoofdvlak). Laat een lichaam V een vliegtuigbeweging uitvoeren, π is het hoofdvlak. Van definities vlak-parallelle beweging en de eigenschappen van een absoluut stijf lichaam, volgt hieruit dat elk segment van de rechte lijn AB, loodrecht op het vlak π, een translatiebeweging zal uitvoeren. Dat wil zeggen dat de trajecten, snelheden en versnellingen van alle punten op segment AB hetzelfde zullen zijn. De beweging van elk punt van de sectie s evenwijdig aan het vlak π bepaalt dus de beweging van alle punten van het lichaam V die op een bepaald punt op een segment loodrecht op de sectie liggen. Voorbeelden van vlakparallelle beweging zijn: het rollen van een wiel langs een recht segment, aangezien al zijn punten bewegen in vlakken evenwijdig aan een vlak loodrecht op de as van het wiel; een speciaal geval van een dergelijke beweging is rotatie van een stijf lichaam rond een vaste as In feite bewegen alle punten van een roterend lichaam in vlakken evenwijdig aan een vast vlak loodrecht op de rotatieas.

35. Traagheidskrachten tijdens rechtlijnige en kromlijnige beweging van een materieel punt

De kracht waarmee een punt een verandering in beweging weerstaat, wordt de traagheidskracht van een materieel punt genoemd. De traagheidskracht is tegengesteld gericht aan de versnelling van het punt en is gelijk aan de massa vermenigvuldigd met de versnelling.

Bij het bewegen in een rechte lijn de richting van de versnelling valt samen met het traject. De traagheidskracht is gericht in de richting tegengesteld aan de versnelling, en de numerieke waarde ervan wordt bepaald door de formule:

Tijdens een versnelde beweging vallen de richtingen van versnelling en snelheid samen en is de traagheidskracht gericht in de richting tegengesteld aan de beweging. Tijdens slow motion, wanneer de versnelling in de richting tegengesteld aan de snelheid is gericht, werkt de traagheidskracht in de bewegingsrichting.

Bijkromlijnig en ongelijkmatigbeweging versnelling kan worden ontleed in normaal een en raaklijn bij componenten. Op dezelfde manier bestaat de traagheidskracht van een punt ook uit twee componenten: normaal en tangentieel.

Normaal de component van de traagheidskracht is gelijk aan het product van de massa van het punt en de normale versnelling en is tegengesteld aan deze versnelling gericht:

Raaklijn de component van de traagheidskracht is gelijk aan het product van de massa van het punt en de tangentiële versnelling en is tegengesteld aan deze versnelling gericht:

Uiteraard de totale traagheidskracht van een punt M gelijk aan de geometrische som van de normale en tangentiële componenten, d.w.z.

Gezien het feit dat de raaklijn- en normaalcomponenten onderling loodrecht staan, de totale traagheidskracht.

Om aan de tweede wet van Newton te voldoen in niet-traagheidsreferentiekaders, worden traagheidskrachten geïntroduceerd naast de krachten die op de lichamen inwerken.

Definitie en formule van traagheidskracht

DEFINITIE

Door de kracht van traagheid wordt een kracht genoemd die alleen wordt geïntroduceerd omdat het coördinatensysteem waarin de beweging van lichamen wordt beschouwd, niet-traagheid is.

Het ontstaan ​​van traagheidskrachten houdt geen verband met de werking van welk lichaam dan ook. Laten we ons herinneren dat niet-traagheidsreferentiesystemen alle systemen zijn die met versnelling bewegen ten opzichte van traagheidsframes.

De derde wet van Newton voor traagheidskrachten is niet van toepassing.

Laat de versnelling van het lichaam ten opzichte van het traagheidsframe gelijk zijn aan . Gewoonlijk wordt een dergelijke versnelling absoluut genoemd, terwijl de versnelling van het lichaam ten opzichte van een niet-traagheidsreferentieframe relatief () wordt genoemd. We schrijven de tweede wet van Newton voor het inertiële referentiekader als:

waar is de resulterende kracht die wordt uitgeoefend op een lichaam met massa m. In een niet-traagheidsreferentieframe:

omdat:

Laten we traagheidskrachten toevoegen aan de rechterkant van uitdrukking (2), zodat aan de tweede wet van Newton wordt voldaan in een niet-traagheidsreferentieframe:

In dit geval vinden we dat de traagheidskracht gelijk is aan:

Formule (5) voor de traagheidskracht geeft een correcte beschrijving van beweging in een niet-traagheidsreferentieframe. In dit geval is het vinden van het verschil tussen de relatieve en absolute versnellingen een kinematisch probleem. Dit kan worden opgelost als de aard van de beweging van het niet-traagheidsreferentieframe ten opzichte van het traagheidsframe bekend is.

Referentiesystemen die rechtlijnig bewegen met constante versnelling

Een referentieframe dat in een rechte lijn beweegt met constante versnelling is het eenvoudigste geval van een niet-traagheidsframe. Laten we een niet-traagheidsreferentieframe bekijken dat rechtlijnig beweegt met constante versnelling (overdrachtsversnelling) ten opzichte van het traagheidsreferentieframe. Dan:

Volgens formule (5) is de traagheidskracht gelijk aan:

Roterend referentieframe

Laten we eens kijken naar een referentiesysteem dat met constante snelheid rond een vaste as draait. Voor een lichaam in rust in een dergelijk referentiekader kan de formule voor de traagheidskracht als volgt worden geschreven:

waar is de straalvector, in grootte gelijk aan de afstand van de rotatie-as tot het lichaam in kwestie, gericht vanuit het midden naar het lichaam. De traagheidskracht (8) wordt de centrifugale traagheidskracht genoemd.

Alle lichamen op het aardoppervlak ervaren de werking van de middelpuntvliedende kracht van traagheid.

Merk op dat elk probleem kan worden opgelost in een inertiaal referentiekader. Het gebruik van niet-traagheidssystemen wordt gedicteerd door overwegingen van gebruiksgemak van niet-traagheidssystemen.

Voorbeelden van het oplossen van problemen met het onderwerp "Traagheidskracht"

VOORBEELD 1

Oefening	Wat is de kracht normale druk lichaam (gewicht) op het aardoppervlak, als het lichaam bewegingloos is en massa m heeft. Gelegen op breedtegraad. De straal van de aarde wordt gelijk geacht aan R.
Oplossing	Laten we een tekening maken. Laten we het referentiesysteem verbinden met de aarde. In dit referentieframe werken de volgende krachten op de belasting: zwaartekracht (); grondreactiekracht(); statische wrijvingskracht (). Naast deze krachten werkt de middelpuntvliedende kracht van traagheid (), aangezien we in ons geval het referentiekader dat verband houdt met de aarde niet als traagheid beschouwen. Laten we de formule nemen voor het berekenen van de traagheidskracht: waar is de straal van het traject (cirkel) waarlangs de last beweegt. We zullen een coördinatensysteem kiezen zodat de oorsprong ervan samenvalt met het midden van het lichaam, de Y-as loodrecht op het aardoppervlak staat en de X-as raakt aan het aardoppervlak (zie figuur 1). Omdat het lichaam niet beweegt ten opzichte van de aarde, schrijven we de tweede wet van Newton als: In de projecties op de X- en Y-assen van expressie (1.2), rekening houdend met (1.1), hebben we: Omdat het lichaamsgewicht (P) in grootte gelijk is aan (N), drukken we het uit op basis van de eerste vergelijking van systeem (1.3), en verkrijgen we:
Antwoord

Uit alledaagse ervaringen kunnen we de volgende conclusie bevestigen: de snelheid en richting van beweging van een lichaam kunnen alleen veranderen tijdens de interactie met een ander lichaam. Dit geeft aanleiding tot het fenomeen traagheid, waarover we in dit artikel zullen praten.

Wat is traagheid? Een voorbeeld van levensobservaties

Laten we gevallen bekijken waarin iemand aanwezig is beginfase Het experiment is al in gang gezet. Later zullen we zien dat een snelheidsvermindering en het stoppen van een lichaam niet willekeurig kunnen plaatsvinden, omdat de reden hiervoor de actie van een ander lichaam daarop is.

U heeft waarschijnlijk al meer dan eens gezien hoe passagiers in een voertuig tijdens het remmen plotseling naar voren leunen of tijdens een scherpe bocht op hun zij drukken. Waarom? Laten we het verder uitleggen. Wanneer atleten bijvoorbeeld een bepaalde afstand rennen, proberen ze de maximale snelheid te bereiken. Als je de finishlijn bent gepasseerd, hoef je niet meer te rennen, maar je kunt niet abrupt stoppen, en dus rent de atleet nog een paar meter, dat wil zeggen, hij beweegt door traagheid.

Uit de bovenstaande voorbeelden kunnen we concluderen dat alle lichamen de eigenaardigheid hebben dat ze de snelheid en richting van beweging behouden, zonder deze onmiddellijk te kunnen veranderen na de actie van een ander lichaam. Aangenomen kan worden dat het lichaam bij afwezigheid van externe actie zowel de snelheid als de bewegingsrichting zo lang als gewenst zal behouden. Dus wat is traagheid? Dit is het fenomeen waarbij de bewegingssnelheid van een lichaam wordt gehandhaafd zonder dat andere lichamen er invloed op hebben.

Ontdekking van traagheid

Deze eigenschap van lichamen werd ontdekt door de Italiaanse wetenschapper Galileo Galilei. Op basis van zijn experimenten en redeneringen betoogde hij: als een lichaam geen interactie heeft met andere lichamen, blijft het óf in een staat van kalmte óf beweegt het rechtlijnig en gelijkmatig. Zijn ontdekkingen kwamen de wetenschap binnen als de wet van de traagheid, maar Rene Descartes formuleerde deze gedetailleerder, en Isaac Newton introduceerde deze in zijn systeem van wetten.

Interessant feit: traagheid, de definitie waarvan Galileo ons gaf, werd al in overweging genomen Het oude Griekenland Aristoteles, maar vanwege de onvoldoende ontwikkeling van de wetenschap werd de exacte formulering niet gegeven. zegt: er zijn zulke
referentiesystemen ten opzichte waarvan een lichaam dat translationeel beweegt zijn snelheid constant houdt, tenzij andere lichamen erop inwerken. Er is geen formule voor traagheid in een enkele en algemene vorm, maar hieronder zullen we vele andere formules geven die de kenmerken ervan onthullen.

Traagheid van lichamen

We weten allemaal dat een auto, trein, schip of andere lichamen geleidelijk groter worden als ze beginnen te bewegen. Jullie hebben allemaal de lancering van raketten op tv gezien of het opstijgen van vliegtuigen op de luchthaven - ze verhogen de snelheid niet met schokken, maar geleidelijk. Waarnemingen en de dagelijkse praktijk suggereren dat alle lichamen dit hebben gemeenschappelijk kenmerk: de bewegingssnelheid van lichamen tijdens hun interactie verandert geleidelijk, en daarom duurt het enige tijd voordat ze veranderen. Dit kenmerk van lichamen wordt traagheid genoemd.

Alle lichamen zijn inert, maar ze hebben niet allemaal dezelfde traagheid. Van de twee op elkaar inwerkende lichamen zal het hoger zijn voor degene die de minste versnelling krijgt. Wanneer een pistool bijvoorbeeld wordt afgevuurd, krijgt het minder versnelling dan een patroon. Wanneer een volwassen schaatser en een kind elkaar duwen, krijgt de volwassene minder versnelling dan het kind. Dit geeft aan dat de traagheid van een volwassene groter is.

Om de traagheid van lichamen te karakteriseren, werd een speciale hoeveelheid geïntroduceerd: lichaamsmassa, die meestal wordt aangegeven met de letter M. Om massa’s te kunnen vergelijken verschillende lichamen, moet per eenheid rekening worden gehouden met de massa van elk van hen. De keuze kan willekeurig zijn, maar moet handig zijn voor praktisch gebruik. In het SI-systeem wordt de massa van een speciale standaard, gemaakt van een harde legering van platina en iridium, als eenheid genomen. Ze draagt ​​het voor ons allemaal bekende naam- kilogram. Opgemerkt moet worden dat de traagheid van een vast lichaam van twee soorten is: translatie en rotatie. In het eerste geval is de mate van traagheid massa, in het tweede geval het traagheidsmoment, waar we het later over zullen hebben.

Moment van traagheid

Dit noemen ze een scalair fysieke hoeveelheid. De SI-eenheid van traagheidsmoment is kg*m2. De algemene formule is als volgt:

Hier ik ik- dit is de massa van de punten van het lichaam, R i- dit is de afstand van de punten van het lichaam tot de as z in een ruimtelijk coördinatensysteem. In verbale interpretatie kunnen we dit zeggen: het traagheidsmoment wordt bepaald door de som van de producten van elementaire massa's vermenigvuldigd met het kwadraat van de afstand tot de basisset.

Er is nog een formule die de bepaling van het traagheidsmoment karakteriseert:

Hier dm- massa van het element, R- afstand van element dm tot as z. Het kan als volgt mondeling worden geformuleerd: het traagheidsmoment van een systeem van materiële punten of een lichaam ten opzichte van een pool (punt) is de algebraïsche som van het product van de massa's van de materiële punten waaruit het lichaam bestaat, bepaald door het vierkant van hun afstand tot de pool 0.

Het is de moeite waard te vermelden dat er 2 soorten traagheidsmomenten zijn: axiaal en centrifugaal. Er bestaat ook zoiets als hoofdtraagheidsmomenten (PMI) (ten opzichte van de hoofdassen). In de regel verschillen ze altijd van elkaar. Tegenwoordig is het mogelijk om voor veel lichamen (cilinder, schijf, bal, kegel, bol, etc.) de traagheidsmomenten te berekenen, maar we zullen niet ingaan op de specificatie van alle formules.

Referentiesystemen

De eerste wet van Newton had betrekking op eenvormige lineaire beweging, die alleen in een bepaald referentiekader kan worden beschouwd. Zelfs een benaderende analyse van mechanische verschijnselen laat zien dat niet in alle referentiesystemen aan de traagheidswet wordt voldaan.

Laten we een eenvoudig experiment overwegen: plaats een bal op een horizontale tafel in een koets en observeer de beweging ervan. Als de trein zich in een staat van kalmte bevindt ten opzichte van de aarde, zal de bal kalm blijven totdat we erop reageren met een ander lichaam (bijvoorbeeld een hand). Bijgevolg wordt in het referentiekader dat met de aarde wordt geassocieerd, voldaan aan de wet van de traagheid.

Laten we ons voorstellen dat de trein uniform en rechtlijnig zal reizen ten opzichte van de aarde. Vervolgens zal de bal in het referentiekader dat met de trein wordt geassocieerd een staat van kalmte behouden, en in het referentiekader dat met de aarde wordt geassocieerd, zal hij in een staat van uniform en uniform blijven. rechtlijnige beweging. Bijgevolg wordt niet alleen voldaan aan de wet van traagheid in het referentiekader dat met de aarde geassocieerd is, maar ook in alle andere die uniform en rechtlijnig bewegen ten opzichte van de aarde.

Stel je nu voor dat de trein snel snelheid opvoert of scherp draait (in alle gevallen beweegt hij met versnelling ten opzichte van de aarde). Dan blijft de bal, net als voorheen, uniform en die had hij voordat de trein begon te versnellen. Ten opzichte van de trein komt de bal zelf echter uit de staat van kalmte, hoewel er geen lichamen zijn die hem eruit willen halen. Dit betekent dat in het referentieframe dat verband houdt met de versnelling van de trein ten opzichte van de aarde, de wet van traagheid wordt overtreden.

Referentiesystemen waarin aan de traagheidswet is voldaan, worden dus traagheidssystemen genoemd. En degenen waarin het niet is vervuld, zijn niet-inertiaal. Ze zijn gemakkelijk te definiëren: als het lichaam gelijkmatig en in een rechte lijn beweegt (in sommige gevallen betekent dit kalmte), dan is het systeem traag; als de beweging ongelijkmatig is, is deze niet-inertiaal.

Traagheidskracht

Dit is een nogal dubbelzinnig concept en daarom zullen we proberen het zo gedetailleerd mogelijk te bekijken. Laten we een voorbeeld geven. Je staat rustig in de bus. Plots begint hij te bewegen, wat betekent dat hij sneller wordt. Je zult tegen je wil achterover leunen. Maar waarom? Wie heeft je binnengehaald? Vanuit het gezichtspunt van een waarnemer op aarde blijf je op je plek, terwijl aan de eerste wet van Newton is voldaan. Vanuit het standpunt van een waarnemer in de bus zelf begin je achteruit te bewegen, alsof je onder enige kracht staat. In feite zijn je benen, die door wrijvingskrachten verbonden zijn met de vloer van de bus, mee vooruit gegaan, en jij,
Toen ik mijn evenwicht verloor, moest ik achterover vallen. Om de beweging van een lichaam in een niet-traagheidsreferentiekader te beschrijven, is het dus noodzakelijk om extra krachten te introduceren en er rekening mee te houden die werken vanuit de verbindingen van het lichaam met een dergelijk systeem. Deze krachten zijn de traagheidskrachten.

Het is noodzakelijk om er rekening mee te houden dat ze fictief zijn, omdat er geen enkel lichaam of veld is onder invloed waarvan je in de bus begon te bewegen. De wetten van Newton zijn niet van toepassing op traagheidskrachten, maar het gebruik ervan samen met ‘echte’ krachten maakt het mogelijk om de beweging van willekeurige niet-traagheidsreferentiesystemen te beschrijven met behulp van diverse instrumenten. Dit is het hele punt van het introduceren van traagheidskrachten.

Dus nu weet je wat traagheid is, traagheidsmomenten en traagheidssystemen, traagheidskrachten. Laten we verder gaan.

Translationele beweging van systemen

Laat een bepaald lichaam zich in een niet-traagheidsreferentiekader bewegen met versnelling een 0 ten opzichte van de traagheid werkt de kracht F. Voor een dergelijk niet-traagheidssysteem heeft de analoge vergelijking van de tweede wet van Newton de vorm:

Waar een 0 is de versnelling van een lichaam met massa M, die wordt veroorzaakt door de werking van kracht F ten opzichte van een niet-traagheidsreferentieframe; F in - traagheidskracht. De kracht F aan de rechterkant is ‘reëel’ in de zin dat het de resulterende interactie van lichamen is, alleen afhankelijk van het verschil in coördinaten en snelheden van op elkaar inwerkende materiële punten, die niet veranderen wanneer ze van het ene referentiesysteem naar het andere bewegen. translationeel. Daarom verandert de kracht F ook niet. Deze is onveranderlijk ten opzichte van een dergelijke overgang. Maar F ін ontstaat niet vanwege, maar vanwege de versnelde beweging van het referentiesysteem, en daarom verandert het wanneer het naar een ander gaat versneld systeem, is dus niet onveranderlijk.

Centrifugale traagheidskracht

Laten we het gedrag van lichamen bekijken in een niet-traagheidsreferentiekader. XOY roteert ten opzichte van het traagheidssysteem, dat we de aarde zullen beschouwen, met een constante hoeksnelheid ω. Een voorbeeld is het systeem in de onderstaande afbeelding.

Hierboven ziet u een schijf waaraan een radiaal gerichte staaf is bevestigd, en een blauwe bal die met een elastisch touw aan de as van de schijf is “vastgebonden”. Zolang de schijf niet draait, vervormt het touw niet. Wanneer de schijf zich echter afwikkelt, rekt de bal het touw geleidelijk uit totdat de elastische kracht Fav zodanig wordt dat deze gelijk is aan het product van de massa van de bal M naar zijn normale versnelling een p = -ω 2 R, dat is Fav = -mω 2 R , waarbij R de straal is van de cirkel die de bal beschrijft wanneer hij rond het systeem draait.

Als de hoeksnelheid ω Als de schijf constant blijft, stopt de bal met bewegen ten opzichte van de OX-as. In dit geval zal de bal, ten opzichte van het XOY-referentiesysteem, dat aan de schijf is gekoppeld, zich in een kalme staat bevinden. Dit kan worden verklaard door het feit dat in dit systeem, naast kracht Favoriete gemiddelde, op de bal wordt een traagheidskracht uitgeoefend F zie, die langs de straal van de rotatieas van de schijf is gericht. Een kracht die op de onderstaande formule lijkt, wordt traagheid genoemd. Het kan alleen voorkomen in roterende referentiesystemen.

Corioliskracht

Het blijkt dat wanneer lichamen bewegen ten opzichte van roterende referentiesystemen, naast de middelpuntvliedende traagheidskracht er nog een andere kracht op inwerkt: Coriolis. Het staat altijd loodrecht op de lichaamssnelheidsvector V, wat betekent dat ze geen enkel werk aan dit lichaam doet. We benadrukken dat de Corioliskracht zich alleen manifesteert wanneer het lichaam beweegt ten opzichte van een niet-traagheidsreferentieframe dat roteert. De formule is als volgt:

Sinds de uitdrukking (v*ω) het vectorproduct is van de vectoren tussen haakjes, dan kunnen we tot de conclusie komen dat de richting van de Corioliskracht ten opzichte van hen wordt bepaald door de boorregelregel. De module is gelijk aan:

Hier is Ԩ de hoek tussen de vectoren v En ω .

Tot slot

Traagheid is een verbazingwekkend fenomeen dat elke persoon honderden keren per dag achtervolgt, zelfs als we het zelf niet merken. We denken dat het artikel je belangrijke antwoorden heeft gegeven op vragen over wat traagheid is, wat kracht en traagheidsmomenten zijn, wie het fenomeen traagheid heeft ontdekt. We weten zeker dat je het interessant vond.

Traagheidskracht

Traagheidskracht

Een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa m van een materieel punt door zijn w en gericht tegengesteld aan de versnelling. Met kromlijnige beweging van S. en. kan worden ontleed in een raaklijn of tangentiële component Jt, gericht tegengesteld aan de raaklijnen. versnelling wt, en de normale component Jn, gericht langs de normaal naar het traject vanuit het krommingsmiddelpunt; numeriek Jt=mwt, Jn=mv2/r, waarbij v punten zijn, r de kromtestraal van het traject. Bij het bestuderen van beweging in relatie tot het traagheidsreferentiesysteem van S. en. worden geïntroduceerd om een ​​formele gelegenheid te hebben om de vergelijkingen van de dynamiek samen te stellen in de vorm van eenvoudigere vergelijkingen van de statica (zie). Het concept van S. en. wordt ook geïntroduceerd bij het bestuderen van relatieve beweging. In dit geval maakt de toevoeging van de interactiekrachten met andere lichamen van het systeem die op een materieel punt inwerken – de draagbare Jper en de Corioliskracht Jcor – het mogelijk om de bewegingsvergelijking van dit punt op te stellen in een bewegende (niet-traagheidskracht). ) referentiesysteem op dezelfde manier als in een inertiaal systeem.

Fysiek encyclopedisch woordenboek. - M.: Sovjet-encyclopedie. . 1983 .

Traagheidskracht

Vectorhoeveelheid numeriek gelijk aan het product van massa T materieel punt op zijn versnelling w en gericht tegengesteld aan de versnelling. Met kromlijnige beweging van S. en. kan worden ontleed in een raaklijn of tangentiële component die tegengesteld aan de raaklijn is gericht. versnelling, en de normale of centrifugale component gericht langs de ch. trajectnormalen vanuit het krommingscentrum; numeriek , , waar v- de snelheid van het punt is de kromtestraal van het traject. Bij het bestuderen van beweging in relatie tot traagheidsreferentieframe S. en. worden geïntroduceerd om een ​​formele gelegenheid te hebben om de vergelijkingen van de dynamiek samen te stellen in de vorm van eenvoudigere vergelijkingen van de statica (zie.

D "Alembert-principe, Kinetostatica). Het concept van S. en. wordt ook geïntroduceerd tijdens het studeren relatieve beweging. In dit geval wordt aan de krachten van interactie met andere lichamen die op het materiële punt inwerken de overdrachtskracht J nep en toegevoegd traagheid, Targ.

Fysieke encyclopedie. In 5 delen. - M.: Sovjet-encyclopedie. Hoofdredacteur A. M. Prokhorov. 1988 .

Zie wat “KRACHT VAN INERTIA” is in andere woordenboeken:

- (ook traagheidskracht) een term die veel wordt gebruikt in verschillende betekenissen in de exacte wetenschappen, en ook, als metafoor, in de filosofie, geschiedenis, journalistiek en fictie. In de exacte wetenschappen is traagheidskracht meestal een concept ... Wikipedia

Moderne encyclopedie

Een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa m van een materieel punt en de modulus van zijn versnelling? en gericht tegengesteld aan versnelling... Groot Encyclopedisch woordenboek

traagheidskracht- Een vectorgrootheid waarvan de modulus gelijk is aan het product van de massa van een materieel punt door de modulus van zijn versnelling en tegengesteld gericht is aan deze versnelling. [Verzameling van aanbevolen termen. Uitgave 102. Theoretische mechanica. Academie van Wetenschappen van de USSR. Commissie... ... Handleiding voor technische vertalers

Traagheidskracht- KRACHT VAN Traagheid, vectorhoeveelheid, numeriek gelijk aan het product van de massa m van een materieel punt en zijn versnelling u en gericht tegengesteld aan de versnelling. Ontstaat door de niet-traagheid van het referentiesysteem (rotatie of lineaire beweging met... ... Geïllustreerd encyclopedisch woordenboek

traagheidskracht- inercijos jeėga statusas T sritis Standartizacija ir metrologia apibrėžtis Vektorinis dydis,lygus materialiojo tasko arba kūno masės ir pagreičio sandaugai; kryptis priešinga pagreičiui. atitikmenys: engl. traagheidskracht vok. Trägheitskraft, f;… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologies terminų žodynas

Een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa m van een materieel punt en de grootte van zijn versnelling w en tegengesteld gericht aan de versnelling. * * * Traagheidskracht Traagheidskracht, een vectorgrootheid die numeriek gelijk is aan het product van de materiële massa m... ... Encyclopedisch woordenboek

traagheidskracht- inercijos jega statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. traagheidskracht vok. Trägheitskraft, f rus. traagheidskracht, f pranc. kracht d traagheid, f … Automatikos terminų žodynas

traagheidskracht- inercijos jega statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. traagheidskracht vok. Trägheitskraft, f rus. traagheidskracht, f pranc. force d’inertie, f … Fizikos terminų žodynas

traagheidskracht- een grootheid die numeriek gelijk is aan het product van de massa van een lichaam en zijn versnelling en tegengesteld gericht is aan de versnelling; Zie ook: Kracht wrijvingskracht lichte kracht trekkracht interne wrijvingskracht... Encyclopedisch woordenboek van de metallurgie

Traagheidskrachten en de basiswet van de mechanica

Bernikov Vasili Roeslanovitsj,

ingenieur.

Voorwoord

In sommige gevallen zijn interne krachten de oorzaak van het optreden van externe krachten die op het systeem worden uitgeoefend. Traagheidskrachten zijn altijd extern in relatie tot elk bewegend systeem van materiële lichamen. De traagheidskrachten werken op dezelfde manier als de interactiekrachten: ze zijn heel reëel, ze kunnen werk verrichten, versnelling veroorzaken, , , . Met een groot aantal theoretische vereisten in de mechanica over de mogelijkheid om traagheidskrachten als translationele krachten te gebruiken bij het creëren van structuren, leidden ze niet tot een positief resultaat. Er kunnen slechts enkele bekende ontwerpen worden opgemerkt met een laag rendement bij het gebruik van traagheidskrachten: Tolchins inertsoïde, Frolovs vortex-vloeistofvoortstuwing, en Thornsons voortstuwing. De langzame ontwikkeling van traagheidsvoortstuwers wordt verklaard door het ontbreken van fundamentele theoretische rechtvaardiging voor het waargenomen effect. Gebaseerd op gebruikelijk klassieke optredens fysieke mechanica creëert dit werk een theoretische basis voor het gebruik van traagheidskrachten als translationele krachten.

§1. De fundamentele wet van de mechanica en de gevolgen ervan.

Laten we eens kijken naar de wetten van transformatie van krachten en versnellingen in diverse systemen aftellen. Laten we een willekeurig stationair traagheidsreferentiesysteem kiezen en ermee instemmen de beweging ten opzichte daarvan als absoluut te beschouwen. In een dergelijk referentiesysteem is de fundamentele bewegingsvergelijking van een materieel punt de vergelijking die de tweede wet van Newton tot uitdrukking brengt.

M w buikspieren = F, (1.1)

Waar F– de kracht van interactie tussen lichamen.

Een lichaam dat in rust is in een bewegend referentieframe, wordt door dit laatste meegenomen in zijn beweging ten opzichte van een stationair referentieframe. Deze beweging wordt draagbaar genoemd. De beweging van een lichaam ten opzichte van een referentiesysteem wordt relatief genoemd. De absolute beweging van een lichaam bestaat uit zijn relatieve en draagbare bewegingen. In niet-traagheidsreferentiesystemen (referentiesystemen die met versnelling bewegen), heeft de wet van transformatie van versnellingen voor translatiebeweging de volgende vorm

w buikspieren = w rel +w laan (1.2)

Rekening houdend met (1.1) voor krachten, schrijven we de vergelijking van de relatieve beweging voor een materieel punt in een referentieframe dat beweegt met translatieversnelling

mw rel = F - mw baan, (1.3)

Waar mw per is een translatiekracht van traagheid die niet ontstaat door de interactie van lichamen, maar door de versnelde beweging van het referentiesysteem. De beweging van lichamen onder invloed van traagheidskrachten is vergelijkbaar met beweging in externe krachtvelden [2, p.359]. Het momentum van het massamiddelpunt van het systeem [3, p. 198] kan worden veranderd door de interne rotatie-impuls of interne translatie-impuls te veranderen. Traagheidskrachten zijn altijd extern [2, p.359] in relatie tot elk bewegend systeem van materiële lichamen.

Laten we nu aannemen dat het referentiesysteem volledig willekeurig beweegt ten opzichte van het stationaire referentiesysteem. Deze beweging kan in tweeën worden verdeeld: voorwaartse beweging met snelheid v o, gelijk aan de bewegingssnelheid van de oorsprong, en de rotatiebeweging rond de momentane as die door deze oorsprong gaat. Laten we de hoeksnelheid van deze rotatie aangeven w, en de afstand vanaf de oorsprong van het bewegende referentiesysteem tot het bewegende punt daarin R. Bovendien heeft een bewegend punt een snelheid ten opzichte van het bewegende referentieframe v rel. Dan is voor absolute versnelling [2, p.362] de relatie bekend

w buikspieren = w rel - 2[ v rel w] + (d v o /dt) - w2 R ^ + [(d met dt) R] ,. (1.4)

Waar R ^ - straalvectorcomponent R, loodrecht op de momentane rotatie-as. Laten we de relatieve versnelling naar de linkerkant overbrengen, en de absolute versnelling naar de rechterkant en alles vermenigvuldigen met de massa van het lichaam. We verkrijgen de basisvergelijking voor de krachten van relatieve beweging [2, p.364] van een materiaal punt in een willekeurig bewegend referentieframe

mw rel = mw buikspieren + 2m[ v rel w] - m(d v o /dt) + mw 2 R ^ – m[ (d met dt) R] . (1.5)

Of dienovereenkomstig

mw rel = F + F k+ F n+ F ts + F f, (1,6)

Waar: F– kracht van interactie tussen lichamen; F k – Coriolis-traagheidskracht; F n – translationele traagheidskracht; F c – middelpuntvliedende traagheidskracht; F f - fasetraagheidskracht.

Richting van de kracht van interactie tussen lichamen F valt samen met de versnellingsrichting van het lichaam. Coriolis-traagheidskracht F k is gericht volgens het vectorproduct van radiale en hoeksnelheid, dat wil zeggen loodrecht op beide vectoren. Translationele traagheidskracht F n is tegengesteld gericht aan de versnelling van het lichaam. Centrifugale traagheidskracht F q is radiaal gericht vanuit het rotatiecentrum van het lichaam. Fasetraagheidskracht F f is tegengesteld gericht aan het vectorproduct van hoekversnelling en straal vanaf het rotatiecentrum loodrecht op deze vectoren.

Het is dus voldoende om de omvang en richting van de traagheids- en interactiekrachten te kennen om het traject van de beweging van een lichaam te bepalen ten opzichte van welk referentiesysteem dan ook.

Naast de traagheidskrachten en de interactie van lichamen zijn er krachten met variabele massa, die een gevolg zijn van de werking van traagheidskrachten. Laten we de tweede wet van Newton in differentiële vorm bekijken [2, p.77]

D P/dt = ∑ F, (1.7)

Waar: P– impuls van het systeem van lichamen; ∑ F– de som van externe krachten.

Het is bekend dat het momentum van een systeem van lichamen in het algemene geval afhankelijk is van de tijd en dienovereenkomstig gelijk is aan

P(t) = m(t) v(t), (1,8)

waarbij: m(t) – massa van het stelsel van lichamen; v(t) – snelheid van het systeem van lichamen.

Omdat snelheid dus de afgeleide is met betrekking tot de tijd van de coördinaten van het systeem

v(t) = d R(t)/dt, (1,9)

Waar R– straalvector.

In wat volgt gaan we uit van de tijdsafhankelijkheid van massa, snelheid en straalvector. Als we (1.9) en (1.8) vervangen door (1.7), krijgen we

d(m(d R/dt))/dt = ∑ F. (1.10)

Laten we de massa m dan onder het differentiaalteken [1, p.295] brengen

D [ (d(m R)/dt) – R(dm/dt)]/dt = ∑ F.

De afgeleide van het verschil is gelijk aan het verschil van de afgeleiden

d [ (d(m R)/dt) ] dt – d [ R(dm/dt) ] /dt =∑ F.

Laten we een gedetailleerde differentiatie van elke term uitvoeren volgens de regels voor differentiatie van producten

m(d2 R/dt 2) + (dm/dt)(d R/dt) + (dm/dt)(d R/dt) +

+ R(d 2 m/dt 2) – R(d 2 m/dt 2)- (dm/dt)(d R/dt) = ∑ F. (1.11)

Laten we vergelijkbare termen presenteren en vergelijking (1.11) in de volgende vorm schrijven

m(d2 R/dt 2) = ∑ F- (dm/dt)(d R/dt). (1.12)

Aan de rechterkant van vergelijking (1.12) staat de som van alle externe krachten. De laatste term wordt de kracht van de variabele massa genoemd

F pm = - (dm/dt)(d R/dt).

(1.13) Zo wordt er nog een externe kracht aan de externe krachten toegevoegd: de kracht van variabele massa. De uitdrukking in het eerste haakje aan de rechterkant van vergelijking (1.13) is de snelheid van massaverandering, en de uitdrukking in het tweede haakje is de snelheid van scheiding (hechting) van deeltjes. Deze kracht werkt dus wanneer de massa (reactieve kracht) [2, p. 120] van een systeem van lichamen verandert met de scheiding (hechting) van deeltjes met de overeenkomstige snelheid ten opzichte van dit systeem van lichamen. Vergelijking (1.12) is de Meshchersky-vergelijking [2, p.120], het minteken geeft aan dat de vergelijking is afgeleid onder de aanname van de actie interne krachten

m(d2 R(deeltjesscheiding). Omdat vergelijking (1.12) is afgeleid onder de veronderstelling van een verandering in het momentum van een systeem van lichamen onder invloed van interne krachten die externe krachten genereren, met behulp van een exacte wiskundige methode, dus toen deze werd afgeleid in uitdrukking (1.11), er verschenen nog twee krachten die niet deelnemen aan de verandering in het momentum van het systeem van lichamen, omdat ze worden verminderd wanneer soortgelijke leden worden toegevoegd. Laten we vergelijking (1.11) herschrijven, rekening houdend met vergelijking (1.13), zonder soortgelijke termen te schrappen, als volgt R/dt2) + R/dt) = ∑ F + F(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d R/dt2) + R pm +

/dt). (1.14) F Laten we de voorlaatste uitdrukkingsterm (1.14) aangeven met F d, dan

m(d2 R(deeltjesscheiding). Omdat vergelijking (1.12) is afgeleid onder de veronderstelling van een verandering in het momentum van een systeem van lichamen onder invloed van interne krachten die externe krachten genereren, met behulp van een exacte wiskundige methode, dus toen deze werd afgeleid in uitdrukking (1.11), er verschenen nog twee krachten die niet deelnemen aan de verandering in het momentum van het systeem van lichamen, omdat ze worden verminderd wanneer soortgelijke leden worden toegevoegd. Laten we vergelijking (1.11) herschrijven, rekening houdend met vergelijking (1.13), zonder soortgelijke termen te schrappen, als volgt R(d 2 m/dt 2) + (dm/dt)(d R/dt) = ∑ F + F(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d F m+ F d.(1,15)

Sinds de kracht F m niet deelneemt aan de verandering in momentum, dan kan het als een afzonderlijke vergelijking worden geschreven

F m = R(d2m/dt2). (1.16)

Laten we de fysieke betekenis van vergelijking (1.16) bekijken, hiervoor herschrijven we deze in de volgende vorm

R = F m/(d 2 m/dt 2). (1.17)

Verhouding van kracht tot versnelde groei massa in een bepaald volume is een constante waarde, of de ruimte die wordt ingenomen door een bepaalde hoeveelheid van een soort stof wordt gekenmerkt door een minimaal volume. Kracht F m is statisch en vervult de functie van druk.

Kracht F d neemt ook niet deel aan de verandering in het momentum van het systeem van lichamen, dus laten we het als een afzonderlijke vergelijking schrijven en de fysieke betekenis ervan bekijken

F d = (dm/dt)(d R/dt).

Kracht F(1.18) d is de drukkracht die een stof in vloeibare of gasvormige toestand uitoefent op de omringende ruimte. Het wordt gekenmerkt door het aantal, de massa en de snelheid van deeltjes die druk in een bepaalde richting uitoefenen. Opgemerkt moet worden dat de drukkracht F d is de drukkracht die een stof in vloeibare of gasvormige toestand uitoefent op de omringende ruimte. Het wordt gekenmerkt door het aantal, de massa en de snelheid van deeltjes die druk in een bepaalde richting uitoefenen. Opgemerkt moet worden dat de drukkracht d valt samen met de kracht van de variabele massa PM en hun differentiatie worden alleen gemaakt om de aard van de actie te bepalen verschillende omstandigheden

. Vergelijking (1.15) beschrijft dus volledig de toestand van de materie. Dat wil zeggen, als we vergelijking (1.15) in ogenschouw nemen, kunnen we concluderen dat een substantie wordt gekarakteriseerd door massa als maatstaf voor de traagheid, de minimale ruimte die een bepaalde hoeveelheid substantie kan innemen zonder de eigenschappen ervan te veranderen, en de druk die door de substantie wordt uitgeoefend in de ruimte. vloeibare en gasvormige toestand in de omringende ruimte.

§2. Kenmerken van de werking van traagheidskrachten en variabele massa.

Translationeel versnelde beweging van een lichaam vindt plaats onder invloed van kracht volgens de tweede wet van Newton. Dat wil zeggen, een verandering in de snelheid van een lichaam vindt plaats in de aanwezigheid van versnelling en de kracht die deze versnelling veroorzaakte.

Het gebruik van centrifugale traagheidskracht voor translatiebewegingen is alleen mogelijk met een toename van de lineaire snelheid van de bronnen van deze krachten, aangezien met de versnelde beweging van het systeem de traagheidskrachten van de bronnen in de richting van het vergroten van de snelheid van de systeem afnemen totdat ze volledig verdwijnen. Bovendien moet het veld van traagheidskrachten niet-uniform zijn en een maximale waarde hebben in het deel van het systeem in de richting van de translatiebeweging.

Beschouw de beweging van een lichaam (Fig. 2.1) met massa m in een cirkel met straal R.

Rijst. 2.1. F Centrifugale kracht

Fμ waarmee het lichaam op de cirkel drukt, wordt bepaald door de formule q = m ω 2. (2.1)

R

F Gebruikmakend van de bekende relatie ω = v /R, waarbij v de lineaire snelheid van het lichaam loodrecht op de straal R is, schrijven we formule (2.1) in de volgende vorm c = m v 2 /. (2.2)

De middelpuntvliedende kracht werkt in de richting van de straal q = m ω 2. Laten we nu onmiddellijk de cirkel doorbreken waarlangs het lichaam beweegt. De ervaring leert dat het lichaam tangentiaal in de richting van de lineaire snelheid vliegt v, en niet in de richting van de middelpuntvliedende kracht. Dat wil zeggen, bij gebrek aan ondersteuning verdwijnt de middelpuntvliedende kracht onmiddellijk.

Laat een lichaam met massa m bewegen langs een element van een halve cirkel (Fig. 2.2) met straal R, en de halve cirkel beweegt met versnelling w П loodrecht op de diameter.

Rijst. 2.2.

Met een uniforme beweging van het lichaam (de lineaire snelheid verandert niet in grootte) en een versnelde halve cirkel verdwijnt de ondersteuning in de vorm van een halve cirkel onmiddellijk en zal de middelpuntvliedende kracht gelijk zijn aan nul. Als een lichaam met een positieve lineaire versnelling beweegt, zal het de halve cirkel inhalen en zal de middelpuntvliedende kracht inwerken. Laten we de lineaire versnelling w vinden van het lichaam waarop de middelpuntvliedende kracht werkt, dat wil zeggen op de halve cirkel drukt. Om dit te doen, moet de tijd die het lichaam doorbrengt op een tangentieel pad totdat het een stippellijn snijdt die evenwijdig is aan de diameter en door punt B wordt getrokken (Fig. 2.2), kleiner zijn dan of gelijk zijn aan de tijd die de halve cirkel doorbrengt in de richting loodrecht op de diameter. Stel dat de beginsnelheden van het lichaam en de halve cirkel gelijk zijn aan nul en de verstreken tijd hetzelfde is, dan is het pad S AC dat door het lichaam wordt afgelegd

SAC = w t 2 /2, (2,3)

en het pad dat de halve cirkel SAB doorkruist zal zijn

S AB = w P t 2 /2. (2.4)

Als we vergelijking (2.3) delen door (2.4), krijgen we

S AC / S AB = w / w P.

Dan de versnelling van het lichaam w, rekening houdend met de voor de hand liggende relatie S AC / S AB = 1/ cosΨ

w = w П /cosΨ, (2,5)

waarbij 0 £ Ψ £ π/2.

De projectie van de versnelling van het lichaam in het element van de cirkel in een bepaalde richting (Fig. 2.2) moet dus altijd groter zijn dan of gelijk zijn aan de versnelling van het systeem in dezelfde richting om de middelpuntvliedende kracht in actie te houden. . Dat wil zeggen dat de middelpuntvliedende kracht alleen als translatie-aandrijvende kracht werkt in de aanwezigheid van positieve versnelling, waardoor de grootte van de lineaire snelheid van het lichaam in het systeem verandert.

De relatie voor het tweede kwart van de halve cirkel wordt op dezelfde manier verkregen (Fig. 2.3).

Rijst. 2.3.

Alleen het pad dat het lichaam langs een raaklijn aflegt, begint vanaf een punt op een halve cirkel dat met versnelling beweegt totdat het een stippellijn kruist, evenwijdig aan de diameter en door punt A van de beginpositie van de halve cirkel gaat. De hoek wordt in dit geval bepaald door het interval π/2 ³ Ψ ³ 0.

Voor een systeem waarin een lichaam gelijkmatig of met vertraging in een cirkel beweegt, zal de middelpuntvliedende kracht geen translatie-versnelde beweging van het systeem veroorzaken, aangezien de lineaire versnelling van het lichaam nul zal zijn of het lichaam achter zal blijven bij de versnelde beweging van het systeem. het systeem.

Als een lichaam met hoeksnelheid roteert ω en nadert tegelijkertijd met een snelheid het middelpunt van de cirkel v, dan ontstaat de Corioliskracht

F k = 2m [ v ω]. (2.6)

Een typisch trajectelement wordt getoond in figuur 2.4.

Rijst. 2.4.

Alle formules (2.3), (2.4), (2.5) en conclusies voor het handhaven van de middelpuntvliedende kracht van het circulerende medium in actie zullen ook gelden voor de Corioliskracht, aangezien bij versnelde beweging van het systeem een ​​lichaam beweegt met een positieve lineaire versnelling zal gelijke tred houden met de versnelling van het systeem en dienovereenkomstig langs een kromlijnig traject bewegen, en niet langs een rakende rechte lijn, als er geen Coriolis-kracht is. De curve moet in twee helften worden verdeeld. In de eerste helft van de curve (Fig. 4) verandert de hoek van het beginpunt naar de bodem in het interval -π/2 £ Ψ £ π/2, en in de tweede helft van het onderste punt naar het midden van de curve. de cirkel π/2 ³ Ψ ³ 0. Op dezelfde manier werkt de Corioliskracht bij rotatie van het lichaam en de gelijktijdige verwijdering ervan (Fig. 2.5) uit het midden als translationeel met een positieve versnelling van de lineaire snelheid van het lichaam.

Rijst. 2.5.

Het hoekinterval in de eerste helft vanaf het middelpunt van de cirkel tot het onderste punt is 0 £ Ψ £ π/2, en in de tweede helft vanaf het onderste punt tot het laatste punt π/2 ³ Ψ ³ -π/2 .

Laten we eens kijken naar de translationele kracht van traagheid F n (Fig. 2.6), die wordt bepaald door de formule

F n = -m w,(2.7)

Waar w– versnelling van het lichaam.

Rijst. 2.6.

Bij positieve versnelling van een lichaam werkt het tegen de beweging in, en bij negatieve versnelling (vertraging) werkt het in de bewegingsrichting van het lichaam. Wanneer een versnellings- of vertragingselement (fig. 2.6) inwerkt op het systeem waarmee de elementen zijn verbonden, moet de versnelling van het lichaam van het element in absolute waarde uiteraard groter zijn dan de versnellingsmodule van het systeem veroorzaakt door de translatiekracht van traagheid van het lichaam. Dat wil zeggen, de translatiekracht van traagheid fungeert als een drijvende kracht in de aanwezigheid van positieve of negatieve versnelling.

Fasetraagheidskracht F f (traagheidskracht veroorzaakt door ongelijkmatige rotatie) wordt bepaald door de formule

Fφ = -m [(d ω /dt) q = m ω 2]. (2.8)

Laat de straal q = m ω 2 loodrecht op de hoeksnelheidsvector ω , dan neemt formule (2.8) in scalaire vorm de vorm aan

Ff = -m (dω/dt)R. (2,9)

Bij een positieve hoekversnelling van het lichaam (Fig. 1.7) werkt het de beweging tegen, en bij een negatieve hoekversnelling (vertraging) werkt het in de bewegingsrichting van het lichaam.

Rijst. 2.7.

Gebruikmakend van de bekende relatie ω = v /R, waarbij v de lineaire snelheid van het lichaam loodrecht op de straal R is, schrijven we formule (2.9) in de volgende vorm

Ff = -m (dv/dt). (2.10)

Omdat dv/dt =w, waarbij w de lineaire versnelling van het lichaam is, heeft vergelijking (2.10) de vorm

Ff = -mw (2,11)

Formule (2.11) is dus vergelijkbaar met formule (2.7) voor de translatietraagheidskracht, alleen de versnelling w moet worden ontleed in parallelle α II en loodrechte α ┴ componenten (Fig. 2.8) ten opzichte van de diameter van het halve cirkelelement.

Rijst. 2.8.

Het is duidelijk dat de loodrechte component van de versnelling w ┴ een koppel creëert, omdat deze in het bovenste deel van de halve cirkel naar links is gericht en in het onderste deel naar rechts. De parallelle component van versnelling w II creëert een translatiekracht met traagheid FfII, omdat deze in de bovenste en onderste delen van de halve cirkel in één richting is gericht, die samenvalt met de richting w II.

F fII = -m w II. (2.12)

Met behulp van de relatie w II = w cosΨ verkrijgen we

F ФII = -m w cosΨ, (2,13)

waarbij de hoek Ψ in het interval -π/2 £ Ψ £ π/2 ligt.

Zo wordt formule (2.13) verkregen voor het berekenen van het element van de fasetraagheidskracht voor translatiebeweging. Dat wil zeggen, de fasetraagheidskracht werkt als een drijvende kracht in de aanwezigheid van positieve of negatieve lineaire versnelling.

Er zijn dus vier elementen van translationele traagheidskracht geïdentificeerd: centrifugaal, Coriolis, translationeel, fase. Door individuele elementen op een bepaalde manier met elkaar te verbinden, is het mogelijk om systemen van translationele drijvende kracht van traagheid te combineren.

Beschouw de kracht van een variabele massa, gedefinieerd door de formule

F pm = - (dm/dt)(d R/dt).

(2.14)

Omdat de snelheid van onthechting (hechting) van deeltjes ten opzichte van het systeem van lichamen gelijk is aan u R=d

/dt, (2,15)

F dan schrijven we vergelijking (2.14) als volgt Omdat de snelheid van onthechting (hechting) van deeltjes ten opzichte van het systeem van lichamen gelijk is aan pm = -

(dm/dt). (2.16) Omdat de snelheid van onthechting (hechting) van deeltjes ten opzichte van het systeem van lichamen gelijk is aan In vergelijking (2.16) is de variabele massakracht de waarde van de kracht die door het scheidende deeltje wordt geproduceerd wanneer zijn snelheid verandert van nul naar Omdat de snelheid van onthechting (hechting) van deeltjes ten opzichte van het systeem van lichamen gelijk is aan of de waarde die door het verbindende deeltje wordt geproduceerd tijdens een verandering in zijn snelheid F naar nul. De kracht van variabele massa werkt dus op het moment van versnelling of vertraging van deeltjes, dat wil zeggen, het is een translatiekracht van traagheid, maar berekend op basis van andere parameters. Rekening houdend met wat hierboven is geschreven, is het nodig om de afleiding van de Tsiolkovsky-formule te verduidelijken. We herschrijven vergelijking (1.12) in scalaire vorm en stellen ∑ in

= 0, dus (2.17)

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt)(dr/dt).

Sinds de systeemversnelling

d 2 r/dt 2 = dv/dt,

waarbij v de snelheid van het systeem is, dan zal vergelijking (2.17), rekening houdend met vergelijking (2.15), zijn

Door vergelijking (2.17) te vermenigvuldigen met dt krijgen we

mdv = -udm, (2.19)

dat wil zeggen, als we de maximale snelheid u = u O van scheiding van deeltjes kennen, die we als constant beschouwen, kunnen we de uiteindelijke snelheid van het systeem v bepalen door de verhouding van de initiële m O en de uiteindelijke massa m

v = -u O ∫ dm /m = u O ln(m O /m). (2.20)

m O /m = e v/uo . (2.21)

Vergelijking (2.21) is de vergelijking van Tsiolkovsky.

§3. Contour van het circulerende medium van middelpuntvliedende traagheidskracht.

Laten we de circulatie van een medium langs een torus (Fig. 3.1) met een gemiddelde straal R bekijken, bewegend met een hoeksnelheid ω ten opzichte van het centrum O . De modulus van de middelpuntvliedende kracht die inwerkt op een puntstroomelement met massa ∆m zal gelijk zijn aan

∆ F= ∆m ω 2 R.

In elk deel van de ring voor identieke elementen zal de middelpuntvliedende kracht dezelfde grootte hebben en radiaal vanuit het midden gericht zijn, waardoor de ring wordt uitgerekt. De middelpuntvliedende kracht is niet afhankelijk van de draairichting.

Rijst. 3.1.

Laten we nu de totale middelpuntvliedende kracht berekenen die loodrecht op de diameter van de bovenste halve cirkel werkt (Fig. 3.2). Het is duidelijk dat in de richting vanaf het midden van de diameter de loodrechte projectie van de kracht maximaal zal zijn en geleidelijk afneemt naar de randen van de halve cirkel, vanwege de symmetrie van de curve ten opzichte van de middellijn. Bovendien zal de resultante van de projecties van centrifugaalkrachten die evenwijdig aan de diameter werken gelijk zijn aan nul, aangezien ze gelijk zijn en tegengesteld van richting zijn.

Rijst. 3.2.

Laten we de elementaire functie opschrijven van de middelpuntvliedende kracht die op een puntsegment met massa inwerkt ∆ m en lengte ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3,1)

De massa van een puntelement is gelijk aan de fluxdichtheid vermenigvuldigd met zijn volume

∆ m=ρ ∆ V. (3.2)

Lengte van de halve torus langs de middellijn

waarbij π het getal pi is.

Volume van een halve torus

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2 ,

waarbij r de straal van de torusbuis is.

Voor een elementair deel schrijven we

∆ V= ∆ ℓ π r 2 .

Het is bekend dat voor een cirkel

∆ ℓ= R ∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R ∆ Ψ. (3.3)

Als we uitdrukking (3.3) vervangen door (3.2), krijgen we:

∆ m=ρ π r 2 R ∆ Ψ. (3.4)

Laten we nu (3.4) vervangen door (3.1).

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

Centrifugaalkracht werkt in een loodrechte richting (Fig. 2)

∆ F┴ = ∆ Fcos((π/2)- Ψ).

Het is dus bekend dat cos((π/2)- Ψ)=sin Ψ

∆ F┴ = ∆ F zonde Ψ.

Laten we de waarde vervangen door ∆ F wij krijgen

∆ F┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 zonde Ψ ∆ Ψ.

Laten we de totale middelpuntvliedende kracht vinden die in de loodrechte richting werkt in het interval van 0 tot Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 zonde ΨdΨ.

Laten we deze uitdrukking integreren, dan krijgen we

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3,5)

Laten we aannemen dat de versnelling w van het circulerende medium tien keer groter is dan de versnelling van het systeem w c, dat wil zeggen

In dit geval verkrijgen we volgens formule (2.5).

Laten we de actiehoek van traagheidskrachten in radialen berekenen

Ψ ≈ 0,467 π,

wat overeenkomt met een hoek van 84 graden.

Het hoekbereik van de traagheidskrachten is dus

0 £ Ψ £ 84° in de linkerhelft van de contour en symmetrisch 96° £ Ψ £ 180° in de rechterhelft van de contour. Dat wil zeggen, het interval van afwezigheid van actieve traagheidskrachten in het hele circuit is ongeveer 6,7% (in werkelijkheid is de versnelling van het circulerende medium veel groter dan de versnelling van het systeem, dus het interval van afwezigheid van effectieve traagheidskrachten zal zijn minder dan 1% en kan worden genegeerd). Om de totale middelpuntvliedende kracht in deze hoekintervallen te bepalen, volstaat het om het eerste interval in formule (3.5) in te vullen en, vanwege de symmetrie, met 2 te vermenigvuldigen, wat resulteert in

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3,6)

Na eenvoudige berekeningen krijgen we

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 ω 2 R 2 .

Het is bekend dat de hoeksnelheid

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 v 2 .

Omdat het circulerende medium met versnelling moet bewegen om de traagheidskracht te laten werken, zullen we daarom de lineaire snelheid uitdrukken in termen van versnelling, ervan uitgaande dat de beginsnelheid gelijk is aan nul

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 (w t) 2 . (3,8)

De gemiddelde waarde tijdens de positieve versnelling, die we als constant beschouwen, zal zijn

F ┴CP = ((1,8ρ π r 2 w 2)/t) ∫t 2 dt.

Na berekeningen krijgen we

F ┴SR = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 . (3,9).

Zo werd een contour van het circulerende medium geïdentificeerd, waaruit een gesloten circuit kan worden gevormd en hun centrifugale krachten kunnen worden opgeteld.

Laten we een gesloten circuit van vier circuits maken verschillende secties(Fig. 3.3): twee bovenste contouren met straal R, dwarsdoorsnede S en twee onderste contouren met straal R1, dwarsdoorsnede S1, waarbij de randeffecten worden verwaarloosd wanneer het circulerende medium van de ene sectie naar de andere gaat. Laat S< S 1 и радиус

R1< R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 /S = r 1 2 /r 2 , (3.10)

waarbij r 1 en r de stralen zijn van de stroom van het circulerende medium van de overeenkomstige sectie.

Laten we bovendien de voor de hand liggende relatie tussen snelheden en versnellingen opschrijven

v/v 1 = w/w 1. (3.11)

Laten we de versnelling van het onderste contourmedium vinden met behulp van vergelijking (3.10) en (3.11) voor berekeningen

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

Nu bepalen we volgens vergelijking (3.9) de middelpuntvliedende kracht voor de onderste contour, rekening houdend met vergelijking (3.12) en na berekeningen verkrijgen we

F ┴CP1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴CP (r 2 / r 1 2) (3,13)

Wanneer de uitdrukking voor de middelpuntvliedende kracht van de bovenste contour (3.9) en de onderste contour (3.13) wordt vergeleken, volgt hieruit dat ze verschillen in de hoeveelheid (r 2 / r 1 2).

Dat wil zeggen, wanneer r< r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

Rijst. 3.3.

De resultante van de middelpuntvliedende krachten die inwerken op twee contouren in het bovenste halfvlak (de grens van het bovenste en onderste halve vlak wordt weergegeven door een dunne lijn) is tegengesteld gericht aan de resultante van de middelpuntvliedende krachten die inwerken op twee contouren in de onderste helft -vliegtuig. Het is duidelijk dat de totale FC-centrifugaalkracht in de richting zal werken zoals weergegeven in figuur 3.3; laten we deze richting als positief beschouwen. Laten we de totale middelpuntvliedende kracht F berekenen

F C = 2 F ┴SR - 2F ┴SR1 = 1,2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3,14)

Zoals we kunnen zien, hangt de totale middelpuntvliedende kracht af van de stroomdichtheid, dwarsdoorsneden van tegengestelde contouren en stroomversnelling. De totale middelpuntvliedende kracht is niet afhankelijk van de straal van de contouren. Voor een systeem waarin het circulerende medium gelijkmatig of met vertraging langs de omtrek beweegt, zal de middelpuntvliedende kracht geen progressieve versnelde beweging van het systeem veroorzaken.

Zo werd de basiscontour van het circulerende medium geïdentificeerd, en de mogelijkheid om de contouren van het circulerende medium van verschillende secties te gebruiken om de middelpuntvliedende kracht in een bepaalde richting op te sommen en de totale impuls van een gesloten systeem van lichamen onder invloed te veranderen. van externe traagheidskrachten veroorzaakt door interne krachten werd getoond.

Laat r = 0,025 m; r1 = 0,05 m; ρ = 1000 kg/m 3 ; w = 5m/s 2, t = 1s, dan tijdens de positieve versnelling de gemiddelde waarde totale middelpuntvliedende kracht F C.≈ 44N.

§4. Contour van het circulerende medium van Coriolis-traagheidskracht.

Het is bekend dat de Coriolis-traagheidskracht ontstaat wanneer een lichaam met massa m in een cirkel roteert en tegelijkertijd radiaal beweegt, en dit staat loodrecht op de hoeksnelheid ω en radiale bewegingssnelheid v. Richting van Corioliskracht F valt samen met de richting vectorproduct in de formule F= 2m[ vw].

Rijst. 4.1.

Figuur 4.1 toont de richting van de Corioliskracht wanneer een lichaam in een cirkel tegen de klok in draait en tijdens de eerste halve cyclus radiaal naar het midden van de cirkel beweegt. en Fig. 4.2 toont de richting van de Corioliskracht wanneer het lichaam in een cirkel draait, ook tegen de klok in, en het tijdens de tweede halve cyclus radiaal vanuit het midden van de cirkel beweegt.

Rijst. 4.2.

Laten we het linkerdeel van de lichaamsbeweging in figuur 4.1 en het rechterdeel in figuur 4.2 combineren. dan komen we in afb. 4.3 variant van het traject van de beweging van een lichaam over een bepaalde periode.

Rijst. 4.3.

Laten we eens kijken naar de beweging van een circulerend medium (vloeistof) door pijpen die gebogen zijn volgens het traject. De Coriolis-krachten van de linker- en rechtercurve werken in een sector van 180 graden in radiale richting bij het verplaatsen van respectievelijk punt B naar punt O naar links en rechts, ten opzichte van de X-as. Componenten van de Coriolis-kracht van links en rechter bochten F|

|

evenwijdig aan de rechte lijn AC compenseren elkaar, aangezien ze identiek, tegengesteld gericht en symmetrisch zijn ten opzichte van de X-as. De symmetrische componenten van de Corioliskracht van de linker en rechter curve F^ loodrecht op de rechte lijn AC tellen op, aangezien. ze zijn in dezelfde richting gericht.

Laten we de grootte berekenen van de Coriolis-kracht die langs de X-as op de linkerhelft van het traject werkt. Omdat het opstellen van de trajectvergelijking een complexe taak is, zoeken we naar een oplossing om de Corioliskracht te vinden met behulp van een benaderende methode. Laat v de vloeistofsnelheid zijn die constant is over het gehele traject. Radiale snelheid v r en lineaire rotatiesnelheid v l, volgens de snelheidsparallellogramstelling, drukken we uit (Fig. 3) via snelheid v en hoek α

v r = v cosα, vl = v sinα.

Het bewegingstraject (Fig. 4.3) wordt geconstrueerd rekening houdend met het feit dat in punt B de radiale snelheid v r gelijk is aan nul, en de lineaire snelheid v l gelijk is aan v. In het middelpunt van een cirkel O, met straal Ro, is de radiale snelheid vp gelijk aan v, en de lineaire snelheid vl gelijk aan nul, en het raaktraject in het midden van de cirkel staat loodrecht op het raaktraject aan het begin (punt B). De straal neemt monotoon af van Ro naar nul. Hoek α verandert van 90° op punt B naar 0° in het midden van de cirkel. Vervolgens selecteren we uit grafische constructies de lengte van het traject 1/4 van de lengte van de cirkel met straal R 0. Nu kun je de massa van de vloeistof berekenen met behulp van de formule voor het volume van een torus. Dat wil zeggen, de massa van het circulerende medium zal gelijk zijn aan 1/4 van de massa van de torus met een gemiddelde straal R 0 en een interne straal van de pijp r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4,1)

waarbij ρ de dichtheid van de vloeistof is.

De modulus van de projectie van de Corioliskracht op elk punt van het traject op de X-as wordt gevonden met de formule

F^ = 2m v р ср ω ср cos b , (4.2)

v р ср = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

De gemiddelde hoeksnelheid zal gelijk zijn aan

ω av = (1/ ((v π /2Rо) - v Ro))) ∫ ω dω = (v /2Rо) ((π /2.) +1). (4.4)

De ondergrens van de hoeksnelheid van de integraal in formule (4.4) wordt bepaald op het beginpunt B. Deze is uiteraard gelijk aan v / Ro. De bovenste waarde van de integraal wordt gedefinieerd als de limiet van de verhouding

ℓim (v l /R) = ℓim (v sinα /R), (4,5)

v l ® 0 α ® 0

R® 0 R® 0

waarbij R de huidige straal is.

Laten we de bekende methode [7, p. 410] gebruiken om limieten te vinden voor functies van verschillende variabelen: de functie vsinα /R op het punt (R = 0, α = 0) op elke rechte lijn R = kα die erdoorheen gaat. de oorsprong heeft een limiet. In dit geval is er geen limiet, maar wel een limiet voor een bepaalde lijn. Laten we de coëfficiënt k vinden in de vergelijking van de rechte lijn die door de oorsprong gaat.

Bij α = 0 ® R= 0, bij α = π /2 ® R= Ro (Fig. 3), dus naar = 2Ro/π, wordt formule (5) getransformeerd naar een vorm die de eerste opmerkelijke limiet omvat

ℓim (v π sinα /2Ro α) = (v π/2Ro) ℓim sinα/α = v π/2Ro. (4,6)

α® 0 α® 0

Nu vervangen we de verkregen waarde uit de formules (4.1), (4.3) en (4.4) in (4.2) en krijgen we

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

Laten we de som van de projecties van de Corioliskracht in het interval (-90° £ b £ 90° ) voor de linkercurve vinden.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

De uiteindelijke som van de Coriolis-krachtprojecties voor de linker- en rechtercurven

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4,7)

Volgens relatie (3.7) herschrijven we vergelijking (4.7) in de vorm

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4,8)

Laten we de gemiddelde waarde van de Corioliskracht in de tijd berekenen, ervan uitgaande dat de versnelling constant is

Fк = ∑F^ ср = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

Na berekeningen krijgen we

Fк ≈ 1,3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4,9)

Laat r = 0,02 m; w = 5m/s2; ρ = 1000kg/m3; t = 1c, dan zal de totale gemiddelde Coriolis-traagheidskracht tijdens de positieve versnelling van het circulerende medium Fк ≈ 33N zijn.

In het midden van de cirkel in het traject bevindt zich een buiging (Fig. 4.3), die, om berekeningen te vereenvoudigen, kan worden geïnterpreteerd als een halve cirkel met een kleine straal. Laten we voor de duidelijkheid het traject in twee helften verdelen en erin steken onderste deel halve cirkel, en in bovenste deel rechte lijn, zoals weergegeven in figuur 4.4, en leid het circulerende medium door een pijp met straal r, gebogen volgens de vorm van het traject.

Rijst. 4.4.

In formule (3.5) stellen we de hoek Ψ = 180° in, en vervolgens de totale centrifugaalkracht Fc die in de loodrechte richting werkt voor het circuit van het circulerende medium

Fts = 2 ρπ r 2 v 2 . (4.10)

De middelpuntvliedende kracht is dus niet afhankelijk van de straal R, maar alleen van de integratiehoek (zie formule (3.5)) bij een constante fluxdichtheid ρ, straal r en snelheid van het circulerende medium v ​​op elk punt van het traject. Omdat de straal R willekeurig kan zijn, kunnen we concluderen dat voor elke convexe kromme met randen loodrecht op de rechte lijn AOB (Fig. 3.2), de middelpuntvliedende kracht zal worden bepaald door uitdrukking (4.10). Als gevolg hiervan moet worden opgemerkt dat elke rand van een convexe curve loodrecht op zijn lijn kan staan, die evenwijdig is en niet op dezelfde lijn ligt.

De som van de projecties van middelpuntvliedende krachten (Fig. 4) die tegen de richting van de X-as inwerken, ontstaan ​​in een halve cirkel en twee helften van een convexe curve (de rechte lijn draagt ​​niet bij aan de middelpuntvliedende kracht) boven de stippellijn en projecties die langs de X-as werken en ontstaan ​​in twee convexe krommen onder de stippellijn, worden gecompenseerd, omdat ze identiek zijn en in tegengestelde richtingen zijn gericht. Dus. De middelpuntvliedende kracht draagt ​​niet bij aan de voorwaartse beweging.

§5. Rotatiesystemen in vaste toestand. Centrifugale traagheidskrachten.

1. De vector van de eigen hoeksnelheid van de staven staat loodrecht op de vector van de hoeksnelheid van het massamiddelpunt van de staaf en de straal van de gemeenschappelijke rotatieas van de staven.

De energie van translatiebewegingen kan worden omgezet in energie roterende beweging en omgekeerd. Beschouw een paar tegenover elkaar liggende staven van lengte ℓ met puntgewichten van gelijke massa aan de uiteinden, die gelijkmatig ronddraaien eigen centrum massa's en rond een gemeenschappelijk centrum O met straal R met hoeksnelheid ω (Fig. 5.1): een halve slag van de stang in één omwenteling rond een gemeenschappelijke as. Laat R³ℓ/2. Voor een volledige beschrijving van het proces volstaat het om rotatie in het hoekbereik 0 te beschouwen£ α £ π/2. Laten we de krachten rangschikken die evenwijdig aan de X-as werken en door het gemeenschappelijke centrum O gaan, en de positie van de staven onder een hoekα = 45 graden, in het vlak van de X-as en de gemeenschappelijke rotatie-as, zoals weergegeven in figuur 5.1.

Rijst. 5.1.

Hoek α houdt verband met frequentie ω en tijd t door de relatie

α = ωt/2, (5.1.1)

aangezien een halve omwenteling van de stang plaatsvindt in één omwenteling rond een gemeenschappelijke as. Het is duidelijk dat er middelpuntvliedende krachten optreden luiheid Er zullen meer verre ladingen vanuit het centrum zijn dan nabijgelegen ladingen. Projecties van middelpuntvliedende krachten traagheid op de X-as zal zijn

Ft1 = mω 2 (R - (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Ft2 = mω 2 (R + (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Ft3 = - mω 2 (R + (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Ft4 = - mω 2 (R - (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

Laten we het verschil in middelpuntvliedende kracht opschrijven luiheid , werkend op externe belastingen. Verschil middelpuntvliedende kracht traagheid voor de tweede belasting

Ft2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

Verschil middelpuntvliedende kracht traagheid voor de derde belasting

Ft3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

Gemiddelde waarde van verschil centrifugaalkrachten luiheid een halve slag zal het zijn

Fav ц2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ cosα sin2αdα = 4mω 2 ℓ/3 π » 0,4mω 2 ℓ, (5.1.8)

Fav c3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ sinα sin2αdα = -4mω 2 ℓ/3 π » -0,4mω 2 ℓ. (5.1.9)

We verkregen twee tegengestelde en even grote centrifugaalkrachten traagheid, die extern zijn. Daarom kunnen ze worden weergegeven als twee identieke lichamen in het oneindige (niet opgenomen in het systeem), die tegelijkertijd met het systeem interageren: de tweede belasting trekt het systeem naar het eerste lichaam, en de derde belasting duwt het systeem weg van het tweede lichaam.

De gemiddelde waarde van de kracht van geforceerde invloed op het systeem per halve draai langs de X-as is gelijk aan de som van de trekkrachten Fav c2-1 en afstoting Fav c3-4 van externe lichamen

Fп = | Favoriet c2-1 | + | Favoriet c3-4 | = 0,8 mω 2 ℓ. (5.1.10)

Om het koppel van een systeem van twee stangen in een verticaal vlak (Fig. 5.2) te elimineren, is het noodzakelijk om nog een paar tegenovergestelde stangen te gebruiken, die synchroon in hetzelfde vlak in de tegenovergestelde richting roteren.

Rijst. 5.2.

Om het koppel van het systeem langs een gemeenschappelijke as met middelpunt O te elimineren, gebruiken we hetzelfde paar van vier stangen, maar roterend in de tegenovergestelde richting ten opzichte van de gemeenschappelijke as (Fig. 5.3).

Rijst. 5.3.

Tenslotte zal voor een systeem van vier paar roterende stangen (Fig. 5.3) de trekkracht gelijk zijn

Ft = 4Fp = 3,2 mω 2 ℓ. (5.1.11)

Laat m = 0,1 kg; ω =2 πf, waarbij f = 10 omw/s; ℓ = 0,5 m, dan Ft ≈ 632 N.

2. De vector van de eigen hoeksnelheid van de staven staat loodrecht op de hoeksnelheidsvector van het massamiddelpunt van de staaf en evenwijdig aan de straal van de gemeenschappelijke rotatieas van de staven.

Laten we een paar tegenover elkaar liggende staven bekijken die loodrecht op elkaar staan ​​met een lengte ℓ met puntbelastingen van gelijke massa aan de uiteinden, die uniform roteren rond hun eigen massamiddelpunt en rond een gemeenschappelijk middelpunt O met straal R met hoeksnelheid ω (Fig. 5.4): een halve omwenteling van de staaf per omwenteling rond een gemeenschappelijke as.

Rijst. 5.4.

Voor de berekening kiezen we alleen m1 en m2, omdat de oplossing vergelijkbaar is voor m3 en m4. Laten we de hoeksnelheden van de belastingen bepalen ten opzichte van het gemeenschappelijke middelpunt O. De modules van de projecties van de lineaire snelheid van de belastingen ten opzichte van hun eigen massamiddelpunt evenwijdig aan het rotatievlak ten opzichte van het gemeenschappelijke middelpunt O zullen zijn ( Afb. 5.5)

v1 = v2 = (ωℓ/4) sin (Ψ/2), (5.2.1)

waarbij Ψ = ωt.

Laten we, door modulus, de projecties selecteren van de raaklijn van deze snelheden loodrecht op de stralen respectievelijk r1 en r2 ten opzichte van het centrum O dat we krijgen

v1R = v2R = (ωℓ/4) zonde ( Ψ /2)cosB, (5.2.2)

wantB= R /r1 = R /r2 =R/Ö (R 2 +(ℓ 2 /4) cos 2 (Ψ /2)), (5.2.3)

R – afstand van het middelpunt O tot het massamiddelpunt van de lasten, r1, r2 – afstand van de lasten tot het middelpunt O, en r1 = r2.

Rijst. 5.5.

De modules van de lineaire snelheid van de belastingen ten opzichte van het gemeenschappelijke middelpunt O zonder rekening te houden met hun lineaire snelheid ten opzichte van hun eigen massamiddelpunt zullen zijn

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ωr2. (5.2.5)

Laten we de totale hoeksnelheid van elke belasting vinden ten opzichte van de gemeenschappelijke rotatie-as, rekening houdend met het feit dat de lineaire snelheden in tegengestelde richtingen zijn voor de eerste belasting en hetzelfde voor de tweede.

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (ℓR sin (Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR] . (5.2.7)

Dienovereenkomstig zullen de middelpuntvliedende krachten zijn

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 = mω 2 2 r2

Of gedetailleerd

F 1 = mω 2 [ (1– (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 = mω 2 [ (1+ (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)). (5.2.9)

Laten we de optie overwegen wanneer ℓ= 4R. In dit geval: wanneerΨ=180° hoekfrequentie van de eerste belasting ω 1 = 0 en verandert niet van richting, de tweede belasting heeft ω 2 = 2ω (Fig. 5.6).

Rijst. 5.6.

Laten we verder gaan met het bepalen van de middelpuntvliedende krachten in de richting van de X-as bij ℓ= 4R

F 1 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)– sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)). (5.2.11)

Opgemerkt moet worden dat met toenemende hoekΨ van 0 tot 180 ° op puntΨ = b = 60 ° projectie van middelpuntvliedende kracht F 2 verandert teken van negatief naar positief.

Eerst voegen we de gemiddelde waarden van de projectie op de X-as van de middelpuntvliedende kracht van de eerste belasting toe en de gemiddelde waarde van de projectie van de tweede in het hoekinterval

0 £ Ψ £ 60° , rekening houdend met de tekens, aangezien deze tegengesteld gericht zijn

F CP 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin( b+Ψ) - F 2 zonde( B-Ψ))dΨ ≈ 0,6 mω 2 R, (5.2.12)

Waar b = arccos(1/ Ö (1 +4 als 2 (Ψ /2))) wordt bepaald uit formule (5.2.3).

Centrifugale kracht F CP 1-2 in formule (5.2.12) is positief, dat wil zeggen gericht langs de X-as. Laten we nu de gelijkgerichte gemiddelde waarde van de projectie op de X-as van de middelpuntvliedende kracht van de eerste belasting en de gemiddelde waarde van de projectie van de tweede in het hoekinterval van 60 optellen.° £ Ψ £ 180°

F CP 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + B)+ F 2 zonde(Ψ- B))dΨ ≈ 1,8mω 2 R, (5.2.13)

Gemiddelde waarde in interval 0° £ Ψ £ 180° uiteraard zal dat zo zijn

F CP = (F CP 1-2 + 2F CP 1+2)/3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)

Voor m3 en m4 zal de gemiddelde waarde van de projectie op de X-as van de middelpuntvliedende kracht hetzelfde zijn, maar in de tegenovergestelde richting werken.

FT = 4 F CP = 5,6 mω 2 R. (5.2.15)

Laat m = 0,1 kg; ω =2 πf, waarbij f = 10 omw/s; ℓ= 4R, waarbij R = 0,1 m, dan FT ≈ 220N.

3. De vector van de eigen hoeksnelheid van de staaf is evenwijdig aan en identiek gericht met de hoeksnelheidsvector van het massamiddelpunt van de staaf dat rond een gemeenschappelijke as roteert.

Laten we een paar tegenover elkaar liggende staven bekijken die op het watervlak liggen met lengte ℓ met puntbelastingen van gelijke massa aan de uiteinden, die uniform roteren rond hun eigen massamiddelpunt en rond een gemeenschappelijk middelpunt O met straal R met hoeksnelheid ω (Fig. 5.7): een halve omwenteling van de staaf per omwenteling rond een gemeenschappelijke as.

Rijst. 5.7.

Net als in het vorige geval selecteren we alleen m1 en m2 voor de berekening, omdat de oplossing vergelijkbaar is voor m3 en m4. We zullen een geschatte schatting maken van de traagheidskrachten bij ℓ = 2R met behulp van de gemiddelde waarden van de hoeksnelheid ten opzichte van het centrum O, evenals de gemiddelde waarden van de afstand van de belastingen tot het centrum O Het is duidelijk dat de hoeksnelheid van de eerste belasting in het begin 1,5 ω zal zijn van de tweede belasting 0,5 ω, en na een halve draai hebben beide ω. De afstand van het eerste gewicht tot het midden O aan het begin is 2R vanaf het tweede gewicht 0, en na een halve draai vanaf elke RÖ 2.

Rijst. 5.8.

Bovendien, in het interval 0° £ Ψ £ 36° (Fig. 5.8) centrifugaalkrachten tellen op in de richting van de X-as, in het interval 36° £ Ψ £ 72° (Fig. 5.8, Fig. 5.9) de kracht van het tweede lichaam wordt afgetrokken van de kracht van het eerste lichaam en hun verschil werkt langs de X-as, in het interval 72° £ Ψ £ 90° (Fig. 5.9) de krachten tellen op en werken tegengesteld aan de X-as.

Rijst. 5.9.

Laten we de gemiddelde waarden van de hoeksnelheid en de stralen van de belastingen per halve draai bepalen.

Gemiddelde hoeksnelheid van de eerste belasting

ω CP 1 = (ω + 0,5ω + ω)/2 = 1,25ω. (5.3.1)

Gemiddelde hoeksnelheid van de tweede belasting

ω CP 2 = (ω - 0,5ω + ω)/2 = 0,75ω. (5.3.2)

Gemiddelde straal van de eerste lading

R CP 1 = (2R + R Ö2)/2 = R(2 + Ö2)/2.(5.3.3)

Gemiddelde straal van de tweede lading

R CP 2 =(0 + R Ö2)/2 = (RÖ2)/2.(5.3.4)

De projectie van de middelpuntvliedende kracht die op de eerste belasting inwerkt in de richting van de X-as zal zijn

F 1 = mω 2 SR 1 R SR 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2,67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

De projectie van de middelpuntvliedende kracht die op de tweede belasting inwerkt in de richting van de X-as zal zijn

F 2 = mω 2 SR 2 R SR 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0,4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ £ 36° zal zijn

0,2π

F CP 1 + 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ » 1,47mω 2 R. (5.3.7)

De gemiddelde waarde van het verschil tussen de projecties van de middelpuntvliedende krachten van de eerste en tweede belasting in het interval 36° £ Ψ £ 72° zal zijn

0,4π

F CP 1 - 2 = (1/0,2 π) ∫(F 1 - F 2) dΨ » 1,95mω 2 R. (5.3.8)

0,2π

De gemiddelde waarde van de som van de projecties van de middelpuntvliedende krachten van de eerste en tweede belastingen in het interval 72° £ Ψ £ 90° zal zijn

0,5π

F CP- (1 + 2) = - (1/0,1 π) ∫(F 1 + F 2)dΨ » -3,72mω 2 R. (5.3.9)

0,4π

De gemiddelde waarde van de som van de projecties van de middelpuntvliedende krachten van de eerste en tweede belastingen in het interval 0° £ Ψ £ 90° zal zijn

F CP = (2F CP 1 + 2 + 2F CP 1 – 2 + F CP- (1 + 2))/5 » 0,62mω 2 R. (5.3.10)

De som van de projecties van de middelpuntvliedende krachten voor de derde en vierde belasting wordt op dezelfde manier berekend.

Om het koppel te elimineren, is het noodzakelijk om nog een paar stangen te gebruiken, maar die in de tegenovergestelde richting roteren ten opzichte van hun eigen massamiddelpunt en ten opzichte van de gemeenschappelijke rotatieas, dan zal de uiteindelijke trekkracht zijn

FT = 4F CP = 2,48mω 2 R. (5.3.11)

Laat m = 0,1 kg; ω =2 πf, waarbij f = 10 omw/s; R = 0,25 m, dan FT ≈ 245N.

§6. Fase traagheidskracht.

Om de fasetraagheidskracht als translatiekracht te implementeren, gebruiken we een scharnier met twee cranks en vier schakels om de uniforme rotatie van de motor om te zetten in een ongelijkmatige rotatie van de belastingen volgens een bepaalde modus, waardoor de aard van de beweging van de belastingen wordt geoptimaliseerd. voor het effectief gebruik van traagheidskrachten, en door de relatieve positie van de lasten op de juiste manier te kiezen, om de omgekeerde impuls te compenseren

Een gelede koppeling met vier stangen zal dubbel worden aangezwengeld als de hart-op-hart afstand AG is (Fig. 6.1) zal kleiner zijn dan de lengte van welke bewegende schakel dan ook, en de som van de hart-op-hart afstand en de lengte van de grootste van de bewegende schakels zal kleiner zijn dan de som van de lengtes van de andere twee schakels.

Rijst. 6.1.

De VG-koppeling (hefboom), waarop een last met massa m is bevestigd, is een aangedreven kruk op een vaste as G, en de AB-koppeling is een leidende. Verbinding A is de motoras. De BV-koppeling is een drijfstang. De verhouding tussen de lengtes van de drijfstang en de aandrijfslinger is zodanig gekozen dat wanneer de belasting het uiterste punt D bereikt er een rechte hoek ontstaat tussen de drijfstang en de aandrijfslinger, wat maximale efficiëntie garandeert. Vervolgens brengt de drijfstang BV, bij een uniforme rotatie van de motoras A met de aandrijfkruk AB met een hoeksnelheid w, beweging over op de aangedreven kruk VG, waardoor deze wordt afgeremd. De belasting vertraagt ​​dus van punt E naar punt D langs de bovenste halve cirkel. In dit geval werkt de traagheidskracht in de bewegingsrichting van de last. Laten we de beweging van de last in de tegenovergestelde halve cirkel bekijken (Fig. 6.2), waar de drijfstang, rechtgetrokken, de last versnelt.

Rijst. 6.2.

In dit geval werkt de traagheidskracht tegen de bewegingsrichting van de last in, en valt samen met de richting van de traagheidskracht in de eerste halve cirkel. Het geïntegreerde voortstuwingscircuit wordt weergegeven in figuur 6.3.

Rijst. 6.3.

De aandrijfkrukken AB en A¢ B¢ zijn star in een rechte lijn met de motoras verbonden en de aangedreven krukken (hefbomen) draaien onafhankelijk van elkaar op een stationaire as. De longitudinale componenten van de traagheidskrachten in de richting van punt E naar punt D van de bovenste en onderste lasten worden bij elkaar opgeteld, waardoor voorwaartse beweging ontstaat. Er is geen tegengestelde impuls, omdat de gewichten in dezelfde richting draaien en gemiddeld symmetrisch tegenover elkaar liggen.

Laten we de effectieve fasetraagheidskracht evalueren.

Stel AB = BV = r, GV = R.

Laten we aannemen dat in de uiterst rechtse positie de hoek Ψ tussen de straal R en middellijn DE is gelijk aan 0° (Fig. 6.4) en

r + r – AG = R, (6,1)

en ook in de uiterst linkse positie bij een hoek van Ψ = 180° (Fig. 6.5).

Р ABC = 90°. (6,2)

Vervolgens is het op basis van deze voorwaarden eenvoudig vast te stellen dat aan de aannames is voldaan voor de volgende waarden

r = 2R/(2+Ö 2), (6,3)

AG = (3 - 2Ö 2)R. (6,4)

Laten we nu de hoeksnelheden in de uiterst rechtse en linkse posities bepalen. Het is duidelijk dat in de juiste positie de hoeksnelheden van AG en GW samenvallen en gelijk zijn aan w.

Rijst. 6.4.

In de linkerpositie zal de hoeksnelheid w van de GW uiteraard gelijk zijn aan

w GW = (180° /225° )w . (6,5)

De toename van de hoeksnelheid ∆w gedurende de tijd ∆t = 225° /w = 5π/4w zal zijn

∆w = w GW - w = - 0,2w. (6,6)

Laat de hoekversnelling dan uniform langzaam zijn

dω/dt = ∆w /∆t = - 0,16w 2 / π. (6,7)

Laten we de formule voor de fasetraagheidskracht (2,8) in scalaire vorm gebruiken

F f = -m [(dω/dt)R] = 0,16 mw 2 R/ π. (6,8)

Rijst. 6.5.

De projectie van de fasetraagheidskracht in de ED-richting zal zijn

F fED = 0,16 mw 2 RsinΨ/π. (6,9)

Gemiddelde waarde van de projectie van de fasetraagheidskracht gedurende een halve cyclus

F CP = 0,16mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32mω 2 R/ π 2 . (6.10)

Voor twee belastingen (Fig. 6.3) verdubbelt de kracht. Om het koppel te elimineren, is het noodzakelijk om nog een paar gewichten aan te brengen, maar dan in de tegenovergestelde richting. Ten slotte zal de trekkracht voor vier ladingen zijn

FT = 4F CP = 1,28 mω 2 R/ π 2. (6.11)

Laat m = 0,1 kg; ω =2 πf, waarbij f = 10 omw/s; R = 0,5 m, dan FT = 25,6 N.

§7. Gyroscoop. Coriolis en centrifugale traagheidskracht.

Laten we de oscillerende beweging van een last met massa m bekijken langs een halve cirkel (Fig. 7.1) met straal R met lineaire snelheid v. De middelpuntvliedende kracht van traagheid Fc die inwerkt op een last met massa m zal gelijk zijn aan m v 2 /R, radiaal gericht vanuit het centrum O. De projectie van de middelpuntvliedende kracht op de X-as zal gelijk zijn

F c׀׀ = (m v 2 /R) sin α.

(7.1) De last moet met versnelling bewegen w v = gew, dus

F c׀׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7,2)

waarbij t tijd is.

Rijst. 7.1.

Vanwege de traagheid van de belasting verschijnt er een omgekeerde impuls aan de randen van de halve cirkel, die de voorwaartse beweging van het systeem in de richting van de X-as verhindert.

Het is bekend dat wanneer blootgesteld aan een kracht die de richting van de gyroscoopas verandert, deze precesseert onder invloed van de Coriolis-kracht, en deze beweging is traagheidsvrij. Dat wil zeggen, met de onmiddellijke toepassing van een kracht die de richting van de rotatie-as verandert, begint de gyroscoop onmiddellijk te precederen en stopt hij net zo onmiddellijk wanneer deze kracht verdwijnt. In plaats van een belasting gebruiken we een gyroscoop die draait met een hoeksnelheid ω. Laten we nu een kracht F uitoefenen loodrecht op de rotatie-as van de gyroscoop (Fig. 7.2) en de as beïnvloeden zodat de houder met de gyroscoop traagheidsvrije oscillerende beweging (precessies) uitvoert in een bepaalde sector (in het optimale geval met een eindwaarde van α = 180°). Een onmiddellijke stop van de precessie van de houder met een gyroscoop en de hervatting ervan in de tegenovergestelde richting vindt plaats wanneer de richting van de kracht F naar het tegenovergestelde verandert. Er vindt dus een oscillerende, traagheidsvrije beweging van de houder met een gyroscoop plaats, waardoor de omgekeerde impuls wordt geëlimineerd die de voorwaartse beweging langs de X-as verhindert.

Rijst. 7.2.

Hoeksnelheid van precessie

dα /dt = M / I Z ω, (7,3)

waarbij: M – moment van kracht; I Z – traagheidsmoment van de gyroscoop; ω – hoeksnelheid van de gyroscoop.

Moment van kracht (ervan uitgaande dat ℓ loodrecht op F staat)

M = ℓ F, (7,4)

waarbij: ℓ – afstand vanaf het punt waarop kracht F wordt uitgeoefend tot het traagheidsmiddelpunt van de gyroscoop; F – kracht uitgeoefend op de as van de gyroscoop.

Als we (7.4) vervangen door (7.3), krijgen we

dα /dt = ℓ F / I Z ω, (7,5)

Aan de rechterkant van formule (7.5) de componenten ℓ, I Z, We beschouwen ω als constant, en laten de kracht F, afhankelijk van de tijd t, variëren volgens een stuksgewijs lineaire wet (Fig. 7.3).

Rijst. 7.3.

Het is bekend dat lineaire snelheid gerelateerd is aan hoeksnelheid door de volgende relatie

v = R(dα/dt). (7,6)

Door formule (7.6) te differentiëren met betrekking tot de tijd, verkrijgen we versnelling

w = R (d2α/dt2). (7,7)

Als we formule (7.5) vervangen door formule (7.7), krijgen we

w = (R ℓ/IZω ) (dF/dt). (7.8)

De versnelling hangt dus af van de mate van verandering van kracht F, waardoor de middelpuntvliedende kracht effectief is voor de voorwaartse beweging van het systeem.

Opgemerkt moet worden dat bij hoge hoeksnelheid ω en dα/dt<< ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

Om de loodrechte projectie van de middelpuntvliedende kracht Fc ┴ te compenseren, gebruiken we een tweede soortgelijke gyroscoop, die synchroon in tegenfase met de eerste gyroscoop een oscillerende beweging uitvoert (Fig. 7.4). De projectie van de middelpuntvliedende kracht Fc ┴ bij de tweede gyroscoop zal tegengesteld gericht zijn aan de projectie bij de eerste. Het ligt voor de hand dat de loodrechte componenten Fc ┴ gecompenseerd zullen worden, en dat de parallelle componenten Fc׀׀ zullen worden opgeteld.

Rijst. 7.4.

Als de oscillatiesector van de gyroscopen niet meer is dan een halve cirkel, zal de tegenovergestelde middelpuntvliedende kracht niet optreden, waardoor de middelpuntvliedende kracht in de richting van de X-as wordt verminderd.

Om het koppel van het apparaat dat ontstaat als gevolg van de geforceerde rotatie van de gyroscoopas te elimineren, is het noodzakelijk om nog een paar van dezelfde gyroscopen te installeren, waarvan de assen in de tegenovergestelde richting draaien. De sectoren van oscillerende beweging van houders met gyroscopen in paren, waarvan de assen in één richting draaien, moeten symmetrisch in één richting zijn gericht met de sectoren van houders met gyroscopen, waarvan de assen in de andere richting draaien (Fig. 7,5).

Rijst. 7.5.

Laten we de gemiddelde waarde berekenen van de projectie Fп׀׀ van de middelpuntvliedende kracht voor één gyroscoop (Fig. 7.2) op een houder die in de halve cirkelsector oscilleert van 0 tot π en deze waarde aangeven met Fп

Fп = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7,9)

Voor vier gyroscopen op houders zal de gemiddelde waarde van de translatiekracht Fп voor elke halve cyclus zijn:

Fп = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

Laat de massa van de houder veel kleiner zijn dan de massa van de gyroscoop, en de massa van de gyroscoop m = 1 kg. Versnelling w = 5 m/s 2 , en de versnelling van de gyroscoop is een orde van grootte groter dan de versnelling van het systeem, dan kunnen we het kleine interval van afwezigheid van de werking van de middelpuntvliedende kracht in het midden negeren. Snelheidsstijgingstijd t = 1s. Straal (lengte) van de houder R = 0,5 m. Dan zal de translatiekracht volgens formule (7.10) Fп = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0,5 π ≈ 127N zijn.

Literatuur

1. Vygodsky M. Ya Handboek voor hogere wiskunde, 14e editie, – M.: Ursa Major LLC, APP “Dzhangar”, 2001, 864 p.

2. Sivukhin D.V. Algemene cursus natuurkunde. T.1. Mechanica. 5e druk, stereot. – M.: FIZMATLIT., 2010, 560 p.

3. Shipov G.I. Theorie van fysiek vacuüm. Theorie, experimenten en technologie. 2e druk, – M.: Nauka, 1996, 456 p.

4.Olkhovsky I.I. Cursus theoretische mechanica voor natuurkundigen: leerboek. 4e druk, gewist. – Sint-Petersburg: Lan Publishing House, 2009, 576 p.

5. Handboek natuurkunde voor ingenieurs en universiteitsstudenten / B.M. Yavorsky, A.A. Lebedev. – 8e druk, herzien. en corr. – M.: Onyx Publishing House LLC, Mir and Education Publishing House, 2008, 1056 p.

6. Khaikin SE Fysische grondslagen van de mechanica, 2e ed., rev. en extra Studiegids. Hoofdredactie van fysische en wiskundige literatuur. M.: Nauka, 1971, 752 p.

7. Zorich V.A. Wiskundige analyse. Deel 1. Uitg. 2e, herz. en extra M.: FAZIS, 1997, 554 p.

8. Alexandrov N.V. en Yashkin A.Ya. Cursus algemene natuurkunde. Mechanica. Leerboek handleiding voor deeltijdstudenten natuurkunde en wiskunde. nep. ped. Inst. M., “Verlichting”, 1978, 416 p.

9. Geronimus Ya. L. Theoretische mechanica (essays over de belangrijkste principes): Hoofdeditie van fysische en wiskundige literatuur van uitgeverij Nauka, 1973, 512 p.

10. Cursus theoretische mechanica: leerboek / A.A Yablonsky, V.M. – 15e druk, gewist. – M.: KNORUS, 2010, 608 p.

11. Turyshev M.V., Over de beweging van gesloten systemen, of onder welke omstandigheden niet wordt voldaan aan de wet van behoud van momentum, “Natural and Technical Sciences”, nr. 3(29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. Yzerman M.A. Klassieke mechanica: leerboek. – 2e druk, herzien. – M.: Wetenschap. Hoofdredactie van fysische en wiskundige literatuur, 1980, 368 p.

13. Yavorsky V.M., Pinsky A.A. Grondbeginselen van de natuurkunde: leerboek. In 2 delen. Mechanica, Moleculaire fysica. Elektrodynamica / Ed. Yu.I.Dika. – 5e druk, stereot. – M.: FIZMATLIT. 2003. – 576 blz.

14. Kittel Ch., Knight V., Ruderman M. Mechanica: studiegids: Trans. uit Engels/Ed. A.I. Shalnikova en A.S. – 3e druk, herz. – M.: Wetenschap. Hoofdredactie van fysische en wiskundige literatuur. 1983. – (Berkeley natuurkundecursus, deel 1). – 448s.

15. Tolchin VN, Inertsoid, Traagheidskrachten als bron van translatiebeweging. Perm. Perm boekenuitgeverij, 1977, 99 p.

16. Frolov A.V. Vortex-aandrijving, “New Energy”, nr. 3 (18), 2004, ISSN 1684-7288.

17.Bernikov VR Enkele gevolgen uit de basiswet van de mechanica, “Journal of wetenschappelijke publicaties van afgestudeerde studenten en doctoraatsstudenten”, nr. 5 (71), 2012, ISSN 1991-3087.

18.Bernikov VR Traagheidskrachten en versnelling, “Scientific Perspective”, nr. 4, 2012, ISSN 2077-3153.

19.Bernikov VR Traagheidskrachten en hun toepassing, “Journal of wetenschappelijke publicaties van afgestudeerde studenten en doctoraatsstudenten”, nr. 11 (65), 2011, ISSN 1991-3087.