Formule voor centripetale versnelling door hoeksnelheid. Centripetale versnelling

29.09.2019

Een object dat beweegt in een cirkelvormige baan met een straal R met uniforme tangentiële snelheid u is de snelheidsvector v waarvan de omvang constant is, maar waarvan de richting voortdurend verandert. Hieruit volgt dat een object een versnelling moet hebben, aangezien (vector) de veranderingssnelheid van de (vector) snelheid is, en (vector) snelheid inderdaad verschillend is in de tijd.

Stel dat een object vanuit een punt beweegt P ter zake Q tussen de tijd T En, T + δ T zoals weergegeven in de afbeelding hierboven. Laten we verder aannemen dat het object wordt geroteerd δθ radialen gedurende deze periode. Vector, zoals weergegeven in het diagram, is identiek aan vector. Bovendien is de hoek tussen de vectoren en deze δθ . De vector vertegenwoordigt de verandering in de snelheidsvector, δ v, tussen de tijd T En T + δ T. Hieruit blijkt duidelijk dat deze vector naar het middelpunt van de cirkel is gericht. Volgens standaard trigonometrie is de lengte van een vector:

Wel onder kleine hoeken zonde θ ≃ θ , op voorwaarde dat θ gemeten in radialen. Vandaar,

δv ≃ vδθ.

Waar is de hoeksnelheid van het object in radialen per seconde. Een object beweegt dus in een cirkelvormige baan met een straal R, met uniforme tangentiële snelheid v, en een uniforme hoeksnelheid, heeft een versnelling gericht naar het midden van de cirkel - dat wil zeggen: centripetale versnelling- maat:

Laten we aannemen dat een lichaam met massa M, bevestigd aan het uiteinde van een kabel, lengte R, en roteert op zo'n manier dat het lichaam een horizontale straalcirkel beschrijft R, met uniforme tangentiële snelheid v. Zoals we zojuist hebben geleerd, heeft een lichaam een centripetale versnelling van de grootte. Daarom ervaart het lichaam een middelpuntzoekende kracht

Wat geeft deze kracht? Oké, alsjeblieft in dit voorbeeld, de kracht wordt geleverd door de spanning van de kabel. Vandaar, .

Laten we aannemen dat de kabel zodanig is dat deze breekt wanneer de spanning daarin een bepaalde kritische waarde overschrijdt. Hieruit volgt dat er een maximale snelheid is waarmee een lichaam kan bewegen, namelijk:

Als v overtreft v max, zal de kabel breken. Zodra de kabel breekt, ervaart het lichaam geen centripetale kracht meer, maar beweegt het met hoge snelheid v max langs een rechte lijn die raakt aan de reeds bestaande cirkelbaan.

Zorgt ervoor dat we op deze planeet kunnen bestaan. Hoe kunnen we begrijpen wat centripetale versnelling is? Definitie hiervan fysieke hoeveelheid hieronder weergegeven.

Waarnemingen

Het eenvoudigste voorbeeld van de versnelling van een lichaam dat in een cirkel beweegt, kan worden waargenomen door een steen aan een touw te laten draaien. Je trekt aan het touw en het touw trekt de steen naar het midden. Op elk moment geeft het touw een bepaalde hoeveelheid beweging aan de steen, en elke keer in een nieuwe richting. Je kunt je de beweging van het touw voorstellen als een reeks zwakke schokken. Een ruk - en het touw verandert van richting, nog een ruk - nog een verandering, enzovoort in een cirkel. Als je het touw plotseling loslaat, stopt het schokken en daarmee ook de verandering in de richting van de snelheid. De steen beweegt in de richting die raakt aan de cirkel. De vraag rijst: "Met welke versnelling zal het lichaam op dit moment bewegen?"

Formule voor centripetale versnelling

Allereerst is het vermeldenswaard dat de beweging van een lichaam in een cirkel complex is. De steen neemt tegelijkertijd deel aan twee soorten bewegingen: onder invloed van kracht beweegt hij naar het rotatiecentrum, en tegelijkertijd langs een raaklijn aan de cirkel, weg van dit centrum. Volgens de tweede wet van Newton is de kracht die een steen aan een touw houdt, gericht naar het rotatiecentrum langs het touw. De versnellingsvector zal daar ook naartoe gericht zijn.

Laten we aannemen dat onze steen na enige tijd, gelijkmatig bewegend met snelheid V, van punt A naar punt B komt. Laten we aannemen dat op het moment dat het lichaam punt B passeerde, de middelpuntzoekende kracht er niet langer op inwerkte. Dan zou het na verloop van tijd punt K bereiken. Het ligt op de raaklijn. Als op hetzelfde moment alleen centripetale krachten op het lichaam inwerken, dan zou het gedurende de tijd t, terwijl het met dezelfde versnelling beweegt, in punt O terechtkomen, dat zich op een rechte lijn bevindt die de diameter van een cirkel voorstelt. Beide segmenten zijn vectoren en gehoorzamen aan de regel van vectoroptelling. Als resultaat van het optellen van deze twee bewegingen over een tijdsperiode t, verkrijgen we de resulterende beweging langs de boog AB.

Als het tijdsinterval t verwaarloosbaar klein wordt geacht, zal de boog AB weinig verschillen van het akkoord AB. Het is dus mogelijk om beweging langs een boog te vervangen door beweging langs een koorde. In dit geval zal de beweging van de steen langs het akkoord aan de wetten voldoen rechtlijnige beweging, dat wil zeggen dat de afgelegde afstand AB gelijk zal zijn aan het product van de snelheid van de steen en de tijd van zijn beweging. AB = V x t.

Laten we de gewenste centripetale versnelling aangeven met de letter a. Vervolgens kan het pad dat alleen onder invloed van de centripetale versnelling wordt afgelegd, worden berekend met behulp van de formule voor een uniform versnelde beweging:

Afstand AB is gelijk aan het product van snelheid en tijd, dat wil zeggen AB = V x t,

AO - eerder berekend met behulp van de formule van uniform versnelde beweging voor beweging in een rechte lijn: AO = op 2 / 2.

Door deze gegevens in de formule te vervangen en te transformeren, krijgen we een eenvoudige en elegante formule voor centripetale versnelling:

In woorden kan dit als volgt worden uitgedrukt: de centripetale versnelling van een lichaam dat in een cirkel beweegt, is gelijk aan het quotiënt van de lineaire snelheid in het kwadraat van de straal van de cirkel waarlangs het lichaam roteert. De middelpuntzoekende kracht ziet er in dit geval uit zoals in de onderstaande afbeelding.

Hoeksnelheid

De hoeksnelheid is gelijk aan de lineaire snelheid gedeeld door de straal van de cirkel. De omgekeerde bewering is ook waar: V = ωR, waarbij ω de hoeksnelheid is

Als we deze waarde in de formule invullen, kunnen we een uitdrukking verkrijgen voor de centrifugale versnelling voor de hoeksnelheid. Het zal er als volgt uitzien:

Acceleratie zonder snelheidsverandering

En toch, waarom beweegt een lichaam met versnelling gericht naar het centrum niet sneller en dichter bij het rotatiecentrum? Het antwoord ligt in de formulering van versnelling. De feiten laten zien dat een cirkelvormige beweging reëel is, maar om deze in stand te houden is een versnelling nodig die naar het midden is gericht. Onder invloed van de kracht veroorzaakt door deze versnelling vindt er een verandering in de hoeveelheid beweging plaats, waardoor het bewegingstraject constant gekromd is, waarbij de richting van de snelheidsvector voortdurend verandert, maar zonder de absolute waarde ervan te veranderen . Terwijl hij in een cirkel beweegt, snelt onze lankmoedige steen naar binnen, anders zou hij tangentiaal blijven bewegen. Ieder moment van de tijd wordt de steen, tangentiaal gaand, aangetrokken door het centrum, maar valt er niet in. Een ander voorbeeld van centripetale versnelling zou een waterskiër zijn die kleine cirkels op het water maakt. Het figuur van de atleet is gekanteld; hij lijkt te vallen, blijft bewegen en leunt naar voren.

We kunnen dus concluderen dat versnelling de snelheid van het lichaam niet verhoogt, omdat de snelheids- en versnellingsvectoren loodrecht op elkaar staan. Toegevoegd aan de snelheidsvector verandert versnelling alleen de bewegingsrichting en houdt het lichaam in een baan om de aarde.

Het overschrijden van de veiligheidsfactor

In het vorige experiment hadden we te maken met een perfect touw dat niet brak. Maar laten we zeggen dat ons touw het meest gewone is, en je kunt zelfs de kracht berekenen waarna het eenvoudigweg zal breken. Om deze kracht te berekenen volstaat het om de sterkte van het touw te vergelijken met de belasting die het ervaart tijdens de rotatie van de steen. Door de steen met een hogere snelheid te laten draaien, geef je hem een grotere hoeveelheid beweging en dus een grotere versnelling.

Met een jutetouwdiameter van ongeveer 20 mm bedraagt de treksterkte ongeveer 26 kN. Het is opmerkelijk dat de lengte van het touw nergens verschijnt. Door een last van 1 kg op een touw met een straal van 1 m te draaien, kunnen we berekenen dat de lineaire snelheid die nodig is om het te breken 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m is overschrijden zal gelijk zijn aan √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

Zwaartekracht

Bij het overwegen van het experiment hebben we het effect van de zwaartekracht verwaarloosd, omdat de invloed ervan bij zulke hoge snelheden verwaarloosbaar is. Maar je kunt merken dat het lichaam bij het afwikkelen van een lang touw een complexer traject beschrijft en geleidelijk de grond nadert.

Hemellichamen

Als we de wetten van cirkelvormige beweging naar de ruimte overbrengen en ze toepassen op de beweging van hemellichamen, kunnen we verschillende al lang bekende formules herontdekken. De kracht waarmee een lichaam door de aarde wordt aangetrokken, is bijvoorbeeld bekend met de formule:

In ons geval is de factor g dezelfde centripetale versnelling die werd afgeleid uit de vorige formule. Alleen in dit geval zal de rol van de steen worden gespeeld door een hemellichaam dat wordt aangetrokken door de aarde, en de rol van het touw zal worden gespeeld door de zwaartekracht. De g-factor wordt uitgedrukt in termen van de straal van onze planeet en zijn rotatiesnelheid.

Resultaten

De essentie van centripetale versnelling is het harde en ondankbare werk van het in een baan om de aarde houden van een bewegend lichaam. Er wordt een paradoxaal geval waargenomen wanneer een lichaam bij constante versnelling de waarde van zijn snelheid niet verandert. Voor de ongetrainde geest is zo’n uitspraak nogal paradoxaal. Niettemin speelt centripetale versnelling een belangrijke rol, zowel bij het berekenen van de beweging van een elektron rond de kern, als bij het berekenen van de rotatiesnelheid van een ster rond een zwart gat.

Omdat de lineaire snelheid uniform van richting verandert, kan de cirkelvormige beweging niet uniform worden genoemd, maar wordt deze uniform versneld.

Hoeksnelheid

Laten we een punt op de cirkel kiezen 1 . Laten we een straal bouwen. Binnen een tijdseenheid zal het punt naar een punt bewegen 2 . In dit geval beschrijft de straal de hoek. De hoeksnelheid is numeriek gelijk aan de rotatiehoek van de straal per tijdseenheid.

Periode en frequentie

Rotatieperiode T- dit is de tijd waarin het lichaam één omwenteling maakt.

De rotatiefrequentie is het aantal omwentelingen per seconde.

Frequentie en periode zijn met elkaar verbonden door de relatie

Relatie met hoeksnelheid

Lineaire snelheid

Elk punt op de cirkel beweegt met een bepaalde snelheid. Deze snelheid wordt lineair genoemd. De richting van de lineaire snelheidsvector valt altijd samen met de raaklijn aan de cirkel. Bijvoorbeeld vonken van onderaf slijpmachine in dezelfde richting bewegen onmiddellijke snelheid.

Beschouw een punt op een cirkel dat één omwenteling maakt; de bestede tijd is de periode T. Het pad dat een punt aflegt, is de omtrek.

Centripetale versnelling

Bij het bewegen in een cirkel staat de versnellingsvector altijd loodrecht op de snelheidsvector, gericht naar het middelpunt van de cirkel.

Met behulp van de voorgaande formules kunnen we de volgende relaties afleiden

Punten die op dezelfde rechte lijn liggen en uit het midden van de cirkel komen (dit kunnen bijvoorbeeld punten zijn die op de spaken van een wiel liggen) zullen dezelfde hoeksnelheden, periode en frequentie hebben. Dat wil zeggen dat ze op dezelfde manier zullen roteren, maar met verschillende lineaire snelheden. Hoe verder een punt van het centrum verwijderd is, hoe sneller het zal bewegen.

De wet van het optellen van snelheden geldt ook voor rotatiebewegingen. Als de beweging van een lichaam of referentiekader niet uniform is, is de wet van toepassing op momentane snelheden. De snelheid van een persoon die langs de rand van een roterende carrousel loopt, is bijvoorbeeld gelijk aan de vectorsom van de lineaire rotatiesnelheid van de rand van de carrousel en de snelheid van de persoon.

De aarde is betrokken bij twee belangrijke zaken roterende bewegingen: dagelijks (rond zijn as) en orbitaal (rond de zon). De rotatieperiode van de aarde rond de zon bedraagt 1 jaar of 365 dagen. De aarde draait om haar as van west naar oost, de periode van deze rotatie is 1 dag of 24 uur. De breedtegraad is de hoek tussen het vlak van de evenaar en de richting van het middelpunt van de aarde naar een punt op het aardoppervlak.

Volgens de tweede wet van Newton is kracht de oorzaak van elke versnelling. Als een bewegend lichaam centripetale versnelling ervaart, kan de aard van de krachten die deze versnelling veroorzaken anders zijn. Als een lichaam bijvoorbeeld in een cirkel beweegt aan een touw dat eraan is vastgemaakt, dan is de werkende kracht de elastische kracht.

Als een lichaam dat op een schijf ligt, met de schijf om zijn as roteert, dan is zo'n kracht de wrijvingskracht. Als de kracht stopt met werken, blijft het lichaam in een rechte lijn bewegen

Overweeg om een punt op een cirkel van A naar B te verplaatsen. Lineaire snelheid gelijk aan vA En vB respectievelijk. Versnelling is de verandering in snelheid per tijdseenheid. Laten we het verschil tussen de vectoren vinden.

Definitie

Centripetale versnelling de component genoemd van de totale versnelling van een materieel punt dat langs een gebogen pad beweegt, en dat de mate van verandering in de richting van de snelheidsvector bepaalt.

Een ander onderdeel van de totale versnelling is de tangentiële versnelling, die verantwoordelijk is voor de snelheidsverandering. Geeft centripetale versnelling aan, meestal $(\overline(a))_n$. Centripetale versnelling wordt ook wel normale versnelling genoemd.

De centripetale versnelling is gelijk aan:

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\rechts),\]

waarbij $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$ de eenheidsvector is, die is gericht vanuit het krommingsmiddelpunt van het traject naar het betreffende punt; $r$ is de kromtestraal van het traject ter plaatse van het materiële punt op het beschouwde tijdstip.

H. Huygens was de eerste die de juiste formules verkreeg voor het berekenen van de centripetale versnelling.

De eenheid van centripetale versnelling van het Internationale Systeem van Eenheden is de meter gedeeld door de vierkante seconde:

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

Formule voor centripetale versnelling voor uniforme beweging van een punt in een cirkel

Laten we eens kijken naar de uniforme beweging van een materieel punt langs een cirkel. Bij een dergelijke beweging blijft de snelheid van het materiële punt onveranderd ($v=const$). Maar dit betekent niet dat de totale versnelling van een materieel punt bij dit soort beweging nul is. De momentane snelheidsvector is tangentiaal gericht op de cirkel waarlangs het punt beweegt. Bij deze beweging verandert de snelheid dus voortdurend van richting. Hieruit volgt dat het punt versnelling heeft.

Laten we de punten A en B bekijken die op het traject van het deeltje liggen. We vinden de snelheidsveranderingsvector voor de punten A en B als:

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\right).\]

Als de tijd die wordt besteed aan het verplaatsen van punt A naar punt B naar nul neigt, verschilt de boog AB niet veel van het akkoord AB. Driehoeken AOB en BMN zijn gelijkvormig, we krijgen:

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\right).\]

De grootte van de gemiddelde versnellingsmodule wordt bepaald als:

\[\links\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\right).\]

Laten we naar de limiet op $\Delta t\to 0\ $ gaan vanuit $\left\langle a\right\rangle \ \ $in formule (4):

De gemiddelde versnellingsvector maakt een hoek gelijk aan de snelheidsvector:

\[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(6\right).\]

Bij $\Delta t\to 0\ $ hoek $\alpha \to 0.$ Het blijkt dat de momentane versnellingsvector een hoek $\frac(\pi )(2)$ maakt met de snelheidsvector.

En zodat een materieel punt dat uniform rond een cirkel beweegt een versnelling heeft die naar het midden van de cirkel is gericht ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), is de waarde ervan gelijk aan de snelheid kwadraat gedeeld door de straalcirkels:

waarbij $\omega $ de hoeksnelheid van het materiële punt is ($v=\omega \cdot R$). In vectorvorm kan de formule voor centripetale versnelling op basis van (7) worden geschreven als:

\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\right),\]

waarbij $\overline(R)$ de straalvector is, gelijk in lengte aan de straal van de cirkelboog, gericht vanuit het krommingsmiddelpunt naar de locatie van het betreffende materiële punt.

Voorbeelden van problemen met oplossingen

voorbeeld 1

Oefening. Vectorvergelijking $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right )\ )\ )$, waarbij $\omega =2\ \frac(rad)(s),$ de beweging van een materieel punt beschrijft. Welk traject volgt dit punt? Hoe groot is de centripetale versnelling? Beschouw alle grootheden in het SI-systeem.

Oplossing. Beschouw de bewegingsvergelijking van een punt:

\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \links(1.1\rechts).\]

In het cartesiaanse coördinatensysteem is deze vergelijking equivalent aan het stelsel vergelijkingen:

\[\left\( \begin(array)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\right)\ ) \end(array) \left(1.2\right).\right.\]

Om te begrijpen langs welk traject het punt beweegt, moeten we de tijd uitsluiten van de vergelijkingen van systeem (1.2). Om dit te doen, kwadrateren we beide vergelijkingen en tellen we ze op:

Uit vergelijking (1.3) zien we dat het traject van het punt een cirkel is (Fig. 2) met straal $R=1$ m.

Om de centripetale versnelling te vinden, gebruiken we de formule:

Laten we de snelheidsmodule bepalen met behulp van het stelsel vergelijkingen (1.2). Laten we de snelheidscomponenten vinden die gelijk zijn aan:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\right)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \end(array) \right.\left(1.5\right).\]

Het kwadraat van de snelheidsmodule is gelijk aan:

Uit de resulterende snelheidsmodulus (1.6) zien we dat ons punt uniform rond de cirkel beweegt, daarom zal de centripetale versnelling samenvallen met de totale versnelling.

Als we $v^2$ uit (1.6) vervangen door formule (1.4), krijgen we:

Laten we $a_n$ berekenen:

$a_n=\frac(4)(1)=4\ \left(\frac(m)(s^2)\right).$

Antwoord. 1) Cirkel; 2) $a_n=4\ \frac(m)(s^2)$

Voorbeeld 2

Oefening. Wat is de centripetale versnelling van punten op de rand van de schijf op een tijdstip gelijk aan $t=2$c, als de schijf roteert in overeenstemming met de vergelijking: $\varphi (t)=3+2t^3$? De straal van de schijf is $R=0,(\rm 1)$ m.

Oplossing. We zullen zoeken naar de centripetale versnelling van punten op de schijf met behulp van de formule:

We vinden de hoeksnelheid met behulp van de vergelijking $\varphi (t)=3+2t^3$ als:

\[\omega =\frac(d\varphi )(dt)=6t^2.\ \]

Bij $t=2\ $c is de hoeksnelheid gelijk aan:

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(s)\right).\]

Je kunt de centripetale versnelling berekenen met formule (2.1):

Antwoord.$a_n=57,6\frac(m)(s^2)$

Wanneer het lichaam zich in een cirkel beweegt met een constante lineaire snelheid υ, heeft het lichaam een constante centripetale versnelling gericht naar het midden van de cirkel

een c = υ 2 /R, (18)

waarbij R de straal van de cirkel is.

Afleiding van de formule voor centripetale versnelling

A-priorij.

Figuur 6 Afleiding van de formule voor centripetale versnelling

In de figuur zijn de driehoeken gevormd door de verplaatsings- en snelheidsvectoren vergelijkbaar. Gezien dat == R en == υ, uit de gelijkenis van driehoeken vinden we:

(20)

(21)

Laten we de oorsprong van de coördinaten in het midden van de cirkel plaatsen en het vlak waarin de cirkel ligt kiezen als het vlak (x, y). De positie van een punt op een cirkel wordt op elk moment op unieke wijze bepaald door de polaire hoek φ, gemeten in radialen (rad), en

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

waarbij φ 0 de beginfase bepaalt (beginpositie van een punt op de cirkel op nultijd).

Bij uniforme rotatie neemt de hoek φ, gemeten in radialen, lineair toe met de tijd:

φ = ωt, (23)

waarbij ω de cyclische (circulaire) frequentie wordt genoemd. Afmeting van de cyclische frequentie: [ω] = c –1 = Hz.

De cyclische frequentie is gelijk aan de hoeveelheid rotatiehoek (gemeten in rad) per tijdseenheid, dus wordt ook wel hoeksnelheid genoemd.

De afhankelijkheid van de coördinaten van een punt op een cirkel van de tijd bij uniforme rotatie met een gegeven frequentie kan worden geschreven als:

x= Rcos(ωt + φ 0), (24)

y = R zonde(ωt + φ 0).

De tijd die nodig is om één omwenteling te voltooien, wordt periode T genoemd.

Frequentie v = 1/T. (25)

Frequentiedimensie: [ν] = s –1 = Hz.

Verband tussen cyclische frequentie en periode en frequentie: 2π = ωT, vandaar

ω = 2π/T = 2πν. (26)

De relatie tussen lineaire snelheid en hoeksnelheid wordt gevonden uit de gelijkheid:

2πR = υT, vandaar

υ = 2πR/T = ωR. (27)

De uitdrukking voor centripetale versnelling kan worden geschreven verschillende manieren gebruikmakend van de verbanden tussen snelheid, frequentie en periode:

Aц = υ 2 /R = ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R/T 2 . (28)

4.6 Relatie tussen translatie- en rotatiebewegingen

Kinematische basiskarakteristieken van beweging in een rechte lijn met constante versnelling: verplaatsing s, snelheid υ en versnelling A. De overeenkomstige kenmerken bij het bewegen in een cirkel met straal R: hoekverplaatsing φ, hoeksnelheid ω en hoekversnelling ε (in het geval dat het lichaam met variabele snelheid draait).

Uit geometrische overwegingen ontstaan de volgende verbanden tussen deze kenmerken:

verplaatsing s → hoekverplaatsing φ = s/R;

snelheid υ → hoeksnelheid ω = υ /R;

versnelling A→ hoekversnelling ε = A/R.

Alle formules voor de kinematica van eenparig versnelde beweging in een rechte lijn kunnen worden omgezet in formules voor de kinematica van rotatie in een cirkel als de aangegeven vervangingen worden uitgevoerd. Bijvoorbeeld:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + A t → ω = ω 0 + ε T. (29a)

De relatie tussen de lineaire en hoeksnelheden van een punt bij rotatie in een cirkel kan in vectorvorm worden geschreven. Stel dat de cirkel met zijn middelpunt in de oorsprong zich in het (x, y) vlak bevindt. Op elk moment de vector getrokken vanaf de oorsprong naar het punt op de cirkel waar het lichaam zich bevindt, staat loodrecht op de snelheidsvector van het lichaam , gericht rakend aan de cirkel op dit punt. Laten we de vector definiëren , die in absolute waarde gelijk is aan de hoeksnelheid ω en langs de rotatie-as is gericht in de richting bepaald door de regel van de rechter schroef: als je de schroef zo vastdraait dat de draairichting samenvalt met de draairichting van het punt langs de cirkel, dan geeft de bewegingsrichting van de schroef de richting van de vector aan . Dan het verband tussen drie onderling loodrechte vectoren ,En kan worden geschreven met behulp van het kruisproduct van vectoren.