De lengte van een vector karakteriseert een fysieke grootheid. Vectorkwantiteit in de natuurkunde: definitie, notatie, voorbeelden

Alle grootheden die we tegenkomen in de natuurkunde en in het bijzonder in een van de takken van de mechanica, kunnen in twee soorten worden verdeeld:

a) scalair, die worden bepaald door één reëel positief of negatief getal. Voorbeelden van dergelijke grootheden zijn tijd, temperatuur;

b) vector, die wordt bepaald door een gericht ruimtelijk segment van een lijn (of drie scalaire grootheden) en de onderstaande eigenschappen heeft.

Voorbeelden van vectorgrootheden zijn kracht, snelheid en versnelling.

Cartesisch coördinatensysteem

Als het over gerichte segmenten gaat, moet u het object aangeven ten opzichte waarvan deze richting wordt bepaald. Het Cartesiaanse coördinatensysteem, waarvan de componenten de assen zijn, wordt als een dergelijk object beschouwd.

Een as is een rechte lijn waarop de richting wordt aangegeven. Drie onderling loodrechte assen die elkaar snijden in punt O, dienovereenkomstig genoemd, vormen een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem. Het cartesiaanse coördinatensysteem kan rechtshandig zijn (figuur 1) of linkshandig (figuur 2). Deze systemen zijn spiegelbeelden van elkaar en kunnen door geen enkele beweging gecombineerd worden.

In alle daaropvolgende presentaties wordt overal een rechtshandig coördinatensysteem aangenomen. In het rechter coördinatensysteem wordt de positieve referentierichting voor alle hoeken tegen de klok in genomen.

Dit komt overeen met de richting waarin de x- en y-assen uitgelijnd zijn, gezien vanuit de positieve richting van de as

Gratis vectoren

Een vector die alleen wordt gekenmerkt door lengte en richting in een bepaald coördinatensysteem, wordt gratis genoemd. Een vrije vector wordt weergegeven door een segment met een bepaalde lengte en richting, waarvan het begin zich op elk punt in de ruimte bevindt. In de tekening wordt de vector weergegeven door een pijl (Fig. 3).

Vectoren worden aangegeven met één vetgedrukte letter of twee letters die overeenkomen met het begin en einde van een pijl met een streepje erboven of

De grootte van een vector wordt de modulus genoemd en wordt op een van de volgende manieren aangegeven

Gelijkheid van vectoren

Omdat de belangrijkste kenmerken van een vector de lengte en richting zijn, worden vectoren gelijk genoemd als hun richtingen en grootten samenvallen. In een specifiek geval kunnen gelijke vectoren langs één rechte lijn worden gericht. De gelijkheid van vectoren, bijvoorbeeld a en b (Fig. 4), wordt geschreven als:

Als de vectoren (a en b) even groot zijn, maar diametraal tegengesteld in richting (Fig. 5), dan wordt dit geschreven in de vorm:

Vectoren die dezelfde of diametraal tegengestelde richtingen hebben, worden collineair genoemd.

Een vector vermenigvuldigen met een scalair

Het product van vector a en scalaire K wordt een vector in modulus genoemd, die in richting gelijk is aan vector a als K positief is, en diametraal daaraan tegengesteld als K negatief is.

Eenheidsvector

Een vector waarvan de modulus gelijk is aan één en waarvan de richting samenvalt met een gegeven vector a wordt de eenheidsvector van een gegeven vector of zijn eenheidsvector genoemd. Ort wordt aangegeven met . Elke vector kan worden weergegeven via zijn eenheidsvector als

Eenheidsvectoren die zich langs de positieve richtingen van de coördinaatassen bevinden, worden dienovereenkomstig aangegeven (Fig. 6).

Vectortoevoeging

De regel voor het toevoegen van vectoren wordt gepostuleerd (dit postulaat wordt gerechtvaardigd door observaties van echte vectorobjecten). Dit postulaat is dat twee vectoren

Ze worden naar een bepaald punt in de ruimte overgebracht, zodat hun oorsprong samenvalt (Fig. 7). De gerichte diagonaal van een parallellogram gebouwd op deze vectoren (figuur 7) wordt de som van vectoren genoemd; de optelling van vectoren wordt in de vorm geschreven

en wordt optelling genoemd volgens de parallellogramregel.

De gespecificeerde regel voor het toevoegen van vectoren kan ook op de volgende manier worden geïmplementeerd: op elk punt in de ruimte wordt een vector verder ontslagen, een vector wordt vanaf het einde van de vector ontslagen (Fig. 8). Een vector a, waarvan het begin samenvalt met het begin van de vector en waarvan het einde samenvalt met het einde van de vector, zal de som van vectoren zijn

De laatste vectoroptellingsregel is handig als u meer dan twee vectoren moet toevoegen. Als u meerdere vectoren moet toevoegen, moet u met behulp van de opgegeven regel een onderbroken lijn construeren, waarvan de zijden de gegeven vectoren zijn, en het begin van elke vector samenvalt met het einde van de vorige vector. De som van deze vectoren zal een vector zijn waarvan het begin samenvalt met het begin van de eerste vector, en het einde samenvalt met het einde van de laatste vector (figuur 9). Als de gegeven vectoren een gesloten veelhoek vormen, wordt gezegd dat de som van de vectoren nul is.

Uit de regel voor het construeren van de som van vectoren volgt dat hun som niet afhangt van de volgorde waarin de termen worden genomen, of dat de optelling van vectoren commutatief is. Voor twee vectoren kan deze laatste worden geschreven als:

Vectoraftrekking

Het aftrekken van een vector van een vector gebeurt volgens de volgende regel: een vector wordt geconstrueerd en een vector wordt vanaf het uiteinde uitgezet (Fig. 10). Vector a, waarvan het begin samenvalt met het begin

vector en het einde - waarbij het einde van de vector gelijk is aan het verschil tussen de vectoren en De uitgevoerde bewerking kan in de vorm worden geschreven:

Vectorontleding in componenten

Het ontleden van een gegeven vector betekent dat je deze voorstelt als de som van verschillende vectoren, die de componenten ervan worden genoemd.

Laten we eens kijken naar het probleem van het ontbinden van de vector a, als gespecificeerd is dat de componenten ervan langs drie coördinaatassen moeten worden gericht. Om dit te doen, zullen we een parallellepipedum construeren, waarvan de diagonaal de vector a is en de randen evenwijdig zijn aan de coördinaatassen (Fig. 11). Dan, zoals duidelijk blijkt uit de tekening, geeft de som van de vectoren langs de randen van dit parallellepipedum vector a:

Projectie van een vector op een as

De projectie van een vector op een as heeft de grootte van een gericht segment, dat wordt begrensd door vlakken loodrecht op de as, die door het begin en het einde van de vector gaan (Fig. 12). De snijpunten van deze vlakken met de as (A en B) worden respectievelijk de projectie van het begin en het einde van de vector genoemd.

De projectie van een vector heeft een plusteken als de richtingen ervan, gerekend vanaf de projectie van het begin van de vector tot de projectie van het einde ervan, samenvallen met de richting van de as. Als deze richtingen niet samenvallen, heeft de projectie een minteken.

De projecties van vector a op de coördinaatassen worden dienovereenkomstig aangegeven

Vectorcoördinaten

De componenten van vector a, parallel gelegen aan de coördinaatassen via vectorprojecties en eenheidsvectoren, kunnen in de vorm worden geschreven:

Vandaar:

waar ze de vector volledig definiëren en de coördinaten ervan worden genoemd.

Door de hoeken aan te geven die vector a maakt met de coördinaatassen, kunnen de projecties van vector a op de assen in de vorm worden geschreven:

Daarom hebben we voor de modulus van vector a de uitdrukking:

Omdat de definitie van een vector door zijn projecties uniek is, zullen twee gelijke vectoren gelijke coördinaten hebben.

Optelling van vectoren via hun coördinaten

Zoals volgt uit afb. 13 is de projectie van de som van vectoren op de as gelijk aan de algebraïsche som van hun projecties. Daarom, uitgaande van de vectorgelijkheid:

de volgende drie scalaire gelijkheden volgen:

of de coördinaten van de totale vector zijn gelijk aan de algebraïsche som van de coördinaten van de samenstellende vectoren.

Puntproduct van twee vectoren

Het scalaire product van twee vectoren wordt aangeduid met a b en wordt bepaald door het product van hun modules en de cosinus van de hoek daartussen:

Het puntproduct van twee vectoren kan ook worden gedefinieerd als het product van de modulus van een van de vectoren en de projectie van de andere vector op de richting van de eerste vector.

Uit de definitie van het scalaire product volgt dit

dat wil zeggen, de commutatieve wet vindt plaats.

Met betrekking tot optellen heeft het scalaire product de distributieve eigenschap:

wat direct volgt uit de eigenschap dat de projectie van de som van vectoren gelijk is aan de algebraïsche som van hun projecties.

Het scalaire product via projecties van vectoren kan worden geschreven als:

Kruisproduct van twee vectoren

Het kruisproduct van twee vectoren wordt axb genoemd. Dit is een vector c, waarvan de modulus gelijk is aan het product van de moduli van de vectoren, vermenigvuldigd met de sinus van de hoek ertussen:

Vector c is loodrecht gericht op het vlak dat wordt gedefinieerd door de vectoren a en b, zodat, gezien vanaf het einde van vector c, de eerste vector positief moest worden geroteerd om vector a zo snel mogelijk uit te lijnen met vector b. richting (tegen de klok in; Afb. 14). Een vector die vertegenwoordigt vectorproduct twee vectoren wordt een axiale vector (of pseudovector) genoemd. De richting hangt af van de keuze van het coördinatensysteem of de voorwaarde voor de positieve richting van de hoeken. De aangegeven richting van de vector c komt overeen met het rechtshandige systeem van cartesiaanse coördinaatassen, waarvan de keuze eerder was overeengekomen.

Hoeveelheden (strikt genomen tensoren van rang 2 of hoger). Het kan ook worden gecontrasteerd met bepaalde objecten van een geheel andere wiskundige aard.

In de meeste gevallen wordt de term vector in de natuurkunde gebruikt om een ​​vector aan te duiden in de zogenaamde ‘fysieke ruimte’, dat wil zeggen in de gebruikelijke driedimensionale ruimte van de klassieke natuurkunde of in de vierdimensionale ruimte-tijd in de moderne natuurkunde ( in het laatste geval valt het concept van een vector en een vectorgrootheid samen met het concept van 4-vector en 4-vectorhoeveelheid).

Het gebruik van de uitdrukking “vectorhoeveelheid” is hierdoor praktisch uitgeput. Wat het gebruik van de term ‘vector’ betreft, ondanks de standaardneiging tot hetzelfde toepassingsgebied, gaat deze in een groot aantal gevallen nog steeds ver buiten deze grenzen. Zie hieronder voor meer informatie.

Encyclopedisch YouTube

1 / 3

Les 8. Vectorhoeveelheden. Acties op vectoren.

VECTOR - wat is het en waarom is het nodig, uitleg

METING VAN FYSIEKE HOEVEELHEDEN Graad 7 | Romanov

Ondertitels

Gebruik van termen vector En vectorhoeveelheid in de natuurkunde

Over het algemeen valt het concept van een vector in de natuurkunde vrijwel volledig samen met dat in de wiskunde. Er is echter een terminologische specificiteit verbonden aan het feit dat dit concept in de moderne wiskunde enigszins overdreven abstract is (in relatie tot de behoeften van de natuurkunde).

In de wiskunde bedoelen ze bij het uitspreken van ‘vector’ eerder een vector in het algemeen, dat wil zeggen elke vector van een abstracte lineaire ruimte van welke dimensie en aard dan ook, die, tenzij speciale inspanningen worden geleverd, zelfs tot verwarring kan leiden (niet zozeer , natuurlijk, in essentie, wat betreft gebruiksgemak). Als het nodig is om specifieker te zijn, moet men in de wiskundige stijl ofwel uitvoerig spreken (“vector van die en die ruimte”), ofwel in gedachten houden wat er wordt geïmpliceerd door de expliciet beschreven context.

In de natuurkunde hebben we het bijna altijd niet over wiskundige objecten (die bepaalde formele eigenschappen bezitten) in het algemeen, maar over hun specifieke (“fysieke”) verbinding. Als we deze overwegingen van specificiteit in aanmerking nemen, samen met overwegingen van beknoptheid en gemak, kan het duidelijk zijn dat de terminologische praktijk in de natuurkunde aanzienlijk verschilt van die in de wiskunde. Het is echter niet in duidelijke tegenspraak met dit laatste. Dit kan worden bereikt met een paar eenvoudige ‘trucjes’. In de eerste plaats omvat dit de afspraak over het standaardgebruik van de term (wanneer de context niet specifiek is gespecificeerd). Dus in de natuurkunde betekent het woord vector, in tegenstelling tot de wiskunde, zonder aanvullende verduidelijking meestal niet ‘een of andere vector van een lineaire ruimte in het algemeen’, maar in de eerste plaats een vector die geassocieerd wordt met ‘gewone fysieke ruimte’ (de driedimensionale ruimte van de klassieke natuurkunde of de vierdimensionale ruimte-tijd van de relativistische fysica). Voor vectoren van ruimtes die niet direct en direct gerelateerd zijn aan “fysieke ruimte” of “ruimte-tijd”, worden speciale namen gebruikt (soms inclusief het woord “vector”, maar met verduidelijking). Als een vector van een bepaalde ruimte die niet direct en direct gerelateerd is aan ‘fysieke ruimte’ of ‘ruimte-tijd’ (en die moeilijk op de een of andere manier onmiddellijk te karakteriseren is) in de theorie wordt geïntroduceerd, wordt deze vaak specifiek beschreven als een ‘abstracte vector’. ”.

Alles wat er in is gezegd in grotere mate, dan verwijst de term "vector" naar de term "vectorhoeveelheid". De stilte impliceert in dit geval zelfs nog strikter een binding met de ‘gewone ruimte’ of ruimte-tijd, en het gebruik van abstracte vectorruimten in relatie tot elementen van abstracte vectorruimten komt bijna nooit voor, althans een dergelijke toepassing lijkt te bestaan. de zeldzaamste uitzondering (zo niet een reservering).

In de natuurkunde worden vectoren en vectorgrootheden (bijna altijd) vectoren van twee klassen genoemd die op elkaar lijken:

Voorbeelden van fysieke vectorgrootheden: snelheid, kracht, warmtestroom.

Ontstaan ​​van vectorgrootheden

Hoe zijn fysieke ‘vectorgrootheden’ gerelateerd aan de ruimte? Allereerst is het opvallend dat de dimensie van vectorgrootheden (in de gebruikelijke betekenis van het gebruik van deze term, die hierboven is uitgelegd) samenvalt met de dimensie van dezelfde ‘fysieke’ (en ‘geometrische’) ruimte, namelijk De ruimte is bijvoorbeeld driedimensionaal en vector elektrisch veld driedimensionaal. Intuïtief kan men ook opmerken dat elke fysieke vectorgrootheid, ongeacht het vage verband dat deze heeft met de gewone ruimtelijke uitbreiding, niettemin een zeer bepaalde richting heeft in deze gewone ruimte.

Het blijkt echter dat er veel meer kan worden bereikt door de hele reeks vectorgrootheden van de natuurkunde direct te ‘reduceren’ tot de eenvoudigste ‘geometrische’ vectoren, of liever zelfs tot één vector: de vector van elementaire verplaatsing, en het zou meer zijn juist om te zeggen - door ze er allemaal uit af te leiden.

Deze procedure heeft twee verschillende (hoewel ze elkaar in essentie in detail herhalen) implementaties voor het driedimensionale geval van de klassieke natuurkunde en voor de vierdimensionale ruimte-tijdformulering die gebruikelijk is in de moderne natuurkunde.

Klassieke 3D-behuizing

We vertrekken vanuit de gebruikelijke driedimensionale ‘geometrische’ ruimte waarin we leven en ons kunnen bewegen.

Laten we de vector van oneindig kleine verplaatsing als initiële en referentievector nemen. Het is vrij duidelijk dat dit een reguliere "geometrische" vector is (net als een eindige verplaatsingsvector).

Laten we nu meteen opmerken dat het vermenigvuldigen van een vector met een scalair altijd een nieuwe vector oplevert. Hetzelfde kan gezegd worden over de som en het verschil van vectoren. In dit hoofdstuk gaan we geen onderscheid maken tussen polaire en axiale vectoren, dus merken we op dat het kruisproduct van twee vectoren ook een nieuwe vector oplevert.

Ook geeft de nieuwe vector de differentiatie van de vector ten opzichte van de scalair (aangezien een dergelijke afgeleide de limiet is van de verhouding van het verschil tussen vectoren en de scalair). Dit kan verder worden gezegd over derivaten van alle hogere ordes. Hetzelfde geldt voor integratie via scalairen (tijd, volume).

Merk nu op dat, gebaseerd op de straalvector R of van elementaire verplaatsing d R, begrijpen we gemakkelijk dat vectoren (aangezien tijd een scalair is) zulke kinematische grootheden zijn als

Van snelheid en versnelling, vermenigvuldigd met een scalair (massa), krijgen we

Omdat we nu geïnteresseerd zijn in pseudovectoren, merken we dat op

• Met behulp van de Lorentz-krachtformule zijn de elektrische veldsterkte en de magnetische inductievector gekoppeld aan de kracht- en snelheidsvectoren.

Als we deze procedure voortzetten, ontdekken we dat alle ons bekende vectorgrootheden nu niet alleen intuïtief, maar ook formeel verbonden zijn met de oorspronkelijke ruimte. Ze zijn namelijk allemaal in zekere zin de elementen ervan, omdat ze in wezen worden uitgedrukt als lineaire combinaties van andere vectoren (met scalaire factoren, misschien dimensionaal, maar scalair, en daarom formeel vrij legaal).

Moderne vierdimensionale behuizing

Dezelfde procedure kan worden uitgevoerd op basis van vierdimensionale beweging. Het blijkt dat alle 4-vectorgrootheden “voorkomen” uit 4-verplaatsing, en daarom in zekere zin dezelfde vectoren van ruimte-tijd zijn als de 4-verplaatsing zelf.

Soorten vectoren in relatie tot de natuurkunde

• Polaire of echte vector is een gewone vector.
• Een axiale vector (pseudovector) is eigenlijk geen echte vector, maar verschilt formeel vrijwel niet van de laatste, behalve dat hij van richting verandert in de tegenovergestelde richting wanneer de oriëntatie van het coördinatensysteem verandert (bijvoorbeeld wanneer het coördinatensysteem wordt gespiegeld ). Voorbeelden van pseudovectoren: alle grootheden gedefinieerd door het kruisproduct van twee polaire vectoren.
• Voor krachten zijn er verschillende

Natuurkunde en wiskunde kunnen niet zonder het concept van ‘vectorkwantiteit’. Je moet het kennen en herkennen, en er ook mee kunnen werken. Je moet dit zeker leren om niet in de war te raken en domme fouten te maken.

Hoe onderscheid je een scalaire grootheid van een vectorgrootheid?

De eerste heeft altijd maar één kenmerk. Dit is de numerieke waarde. De meeste scalaire grootheden kunnen zowel positieve als negatieve waarden aannemen. Voorbeelden hiervan zijn elektrische lading, arbeid of temperatuur. Maar er zijn scalaires die niet negatief kunnen zijn, bijvoorbeeld lengte en massa.

Een vectorgrootheid wordt naast een numerieke grootheid, die altijd modulo wordt genomen, ook gekenmerkt door richting. Daarom kan het grafisch worden weergegeven, dat wil zeggen in de vorm van een pijl, waarvan de lengte gelijk is aan de absolute waarde die in een bepaalde richting is gericht.

Bij het schrijven wordt elke vectorhoeveelheid aangegeven door een pijlteken op de letter. Als waar we het over hebben over een numerieke waarde, dan wordt de pijl niet geschreven of wordt deze modulo genomen.

Welke acties worden het vaakst uitgevoerd met vectoren?

Eerst een vergelijking. Ze kunnen wel of niet gelijk zijn. In het eerste geval zijn hun modules hetzelfde. Maar dit is niet de enige voorwaarde. Ze moeten ook dezelfde of tegengestelde richtingen hebben. In het eerste geval moeten ze gelijke vectoren worden genoemd. In de tweede blijken ze het tegenovergestelde te zijn. Als aan ten minste één van de opgegeven voorwaarden niet wordt voldaan, zijn de vectoren niet gelijk.

Dan komt de toevoeging. Het kan volgens twee regels worden gemaakt: een driehoek of een parallellogram. De eerste schrijft voor om eerst één vector af te leggen, en vervolgens vanaf het einde de tweede. Het resultaat van de optelling is het resultaat dat moet worden getekend vanaf het begin van de eerste tot het einde van de tweede.

De parallellogramregel kan worden gebruikt bij het optellen van vectorgrootheden in de natuurkunde. In tegenstelling tot de eerste regel moeten ze hier vanaf één punt worden uitgesteld. Bouw ze vervolgens op tot een parallellogram. Het resultaat van de actie moet worden beschouwd als de diagonaal van het parallellogram dat vanuit hetzelfde punt wordt getrokken.

Als een vectorgrootheid van een andere wordt afgetrokken, worden ze opnieuw vanuit één punt uitgezet. Alleen het resultaat zal een vector zijn die samenvalt met wat is uitgezet vanaf het einde van de tweede tot het einde van de eerste.

Welke vectoren worden in de natuurkunde bestudeerd?

Er zijn er evenveel als er scalairen zijn. Je kunt eenvoudig onthouden welke vectorgrootheden er in de natuurkunde bestaan. Of ken de tekens waarmee ze kunnen worden berekend. Voor degenen die de eerste optie verkiezen, zal deze tabel nuttig zijn. Het presenteert de belangrijkste fysieke vectorgrootheden.

Nu iets meer over enkele van deze hoeveelheden.

De eerste hoeveelheid is snelheid

Het is de moeite waard om te beginnen met voorbeelden van vectorgrootheden. Dit komt doordat het een van de eersten is die zijn onderzocht.

Snelheid wordt gedefinieerd als een kenmerk van de beweging van een lichaam in de ruimte. Het bepaalt de numerieke waarde en richting. Daarom is snelheid een vectorgrootheid. Bovendien is het gebruikelijk om het in typen te verdelen. De eerste is lineaire snelheid. Het wordt geïntroduceerd bij het overwegen van rechtlijnige, uniforme beweging. In dit geval blijkt het gelijk te zijn aan de verhouding tussen het pad dat het lichaam aflegt en de bewegingstijd.

Dezelfde formule kan worden gebruikt voor ongelijkmatige bewegingen. Alleen dan zal het gemiddeld zijn. Bovendien moet het tijdsinterval dat gekozen moet worden zo kort mogelijk zijn. Omdat het tijdsinterval naar nul neigt, is de snelheidswaarde al onmiddellijk.

Als willekeurige beweging in aanmerking wordt genomen, is snelheid altijd een vectorgrootheid. Het moet immers worden ontleed in componenten die langs elke vector zijn gericht die de coördinaatlijnen richt. Bovendien wordt het gedefinieerd als de afgeleide van de straalvector ten opzichte van de tijd.

De tweede grootheid is kracht

Het bepaalt de mate van de intensiteit van de impact die door andere lichamen of velden op het lichaam wordt uitgeoefend. Omdat kracht een vectorgrootheid is, heeft deze noodzakelijkerwijs zijn eigen grootte en richting. Omdat het op het lichaam inwerkt, is het punt waarop de kracht wordt uitgeoefend ook belangrijk. Voor een visuele weergave van krachtvectoren kunt u de volgende tabel raadplegen.

Een andere vectorgrootheid is ook de resulterende kracht. Het wordt gedefinieerd als de som van alle mechanische krachten die op het lichaam inwerken. Om dit te bepalen, is het noodzakelijk om de optelling uit te voeren volgens het principe van de driehoeksregel. U hoeft alleen maar de vectoren één voor één af te leggen vanaf het einde van de vorige. Het resultaat is degene die het begin van de eerste met het einde van de laatste verbindt.

De derde grootheid is verplaatsing

Tijdens beweging beschrijft het lichaam een ​​bepaalde lijn. Het heet een traject. Deze lijn kan compleet anders zijn. Het blijkt dat zij niet belangrijker is verschijning en de begin- en eindpunten van de beweging. Ze zijn verbonden door een segment dat een vertaling wordt genoemd. Dit is ook een vectorgrootheid. Bovendien is het altijd gericht vanaf het begin van de beweging tot het punt waar de beweging werd gestopt. Het is gebruikelijk om het aan te duiden Latijnse brief R.

Hier kan de volgende vraag rijzen: “Is het pad een vectorgrootheid?” Over het algemeen is deze bewering niet waar. Het pad is gelijk aan de lengte van het traject en heeft geen specifieke richting. Een uitzondering hierop is de situatie waarbij sprake is van rechtlijnige beweging in één richting. Dan valt de grootte van de verplaatsingsvector in waarde samen met het pad, en hun richting blijkt hetzelfde te zijn. Wanneer we beweging langs een rechte lijn beschouwen zonder de bewegingsrichting te veranderen, kan het pad daarom worden opgenomen in voorbeelden van vectorgrootheden.

De vierde grootheid is versnelling

Het is een kenmerk van de snelheid waarmee de snelheid verandert. Bovendien kan versnelling zowel positieve als negatieve waarden hebben. Bij rechte beweging het is gericht op hogere snelheid. Als de beweging langs een gebogen pad plaatsvindt, wordt de versnellingsvector ervan ontleed in twee componenten, waarvan er één langs de straal naar het krommingsmiddelpunt is gericht.

Er wordt onderscheid gemaakt tussen gemiddelde en momentane versnellingswaarden. De eerste moet worden berekend als de verhouding tussen de snelheidsverandering over een bepaalde tijdsperiode en deze tijd. Wanneer het beschouwde tijdsinterval naar nul neigt, spreken we van onmiddellijke versnelling.

Vijfde waarde - momentum

Op een andere manier wordt het ook wel bewegingshoeveelheid genoemd. Momentum is een vectorgrootheid omdat het rechtstreeks verband houdt met de snelheid en kracht die op het lichaam wordt uitgeoefend. Beiden hebben een richting en geven die aan de impuls.

Dit laatste is per definitie gelijk aan het product van lichaamsgewicht en snelheid. Door het concept van het momentum van een lichaam te gebruiken, kunnen we de bekende wet van Newton anders schrijven. Het blijkt dat de verandering in momentum gelijk is aan het product van kracht en een tijdsperiode.

In de natuurkunde speelt de wet van behoud van momentum een ​​belangrijke rol, die stelt dat in een gesloten systeem van lichamen het totale momentum constant is.

We hebben heel kort op een rijtje gezet welke grootheden (vector) in de cursus natuurkunde worden bestudeerd.

Inelastisch impactprobleem

Voorwaarde. Er is een stationair perron op de rails. Een rijtuig nadert het met een snelheid van 4 m/s. De massa's van het platform en de auto bedragen respectievelijk 10 en 40 ton. De auto raakt het platform en er vindt automatische koppeling plaats. Het is noodzakelijk om de snelheid van het "autoplatform" -systeem na de botsing te berekenen.

Oplossing. Eerst moet u de volgende aanduidingen invoeren: de snelheid van de auto vóór de botsing is v1, de snelheid van de auto met het platform na koppeling is v, de massa van de auto is m1, de massa van het platform is m2. Afhankelijk van de omstandigheden van het probleem is het noodzakelijk om de waarde van de snelheid v te achterhalen.

De regels voor het oplossen van dergelijke taken vereisen een schematische weergave van het systeem voor en na interactie. Het is redelijk om de OX-as langs de rails te richten in de richting waarin de auto rijdt.

Onder deze omstandigheden kan het autosysteem als gesloten worden beschouwd. Dit wordt bepaald door het feit dat externe krachten kunnen worden verwaarloosd. De zwaartekracht en de steunreactie zijn in evenwicht en er wordt geen rekening gehouden met wrijving op de rails.

Volgens de wet van behoud van momentum is hun vectorsom vóór de interactie tussen de auto en het platform gelijk aan het totaal voor de koppeling na de botsing. Aanvankelijk bewoog het platform niet, dus het momentum was nul. Alleen de auto bewoog, zijn momentum is het product van m1 en v1.

Omdat de impact inelastisch was, dat wil zeggen dat de auto verbonden was met het platform, en ze vervolgens in dezelfde richting begonnen te rollen, veranderde de impuls van het systeem niet van richting. Maar de betekenis ervan is veranderd. Namelijk het product van de som van de massa van de auto met platform en de gewenste snelheid.

Je kunt de volgende gelijkheid schrijven: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Dit geldt ook voor de projectie van impulsvectoren op de geselecteerde as. Hieruit is het eenvoudig om de gelijkheid af te leiden die nodig is om de vereiste snelheid te berekenen: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

Volgens de regels moeten de waarden voor massa worden omgezet van ton naar kilogram. Daarom moet u, wanneer u ze in de formule vervangt, eerst de bekende hoeveelheden met duizend vermenigvuldigen. Eenvoudige berekeningen geef een getal van 0,75 m/s.

Antwoord. De snelheid van de auto met het platform bedraagt ​​0,75 m/s.

Probleem met het verdelen van het lichaam in delen

Voorwaarde. De snelheid van een vliegende granaat is 20 m/s. Het valt in twee stukken uiteen. Het gewicht van de eerste is 1,8 kg. Hij beweegt zich verder in de richting waarin de granaat vloog met een snelheid van 50 m/s. Het tweede fragment heeft een massa van 1,2 kg. Wat is de snelheid?

Oplossing. Laat de massa's van de fragmenten worden aangegeven met de letters m1 en m2. Hun snelheden zijn respectievelijk v1 en v2. De beginsnelheid van de granaat is v. Het probleem vereist het berekenen van de waarde van v2.

Om ervoor te zorgen dat het grotere fragment in dezelfde richting blijft bewegen als de hele granaat, moet het tweede naar binnen vliegen achterkant. Als je de richting van de as kiest die bij de eerste impuls was, dan vliegt na de pauze het grote fragment langs de as en het kleine fragment tegen de as.

In dit probleem is het toegestaan ​​om de wet van behoud van momentum te gebruiken vanwege het feit dat de granaat onmiddellijk ontploft. Daarom heeft het, ondanks het feit dat de zwaartekracht op de granaat en zijn onderdelen inwerkt, geen tijd om te handelen en de richting van de impulsvector met zijn absolute waarde te veranderen.

De som van de vectorgrootten van de impuls na de granaatexplosie is gelijk aan die daarvoor. Als we de wet van behoud van momentum van een lichaam in projectie op de OX-as opschrijven, ziet het er als volgt uit: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Hieruit is het gemakkelijk om de gewenste snelheid uit te drukken. Het wordt bepaald door de formule: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Na het vervangen van numerieke waarden en berekeningen krijgen we 25 m/s.

Antwoord. De snelheid van het kleine fragment bedraagt ​​25 m/s.

Probleem met fotograferen vanuit een hoek

Voorwaarde. Een kanon is gemonteerd op een platform met massa M. Het vuurt een projectiel af met massa m. Hij vliegt uit onder een hoek α ten opzichte van de horizon met een snelheid v (gegeven ten opzichte van de grond). Je moet de snelheid van het platform na het schot weten.

Oplossing. Bij dit probleem kun je de wet van behoud van momentum gebruiken bij projectie op de OX-as. Maar alleen in het geval dat de projectie van externe resulterende krachten gelijk is aan nul.

Voor de richting van de OX-as moet je de kant selecteren waar het projectiel zal vliegen, en evenwijdig aan de horizontale lijn. In dit geval zullen de projecties van de zwaartekracht en de reactie van de steun op OX gelijk zijn aan nul.

Het probleem zal binnen opgelost worden algemeen beeld, aangezien er geen specifieke gegevens zijn voor bekende hoeveelheden. Het antwoord is een formule.

Het momentum van het systeem vóór het schot was nul, aangezien het platform en het projectiel stilstonden. Laat de gewenste platformsnelheid worden aangegeven met de Latijnse letter u. Vervolgens wordt het momentum na het schot bepaald als het product van de massa en de projectie van de snelheid. Omdat het platform terugrolt (tegen de richting van de OX-as in), heeft de impulswaarde een minteken.

Het momentum van een projectiel is het product van zijn massa en de projectie van de snelheid op de OX-as. Vanwege het feit dat de snelheid onder een hoek ten opzichte van de horizon is gericht, is de projectie ervan gelijk aan de snelheid vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek. In letterlijke gelijkheid ziet het er als volgt uit: 0 = - Mu + mv * cos α. Hieruit wordt door eenvoudige transformaties de antwoordformule verkregen: u = (mv * cos α) / M.

Antwoord. De snelheid van het platform wordt bepaald door de formule u = (mv * cos α) / M.

Probleem met het oversteken van rivieren

Voorwaarde. De breedte van de rivier over de gehele lengte is hetzelfde en gelijk aan l, de oevers zijn evenwijdig. De snelheid van de waterstroom in de rivier v1 en de eigen snelheid van de boot v2 zijn bekend. 1). Bij het oversteken is de boeg van de boot strikt naar de overkant gericht. Hoe ver zal het stroomafwaarts worden gevoerd? 2). Onder welke hoek α moet de boeg van de boot zo worden gericht dat deze de tegenoverliggende oever strikt loodrecht op het vertrekpunt bereikt? Hoe lang duurt zo'n overtocht?

Oplossing. 1). De totale snelheid van de boot is de vectorsom van twee grootheden. De eerste hiervan is de stroming van de rivier, die langs de oevers is gericht. De tweede is de eigen snelheid van de boot, loodrecht op de kust. De tekening produceert twee soortgelijke driehoeken. De eerste wordt gevormd door de breedte van de rivier en de afstand waarover de boot drijft. De tweede is door snelheidsvectoren.

Hieruit volgt de volgende invoer: s / l = v1 / v2. Na de transformatie wordt de formule voor de gewenste waarde verkregen: s = l * (v1 / v2).

2). In deze versie van het probleem staat de totale snelheidsvector loodrecht op de oevers. Het is gelijk aan de vectorsom van v1 en v2. De sinus van de hoek waarover de natuurlijke snelheidsvector moet afwijken is gelijk aan de verhouding van de modules v1 en v2. Om de reistijd te berekenen, moet u de breedte van de rivier delen door de berekende volle snelheid. De waarde van de laatste wordt berekend met behulp van de stelling van Pythagoras.

v = √(v22 – v12), dan t = l / (√(v22 – v12)).

Antwoord. 1). s = l * (v1 / v2), 2). zonde α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

In de natuurkunde zijn er verschillende categorieën grootheden: vector en scalair.

Wat is een vectorgrootheid?

Een vectorgrootheid heeft twee hoofdkenmerken: richting en module. Twee vectoren zijn hetzelfde als hun absolute waarde en richting hetzelfde zijn. Om een ​​vectorgrootheid aan te duiden, worden meestal letters met een pijl erboven gebruikt. Een voorbeeld van een vectorgrootheid is kracht, snelheid of versnelling.

Om de essentie van een vectorgrootheid te begrijpen, moet je deze vanuit een geometrisch standpunt bekijken. Een vector is een segment dat een richting heeft. De lengte van een dergelijk segment correleert met de waarde van zijn modulus. Fysiek voorbeeld vectorhoeveelheid is de verplaatsing van een materieel punt dat in de ruimte beweegt. Parameters zoals de versnelling van dit punt, de snelheid en de krachten die erop inwerken, elektromagnetisch veld wordt ook weergegeven als vectorgrootheden.

Als we een vectorgrootheid ongeacht de richting beschouwen, kan zo'n segment worden gemeten. Maar het resulterende resultaat weerspiegelt slechts gedeeltelijke kenmerken van de hoeveelheid. Om deze volledig te meten, moet de waarde worden aangevuld met andere parameters van het directionele segment.

In vectoralgebra bestaat er een concept nul-vector. Dit concept betekent een punt. Wat de richting van de nulvector betreft, wordt deze als onzeker beschouwd. Om de nulvector aan te duiden, wordt de rekenkundige nul gebruikt, vetgedrukt.

Als we al het bovenstaande analyseren, kunnen we concluderen dat alle gerichte segmenten vectoren definiëren. Twee segmenten definiëren alleen één vector als ze gelijk zijn. Bij het vergelijken van vectoren geldt dezelfde regel als bij het vergelijken van scalaire grootheden. Gelijkheid betekent volledige overeenstemming in alle opzichten.

Wat is een scalaire grootheid?

In tegenstelling tot een vector, scalaire hoeveelheid heeft slechts één parameter: deze zijn numerieke waarde. Het is vermeldenswaard dat de geanalyseerde waarde een positieve numerieke waarde of een negatieve waarde kan hebben.

Voorbeelden hiervan zijn massa, spanning, frequentie of temperatuur. Met dergelijke hoeveelheden kunt u verschillende rekenkundige bewerkingen uitvoeren: optellen, delen, aftrekken, vermenigvuldigen. Een scalaire grootheid heeft niet zo'n kenmerk als richting.

Een scalaire grootheid wordt gemeten met een numerieke waarde, zodat deze op een coördinatenas kan worden weergegeven. Heel vaak wordt bijvoorbeeld de as van de afgelegde afstand, temperatuur of tijd geconstrueerd.

Belangrijkste verschillen tussen scalaire en vectorgrootheden

Uit de hierboven gegeven beschrijvingen wordt duidelijk dat het belangrijkste verschil tussen vectorgrootheden en scalaire grootheden hun is kenmerken. Een vectorgrootheid heeft een richting en grootte, terwijl een scalaire grootheid alleen een numerieke waarde heeft. Natuurlijk kan een vectorgrootheid, net als een scalaire grootheid, worden gemeten, maar een dergelijke karakteristiek zal niet compleet zijn, aangezien er geen richting is.

Om het verschil tussen een scalaire grootheid en een vectorgrootheid duidelijker voor te stellen, moet een voorbeeld worden gegeven. Om dit te doen, nemen we een kennisgebied als klimatologie. Als we zeggen dat de wind met een snelheid van 8 meter per seconde waait, wordt een scalaire grootheid geïntroduceerd. Maar als we zeggen dat de noordenwind met een snelheid van 8 meter per seconde waait, dan hebben we het over een vectorwaarde.

Vectoren spelen een grote rol in de moderne wiskunde, maar ook op veel gebieden van de mechanica en natuurkunde. De meeste fysieke grootheden kunnen als vectoren worden weergegeven. Hierdoor kunnen we de gebruikte formules en resultaten generaliseren en aanzienlijk vereenvoudigen. Vaak worden vectorwaarden en vectoren met elkaar geïdentificeerd. In de natuurkunde hoor je bijvoorbeeld misschien dat snelheid of kracht een vector is.