Diagonalen van een trapezium. Middellijn van trapezium

Er wordt een vierhoek genoemd waarvan slechts twee zijden evenwijdig zijn trapezium.

De evenwijdige zijden van een trapezium worden zijn genoemd redenen, en de zijden die niet evenwijdig zijn, worden genoemd zijkanten. Als de zijden gelijk zijn, dan is zo'n trapezium gelijkbenig. De afstand tussen de bases wordt de hoogte van het trapezium genoemd.

Middelste lijn trapezium

De middellijn is een segment dat de middelpunten van de zijkanten van het trapezium verbindt. De middellijn van het trapezium is evenwijdig aan de basis.

Stelling:

Als de rechte lijn die het midden van één zijde doorkruist evenwijdig is aan de basis van het trapezium, dan doorsnijdt deze de tweede zijde van het trapezium.

Stelling:

De lengte van de middelste lijn is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de lengtes van de bases

MN || AB || gelijkstroom
AM = MD; BN=NC

MN midden lijn, AB en CD - bases, AD en BC - zijkanten

MN = (AB + DC)/2

Stelling:

De lengte van de middellijn van een trapezium is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de lengtes van zijn bases.

De belangrijkste taak: Bewijs dat de middellijn van een trapezium een ​​segment doorsnijdt waarvan de uiteinden in het midden van de basis van het trapezium liggen.

Middelste lijn van de driehoek

Het segment dat de middelpunten van twee zijden van een driehoek verbindt, wordt de middellijn van de driehoek genoemd. Het is evenwijdig aan de derde zijde en de lengte is gelijk aan de helft van de lengte van de derde zijde.
Stelling: Als een lijn die het middelpunt van de ene zijde van een driehoek snijdt, evenwijdig is aan de andere zijde van de driehoek, dan doorsnijdt hij de derde zijde.

AM = MC en BN = NC =>

De middellijneigenschappen van een driehoek en trapezium toepassen

Een segment delen door een bepaald bedrag Gelijke delen.
Taak: Verdeel segment AB in 5 gelijke delen.
Oplossing:
Laat p een willekeurige straal zijn waarvan de oorsprong punt A is en die niet op lijn AB ligt. We stellen er consequent 5 uit gelijke segmenten op p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
We verbinden A 5 met B en trekken zulke lijnen door A 4, A 3, A 2 en A 1 die evenwijdig zijn aan A 5 B. Ze snijden AB respectievelijk in de punten B 4, B 3, B 2 en B 1. Deze punten verdelen segment AB in 5 gelijke delen. Uit het trapezium BB 3 A 3 A 5 zien we inderdaad dat BB 4 = B 4 B 3. Op dezelfde manier verkrijgen we uit de trapezium B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2

Terwijl van de trapezium B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Dan volgt uit B 2 AA 2 dat B 2 B 1 = B 1 A. Concluderend krijgen we:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Het is duidelijk dat om het segment AB in nog een aantal gelijke delen te verdelen, we hetzelfde aantal gelijke segmenten op de straal p moeten projecteren. En ga dan verder op de manier zoals hierboven beschreven.

Het concept van de middellijn van het trapezium

Laten we eerst onthouden wat voor soort figuur een trapezium wordt genoemd.

Definitie 1

Een trapezium is een vierhoek waarvan twee zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet evenwijdig.

In dit geval worden de parallelle zijden de basis van het trapezium genoemd, en de niet-parallelle zijden de laterale zijden van het trapezium.

Definitie 2

De middellijn van een trapezium is een segment dat de middelpunten van de zijkanten van het trapezium verbindt.

Trapeziummiddellijnstelling

Nu introduceren we de stelling over de middellijn van een trapezium en bewijzen deze met behulp van de vectormethode.

Stelling 1

De middellijn van het trapezium is evenwijdig aan de bases en gelijk aan hun halve som.

Bewijs.

Laten we een trapezium $ABCD$ geven met basen $AD\ en\ BC$. En laat $MN$ de middelste lijn van deze trapezium zijn (Fig. 1).

Figuur 1. Middellijn van trapezium

Laten we bewijzen dat $MN||AD\ en\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Beschouw de vector $\overrightarrow(MN)$. Vervolgens gebruiken we de polygoonregel om vectoren toe te voegen. Aan de ene kant snappen we dat

Aan de andere kant

Laten we de laatste twee gelijkheden optellen en krijgen

Omdat $M$ en $N$ de middelpunten zijn van de zijkanten van het trapezium, zullen we dit doen

We krijgen:

Vandaar

Uit dezelfde gelijkheid (aangezien $\overrightarrow(BC)$ en $\overrightarrow(AD)$ codirectioneel zijn en dus collineair) verkrijgen we $MN||AD$.

De stelling is bewezen.

Voorbeelden van problemen met het concept van de middellijn van een trapezium

voorbeeld 1

De zijkanten van het trapezium zijn respectievelijk $15\ cm$ en $17\ cm$. De omtrek van het trapezium is $52\cm$. Zoek de lengte van de middellijn van het trapezium.

Oplossing.

Laten we de middellijn van het trapezium aangeven met $n$.

De som van de zijden is gelijk aan

Omdat de omtrek $52\ cm$ is, is de som van de bases daarom gelijk aan

Dus volgens Stelling 1 krijgen we

Antwoord:$10\cm$.

Voorbeeld 2

De uiteinden van de diameter van de cirkel liggen respectievelijk $9$ cm en $5$ cm verwijderd van de raaklijn. Bepaal de diameter van deze cirkel.

Oplossing.

Laten we een cirkel geven met middelpunt in punt $O$ en diameter $AB$. Laten we een raaklijn $l$ tekenen en de afstanden $AD=9\ cm$ en $BC=5\ cm$ construeren. Laten we de straal $OH$ tekenen (Fig. 2).

Figuur 2.

Omdat $AD$ en $BC$ de afstanden tot de raaklijn zijn, dan $AD\bot l$ en $BC\bot l$ en aangezien $OH$ de straal is, dan $OH\bot l$, dus $OH |\links|AD\rechts||BC$. Uit dit alles blijkt dat $ABCD$ een trapezium is, en $OH$ de middellijn ervan. Volgens Stelling 1 krijgen we

Trapezium is speciaal geval een vierhoek waarvan één paar zijden evenwijdig is. De term "trapezium" komt van het Griekse woord τράπεζα, wat "tafel", "tafel" betekent. In dit artikel zullen we kijken naar de soorten trapezium en zijn eigenschappen. Daarnaast zullen we uitzoeken hoe we individuele elementen hiervan kunnen berekenen, bijvoorbeeld de diagonaal gelijkbenig trapezium, middellijn, vlak, etc. Het materiaal wordt gepresenteerd in de stijl van de elementaire volksmeetkunde, d.w.z. in een gemakkelijk toegankelijke vorm.

Algemene informatie

Laten we eerst eens kijken wat een vierhoek is. Deze figuur is een speciaal geval van een veelhoek met vier zijden en vier hoekpunten. Twee hoekpunten van een vierhoek die niet aangrenzend zijn, worden tegenovergesteld genoemd. Hetzelfde kan gezegd worden voor twee niet-aangrenzende zijden. De belangrijkste soorten vierhoeken zijn parallellogram, rechthoek, ruit, vierkant, trapezium en deltaspier.

Laten we dus teruggaan naar de trapeziums. Zoals we al hebben gezegd, heeft deze figuur twee parallelle zijden. Ze worden basen genoemd. De andere twee (niet-parallel) zijn de zijkanten. In examenmateriaal en diverse testen heel vaak kun je problemen tegenkomen die verband houden met trapeziums, waarvan de oplossing vaak vereist dat de student over kennis beschikt die niet in het programma is voorzien. De cursus geometrie op school laat studenten kennismaken met de eigenschappen van hoeken en diagonalen, evenals met de middellijn gelijkbenig trapezium. Maar daarnaast heeft de genoemde geometrische figuur nog andere kenmerken. Maar daarover later meer...

Soorten trapezium

Er zijn veel soorten van deze figuur. Meestal is het echter gebruikelijk om er twee te beschouwen: gelijkbenig en rechthoekig.

1. Een rechthoekig trapezium is een figuur waarvan een van de zijden loodrecht op de basis staat. Haar twee hoeken zijn altijd gelijk aan negentig graden.

2. Een gelijkbenig trapezium is een geometrische figuur waarvan de zijden gelijk zijn aan elkaar. Dit betekent dat de hoeken aan de basis ook paarsgewijs gelijk zijn.

De belangrijkste principes van de methodologie voor het bestuderen van de eigenschappen van een trapezium

Het belangrijkste principe omvat het gebruik van de zogenaamde taakbenadering. In principe is het niet nodig om binnen te komen theoretische cursus geometrie van nieuwe eigenschappen van deze figuur. Ze kunnen worden ontdekt en geformuleerd tijdens het oplossen van verschillende problemen (bij voorkeur systeemproblemen). Tegelijkertijd is het van groot belang dat de docent weet welke taken op een bepaald moment aan de leerlingen moeten worden toegewezen educatief proces. Bovendien kan elke eigenschap van een trapezium worden weergegeven als een sleuteltaak in het taaksysteem.

Het tweede principe is de zogenaamde spiraalvormige organisatie van de studie van de ‘opmerkelijke’ eigenschappen van de trapezium. Dit impliceert een terugkeer in het leerproces naar individuele kenmerken van een gegeven geometrische figuur. Hierdoor kunnen leerlingen ze gemakkelijker onthouden. Bijvoorbeeld de eigenschap van vier punten. Het kan zowel worden bewezen bij het bestuderen van gelijkenis als bij het vervolgens gebruiken van vectoren. En de gelijkwaardigheid van driehoeken grenzend aan de zijkanten van een figuur kan worden bewezen door niet alleen de eigenschappen toe te passen van driehoeken met gelijke hoogte, getekend op de zijden die op dezelfde rechte lijn liggen, maar ook door de formule S = 1/2( ab*sinα). Bovendien kunt u werken aan een ingeschreven trapezium of een rechthoekige driehoek aan een ingeschreven trapezium, enz.

Het gebruik van “buitenschoolse” kenmerken van een geometrische figuur in de inhoud van een schoolcursus is een taakgebaseerde technologie om deze te onderwijzen. Door voortdurend te verwijzen naar de eigenschappen die worden bestudeerd terwijl ze andere onderwerpen doornemen, kunnen studenten een diepere kennis van het trapezium verwerven en wordt het succes van het oplossen van toegewezen problemen gegarandeerd. Laten we dus beginnen met het bestuderen van deze prachtige figuur.

Elementen en eigenschappen van een gelijkbenig trapezium

Zoals we al hebben opgemerkt, heeft deze geometrische figuur gelijke zijden. Het wordt ook wel het juiste trapezium genoemd. Waarom is het zo opmerkelijk en waarom heeft het zo’n naam gekregen? Het bijzondere van deze figuur is dat niet alleen de zijkanten en hoeken aan de basis gelijk zijn, maar ook de diagonalen. Bovendien is de som van de hoeken van een gelijkbenig trapezium 360 graden. Maar dat is niet alles! Van alle bekende trapeziums kan alleen een gelijkbenige trapezium als cirkel worden omschreven. Dit komt door het feit dat de som van de tegenovergestelde hoeken van deze figuur gelijk is aan 180 graden, en alleen onder deze voorwaarde kan men een cirkel rond een vierhoek beschrijven. De volgende eigenschap van de geometrische figuur in kwestie is dat de afstand van het hoekpunt van de basis tot de projectie van het tegenoverliggende hoekpunt op de rechte lijn die deze basis bevat, gelijk zal zijn aan de middellijn.

Laten we nu eens kijken hoe we de hoeken van een gelijkbenig trapezium kunnen vinden. Laten we een oplossing voor dit probleem overwegen, op voorwaarde dat de afmetingen van de zijkanten van de figuur bekend zijn.

Oplossing

Typisch wordt een vierhoek meestal aangegeven met de letters A, B, C, D, waarbij BS en AD de bases zijn. In een gelijkbenig trapezium zijn de zijden gelijk. We nemen aan dat hun grootte gelijk is aan X, en dat de afmetingen van de bases gelijk zijn aan Y en Z (respectievelijk kleiner en groter). Om de berekening uit te voeren, is het noodzakelijk om de hoogte H vanuit hoek B te tekenen. Het resultaat is een rechthoekige driehoek ABN, waarbij AB de hypotenusa is en BN en AN de benen zijn. We berekenen de grootte van het been AN: we trekken de kleinere af van de grotere basis en delen het resultaat door 2. We schrijven het in de vorm van een formule: (Z-Y)/2 = F. Om nu de acute te berekenen hoek van de driehoek gebruiken we de cos-functie. We krijgen de volgende invoer: cos(β) = X/F. Nu berekenen we de hoek: β=arcos (X/F). Verder kunnen we, als we één hoek kennen, de tweede bepalen, hiervoor voeren we een elementaire rekenkundige bewerking uit: 180 - β. Alle hoeken zijn gedefinieerd.

Er is een tweede oplossing voor dit probleem. Eerst laten we hem vanuit de hoek zakken tot hoogte H. We berekenen de waarde van het been BN. We weten dat het kwadraat van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de vierkanten van de benen. We krijgen: BN = √(X2-F2). Vervolgens gebruiken we de trigonometrische functie tg. Als resultaat hebben we: β = arctan (BN/F). Er is een scherpe hoek gevonden. Vervolgens definiëren we het op dezelfde manier als de eerste methode.

Eigenschap van diagonalen van een gelijkbenig trapezium

Laten we eerst vier regels opschrijven. Als de diagonalen in een gelijkbenig trapezium loodrecht staan, dan:

De hoogte van het figuur is gelijk aan de som van de bases gedeeld door twee;

De hoogte en middellijn zijn gelijk;

Het middelpunt van de cirkel is het punt waarop;

Als de zijkant door het raakpunt wordt verdeeld in de segmenten H en M, dan is deze gelijk aan vierkantswortel producten van deze segmenten;

De vierhoek die wordt gevormd door de raakpunten, het hoekpunt van de trapezium en het middelpunt van de ingeschreven cirkel is een vierkant waarvan de zijde gelijk is aan de straal;

De oppervlakte van een figuur is gelijk aan het product van de bases en het product van de helft van de som van de bases en de hoogte ervan.

Soortgelijke trapeziums

Dit onderwerp is erg handig om de eigenschappen hiervan te bestuderen. De diagonalen verdelen bijvoorbeeld een trapezium in vier driehoeken, en die grenzend aan de basis zijn vergelijkbaar, en die grenzend aan de zijkanten zijn even groot. Deze verklaring kan een eigenschap worden genoemd van de driehoeken waarin de trapezium is verdeeld door zijn diagonalen. Het eerste deel van deze verklaring wordt bewezen door het teken van gelijkenis vanuit twee hoeken. Om het tweede deel te bewijzen, is het beter om de onderstaande methode te gebruiken.

Bewijs van de stelling

We aanvaarden dat het cijfer ABSD (AD en BS zijn de basissen van het trapezium) wordt gedeeld door de diagonalen VD en AC. Het punt van hun snijpunt is O. We krijgen vier driehoeken: AOS - aan de onderkant, BOS - aan de bovenkant, ABO en SOD aan de zijkanten. De driehoeken SOD en BOS hebben een gemeenschappelijke hoogte als de segmenten BO en OD hun basis zijn. We vinden dat het verschil tussen hun gebieden (P) gelijk is aan het verschil tussen deze segmenten: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Daarom PSOD = PBOS/K. Op dezelfde manier hebben de driehoeken BOS en AOB een gemeenschappelijke hoogte. Als basis nemen we de segmenten CO en OA. We krijgen PBOS/PAOB = CO/OA = K en PAOB = PBOS/K. Hieruit volgt dat PSOD = PAOB.

Om het materiaal te consolideren, wordt de leerlingen aangeraden het verband te vinden tussen de gebieden van de resulterende driehoeken waarin het trapezium is verdeeld door zijn diagonalen, door het volgende probleem op te lossen. Het is bekend dat de driehoeken BOS en AOD gelijke oppervlakken hebben; het is noodzakelijk om het gebied van de trapezium te vinden. Omdat PSOD = PAOB, betekent dit PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Uit de gelijkenis van de driehoeken BOS en AOD volgt dat BO/OD = √(PBOS/PAOD). Daarom is PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). We krijgen PSOD = √(PBOS*PAOD). Dan PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Eigenschappen van gelijkenis

Door dit onderwerp verder te ontwikkelen, kan het andere bewezen worden interessante kenmerken trapezium. Door gelijkenis te gebruiken, kan men dus de eigenschap bewijzen van een segment dat door het punt gaat dat wordt gevormd door het snijpunt van de diagonalen van deze geometrische figuur, evenwijdig aan de basissen. Laten we hiervoor het volgende probleem oplossen: we moeten de lengte vinden van het segment RK dat door punt O gaat. Uit de gelijkenis van de driehoeken AOD en BOS volgt dat AO/OS = AD/BS. Uit de gelijkenis van de driehoeken AOP en ASB volgt dat AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Vanaf hier krijgen we dat RO=BS*BP/(BS+BP). Op soortgelijke wijze volgt uit de gelijkenis van de driehoeken DOC en DBS dat OK = BS*AD/(BS+AD). Vanaf hier krijgen we dat RO=OK en RK=2*BS*AD/(BS+AD). Een segment dat door het snijpunt van de diagonalen loopt, evenwijdig aan de basis en twee zijkanten verbindt, wordt door het snijpunt in tweeën gedeeld. De lengte is het harmonische gemiddelde van de bases van de figuur.

Beschouw de volgende eigenschap van een trapezium, die de eigenschap van vier punten wordt genoemd. De snijpunten van de diagonalen (O), het snijpunt van de voortzetting van de zijden (E), evenals de middelpunten van de basissen (T en F) liggen altijd op dezelfde lijn. Dit kan eenvoudig worden bewezen met de gelijkheidsmethode. De resulterende driehoeken BES en AED zijn vergelijkbaar, en in elk daarvan verdelen de medianen ET en EJ de tophoek E in gelijke delen. Daarom liggen de punten E, T en F op dezelfde rechte lijn. Op dezelfde manier liggen de punten T, O en Zh op dezelfde rechte lijn. Dit alles volgt uit de gelijkenis van de driehoeken BOS en AOD. Vanaf hier concluderen we dat alle vier de punten - E, T, O en F - op dezelfde rechte lijn zullen liggen.

Met behulp van gelijksoortige trapeziums kun je de leerlingen vragen de lengte te vinden van het segment (LS) dat de figuur in twee gelijke delen verdeelt. Dit segment moet evenwijdig zijn aan de bases. Omdat de resulterende trapeziums ALFD en LBSF vergelijkbaar zijn, is BS/LF = LF/AD. Hieruit volgt dat LF=√(BS*AD). We ontdekken dat het segment dat de trapezium in twee gelijke delen verdeelt een lengte heeft die gelijk is aan het geometrische gemiddelde van de lengtes van de basissen van de figuur.

Beschouw de volgende gelijkenis-eigenschap. Het is gebaseerd op een segment dat de trapezium in twee gelijke cijfers verdeelt. We nemen aan dat de trapezium-ABSD door het segment EH in twee soortgelijke wordt verdeeld. Vanaf hoekpunt B wordt de hoogte weggelaten, die door segment EN in twee delen wordt verdeeld: B1 en B2. We krijgen: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 en PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Vervolgens stellen we een systeem samen waarvan de eerste vergelijking (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 is en de tweede (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Hieruit volgt dat B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) en BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). We vinden dat de lengte van het segment dat het trapezium in twee gelijke delen verdeelt, gelijk is aan het wortelgemiddelde van de lengtes van de bases: √((BS2+AD2)/2).

Gelijkenisbevindingen

Zo hebben we bewezen dat:

1. Het segment dat de middelpunten van de zijkanten van een trapezium verbindt, is evenwijdig aan AD en BS en is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van BS en AD (de lengte van de basis van het trapezium).

2. De lijn die door het punt O gaat van het snijpunt van de diagonalen evenwijdig aan AD en BS is gelijk aan het harmonische gemiddelde van de getallen AD en BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Het segment dat de trapezium in soortgelijke verdeelt, heeft de lengte van het geometrische gemiddelde van de bases BS en AD.

4. Een element dat een figuur in twee gelijke delen verdeelt, heeft de lengte van het wortelgemiddelde van de getallen AD en BS.

Om het materiaal te consolideren en het verband tussen de beschouwde segmenten te begrijpen, moet de student ze voor een specifiek trapezium construeren. Hij kan gemakkelijk de middellijn en het segment dat door punt O loopt - het snijpunt van de diagonalen van de figuur - evenwijdig aan de basis weergeven. Maar waar zullen de derde en vierde zich bevinden? Dit antwoord zal de student ertoe brengen de gewenste relatie tussen gemiddelde waarden te ontdekken.

Een segment dat de middelpunten van de diagonalen van een trapezium verbindt

Beschouw de volgende eigenschap van deze figuur. We nemen aan dat het segment MH evenwijdig is aan de bases en de diagonalen doorsnijdt. Laten we de snijpunten Ш en Ш noemen. Dit segment zal gelijk zijn aan de helft van het verschil tussen de bases. Laten we dit in meer detail bekijken. MS is de middelste lijn van de ABS-driehoek, deze is gelijk aan BS/2. MSH is de middelste lijn van driehoek ABD, deze is gelijk aan AD/2. Dan krijgen we dat ShShch = MSh-MSh, dus ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Zwaartepunt

Laten we eens kijken hoe dit element wordt bepaald voor een bepaalde geometrische figuur. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de bases in tegengestelde richtingen uit te breiden. Wat betekent het? U moet de onderste basis aan de bovenste basis toevoegen - in elke richting, bijvoorbeeld naar rechts. En we verlengen de onderste met de lengte van de bovenste naar links. Vervolgens verbinden we ze diagonaal. Het snijpunt van dit segment met de middellijn van de figuur is het zwaartepunt van het trapezium.

Ingeschreven en begrensde trapeziums

Laten we de kenmerken van dergelijke figuren opsommen:

1. Een trapezium kan alleen in een cirkel worden ingeschreven als het gelijkbenig is.

2. Een trapezium kan rond een cirkel worden beschreven, op voorwaarde dat de som van de lengtes van hun bases gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.

Gevolgen van de incircle:

1. De hoogte van het beschreven trapezium is altijd gelijk aan twee stralen.

2. De zijkant van het beschreven trapezium wordt vanuit het midden van de cirkel in een rechte hoek bekeken.

Het eerste gevolg ligt voor de hand, maar om het tweede te bewijzen is het noodzakelijk om vast te stellen dat de hoek SOD juist is, wat in feite ook niet moeilijk is. Maar kennis van deze eigenschap stelt u in staat een rechthoekige driehoek te gebruiken bij het oplossen van problemen.

Laten we nu deze gevolgen specificeren voor een gelijkbenig trapezium, ingeschreven in een cirkel. We vinden dat de hoogte het geometrische gemiddelde is van de bases van de figuur: H=2R=√(BS*AD). Tijdens het oefenen van de basistechniek voor het oplossen van problemen voor trapeziums (het principe van het tekenen van twee hoogtes), moet de leerling de volgende taak oplossen. We nemen aan dat BT de hoogte is van de gelijkbenige figuur ABSD. Het is noodzakelijk om de segmenten AT en TD te vinden. Met behulp van de hierboven beschreven formule zal dit niet moeilijk zijn.

Laten we nu eens kijken hoe we de straal van een cirkel kunnen bepalen met behulp van het gebied van het omgeschreven trapezium. We verlagen de hoogte van hoekpunt B tot de basis AD. Omdat de cirkel in een trapezium is ingeschreven, geldt BS+AD = 2AB of AB = (BS+AD)/2. Uit driehoek ABN vinden we sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. We krijgen PABSD = (BS+BP)*R, hieruit volgt dat R = PABSD/(BS+BP).

Alle formules voor de middellijn van een trapezium

Nu is het tijd om verder te gaan naar het laatste element van deze geometrische figuur. Laten we uitzoeken waar de middelste lijn van de trapezium (M) gelijk aan is:

1. Via de basen: M = (A+B)/2.

2. Door hoogte, bodem en hoeken:

M = A-H*(ctga+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Door hoogte, diagonalen en de hoek daartussen. D1 en D2 zijn bijvoorbeeld de diagonalen van een trapezium; α, β - hoeken daartussen:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Doorlaatoppervlak en hoogte: M = P/N.

VIERHOEKEN.

§ 49. TRAPEZ.

Een vierhoek waarin twee tegenoverliggende zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet evenwijdig, wordt een trapezium genoemd.

In tekening 252 de vierhoek ABC AB || CD, wisselstroom || B.D. ABC - trapezium.

De evenwijdige zijden van een trapezium worden zijn genoemd redenen; AB en CD zijn de basis van het trapezium. De andere twee partijen worden gebeld zijkanten trapezium; AC en ВD zijn de zijkanten van het trapezium.

Als de zijden gelijk zijn, wordt een trapezium genoemd gelijkbenig.

De trapeziumvormige ABOM is gelijkbenig, aangezien AM = VO (Fig. 253).

Een trapezium waarbij een van de zijden loodrecht op de basis staat, wordt genoemd rechthoekig(tekening 254).

De middellijn van een trapezium is het segment dat de middelpunten van de zijkanten van het trapezium verbindt.

Stelling. De middellijn van een trapezium is evenwijdig aan elk van zijn bases en gelijk aan hun halve som.

Gegeven: OS is de middenlijn van de trapezium ABCD, d.w.z. OK = OA en BC = CD (tekening 255).

We moeten bewijzen:

1) Besturingssysteem || KD en besturingssysteem || AB;
2)

Bewijs. Door de punten A en C trekken we een rechte lijn die de voortzetting van de basis KD ergens in punt E snijdt.

In driehoeken ABC en DCE:
BC = CD - volgens de voorwaarde;
/ 1 = / 2, beide verticaal,
/ 4 = / 3, als inwendig kruislings liggend met evenwijdig AB en KE en secans BD. Vandaar, /\ ABC= /\ DCE.

Daarom AC = CE, d.w.z. OS is de middellijn van de driehoek KAE. Daarom (§ 48):

1) Besturingssysteem || KE en dus OS || KD en besturingssysteem || AB;
2) , maar DE = AB (uit de gelijkheid van driehoeken ABC en DCE), daarom kan het segment DE vervangen worden door een gelijk segment AB. Dan krijgen we:

De stelling is bewezen.

Opdrachten.

1. Bewijs dat het bedrag interne hoeken trapeziums grenzend aan elke zijde is 2 D.

2. Bewijs dat de hoeken aan de basis van een gelijkbenig trapezium gelijk zijn.

3. Bewijs dat als de hoeken aan de basis van een trapezium gelijk zijn, dit trapezium gelijkbenig is.

4. Bewijs dat de diagonalen van een gelijkbenig trapezium gelijk zijn aan elkaar.

5. Bewijs dat als de diagonalen van een trapezium gelijk zijn, dit trapezium gelijkbenig is.

6. Bewijs dat de omtrek van een figuur gevormd door segmenten die de middelpunten van de zijden van een vierhoek verbinden, gelijk is aan de som van de diagonalen van deze vierhoek.

7. Bewijs dat een rechte lijn die door het midden van een van de zijden van het trapezium loopt, evenwijdig aan de basis, de andere zijde van het trapezium in tweeën deelt.