staande golven. Staande golven en resonantie

staande golf- het fenomeen van interferentie van golven die zich in tegengestelde richtingen voortplanten, waarbij de overdracht van energie verzwakt of afwezig is.

staande golf(elektromagnetisch) - periodieke verandering amplitude de sterkte van de elektrische en magnetische velden langs de voortplantingsrichting, veroorzaakt door de interferentie van de invallende en gereflecteerde golven.

Bijvoorbeeld, staande golf ontstaat wanneer een golf wordt gereflecteerd door obstakels en inhomogeniteiten als gevolg van de interactie (interferentie) van de invallende en gereflecteerde golven. Het resultaat van interferentie wordt beïnvloed door de frequentie van oscillaties, de modulus en fase van de reflectiecoëfficiënt, de voortplantingsrichtingen van de invallende en gereflecteerde golven ten opzichte van elkaar, de verandering of het behoud van de polarisatie van de golven tijdens reflectie, de verzwakkingscoëfficiënt van de golven in het voortplantingsmedium. Strikt genomen kan een staande golf alleen bestaan ​​als er geen verliezen zijn in het voortplantingsmedium (of in actieve omgeving) en totale reflectie van de invallende golf. In een echt medium wordt echter de modus van gemengde golven waargenomen, omdat er altijd een overdracht van energie is naar de plaatsen van absorptie en emissie. Als, wanneer een golf valt, deze volledig is absorptie, dan is de gereflecteerde golf afwezig, is er geen golfinterferentie, is de amplitude van het golfproces in de ruimte constant. Zo'n golfproces wordt een lopende golf genoemd.

Voorbeelden van een staande golf zijn snaartrillingen, luchttrillingen in een orgelpijp; in de natuur - Schumanns golven. Een Rubensbuis wordt gebruikt om staande golven in een gas aan te tonen.

Staande golven zijn oplossingen van golfvergelijkingen. Ze kunnen worden gezien als een superpositie van golven die zich in tegengestelde richting voortplanten.

Wanneer er een staande golf in het medium is, zijn er punten waar de trillingsamplitude gelijk is aan nul. Deze punten heten knopen staande golf. De punten waarop de oscillaties de maximale amplitude hebben, worden antinodes genoemd.

Encyclopedisch YouTube

• 1 / 5

  De verschillende trillingsmodi van een snaar die aan de uiteinden is vastgeklemd, bepalen bijvoorbeeld de grondtoon en boventonen.

  Wiskundige beschrijving van staande golven

  In het eendimensionale geval zullen twee golven van dezelfde frequentie, golflengte en amplitude die zich in tegengestelde richtingen voortplanten (bijvoorbeeld naar elkaar toe), op elkaar inwerken, wat resulteert in een staande golf. Een harmonische golf die zich naar rechts voortplant en het einde van een snaar bereikt, produceert bijvoorbeeld een staande golf. De golf die vanaf het uiteinde wordt weerkaatst, moet dezelfde amplitude en frequentie hebben als de invallende golf.

  Beschouw het incident en de gereflecteerde golven in de vorm:

  y 1 = y 0 sin ⁡ (k x − ω t) (\ Displaystyle y_(1) \;=\;y_(0)\, \sin(kx-\omega t)) y 2 = y 0 sin ⁡ (k x + ω t) (\displaystyle y_(2)\;=\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t))

  Daarom is de resulterende vergelijking voor een staande golf ja zal in de vorm van een som zijn y 1 en y2:

  y = y 0 sin ⁡ (k x − ω t) + y 0 sin ⁡ (k x + ω t) . (\displaystyle y\;=\;y_(0)\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t).)

  Met behulp van trigonometrische relaties kan deze vergelijking worden herschreven als:

  y = 2 y 0 cos ⁡ (ω t) sin ⁡ (k x) . (\displaystyle y\;=\;2\,y_(0)\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).)

  Als we naar mode kijken x = 0 , / 2 , 3 λ / 2 , . . . (\displaystyle x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...) en anti-mode x = / 4 , 3 λ / 4 , 5 λ / 4 , . . . (\displaystyle x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...), dan is de afstand tussen aangrenzende modi / antimodi gelijk aan de helft van de golflengte

Een zeer belangrijk geval van interferentie wordt waargenomen wanneer vlakke golven met dezelfde amplitude worden gesuperponeerd. Het resulterende oscillerende proces heet staande golf.

Vrijwel staande golven ontstaan ​​wanneer golven worden weerkaatst door obstakels. De golf die op de barrière invalt en de gereflecteerde golf die ernaartoe loopt, bovenop elkaar, geven een staande golf.

Beschouw het resultaat van de interferentie van twee sinusoïdale vlakke golven van dezelfde amplitude die zich in tegengestelde richtingen voortplanten.

Voor de eenvoud van redenering nemen we aan dat beide golven oscillaties veroorzaken in dezelfde fase bij de oorsprong.

De vergelijkingen voor deze trillingen hebben de vorm:

.

Door beide vergelijkingen op te tellen en het resultaat te transformeren, volgens de formule voor de som van de sinussen, krijgen we:

- staande golf vergelijking.

Als we deze vergelijking vergelijken met de vergelijking van harmonische oscillaties, zien we dat de amplitude van de resulterende oscillaties gelijk is aan:

.

Sinds , en , toen .

.

Op de punten van het medium, waar , zijn er geen oscillaties, d.w.z. . Deze punten heten staande golf knooppunten.

Op punten waar , heeft de oscillatieamplitude de grootste waarde, gelijk aan . Deze punten heten antinodes van een staande golf. De coördinaten van de antinode worden gevonden in de voorwaarde , omdat , dan .

Vanaf hier:

Evenzo worden de coördinaten van de knooppunten gevonden uit de voorwaarde:

.

Waar:

.

Uit de formules voor de coördinaten van knopen en knopen volgt dat de afstand tussen aangrenzende knopen, evenals de afstand tussen aangrenzende knopen, gelijk is aan . De antinodes en nodes zijn ten opzichte van elkaar verschoven met een kwart van de golflengte.

Laten we de aard van oscillaties vergelijken in een staande en lopende golf. In een lopende golf oscilleert elk punt, waarvan de amplitude niet verschilt van de amplitude van andere punten. Maar fluctuaties van verschillende punten treden op met verschillende fasen.

In een staande golf oscilleren alle deeltjes van het medium die zich tussen twee aangrenzende knooppunten bevinden in dezelfde fase, maar met verschillende amplitudes. Bij het passeren van de knoop verandert de fase van de oscillaties abrupt in , omdat het teken verandert.

Grafisch kan een staande golf als volgt worden weergegeven:



Op het moment dat , hebben alle punten van het medium maximale verplaatsingen, waarvan de richting wordt bepaald door het teken . Deze verplaatsingen worden in de figuur weergegeven door ononderbroken pijlen.

Na een kwart van de periode, wanneer , zijn de verplaatsingen van alle punten gelijk aan nul. Deeltjes passeren de lijn met verschillende snelheden.

Na nog een kwart van de periode, wanneer , zullen de deeltjes opnieuw maximale verplaatsingen hebben, maar in de tegenovergestelde richting (gestippelde pijlen).

Bij het beschrijven van oscillerende processen in elastische systemen kan niet alleen de verplaatsing, maar ook de snelheid van deeltjes, evenals de grootte van de relatieve vervorming van het medium, als een oscillerende waarde worden genomen.




Om de wet van verandering in de snelheid van een staande golf te vinden, differentiëren we door de verplaatsingsvergelijking van een staande golf, en om de wet van verandering in vervorming te vinden, differentiëren we door de vergelijking van een staande golf.



.

Als we deze vergelijkingen analyseren, zien we dat de knooppunten en knooppunten van de snelheid samenvallen met de knooppunten en knooppunten van de verplaatsing; de knooppunten en knooppunten van de vervorming vallen respectievelijk samen met de knooppunten en knooppunten van de snelheid en verplaatsing.

snaartrillingen

In een snaar die aan beide uiteinden is uitgerekt, worden, wanneer transversale trillingen worden opgewekt, staande golven tot stand gebracht en moeten er knopen worden geplaatst op de plaatsen waar de snaar is bevestigd. Daarom worden alleen zulke trillingen in de snaar opgewekt, waarvan de helft een geheel aantal keren op de lengte van de snaar past.

Hieruit volgt de voorwaarde:

waar is de lengte van de string.



Of anders. Deze golflengten komen overeen met frequenties , waar - fase snelheid golven. De waarde wordt bepaald door de spankracht van de snaar en zijn massa.

At is de grondfrequentie.

At - natuurlijke trillingsfrequenties van de snaar of boventonen.

Doppler effect

Laten we eens kijken naar de eenvoudigste gevallen waarin de bron van golven en de waarnemer zich ten opzichte van het medium langs één rechte lijn bewegen:

1. De geluidsbron beweegt met een snelheid ten opzichte van het medium, de geluidsontvanger staat in rust.



In dit geval zal de geluidsgolf tijdens de oscillatieperiode op een afstand van de bron weg bewegen en de bron zelf op een afstand gelijk aan .

Als de bron van de ontvanger wordt verwijderd, d.w.z. bewegen in de richting tegengesteld aan de richting van golfvoortplanting, dan de golflengte.

Als de geluidsbron dichter bij de ontvanger wordt gebracht, d.w.z. bewegen in de richting van golfvoortplanting, dan .

De frequentie van het geluid dat door de ontvanger wordt waargenomen is:

Vervang in plaats van hun waarden voor beide gevallen:

Rekening houdend met het feit dat, waar de oscillatiefrequentie van de bron is, de gelijkheid de vorm aanneemt:

Deel zowel de teller als de noemer van deze breuk door , dan:

2. De geluidsbron staat stil en de ontvanger beweegt met een snelheid ten opzichte van het medium.

In dit geval verandert de golflengte in het medium niet en is nog steeds gelijk aan . Tegelijkertijd zullen twee opeenvolgende amplituden die in de tijd verschillen met één oscillatieperiode, nadat ze de bewegende ontvanger hebben bereikt, in tijd verschillen op de momenten dat de golf samenkomt met de ontvanger gedurende een tijdsinterval, waarvan de waarde is groter of kleiner, afhankelijk van of de ontvanger weg beweegt of het brongeluid nadert. Gedurende de tijd plant het geluid zich over een afstand voort, en de ontvanger zal zich over een afstand verplaatsen. De som van deze grootheden geeft ons de golflengte:

De periode van oscillaties die door de ontvanger wordt waargenomen, is gerelateerd aan de frequentie van deze oscillaties door de relatie:

Substitueren in plaats van de uitdrukking van gelijkheid (1), krijgen we:

.

Omdat , waar is de oscillatiefrequentie van de bron, en , dan:

3. De geluidsbron en ontvanger bewegen ten opzichte van het medium. Door de resultaten van de twee voorgaande gevallen te combineren, krijgen we:

geluidsgolven

Als de elastische golven die zich in de lucht voortplanten een frequentie hebben van 20 tot 20.000 Hz, dan veroorzaken ze de sensatie van geluid wanneer ze het menselijk oor bereiken. Daarom worden golven die in dit frequentiebereik liggen, geluidsgolven genoemd. elastische golven met een frequentie van minder dan 20 Hz worden genoemd infrageluid . Golven met een frequentie van meer dan 20.000 Hz worden echografie. Echo's en infrageluiden kunnen niet door het menselijk oor worden gehoord.



Geluidssensaties worden gekenmerkt door toonhoogte, timbre en luidheid. De toonhoogte van het geluid wordt bepaald door de frequentie van trillingen. De geluidsbron zendt echter niet één, maar een heel spectrum aan frequenties uit. De verzameling trillingsfrequenties die aanwezig is in een bepaald geluid wordt zijn . genoemd akoestisch spectrum. De trillingsenergie wordt verdeeld over alle frequenties van het akoestische spectrum. De toonhoogte van een geluid wordt bepaald door één - de grondfrequentie, als deze frequentie een aanzienlijk grotere hoeveelheid energie vertegenwoordigt dan het aandeel van andere frequenties.

Als het spectrum bestaat uit een reeks frequenties die in het frequentiebereik van tot liggen, dan wordt zo'n spectrum genoemd continu(voorbeeld - geluid).

Als het spectrum bestaat uit een reeks oscillaties van discrete frequenties, dan wordt zo'n spectrum genoemd regeerde(voorbeeld - muzikale geluiden).

Het akoestische spectrum van geluid bepaalt, afhankelijk van de aard en de verdeling van energie tussen frequenties, de originaliteit van de geluidssensatie, het timbre van geluid genoemd. Verschillende muziekinstrumenten hebben een verschillend akoestisch spectrum, d.w.z. verschillen in toon.

De intensiteit van geluid wordt gekenmerkt door verschillende grootheden: oscillaties van de deeltjes van het medium, hun snelheden, drukkrachten, spanningen erin, enz.

Het karakteriseert de amplitude van oscillaties van elk van deze grootheden. Omdat deze grootheden echter met elkaar samenhangen, is het raadzaam om één energiekenmerk in te voeren. Zo'n kenmerk voor golven van elk type werd in 1877 voorgesteld. OP DE. Umov.



Laten we mentaal een platform uitsnijden van de voorkant van de lopende golf. Na verloop van tijd zal dit gebied een afstand afleggen, waar de snelheid van de golf is.

Geef aan door de energie van het eenheidsvolume van het oscillerende medium. Dan is de energie van het gehele volume gelijk aan .

Deze energie werd in de loop van de tijd overgedragen door een golf die zich door het gebied voortplantte.

Door deze uitdrukking te delen door en , verkrijgen we de energie die door de golf wordt overgedragen door oppervlakte-eenheid per tijdseenheid. Deze waarde wordt aangegeven met een letter en heet Umov vector

Voor geluidsveld: Umov vector wordt de kracht van geluid genoemd.

Geluidsvermogen is een fysiek kenmerk van geluidsintensiteit. We evalueren het subjectief, zoals: volume geluid. Het menselijk oor neemt geluiden waar waarvan de sterkte een bepaalde minimumwaarde overschrijdt, die voor verschillende frequenties verschillend is. Deze waarde heet gehoordrempel geluid. Voor middenfrequenties in de orde van Hz is de gehoordrempel in de orde van grootte van .

Met een zeer grote geluidssterkte van de orde, wordt het geluid behalve het oor waargenomen door de tastorganen en veroorzaakt het pijn in de oren.

De intensiteitswaarde waarbij dit gebeurt heet pijngrens. De pijngrens, evenals de gehoordrempel, is afhankelijk van de frequentie.

Een persoon heeft een nogal complex apparaat voor het waarnemen van geluiden. Geluidstrillingen worden opgevangen door de oorschelp en werken via de gehoorgang op het trommelvlies. De trillingen worden overgebracht naar een kleine holte die het slakkenhuis wordt genoemd. In het slakkenhuis bevindt zich een groot aantal vezels met verschillende lengtes en spanningen en bijgevolg verschillende natuurlijke trillingsfrequenties. Wanneer geluid wordt toegepast, resoneert elk van de vezels met een toon waarvan de frequentie samenvalt met de natuurlijke frequentie van de vezel. De set resonantiefrequenties in het hoortoestel bepaalt het gebied van door ons waargenomen geluidstrillingen.

Het volume, subjectief beoordeeld door ons oor, neemt veel langzamer toe dan de intensiteit van geluidsgolven. Terwijl de intensiteit exponentieel toeneemt, neemt het volume exponentieel toe. Op basis hiervan wordt het luidheidsniveau gedefinieerd als de logaritme van de verhouding tussen de intensiteit van een bepaald geluid en de intensiteit die wordt genomen als de oorspronkelijke

De eenheid van volumeniveau wordt genoemd wit. Er worden ook kleinere eenheden gebruikt - decibel(10 keer minder dan wit).

waar is de geluidsabsorptiecoëfficiënt.

De waarde van de geluidsabsorptiecoëfficiënt neemt evenredig toe met het kwadraat van de frequentie van het geluid, dus lage geluiden verspreiden zich verder dan hoge.

In architecturale akoestiek voor grote kamers speelt een belangrijke rol weerkaatsing of de luidheid van het pand. Geluiden, die meerdere reflecties van omsluitende oppervlakken ervaren, worden door de luisteraar gedurende een vrij lange periode waargenomen. Dit verhoogt de sterkte van het geluid dat ons bereikt, maar als de nagalm te lang is, worden de afzonderlijke geluiden over elkaar heen gelegd en wordt de spraak niet meer gearticuleerd waargenomen. Daarom zijn de wanden van de hallen bedekt met speciale geluidsabsorberende materialen om nagalm te verminderen.

Elk trillend lichaam kan als bron van geluidstrillingen dienen: een klokriet, een stemvork, een vioolsnaar, een luchtkolom in blaasinstrumenten, enz. deze zelfde lichamen kunnen ook dienen als ontvangers van geluid wanneer ze in beweging worden gezet door trillingen van de omgeving.

Echografie

Om richting te krijgen, d.w.z. bijna vlak, de golfafmetingen van de zender moeten vele malen groter zijn dan de golflengte. Geluidsgolven in lucht hebben een lengte tot 15 m, in vloeistof en vaste stoffen nog langere golflengte. Daarom is het praktisch onmogelijk om een ​​zender te bouwen die een gerichte golf van deze lengte zou creëren.

Ultrasone trillingen hebben een frequentie van meer dan 20.000 Hz, dus hun golflengte is erg klein. Naarmate de golflengte afneemt, neemt ook de rol van diffractie in het proces van golfvoortplanting af. Daarom kunnen ultrasone golven worden verkregen in de vorm van gerichte bundels, vergelijkbaar met lichtbundels.

Er worden twee verschijnselen gebruikt om ultrasone golven op te wekken: omgekeerd piëzo-elektrisch effect en magnetostrictie.

Het omgekeerde piëzo-elektrische effect is dat een plaat van enkele kristallen (Rochelle-zout, kwarts, bariumtitanaat, enz.) onder invloed van elektrisch veld licht vervormd. Door deze tussen metalen platen te plaatsen, waarop een wisselspanning staat, is het mogelijk om geforceerde trillingen van de plaat te veroorzaken. Deze trillingen worden overgedragen omgeving en genereert daarin een ultrasone golf.

Magnetostrictie ligt in het feit dat ferromagnetische stoffen (ijzer, nikkel, hun legeringen, enz.) onder de actie magnetisch veld zijn vervormd. Door een ferromagnetische staaf in een wisselend magnetisch veld te plaatsen, is het daarom mogelijk om mechanische trillingen op te wekken.

Hoge waarden van akoestische snelheden en versnellingen, evenals goed ontwikkelde methoden voor het bestuderen en ontvangen van ultrasone trillingen, maakten het mogelijk om ze te gebruiken om veel technische problemen op te lossen. Laten we er enkele opsommen.

In 1928 schreef de Sovjetwetenschapper S.Ya. Sokolov stelde voor om ultrageluid te gebruiken voor het detecteren van fouten, d.w.z. voor het opsporen van verborgen interne gebreken zoals schelpen, scheuren, rimpels, slakinsluitingen, enz. in metalen producten. Als de grootte van het defect de golflengte van ultrageluid overschrijdt, wordt de ultrasone puls door het defect gereflecteerd en teruggestuurd. Door ultrasone pulsen in het product te sturen en de gereflecteerde echosignalen te registreren, is het niet alleen mogelijk om de aanwezigheid van defecten in producten te detecteren, maar ook om de grootte en locatie van deze defecten te beoordelen. Deze methode wordt momenteel veel gebruikt in de industrie.

Gerichte ultrasone stralen hebben een brede toepassing gevonden voor locatiedoeleinden, d.w.z. om objecten in het water te detecteren en de afstand tot hen te bepalen. Voor het eerst werd het idee van ultrasone locatie uitgedrukt door een uitstekende Franse natuurkundige P. Langevin en door hem ontwikkeld tijdens de Eerste Wereldoorlog om onderzeeërs op te sporen. Momenteel worden de principes van sonar gebruikt om ijsbergen, scholen vissen, enz. te detecteren. deze methoden kunnen ook de diepte van de zee onder de bodem van het schip bepalen (echolood).

Ultrasone golven met grote amplitude worden momenteel veel gebruikt in de mechanische verwerkingstechnologie. harde materialen, schoonmaken van kleine voorwerpen (onderdelen van uurwerk, pijpleidingen, enz.) die in vloeistof zijn geplaatst, ontgassen, enz.

Ultrasone golven veroorzaken tijdens hun passage sterke drukpulsaties in het medium en veroorzaken een aantal specifieke verschijnselen: vermalen (verspreiding) van in een vloeistof gesuspendeerde deeltjes, de vorming van emulsies, versnelling van diffusieprocessen, activering chemische reacties, impact op biologische objecten, enz.

> Staande golven en resonantie

kenmerk staande golf met maximale amplitude: definitie en grafieken van een staande golf, constructieve en destructieve interferentie, resonantiekenmerken.

staande golf- twee golven worden over elkaar heen gelegd, waardoor een nieuwe ontstaat met een gewijzigde amplitude, maar zonder voortplanting.

Leertaak

• Beschrijf een staande golf.

Belangrijkste punten

• Als twee golven met dezelfde amplitude en lengte in tegengestelde richting bewegen, dan wisselen ze af tussen constructieve en destructieve interferentie. Het resultaat is een staande golf.
• Knooppunten zijn punten zonder beweging. Antinode - de positie van maximale amplitude.
• Ten tijde van aardbevingen hoge gebouwen kan gemakkelijk worden vernietigd (als de hoogte voldoet aan de instellingsvoorwaarde voor staande golven).

voorwaarden

• Resonantie - een toename van de amplitude van de oscillatie van het systeem als gevolg van de invloed van een periodieke kracht, waarvan de zuiverheid dicht bij de natuurlijke frequentie van het systeem ligt.
• Destructieve interferentie - de golven interfereren met elkaar en vallen niet precies samen.
• Constructief - de golven interfereren en zijn precies in fase.

staande golf

Soms lijken de golven te trillen in plaats van te bewegen. Soortgelijke fenomenen worden gevormd door de superpositie van twee of meer die naar binnen bewegen verschillende richtingen golven. De obstakels worden steeds groter. Als ze een vergelijkbare amplitude en lengte hebben, is de afwisseling van constructieve en destructieve interferentie merkbaar. Het resultaat is een staande golf.

Weergegeven als de som van twee zich voortplantende golven die in tegengestelde richtingen reizen (rood en blauw)

Staande golven zijn te vinden in de snaren van muziekinstrumenten. Knooppunten zijn punten zonder beweging. Dat wil zeggen, het is een bepaalde positie waar de golfverstoring wordt gelijkgesteld aan nul. De vaste uiteinden werken ook als knopen, omdat het touw daar niet kan bewegen. De antinode geeft de positie van de maximale amplitude in een staande golf aan.

Een staande golf heeft een frequentie die samenhangt met de voortplantingssnelheid van de verstoring in de snaar. De golflengte (λ) wordt berekend uit de afstand tussen de punten waar de snaar gefixeerd is.



Hier zie je de hoofdmodus en de eerste zes boventonen.

De laagste frequentie is de belangrijkste en is de langste. Boventonen of harmonischen zijn veelvouden van de grondfrequentie.

Resonantie

Als we de gevallen van aardbevingen in meer detail bestuderen, zullen we de voorwaarden voor resonantie opmerken: staande golven met constructieve en destructieve interferentie. Het gebouw kan enkele seconden trillen met een rotatiefrequentie die overeenkomt met de trillingsfrequentie van het gebouw. Hierdoor zal één gebouw instorten en kan het hogere ongedeerd blijven.

Aardbevingsgolven bewegen langs het oppervlak en reflecteren de dichtere rotsen, dus structurele interferentie treedt op specifieke plaatsen op. Heel vaak blijven gebieden in de buurt van het epicentrum ongedeerd, maar afgelegen gebieden lijden verliezen.

Staande golven worden gevormd als gevolg van de interferentie van twee tegengestelde vlakke golven met dezelfde frequentie ω en amplitude A.

Stel je voor dat er op het punt S (Fig. 7.4) een vibrator is, van waaruit een vlakke golf zich voortplant langs de bundel SO. Na het obstakel bij punt O te hebben bereikt, zal de golf worden gereflecteerd en in de tegenovergestelde richting gaan, d.w.z. twee reizende vlakke golven planten zich voort langs de straal: vooruit en achteruit. Deze twee golven zijn coherent, omdat ze worden gegenereerd door dezelfde bron en, bovenop elkaar, met elkaar interfereren.

De oscillerende toestand van het medium die ontstaat als gevolg van interferentie wordt een staande golf genoemd.

Laten we de vergelijking van de directe en achterwaartse lopende golf schrijven:

Rechtdoor -
; achteruit -


waarbij S 1 en S 2 de verplaatsing zijn van een willekeurig punt op de straal SO. Rekening houdend met de formule voor de sinus van de som, is de resulterende verplaatsing gelijk aan



De staande golfvergelijking heeft dus de vorm

(7.17)

De factor costωt laat zien dat alle punten van het medium op de SO-bundel eenvoudige harmonische oscillaties uitvoeren met een frequentie
. Uitdrukking
wordt de amplitude van de staande golf genoemd. Zoals je kunt zien, wordt de amplitude bepaald door de positie van het punt op de SO(x)-straal.

Maximale waarde amplitudes hebben punten waarvoor:

of
(n=0, 1, 2,….)

waar
, of
(7.18)

antinodes van een staande golf .

Minimale waarde, gelijk aan nul, zal die punten hebben waarvoor

of
(n=0, 1, 2,….)

waar
of
(7.19)

Punten met zulke coördinaten heten staande golf knooppunten . Als we uitdrukkingen (7.18) en (7.19) vergelijken, zien we dat de afstand tussen aangrenzende antinodes en aangrenzende knopen gelijk is aan λ/2.

H in de figuur toont de ononderbroken lijn de verplaatsing van de oscillerende punten van het medium op een bepaald moment, de gestippelde curve toont de positie van dezelfde punten door T / 2. Elk punt oscilleert met een amplitude die wordt bepaald door de afstand tot de vibrator (x).

In tegenstelling tot een lopende golf is er bij een staande golf geen energieoverdracht. Energie gaat eenvoudigweg van potentiaal (met de maximale verplaatsing van de punten van het medium vanuit de evenwichtspositie) naar kinetisch (wanneer de punten door de evenwichtspositie gaan) binnen de grenzen tussen de knooppunten die onbeweeglijk blijven.

Alle punten van een staande golf binnen de grenzen tussen de knopen oscilleren in dezelfde fase, en verschillende kanten vanaf het knooppunt - in tegenfase.

Staande golven ontstaan ​​bijvoorbeeld in een aan beide uiteinden gespannen snaar wanneer daarin dwarstrillingen worden opgewekt. Bovendien zijn er op de bevestigingsplaatsen knooppunten van een staande golf.

Als er een staande golf ontstaat in een luchtkolom die aan het ene uiteinde open is (geluidsgolf), dan wordt aan het open uiteinde een antinode gevormd en aan het andere uiteinde een knoop.

Voorbeelden van probleemoplossing

Voorbeeld . Bepaal de voortplantingssnelheid van geluid in water als de golflengte 2 m is en de bronoscillatiefrequentie ν = 725 Hz. Bepaal ook de kleinste afstand tussen punten in het medium die in dezelfde fase oscilleren.

Gegeven : λ=2m; =725Hz.

Vind : ; X.

Oplossing . De golflengte is gelijk aan de afstand waarover een bepaalde fase van de golf zich voortplant over de periode T, d.w.z.

,

waarbij υ de golfsnelheid is; ν is de oscillatiefrequentie.

Dan de gewenste snelheid

Golflengte - de afstand tussen de dichtstbijzijnde deeltjes van het medium, oscillerend in dezelfde fase. Daarom is de gewenste minimale afstand tussen de punten van het medium, die in dezelfde fase oscilleren, gelijk aan de golflengte, d.w.z.

Antwoorden: υ = 1450 m/s; x=2m.

Voorbeeld . Bepaal hoe vaak de lengte van de ultrasone golf zal veranderen wanneer deze van koper naar staal gaat, als de voortplantingssnelheid van ultrageluid in respectievelijk koper en staal gelijk is aan υ 1 = 3,6 km / s en υ 2 = 5,5 km / s.

Gegeven : υ 1 \u003d 3,6 km / s \u003d 3,6 ∙ 10 3 m / s. en υ 2 \u003d 5,5 km / s \u003d 5,5 ∙ 10 3 m / s.

Vind :.

Oplossing . Wanneer golven zich voortplanten, verandert de oscillatiefrequentie niet wanneer ze van het ene medium naar het andere gaan (het hangt alleen af ​​van de eigenschappen van de golfbron), d.w.z. ν 1 = ν 2 = .

Relatie tussen golflengte en frequentie ν:

, (1)

waarbij υ de golfsnelheid is.

De gewenste verhouding, volgens (1),

.

Rekenen, we krijgen
(verhoog 1,53 keer).

Antwoorden :


Voorbeeld . Het ene uiteinde van de elastische staaf is verbonden met een bron van harmonische trillingen die de wet gehoorzamen
en het andere uiteinde zit stevig vast. Aangezien de reflectie op de plaats waar de staaf is bevestigd afkomstig is van een dichter medium, bepaal dan: 1) de vergelijking van een staande golf; 2) coördinaten van knopen; 3) coördinaten van antinodes.

Gegeven :
.

Vind : 1) (x, t); 2) xy; 3) x n.

Oplossing . Incident golf vergelijking

, (1)

waarbij A de golfamplitude is; ω - cyclische frequentie; υ - golfsnelheid.

Afhankelijk van de toestand van het probleem, komt de reflectie op de plaats waar de staaf is bevestigd van een dichter medium, dus de golf verandert zijn fase in de tegenovergestelde, en de vergelijking van de gereflecteerde golf

Door vergelijkingen (1) en (2) toe te voegen, verkrijgen we de staande golfvergelijking

(rekening mee gehouden
; =υТ).

Op punten in de omgeving waar

(m=0, 1, 2,….) (3)

De trillingsamplitude verdwijnt (knooppunten worden waargenomen), op de punten van het medium waar

(m=0, 1, 2,….) (4)

De trillingsamplitude bereikt een maximale waarde van 2A (antinodes worden waargenomen). De gewenste coördinaten van knopen en antiknopen worden gevonden uit de uitdrukkingen (3) en (4):

knoop coördinaten
(m=0, 1, 2,….);

antinode coördinaten
(m=0, 1, 2,….).

Antwoorden : 1)
;
(m=0, 1, 2,….);
(m=0, 1, 2,….).

Voorbeeld . De afstand tussen aangrenzende knooppunten van een staande golf gecreëerd door een stemvork in de lucht is ℓ = 42 cm. Uitgaande van de geluidssnelheid in lucht υ=332 m/s, bepaal dan de trillingsfrequentie ν van de stemvork.

Gegeven : ℓ=42cm=0.42m; υ=332 m/s.

Vind : ν.

Oplossing . In een staande golf is de afstand tussen twee aangrenzende knooppunten . Daarom, ℓ= , vanwaar de lengte van de lopende golf

Relatie tussen golflengte en frequentie
. Door de waarde (1) in deze formule in te vullen, verkrijgen we de gewenste trillingsfrequentie van de stemvork

.

Antwoorden : v=395Hz.

Voorbeeld . Een buis met een lengte van ℓ = 50 cm is gevuld met lucht en aan één uiteinde open. Stel dat de snelheid υ van geluid gelijk is aan 340 m/s, bepaal bij welke laagste frequentie een staande geluidsgolf in de pijp zal optreden. Uitgaande van de geluidssnelheid in lucht υ=332 m/s, bepaal dan de trillingsfrequentie ν van de stemvork.

Gegeven : ℓ=50cm=0.5m; υ=340 m/s.

Vind : ν 0 .

Oplossing. De frequentie zal minimaal zijn, mits de lengte van de staande golf maximaal is.

In een pijp die aan één uiteinde open is, zal er een antinode (reflectie van een minder dicht medium) zijn op het open deel en een knoop op het gesloten deel (reflectie van een dichter medium). Er past dus een kwart van de golflengte in de buis:



Gezien het feit dat de golflengte
, we kunnen schrijven

,

Waar is de gewenste laagste frequentie

.

Antwoorden : v 0 = 170 Hz.

Voorbeeld . Twee elektrische treinen rijden met snelheden naar elkaar toeυ 1 =20 m/s en υ 2 =10 m/s. De eerste trein geeft een fluitsignaal waarvan de toonhoogte overeenkomt met de frequentie ν 0 =600 Hz. Bepaal de frequentie die wordt waargenomen door de tweede passagier voor en na de ontmoeting van de treinen. De geluidssnelheid wordt gelijk gesteld aan υ=332 m/s.

Gegeven : υ 1 \u003d 20 m / s; υ 2 \u003d 10 m / s; ν 0 \u003d 600 Hz; υ=332 m/s.

Vind: ν ; ν".

Oplossing. Volgens de algemene formule die het Doppler-effect in de akoestiek beschrijft, is de geluidsfrequentie die wordt waargenomen door een bewegende ontvanger:

, (1)

waarbij ν 0 de frequentie is van het geluid dat door de bron wordt verzonden; υ pr - de snelheid van de ontvanger; υ ist - de snelheid van de bron. Als de bron en ontvanger elkaar naderen, wordt het bovenste teken genomen; als ze weggaan, wordt het onderste teken genomen.

Volgens de notatie gegeven in het probleem (υ pr \u003d υ 2 en υ ist \u003d υ 1) en de bovenstaande uitleg, uit formule (1) de gewenste frequenties waargenomen door de passagier van de tweede trein:

Voordat de treinen elkaar ontmoeten (aankomst elektrische treinen):

;

Na de treinontmoeting (treinen rijden uit elkaar):



Antwoorden: a=658 Hz; ν" = 549 Hz.

Als meerdere golven zich gelijktijdig in het medium voortplanten, dan blijken de trillingen van de deeltjes van het medium geometrische som trillingen die de deeltjes zouden maken tijdens de voortplanting van elk van de golven afzonderlijk. Bijgevolg overlappen de golven elkaar eenvoudig zonder elkaar te storen. Deze uitspraak wordt het principe van superpositie (superpositie) van golven genoemd.

In het geval dat de oscillaties veroorzaakt door individuele golven op elk van de punten van het medium een ​​constant faseverschil hebben, worden de golven coherent genoemd. (Een meer rigoureuze definitie van coherentie zal worden gegeven in § 120.) Bij het toevoegen van coherente golven het fenomeen interferentie treedt op, dat erin bestaat dat trillingen op sommige punten elkaar versterken en op andere punten verzwakken.

Een zeer belangrijk geval van interferentie wordt waargenomen wanneer twee zich in tegengestelde richting voortplantende vlakke golven met dezelfde amplitude over elkaar heen leggen. Het resulterende oscillerende proces wordt een staande golf genoemd. Vrijwel staande golven ontstaan ​​wanneer golven worden weerkaatst door obstakels. De golf die op de barrière valt en de gereflecteerde golf die ernaartoe loopt, bovenop elkaar, geven een staande golf.

Laten we de vergelijkingen schrijven van twee vlakke golven die zich langs de x-as in tegengestelde richtingen voortplanten:

Als we deze vergelijkingen samenvoegen en het resultaat transformeren met behulp van de formule voor de som van cosinuslijnen, krijgen we

Vergelijking (99.1) is de staande golfvergelijking. Om het te vereenvoudigen, kiezen we de oorsprong zodat het verschil gelijk wordt aan nul, en de oorsprong - zodat de som nul blijkt te zijn.Bovendien vervangen we het golfgetal k door zijn waarde

Dan heeft vergelijking (99.1) de vorm



Uit (99.2) blijkt dat op elk punt van de staande golf oscillaties met dezelfde frequentie optreden als in de tegengolven, en de amplitude hangt af van x:

de trillingsamplitude bereikt zijn maximale waarde. Deze punten worden de antinodes van de staande golf genoemd. Uit (99.3) worden de waarden van de antinode-coördinaten verkregen:

Houd er rekening mee dat de antinode geen enkel punt is, maar een vlak, waarvan de punten de x-coördinaatwaarden hebben die worden bepaald door de formule (99,4).

Op punten waarvan de coördinaten voldoen aan de voorwaarde

de trillingsamplitude verdwijnt. Deze punten worden de knopen van de staande golf genoemd. De punten van het medium die zich op de knooppunten bevinden, oscilleren niet. Knooppuntcoördinaten zijn belangrijk

Een knoop, zoals een buik, is geen enkel punt, maar een vlak, waarvan de punten x-coördinaatwaarden hebben bepaald door formule (99.5).

Uit formules (99.4) en (99.5) volgt dat de afstand tussen aangrenzende knooppunten, evenals de afstand tussen aangrenzende knooppunten, gelijk is aan . De antinodes en nodes zijn ten opzichte van elkaar verschoven met een kwart van de golflengte.

Laten we opnieuw kijken naar vergelijking (99.2). De vermenigvuldiger verandert van teken bij het passeren van nul. In overeenstemming hiermee verschilt de fase van oscillaties aan weerszijden van het knooppunt met. Dit betekent dat de punten die aan weerszijden van het knooppunt liggen in tegenfase oscilleren. Alle punten tussen twee aangrenzende knooppunten oscilleren in fase (d.w.z. in dezelfde fase). Op afb. 99,1 gegeven een reeks "snapshots" afwijkingen van punten van de evenwichtspositie.

De eerste "foto" komt overeen met het moment waarop de afwijkingen hun grootste absolute waarde bereiken. Daaropvolgende "foto's" werden met tussenpozen van een kwart genomen. De pijlen geven de deeltjessnelheden weer.

Differentiërende vergelijking (99.2) een keer met betrekking tot t en een andere keer met betrekking tot x, vinden we uitdrukkingen voor de deeltjessnelheid en voor de vervorming van het medium:



Vergelijking (99,6) beschrijft een staande golf van snelheid, en (99,7) - een staande golf van vervorming.

Op afb. 99,2 "snapshots" van verplaatsing, snelheid en vervorming voor tijdsmomenten 0 en worden vergeleken. Uit de grafieken blijkt dat de knopen en buikpunten van de snelheid samenvallen met de knopen en buikpunten van de verplaatsing; de knooppunten en knooppunten van de vervorming vallen respectievelijk samen met de knooppunten en knooppunten van de verplaatsing. Terwijl het de maximale waarden bereikt, verdwijnt het, en vice versa.





Dienovereenkomstig wordt de energie van de staande golf tweemaal in een periode ofwel volledig omgezet in potentiaal, voornamelijk geconcentreerd nabij de knooppunten van de golf (waar de antinodes van de vervorming zich bevinden), en vervolgens volledig in kinetische energie, voornamelijk geconcentreerd nabij de antinodes van de golf (waar de antinodes van de snelheid zich bevinden). Als gevolg hiervan is er een overdracht van energie van elk knooppunt naar aangrenzende antinodes en vice versa. De tijdgemiddelde energieflux in elk deel van de golf is gelijk aan nul.

keer bekeken