Bereken de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium. Trapeze
Het gebied van het trapezium. Hartelijk groeten! In deze publicatie gaan we in op deze formule. Waarom is het zoals het is en hoe kun je het begrijpen? Als er een begrip is, dan hoef je het niet te leren. Als je alleen deze formule wilt zien en wat dringend is, dan kun je meteen naar beneden scrollen op de pagina))
Nu in detail en in orde.
Een trapezium is een vierhoek, twee zijden van deze vierhoek zijn evenwijdig, de andere twee niet. Degenen die niet parallel zijn, zijn de basis van het trapezium. De andere twee worden kanten genoemd.
Als de zijden gelijk zijn, wordt het trapezium gelijkbenig genoemd. Als een van de zijden loodrecht op de basis staat, wordt zo'n trapezium rechthoekig genoemd.
BIJ klassieke vorm het trapezium wordt als volgt weergegeven - de grotere basis bevindt zich respectievelijk onderaan, de kleinere bovenaan. Maar niemand verbiedt het af te beelden en vice versa. Dit zijn de schetsen:
Het volgende belangrijke concept.
De middenlijn van een trapezium is een segment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt. De middenlijn loopt evenwijdig aan de basis van het trapezium en is gelijk aan hun halve som.
Laten we nu dieper graven. Waarom precies?
Overweeg een trapezium met bases a en b en met de middelste lijn ik, en voer enkele aanvullende constructies uit: trek rechte lijnen door de bases en loodlijnen door de uiteinden van de middellijn totdat ze de bases kruisen:
*Letteraanduidingen van hoekpunten en andere punten zijn niet opzettelijk ingevoerd om onnodige aanduidingen te voorkomen.
Kijk, driehoeken 1 en 2 zijn gelijk volgens het tweede teken van gelijkheid van driehoeken, driehoeken 3 en 4 zijn hetzelfde. Uit de gelijkheid van driehoeken volgt de gelijkheid van de elementen, namelijk de benen (ze zijn respectievelijk in blauw en rood aangegeven).
Nu aandacht! Als we mentaal de blauwe en rode segmenten van de onderste basis "afsnijden", dan hebben we een segment (dit is de zijde van de rechthoek) gelijk aan de middellijn. Verder, als we de afgesneden blauwe en rode segmenten "lijmen" aan de bovenste basis van het trapezium, dan krijgen we ook een segment (dit is ook de zijkant van de rechthoek) gelijk aan de middellijn van het trapezium.
Ik snap het? Het blijkt dat de som van de basen gelijk zal zijn aan de twee medianen van het trapezium:
Zie een andere uitleg
Laten we het volgende doen - bouw een rechte lijn die door de onderste basis van de trapezium gaat en een rechte lijn die door de punten A en B gaat:
We krijgen driehoeken 1 en 2, ze zijn gelijk in zij- en aangrenzende hoeken (het tweede teken van gelijkheid van driehoeken). Dit betekent dat het resulterende segment (in de schets is het blauw gemarkeerd) gelijk is aan de bovenste basis van het trapezium.
Beschouw nu een driehoek:
*Middellijn van dit trapezium en midden lijn driehoeken overeenkomen.
Het is bekend dat de driehoek gelijk is aan de helft van de basis evenwijdig eraan, dat wil zeggen:
Oké, snap het. Nu over het gebied van de trapezium.
Formule trapeziumoppervlak:
Ze zeggen: de oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het product van de helft van de som van de bases en hoogte.
Dat wil zeggen, het blijkt dat het gelijk is aan het product van de middellijn en hoogte:
Je hebt waarschijnlijk al gemerkt dat dit duidelijk is. Geometrisch kan dit als volgt worden uitgedrukt: als we driehoeken 2 en 4 mentaal van het trapezium afsnijden en op respectievelijk driehoeken 1 en 3 plaatsen:
Dan krijgen we een rechthoek in oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van onze trapezium. Het gebied van deze rechthoek is gelijk aan het product van de middellijn en hoogte, dat wil zeggen, we kunnen schrijven:
Maar het gaat hier natuurlijk niet om schriftelijk, maar om begrip.
Download (bekijk) het materiaal van het artikel in *pdf-formaat
Dat is alles. Veel succes!
Met vriendelijke groet, Alexander.
Om zelfverzekerd te zijn en problemen in meetkundelessen met succes op te lossen, is het niet voldoende om formules te leren. Ze moeten eerst begrepen worden. Bang zijn, en nog meer formules haten, is niet productief. In dit artikel wordt toegankelijke taal geanalyseerd verschillende manieren het gebied van een trapezium vinden. Voor een betere assimilatie van de bijbehorende regels en stellingen, zullen we wat aandacht besteden aan de eigenschappen ervan. Dit zal u helpen begrijpen hoe de regels werken en in welke gevallen bepaalde formules moeten worden toegepast.
Definieer een trapezium
Wat is dit cijfer in het algemeen? Een trapezium is een veelhoek met vier hoeken en twee evenwijdige zijden. De andere twee zijden van het trapezium kunnen onder verschillende hoeken worden gekanteld. De parallelle zijden worden basen genoemd en voor niet-parallelle zijden wordt de naam "zijden" of "heupen" gebruikt. Dergelijke cijfers komen vrij vaak voor in het dagelijks leven. De contouren van de trapezium zijn te zien in de silhouetten van kleding, interieurartikelen, meubels, servies en vele anderen. Trapeze gebeurt verschillende soorten: veelzijdig, gelijkbenig en rechthoekig. We zullen hun typen en eigenschappen later in het artikel in meer detail analyseren.
Trapezium eigenschappen
Laten we even stilstaan bij de eigenschappen van deze figuur. De som van de hoeken aan een zijde is altijd 180°. Opgemerkt moet worden dat alle hoeken van een trapezium optellen tot 360 °. De trapezium heeft het concept van een middellijn. Als u de middelpunten van de zijden verbindt met een segment, is dit de middelste lijn. Het is aangewezen m. De middelste lijn heeft belangrijke eigenschappen: het is altijd evenwijdig aan de basen (we herinneren ons dat de bases ook evenwijdig aan elkaar zijn) en gelijk aan hun halve som:
Deze definitie moet worden geleerd en begrepen, want het is de sleutel tot het oplossen van veel problemen!
Bij de trapezium kun je altijd de hoogte naar de basis verlagen. Een hoogte is een loodlijn, vaak aangeduid met het symbool h, die van elk punt op een basis naar een andere basis of de verlenging ervan wordt getrokken. De middellijn en hoogte helpen u het gebied van de trapezium te vinden. Dergelijke taken komen het meest voor in de cursus meetkunde van de school en komen regelmatig voor tussen controle- en examenpapieren.
De eenvoudigste formules voor het gebied van een trapezium
Laten we de twee meest populaire en eenvoudige formules analyseren om het gebied van een trapezium te vinden. Het volstaat om de hoogte te vermenigvuldigen met de helft van de som van de basen om gemakkelijk te vinden wat u zoekt:
S = h*(a + b)/2.
In deze formule duiden a, b de bases van het trapezium aan, h - de hoogte. Voor de leesbaarheid zijn in dit artikel vermenigvuldigingstekens gemarkeerd met het symbool (*) in formules, hoewel in officiële naslagwerken het vermenigvuldigingsteken meestal wordt weggelaten.
Overweeg een voorbeeld.
Gegeven: een trapezium met twee basen gelijk aan 10 en 14 cm, hoogte is 7 cm Wat is de oppervlakte van het trapezium?
Laten we de oplossing voor dit probleem analyseren. Met behulp van deze formule moet u eerst de halve som van de basen vinden: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Dus de halve som is 12 cm. Nu vermenigvuldigen we de halve som met de hoogte: 12 * 7 \u003d 84. Het gewenste is gevonden. Antwoord: De oppervlakte van een trapezium is 84 vierkante meter. cm.
Seconde beroemde formule stelt dat het gebied van een trapezium gelijk is aan het product van de middellijn en de hoogte van het trapezium. Dat wil zeggen, het volgt eigenlijk uit het vorige concept van de middelste lijn: S=m*h.
Diagonalen gebruiken voor berekeningen
Een andere manier om de oppervlakte van een trapezium te vinden is eigenlijk niet zo moeilijk. Het is verbonden met zijn diagonalen. Volgens deze formule is het nodig om het halfproduct van zijn diagonalen (d 1 d 2) te vermenigvuldigen met de sinus van de hoek ertussen om het gebied te vinden:
S = ½ d 1 d 2 sin a.
Overweeg een probleem dat de toepassing van deze methode laat zien. Gegeven: een trapezium met een diagonale lengte van respectievelijk 8 en 13 cm De hoek a tussen de diagonalen is 30°. Zoek het gebied van het trapezium.
Oplossing. Met behulp van de bovenstaande formule is het gemakkelijk om te berekenen wat nodig is. Zoals je weet, is zonde 30° 0,5. Daarom is S = 8*13*0,5=52. Antwoord: De oppervlakte is 52 vierkante meter. cm.
Op zoek naar het gebied van een gelijkbenige trapezium
Een trapezium kan gelijkbenig (gelijkbenig) zijn. De zijkanten zijn hetzelfde en de hoeken aan de basis zijn gelijk, wat goed wordt geïllustreerd in de figuur. Een gelijkbenig trapezium heeft dezelfde eigenschappen als een regulier trapezium, plus een aantal speciale. In de omgeving van gelijkbenig trapezium een cirkel kan worden beschreven en er kan een cirkel in worden ingeschreven.
Wat zijn de methoden om het gebied van zo'n figuur te berekenen? De onderstaande methode vereist veel rekenwerk. Om het te gebruiken, moet u de waarden van de sinus (sin) en cosinus (cos) van de hoek aan de basis van het trapezium kennen. Voor hun berekeningen zijn Bradis-tabellen of een technische rekenmachine vereist. Hier is de formule:
S= c*zonde a*(a - c* dus a),
waar Met- laterale dij a- hoek aan de onderkant.
Een gelijkbenig trapezium heeft diagonalen van dezelfde lengte. Het omgekeerde is ook waar: als de diagonalen van een trapezium gelijk zijn, dan is het gelijkbenig. Vandaar de volgende formule om de oppervlakte van een trapezium te vinden - het halfproduct van het kwadraat van de diagonalen en de sinus van de hoek ertussen: S = ½ d 2 sin a.
Het gebied van een rechthoekig trapezium vinden
Bekend speciaal geval rechthoekig trapezium. Dit is een trapezium, waarbij één zijde (haar dij) in een rechte hoek aansluit op de basis. Het heeft de eigenschappen van een gewone trapezium. Daarnaast heeft ze een zeer interessante functie. Het verschil van de vierkanten van de diagonalen van zo'n trapezium is gelijk aan het verschil van de vierkanten van zijn basis. Hiervoor worden alle eerder gegeven methoden voor het berekenen van het gebied gebruikt.
Vindingrijkheid toepassen
Er is één truc die kan helpen bij het vergeten van bepaalde formules. Laten we eens nader bekijken wat een trapezium is. Als we het mentaal in delen verdelen, krijgen we bekende en begrijpelijke geometrische vormen: een vierkant of een rechthoek en een driehoek (een of twee). Als u de hoogte en zijkanten van de trapezium kent, kunt u de formules voor het gebied van driehoek en rechthoek gebruiken en vervolgens alle verkregen waarden optellen.
Laten we dit illustreren met het volgende voorbeeld. Gegeven een rechthoekig trapezium. Hoek C = 45°, hoeken A, D zijn 90°. De bovenste basis van het trapezium is 20 cm, de hoogte is 16 cm, het is vereist om het oppervlak van de figuur te berekenen.
Deze figuur bestaat uiteraard uit een rechthoek (als twee hoeken 90° zijn) en een driehoek. Omdat het trapezium rechthoekig is, is de hoogte gelijk aan de zijkant, dat wil zeggen 16 cm.We hebben een rechthoek met zijden van respectievelijk 20 en 16 cm. Beschouw nu een driehoek waarvan de hoek 45° is. We weten dat een zijde ervan 16 cm is, aangezien deze zijde ook de hoogte is van het trapezium (en we weten dat de hoogte in een rechte hoek op de basis valt), daarom is de tweede hoek van de driehoek 90 °. De resterende hoek van de driehoek is dus 45°. Als gevolg hiervan krijgen we een rechthoekige gelijkbenige driehoek, waarin twee zijden hetzelfde zijn. Dit betekent dat de andere kant van de driehoek gelijk is aan de hoogte, dat wil zeggen 16 cm. Het blijft om het gebied van de driehoek en de rechthoek te berekenen en de resulterende waarden toe te voegen.
De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van het product van zijn benen: S = (16*16)/2 = 128. De oppervlakte van een rechthoek is gelijk aan het product van zijn breedte en lengte: S = 20*16 = 320. We hebben de vereiste gevonden: het gebied van de trapezium S = 128 + 320 = 448 sq. Zie je, je kunt jezelf gemakkelijk dubbelchecken met behulp van de bovenstaande formules, het antwoord zal identiek zijn.
We gebruiken de Pick-formule
Ten slotte presenteren we nog een originele formule die helpt om het gebied van een trapezium te vinden. Het heet de Pick-formule. Het is handig om het te gebruiken wanneer het trapezium op geruit papier is getekend. Soortgelijke taken zijn vaak terug te vinden in de materialen van de GIA. Het ziet er zo uit:
S \u003d M / 2 + N - 1,
in deze formule is M het aantal knopen, d.w.z. snijpunten van de lijnen van de figuur met de lijnen van de cel op de randen van de trapezium (oranje stippen in de figuur), N is het aantal knopen binnen de figuur (blauwe stippen). Het is het handigst om het te gebruiken bij het vinden van het gebied van een onregelmatige veelhoek. Hoe groter het arsenaal aan gebruikte methoden, hoe groter de minder fouten en betere resultaten.
Natuurlijk is de gegeven informatie verre van uitputtend de soorten en eigenschappen van een trapezium, evenals methoden om het gebied te vinden. Dit artikel geeft een overzicht van de belangrijkste kenmerken. Bij het oplossen van geometrische problemen is het belangrijk om geleidelijk te handelen, te beginnen met eenvoudige formules en problemen, consequent het begrip te consolideren en naar een ander niveau van complexiteit te gaan.
Door de meest voorkomende formules samen te stellen, kunnen studenten navigeren door de verschillende manieren om het gebied van een trapezium te berekenen en zich beter voor te bereiden op tests en controle werk over dit onderwerp.
In de wiskunde zijn verschillende soorten vierhoeken bekend: vierkant, rechthoek, ruit, parallellogram. Onder hen is een trapezium - een soort convexe vierhoek, waarin twee zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet. De evenwijdige tegenoverliggende zijden worden de bases genoemd en de andere twee worden de zijden van het trapezium genoemd. Het segment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt, wordt de middellijn genoemd. Er zijn verschillende soorten trapezoïden: gelijkbenig, rechthoekig, kromlijnig. Voor elk type trapezium zijn er formules om het gebied te vinden.
Trapezium gebied
Om het gebied van een trapezium te vinden, moet u de lengte van de basis en de hoogte weten. De hoogte van een trapezium is een segment loodrecht op de basis. Laat de bovenste basis a zijn, de onderste basis b en de hoogte h. Dan kun je de oppervlakte S berekenen met de formule:
S = ½ * (a + b) * h
die. neem de helft van de som van de basen vermenigvuldigd met de hoogte.
Je kunt ook de oppervlakte van een trapezium berekenen als je de waarde van de hoogte en de middellijn kent. Laten we de middelste lijn aanduiden - m. Dan
Laten we het probleem ingewikkelder oplossen: we kennen de lengtes van de vier zijden van het trapezium - a, b, c, d. De oppervlakte wordt dan gevonden met de formule:
Als de lengtes van de diagonalen en de hoek ertussen bekend zijn, wordt het gebied als volgt gezocht:
S = ½ * d1 * d2 * sinα
waarbij d met indices 1 en 2 diagonalen zijn. In deze formule wordt de sinus van de hoek gegeven in de berekening.
Met bekende basislengtes a en b en twee hoeken aan de onderste basis, wordt de oppervlakte als volgt berekend:
S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))
Gebied van een gelijkbenige trapezium
Een gelijkbenig trapezium is een speciaal geval van een trapezium. Het verschil is dat zo'n trapezium een convexe vierhoek is met een symmetrieas die door de middelpunten van twee tegenoverliggende zijden gaat. De zijkanten zijn gelijk.
Er zijn verschillende manieren om het gebied van een gelijkbenige trapezium te vinden.
- Door de lengtes van drie zijden. In dit geval komen de lengtes van de zijkanten overeen, daarom worden ze aangegeven met één waarde - c, a en b - de lengtes van de bases:
- Als de lengte van de bovenste basis, de zijkant en de hoek bij de onderste basis bekend zijn, wordt de oppervlakte als volgt berekend:
S = c * sin α * (a + c * cos α)
waarbij a de bovenste basis is, c de zijkant.
- Als in plaats van de bovenste basis de lengte van de onderste basis bekend is - b, wordt het gebied berekend met de formule:
S = c * sin α * (b - c * cos α)
- Als wanneer twee basen en de hoek aan de onderste basis bekend zijn, wordt het gebied berekend met behulp van de tangens van de hoek:
S = ½ * (b2 - a2) * tg α
- Ook wordt het gebied berekend via de diagonalen en de hoek ertussen. In dit geval zijn de diagonalen even lang, dus elk wordt aangegeven met de letter d zonder indices:
S = ½ * d2 * sinα
- Bereken het gebied van de trapezium, kennende de lengte van de zijkant, de middellijn en de hoek aan de onderkant.
Laat de zijkant - c, de middelste lijn - m, de hoek - a, dan:
S = m * c * sinα
Soms kan een cirkel worden ingeschreven in een gelijkzijdige trapezium, waarvan de straal - r zal zijn.
Het is bekend dat een cirkel in elk trapezium kan worden ingeschreven als de som van de lengtes van de basen gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden. Dan wordt het gebied gevonden door de straal van de ingeschreven cirkel en de hoek aan de onderste basis:
S = 4r2 / sinα
Dezelfde berekening wordt gemaakt door de diameter D van de ingeschreven cirkel (trouwens, deze valt samen met de hoogte van het trapezium):
Als we de bases en de hoek kennen, wordt het gebied van een gelijkbenig trapezium als volgt berekend:
S = a*b/sinα
(deze en volgende formules zijn alleen geldig voor trapeziums met een ingeschreven cirkel).
Door de bases en de straal van de cirkel wordt het gebied als volgt gezocht:
Als alleen de bases bekend zijn, wordt de oppervlakte berekend volgens de formule:
Door de bases en de zijlijn wordt het gebied van een trapezium met een ingeschreven cirkel en door de bases en de middellijn - m als volgt berekend:
Oppervlakte van een rechthoekig trapezium
Een trapezium wordt rechthoekig genoemd, waarbij een van de zijden loodrecht op de basis staat. In dit geval valt de lengte van de zijkant samen met de hoogte van het trapezium.
Een rechthoekig trapezium is een vierkant en een driehoek. Nadat je het gebied van elk van de figuren hebt gevonden, tel je de resultaten bij elkaar op en krijg je het totale oppervlak van de figuur.
Ook zijn algemene formules voor het berekenen van het gebied van een trapezium geschikt voor het berekenen van het gebied van een rechthoekig trapezium.
- Als de lengtes van de bases en de hoogte (of loodrechte zijde) bekend zijn, wordt de oppervlakte berekend met de formule:
S = (a + b) * u / 2
Aangezien h (hoogte) de kant kan zijn met. Dan ziet de formule er als volgt uit:
S = (a + b) * c / 2
- Een andere manier om de oppervlakte te berekenen is door de lengte van de middellijn te vermenigvuldigen met de hoogte:
of door de lengte van de zijdelingse loodrechte zijde:
- De volgende berekeningsmethode is door de helft van het product van de diagonalen en de sinus van de hoek ertussen:
S = ½ * d1 * d2 * sinα
Als de diagonalen loodrecht staan, vereenvoudigt de formule tot:
S = ½ * d1 * d2
- Een andere manier om te berekenen is via de halve omtrek (de som van de lengtes van twee tegenoverliggende zijden) en de straal van de ingeschreven cirkel.
Deze formule is geldig voor basen. Als we de lengtes van de zijden nemen, dan is één ervan gelijk aan tweemaal de straal. De formule ziet er als volgt uit:
S = (2r + c) * r
- Als een cirkel is ingeschreven in een trapezium, wordt het gebied op dezelfde manier berekend:
waarbij m de lengte van de middellijn is.
Gebied van een kromlijnig trapezium
Het kromlijnige trapezium is platte figuur, begrensd door de grafiek van een niet-negatieve continue functie y = f(x) gedefinieerd op het segment , de x-as en de rechte lijnen x = a, x = b. In feite zijn twee van zijn zijden evenwijdig aan elkaar (bases), de derde zijde staat loodrecht op de bases en de vierde is een curve die overeenkomt met de grafiek van de functie.
Vierkant kromlijnig trapezium zoek door de integraal volgens de formule van Newton-Leibniz:
Hoe oppervlakten worden berekend verschillende soorten trapezium. Maar naast de eigenschappen van de zijkanten hebben trapezoïden dezelfde eigenschappen van de hoeken. Zoals alle bestaande vierhoeken, is de som interne hoeken trapezium is 360 graden. En de som van de hoeken aangrenzend aan de zijkant is 180 graden.
De praktijk van de USE en GIA van vorig jaar laat zien dat geometrieproblemen voor veel studenten problemen veroorzaken. Je kunt ze gemakkelijk aan als je alle benodigde formules uit je hoofd leert en oefent met het oplossen van problemen.
In dit artikel ziet u formules voor het vinden van het gebied van een trapezium, evenals voorbeelden van problemen met oplossingen. Dezelfde kunnen je tegenkomen in KIM's bij certificeringsexamens of op olympiades. Behandel ze daarom zorgvuldig.
Wat moet je weten over het trapezium?
Laten we om te beginnen niet vergeten dat trapeze een vierhoek wordt genoemd, waarin twee tegenoverliggende zijden, ze worden ook basen genoemd, evenwijdig zijn en de andere twee niet.
Bij een trapezium kan ook de hoogte (loodrecht op de basis) worden weggelaten. De middelste lijn wordt getrokken - dit is een rechte lijn die evenwijdig is aan de basis en gelijk is aan de helft van hun som. Evenals diagonalen die elkaar kunnen kruisen en scherpe en stompe hoeken vormen. Of, in sommige gevallen, in een rechte hoek. Als het trapezium gelijkbenig is, kan er bovendien een cirkel in worden ingeschreven. En beschrijf er een cirkel omheen.
Formules voor trapeziumoppervlakken
Overweeg eerst de standaardformules voor het vinden van het gebied van een trapezium. Manieren om het gebied van gelijkbenige en kromlijnige trapezoïden te berekenen, worden hieronder besproken.
Stel je dus voor dat je een trapezium hebt met basen a en b, waarbij de hoogte h is verlaagd naar de grotere basis. Het berekenen van de oppervlakte van een figuur is in dit geval eenvoudig. Je hoeft alleen de som van de lengtes van de basen door twee te delen en te vermenigvuldigen met de hoogte: S = 1/2(a + b)*h.
Laten we een ander geval nemen: stel dat naast de hoogte, de trapezium een mediaanlijn m heeft. We kennen de formule om de lengte van de middellijn te vinden: m = 1/2(a + b). Daarom kunnen we de formule voor het gebied van een trapezium terecht vereenvoudigen tot de volgende vorm: S = m * h. Met andere woorden, om het gebied van een trapezium te vinden, moet u de middellijn vermenigvuldigen met de hoogte.
Laten we nog een optie bekijken: diagonalen d 1 en d 2 zijn getekend in een trapezium, die elkaar niet onder een rechte hoek α snijden. Om het gebied van zo'n trapezium te berekenen, moet je het product van de diagonalen halveren en vermenigvuldigen wat je krijgt met de zonde van de hoek ertussen: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Overweeg nu de formule voor het vinden van het gebied van een trapezium als er niets over bekend is, behalve de lengtes van al zijn zijden: a, b, c en d. Dit is een omslachtige en gecompliceerde formule, maar het is handig om deze te onthouden voor het geval dat: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.
Trouwens, de bovenstaande voorbeelden zijn ook waar voor het geval je de formule nodig hebt voor het gebied van een rechthoekig trapezium. Dit is een trapezium waarvan de zijkant haaks op de basis aansluit.
gelijkbenig trapezium
Een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn, wordt gelijkbenig genoemd. We zullen verschillende varianten van de formule overwegen voor het gebied van een gelijkbenig trapezium.
De eerste optie: voor het geval dat een cirkel met straal r is ingeschreven in een gelijkbenig trapezium, en de zijkant en de grotere basis een scherpe hoek vormen. Een cirkel kan worden ingeschreven in een trapezium, op voorwaarde dat de som van de lengtes van de basissen gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.
De oppervlakte van een gelijkbenig trapezium wordt als volgt berekend: vermenigvuldig het kwadraat van de straal van de ingeschreven cirkel met vier en deel het geheel door sinα: S = 4r 2 /sinα. Een andere oppervlakteformule is een speciaal geval voor de optie wanneer de hoek tussen de grote basis en de zijkant 30 0 is: S = 8r2.
De tweede optie: deze keer nemen we een gelijkbenige trapezium, waarin bovendien de diagonalen d 1 en d 2 zijn getekend, evenals de hoogte h. Als de diagonalen van een trapezium onderling loodrecht staan, is de hoogte de helft van de som van de basen: h = 1/2(a + b). Dit wetende, is het gemakkelijk om de formule voor het trapeziumvormige gebied die u al kent om te zetten in deze vorm: S = h2.
De formule voor het gebied van een kromlijnig trapezium
Laten we beginnen met te begrijpen: wat is een kromlijnig trapezium. Stel je een coördinatenas en een grafiek voor van een continue en niet-negatieve functie f die niet van teken verandert binnen een bepaald segment op de x-as. Een kromlijnig trapezium wordt gevormd door de grafiek van de functie y \u003d f (x) - bovenaan, de x-as - onderaan (segment) en aan de zijkanten - rechte lijnen getekend tussen de punten a en b en de grafiek van de functie.
Het is onmogelijk om het gebied van zo'n niet-standaard figuur te berekenen met behulp van de bovenstaande methoden. Hier moet je wiskundige analyse toepassen en de integraal gebruiken. Namelijk, de formule van Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In deze formule is F de primitieve van onze functie op het geselecteerde interval. En het gebied van het kromlijnige trapezium komt overeen met de toename van het antiderivaat op een bepaald segment.
Taakvoorbeelden
Om al deze formules beter in je hoofd te krijgen, volgen hier enkele voorbeelden van problemen bij het vinden van de oppervlakte van een trapezium. Het beste is als u eerst de problemen zelf probeert op te lossen en pas daarna het antwoord dat u heeft gekregen met de kant-en-klare oplossing controleert.
Taak 1: Gegeven een trapezium. De grotere basis is 11 cm, de kleinere is 4 cm. Het trapezium heeft diagonalen, de ene 12 cm lang, de andere 9 cm lang.
Oplossing: bouw een trapeziumvormige AMRS. Trek lijn RX door hoekpunt P zodat deze evenwijdig is aan diagonaal MC en lijn AC snijdt in punt X. Je krijgt driehoek APX.
We zullen twee figuren beschouwen die het resultaat zijn van deze manipulaties: de driehoek APX en het parallellogram CMPX.
Dankzij het parallellogram leren we dat PX = MC = 12 cm en CX = MP = 4 cm. Waar kunnen we de zijde AX van de driehoek ARCH berekenen: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.
We kunnen ook bewijzen dat de driehoek ARCH rechthoekig is (pas hiervoor de stelling van Pythagoras toe - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). En bereken het gebied: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.
Vervolgens moet je bewijzen dat de driehoeken AMP en PCX gelijk zijn in oppervlakte. De basis zal de gelijkheid van de kanten MP en CX zijn (reeds bewezen hierboven). En ook de hoogten die je aan deze zijden verlaagt - ze zijn gelijk aan de hoogte van het AMRS-trapezium.
Dit alles stelt u in staat om te beweren dat S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.
Taak #2: Gegeven een trapeziumvormige KRMS. De punten O en E bevinden zich aan de zijkanten, terwijl OE en KS evenwijdig zijn. Het is ook bekend dat de oppervlakten van het trapezium ORME en OXE in de verhouding 1:5 liggen. PM = a en KS = b. Je moet een OE vinden.
Oplossing: Trek een lijn door punt M evenwijdig aan RK, en wijs het snijpunt met OE aan als T. A - het snijpunt van de lijn getrokken door punt E evenwijdig aan RK met de basis van KS.
Laten we nog een notatie introduceren - OE = x. Evenals de hoogte h 1 voor de TME-driehoek en de hoogte h 2 voor de AEC-driehoek (de overeenkomst van deze driehoeken kunt u zelf bewijzen).
We nemen aan dat b > a. De oppervlakten van de trapezoïden ORME en OXE zijn gerelateerd als 1:5, wat ons het recht geeft om de volgende vergelijking op te stellen: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Laten we transformeren en krijgen: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).
Aangezien de driehoeken TME en AEC gelijkvormig zijn, hebben we h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Combineer beide invoeren en krijg: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Dus OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.
Conclusie
Meetkunde is niet de gemakkelijkste van de wetenschappen, maar examentaken zul je zeker aankunnen. De voorbereiding vergt alleen wat geduld. En onthoud natuurlijk alle benodigde formules.
We hebben geprobeerd alle formules voor het berekenen van het gebied van een trapezium op één plek te verzamelen, zodat u ze kunt gebruiken wanneer u zich voorbereidt op examens en het materiaal herhaalt.
Vertel je klasgenoten en vrienden zeker over dit artikel in in sociale netwerken. Laten goede cijfers er komt meer voor het GEBRUIK en GIA!
blog.site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal is een link naar de bron vereist.
Er zijn veel manieren om het gebied van een trapezium te vinden. Gewoonlijk kent een wiskundeleraar verschillende methoden om het te berekenen, laten we er meer in detail op ingaan:
1) 
, waarbij AD en BC de bases zijn en BH de hoogte van het trapezium. Bewijs: teken een diagonaal BD en druk de oppervlakten van driehoeken ABD en CDB uit in termen van het halve product van hun basis en hoogte:
, waarbij DP de uitwendige hoogte in . is
We voegen deze gelijkheden term voor term toe en, aangezien de hoogten van BH en DP gelijk zijn, krijgen we:
Laten we het uit de beugel halen
QED
Gevolg uit de formule voor de oppervlakte van een trapezium:
Aangezien de halve som van de basen gelijk is aan MN - de middellijn van het trapezium, dan
2) Toepassing van de algemene formule voor de oppervlakte van een vierhoek.
De oppervlakte van een vierhoek is de helft van het product van de diagonalen vermenigvuldigd met de sinus van de hoek ertussen
Om het te bewijzen, volstaat het om de trapezium in 4 driehoeken te verdelen, het gebied van elk uit te drukken in termen van "de helft van het product van de diagonalen en de sinus van de hoek ertussen" (het wordt genomen als de hoek , voeg de resulterende uitdrukkingen toe, plaats het uit het haakje en ontbind dit haakje in factoren met behulp van de groeperingsmethode om de gelijkheid met de uitdrukking te krijgen.
3) Diagonale verschuivingsmethode:
Dit is mijn titel. In schoolboeken zal een wiskundeleraar zo'n kopje niet vinden. De beschrijving van de receptie is alleen te vinden in aanvullende leermiddelen als voorbeeld van het oplossen van een probleem. Ik merk op dat de meeste van de interessante en nuttige feiten Planimetrie wiskunde docenten open voor studenten in het proces van doen praktisch werk. Dit is extreem suboptimaal, omdat de student ze moet scheiden in afzonderlijke stellingen en ze "grote namen" moet noemen. Een daarvan is "diagonale verschuiving". Waarover in kwestie?Laten we een rechte lijn trekken evenwijdig aan AC door het hoekpunt B totdat deze de onderste basis in punt E snijdt. In dit geval zal de vierhoek EBCA (per definitie) een parallellogram zijn en daarom BC=EA en EB=AC. Het gaat ons nu om de eerste gelijkheid. Wij hebben:
Merk op dat driehoek BED, waarvan de oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van een trapezium, verschillende andere opmerkelijke eigenschappen heeft:
1) Het gebied is gelijk aan het gebied van een trapezium
2) De gelijkbenige komt gelijktijdig voor met de gelijkbenige van het trapezium zelf
3) De bovenste hoek bij hoekpunt B is gelijk aan de hoek tussen de diagonalen van de trapezium (die heel vaak wordt gebruikt bij problemen) 
4) De mediaan BK is gelijk aan de afstand QS tussen de middelpunten van de basis van het trapezium. Ik kwam onlangs het gebruik van deze eigenschap tegen toen ik een student voorbereidde op de Mekhmat van de Staatsuniversiteit van Moskou met behulp van het leerboek van Tkachuk, versie 1973 (de taak staat onderaan de pagina).
Specialisatie wiskunde bijles.
Soms stel ik taken voor op een heel lastige manier om het vierkant van een trapezium te vinden. Ik schrijf het toe aan speciale bewegingen, omdat de tutor ze in de praktijk zelden gebruikt. Als je je alleen in deel B op het examen wiskunde moet voorbereiden, kun je er niet over lezen. Voor anderen vertel ik je meer. Het blijkt dat het gebied van de trapezium tweemaal het gebied van de driehoek is met hoekpunten aan de uiteinden van de ene kant en het midden van de andere, dat wil zeggen driehoek ABS in de figuur: 
Bewijs: teken hoogten SM en SN in driehoeken BCS en ADS en druk de som van de oppervlakten van deze driehoeken uit:
Aangezien het punt S het middelpunt van CD is, dan (bewijs het zelf) Laten we de som van de oppervlakten van driehoeken vinden:
Aangezien dit bedrag gelijk bleek te zijn aan de helft van het oppervlak van het trapezium, dan - de tweede helft. Ch.t.d.
Ik zou de vorm van het berekenen van het gebied van een gelijkbenige trapezium langs de zijkanten opnemen in de schatkamer van speciale bewegingen van een tutor: waarbij p de halve omtrek van het trapezium is. Ik zal geen bewijs leveren. Anders zit je wiskundeleraar zonder werk :). Kom naar de klas!
Taken voor het gebied van het trapezium:
Opmerking van de wiskundeleraar: De onderstaande lijst is geen methodologische ondersteuning van het onderwerp, het is slechts een kleine selectie van interessante taken voor de bovenstaande methoden.
1) De onderste basis van een gelijkbenig trapezium is 13 en de bovenste is 5. Vind het gebied van de trapezium als de diagonaal loodrecht op de zijkant staat.
2) Zoek de oppervlakte van een trapezium als de basis 2 cm en 5 cm is en de zijkanten 2 cm en 3 cm.
3) In een gelijkbenig trapezium is de grotere basis 11, de zijkant 5 en de diagonaal Vind het gebied van de trapezium.
4) De diagonaal van een gelijkbenig trapezium is 5 en de middellijn is 4. Zoek het gebied.
5) In een gelijkbenig trapezium zijn de basen 12 en 20 en staan de diagonalen onderling loodrecht. Bereken de oppervlakte van een trapezium
6) De diagonaal van een gelijkbenig trapezium maakt een hoek met zijn onderste basis. Zoek het gebied van een trapezium als de hoogte 6 cm is.
7) Het gebied van de trapezium is 20 en een van de zijkanten is 4 cm.Vind de afstand ernaartoe vanaf het midden van de andere kant.
8) De diagonaal van een gelijkbenig trapezium verdeelt het in driehoeken met gebieden 6 en 14. Bepaal de hoogte als de zijde 4 is.
9) In een trapezium zijn de diagonalen 3 en 5, en het segment dat de middelpunten van de bases verbindt is 2. Zoek het gebied van de trapezium (Mekhmat van de Staatsuniversiteit van Moskou, 1970).
Ik koos niet de moeilijkste taken (wees niet bang voor de Mekhmat!) met de verwachting dat ze dat zouden kunnen onafhankelijke oplossing. Kies voor gezondheid! Als u zich moet voorbereiden op het examen in de wiskunde, kunnen de formules voor trapeziumvormige oppervlakten optreden als u niet aan dit proces deelneemt serieuze problemen zelfs met probleem B6 en nog meer met C4. Begin niet met het onderwerp en vraag om hulp in geval van problemen. Een wiskundeleraar helpt je altijd graag.
Kolpakov A.N.
Bijles wiskunde in Moskou, voorbereiding op het examen in Strogino.
