Quy tắc giải phương trình đơn giản. Giải hệ phương trình như thế nào? Các phương pháp giải hệ phương trình
phương trình
Làm thế nào để giải phương trình?
Trong phần này chúng ta sẽ nhớ lại (hoặc nghiên cứu, tùy thuộc vào người bạn chọn) những phương trình cơ bản nhất. Vậy phương trình là gì? Về mặt con người, đây là một loại biểu thức toán học, trong đó có dấu bằng và ẩn số. Thường được biểu thị bằng chữ cái "X". Giải phương trình- đây là tìm các giá trị của x sao cho khi thay thế vào nguyên bản biểu thức sẽ cho chúng ta danh tính chính xác. Hãy để tôi nhắc bạn rằng danh tính là một biểu thức không thể nghi ngờ ngay cả đối với một người hoàn toàn không bị gánh nặng về kiến thức toán học. Như 2=2, 0=0, ab=ab, v.v. Vậy làm thế nào để giải phương trình? Hãy tìm ra nó.
Có đủ loại phương trình (tôi ngạc nhiên phải không?). Nhưng tất cả sự đa dạng vô hạn của chúng chỉ có thể được chia thành bốn loại.
4. Khác.)
Tất nhiên, tất cả những thứ còn lại, hầu hết, vâng...) Điều này bao gồm khối lập phương, hàm mũ, logarit, lượng giác và tất cả các loại khác. Chúng tôi sẽ hợp tác chặt chẽ với họ trong các phần thích hợp.
Tôi sẽ nói ngay rằng đôi khi các phương trình đầu tiên ba loại họ sẽ lừa dối bạn đến mức bạn thậm chí không nhận ra họ... Không có gì. Chúng ta sẽ học cách thư giãn chúng.
Và tại sao chúng ta cần bốn loại này? Và rồi chuyện gì xảy ra Các phương trình tuyến tính giải quyết một cách quảng trường người khác, số hữu tỉ phân số - thứ ba, MỘT nghỉ ngơi Họ không dám chút nào! Chà, không phải là họ không thể quyết định gì cả, mà là tôi đã sai về toán học.) Chỉ là họ có những kỹ thuật và phương pháp đặc biệt của riêng mình.
Nhưng đối với bất kỳ (tôi nhắc lại - đối với bất kì!) các phương trình cung cấp một cơ sở đáng tin cậy và an toàn để giải. Hoạt động ở mọi nơi và luôn luôn. Kem nền này - Nghe có vẻ đáng sợ nhưng nó rất đơn giản. Và rất (Rất!) quan trọng.
Trên thực tế, nghiệm của phương trình bao gồm chính những phép biến đổi này. 99% Trả lời câu hỏi: " Làm thế nào để giải phương trình?" nằm chính xác trong những phép biến đổi này. Gợi ý có rõ ràng không?)
Các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình.
TRONG bất kỳ phương trình nàoĐể tìm ẩn số, bạn cần chuyển đổi và đơn giản hóa ví dụ ban đầu. Và do đó khi thay đổi vẻ bề ngoài bản chất của phương trình không thay đổi. Những phép biến đổi như vậy được gọi là giống hệt nhau hoặc tương đương.
Lưu ý rằng những phép biến đổi này áp dụng cụ thể đối với các phương trình. Ngoài ra còn có các phép biến đổi nhận dạng trong toán học biểu thức.Đây là một chủ đề khác.
Bây giờ chúng ta sẽ lặp lại tất cả, tất cả, tất cả cơ bản các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình.
Cơ bản vì chúng có thể được áp dụng cho bất kì phương trình - tuyến tính, bậc hai, phân số, lượng giác, hàm mũ, logarit, v.v. và như thế.
Chuyển đổi danh tính đầu tiên: bạn có thể cộng (trừ) cả hai vế của bất kỳ phương trình nào bất kì(nhưng là một và giống nhau!) số hoặc biểu thức (bao gồm cả biểu thức có ẩn số!). Điều này không làm thay đổi bản chất của phương trình.
Nhân tiện, bạn liên tục sử dụng phép biến đổi này, bạn chỉ nghĩ rằng bạn đang chuyển một số số hạng từ phần này sang phần khác của phương trình với sự thay đổi dấu. Kiểu:
Trường hợp này rất quen thuộc, chúng ta di chuyển cả hai sang bên phải và chúng ta nhận được:
Thực ra bạn bị lấy đi từ cả hai vế của phương trình là hai. Kết quả là như nhau:
x+2 - 2 = 3 - 2
Di chuyển các thuật ngữ sang trái và phải bằng cách thay đổi dấu chỉ đơn giản là phiên bản rút gọn của phép chuyển đổi nhận dạng đầu tiên. Và tại sao chúng ta lại cần kiến thức sâu sắc như vậy? - bạn hỏi. Không có gì trong các phương trình. Vì Chúa, hãy chịu đựng đi. Chỉ cần đừng quên thay đổi dấu hiệu. Nhưng trong bất bình đẳng, thói quen chuyển dịch có thể dẫn đến ngõ cụt...
Chuyển đổi danh tính thứ hai: cả hai vế của phương trình có thể được nhân (chia) cho cùng một thứ khác không số hoặc biểu thức. Ở đây đã xuất hiện một hạn chế dễ hiểu: nhân với 0 là ngu ngốc và hoàn toàn không thể chia được. Đây là phép biến đổi bạn sử dụng khi giải quyết một điều gì đó hay ho như
Rõ ràng X= 2. Bạn tìm thấy nó bằng cách nào? Bằng cách lựa chọn? Hay nó chỉ mới chợt nhận ra bạn? Để không lựa chọn và không chờ đợi sự hiểu biết sâu sắc, bạn cần hiểu rằng bạn chỉ là chia cả hai vế của phương trình cho 5. Khi chia vế trái (5x), năm số bị giảm đi, để lại X thuần túy. Đó chính xác là những gì chúng tôi cần. Và khi chia vế phải của (10) cho 5 thì kết quả tất nhiên là hai.
Đó là tất cả.
Thật buồn cười, nhưng hai (chỉ hai!) phép biến đổi giống hệt nhau này lại là cơ sở của lời giải mọi phương trình toán học.Ồ! Sẽ rất hợp lý khi xem xét các ví dụ về cái gì và như thế nào, phải không?)
Ví dụ về các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình. Vẫn đề chính.
Hãy bắt đầu với Đầu tiên chuyển đổi nhận dạng. Chuyển trái phải.
Một ví dụ cho những người trẻ tuổi.)
Giả sử chúng ta cần giải phương trình sau:
3-2x=5-3x
Chúng ta hãy nhớ câu thần chú: "có chữ X - ở bên trái, không có chữ X - ở bên phải!" Câu thần chú này là hướng dẫn cách sử dụng phép biến đổi danh tính đầu tiên.) Biểu thức nào có dấu X ở bên phải? 3x? Câu trả lời là sai! Ở bên phải của chúng tôi - 3x! Dấu trừ ba x! Vì vậy, khi di chuyển sang trái, dấu sẽ đổi thành dấu cộng. Nó sẽ bật ra:
3-2x+3x=5
Vì vậy, chữ X đã được thu thập thành một đống. Hãy đi vào những con số. Có số ba ở bên trái. Với dấu hiệu gì? Câu trả lời “không có” không được chấp nhận!) Thực sự, trước mặt ba người, không có gì được rút ra. Và điều này có nghĩa là trước ba cái đó có thêm. Vì thế các nhà toán học đã đồng ý. Không có gì được viết, có nghĩa là thêm. Vì vậy, bộ ba sẽ được chuyển sang vế phải với một điểm trừ. Chúng tôi nhận được:
-2x+3x=5-3
Chỉ còn lại những chuyện vặt vãnh. Ở bên trái - mang những cái tương tự, ở bên phải - đếm. Câu trả lời đến ngay lập tức:
Trong ví dụ này, một lần chuyển đổi danh tính là đủ. Cái thứ hai là không cần thiết. Ờ, được thôi.)
Một ví dụ cho trẻ lớn hơn.)
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.
Trong môn toán lớp 7, lần đầu tiên chúng ta gặp phương trình có hai biến, nhưng chúng chỉ được nghiên cứu trong bối cảnh hệ phương trình có hai ẩn số. Đó là lý do tại sao một loạt các bài toán trong đó các điều kiện nhất định được đưa vào các hệ số của phương trình để giới hạn chúng lại không được xem xét. Ngoài ra, các phương pháp giải các bài toán như “Giải phương trình bằng số tự nhiên hoặc số nguyên” cũng bị bỏ qua, mặc dù trong Tài liệu thi Thống nhất Và trong các kỳ thi tuyển sinh, những vấn đề kiểu này ngày càng gặp phải nhiều hơn.
Phương trình nào sẽ được gọi là phương trình có hai biến?
Vì vậy, ví dụ, các phương trình 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, hoặc xy = 12 là các phương trình hai biến.
Xét phương trình 2x – y = 1. Nó trở thành đúng khi x = 2 và y = 3, vậy cặp giá trị biến này là nghiệm của phương trình đang xét.
Do đó, nghiệm của bất kỳ phương trình nào có hai biến là một tập hợp các cặp có thứ tự (x; y), giá trị của các biến biến phương trình này thành một đẳng thức số thực sự.
Một phương trình có hai ẩn số có thể:
MỘT) có một giải pháp. Ví dụ, phương trình x 2 + 5y 2 = 0 có nghiệm duy nhất (0; 0);
b) có nhiều giải pháp. Ví dụ: (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 có 4 nghiệm: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) không có giải pháp. Ví dụ: phương trình x 2 + y 2 + 1 = 0 không có nghiệm;
G) có vô số giải pháp. Ví dụ: x + y = 3. Nghiệm của phương trình này sẽ là các số có tổng bằng 3. Tập nghiệm của phương trình này có thể viết dưới dạng (k; 3 – k), trong đó k là số thực bất kỳ. con số.
Các phương pháp chính để giải phương trình hai biến là các phương pháp dựa trên biểu thức phân tích nhân tử, cô lập bình phương đầy đủ, sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai, biểu thức giới hạn và phương pháp ước lượng. Phương trình thường được chuyển thành dạng mà từ đó có thể thu được hệ thống tìm các ẩn số.
Nhân tố hóa
Ví dụ 1.
Giải phương trình: xy – 2 = 2x – y.
Giải pháp.
Chúng tôi nhóm các thuật ngữ nhằm mục đích phân tích nhân tử:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Từ mỗi dấu ngoặc ta rút ra một thừa số chung:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Ta có:
y = 2, x – số thực bất kỳ hoặc x = -1, y – số thực bất kỳ.
Như vậy, câu trả lời là tất cả các cặp có dạng (x; 2), x € R và (-1; y), y € R.
Bằng 0 thì không số âm
Ví dụ 2.
Giải phương trình: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Giải pháp.
Phân nhóm:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Bây giờ, mỗi dấu ngoặc có thể được gấp lại bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Tổng của hai biểu thức không âm chỉ bằng 0 nếu 3x – 2 = 0 và 2y – 3 = 0.
Điều này có nghĩa là x = 2/3 và y = 3/2.
Trả lời: (2/3; 3/2).
Phương pháp ước tính
Ví dụ 3.
Giải phương trình: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Giải pháp.
Trong mỗi khung, chúng tôi chọn một hình vuông hoàn chỉnh:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hãy ước tính 
nghĩa của các biểu thức trong ngoặc đơn.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 và (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 thì vế trái của phương trình luôn nhỏ nhất bằng 2. Có thể đẳng thức nếu:
(x + 1) 2 + 1 = 1 và (y – 2) 2 + 2 = 2, tức là x = -1, y = 2.
Trả lời: (-1; 2).
Chúng ta hãy làm quen với một phương pháp khác để giải phương trình với hai biến bậc hai. Phương pháp này bao gồm việc xử lý phương trình như bình phương đối với một biến nào đó.
Ví dụ 4.
Giải phương trình: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Giải pháp.
Giải phương trình dưới dạng phương trình bậc hai của x. Hãy tìm phân biệt:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Phương trình chỉ có nghiệm khi D = 0, tức là nếu y = 4. Ta thay giá trị của y vào phương trình ban đầu và tìm được x = 3.
Trả lời: (3; 4).
Thông thường trong các phương trình có hai ẩn số chúng chỉ ra hạn chế về các biến.
Ví dụ 5.
Giải phương trình ở dạng số nguyên: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Giải pháp.
Viết lại phương trình dưới dạng x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Vế phải của phương trình khi chia cho 5 dư 2. Do đó, x 2 không chia hết cho 5. Nhưng bình phương của a số không chia hết cho 5 thì dư 1 hoặc 4. Như vậy, đẳng thức là không thể và không có nghiệm.
Trả lời: không có rễ.
Ví dụ 6.
Giải phương trình: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Giải pháp.
Hãy làm nổi bật hình vuông hoàn hảo trong mỗi ngoặc:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Vế trái của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 3. Có thể có sự đẳng thức |x| – 2 = 0 và y + 3 = 0. Vậy x = ± 2, y = -3.
Trả lời: (2; -3) và (-2; -3).
Ví dụ 7.
Với mọi cặp số nguyên âm (x;y) thỏa mãn phương trình
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, tính tổng (x + y). Vui lòng cho biết số tiền nhỏ nhất trong câu trả lời của bạn.
Giải pháp.
Hãy chọn các ô vuông hoàn chỉnh:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Vì x và y là số nguyên nên bình phương của chúng cũng là số nguyên. Chúng ta nhận được tổng bình phương của hai số nguyên bằng 37 nếu chúng ta cộng 1 + 36. Do đó:
(x – y) 2 = 36 và (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 và (y + 2) 2 = 36.
Giải các hệ này và xét x và y âm, ta tìm được nghiệm: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Trả lời: -17.
Đừng tuyệt vọng nếu bạn gặp khó khăn khi giải phương trình có hai ẩn số. Với một chút luyện tập, bạn có thể xử lý bất kỳ phương trình nào.
Vẫn còn thắc mắc? Bạn chưa biết cách giải phương trình hai biến?
Để nhận được sự giúp đỡ từ một gia sư, hãy đăng ký.
Bài học đầu tiên là miễn phí!
trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết tới nguồn.
Hướng dẫn
Phương pháp thay thế Biểu thị một biến và thay thế nó vào một phương trình khác. Bạn có thể thể hiện bất kỳ biến nào theo ý của bạn. Ví dụ: biểu thị y từ phương trình thứ hai:
x-y=2 => y=x-2Sau đó thay mọi thứ vào phương trình đầu tiên:
2x+(x-2)=10 Di chuyển mọi thứ không có “x” sang bên phải và tính:
2x+x=10+2
3x=12 Tiếp theo, để có x, hãy chia cả hai vế của phương trình cho 3:
x=4. Vì vậy, bạn đã tìm thấy “x. Tìm "y. Để làm điều này, hãy thay thế “x” vào phương trình mà bạn thể hiện “y”:
y=x-2=4-2=2
y=2.
Hãy kiểm tra. Để làm điều này, thay thế các giá trị kết quả vào các phương trình:
2*4+2=10
4-2=2
Những điều chưa biết đã được tìm thấy một cách chính xác!
Một cách để cộng hoặc trừ các phương trình Loại bỏ bất kỳ biến nào ngay lập tức. Trong trường hợp của chúng tôi, việc này dễ thực hiện hơn với “y.
Vì trong “y” có dấu “+” và ở dấu thứ hai “-”, nên bạn có thể thực hiện thao tác cộng, tức là. gấp bên trái với bên trái và bên phải với bên phải:
2x+y+(x-y)=10+2Chuyển đổi:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Thay thế “x” vào bất kỳ phương trình nào và tìm “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2Bằng phương pháp đầu tiên, bạn có thể thấy rằng chúng đã được tìm thấy chính xác.
Nếu không có các biến được xác định rõ ràng thì cần phải biến đổi một chút các phương trình.
Trong phương trình đầu tiên, chúng ta có “2x”, và trong phương trình thứ hai, chúng ta chỉ có “x”. Để giảm x trong quá trình cộng, nhân phương trình thứ hai với 2:
x-y=2
2x-2y=4Sau đó trừ đi số thứ hai từ phương trình đầu tiên:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Lưu ý rằng nếu có dấu trừ trước dấu ngoặc thì sau khi mở ngoặc hãy đổi thành dấu ngược lại:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
tìm y=2x bằng cách biểu thị từ bất kỳ phương trình nào, tức là
x=4
Video về chủ đề
Mẹo 2: Cách giải phương trình tuyến tính hai biến
phương trình, viết dưới dạng tổng quát ax+bу+c=0, được gọi là phương trình tuyến tính với hai biến. Bản thân một phương trình như vậy chứa vô số nghiệm, vì vậy trong các bài toán, nó luôn được bổ sung một thứ gì đó - một phương trình khác hoặc các điều kiện giới hạn. Tùy theo điều kiện mà bài toán đưa ra, giải phương trình tuyến tính với hai biến nên những cách khác.
Bạn sẽ cần
- - phương trình tuyến tính với hai biến;
- - phương trình thứ hai hoặc điều kiện bổ sung.
Hướng dẫn
Cho hệ hai phương trình tuyến tính, giải nó như sau. Chọn một trong các phương trình có hệ số là biến nhỏ hơn và biểu thị một trong các biến, ví dụ: x. Sau đó thay giá trị chứa y này vào phương trình thứ hai. Trong phương trình thu được sẽ chỉ có một biến y, di chuyển tất cả các phần có y sang bên trái và các phần tự do sang bên phải. Tìm y và thay thế vào bất kỳ phương trình ban đầu nào để tìm x.
Có một cách khác để giải hệ hai phương trình. Nhân một trong các phương trình với một số sao cho hệ số của một trong các biến, chẳng hạn như x, giống nhau trong cả hai phương trình. Sau đó trừ một trong các phương trình còn lại (nếu vế phải không bằng 0 thì nhớ trừ vế phải theo cách tương tự). Bạn sẽ thấy biến x đã biến mất và chỉ còn lại một biến y. Giải phương trình thu được và thay thế giá trị tìm được của y vào bất kỳ đẳng thức ban đầu nào. Tìm x.
Cách thứ ba để giải hệ hai phương trình tuyến tính là dùng đồ thị. Vẽ hệ tọa độ và vẽ đồ thị hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ tọa độ của bạn. Để làm điều này, thay thế hai giá trị x bất kỳ vào phương trình và tìm y tương ứng - đây sẽ là tọa độ của các điểm thuộc đường thẳng. Cách thuận tiện nhất để tìm giao điểm với các trục tọa độ là chỉ cần thay thế các giá trị x=0 và y=0. Tọa độ giao điểm của hai đường này sẽ là nhiệm vụ.
Nếu chỉ có một phương trình tuyến tính trong các điều kiện của bài toán thì bạn đã được cung cấp thêm các điều kiện để qua đó bạn có thể tìm ra lời giải. Hãy đọc kỹ bài toán để tìm ra những điều kiện này. Nếu như biến x và y biểu thị khoảng cách, tốc độ, trọng lượng - thoải mái đặt giới hạn x ≥0 và y ≥0. Rất có thể x hoặc y ẩn số lượng táo, v.v. – thì các giá trị chỉ có thể là . Nếu x là tuổi con thì rõ ràng anh ta không thể lớn hơn cha mình, vì vậy hãy chỉ ra điều này trong điều kiện của bài toán.
Nguồn:
- cách giải phương trình với một biến
Bởi bản thân phương trình với ba không xác định có nhiều nghiệm nên thường được bổ sung bằng hai phương trình hoặc điều kiện nữa. Tùy thuộc vào dữ liệu ban đầu là gì, quá trình đưa ra quyết định sẽ phụ thuộc phần lớn.
Bạn sẽ cần
- - một hệ gồm ba phương trình với ba ẩn số.
Hướng dẫn
Nếu hai trong ba hệ thống chỉ có hai trong số ba ẩn số, hãy thử biểu diễn một số biến theo các biến khác và thay chúng thành phương trình với ba không xác định. Mục tiêu của bạn trong trường hợp này là biến nó thành bình thường phương trình với một người không quen biết. Nếu đây là , thì giải pháp tiếp theo khá đơn giản - thay giá trị tìm được vào các phương trình khác và tìm tất cả các ẩn số khác.
Một số hệ phương trình có thể được trừ từ phương trình này bằng phương trình khác. Xem liệu có thể nhân một trong hoặc một biến để loại bỏ hai ẩn số cùng một lúc hay không. Nếu có cơ hội như vậy thì hãy tận dụng nó, rất có thể giải pháp tiếp theo sẽ không khó. Hãy nhớ rằng khi nhân với một số, bạn phải nhân cả bên trái và bên phải. Tương tự như vậy, khi trừ các phương trình, bạn phải nhớ rằng vế phải cũng phải bị trừ.
Nếu các phương pháp trước đó không hiệu quả, hãy sử dụng Một cách tổng quát nghiệm của bất kỳ phương trình nào có ba không xác định. Để làm điều này, hãy viết lại các phương trình ở dạng a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Bây giờ hãy tạo ma trận các hệ số cho x (A), ma trận ẩn số (X) và ma trận các ẩn số (B). Xin lưu ý rằng bằng cách nhân ma trận các hệ số với ma trận ẩn số, bạn sẽ nhận được ma trận các số hạng tự do, nghĩa là A*X=B.
Tìm ma trận A lũy thừa (-1) bằng cách tìm , lưu ý rằng nó không được bằng 0. Sau đó, nhân ma trận kết quả với ma trận B, kết quả bạn sẽ nhận được ma trận X mong muốn, cho biết tất cả các giá trị.
Bạn cũng có thể tìm nghiệm của hệ ba phương trình bằng phương pháp Cramer. Để làm điều này, hãy tìm định thức bậc ba ∆ tương ứng với ma trận hệ thống. Sau đó lần lượt tìm thêm ba định thức ∆1, ∆2 và ∆3, thay giá trị của các số hạng tự do thay cho giá trị của các cột tương ứng. Bây giờ hãy tìm x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Nguồn:
- Giải phương trình có ba ẩn số
Việc giải một hệ phương trình là một công việc đầy thử thách và thú vị. Làm sao hệ thống phức tạp hơn, càng thú vị khi giải được nó. Thông thường nhất trong toán học Trung học phổ thông Có những hệ phương trình có hai ẩn số, nhưng trong toán học cao hơn có thể có nhiều biến số hơn. Hệ thống có thể được giải quyết bằng một số phương pháp.
Hướng dẫn
Phương pháp phổ biến nhất để giải hệ phương trình là thay thế. Để làm điều này, bạn cần biểu diễn một biến theo một biến khác và thay thế nó bằng biến thứ hai. phương trình hệ thống, do đó dẫn đầu phương trìnhđến một biến. Ví dụ: cho các phương trình sau: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Từ biểu thức thứ hai, thật thuận tiện để biểu thị một trong các biến, di chuyển mọi thứ khác sang bên phải của biểu thức, không quên thay đổi dấu của hệ số: x = 3-y.
Mở ngoặc: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Chúng ta thay giá trị kết quả y vào biểu thức: x=3-y;x=3-1;x=2 .
Trong biểu thức đầu tiên, tất cả các số hạng đều bằng 2, bạn có thể lấy 2 ra khỏi dấu ngoặc để tính chất phân phối của phép nhân: 2*(2x-y-3)=0. Bây giờ cả hai phần của biểu thức có thể được rút gọn bằng số này và sau đó được biểu thị dưới dạng y, vì hệ số mô đun của nó bằng một: -y = 3-2x hoặc y = 2x-3.
Cũng giống như trong trường hợp đầu tiên, chúng ta thay biểu thức này vào biểu thức thứ hai phương trình và chúng ta nhận được: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Thay thế giá trị kết quả vào biểu thức: y=2x -3;y=4-3=1.
Ta thấy hệ số của y giống nhau về giá trị nhưng khác nhau về dấu, do đó, nếu cộng các phương trình này lại, ta sẽ loại bỏ hoàn toàn y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14=0, x=2. Thay giá trị của x vào bất kỳ phương trình nào trong hai phương trình của hệ và nhận được y=1.
Video về chủ đề
Hai phương trình phương trìnhđại diện phương trìnhđộ thứ tư, hình thức chungđược biểu thị bằng biểu thức ax^4 + bx^2 + c = 0. Giải pháp của nó dựa trên việc sử dụng phương pháp thay thế ẩn số. Trong trường hợp này, x^2 được thay thế bằng một biến khác. Vì vậy, kết quả là một hình vuông bình thường phương trình, cần phải giải quyết.
Hướng dẫn
Giải phương trình bậc hai phương trình, là kết quả của sự thay thế. Để làm điều này, trước tiên hãy tính giá trị theo công thức: D = b^2? 4ac. Trong trường hợp này, các biến a, b, c là các hệ số của phương trình của chúng ta.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình hai phương trình. Để làm điều này, lấy căn bậc hai của các giải pháp thu được. Nếu có một nghiệm thì sẽ có hai nghiệm - giá trị dương và âm của căn bậc hai. Nếu có hai nghiệm thì phương trình hai phương trình sẽ có bốn nghiệm.
Video về chủ đề
Một trong phương pháp cổ điển giải hệ phương trình tuyến tính là phương pháp Gauss. Nó bao gồm việc loại bỏ tuần tự các biến, khi một hệ phương trình sử dụng các phép biến đổi đơn giản được chuyển thành hệ phương trình từng bước, từ đó tất cả các biến được tìm thấy một cách tuần tự, bắt đầu từ biến cuối cùng.
Hướng dẫn
Đầu tiên, đưa hệ phương trình về dạng trong đó tất cả các ẩn số đều theo một thứ tự được xác định chặt chẽ. Ví dụ: tất cả các X chưa biết sẽ xuất hiện đầu tiên trên mỗi dòng, tất cả các Y sẽ xuất hiện sau X, tất cả các Z sẽ xuất hiện sau Y, v.v. Không nên có ẩn số ở vế phải của mỗi phương trình. Hãy nhẩm xác định các hệ số đứng trước mỗi ẩn số, cũng như các hệ số ở vế phải của mỗi phương trình.
Hãy phân tích hai loại nghiệm của hệ phương trình:
1. Giải hệ bằng phương pháp thay thế.
2. Giải hệ bằng cách cộng (trừ) từng số hạng các phương trình của hệ.
Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế bạn cần tuân theo một thuật toán đơn giản:
1. Thể hiện. Từ bất kỳ phương trình nào, chúng tôi thể hiện một biến.
2. Thay thế. Chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào một phương trình khác thay vì biến được biểu thị.
3. Giải phương trình thu được với một biến. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.
Để giải quyết hệ thống bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng cần phải:
1. Chọn một biến mà chúng ta sẽ tạo các hệ số giống hệt nhau.
2. Chúng ta cộng hoặc trừ các phương trình, thu được phương trình có một biến.
3. Giải phương trình tuyến tính thu được. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.
Lời giải của hệ là giao điểm của đồ thị hàm số.
Chúng ta hãy xem xét chi tiết giải pháp của các hệ thống bằng cách sử dụng các ví dụ.
Ví dụ 1:
Hãy giải bằng phương pháp thế
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế2x+5y=1 (1 phương trình)
x-10y=3 (phương trình thứ 2)
1. Thể hiện
Có thể thấy rằng trong phương trình thứ hai có một biến x có hệ số bằng 1, nghĩa là dễ dàng biểu diễn biến x từ phương trình thứ hai.
x=3+10y
2.Sau khi biểu thị xong, chúng ta thay 3+10y vào phương trình đầu tiên thay cho biến x.
2(3+10y)+5y=1
3. Giải phương trình thu được với một biến.
2(3+10y)+5y=1 (mở ngoặc)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Giải hệ phương trình là các giao điểm của đồ thị nên ta cần tìm x và y, vì giao điểm gồm có x và y. Hãy tìm x, tại điểm đầu tiên biểu thị nó ta thay y vào.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Theo thông lệ, người ta viết điểm ở vị trí đầu tiên là biến x và ở vị trí thứ hai là biến y.
Trả lời: (1; -0,2)
Ví dụ #2:
Hãy giải bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng.
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng3x-2y=1 (1 phương trình)
2x-3y=-10 (phương trình thứ 2)
1. Chúng ta chọn một biến, giả sử chúng ta chọn x. Trong phương trình đầu tiên, biến x có hệ số 3, trong phương trình thứ hai - 2. Chúng ta cần làm cho các hệ số giống nhau, vì điều này chúng ta có quyền nhân các phương trình hoặc chia cho bất kỳ số nào. Chúng ta nhân phương trình đầu tiên với 2 và phương trình thứ hai với 3 và nhận được tổng hệ số là 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Trừ số thứ hai khỏi phương trình đầu tiên để loại bỏ biến x. Giải phương trình tuyến tính.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Tìm x. Chúng ta thay thế y tìm được vào bất kỳ phương trình nào, giả sử vào phương trình đầu tiên.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Giao điểm sẽ là x=4,6; y=6,4
Trả lời: (4.6; 6.4)
Bạn có muốn chuẩn bị cho kỳ thi miễn phí? Gia sư trực tuyến miễn phí. Không đua đâu.
