Các ví dụ về nhân tố hóa Phân tích đa thức thành nhân tử

Khi giải phương trình và bất đẳng thức, thường cần phân tích nhân tử của đa thức có bậc bằng 3 hoặc cao hơn. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét cách dễ nhất để làm điều này.

Như thường lệ, hãy chuyển sang lý thuyết để được trợ giúp.

Định lý Bezout cho biết số dư khi chia một đa thức cho một nhị thức là .

Nhưng điều quan trọng đối với chúng ta không phải là bản thân định lý mà là hệ quả từ đó:

Nếu số đó là nghiệm của một đa thức thì đa thức đó chia hết cho nhị thức mà không có số dư.

Chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ bằng cách nào đó tìm ra ít nhất một nghiệm của đa thức, sau đó chia đa thức cho , đâu là nghiệm của đa thức. Kết quả là chúng ta thu được một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức ban đầu một đơn vị. Và sau đó, nếu cần, bạn có thể lặp lại quá trình.

Nhiệm vụ này chia thành hai: cách tìm nghiệm của đa thức và cách chia đa thức cho nhị thức.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn những điểm này.

1. Cách tìm nghiệm của đa thức.

Đầu tiên, chúng ta kiểm tra xem các số 1 và -1 có phải là nghiệm của đa thức hay không.

Những sự thật sau đây sẽ giúp chúng ta ở đây:

Nếu tổng của tất cả các hệ số của đa thức bằng 0 thì số đó là nghiệm của đa thức.

Ví dụ: trong một đa thức tổng các hệ số bằng 0: . Thật dễ dàng để kiểm tra nghiệm của một đa thức là gì.

Nếu tổng các hệ số của một đa thức có lũy thừa chẵn bằng tổng các hệ số có lũy thừa lẻ thì số đó là nghiệm của đa thức. Số hạng tự do được coi là hệ số của bậc chẵn, vì , a là số chẵn.

Ví dụ: trong một đa thức, tổng các hệ số của lũy thừa chẵn là: , và tổng các hệ số của lũy thừa lẻ là: . Thật dễ dàng để kiểm tra nghiệm của một đa thức là gì.

Nếu cả 1 và -1 đều không phải là nghiệm của đa thức thì chúng ta tiếp tục.

Đối với đa thức bậc rút gọn (nghĩa là đa thức trong đó hệ số cao nhất - hệ số tại - bằng đơn vị), công thức Vieta là hợp lệ:

Đâu là gốc của đa thức.

Ngoài ra còn có công thức Vieta liên quan đến các hệ số còn lại của đa thức, nhưng chúng tôi quan tâm đến công thức này.

Từ công thức Vieta này suy ra rằng nếu các nghiệm của đa thức là số nguyên thì chúng là ước của số hạng tự do, cũng là số nguyên.

Dựa vào cái này, chúng ta cần phân tích số hạng tự do của đa thức thành các thừa số và tuần tự, từ nhỏ nhất đến lớn nhất, kiểm tra xem thừa số nào là nghiệm của đa thức.

Ví dụ, hãy xem xét đa thức

Các ước số của số hạng tự do: ; ; ;

Tổng các hệ số của đa thức bằng , do đó số 1 không phải là nghiệm của đa thức.

Tổng các hệ số của lũy thừa chẵn:

Tổng các hệ số lũy thừa lẻ:

Vì vậy, số -1 cũng không phải là nghiệm của đa thức.

Hãy kiểm tra xem số 2 có phải là nghiệm của đa thức hay không: do đó số 2 là nghiệm của đa thức. Điều này có nghĩa là, theo định lý Bezout, đa thức chia hết cho một nhị thức không có số dư.

2. Cách chia đa thức thành nhị thức.

Một đa thức có thể được chia thành một nhị thức bằng một cột.

Chia đa thức cho nhị thức bằng cột:

Có một cách khác để chia đa thức cho nhị thức - sơ đồ Horner.

Hãy xem video này để hiểu cách chia một đa thức cho một nhị thức có một cột và sử dụng sơ đồ Horner.

Tôi lưu ý rằng nếu, khi chia cho một cột, một mức độ nào đó của ẩn số bị thiếu trong đa thức ban đầu, chúng ta viết 0 vào vị trí của nó - giống như khi biên soạn bảng cho sơ đồ Horner.

Vì vậy, nếu chúng ta cần chia một đa thức cho một nhị thức và kết quả của phép chia là chúng ta thu được một đa thức, thì chúng ta có thể tìm các hệ số của đa thức bằng sơ đồ Horner:

Chúng ta cũng có thể sử dụng Sơ đồ HornerĐể kiểm tra xem một số đã cho có phải là nghiệm của đa thức hay không: nếu số đó là nghiệm của đa thức thì số dư khi chia đa thức cho bằng 0, tức là ở cột cuối cùng của hàng thứ hai của Sơ đồ Horner chúng ta nhận được 0.

Sử dụng sơ đồ của Horner, chúng ta “một mũi tên trúng hai con chim”: chúng ta đồng thời kiểm tra xem số đó có phải là nghiệm của một đa thức hay không và chia đa thức này cho một nhị thức.

Ví dụ. Giải phương trình:

1. Hãy viết các ước của số hạng tự do và tìm nghiệm của đa thức trong số các ước của số hạng tự do.

Ước của 24:

2. Hãy kiểm tra xem số 1 có phải là nghiệm của đa thức hay không.

Tổng các hệ số của một đa thức nên số 1 là nghiệm của đa thức.

3. Chia đa thức ban đầu thành nhị thức bằng sơ đồ Horner.

A) Hãy viết các hệ số của đa thức ban đầu vào hàng đầu tiên của bảng.

Vì thuật ngữ chứa bị thiếu nên trong cột của bảng cần viết hệ số, chúng ta viết 0. Ở bên trái, chúng ta viết gốc tìm thấy: số 1.

B) Điền vào hàng đầu tiên của bảng.

Ở cột cuối cùng, như mong đợi, chúng ta nhận được số 0; chúng ta chia đa thức ban đầu cho một nhị thức không có phần dư. Các hệ số của đa thức do phép chia được thể hiện bằng màu xanh lam ở hàng thứ hai của bảng:

Dễ dàng kiểm tra được các số 1 và -1 không phải là nghiệm của đa thức

B) Hãy tiếp tục bảng. Hãy kiểm tra xem số 2 có phải là nghiệm của đa thức hay không:

Vì vậy, bậc của đa thức thu được khi chia cho một, nhỏ hơn bậc của đa thức ban đầu, do đó số hệ số và số cột ít hơn một.

Ở cột cuối cùng, chúng ta nhận được -40 - một số không bằng 0, do đó, đa thức chia hết cho một nhị thức có số dư và số 2 không phải là nghiệm của đa thức.

C) Hãy kiểm tra xem số -2 có phải là nghiệm của đa thức hay không. Vì lần thử trước không thành công nên để tránh nhầm lẫn về hệ số, tôi sẽ xóa dòng tương ứng với lần thử này:

Tuyệt vời! Ta có phần dư bằng 0 nên đa thức được chia thành nhị thức không có phần dư nên -2 là nghiệm của đa thức. Các hệ số của đa thức thu được bằng cách chia đa thức cho nhị thức được thể hiện bằng màu xanh lục trong bảng.

Kết quả của phép chia ta được tam thức bậc hai , có thể dễ dàng tìm thấy nghiệm của nó bằng định lý Vieta:

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là:

{}

Trả lời: ( }

Xét phép nhân của đa thức, chúng ta nhớ một số công thức, đó là: công thức cho (a + b)², cho (a – b)², cho (a + b) (a – b), cho (a + b)³ và cho (a – b)³.

Nếu một đa thức nhất định trùng với một trong các công thức này thì có thể phân tích nó thành nhân tử. Ví dụ: chúng ta biết đa thức a2 – 2ab + b2 bằng (a – b)2 [hoặc (a – b) · (a – b), tức là chúng ta đã phân tích được a2 – 2ab + b2 thành 2 thừa số ]; Cũng

Hãy xem ví dụ thứ hai trong số này. Chúng ta thấy rằng đa thức đưa ra ở đây phù hợp với công thức thu được bằng cách bình phương hiệu của hai số (bình phương của số thứ nhất, trừ tích của 2 với số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai): x 6 là bình phương của số thứ nhất, và do đó, chính số thứ nhất là x 3, bình phương của số thứ hai là số hạng cuối cùng của đa thức đã cho, tức là 1, chính số thứ hai, do đó, cũng là 1; tích của 2 với số thứ nhất và số thứ hai là số hạng –2x 3, vì 2x 3 = 2 x 3 1. Do đó, đa thức của chúng ta thu được bằng cách bình phương hiệu của các số x 3 và 1, tức là nó bằng (x3 – 12 . Hãy xem một ví dụ thứ 4 khác. Ta thấy rằng đa thức a 2 b 2 – 25 này có thể coi là hiệu của bình phương của hai số, tức là bình phương của số thứ nhất là a 2 b 2, do đó chính số thứ nhất là ab, bình phương của số thứ hai là 25, tại sao số thứ hai lại là 5. Do đó, đa thức của chúng ta có thể được coi là thu được bằng cách nhân tổng của hai số với hiệu của chúng, tức là

(ab + 5) (ab – 5).

Ví dụ, đôi khi xảy ra trường hợp trong một đa thức nhất định, các số hạng không được sắp xếp theo thứ tự mà chúng ta đã quen thuộc.

9a 2 + b 2 + 6ab – về mặt tinh thần, chúng ta có thể sắp xếp lại số hạng thứ hai và thứ ba, và khi đó chúng ta sẽ thấy rõ rằng tam thức = (3a + b) 2.

... (chúng tôi sắp xếp lại các thuật ngữ thứ nhất và thứ hai trong đầu).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, v.v.

Hãy xem xét một đa thức khác

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Chúng ta thấy rằng số hạng đầu tiên của nó là bình phương của số a và số hạng thứ ba là bình phương của số 2b, nhưng số hạng thứ hai không phải là tích của 2 với số thứ nhất và số thứ hai - tích như vậy sẽ bằng 2 a 2b = 4ab. Vì vậy, không thể áp dụng công thức tính bình phương của tổng hai số cho đa thức này. Nếu ai đó viết rằng a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, thì điều này sẽ không chính xác - người ta phải xem xét cẩn thận tất cả các số hạng của đa thức trước khi áp dụng phân tích nhân tử cho nó bằng các công thức.

40. Sự kết hợp của cả hai kỹ thuật. Đôi khi, khi phân tích đa thức, bạn phải kết hợp cả kỹ thuật lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc và kỹ thuật sử dụng công thức. Dưới đây là ví dụ:

1. 2a 3 – 2ab 2. Trước tiên, hãy lấy thừa số chung 2a ra khỏi ngoặc và chúng ta nhận được 2a (a 2 – b 2). Hệ số a 2 – b 2 lần lượt được phân tích theo công thức thành các thừa số (a + b) và (a – b).

Đôi khi bạn phải sử dụng kỹ thuật phân rã công thức nhiều lần:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Chúng ta thấy rằng thừa số đầu tiên a 2 + b 2 không phù hợp với bất kỳ công thức quen thuộc nào; Hơn nữa, nhớ lại các trường hợp chia đặc biệt (mục 37), chúng ta sẽ chứng minh rằng a 2 + b 2 (tổng bình phương của hai số) không thể phân tích thành nhân tử. Thừa số thứ hai trong số các thừa số a 2 – b 2 (hiệu bình phương của hai số) được phân tách thành thừa số (a + b) và (a – b). Vì thế,

41. Ứng dụng những dịp đặc biệt sự phân chia. Dựa vào đoạn 37, chúng ta có thể viết ngay rằng, ví dụ:

Các khái niệm “đa thức” và “phân tích nhân tử của đa thức” trong đại số rất thường xuyên gặp phải, vì bạn cần biết chúng để dễ dàng thực hiện các phép tính với số lớn có nhiều chữ số. Bài viết này sẽ mô tả một số phương pháp phân rã. Tất cả đều khá đơn giản để sử dụng, bạn chỉ cần chọn đúng cho từng trường hợp cụ thể.

Khái niệm đa thức

Đa thức là tổng của các đơn thức, tức là các biểu thức chỉ chứa phép nhân.

Ví dụ: 2 * x * y là đơn thức, nhưng 2 * x * y + 25 là đa thức gồm 2 đơn thức: 2 * x * y và 25. Những đa thức như vậy được gọi là nhị thức.

Đôi khi, để thuận tiện cho việc giải các ví dụ với các giá trị đa giá trị, một biểu thức cần được chuyển đổi, chẳng hạn như phân tách thành một số thừa số nhất định, tức là các số hoặc biểu thức mà giữa đó hành động nhân được thực hiện. Có một số cách phân tích một đa thức. Điều đáng để xem xét chúng, bắt đầu từ nguyên thủy nhất, được sử dụng ở trường tiểu học.

Phân nhóm (ghi ở dạng tổng quát)

Công thức phân tích đa thức bằng phương pháp nhóm nhìn chung trông như thế này:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Cần phải nhóm các đơn thức sao cho mỗi nhóm có một ước chung. Trong ngoặc đầu tiên đây là hệ số c và trong ngoặc thứ hai - d. Điều này phải được thực hiện để sau đó di chuyển nó ra khỏi khung, từ đó đơn giản hóa việc tính toán.

Thuật toán phân rã sử dụng một ví dụ cụ thể

Ví dụ đơn giản nhất về phân tích nhân tử một đa thức bằng phương pháp nhóm được đưa ra dưới đây:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Trong khung đầu tiên, bạn cần lấy các thuật ngữ với hệ số a, hệ số này sẽ phổ biến và trong khung thứ hai - với hệ số b. Hãy chú ý đến dấu + và - trong biểu thức đã hoàn thành. Chúng ta đặt trước đơn thức dấu có trong biểu thức ban đầu. Nghĩa là, bạn cần làm việc không phải với biểu thức 25a mà với biểu thức -25. Dấu trừ dường như được “dán” vào biểu thức đằng sau nó và luôn được tính đến khi tính toán.

Trong bước tiếp theo, bạn cần lấy hệ số nhân, một hệ số phổ biến, ra khỏi dấu ngoặc. Đây chính xác là mục đích của việc phân nhóm. Đặt ngoài ngoặc có nghĩa là viết trước ngoặc (bỏ dấu nhân) tất cả các thừa số được lặp lại chính xác trong tất cả các số hạng trong ngoặc. Nếu không có 2 mà là 3 số hạng trở lên trong ngoặc thì mỗi số hạng đó phải chứa nhân tử chung, nếu không thì không thể lấy ra khỏi ngoặc.

Trong trường hợp của chúng tôi, chỉ có 2 thuật ngữ trong ngoặc. Hệ số nhân tổng thể có thể nhìn thấy ngay lập tức. Trong ngoặc đầu tiên là a, trong ngoặc thứ hai là b. Ở đây bạn cần chú ý đến các hệ số kỹ thuật số. Trong ngoặc đầu tiên, cả hai hệ số (10 và 25) đều là bội số của 5. Điều này có nghĩa là không chỉ a mà cả 5a cũng có thể được đưa ra khỏi ngoặc. Trước dấu ngoặc viết 5a rồi chia từng số hạng trong ngoặc cho ước số chung đã lấy ra, đồng thời ghi thương trong ngoặc, không quên dấu + và - Làm tương tự với dấu ngoặc thứ hai, lấy ra 7b, cũng như bội số của 14 và 35 của 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Chúng ta có 2 số hạng: 5a(2c - 5) và 7b(2c - 5). Mỗi trong số chúng chứa một thừa số chung (toàn bộ biểu thức trong ngoặc ở đây giống nhau, nghĩa là nó là một thừa số chung): 2c - 5. Nó cũng cần được đưa ra khỏi ngoặc, tức là vẫn giữ nguyên các số hạng 5a và 7b trong khung thứ hai:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Vì vậy, biểu thức đầy đủ là:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Như vậy, đa thức 10ac + 14bc - 25a - 35b được phân tích thành 2 thừa số: (2c - 5) và (5a + 7b). Dấu nhân giữa chúng có thể được bỏ qua khi viết

Đôi khi có những biểu thức thuộc loại này: 5a 2 + 50a 3, ở đây bạn có thể bỏ dấu ngoặc không chỉ a hoặc 5a mà thậm chí cả 5a 2. Bạn phải luôn cố gắng đưa thừa số chung lớn nhất ra khỏi ngoặc. Trong trường hợp của chúng ta, nếu chúng ta chia mỗi số hạng cho một thừa số chung, chúng ta sẽ nhận được:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(khi tính thương của một số lũy thừa có cơ số bằng nhau thì cơ số được giữ nguyên và số mũ bị trừ). Do đó, đơn vị vẫn nằm trong ngoặc (trong mọi trường hợp, bạn không quên viết đơn vị nếu bạn lấy một trong các số hạng ra khỏi ngoặc) và thương của phép chia: 10a. Hóa ra là:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Công thức bình phương

Để dễ tính toán, một số công thức đã được rút ra. Chúng được gọi là công thức nhân viết tắt và được sử dụng khá thường xuyên. Những công thức này giúp phân tích các đa thức có bậc. Đây là một cái khác cách hiệu quả nhân tố hóa. Vậy họ đây:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - một công thức được gọi là "bình phương của tổng", vì khi phân tích thành bình phương, tổng các số trong ngoặc được lấy, nghĩa là giá trị của tổng này được nhân với chính nó 2 lần, và do đó là một số nhân.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - công thức tính bình phương của hiệu, nó tương tự như công thức trước. Kết quả là sự khác biệt, được đặt trong ngoặc đơn, chứa trong lũy ​​thừa bình phương.
• a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)- đây là công thức tính hiệu của các bình phương, vì ban đầu đa thức bao gồm 2 bình phương của các số hoặc biểu thức, giữa đó thực hiện phép trừ. Có lẽ trong số ba cái được đề cập, nó được sử dụng thường xuyên nhất.

Ví dụ về tính toán sử dụng công thức bình phương

Việc tính toán đối với họ khá đơn giản. Ví dụ:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - Sử dụng công thức “bình phương tổng”.
2. 25x2 là bình phương của 5x. 20xy là tích kép của 2*(5x*2y) và 4y 2 là bình phương của 2y.
3. Do đó, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Đa thức nàyđược phân tích thành 2 thừa số (các thừa số giống nhau nên viết dưới dạng biểu thức lũy thừa bình phương).

Các hành động sử dụng công thức sai phân bình phương được thực hiện tương tự như vậy. Công thức còn lại là hiệu bình phương. Ví dụ về công thức này rất dễ xác định và tìm thấy trong số các biểu thức khác. Ví dụ:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Vì 25a 2 = (5a) 2 và 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Vì 36x 2 = (6x) 2, và 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b)(c + 13b). Vì 169b 2 = (13b) 2

Điều quan trọng là mỗi số hạng là bình phương của một biểu thức nào đó. Sau đó, đa thức này phải được phân tích thành thừa số bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương. Đối với điều này, không nhất thiết cấp độ thứ hai phải cao hơn con số. Có những đa thức chứa bậc lớn nhưng vẫn phù hợp với các công thức này.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

TRONG trong ví dụ này và 8 có thể được biểu diễn dưới dạng (a 4) 2, nghĩa là bình phương của một biểu thức nhất định. 25 là 5 2, và 10a là 4 - đây là tích kép của các số hạng 2 * a 4 * 5. Nghĩa là, biểu thức này, mặc dù có sự hiện diện của độ với số mũ lớn, nhưng có thể được phân tách thành 2 thừa số để sau này có thể làm việc với chúng.

Công thức khối

Các công thức tương tự tồn tại cho phân tích nhân tử đa thức chứa lập phương. Chúng phức tạp hơn một chút so với những hình vuông:

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)- công thức này được gọi là tổng của các khối, vì ở dạng ban đầu, đa thức là tổng của hai biểu thức hoặc số nằm trong một khối.
• a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2) - một công thức giống với công thức trước đó được gọi là hiệu của các hình khối.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - khối của một tổng, là kết quả của phép tính, tổng các số hoặc biểu thức được đặt trong ngoặc và nhân với chính nó 3 lần, nghĩa là nằm trong một khối
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - công thức được biên soạn tương tự với công thức trước, chỉ thay đổi một số dấu của phép toán (cộng và trừ), được gọi là "khối vi phân".

Hai công thức cuối cùng thực tế không được sử dụng cho mục đích phân tích thành nhân tử của một đa thức, vì chúng rất phức tạp và rất hiếm khi tìm thấy các đa thức hoàn toàn tương ứng với cấu trúc này để có thể phân tích thành nhân tử bằng các công thức này. Nhưng bạn vẫn cần phải biết chúng, vì chúng sẽ được yêu cầu khi thao tác theo hướng ngược lại - khi mở dấu ngoặc đơn.

Ví dụ về công thức khối

Hãy xem một ví dụ: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Những con số khá đơn giản được lấy ở đây, nên bạn có thể thấy ngay rằng 64a 3 là (4a) 3, và 8b 3 là (2b) 3. Như vậy, đa thức này được khai triển theo công thức hiệu của lập phương thành 2 thừa số. Các hành động sử dụng công thức tính tổng các khối được thực hiện bằng cách tương tự.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng không phải tất cả đa thức đều có thể khai triển được ít nhất một cách. Nhưng có những biểu thức chứa lũy thừa lớn hơn hình vuông hoặc hình lập phương nhưng chúng cũng có thể được mở rộng thành dạng nhân viết tắt. Ví dụ: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Ví dụ này chứa nhiều nhất là mức độ thứ 12. Nhưng thậm chí nó có thể được phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng công thức tổng lập phương. Để làm điều này, bạn cần tưởng tượng x 12 là (x 4) 3, tức là lập phương của một biểu thức nào đó. Bây giờ, thay vì a, bạn cần thay thế nó trong công thức. Vâng, biểu thức 125y 3 là lập phương 5y. Tiếp theo, bạn cần soạn sản phẩm theo công thức và thực hiện các phép tính.

Lúc đầu, hoặc trong trường hợp nghi ngờ, bạn luôn có thể kiểm tra bằng phép nhân nghịch đảo. Bạn chỉ cần mở dấu ngoặc đơn trong biểu thức kết quả và thực hiện các hành động có thuật ngữ tương tự. Phương pháp này áp dụng cho tất cả các phương pháp rút gọn được liệt kê: cả khi làm việc với một thừa số chung và nhóm, cũng như làm việc với các công thức lập phương và lũy thừa bậc hai.

Đa thức nhân tử là một phép biến đổi nhận dạng, do đó đa thức được chuyển thành tích của một số thừa số - đa thức hoặc đơn thức.

Có một số cách phân tích đa thức.

Cách 1. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Phép biến đổi này dựa trên luật phân phối của phép nhân: ac + bc = c(a + b). Bản chất của phép biến đổi là tách nhân tử chung trong hai thành phần đang xét và “rút” nó ra khỏi ngoặc.

Chúng ta hãy phân tích đa thức 28x 3 – 35x 4.

Giải pháp.

1. Tìm ước chung của các phần tử 28x3 và 35x4. Đối với 28 và 35 sẽ là 7; cho x 3 và x 4 – x 3. Nói cách khác, ước chung của chúng ta là 7x3.

2. Chúng ta biểu diễn mỗi phần tử dưới dạng tích của các thừa số, một trong số đó
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Chúng ta lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Cách 2. Sử dụng công thức nhân rút gọn. “Thành thạo” khi sử dụng phương pháp này là nhận thấy một trong các công thức nhân viết tắt trong biểu thức.

Hãy phân tích đa thức x 6 – 1 thành nhân tử.

Giải pháp.

1. Chúng ta có thể áp dụng công thức hiệu bình phương cho biểu thức này. Để làm điều này, hãy tưởng tượng x 6 là (x 3) 2 và 1 là 1 2, tức là 1. Biểu thức sẽ có dạng:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Chúng ta có thể áp dụng công thức tính tổng và hiệu các lập phương cho biểu thức thu được:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Vì thế,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Phương pháp 3. Phân nhóm. Phương pháp nhóm là kết hợp các thành phần của đa thức sao cho dễ thực hiện các phép toán trên chúng (cộng, trừ, trừ một thừa số chung).

Hãy phân tích đa thức x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Giải pháp.

1. Hãy nhóm các thành phần theo cách này: Thứ nhất với thứ 2 và thứ 3 với thứ 4
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Trong biểu thức thu được, chúng ta lấy các thừa số chung ra khỏi ngoặc: x 2 trong trường hợp đầu tiên và 5 trong trường hợp thứ hai.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Ta lấy thừa số chung x – 3 ra khỏi ngoặc và nhận được:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Vì thế,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Hãy bảo đảm vật liệu.

Phân tích đa thức a 2 – 7ab + 12b 2 .

Giải pháp.

1. Chúng ta hãy biểu diễn đơn thức 7ab dưới dạng tổng 3ab + 4ab. Biểu thức sẽ có dạng:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Hãy mở ngoặc và nhận được:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Hãy nhóm các thành phần của đa thức theo cách này: hạng 1 với hạng 2 và hạng 3 với hạng 4. Chúng tôi nhận được:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Hãy lấy các thừa số chung ra khỏi ngoặc:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Lấy thừa số chung (a – 3b) ra khỏi ngoặc:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Vì thế,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.

Chuyện gì đã xảy ra vậy nhân tử hóa?Đây là một cách để biến một ví dụ bất tiện và phức tạp thành một ví dụ đơn giản và dễ thương.) Một kỹ thuật rất mạnh mẽ! Nó được tìm thấy ở mọi bước trong cả toán tiểu học và toán cao hơn.

Những phép biến đổi như vậy trong ngôn ngữ toán học được gọi là các phép biến đổi biểu thức giống hệt nhau. Ai chưa biết thì xem link nhé. Ở đó có rất ít, đơn giản và hữu ích.) Ý nghĩa của bất kỳ sự chuyển đổi danh tính nào là việc ghi lại biểu thức ở dạng khác trong khi vẫn giữ được bản chất của nó.

Nghĩa phân tích thành thừa số cực kỳ đơn giản và rõ ràng. Ngay từ chính cái tên. Bạn có thể quên (hoặc không biết) số nhân là gì, nhưng bạn có thể nhận ra rằng từ này xuất phát từ từ “nhân”?) bao thanh toán có nghĩa là: đại diện cho một biểu thức dưới dạng nhân một cái gì đó với một cái gì đó. Mong toán học và tiếng Nga tha thứ cho tôi...) Chỉ vậy thôi.

Ví dụ: bạn cần mở rộng số 12. Bạn có thể viết một cách an toàn:

Vì vậy, chúng tôi trình bày số 12 dưới dạng phép nhân của 3 với 4. Xin lưu ý rằng các số ở bên phải (3 và 4) hoàn toàn khác với các số ở bên trái (1 và 2). Nhưng chúng ta hiểu rất rõ rằng 12 và 3 4 như nhau. Bản chất của số 12 từ sự biến đổi vẫn chưa thay đổi.

Có thể phân hủy 12 theo cách khác không? Một cách dễ dàng!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Các tùy chọn phân hủy là vô tận.

Phân tích số là một điều hữu ích. Nó giúp ích rất nhiều, chẳng hạn như khi làm việc với rễ cây. Nhưng việc phân tích các biểu thức đại số thành nhân tử không chỉ hữu ích mà còn cần thiết! Chỉ ví dụ:

Đơn giản hóa:

Những người không biết cách phân tích một biểu thức sẽ đứng ngoài cuộc. Những người biết cách - đơn giản hóa và nhận được:

Hiệu quả thật tuyệt vời phải không?) Nhân tiện, giải pháp khá đơn giản. Bạn sẽ thấy cho chính mình dưới đây. Hoặc, ví dụ, nhiệm vụ này:

Giải phương trình:

x 5 - x 4 = 0

Nhân tiện, nó được quyết định trong tâm trí. Sử dụng hệ số hóa. Chúng tôi sẽ giải quyết ví dụ này dưới đây. Trả lời: x 1 = 0; x 2 = 1.

Hoặc, điều tương tự, nhưng đối với những cái cũ hơn):

Giải phương trình:

Trong những ví dụ này tôi đã chỉ ra Mục đích chính nhân tử hóa: đơn giản hóa các biểu thức phân số và giải một số loại phương trình. Tôi khuyên bạn nên nhớ quy tắc ngón tay cái:

Nếu chúng ta có một biểu thức phân số đáng sợ trước mặt, chúng ta có thể thử phân tích tử số và mẫu số. Rất thường phân số được rút gọn và đơn giản hóa.

Nếu chúng ta có một phương trình trước mặt, trong đó ở bên phải có số 0 và ở bên trái - tôi không hiểu là gì, chúng ta có thể thử phân tích vế trái thành nhân tử. Đôi khi nó giúp ích).

Các phương pháp phân tích cơ bản.

Đây là những phương pháp phổ biến nhất:

4. Khai triển tam thức bậc hai.

Những phương pháp này phải được ghi nhớ. Đúng theo thứ tự đó. Các ví dụ phức tạp được kiểm tra cho tất cả những cách có thể sự phân hủy. Và tốt hơn hết bạn nên kiểm tra theo thứ tự để không bị nhầm lẫn... Vậy hãy bắt đầu theo thứ tự.)

1. Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Đơn giản và cách đáng tin cậy. Không có gì xấu đến từ anh ta! Điều đó xảy ra tốt hoặc không hề xảy ra.) Đó là lý do tại sao anh ấy đến trước. Hãy tìm ra nó.

Mọi người đều biết (tôi tin!) quy tắc:

a(b+c) = ab+ac

Hoặc, tổng quát hơn:

a(b+c+d+......) = ab+ac+ad+....

Tất cả các đẳng thức đều hoạt động từ trái sang phải và ngược lại, từ phải sang trái. Bạn có thể viết:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+......)

Đó là toàn bộ ý nghĩa của việc lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Ở bên trái MỘT - số nhân chung cho tất cả các điều khoản. Nhân với mọi thứ tồn tại). Bên phải là nhiều nhất MỘTđã được định vị ngoài dấu ngoặc.

Công dụng thực tế Hãy xem xét phương pháp sử dụng các ví dụ. Lúc đầu, tùy chọn này rất đơn giản, thậm chí còn thô sơ.) Nhưng ở tùy chọn này tôi sẽ lưu ý ( màu xanh lá) Rất điểm quan trọngđối với bất kỳ hệ số hóa nào.

Nhân tử hóa:

à+9x

Cái mà tổng quan số nhân có xuất hiện trong cả hai số hạng không? X, tất nhiên! Chúng tôi sẽ đặt nó ra khỏi dấu ngoặc đơn. Làm thôi nào. Chúng ta viết ngay X ra ngoài dấu ngoặc:

ax+9x=x(

Và trong ngoặc đơn chúng ta viết kết quả của phép chia mỗi kỳ trên chính X này. Theo thứ tự:

Đó là tất cả. Tất nhiên, không cần phải mô tả chi tiết như vậy, việc này được thực hiện trong tâm trí. Nhưng nên hiểu cái gì là cái gì). Chúng tôi ghi vào bộ nhớ:

Chúng ta viết hệ số chung bên ngoài dấu ngoặc. Trong ngoặc đơn, chúng tôi viết kết quả chia tất cả các số hạng cho nhân tử chung này. Theo thứ tự.

Vì vậy chúng tôi đã mở rộng biểu thức à+9x bằng số nhân. Biến nó thành nhân x với (a+9). Tôi lưu ý rằng trong biểu thức ban đầu cũng có phép nhân, thậm chí là hai: a·x và 9·x. Nhưng nó đã không được nhân tố hóa! Bởi vì ngoài phép nhân, biểu thức này còn có phép cộng, dấu “+”! Và trong cách thể hiện x(a+9) Không có gì ngoài phép nhân!

Làm sao vậy!? - Tôi nghe thấy tiếng phẫn nộ của người dân - Và trong ngoặc!?)

Có, có phần bổ sung bên trong dấu ngoặc đơn. Nhưng mẹo ở đây là trong khi dấu ngoặc không được mở, chúng ta coi chúng là như một chữ cái. Và chúng tôi thực hiện tất cả các hành động hoàn toàn bằng dấu ngoặc, như với một chữ cái. Theo nghĩa này, trong cách diễn đạt x(a+9) Không có gì ngoại trừ phép nhân. Đây là toàn bộ quan điểm của yếu tố hóa.

Nhân tiện, bằng cách nào đó có thể kiểm tra xem chúng tôi đã làm đúng mọi thứ chưa? Một cách dễ dàng! Chỉ cần nhân lại những gì bạn đưa ra (x) với dấu ngoặc là đủ và xem nó có hoạt động không nguyên bản sự biểu lộ? Nếu nó hoạt động thì mọi thứ đều tuyệt vời!)

x(a+9)=ax+9x

Đã xảy ra.)

Không có vấn đề gì trong ví dụ nguyên thủy này. Nhưng nếu có một số điều khoản, và thậm chí với dấu hiệu khác nhau... Tóm lại là cứ học sinh thứ ba nào cũng làm sai). Vì thế:

Nếu cần, hãy kiểm tra hệ số hóa bằng phép nhân nghịch đảo.

Nhân tử hóa:

3ax+9x

Chúng tôi đang tìm kiếm một yếu tố chung. Thôi, mọi chuyện rõ ràng với X rồi, có thể lấy ra được. Có thêm nữa không tổng quan nhân tố? Đúng! Đây là số ba. Bạn có thể viết biểu thức như thế này:

3ax+3 3x

Ở đây rõ ràng ngay rằng nhân tử chung sẽ là 3x. Ở đây chúng tôi lấy nó ra:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Trải ra.

Điều gì xảy ra nếu bạn lấy nó ra chỉ có x? Không có gì đặc biệt:

3ax+9x=x(3a+9)

Đây cũng sẽ là một yếu tố hóa. Nhưng trong này quá trình thú vị Theo thông lệ, hãy bố trí mọi thứ càng xa càng tốt trong khi có thể. Ở đây trong ngoặc có cơ hội để đưa ra số ba. Nó sẽ bật ra:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Điều tương tự, chỉ với một hành động bổ sung.) Hãy nhớ:

Khi lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc, chúng ta cố gắng loại bỏ tối đa yếu tố chung

Chúng ta tiếp tục cuộc vui nhé?)

Phân tích biểu thức thành nhân tử:

3akh+9х-8а-24

Chúng ta sẽ lấy đi những gì? Ba, X? Không... Bạn không thể. Tôi nhắc bạn rằng bạn chỉ có thể lấy ra tổng quan số nhân đó là trong tất cả các các điều khoản của cách diễn đạt. Đó là lý do tại sao anh ấy tổng quan.Ở đây không có hệ số nhân như vậy... Cái gì, bạn không cần phải mở rộng nó!? Vâng, chúng tôi đã rất hạnh phúc... Gặp gỡ:

2. Phân nhóm.

Thực sự thì rất khó để gọi tên nhóm một cách độc lập nhân tố hóa. Đó là một cách để thoát ra ví dụ phức tạp.) Chúng ta cần nhóm các thuật ngữ để mọi thứ diễn ra suôn sẻ. Điều này chỉ có thể được hiển thị bằng ví dụ. Vì vậy, chúng ta có biểu thức:

3akh+9х-8а-24

Có thể thấy có một số chữ cái và số thông dụng. Nhưng... Tổng quan không có số nhân nào tồn tại trong mọi điều kiện. Chúng ta đừng mất lòng và chia biểu thức thành từng mảnh. Phân nhóm. Để mỗi mảnh có một nhân tử chung, có điều gì đó cần lấy đi. Làm thế nào để chúng ta phá vỡ nó? Có, chúng tôi chỉ đặt dấu ngoặc đơn.

Hãy để tôi nhắc bạn rằng dấu ngoặc đơn có thể được đặt ở bất cứ đâu và theo cách bạn muốn. Bản chất của ví dụ chỉ là vẫn chưa thay đổi. Ví dụ: bạn có thể làm điều này:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Hãy chú ý đến dấu ngoặc thứ hai! Trước chúng là dấu trừ và 8a Và 24 chuyển biến tích cực! Nếu để kiểm tra, chúng ta mở ngoặc lại, các dấu sẽ thay đổi và chúng ta nhận được nguyên bản sự biểu lộ. Những thứ kia. bản chất của biểu thức trong ngoặc không thay đổi.

Nhưng nếu bạn chỉ chèn dấu ngoặc đơn mà không tính đến việc thay đổi dấu, chẳng hạn như thế này:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

đó sẽ là một sai lầm. Ở bên phải - đã khác sự biểu lộ. Mở dấu ngoặc và mọi thứ sẽ hiển thị. Bạn không cần phải quyết định thêm nữa, vâng...)

Nhưng hãy quay lại phân tích nhân tử. Chúng ta hãy nhìn vào dấu ngoặc đầu tiên (3ax+9x) và chúng tôi nghĩ, liệu chúng tôi có thể rút ra được điều gì không? Vâng, chúng tôi đã giải quyết ví dụ này ở trên, chúng tôi có thể lấy nó 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Hãy nghiên cứu dấu ngoặc thứ hai, chúng ta có thể thêm số tám vào đó:

(8a+24)=8(a+3)

Toàn bộ biểu thức của chúng tôi sẽ là:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Yếu tố? KHÔNG. Kết quả của quá trình phân hủy sẽ là chỉ phép nhân nhưng với chúng tôi dấu trừ sẽ làm hỏng mọi thứ. Nhưng... Cả hai thuật ngữ đều có một yếu tố chung! Cái này (a+3). Không phải vô cớ mà tôi đã nói rằng toàn bộ dấu ngoặc là một chữ cái. Điều này có nghĩa là những dấu ngoặc này có thể được lấy ra khỏi dấu ngoặc. Vâng, đó chính xác là những gì nó nghe.)

Chúng tôi làm như mô tả ở trên. Chúng tôi viết yếu tố chung (a+3), trong ngoặc thứ hai chúng ta viết kết quả chia các số hạng cho (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Tất cả! Không có gì ở bên phải ngoại trừ phép nhân! Điều này có nghĩa là việc phân tích nhân tử đã được hoàn thành thành công!) Đây là:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Hãy để chúng tôi nhắc lại ngắn gọn bản chất của nhóm.

Nếu biểu thức không tổng quan số nhân cho mọi người các thuật ngữ, chúng ta chia biểu thức thành các dấu ngoặc sao cho nhân tử chung nằm trong dấu ngoặc đã từng là. Chúng tôi lấy nó ra và xem điều gì sẽ xảy ra. Nếu bạn may mắn và còn lại các biểu thức hoàn toàn giống nhau trong ngoặc, chúng tôi sẽ di chuyển các dấu ngoặc này ra khỏi ngoặc.

Tôi sẽ nói thêm rằng việc phân nhóm là một quá trình sáng tạo). Nó không phải lúc nào cũng thành công trong lần đầu tiên. Được rồi. Đôi khi bạn phải trao đổi các điều khoản và xem xét các biến thể khác nhau nhóm cho đến khi tìm được nhóm thành công. Điều quan trọng ở đây là không được mất lòng!)

Ví dụ.

Bây giờ, khi đã làm giàu kiến ​​thức cho bản thân, bạn có thể giải được những ví dụ khó.) Ở đầu bài học có ba trong số này...

Đơn giản hóa:

Về bản chất, chúng tôi đã giải quyết được ví dụ này. Chính chúng ta cũng không biết.) Tôi nhắc bạn: nếu chúng ta được cho một phân số khủng khiếp, chúng ta sẽ cố gắng phân tích tử số và mẫu số. Các tùy chọn đơn giản hóa khác đơn giản là không.

Chà, mẫu số ở đây không phải là mở rộng, mà là tử số... Chúng ta đã mở rộng tử số trong bài học rồi! Như thế này:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Chúng ta viết kết quả của phép khai triển vào tử số của phân số:

Theo quy tắc rút gọn phân số (tính chất cơ bản của phân số), chúng ta có thể chia (đồng thời!) tử số và mẫu số cho cùng một số hoặc biểu thức. Phân số từ đây không thay đổi. Vậy ta chia tử số và mẫu số cho biểu thức (3x-8). Và ở đây và ở đó chúng ta sẽ nhận được những cái đó. Kết quả cuối cùng của việc đơn giản hóa:

Tôi muốn đặc biệt nhấn mạnh: có thể giảm một phân số khi và chỉ khi ở tử số và mẫu số, ngoài việc nhân biểu thức không có gì.Đó là lý do tại sao việc chuyển đổi tổng (chênh lệch) thành phép nhân rất quan trọng để đơn giản hóa. Tất nhiên, nếu biểu thức khác biệt, thì sẽ không có gì giảm bớt. Nó sẽ xảy ra. Nhưng việc nhân tố hóa mang lại một cơ hội. Cơ hội không phân hủy này đơn giản là không có.

Ví dụ với phương trình:

Giải phương trình:

x 5 - x 4 = 0

Ta loại bỏ nhân tử chung x 4 ngoài dấu ngoặc. Chúng tôi nhận được:

x 4 (x-1)=0

Chúng tôi nhận thấy rằng tích của các thừa số bằng 0 khi đó và chỉ khi đó, khi bất kỳ trong số chúng bằng không. Nếu nghi ngờ, hãy tìm cho tôi một vài số khác 0 mà khi nhân lên sẽ cho kết quả bằng 0.) Vì vậy, chúng ta viết, trước tiên là thừa số đầu tiên:

Với sự bình đẳng như vậy thì yếu tố thứ hai không liên quan đến chúng ta. Ai cũng có thể nhưng cuối cùng vẫn là con số 0. Số 0 là số nào lũy thừa bốn? Chỉ có số không! Và không có gì khác... Vì vậy:

Chúng tôi đã tìm ra yếu tố đầu tiên và tìm thấy một gốc. Hãy nhìn vào yếu tố thứ hai. Bây giờ chúng ta không quan tâm đến yếu tố đầu tiên nữa.):

Ở đây chúng tôi tìm thấy một giải pháp: x 1 = 0; x 2 = 1. Bất kỳ gốc nào trong số này phù hợp với phương trình của chúng tôi.

Rất lưu ý quan trọng. Xin lưu ý rằng chúng tôi đã giải phương trình từng mảnh một! Mỗi yếu tố đều bằng 0, không phụ thuộc vào các yếu tố khác. Nhân tiện, nếu trong phương trình như vậy không có hai thừa số như của chúng ta mà là ba, năm, bao nhiêu tùy thích, chúng ta sẽ giải tương tự. Từng mảnh một. Ví dụ:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Bất kỳ ai mở ngoặc và nhân mọi thứ sẽ bị mắc kẹt trong phương trình này mãi mãi.) Một học sinh đúng sẽ thấy ngay rằng không có gì ở bên trái ngoại trừ phép nhân và số 0 ở bên phải. Và anh ta sẽ bắt đầu (trong đầu mình!) đánh đồng tất cả các dấu ngoặc theo thứ tự bằng 0. Và anh ấy sẽ nhận được (trong 10 giây!) đáp án chính xác: x 1 = 1; x2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Tuyệt vời phải không?) Cái này giải pháp tao nhã có thể nếu vế trái của phương trình được nhân tố hóa. Bạn có gợi ý không?)

Chà, một ví dụ cuối cùng, dành cho những cái cũ hơn):

Giải phương trình:

Nó có phần giống với phần trước, bạn có nghĩ vậy không?) Tất nhiên. Đã đến lúc nhớ rằng trong đại số lớp bảy, hàm sin, logarit và bất cứ thứ gì khác đều có thể ẩn dưới các chữ cái! Phân tích nhân tử hoạt động xuyên suốt toán học.

Ta loại bỏ nhân tử chung lg 4 x ngoài dấu ngoặc. Chúng tôi nhận được:

log 4 x=0

Đây là một gốc. Hãy nhìn vào yếu tố thứ hai.

Đây là câu trả lời cuối cùng: x 1 = 1; x 2 = 10.

Tôi hy vọng bạn đã nhận ra sức mạnh của việc phân tích nhân tử trong việc đơn giản hóa phân số và giải phương trình.)

Trong bài học này chúng ta đã học về phân tích nhân tố chung và phân nhóm. Vẫn còn phải hiểu các công thức nhân rút gọn và tam thức bậc hai.

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.