Đồ thị của hàm log x cơ số 2. Hàm logarit, tính chất và đồ thị của hàm

13.10.2019

Hàm logarit dựa trên khái niệm logarit và các tính chất của hàm số mũ, trong đó (cơ số của lũy thừa a lớn hơn 0 và không bằng một).

Sự định nghĩa:

Logarit của b theo cơ số a là số mũ mà cơ số a phải được nâng lên để có được b.

Ví dụ:

Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn quy tắc cơ bản: để lấy số dưới logarit, bạn cần nâng cơ số của logarit lên lũy thừa - giá trị của logarit:

Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn những đặc điểm quan trọng và tính chất của hàm số mũ.

Hãy xem xét trường hợp đầu tiên, khi cơ số của bậc lớn hơn một: :

Cơm. 1. Đồ thị hàm mũ, cơ số lũy thừa lớn hơn một

Hàm như vậy tăng đơn điệu trong toàn bộ phạm vi định nghĩa của nó.

Xét trường hợp thứ hai, khi cơ số bậc nhỏ hơn một:

Cơm. 2. Đồ thị của hàm số mũ, cơ số mũ nhỏ hơn một

Hàm như vậy giảm đơn điệu trong toàn bộ phạm vi định nghĩa của nó.

Trong mọi trường hợp, hàm số mũ là đơn điệu, nhận tất cả các giá trị dương và do tính đơn điệu của nó, đạt đến từng giá trị dương cho một giá trị duy nhất của đối số. Nghĩa là hàm đạt đến từng giá trị cụ thể với một giá trị duy nhất của đối số, nghiệm của phương trình là logarit:

Về cơ bản, chúng ta có hàm nghịch đảo. Hàm trực tiếp là khi ta có biến độc lập x (đối số), biến phụ thuộc y (hàm) thì ta đặt giá trị của đối số và từ đó ta lấy giá trị của hàm. Hàm nghịch đảo: đặt biến độc lập là y, vì chúng ta đã nêu rằng mỗi giá trị dương của y tương ứng với một giá trị x duy nhất, định nghĩa của hàm được tôn trọng. Khi đó x trở thành biến phụ thuộc.

Đối với hàm trực tiếp đơn điệu có một hàm nghịch đảo. Bản chất sự phụ thuộc chức năng sẽ không thay đổi nếu chúng tôi đưa ra tên gọi lại:

Chúng tôi nhận được:

Nhưng chúng ta quen với việc ký hiệu biến độc lập bằng x và biến phụ thuộc bằng y:

Như vậy, chúng ta đã thu được hàm logarit.

Chúng tôi sử dụng nguyên tắc chung thu được hàm nghịch đảo cho một hàm số mũ cụ thể.

chức năng được chỉ định tăng đơn điệu (theo tính chất của hàm số mũ), tức là có hàm nghịch đảo với nó. Chúng tôi nhắc bạn rằng để có được nó, bạn cần thực hiện hai bước:

Biểu diễn x theo y:

Hoán đổi x và y:

Vì vậy, chúng ta có hàm nghịch đảo của hàm đã cho: . Như đã biết, đồ thị của hàm số trực tiếp và hàm số nghịch đảo đối xứng qua đường thẳng y=x. Hãy minh họa:

Cơm. 3. Đồ thị hàm số và

Vấn đề này có thể được giải quyết theo cách tương tự và có giá trị đối với bất kỳ cơ sở bằng cấp nào.

Hãy giải quyết vấn đề khi

Hàm đã cho giảm đơn điệu, nghĩa là có hàm nghịch đảo. Hãy hiểu nó:

Biểu diễn x theo y:

Hoán đổi x và y:

Vì vậy, chúng ta có hàm nghịch đảo với hàm đã cho: . Như đã biết, đồ thị của hàm số trực tiếp và hàm số nghịch đảo đối xứng qua đường thẳng y=x. Hãy minh họa:

Cơm. 4. Đồ thị hàm số và

Lưu ý rằng chúng ta thu được hàm logarit dưới dạng nghịch đảo của hàm số mũ.

Hàm thuận và hàm nghịch có nhiều điểm chung nhưng cũng có những khác biệt. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn bằng cách sử dụng các hàm và làm ví dụ.

Cơm. 5. Đồ thị hàm số (trái) và (phải)

Thuộc tính của hàm trực tiếp (số mũ):

Lãnh địa: ;

Phạm vi giá trị: ;

Chức năng tăng lên;

Lồi xuống.

Tính chất của hàm nghịch đảo (logarit):

Lãnh địa: ;

Bộ Giáo dục và Chính sách Thanh niên Cộng hòa Chuvash

Nhà nước tự chủ chuyên nghiệp

cơ sở giáo dục Cộng hòa Chuvash

"Trường Cao đẳng Vận tải Cheboksary và công nghệ xây dựng»

(GAPOU "Trường kỹ thuật Cheboksary TransStroyTech"

Bộ Giáo dục Chuvashia)

Phát triển phương pháp

ODP. 01 Toán học

"Hàm logarit. Thuộc tính và lịch trình"

Cheboksary - 2016

Chú thích giải thích.................................................................................. .......... ……………………….….…3

Căn cứ lý thuyết và thực hiện phương pháp luận.......................................4-10

Phần kết luận…………………………………………………………….......................... ........................ mười một

Các ứng dụng………………………………………………………………………………................... .............................................13

Ghi chú giải thích

Phát triển phương pháp học mô-đun bài học môn “Toán học” về chủ đề “Hàm logarit. Tính chất và đồ thị" từ phần " Căn, lũy thừa và logarit" được biên soạn dựa trên Chương trình làm việc trong toán học và kế hoạch theo chủ đề lịch. Các chủ đề của bài học được kết nối với nhau bởi nội dung và quy định chính.

Mục đích của việc học chủ đề này là tìm hiểu khái niệm hàm logarit, nghiên cứu các tính chất cơ bản của nó, học cách xây dựng đồ thị của hàm logarit và học cách nhìn hình xoắn ốc logarit trong thế giới xung quanh chúng ta.

Tài liệu chương trình cho bài học này dựa trên kiến thức toán học. Việc phát triển phương pháp luận của mô-đun bài học được biên soạn để tiến hành nghiên cứu lý thuyết về chủ đề: “Hàm logarit. Thuộc tính và lịch trình" -1 giờ. Trong giờ học thực hành, học sinh củng cố kiến thức đã học: định nghĩa hàm số, tính chất và đồ thị, phép biến đổi đồ thị, hàm liên tục và hàm tuần hoàn, hàm nghịch đảo và đồ thị của chúng, hàm logarit.

Việc phát triển phương pháp luận nhằm hỗ trợ về mặt phương pháp cho học sinh khi học mô-đun bài học về chủ đề “Hàm logarit. Thuộc tính và lịch trình". Là một buổi ngoại khóa làm việc độc lập học sinh có thể chuẩn bị bằng cách sử dụng nguồn bổ sung thông điệp về chủ đề “Logarit và ứng dụng của chúng trong tự nhiên và công nghệ”, trò chơi ô chữ và câu đố. Kiến thức giáo dục và năng lực chuyên môn có được khi nghiên cứu chủ đề “Hàm logarit, tính chất và đồ thị của chúng” sẽ được áp dụng vào nghiên cứu các phần sau: “Phương trình và bất đẳng thức” và “Nguyên lý giải tích toán học”.

Cấu trúc giáo khoa của bài học:

Chủ thể:« Hàm logarit. Thuộc tính và đồ thị »

Loại hoạt động: Kết hợp.

Mục tiêu bài học:

giáo dục- hình thành kiến thức nắm vững khái niệm hàm logarit, tính chất của hàm logarit; sử dụng đồ thị để giải bài toán.

Phát triển- phát triển hoạt động tinh thần thông qua đặc điểm kỹ thuật, sự phát triển của trí nhớ trực quan, nhu cầu tự giáo dục, thúc đẩy sự phát triển của quá trình nhận thức.

giáo dục- Bồi dưỡng hoạt động nhận thức, tinh thần trách nhiệm, tôn trọng lẫn nhau, hiểu biết lẫn nhau, tự tin; nuôi dưỡng văn hóa giao tiếp; nuôi dưỡng thái độ có ý thức và hứng thú học tập.

Phương tiện giáo dục:

Phát triển phương pháp luận về chủ đề này;

Máy tính cá nhân;

Sách giáo khoa của Sh.A Alimov “Đại số và sự khởi đầu của phân tích” lớp 10-11. Nhà xuất bản "Prosveshcheniye".

Kết nối nội bộ chủ đề: hàm số mũ và hàm logarit.

Kết nối liên ngành:đại số và phân tích toán học.

Học sinhphải biết:

định nghĩa hàm logarit;

tính chất của hàm logarit;

đồ thị của hàm logarit.

Học sinhsẽ có thể:

thực hiện các phép biến đổi biểu thức chứa logarit;

tìm logarit của một số, áp dụng tính chất của logarit khi lấy logarit;

xác định vị trí của một điểm trên đồ thị bằng tọa độ của nó và ngược lại;

áp dụng tính chất của hàm logarit khi dựng đồ thị;

Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.

giáo án

1. Thời điểm tổ chức (1 phút).

2. Xác định mục tiêu, mục đích của bài học. Động lực hoạt động giáo dục học sinh (1 phút).

3. Giai đoạn cập nhật kiến thức, kỹ năng cơ bản (3 phút).

4. Kiểm tra bài tập về nhà(2 phút).

5. Giai đoạn tiếp thu kiến thức mới (10 phút).

6. Giai đoạn củng cố kiến thức mới (15 phút).

7. Theo dõi nội dung đã học trong bài (10 phút).

8. Tóm tắt (2 phút).

9. Giai đoạn thông báo cho học sinh về bài tập về nhà (1 phút).

Trong các buổi học:

1. Thời điểm tổ chức.

Bao gồm việc giáo viên chào lớp, chuẩn bị phòng học và kiểm tra học sinh vắng mặt.

2. Đặt mục tiêu, mục tiêu cho bài học.

Hôm nay chúng ta sẽ nói về khái niệm hàm logarit, vẽ đồ thị của hàm và nghiên cứu các tính chất của nó.

3. Giai đoạn cập nhật kiến thức, kỹ năng cơ bản.

Nó được thực hiện dưới hình thức làm việc trực tiếp với lớp.

Chức năng cuối cùng chúng ta nghiên cứu là gì? Vẽ sơ đồ lên bảng.

Đưa ra định nghĩa về hàm số mũ.

Gốc của một phương trình hàm mũ là gì?

Định nghĩa logarit?

Các tính chất của logarit là gì?

Danh tính logarit chính là gì?

4. Kiểm tra bài tập về nhà.

Học sinh mở vở và trình bày bài tập đã giải. Đặt các câu hỏi nảy sinh khi làm bài tập về nhà.

5. Giai đoạn tiếp thu kiến thức mới.

Giáo viên: Các em mở vở ghi ngày hôm nay và chủ đề của bài “Hàm logarit, tính chất và đồ thị”.

Sự định nghĩa: Hàm logarit là hàm có dạng

Đâu là một số nhất định, .

Chúng ta hãy xem việc vẽ đồ thị của hàm này bằng một ví dụ cụ thể.

Hãy xây dựng đồ thị của hàm số và .

Lưu ý 1: Hàm logarit là hàm nghịch đảo của hàm số mũ, trong đó . Do đó, đồ thị của chúng đối xứng với phân giác của góc tọa độ I và III (Hình 1).

Dựa vào định nghĩa logarit và dạng đồ thị, ta sẽ xác định được tính chất của hàm logarit:

1) Phạm vi định nghĩa: , bởi vì theo định nghĩa logarit x>0.

2) Phạm vi chức năng: .

3) Logarit của một bằng 0, logarit của cơ số bằng một: , .

4) Hàm , tăng theo khoảng (Hình 1).

5) Chức năng , giảm khoảng (Hình 1).

6) Khoảng hằng số của dấu:

Nếu , thì tại ; Tại ;

Nếu , thì tại ;

Lưu ý 2: Đồ thị của hàm logarit bất kỳ luôn đi qua điểm (1; 0).

Định lý: Nếu như , sau đó ở đâu .

6. Giai đoạn củng cố kiến thức mới.

Giáo viên: Chúng ta giải bài số 318 - số 322 (lẻ) (§18 Alimov S.A. “Đại số và sự khởi đầu của phân tích” lớp 10-11).

1) bởi vì chức năng tăng lên.

3), vì hàm số giảm.

1) , bởi vì và .

3) , bởi vì và .

1) , bởi vì , , thì .

3) , vì 10 > 1 nên .

1) giảm

3) tăng lên.

7. Tổng hợp.

- Hôm nay lớp chúng ta đã làm rất tốt! Hôm nay bạn học được điều gì mới trong lớp?

(Loại mới hàm - hàm logarit)

Nêu định nghĩa của hàm logarit.

(Hàm y = logax, (a > 0, a ≠ 1) gọi là hàm logarit)

Làm tốt! Phải! Kể tên các tính chất của hàm logarit.

(miền định nghĩa của hàm, tập hợp các giá trị của hàm, tính đơn điệu, hằng số của dấu)

8. Kiểm soát nội dung học trong bài.

Giáo viên: Cùng tìm hiểu xem bạn đã nắm vững chủ đề “Hàm logarit đến mức nào”. Thuộc tính và lịch trình". Để làm điều này, chúng tôi sẽ viết một bài kiểm tra (Phụ lục 1). Công việc bao gồm bốn nhiệm vụ phải được giải bằng cách sử dụng các thuộc tính của hàm logarit. Bạn có 10 phút để hoàn thành bài kiểm tra.

9. Giai đoạn thông báo cho học sinh về bài tập về nhà.

Viết trên bảng và nhật ký: Alimov S.A. “Đại số và sự khởi đầu của phân tích” lớp 10-11. §18 Số 318 - Số 322 (chẵn)

Phần kết luận

Trong quá trình sử dụng phương pháp phát triển, chúng tôi đã đạt được tất cả các mục tiêu và mục tiêu của mình. Trong quá trình phát triển phương pháp này, tất cả các tính chất của hàm logarit đã được xem xét, nhờ đó học sinh học cách biến đổi các biểu thức chứa logarit và xây dựng đồ thị của hàm logarit. Hoàn thành các nhiệm vụ thực hành giúp củng cố nội dung đã học, đồng thời theo dõi việc kiểm tra kiến thức, kỹ năng sẽ giúp giáo viên và học sinh biết được hiệu quả công việc của mình trong bài học. Phát triển phương pháp cho phép học sinh tiếp thu những thông tin thú vị và mang tính giáo dục về chủ đề này, khái quát hóa và hệ thống hóa kiến thức, vận dụng các tính chất của logarit và hàm logarit khi giải các bài toán khác nhau. phương trình logarit và sự bất bình đẳng.

Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V., Fedorova N. E., Shabunin M. I. dưới sự hướng dẫn khoa học của Viện sĩ Tikhonov A. N. Đại số và những bước đầu phân tích toán học lớp 10 - 11. - M. Giáo dục, 2011.

Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. và những người khác. Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học (cơ bản và cấp độ hồ sơ). 10 lớp - M., 2006.

Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. và những người khác, chủ biên. Zhizhchenko A.B. Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học (cấp độ cơ bản và chuyên sâu). 10 lớp - M., 2005.

Lisichkin V. T. Toán học trong vấn đề có lời giải: sách giáo khoa / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - Tái bản lần thứ 3, đã xóa. - St.Petersburg. [và những người khác]: Lan, 2011 (Arkhangelsk). - 464 giây.

Tài nguyên Internet:

http://school-collection.edu.ru - Sách giáo khoa điện tử “Toán học trong

trường học, thế kỷ XXI."

http://fcior.edu.ru - tài liệu thông tin, đào tạo và kiểm soát.

www.school-collection.edu.ru - Bộ sưu tập tài nguyên giáo dục kỹ thuật số thống nhất.

Các ứng dụng

Lựa chọn 1.

Lựa chọn 2.

Tiêu chí đánh giá:

Điểm “3” (đạt) được cho cho 2 ví dụ hoàn thành đúng bất kỳ.

Điểm “4” (tốt) được cho nếu hoàn thành đúng 3 ví dụ bất kỳ.

Điểm “5” (xuất sắc) được trao cho cả 4 ví dụ hoàn thành đúng.

Trang 1

Hàm logarit (80) thực hiện ánh xạ nghịch đảo toàn bộ mặt phẳng w với một vết cắt thành một dải - i / /: i, một bề mặt Riemann trang vô hạn lên mặt phẳng z - hoàn chỉnh.

Hàm logarit: y logax, trong đó cơ số logarit a là số dương không bằng một.

Hàm logarit đóng vai trò đặc biệt trong việc thiết kế và phân tích các thuật toán nên rất đáng được xem xét chi tiết hơn. Vì chúng ta thường xử lý các kết quả phân tích trong đó hệ số không đổi bị bỏ qua nên chúng ta sử dụng ký hiệu log TV, bỏ qua cơ số. Việc thay đổi cơ số logarit chỉ làm thay đổi giá trị của logarit theo một hệ số không đổi, tuy nhiên, ý nghĩa đặc biệt của cơ số logarit nảy sinh trong một số bối cảnh nhất định.

Hàm logarit là hàm nghịch đảo của hàm số mũ. Đồ thị của nó (Hình 247) thu được từ đồ thị của hàm số mũ (có cùng cơ sở) bằng cách uốn hình vẽ dọc theo đường phân giác của góc tọa độ thứ nhất. Đồ thị của bất kỳ hàm nghịch đảo nào cũng thu được.

Hàm logarit sau đó được giới thiệu là hàm nghịch đảo của hàm số mũ. Các thuộc tính của cả hai hàm có thể dễ dàng suy ra từ những định nghĩa này. Chính định nghĩa này đã nhận được sự đồng tình của Gauss, người đồng thời bày tỏ sự không đồng tình với đánh giá được đưa ra cho ông trong bài đánh giá của tờ Tin tức khoa học Göttingen. Đồng thời, Gauss tiếp cận vấn đề từ góc nhìn rộng hơn da Cunha. Sau này tự giới hạn mình vào việc xem xét các hàm số mũ và logarit trong vùng thực, trong khi Gauss mở rộng định nghĩa của chúng cho các biến phức tạp.

Hàm logarit y logax là hàm đơn điệu trong toàn bộ phạm vi định nghĩa của nó.

Hàm logarit là hàm liên tục và khả vi trong toàn bộ phạm vi định nghĩa của nó.

Hàm logarit tăng đơn điệu nếu a I. Với 0 a 1, hàm logarit cơ số a giảm đơn điệu.

Hàm logarit chỉ được xác định cho giá trị tích cực x và một-một hiển thị khoảng (0; 4 - os.

Hàm logarit y loga x là hàm nghịch đảo của hàm mũ yax.

Hàm logarit: y ogax, trong đó cơ số logarit a là một số dương không bằng một.

Hàm logarit kết hợp tốt với các khái niệm vật lý về bản chất của từ biến polyetylen trong điều kiện tốc độ biến dạng thấp. Về mặt này, chúng trùng với phương trình Andraade, nên đôi khi chúng được sử dụng để tính gần đúng dữ liệu thực nghiệm.

Hàm logarit, hay logarit tự nhiên, và In z, được xác định bằng cách giải phương trình siêu việt g ei đối với u. Trong vùng giá trị thực của x và y, với điều kiện x 0, phương trình này thừa nhận một nghiệm duy nhất.

Phần logarit có tầm quan trọng rất lớn trong môn học ở trường " Phân tích toán học" Các bài toán về hàm logarit dựa trên các nguyên tắc khác với các bài toán về bất đẳng thức và phương trình. Kiến thức về các định nghĩa và tính chất cơ bản của các khái niệm logarit và hàm logarit sẽ đảm bảo giải quyết thành công các vấn đề USE điển hình.

Trước khi chúng ta bắt đầu giải thích hàm logarit là gì, chúng ta nên xem xét định nghĩa của logarit.

Hãy sắp xếp nó ra ví dụ cụ thể: a log a x = x, trong đó a > 0, a ≠ 1.

Các tính chất chính của logarit có thể được liệt kê ở một số điểm:

logarit

Logarit là một phép toán cho phép, bằng cách sử dụng các thuộc tính của một khái niệm, tìm logarit của một số hoặc biểu thức.

Ví dụ:

Hàm logarit và các tính chất của nó

Hàm logarit có dạng

Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng đồ thị của hàm số có thể tăng khi a > 1 và giảm khi 0 ‹ a ‹ 1. Tùy thuộc vào điều này, đường cong hàm số sẽ có dạng này hay dạng khác.

Dưới đây là các tính chất và phương pháp vẽ logarit:

miền xác định của f(x) là tập hợp tất cả các số dương, tức là x có thể lấy bất kỳ giá trị nào từ khoảng (0; + ∞);
Hàm ODZ là tập hợp tất cả các số thực, tức là y có thể bằng bất kỳ số nào trong khoảng (— ∞; +∞);
nếu cơ số của logarit a > 1 thì f(x) tăng trên toàn bộ miền định nghĩa;
nếu cơ số của logarit là 0 ‹ a ‹ 1 thì F giảm;
hàm logarit không chẵn cũng không lẻ;
đường cong đồ thị luôn đi qua điểm có tọa độ (1;0).

Rất dễ dàng để xây dựng cả hai loại biểu đồ; hãy xem quy trình bằng một ví dụ.

Trước tiên, bạn cần nhớ các tính chất của logarit đơn giản và các hàm của nó. Với sự giúp đỡ của họ, bạn cần xây dựng một bảng cho các giá trị cụ thể của x và y. Sau đó, bạn nên đánh dấu các điểm kết quả trên trục tọa độ và nối chúng bằng một đường thẳng. Đường cong này sẽ là đồ thị được yêu cầu.

Hàm logarit là nghịch đảo của hàm số mũ cho bởi y= a x. Để xác minh điều này, chỉ cần vẽ cả hai đường cong trên cùng một trục tọa độ là đủ.

Rõ ràng cả hai đường thẳng đều là ảnh phản chiếu của nhau. Bằng cách dựng đường thẳng y = x, bạn có thể thấy trục đối xứng.

Để nhanh chóng tìm ra đáp án của bài toán, bạn cần tính giá trị các điểm cho y = log 2⁡ x, sau đó chỉ cần di chuyển gốc tọa độ ba vạch chia xuống dọc theo trục OY và 2 vạch chia sang trái dọc theo trục OX.

Để chứng minh, chúng ta hãy xây dựng bảng tính các điểm của đồ thị y = log 2 ⁡(x+2)-3 và so sánh các giá trị thu được với hình vẽ.

Như bạn có thể thấy, tọa độ từ bảng và các điểm trên biểu đồ trùng nhau, do đó việc truyền dọc theo các trục được thực hiện chính xác.

Ví dụ giải các bài toán Thống nhất điển hình

Hầu hết các bài toán kiểm tra có thể chia thành hai phần: tìm kiếm miền định nghĩa, chỉ ra loại hàm số dựa trên hình vẽ đồ thị, xác định hàm số đang tăng/giảm.

Để trả lời nhanh bài tập, cần hiểu rõ f(x) tăng nếu số mũ logarit a > 1, và giảm nếu 0 ‹ a ‹ 1. Tuy nhiên, không chỉ cơ số mà cả đối số cũng có thể ảnh hưởng rất lớn đến hình dạng của đường cong hàm số.

F(x) được đánh dấu bằng dấu kiểm là câu trả lời đúng. Ví dụ 2 và 3 gây nghi ngờ trong trường hợp này. Dấu “-” ở phía trước nhật ký thay đổi từ tăng dần sang giảm dần và ngược lại.

Do đó, đồ thị y=-log 3⁡ x giảm trên toàn bộ miền định nghĩa và y= -log (1/3) ⁡x tăng, mặc dù thực tế là cơ số 0 ‹ a ‹ 1.

Trả lời: 3,4,5.

Trả lời: 4.

Những loại nhiệm vụ này được coi là dễ dàng và được chấm 1-2 điểm.

Nhiệm vụ 3.

Xác định xem hàm số đang giảm hay tăng và chỉ ra miền định nghĩa của nó.

Y = log 0,7 ⁡(0,1x-5)

Vì cơ số của logarit nhỏ hơn một nhưng lớn hơn 0 nên hàm số của x giảm dần. Theo tính chất của logarit, đối số cũng phải lớn hơn 0. Hãy giải bất đẳng thức:

Trả lời: miền định nghĩa D(x) – khoảng (50; + ∞).

Trả lời: 3, 1, trục OX, phải.

Những nhiệm vụ như vậy được xếp vào loại trung bình và được tính từ 3 - 4 điểm.

Nhiệm vụ 5. Tìm phạm vi giá trị cho hàm:

Từ các tính chất của logarit, người ta biết rằng đối số chỉ có thể dương. Do đó, chúng ta sẽ tính toán phạm vi giá trị chấp nhận được của hàm. Để làm được điều này, bạn sẽ cần giải hệ hai bất phương trình.

logarit thực

Logarit của nhật ký số thực Một b có ý nghĩa với src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Các loại logarit được sử dụng rộng rãi nhất là:

Nếu chúng ta coi số logarit là một biến, chúng ta sẽ nhận được hàm logarit, Ví dụ: . Hàm này được xác định ở phía bên phải của trục số: x> 0, liên tục và khả vi ở đó (xem Hình 1).

Của cải

Logarit tự nhiên

Khi đẳng thức là đúng

(1)

Đặc biệt,

Chuỗi này hội tụ nhanh hơn và ngoài ra, vế trái của công thức giờ đây có thể biểu thị logarit của bất kỳ số dương nào.

Mối liên hệ với logarit thập phân: .

Logarit thập phân

Cơm. 2. Thang đo logarit

Logarit cơ số 10 (ký hiệu: lg Một) trước khi phát minh ra máy tính được sử dụng rộng rãi để tính toán. Thang đo logarit thập phân không đều cũng thường được đánh dấu trên thước trượt. Một thang đo tương tự được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, ví dụ:

Hóa học - hoạt động của các ion hydro ().
Lý thuyết âm nhạc - thang đo nốt nhạc, liên quan đến tần số của nốt nhạc.

Thang logarit cũng được sử dụng rộng rãi để xác định số mũ trong quan hệ lũy thừa và hệ số trong số mũ. Trong trường hợp này, đồ thị được xây dựng theo thang logarit dọc theo một hoặc hai trục có dạng đường thẳng, dễ nghiên cứu hơn.

logarit phức

Hàm đa giá trị

bề mặt Riemann

Hàm logarit phức là một ví dụ về bề mặt Riemann; phần ảo của nó (Hình 3) bao gồm số lượng vô hạn cành xoắn lại như hình xoắn ốc. Bề mặt này được kết nối đơn giản; số 0 duy nhất của nó (của bậc đầu tiên) đạt được tại z= 1, điểm số ít: z= 0 và (điểm nhánh có thứ tự vô hạn).

Bề mặt Riemann của logarit là lớp phủ phổ quát cho mặt phẳng phức không có điểm 0.

phác họa lịch sử

logarit thực

Nhu cầu tính toán phức tạp tăng lên nhanh chóng vào thế kỷ 16 và phần lớn khó khăn liên quan đến việc nhân và chia các số có nhiều chữ số. Vào cuối thế kỷ này, gần như đồng thời, một số nhà toán học đã nảy ra ý tưởng: thay thế phép nhân tốn nhiều công sức bằng phép cộng đơn giản, sử dụng các bảng đặc biệt để so sánh các cấp số nhân và cấp số cộng, trong đó cấp số nhân là cấp số ban đầu. Sau đó phép chia tự động được thay thế bằng phép trừ đơn giản hơn và đáng tin cậy hơn rất nhiều. Ông là người đầu tiên công bố ý tưởng này trong cuốn sách của mình “ tích phân số học"Tuy nhiên, Michael Stiefel đã không nỗ lực nghiêm túc để thực hiện ý tưởng của mình.

Vào những năm 1620, Edmund Wingate và William Oughtred đã phát minh ra thước trượt đầu tiên, trước khi máy tính bỏ túi ra đời—một công cụ không thể thiếu của kỹ sư.

Một cách hiểu gần giống với hiện đại về logarit - như phép toán nghịch đảo của lũy thừa - lần đầu tiên xuất hiện với Wallis và Johann Bernoulli, và cuối cùng được Euler hợp pháp hóa vào thế kỷ 18. Trong cuốn sách “Giới thiệu về phân tích vô hạn” (), Euler đã đưa ra những định nghĩa hiện đại về cả hàm số mũ và hàm logarit, mở rộng chúng thành chuỗi lũy thừa và đặc biệt chú ý đến vai trò của logarit tự nhiên.

Euler cũng được ghi nhận là người đã mở rộng hàm logarit sang miền phức.

logarit phức

Những nỗ lực đầu tiên nhằm mở rộng logarit thành số phức được thực hiện vào đầu thế kỷ 17-18 bởi Leibniz và Johann Bernoulli, nhưng họ đã thất bại trong việc tạo ra một lý thuyết tổng thể, chủ yếu vì khái niệm logarit vẫn chưa được xác định rõ ràng. Cuộc thảo luận về vấn đề này lần đầu tiên diễn ra giữa Leibniz và Bernoulli, và vào giữa thế kỷ 18 - giữa d'Alembert và Euler. Bernoulli và d'Alembert tin rằng cần phải xác định log(-x) = log(x). Lý thuyết hoàn chỉnh logarit của số âm và số phức được Euler công bố vào năm 1747-1751 và về cơ bản không khác gì logarit hiện đại.

Mặc dù tranh chấp vẫn tiếp tục (D'Alembert bảo vệ quan điểm của mình và lập luận chi tiết trong một bài viết trên Bách khoa toàn thư của ông và trong các tác phẩm khác), quan điểm của Euler nhanh chóng được công nhận rộng rãi.

bảng logarit

Từ các đặc tính của logarit, theo đó, thay vì nhân các số có nhiều chữ số tốn nhiều công sức, chỉ cần tìm (từ các bảng) và cộng logarit của chúng, sau đó, sử dụng cùng một bảng, thực hiện phép tính điện thế, nghĩa là tìm giá trị của kết quả từ logarit của nó. Việc thực hiện phép chia chỉ khác ở chỗ logarit bị trừ. Laplace cho rằng việc phát minh ra logarit “đã kéo dài tuổi thọ của các nhà thiên văn học” bằng cách đẩy nhanh đáng kể quá trình tính toán.

Khi di chuyển dấu thập phân trong một số sang N chữ số, giá trị logarit thập phân của số này thay đổi thành N. Ví dụ: log8314.63 = log8.31463 + 3. Theo đó, chỉ cần biên soạn một bảng logarit thập phân cho các số trong phạm vi từ 1 đến 10 là đủ.

Các bảng logarit đầu tiên được xuất bản bởi John Napier (), và chúng chỉ chứa logarit của các hàm lượng giác và có sai sót. Độc lập với anh ta, Joost Bürgi, một người bạn của Kepler (), đã xuất bản các bảng của mình. Năm 1617, giáo sư toán học Oxford Henry Briggs đã xuất bản các bảng bao gồm logarit thập phân bản thân các số, từ 1 đến 1000, có 8 (sau này là 14) chữ số. Nhưng cũng có sai sót trong bảng của Briggs. Phiên bản không có lỗi đầu tiên dựa trên bảng Vega () chỉ xuất hiện vào năm 1857 tại Berlin (bảng Bremiwer).

Ở Nga, bảng logarit đầu tiên được xuất bản vào năm 1703 với sự tham gia của L. F. Magnitsky. Một số bộ sưu tập bảng logarit đã được xuất bản ở Liên Xô.