Thuyết trình bài học đại số (lớp 7) về chủ đề: Cộng, trừ các phân số đại số. Cộng và trừ các phân số đại số: quy tắc, ví dụ

26.09.2019

Trong bài viết này chúng tôi sẽ phân tích chi tiết cộng và trừ các phân số đại số. Hãy bắt đầu bằng việc cộng và trừ các phân số đại số có cùng mẫu số. Sau đó, chúng ta viết quy tắc tương ứng cho phân số với mẫu số khác nhau. Để kết luận, chúng tôi sẽ chỉ ra cách cộng một phân số đại số với một đa thức và cách trừ chúng. Theo truyền thống, chúng tôi sẽ cung cấp tất cả thông tin kèm theo các ví dụ điển hình giải thích từng bước của quy trình giải pháp.

Điều hướng trang.

Khi mẫu số giống nhau

Các nguyên tắc được áp dụng cho phân số đại số. Chúng ta biết rằng khi cộng và trừ phân số thông thường cùng mẫu số thì tử số của chúng được cộng hoặc trừ nhưng mẫu số không đổi. Ví dụ, và .

Công thức tương tự quy tắc cộng và trừ các phân số đại số cùng mẫu số: Để cộng hoặc trừ các phân số đại số có cùng mẫu số, bạn cần cộng hoặc trừ tử số của các phân số tương ứng, giữ nguyên mẫu số.

Theo quy tắc này, do cộng hoặc trừ các phân số đại số, sẽ thu được một phân số đại số mới (trong trường hợp cụ thể là đa thức, đơn thức hoặc số).

Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ về việc áp dụng quy tắc đã nêu.

Ví dụ.

Tìm tổng các phân số đại số Và .

Giải pháp.

Chúng ta cần cộng các phân số đại số có cùng mẫu số. Quy tắc cho chúng ta biết rằng chúng ta cần cộng tử số của các phân số này nhưng giữ nguyên mẫu số. Vì vậy, chúng ta cộng các đa thức tìm được trong các tử số: x 2 +2·x·y−5+3−x·y= x 2 +(2 x y−x y)−5+3=x 2 +x y−2. Do đó tổng các phân số ban đầu bằng .

Trong thực tế, lời giải thường được viết ngắn gọn dưới dạng một chuỗi các đẳng thức phản ánh tất cả các hành động được thực hiện. Trong trường hợp của chúng tôi, phiên bản ngắn của giải pháp là:

Trả lời:

Lưu ý rằng nếu bằng cách cộng hoặc trừ các phân số đại số, thu được một phân số có thể rút gọn thì nên giảm nó.

Ví dụ.

Trừ các phân số từ các phân số đại số.

Giải pháp.

Vì mẫu số của các phân số đại số bằng nhau nên bạn cần trừ tử số của phân số thứ hai khỏi tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số: .

Dễ dàng thấy rằng có thể rút gọn một phân số đại số. Để làm điều này, chúng ta biến đổi mẫu số của nó bằng cách áp dụng công thức hiệu bình phương. Chúng ta có.

Trả lời:

Ba hoặc nhiều phân số đại số có cùng mẫu số được cộng hoặc trừ theo cùng một cách. Ví dụ, .

Cộng và trừ các phân số đại số có mẫu số khác nhau

Chúng ta hãy nhớ lại cách chúng ta thực hiện phép cộng và phép trừ các phân số thông thường có mẫu số khác nhau: đầu tiên chúng ta đưa chúng về một mẫu số chung, sau đó chúng ta cộng các phân số này có cùng mẫu số. Ví dụ, hoặc .

Có một cái tương tự quy tắc cộng và trừ các phân số đại số có mẫu số khác nhau:

đầu tiên, tất cả các phân số đều được quy về mẫu số chung;
sau đó các phân số có cùng mẫu số được cộng và trừ.

Để áp dụng thành công quy tắc đã nêu, bạn cần hiểu rõ về cách quy đổi các phân số đại số về mẫu số chung. Đây là những gì chúng tôi sẽ làm.

Quy đổi các phân số đại số về mẫu số chung.

Việc giảm các phân số đại số về mẫu số chung là một phép biến đổi giống hệt nhau của các phân số ban đầu, sau đó mẫu số của tất cả các phân số trở nên giống nhau. Thật thuận tiện khi sử dụng như sau thuật toán rút gọn các phân số đại số về mẫu số chung:

Đầu tiên, tìm được mẫu số chung của các phân số đại số;
Tiếp theo, các hệ số bổ sung được xác định cho từng phân số, trong đó mẫu số chung được chia cho mẫu số của phân số ban đầu;
cuối cùng, tử số và mẫu số của các phân số đại số ban đầu được nhân với các thừa số bổ sung tương ứng.

Ví dụ.

Cho các phân số đại số Và về một mẫu số chung.

Giải pháp.

Đầu tiên, hãy xác định mẫu số chung của các phân số đại số. Để làm điều này, hãy phân tích mẫu số của tất cả các phân số: 2 a 3 −4 a 2 =2 a 2 (a−2), 3·a 2 −6·a=3·a·(a−2) và 4 a 5 −16 a 3 =4 a 3 (a−2) (a+2). Từ đây chúng ta tìm được mẫu số chung 12·a 3 ·(a−2)·(a+2) .

Bây giờ hãy bắt đầu tìm các yếu tố bổ sung. Để làm điều này, chúng ta chia mẫu số chung cho mẫu số của phân số thứ nhất (để thuận tiện cho việc khai triển nó), chúng ta có 12 a 3 (a−2) (a+2):(2 a 2 (a−2))=6 a (a+2). Như vậy, thừa số bổ sung cho phân số thứ nhất là 6·a·(a+2) . Tương tự, chúng ta tìm các thừa số bổ sung cho phân số thứ hai và thứ ba: 12 a 3 (a−2) (a+2):(3 a (a−2))=4 a 2 (a+2) Và 12 a 3 (a−2) (a+2):(4 a 3 (a−2) (a+2))=3.

Vẫn còn nhân tử số và mẫu số của phân số ban đầu với các hệ số bổ sung tương ứng:

Điều này hoàn thành việc quy đổi các phân số đại số ban đầu về mẫu số chung. Nếu cần, các phân số thu được có thể được chuyển đổi sang dạng phân số đại số bằng cách nhân các đa thức và đơn thức ở tử số và mẫu số.

Vì vậy, chúng tôi đã sắp xếp việc quy đổi các phân số đại số về mẫu số chung. Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để thực hiện phép cộng và phép trừ các phân số đại số có mẫu số khác nhau. Vâng, chúng tôi suýt quên cảnh báo bạn: mẫu số chung cho đến tận cùng khoảnh khắc cuối cùng Sẽ thuận tiện nếu để nó được trình bày dưới dạng tích số - bạn có thể phải giảm phân số thu được sau khi cộng hoặc trừ.

Ví dụ.

Thực hiện phép cộng các phân số đại số và .

Giải pháp.

Rõ ràng, các phân số ban đầu có mẫu số khác nhau nên để cộng chúng, trước tiên bạn cần quy chúng về mẫu số chung. Để làm điều này, hãy nhân tử các mẫu số: x 2 +x=x·(x+1) , và x 2 +3·x+2=(x+1)·(x+2) , vì nghiệm của tam thức bình phương x 2 + 3 x+2 là các số −1 và −2. Từ đây chúng ta tìm được mẫu số chung, nó có dạng x·(x+1)·(x+2) . Khi đó hệ số bổ sung của phân số thứ nhất sẽ là x+2 và phân số thứ hai sẽ là x.

Vậy sau đó.

Tất cả những gì còn lại là cộng các phân số đã rút gọn về mẫu số chung:

Phần kết quả có thể được giảm. Thật vậy, nếu bạn lấy cả hai ra khỏi dấu ngoặc ở tử số, bạn sẽ thấy thừa số chung x+1, nhờ đó phân số được rút gọn: .

Cuối cùng, chúng ta biểu diễn phân số thu được dưới dạng phân số đại số, trong đó chúng ta thay thế tích ở mẫu số bằng một đa thức: .

Chúng tôi sẽ phát hành giải pháp ngắn gọn, có tính đến tất cả lý do của chúng tôi:

Trả lời:

Và một điểm nữa: trước khi cộng hoặc trừ các phân số đại số, trước tiên nên biến đổi chúng để đơn giản hóa (tất nhiên là nếu có khả năng như vậy).

Ví dụ.

Thực hiện phép trừ các phân số đại số và .

Giải pháp.

Hãy thực hiện một số phép biến đổi của phân số đại số, có lẽ chúng sẽ đơn giản hóa quá trình giải. Để bắt đầu, hãy lấy các hệ số bằng số của các biến ở mẫu số ra khỏi ngoặc: Và . Điều đó thật thú vị - hệ số chung của mẫu số của các phân số đã lộ rõ.

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn. Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

Hỗ trợ phát triển và giáo dục trong cửa hàng trực tuyến "Tích hợp"
Hướng dẫn sử dụng sách giáo khoa Muravin G.K. Sách hướng dẫn sử dụng sách của Makarychev Yu.N.

Phân số đại số là gì?

Một phân số đại số là một biểu thức có dạng: $\frac(P)(Q)$.

Ở đâu:
P là tử số của phân số đại số.
Q là mẫu số của một phân số đại số.

Dưới đây là ví dụ về phân số đại số:

$\frac(a)(b)$, $\frac(12)(q-p)$, $\frac(7y-4)(y)$.

Tính chất cơ bản của phân số đại số

Tài sản 1.
Cả tử số và mẫu số của một phân số đều có thể nhân với cùng một số (đơn thức hoặc đa thức). Kết quả là chúng ta sẽ nhận được cùng một phân số nhưng được trình bày dưới dạng khác.

Sự chuyển đổi này còn được gọi là giống hệt nhau. Nó được sử dụng để giảm biểu thức đại số (và không chỉ) thành dạng đơn giản hơn và làm việc với biểu thức này sẽ thuận tiện hơn.

$\frac(a)(4b^2)=\frac(a*3b)(4b^2*3b)=\frac(3ab)(12b^3)$.

Chúng tôi nhân cả tử số và mẫu số với đơn thức $3b$. Kết quả là chúng ta có được một phân số giống với phân số ban đầu.

$\frac(a^2)(6b^3)=\frac(a^2*2)(6b^3*2)=\frac(2a^2)(12b^3)$.

Nếu cần thiết, một phân số đại số có thể được nhân với một số nguyên tố. Trong ví dụ này, chúng ta nhân cả tử số và mẫu số với số 2. Và một lần nữa chúng ta nhận được một phân số giống với phân số ban đầu.

Tài sản 2.
Cả tử số và mẫu số của một phân số đều có thể chia cho cùng một số (đơn thức hoặc đa thức). Kết quả là chúng ta sẽ nhận được cùng một phân số nhưng được trình bày dưới dạng khác.

Giống như trong trường hợp nhân, phép biến đổi đồng nhất như vậy được sử dụng để biểu diễn một phân số theo cách phức tạp hơn. ở dạng đơn giản và làm cho nó dễ dàng hơn để làm việc.

Cộng và trừ các phân số đại số cùng mẫu số

Nếu các phân số đại số có cùng mẫu số thì chúng được cộng như các phân số thông thường (chỉ cộng các tử số và mẫu số chung).

Nguyên tắc chung:

$\frac(a)(d)+\frac(b)(d)-\frac(c)(d)=\frac(a+b-c)(d)$.

Ví dụ.

Đơn giản hóa biểu thức:

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)$.

Giải pháp.

Chúng ta sử dụng quy tắc cộng các phân số được mô tả ở trên, nghĩa là chúng ta cộng các tử số và viết ra mẫu số chung.

$\frac(2a^2+5)(a^2-ab)+\frac(2ab+b)(a^2-ab)-\frac(b+5)(a^2-ab)=\frac ((2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5))(a^2-ab)$.

Hãy làm việc với tử số.

$(2a^2+5)+(2ab+b)-(b+5)=$
$2a^2+5+2ab+b-b-5=2a^2+2ab$.

Kết quả là chúng ta nhận được phân số:

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)$.

Các bạn, trước khi hoàn thành lời giải, hãy kiểm tra xem có thể đơn giản hóa kết quả hơn nữa không. Rốt cuộc, đây là toàn bộ mục đích của sự chuyển đổi - để đơn giản hóa biểu thức.
Nếu bạn xem xét cẩn thận, bạn có thể hiểu rằng phân số kết quả có thể được đơn giản hóa hơn nữa.

$\frac(2a^2+2ab)(a^2-ab)=\frac(2a(a+b))(a(a-b))=\frac(2(a+b))(a-b)=\ frac(2a+2b)(a-b)$.

Cộng và trừ các phân số đại số có mẫu số khác nhau

Khi cộng các phân số đại số với các mẫu số khác nhau, bạn phải thực hiện tương tự như khi làm việc với các phân số thông thường. Trước tiên, bạn cần đưa phân số về mẫu số chung, sau đó cộng hoặc trừ tử số của các phân số theo công thức nguyên tắc chung mà chúng tôi đã xem xét.

Ví dụ.
Tính toán:

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)$.

Giải pháp.
Hãy đưa các phân số này về mẫu số chung. TRONG ví dụ này mẫu số chung là đơn thức $12b^3$.
Sau đó.

$\frac(a)(4b^2)+\frac(a^2)(6b^3)=\frac(3ab)(12b^3)+\frac(2a^2)(12b^3)=
\frac(3ab+2a^2)(12b^3)$.

Phần khó nhất là tìm mẫu số chung của các phân số. Trong một số trường hợp đây không phải là một nhiệm vụ dễ dàng.
Khi tìm mẫu số chung, bạn có thể tuân theo các quy tắc:
1. Nếu cả hai mẫu số đều là đơn thức không có dấu ngoặc đơn thì tốt hơn hết bạn nên chọn mẫu số chung cho số đó trước tiên, sau đó chọn cho biến. Trong ví dụ của chúng tôi, số là 12 và biến là $b^3$.
2. Nếu mẫu số là một biểu thức phức tạp hơn, ví dụ: $x + 1$, $x +y$ và tương tự, thì tốt hơn nên chọn mẫu số ở dạng tích của các mẫu số, ví dụ $ (x + y)(x - y) $. Mẫu số như vậy chia hết cho cả $x + y$ và $x - y$.

Nhớ!
Đối với hai phân số đại số, bạn có thể chọn bao nhiêu mẫu số chung tùy thích. Nhưng để đơn giản hóa việc tính toán, bạn cần chọn cách đơn giản nhất có thể.

Thuật toán cộng (trừ) các phân số đại số

1. Quy đổi tất cả các phân số về mẫu số chung; nếu chúng có cùng mẫu số ngay từ đầu thì bước này của thuật toán sẽ bị bỏ qua.
2. Cộng (trừ) các phân số có cùng mẫu số.

Ví dụ 1. Thực hiện theo các bước sau:

MỘT) ; b) ; V) .

Giải pháp. Đối với mỗi cặp phân số đại số được đưa ra ở đây, mẫu số chung đã được tìm thấy ở trên, trong bài “Các tính chất cơ bản của phân số đại số”. Dựa vào ví dụ trên, chúng ta có được:

Tất nhiên, điều khó khăn nhất trong thuật toán trên là bước đầu tiên: tìm mẫu số chung và rút gọn các phân số về mẫu số chung. Trong Ví dụ 1, bạn có thể không cảm thấy khó khăn này vì chúng tôi đã sử dụng các kết quả có sẵn từ § 2.
Để xây dựng quy tắc tìm mẫu số chung, hãy phân tích ví dụ 1.

Đối với phân số và mẫu số chung là số 15 - nó chia hết cho cả 3 và 5 và là bội số chung của chúng (thậm chí là bội số chung nhỏ nhất).

Đối với các phân số, mẫu số chung là đơn thức. Nó được chia cho cả hai và cho, tức là, cho cả hai đơn thức, đóng vai trò là mẫu số của phân số. Xin lưu ý: số 12 là bội số chung nhỏ nhất của các số 4 và 6. Biến xuất hiện ở mẫu số của phân số thứ nhất có số mũ là 2, ở mẫu số của phân số thứ hai có số mũ là 3. Giá trị lớn nhất này của số mũ 3 xuất hiện ở mẫu số chung.
Đối với phân số và mẫu số chung là tích - chia hết cho cả mẫu số và mẫu số.
Khi tìm mẫu số chung, tất nhiên, cần phải phân tích tất cả các mẫu số đã cho thành nhân tử (nếu điều này không được chuẩn bị trong điều kiện). Và sau đó, bạn nên làm việc theo từng giai đoạn: tìm bội số chung nhỏ nhất cho các hệ số số (chúng ta đang nói về hệ số nguyên), xác định hệ số chữ cái lớn nhất cho mỗi lần xuất hiện nhiều lần, số mũ lớn nhất, thu thập tất cả những thứ này vào một tích.
Bây giờ bạn có thể chính thức hóa thuật toán tương ứng.

Thuật toán tìm mẫu số chung của một số phân số đại số

Phân tích nhân tử tất cả các mẫu số (hệ số số, lũy thừa của biến, nhị thức, tam thức).

Tìm bội số chung nhỏ nhất của các hệ số có trong các hệ số được biên soạn ở bước đầu tiên.

Soạn một tích bằng cách bao gồm các thừa số tất cả các thừa số chữ cái của các khai triển thu được ở bước đầu tiên của thuật toán. Nếu một thừa số nhất định (lũ của một biến, nhị thức, tam thức) xuất hiện trong một số khai triển thì nó phải được lấy từ số mũ, bằng giá trị lớn nhất hiện có.

Thêm vào sản phẩm thu được ở bước thứ ba hệ số tìm được ở bước thứ hai; kết quả cuối cùng là mẫu số chung.

Bình luận. Trên thực tế, bạn có thể tìm bao nhiêu mẫu số chung của hai phân số đại số tùy thích. Ví dụ, đối với phân số Và mẫu số chung có thể là số 30, số 60 và thậm chí là đơn thức . Sự thật là 30, 60 và có thể chia cho 3 hoặc 5. Đối với phân số Và mẫu số chung, ngoại trừ mẫu số chung ở trên , Có lẽ Và . Đơn thức là gì tốt hơn , Làm sao ? Nó đơn giản hơn (về hình thức). Đôi khi nó thậm chí không được gọi là mẫu số chung mà là mẫu số chung thấp nhất. Như vậy, thuật toán đã cho là thuật toán tìm mẫu số chung đơn giản nhất của một số phân số đại số, là thuật toán tìm mẫu số chung nhỏ nhất.

Hãy quay lại ví dụ 1, a. Để cộng các phân số đại số và , không chỉ cần tìm mẫu số chung (số 15) mà còn phải tìm các thừa số bổ sung cho mỗi phân số cho phép đưa các phân số đó về mẫu số chung. Đối với một phân số, hệ số bổ sung như vậy là số 5 (tử số và mẫu số của phân số này được nhân thêm với 5), đối với một phân số - số 3 (tử số và mẫu số của phân số này được nhân thêm với 3). Một thừa số bổ sung là thương số của việc chia mẫu số chung cho mẫu số của một phân số đã cho.

Thông thường ký hiệu sau được sử dụng:

Hãy quay lại ví dụ 1.6. Mẫu số chung của phân số là đơn thức. Hệ số bổ sung cho phân số thứ nhất bằng (vì ), đối với phân số thứ hai nó bằng 2 (vì ). Điều này có nghĩa là nghiệm của Ví dụ 1.6 có thể được viết như sau:

Ở trên, một thuật toán đã được xây dựng để tìm mẫu số chung cho một số phân số đại số. Nhưng kinh nghiệm cho thấy thuật toán này không phải lúc nào cũng dễ hiểu đối với học sinh, vì vậy chúng tôi sẽ đưa ra một công thức có sửa đổi một chút.

Quy tắc rút gọn các phân số đại số về mẫu số chung

Phân tích tất cả các mẫu số thành nhân tử.

Từ mẫu số thứ nhất viết tích của tất cả các thừa số của nó, từ các mẫu số còn lại cộng các thừa số còn thiếu vào tích này. Sản phẩm thu được sẽ là mẫu số chung (mới).

Tìm các thừa số bổ sung cho mỗi phân số: đây sẽ là tích của các thừa số có trong mẫu số mới nhưng không có trong mẫu số cũ.

Tìm tử số mới cho mỗi phân số: đây sẽ là tích của tử số cũ và một thừa số bổ sung.

Viết mỗi phân số với tử số mới và mẫu số mới (chung).

Ví dụ 2.Đơn giản hóa một biểu thức .

Giải pháp.
Giai đoạn đầu tiên. Hãy tìm mẫu số chung và các yếu tố bổ sung.
Chúng ta có

Chúng ta lấy toàn bộ mẫu số thứ nhất và từ mẫu số thứ hai, chúng ta thêm một thừa số không có trong mẫu số thứ nhất. Chúng ta hãy lấy một mẫu số chung.

Thật thuận tiện khi sắp xếp các bản ghi dưới dạng bảng:

mẫu số	Mẫu số chung	Số nhân bổ sung

Giai đoạn thứ hai.
Hãy thực hiện các phép biến đổi:

Nếu đã có kinh nghiệm, bạn có thể bỏ qua giai đoạn đầu tiên và thực hiện đồng thời với giai đoạn thứ hai.
Để kết luận, chúng ta hãy xem một ví dụ phức tạp hơn (dành cho những ai quan tâm).

Ví dụ 3.Đơn giản hóa một biểu thức

Giải pháp. Giai đoạn đầu tiên.
Hãy nhân tử hóa tất cả các mẫu số:

Chúng ta lấy toàn bộ mẫu số thứ nhất, từ mẫu thứ hai chúng ta lấy các thừa số còn thiếu và (hoặc), từ mẫu thứ ba chúng ta lấy thừa số còn thiếu (vì mẫu số thứ ba chứa thừa số ).

mẫu số	Mẫu số chung	Số nhân bổ sung

Video bài học “Cộng, trừ các phân số đại số có mẫu số khác nhau” là hỗ trợ trực quan, cung cấp tài liệu lý thuyết, giải thích chi tiết các thuật toán và đặc điểm thực hiện các phép tính trừ, cộng các phân số có mẫu số khác nhau. Với sự trợ giúp của sách hướng dẫn, giáo viên sẽ dễ dàng phát triển khả năng thực hiện các phép tính với phân số đại số của học sinh hơn. Trong bài học video, một số ví dụ được xem xét, giải pháp được mô tả chi tiết, chú ý đến các chi tiết quan trọng.

Việc sử dụng bài học video trong giờ học toán giúp giáo viên nhanh chóng đạt được mục tiêu giáo dục và nâng cao hiệu quả giảng dạy. Sự minh họa rõ ràng giúp học sinh ghi nhớ tài liệu và nắm vững sâu hơn nên video có thể được sử dụng kèm theo lời giải thích của giáo viên. Nếu video này được sử dụng như một phần của bài học thì thời gian của giáo viên sẽ được dành để củng cố công việc cá nhân và sử dụng các công cụ học tập khác để nâng cao hiệu quả học tập.

Phần trình diễn bắt đầu bằng việc giới thiệu chủ đề của bài học video. Cần lưu ý rằng việc thực hiện các phép tính trừ và cộng các phân số đại số cũng tương tự như thực hiện các phép tính với phân số thông thường. Cơ chế trừ và cộng đối với các phân số thông thường rất gợi nhớ - các phân số được đưa về mẫu số chung và sau đó các phép toán được thực hiện trực tiếp.

Thuật toán trừ và cộng các phân số đại số được lồng tiếng và mô tả trên màn hình. Nó bao gồm hai bước - giảm các phân số về cùng mẫu số và sau đó cộng (hoặc trừ) các phân số có mẫu số bằng nhau. Việc áp dụng thuật toán được xem xét bằng cách sử dụng ví dụ tìm giá trị của các biểu thức a/4b 2 -a 2 /6b 3 , cũng như x/(x+y)-x/(x-y). Cần lưu ý rằng để giải ví dụ đầu tiên cần phải quy cả hai phân số về cùng mẫu số. Mẫu số này sẽ là 12b 3. Việc rút gọn các phân số này về mẫu số 12b 3 đã được thảo luận chi tiết trong video bài học trước. Kết quả của phép biến đổi, thu được hai phân số có mẫu số bằng nhau 3ab/12b 3 và 2a 2 /12b 3. Các phân số này được cộng theo quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số. Sau khi cộng tử số của các phân số, kết quả là phân số (3ab+2a 2)/12b 3. Phần sau đây mô tả giải pháp cho ví dụ x/(x+y)-x/(x-y). Sau khi rút gọn các phân số về cùng mẫu số, các phân số thu được là (x 2 -xy)/(x 2 -y 2) và (x 2 +xy)/(x 2 -y 2). Theo quy tắc trừ các phân số có cùng mẫu số, ta thực hiện phép tính với các tử số, sau đó ta được phân số -2xy/(x 2 -y 2).

Cần lưu ý rằng bước khó khăn nhất khi giải các bài toán liên quan đến phép cộng và phép trừ các phân số có mẫu số khác nhau là đưa chúng về mẫu số chung. Những lời khuyên được đưa ra về cách phát triển các kỹ năng dễ dàng hơn trong việc giải quyết những vấn đề này. Mẫu số chung của một phân số được phân tích. Nó bao gồm một hệ số bằng số với một biến được nâng lên lũy thừa. Có thể thấy rằng biểu thức có thể được chia thành mẫu số của phân số thứ nhất và phân số thứ hai. Trong trường hợp này, hệ số 12 là bội số chung nhỏ nhất của các hệ số số của phân số 4 và 6. Và biến b chứa cả hai mẫu số 4b 2 và 6b 3. Trong trường hợp này, mẫu số chung chứa biến ở mức độ lớn nhất trong số các mẫu số của phân số ban đầu. Việc tìm mẫu số chung của x/(x+y) và x/(x-y) cũng được xem xét. Cần lưu ý rằng mẫu số chung (x+y)(x-y) được chia cho mỗi mẫu số. Vì vậy, việc giải bài toán phụ thuộc vào việc tìm bội số chung nhỏ nhất của các hệ số số có sẵn, cũng như tìm chỉ số cao nhất mức độ cho một biến theo nghĩa đen xuất hiện nhiều lần. Sau đó, sau khi tập hợp các phần này lại thành một sản phẩm tổng thể sẽ thu được mẫu số chung.

Một thuật toán tìm mẫu số chung của một số phân số được công bố và lập trên màn hình. Thuật toán này bao gồm bốn giai đoạn, trong đó giai đoạn đầu tiên mẫu số được phân tích thành nhân tử. Ở giai đoạn thứ hai của thuật toán, bội số chung nhỏ nhất của các hệ số có sẵn có trong mẫu số của phân số được tìm thấy. Ở giai đoạn thứ ba, một sản phẩm được biên dịch, bao gồm các thừa số chữ cái của phân tách mẫu số, trong khi số mũ chữ cái có trong một số mẫu số được chọn ở mức độ lớn nhất. Ở giai đoạn thứ tư, các yếu tố số và chữ cái tìm thấy ở các giai đoạn trước được thu thập thành một sản phẩm. Đây sẽ là mẫu số chung. Một lưu ý được thực hiện về thuật toán được xem xét. Trong ví dụ tìm mẫu số chung của phân số a/4b 2 và a 2 /6b 3, cần lưu ý rằng ngoài 12b 3 còn có các mẫu số khác 24b 3 và 48a 2 b 3. Và với mỗi tập hợp phân số, bạn có thể tìm thấy nhiều mẫu số chung. Tuy nhiên, mẫu số 12b 3 là đơn giản và tiện lợi nhất nên còn gọi là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số ban đầu. Các thừa số bổ sung là kết quả của mẫu số chung riêng phần và mẫu số ban đầu của phân số. Nó được thể hiện chi tiết bằng hình ảnh động về cách nhân tử số và mẫu số của phân số với một thừa số bổ sung.

Tiếp theo, đề xuất xem xét thuật toán rút gọn các phân số đại số về mẫu số chung ở dạng đơn giản hơn để học sinh dễ hiểu hơn. Nó cũng bao gồm bốn bước, bước đầu tiên là phân tích các mẫu số. Sau đó, đề xuất viết ra tất cả các thừa số từ mẫu số đầu tiên và bổ sung tích của các thừa số còn thiếu từ các mẫu số còn lại. Bằng cách này, mẫu số chung được tìm thấy. Các thừa số bổ sung được tìm thấy cho mỗi phân số từ những thừa số của mẫu số không thuộc mẫu số chung. Bước thứ tư là xác định cho mỗi phân số một tử số mới, tử số này bằng tích của tử số cũ và một thừa số bổ sung. Sau đó, mỗi phân số được viết bằng tử số và mẫu số mới.

Ví dụ sau đây mô tả cách đơn giản hóa biểu thức 3a/(4a 2 -1)-(a+1)/(2a 2 +a). Ở giai đoạn giải đầu tiên, mẫu số của mỗi phân số được phân tích thành nhân tử. Đối với sản phẩm, hệ số chung là (2a+1). Bằng cách bổ sung vào tích các thừa số còn lại (2a-1) và a, chúng ta thu được mẫu số chung có dạng a(2a-1)(2a+1). Một bảng phụ trợ được xây dựng trong đó chỉ ra mẫu số chung, mẫu số và các hệ số bổ sung. Ở giai đoạn thứ hai của giải pháp, mỗi tử số được nhân với một hệ số bổ sung và phép trừ được thực hiện. Kết quả là phân số (a 2 -a+1)/a(2a-1)(2a+1).

Ví dụ 3 xem xét sự đơn giản hóa của biểu thức b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). Lời giải cũng được phân tích từng bước, chú ý đến các đặc điểm cơ bản của việc thực hiện các phép tính, việc quy giản phân số về mẫu số chung và việc thực hiện các phép tính với tử số được mô tả chi tiết. Kết quả của các phép tính và sau khi biến đổi, thu được phân số (2a 3 +6a 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2.

Bài học video “Cộng, trừ các phân số đại số có mẫu số khác nhau” có thể dùng như một phương tiện để nâng cao hiệu quả của bài học toán về chủ đề này. Cuốn sổ tay này sẽ hữu ích cho giáo viên thực hiện học từ xa, để thể hiện trực quan Tài liệu giáo dục. Đối với học sinh, bài học video có thể được khuyến khích để học sinh tự học vì nó giải thích chi tiết và rõ ràng các đặc điểm của việc thực hiện các thao tác đang được nghiên cứu.

Bài học này sẽ đề cập đến việc cộng và trừ các phân số đại số cùng mẫu số. Chúng ta đã biết cách cộng và trừ các phân số cùng mẫu số. Hóa ra các phân số đại số tuân theo các quy tắc tương tự. Học cách làm việc với các phân số cùng mẫu số là một trong những nền tảng của việc học cách làm việc với các phân số đại số. Đặc biệt, hiểu rõ chủ đề này sẽ giúp bạn dễ dàng nắm vững một chủ đề phức tạp hơn - cộng và trừ các phân số có mẫu số khác nhau. Trong khuôn khổ bài học, chúng ta sẽ nghiên cứu các quy tắc cộng và trừ các phân số đại số cùng mẫu số, đồng thời phân tích một số ví dụ điển hình

Quy tắc cộng, trừ các phân số đại số cùng mẫu số

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih phân số từ một đối một với bạn -mi biết-na-te-la-mi (nó trùng với quy tắc tương tự đối với nhịp bắn thông thường): Đó là để cộng hoặc tính các phân số al-geb-ra-i-che-skih với một-bạn biết- me-on-the-la-mi cần thiết -ho-di-mo để soạn các số al-geb-ra-i-che-sum tương ứng, và sign-me-na-tel để lại mà không có số nào.

Chúng tôi hiểu quy tắc này cho cả ví dụ về lượt rút bài thông thường và ví dụ về lượt đánh al-geb-ra-i-che-draw.

Ví dụ về áp dụng quy tắc cho phân số thông thường

Ví dụ 1. Cộng phân số: .

Giải pháp

Hãy cộng số phân số và giữ nguyên dấu. Sau đó, chúng ta phân tách số và ký hiệu thành các bội số và tổ hợp đơn giản. Hãy hiểu nó: .

Lưu ý: một lỗi tiêu chuẩn được cho phép khi giải các loại ví dụ tương tự, đối với -klu-cha-et-sya trong giải pháp khả thi sau: . Đây là một sai lầm nghiêm trọng vì dấu vẫn giữ nguyên như trong phân số ban đầu.

Ví dụ 2. Cộng phân số: .

Giải pháp

Cái này không khác gì cái trước: .

Ví dụ về áp dụng quy tắc cho phân số đại số

Từ nhịp dro-beat thông thường, chúng tôi chuyển sang al-geb-ra-i-che-skim.

Ví dụ 3. Cộng phân số: .

Giải pháp: như đã đề cập ở trên, thành phần của các phân số al-geb-ra-i-che-không khác gì từ giống như các trận đấu súng thông thường. Do đó, phương pháp giải giống nhau: .

Ví dụ 4. Bạn là phân số: .

Giải pháp

You-chi-ta-nie của al-geb-ra-i-che-skih phân số từ phép cộng chỉ bởi thực tế là trong số pi-sy-va-et-sya có sự khác biệt về số lượng phân số được sử dụng. Đó là lý do tại sao .

Ví dụ 5. Bạn là một phân số: .

Giải pháp: .

Ví dụ 6. Rút gọn: .

Giải pháp: .

Ví dụ về việc áp dụng quy tắc theo sau là giảm

Trong một phân số có cùng ý nghĩa trong kết quả tính gộp hoặc tính toán, có thể có sự kết hợp. Ngoài ra, bạn không nên quên ODZ của phân số al-geb-ra-i-che-skih.

Ví dụ 7. Rút gọn: .

Giải pháp: .

Trong đó . Nói chung, nếu ODZ của các phân số ban đầu trùng với ODZ của tổng thì có thể bỏ qua nó (xét cho cùng, phân số nằm trong đáp án cũng sẽ không tồn tại với những thay đổi đáng kể tương ứng). Nhưng nếu ODZ của phân số được sử dụng và đáp án không khớp thì cần phải chỉ ra ODZ.

Ví dụ 8. Rút gọn: .

Giải pháp: . Đồng thời, y (ODZ của phân số ban đầu không trùng với ODZ của kết quả).

Cộng và trừ các phân số có mẫu số khác nhau

Để cộng và đọc các phân số al-geb-ra-i-che-với các phân số known-me-on-the-la-mi khác nhau, chúng ta thực hiện ana-lo -giyu với các phân số thông thường-ven-ny và chuyển nó sang al-geb -ra-i-che-phân số.

Hãy xem ví dụ đơn giản nhất cho phân số thông thường.

Ví dụ 1. Cộng các phân số: .

Giải pháp:

Hãy nhớ lại quy tắc cộng phân số. Để bắt đầu, một phân số cần được đưa về một dấu hiệu chung. Trong vai trò là dấu tổng quát của phân số thông thường, bạn hành động bội số chung nhỏ nhất(NOK) dấu hiệu ban đầu.

Sự định nghĩa

Số nhỏ nhất được chia đồng thời thành số và.

Để tìm NOC, bạn cần chia kiến thức thành các bộ đơn giản, sau đó chọn mọi thứ có rất nhiều, nằm trong phép chia của cả hai dấu hiệu.

; . Khi đó LCM của các số phải bao gồm hai số hai và hai số ba: .

Sau khi tìm được kiến thức tổng quát, mỗi phân số cần tìm một bội số tồn tại đầy đủ (thực tế là đặt dấu chung lên dấu của phân số tương ứng).

Sau đó, mỗi phân số được nhân với hệ số đầy một nửa. Hãy lấy một số phân số từ những phân số tương tự mà bạn đã biết, cộng chúng lại và đọc chúng - đã học ở các bài trước.

Ăn thôi: .

Trả lời:.

Bây giờ chúng ta hãy xem thành phần của các phân số al-geb-ra-i-che với các dấu khác nhau. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào các phân số và xem có số nào không.

Cộng và trừ các phân số đại số có mẫu số khác nhau

Ví dụ 2. Cộng các phân số: .

Giải pháp:

Al-go-nhịp điệu của quyết định ab-so-lyut-nhưng ana-lo-gi-chen đối với ví dụ trước. Thật dễ dàng để lấy dấu chung của các phân số đã cho: và các bội số bổ sung cho mỗi phân số đó.