Bất đẳng thức hợp lý phân số. Bất đẳng thức hợp lý
Hệ thống bất bình đẳng hợp lý
nội dung bài học
trừu tượng [Bezdenezhnykh L.V.]
Đại số, lớp 9 UMK: A.G. Mordkovich. Đại số. lớp 9. Lúc 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa; Phần 2. Sách bài tập; M.: Mnemosyne, 2010 Trình độ học tập: cơ bản Chủ đề bài học: Hệ thống bất đẳng thức hợp lý. (Bài học đầu tiên về chủ đề này, tổng thời gian dành cho việc nghiên cứu chủ đề là 3 giờ) Bài học về chủ đề mới. Mục tiêu bài học: nhắc lại việc giải bất phương trình tuyến tính; giới thiệu khái niệm về hệ bất đẳng thức, giải thích cách giải các hệ bất đẳng thức tuyến tính đơn giản nhất; phát triển khả năng giải các hệ bất đẳng thức tuyến tính ở bất kỳ mức độ phức tạp nào. Mục tiêu: Giáo dục: nghiên cứu chủ đề dựa trên kiến thức đã có, củng cố các kỹ năng thực tế và kỹ năng giải hệ bất phương trình tuyến tính làm việc độc lập sinh viên và các hoạt động giảng dạy và tư vấn được chuẩn bị kỹ càng nhất. Phát triển: phát triển hứng thú nhận thức, tính độc lập trong tư duy, trí nhớ, tính chủ động của học sinh thông qua việc sử dụng các phương pháp giao tiếp và hoạt động cũng như các yếu tố của học tập dựa trên vấn đề. Giáo dục: hình thành kỹ năng giao tiếp, văn hóa giao tiếp, hợp tác. Phương pháp trình bày: - bài giảng có yếu tố hội thoại và học tập dựa trên vấn đề; - Làm việc độc lập của sinh viên với lý thuyết và tài liệu thực tế theo sách giáo khoa; -phát triển văn hóa chính thức hóa các giải pháp cho các hệ bất đẳng thức tuyến tính. Dự kiến kết quả: học sinh sẽ nhớ cách giải các bất phương trình tuyến tính, đánh dấu giao nghiệm của các nghiệm của bất phương trình trên trục số và học cách giải các hệ bất phương trình tuyến tính. Thiết bị dạy học: bảng đen, tài liệu phát tay (ứng dụng), sách giáo khoa, vở bài tập. Nội dung bài học: 1. Thời điểm tổ chức. Kiểm tra bài tập về nhà. 2. Cập nhật kiến thức. Học sinh cùng giáo viên điền vào bảng trên bảng: Khoảng hình bất đẳng thức Dưới đây là bảng hoàn thiện: Khoảng hình bất đẳng thức 3. Đọc chính tả toán học. Chuẩn bị cho việc nhận thức về một chủ đề mới. 1. Dùng bảng mẫu giải các bất phương trình: Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 Phương án 4 2. Giải các phương án, vẽ hai hình trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai phương án không: Phương án 1 Phương án 2 Phương án 3 Phương án 4 4. Giải thích về vật liệu mới . Giải thích tài liệu mới (trang 40-44): 1. Xác định hệ bất đẳng thức (trang 41). Định nghĩa: Một số bất đẳng thức với một biến x tạo thành một hệ bất đẳng thức nếu nhiệm vụ là tìm tất cả các giá trị như vậy của biến mà mỗi bất đẳng thức đã cho với biến biến thành một bất đẳng thức số đúng. 2. Giới thiệu khái niệm riêng tư và giải pháp chung các hệ thống bất bình đẳng Bất kỳ giá trị nào như vậy của x đều được gọi là nghiệm (hoặc nghiệm cụ thể) của hệ bất phương trình. Tập hợp tất cả các nghiệm cụ thể của hệ bất đẳng thức biểu diễn nghiệm tổng quát của hệ bất đẳng thức. 3. Xét SGK giải hệ bất phương trình theo ví dụ 3 (a, b, c). 4. Tóm tắt suy luận bằng cách giải hệ:. 5. Hợp nhất vật liệu mới. Giải các bài tập từ số 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Bài kiểm tra Kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức mới bằng cách tích cực hỗ trợ giải bài tập theo các phương án: Phương án 1 a, c số 4.6, 4.8 Phương án 2 b, d số 4.6, 4.8 7. Tổng kết. Suy ngẫm Hôm nay bạn đã học được những khái niệm mới nào? Bạn đã học cách tìm nghiệm của hệ bất đẳng thức tuyến tính chưa? Bạn đã thành công nhất trong lĩnh vực nào, khía cạnh nào đã được hoàn thành thành công nhất? 8. bài tập về nhà: số 4,5, 4,7.; lý thuyết trong sách giáo khoa trang 40-44; Đối với học sinh có động lực tăng cao Số 4.23 (c, d). Ứng dụng. Phương án 1. Khoảng thời gian vẽ bất đẳng thức 2.Giải bất đẳng thức, vẽ hai hình vẽ trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai bất đẳng thức hay không: Vẽ bất đẳng thức Trả lời câu hỏi. Phương án 2. Khoảng thời gian vẽ bất đẳng thức 2. Giải bất đẳng thức, vẽ hai hình vẽ trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai bất đẳng thức: Vẽ bất đẳng thức Trả lời câu hỏi. Phương án 3. Khoảng thời gian vẽ bất đẳng thức 2. Giải bất đẳng thức, vẽ hai hình vẽ trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai bất đẳng thức: Vẽ bất đẳng thức Trả lời câu hỏi. Phương án 4. Khoảng thời gian vẽ bất đẳng thức 2. Giải bất đẳng thức, vẽ hai hình vẽ trên cùng một trục và kiểm tra xem số 5 có phải là nghiệm của hai bất đẳng thức: Vẽ bất đẳng thức Trả lời câu hỏi.
Download: Đại số 9kl - ghi chú [Bezdenezhnykh L.V.].docxghi chú bài học 2-4 [Zvereva L.P.]
Đại số lớp 9 UMK: ĐẠI SỐ-LỚP 9, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov, 2014. Mức độ - học tập cơ bản Chủ đề của bài: Hệ bất đẳng thức hữu tỉ Tổng số giờ phân bổ cho việc học chủ đề - 4 giờ Vị trí bài học trong hệ thống các bài học theo chủ đề bài số 3; Số 4. Mục đích của bài học: Dạy học sinh xây dựng hệ bất phương trình, đồng thời dạy cách giải hệ thống làm sẵn, do tác giả sách đề xuất. Mục tiêu của bài học: Phát triển các kỹ năng: tự do giải các hệ bất phương trình bằng phương pháp giải tích, đồng thời có thể chuyển nghiệm về đường tọa độ để viết đúng đáp án, làm việc độc lập với tài liệu đã cho. .Kết quả dự kiến: Học sinh có khả năng giải các hệ có sẵn, cũng như tạo được các hệ bất phương trình dựa trên điều kiện văn bản của bài tập và giải được mô hình đã biên soạn. Hỗ trợ kỹ thuật bài học: UMK: ĐẠI SỐ-Lớp 9, A.G. MORDKOVICH.P.V. Semyonov. Sách bài tập, máy chiếu để thực hiện các phép tính nhẩm, bản in bài tập bổ sung cho học sinh khá. Hỗ trợ bổ sung về phương pháp và mô phạm cho bài học (có thể liên kết đến các tài nguyên Internet): 1. Cẩm nang N.N Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivashchenko, N.S. Melkova “Hình thành kỹ năng tính toán trong các bài học toán, lớp 5-9” 2.G.G. Levitas “Chính tả toán học” lớp 7-11.3. TG. Gulin “Mô phỏng toán học” 5-11 (4 cấp độ khó) Giáo viên toán: Zvereva L.P. Bài số 2 Mục tiêu: Phát triển kỹ năng giải hệ bất phương trình hữu tỉ bằng cách giải thích hình học để minh họa kết quả giải. Tiến trình bài học 1. Tổ chức: Tổ chức lớp làm việc, truyền đạt chủ đề, mục đích của bài học 11 Kiểm tra bài tập về nhà 1. Phần lý thuyết: * Hồ sơ phân tích bất đẳng thức hữu tỉ là gì * Hồ sơ phân tích của một bất đẳng thức là gì hệ bất phương trình hữu tỉ * Ý nghĩa của việc giải hệ bất phương trình bất đẳng thức * Kết quả của việc giải hệ bất phương trình hữu tỉ là gì.< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>2. Phần thực hành: *Giải các bài toán trên bảng gây khó khăn cho học sinh. Trong khi làm bài tập II1 Làm bài tập. 1. Lặp lại các phương pháp phân tích đa thức. 2. Nhắc lại phương pháp khoảng để giải bất đẳng thức. 3. Giải hệ. Giải pháp do học sinh mạnh dẫn dắt lên bảng dưới sự giám sát của giáo viên. 1) Giải bất đẳng thức 3x – 10 > 5x – 5; 3x – 5x> – 5 + 10; – 2х> 5; X< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >Giải hệ bất phương trình này x> Đáp án: x> 6. Giải câu 4.10 (c) trên bảng và vào vở. Giải bất đẳng thức 5x2 – 2x + 1 ≤ 0. 5x2–2x + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >0. 2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Lặp lại tài liệu đã học trước đó. Giải bài 2.33. Gọi vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là x km/h, sau khi giảm vận tốc trở thành (x – 3) km/h. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; thì x2 – 17x + 30 = 0; Đ = 169; x1 = 15; x2 = 2 không thỏa mãn ý nghĩa bài toán. Đáp án: 15 km/h; 12 km/giờ. IV. Kết luận bài học: Trong bài học chúng ta đã học cách giải các hệ bất phương trình phức tạp, đặc biệt bằng mô đun, chúng ta đã thử sức với công việc độc lập. Làm dấu. Bài tập về nhà: hoàn thành bài tập số 1 từ số 7 đến số 10 tr. 32–33, Số 4,34 (a; b), Số 4,35 (a; b). Bài 4 Chuẩn bị kiểm tra Mục tiêu: tổng hợp, hệ thống hóa tài liệu đã học, chuẩn bị cho học sinh kiểm tra chủ đề “Hệ bất đẳng thức hữu tỉ”. Tiến trình bài học 1. Tổ chức: Tổ chức lớp học, truyền đạt chủ đề, mục tiêu của bài học. bài học.<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >11. Lặp lại tài liệu đã học. * Việc giải hệ bất phương trình có ý nghĩa gì * Kết quả của việc giải hệ bất phương trình hữu tỉ là gì 1. Thu các mảnh giấy từ bài kiểm tra ở nhà của bạn. 2. Những quy tắc nào được sử dụng khi giải bất phương trình? Giải thích nghiệm của bất đẳng thức: a) 3x – 8< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0; b) – 2x2 + x – 5 > 0; c) 3x2 – x + 4 ≤ 0. 4. Xây dựng định nghĩa hệ bất phương trình hai biến. Việc giải một hệ bất phương trình có ý nghĩa gì? 5. Phương pháp khoảng được sử dụng tích cực trong việc giải các bất đẳng thức hữu tỉ là gì? Giải thích điều này bằng ví dụ giải bất đẳng thức: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Bài tập huấn luyện. 1. Giải bất đẳng thức: a) 12(1 – x) ≥ 5x – (8x + 2); b) – 3x2 + 17x + 6< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0, x> – 2. Điều này không tương ứng với nhiệm vụ a) hoặc nhiệm vụ b). Điều này có nghĩa là chúng ta có thể giả sử rằng p ≠ 2, nghĩa là bất đẳng thức đã cho là bậc hai. a) Bất đẳng thức bậc hai dạng ax2 + bx + c> 0 vô nghiệm nếu a< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>0 thỏa mãn với mọi giá trị của x, nếu a > 0 và D
IV. Tóm tắt bài học. Bạn cần xem lại tất cả tài liệu đã học ở nhà và chuẩn bị cho bài kiểm tra. Bài tập về nhà: Câu 1,21 (b; d), Câu 2,15 (c; d); số 4,14 (g), số 4,28 (g); Số 4.19 (a), Số 4.33 (d).
Bất đẳng thức hữu tỉ với một biến x là bất đẳng thức có dạng - biểu thức hữu tỉ, tức là các biểu thức đại số gồm các số và biến x sử dụng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và nâng lên lũy thừa tự nhiên. Tất nhiên, một biến có thể được biểu thị bằng bất kỳ chữ cái nào khác, nhưng trong toán học, chữ x thường được ưu tiên hơn.
Khi giải các bất đẳng thức hữu tỉ, ba quy tắc đã được xây dựng ở trên trong § 1 được sử dụng. Với sự trợ giúp của các quy tắc này, một bất đẳng thức hữu tỉ đã cho thường được chuyển thành dạng / (x) > 0, trong đó / (x) là một đại số. phân số (hoặc đa thức). Tiếp theo, phân tích tử số và mẫu số của phân số f (x) thành các thừa số có dạng x - a (tất nhiên là nếu điều này là có thể) và áp dụng phương pháp khoảng mà chúng tôi đã đề cập ở trên (xem ví dụ 3 ở phần trước). đoạn).
Ví dụ 1. Giải bất đẳng thức (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.
Giải pháp. Xét biểu thức f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).
Nó chuyển sang 0 tại các điểm 1,-1,2; Hãy đánh dấu những điểm này trên tia số. Trục số được chia theo các điểm đã cho thành bốn khoảng (Hình 6), tại mỗi khoảng đó biểu thức f (x) giữ một dấu không đổi. Để xác minh điều này, chúng ta hãy thực hiện bốn đối số (cho từng khoảng được chỉ định riêng biệt).
Lấy điểm x bất kỳ trong khoảng (2. Điểm này nằm trên trục số bên phải điểm -1, bên phải điểm 1 và bên phải điểm 2. Điều này có nghĩa là x > -1, x > 1, x > 2 (Hình 7). Nhưng khi đó x-1>0, x+1>0, x - 2 > 0, và do đó f (x) > 0 (là tích của bất đẳng thức hữu tỉ ba số dương). Vì vậy, bất đẳng thức f (x) đúng trên toàn bộ khoảng ) > 0.
Hãy lấy bất kỳ điểm x nào từ khoảng (1,2). Điểm này nằm trên trục số bên phải điểm-1, bên phải điểm 1, nhưng ở bên trái điểm 2. Điều này có nghĩa là x > -1, x > 1, nhưng x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.
Hãy lấy bất kỳ điểm x nào từ khoảng (-1,1). Điểm này nằm trên trục số bên phải điểm -1, bên trái điểm 1 và bên trái điểm 2. Điều này có nghĩa là x > -1, nhưng x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (là tích của hai số âm và một số dương). Vậy trên khoảng (-1,1) bất đẳng thức f(x)> 0 đúng.
Cuối cùng, lấy bất kỳ điểm x nào từ tia mở (-oo, -1). Điểm này nằm trên trục số bên trái điểm -1, bên trái điểm 1 và bên trái điểm 2. Điều này có nghĩa là x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.
Hãy tóm tắt. Dấu của biểu thức f (x) trong các khoảng đã chọn như trên Hình 2. 11. Chúng ta quan tâm đến những bất đẳng thức có bất đẳng thức f (x) > 0 bằng cách sử dụng mô hình hình học được trình bày trong Hình. 11, ta thiết lập rằng bất đẳng thức f(x) > 0 đúng trên khoảng (-1, 1) hoặc trên tia mở
Trả lời: -1 < х < 1; х > 2.
Ví dụ 2. Giải bất đẳng thức
Giải pháp. Như trong ví dụ trước, chúng ta sẽ thu thập thông tin cần thiết từ Hình. 11, nhưng có hai thay đổi so với ví dụ 1. Thứ nhất, vì chúng ta quan tâm đến những giá trị nào của x mà bất đẳng thức f (x) giữ< 0, нам придется выбрать промежутки
Thứ hai, chúng tôi cũng hài lòng với những điểm mà đẳng thức f (x) = 0 giữ. Đây là các điểm -1, 1, 2, chúng tôi sẽ đánh dấu chúng trong hình bằng các vòng tròn tối và đưa chúng vào đáp án. Trong hình. Hình 12 trình bày một mô hình hình học của câu trả lời, từ đó có thể dễ dàng chuyển sang ký hiệu phân tích.
Trả lời:
Ví dụ 3. Giải bất đẳng thức
Giải pháp. Chúng ta hãy phân tích tử số và mẫu số của phân số đại số fx chứa ở vế trái của bất đẳng thức. Ở tử số ta có x 2 - x = x(x - 1).Để phân tích tam thức bình phương x 2 - bx ~ 6 có trong mẫu số của phân số, chúng ta tìm nghiệm của nó. Từ phương trình x 2 - 5x - 6 = 0 ta tìm được x 1 = -1, x 2 = 6. Điều này có nghĩa là
(chúng tôi đã sử dụng công thức phân tích thành thừa số của một tam thức bậc hai: ax 2 + bx + c = a(x - x 1 - x 2)).
Như vậy, ta đã chuyển bất đẳng thức đã cho về dạng
Hãy xem xét biểu thức:
Tử số của phân số này chuyển sang 0 tại các điểm 0 và 1, và chuyển sang 0 tại các điểm -1 và 6. Hãy đánh dấu các điểm này trên trục số (Hình 13). Trục số được chia theo các điểm đã cho thành năm khoảng và tại mỗi khoảng, biểu thức fх) giữ một dấu không đổi. Lập luận theo cách tương tự như trong Ví dụ 1, chúng ta đi đến kết luận rằng dấu của biểu thức fх) trong các khoảng đã chọn như trong Hình. 13. Chúng ta quan tâm đến bất đẳng thức f(x) đúng ở đâu< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).0câu trả lời: -1
Ví dụ 4. Giải bất đẳng thức
Giải pháp. Khi giải các bất đẳng thức hữu tỉ, theo quy luật, người ta chỉ thích để lại số 0 ở vế phải của bất đẳng thức. Do đó, ta chuyển bất đẳng thức về dạng.
Kế tiếp:
Kinh nghiệm cho thấy, nếu vế phải của bất đẳng thức chỉ chứa số 0 thì việc thực hiện suy luận sẽ thuận tiện hơn khi ở vế trái cả tử số và mẫu số đều có hệ số dẫn đầu dương. mẫu số, các phân số theo nghĩa này đều theo thứ tự (hệ số cao nhất, tức là hệ số x 2, bằng 6 - một số dương), nhưng không phải mọi thứ đều theo thứ tự ở tử số - hệ số cao nhất (hệ số của x) bằng -4 (là số âm). -1 và đổi dấu của bất đẳng thức sang ngược lại, ta thu được bất đẳng thức tương đương.
Hãy phân tích tử số và mẫu số của một phân số đại số. Trong tử số, mọi thứ đều đơn giản:
Phân tích tam thức bình phương có trong mẫu số của một phân số
(chúng ta lại sử dụng công thức phân tích thành thừa số của tam thức bậc hai).
Như vậy, ta đã rút gọn bất đẳng thức đã cho về dạng
Hãy xem xét biểu thức
Tử số của phân số này chuyển thành 0 tại điểm và mẫu số - tại các điểm Chúng tôi đánh dấu các điểm này trên trục số (Hình 14), được chia cho các điểm đã chỉ định thành bốn khoảng và tại mỗi khoảng biểu thức. f(x) giữ nguyên dấu không đổi (các dấu này được biểu thị trên Hình 14). Chúng ta quan tâm đến những khoảng mà bất đẳng thức fx< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Trong tất cả các ví dụ đã xem xét, chúng ta đã chuyển đổi bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức tương đương có dạng f (x) > 0 hoặc f (x)<0,где
Trong trường hợp này, số lượng thừa số trong tử số và mẫu số của phân số có thể là bất kỳ. Khi đó các điểm a, b, c, d được đánh dấu trên trục số. và xác định dấu của biểu thức f(x) trên các khoảng đã chọn. Chúng tôi nhận thấy rằng ở ngoài cùng bên phải của các khoảng đã chọn, bất đẳng thức f (x) > 0 có giá trị, và sau đó dọc theo các khoảng đó là các dấu của biểu thức f (x) thay thế (xem Hình 16a). Thật thuận tiện để minh họa sự xen kẽ này bằng cách sử dụng một đường cong lượn sóng, được vẽ từ phải sang trái và từ trên xuống dưới (Hình 166). Trên những khoảng mà đường cong này (đôi khi được gọi là đường cong dấu) nằm phía trên trục x, bất đẳng thức f (x) > 0 có giá trị; trong đó đường cong này nằm phía dưới trục x thì bất đẳng thức f(x) được thỏa mãn< 0.
Ví dụ 5. Giải bất đẳng thức
Giải pháp. Chúng tôi có
(cả hai vế của bất đẳng thức trước được nhân với 6).
Để sử dụng phương pháp khoảng, hãy đánh dấu các điểm trên trục số
(tại các điểm này, tử số của phân số ở vế trái của bất đẳng thức trở thành 0) và các điểm (tại các điểm này, mẫu số của phân số được chỉ định trở thành 0). Thông thường, các điểm được đánh dấu theo sơ đồ, có tính đến thứ tự chúng xuất hiện (bên phải, bên trái) và không đặc biệt chú ý đến tỷ lệ. Rõ ràng là vậy 
Tình huống với các con số phức tạp hơn. Ước tính đầu tiên cho thấy cả hai con số đều lớn hơn 2,6 một chút, từ đó không thể kết luận con số nào lớn hơn và con số nào nhỏ hơn. Giả sử (ngẫu nhiên) rằng 
Bất đẳng thức hóa ra là đúng, điều đó có nghĩa là dự đoán của chúng ta đã được xác nhận: trên thực tế
Vì thế,
Chúng ta đánh dấu 5 điểm đã cho theo thứ tự đã cho trên trục số (Hình 17a). Hãy sắp xếp các dấu hiệu biểu hiện
trên các khoảng kết quả: ở khoảng ngoài cùng bên phải có dấu +, sau đó các dấu hiệu thay thế (Hình 176). Hãy vẽ một đường cong chứa các dấu và đánh dấu (bằng cách tô bóng) những khoảng mà bất đẳng thức mà chúng ta quan tâm f (x) > 0 có giá trị (Hình 17c). Cuối cùng chúng ta hãy tính đến việc chúng ta đang nói về bất đẳng thức không nghiêm ngặt f (x) > 0, có nghĩa là chúng ta cũng quan tâm đến những điểm mà tại đó biểu thức f (x) trở thành 0. Đây là các nghiệm của tử số của phân số f (x), tức là điểm
Hãy đánh dấu chúng trong hình. 17c trong quầng thâm (và tất nhiên sẽ được đưa vào câu trả lời). Giờ đây là cơm. 17c đưa ra một mô hình hình học hoàn chỉnh của nghiệm của một bất đẳng thức cho trước.Với bài học này, bạn sẽ tìm hiểu về các bất đẳng thức hợp lý và hệ thống của chúng. Hệ bất đẳng thức hữu tỉ được giải bằng các phép biến đổi tương đương. Định nghĩa về sự tương đương được xem xét, phương pháp thay thế bất đẳng thức phân số hợp lý bằng bất đẳng thức bậc hai, đồng thời hiểu được sự khác biệt giữa bất đẳng thức và phương trình cũng như cách thực hiện các phép biến đổi tương đương.
Giới thiệu
đại số lớp 9
Ôn tập cuối chương trình đại số lớp 9
Bất bình đẳng hợp lý và hệ thống của họ. Hệ thống bất bình đẳng hợp lý.
1.1 Trừu tượng.
Các phép biến đổi tương đương của bất đẳng thức hữu tỉ
1. Các phép biến đổi tương đương của bất đẳng thức hữu tỉ.
Quyết định bất bình đẳng hợp lý có nghĩa là tìm ra tất cả các giải pháp của nó. Không giống như một phương trình, khi giải một bất đẳng thức, theo quy luật, sẽ có vô số nghiệm. Vô số giải pháp không thể được xác minh bằng cách thay thế. Do đó, bạn cần biến đổi bất đẳng thức ban đầu sao cho ở mỗi dòng tiếp theo bạn thu được bất đẳng thức có cùng tập nghiệm.
Bất đẳng thức hợp lý chỉ có thể được giải quyết với sự giúp đỡ tương đương hoặc các phép biến đổi tương đương. Những phép biến đổi như vậy không làm biến dạng tập nghiệm.
Sự định nghĩa. Bất đẳng thức hợp lý gọi điện tương đương, nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau.
Để chỉ ra sự tương đương sử dụng dấu hiệu
Giải hệ phương trình bất đẳng thức. Chuyển đổi hệ thống tương đương
2. Giải hệ bất phương trình
Bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai là bất đẳng thức hữu tỉ phân số. Các phương pháp giải chúng là sự tiếp nối tự nhiên của các phương pháp giải bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai.
Hãy di chuyển các số ở bên phải sang bên trái với dấu ngược lại.
Kết quả là vế phải sẽ giữ nguyên là 0. Phép biến đổi này là tương đương. Điều này được biểu thị bằng dấu hiệu
Hãy thực hiện các hành động mà đại số quy định. Trừ “1” ở bất đẳng thức thứ nhất và “2” ở bất đẳng thức thứ hai.
Giải bất đẳng thức thứ nhất bằng phương pháp khoảng
3. Giải bất đẳng thức bằng phương pháp khoảng
1) Hãy giới thiệu một hàm. Chúng ta cần biết khi nào hàm này nhỏ hơn 0.
2) Hãy tìm miền định nghĩa của hàm số: mẫu số không được chứa 0. “2” là điểm ngắt. Tại x=2 hàm số không được xác định.
3) Tìm nghiệm của hàm số. Hàm bằng 0 nếu tử số chứa 0.
Các điểm được đặt chia trục số thành ba khoảng - đây là những khoảng có dấu không đổi. Tại mỗi khoảng hàm số giữ nguyên dấu của nó. Hãy xác định dấu trên khoảng đầu tiên. Hãy thay thế một số giá trị. Ví dụ: 100. Rõ ràng cả tử số và mẫu số đều lớn hơn 0. Điều này có nghĩa là toàn bộ phân số đều dương.
Hãy xác định dấu trên các khoảng còn lại. Khi đi qua điểm x=2 chỉ có mẫu số đổi dấu. Điều này có nghĩa là toàn bộ phân số sẽ đổi dấu và âm. Hãy thực hiện một lý luận tương tự. Khi đi qua điểm x=-3 chỉ có tử số đổi dấu. Điều này có nghĩa là phân số sẽ đổi dấu và dương.
Hãy chọn khoảng tương ứng với điều kiện bất đẳng thức. Hãy tô màu nó và viết nó dưới dạng bất đẳng thức
Kỹ thuật rút gọn bất đẳng thức hữu tỉ phân số thành bất đẳng thức bậc hai.
Giải bất đẳng thức thứ nhất bằng cách rút gọn nó về dạng bậc hai
4. Giải bất đẳng thức bằng bất đẳng thức bậc hai
Sự thật quan trọng.
Khi so sánh với 0 (trong trường hợp bất đẳng thức nghiêm ngặt), phân số có thể được thay thế bằng tích của tử số và mẫu số, hoặc có thể hoán đổi tử số hoặc mẫu số.
Điều này là như vậy bởi vì cả ba bất đẳng thức đều được thỏa mãn với điều kiện u và v dấu hiệu khác nhau. Ba bất đẳng thức này là tương đương.
Hãy sử dụng thực tế này và thay thế bất đẳng thức phân số hữu tỷ bằng bất đẳng thức bậc hai.
Hãy giải bất đẳng thức bậc hai.
Hãy giới thiệu hàm bậc hai. Chúng ta hãy tìm gốc của nó và xây dựng một bản phác thảo đồ thị của nó.
Điều này có nghĩa là các nhánh của parabol hướng lên trên. Trong khoảng các nghiệm, hàm số giữ nguyên dấu của nó. Cô ấy tiêu cực.
Ngoài khoảng cách của các nghiệm thì hàm số dương.
Giải bất đẳng thức thứ nhất:
Giải bất đẳng thức thứ hai
5. Giải bất đẳng thức
Hãy giới thiệu chức năng:
Hãy tìm các khoảng dấu không đổi của nó:
Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm nghiệm gốc và các điểm gián đoạn của miền định nghĩa của hàm số. Chúng tôi luôn luôn đưa ra những điểm đột phá. (x=3/2) Ta tìm nghiệm dựa vào dấu bất đẳng thức. Sự bất bình đẳng của chúng tôi là nghiêm ngặt. Vì vậy, chúng tôi đào tận gốc.
Hãy đặt các dấu hiệu:
Hãy viết ra giải pháp:
Giao của các tập nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất và bất đẳng thức thứ hai. Mẫu ghi quyết định
Hãy giải quyết xong hệ thống. Hãy tìm giao điểm của tập nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất và tập nghiệm của bất đẳng thức thứ hai.
Giải hệ bất phương trình có nghĩa là tìm giao điểm của tập nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất và tập nghiệm của bất đẳng thức thứ hai. Do đó, sau khi giải riêng các bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai, bạn cần viết kết quả thu được vào một hệ.
Chúng ta hãy mô tả nghiệm của bất đẳng thức thứ nhất trên trục Ox.
Chúng ta hãy mô tả cách giải bất đẳng thức thứ hai dưới trục.
Giải pháp của hệ thống sẽ là những giá trị của biến thỏa mãn cả bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai. Vì vậy, giải pháp hệ thống :
Phần kết luận
- Đại số, lớp 9. Phần 1/2. Sách giáo khoa (A. G. Mordkovich, P. V. Semenov) 2010 Đại số, lớp 9. Phần 2/2. Sách bài tập (A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina, v.v.) 2010 Đại số, lớp 9 (L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich, v.v.) 2010 Đại số, lớp 9. Sách bài tập (L. I. Zvavich, A. R. Ryazanovsky, P. V. Semenov) 2008 Đại số, lớp 9 (Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova) 2009 Đại số, lớp 9 (L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich, v.v. ) 2010
1.3. Tài nguyên web bổ sung
http://slovo. ws/urok/đại số -Tài liệu đào tạo(sách giáo khoa, bài viết) về đại số lớp 9. Tất cả sách giáo khoa được liệt kê trong danh sách có thể được xem trực tuyến mà không cần tải xuống.
http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/
1.4. Làm nó ở nhà
Đại số, lớp 9. Phần 2/2. Sách bài toán (A. G. Mordkovich, L. A. Alexandrova, T. N. Mishustina, v.v.) 2010
Bài tập về nhà: 4,24; 4,28
Các nhiệm vụ khác: 4,25; 4.26
Bạn cần tải giáo án về chủ đề này » Những bất bình đẳng hợp lý và hệ thống của chúng. Hệ thống bất bình đẳng hợp lý?
Giả sử chúng ta cần tìm các giá trị số của x mà tại đó một số bất đẳng thức hữu tỉ đồng thời biến thành bất đẳng thức số thực. Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng cần phải giải một hệ bất đẳng thức hữu tỉ với một x chưa biết.
Để giải một hệ bất phương trình hữu tỉ, người ta phải tìm tất cả các nghiệm của từng bất phương trình trong hệ đó. Khi đó phần chung của tất cả các nghiệm tìm được sẽ là nghiệm của hệ.
Ví dụ: Giải hệ bất phương trình
(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,
Đầu tiên ta giải bất đẳng thức
(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.
Sử dụng phương pháp khoảng (Hình 1), chúng ta thấy rằng tập hợp tất cả các nghiệm của bất đẳng thức (2) bao gồm hai khoảng: (-, 1) và (5, 7).
Hình 1
Bây giờ hãy giải bất đẳng thức
Sử dụng phương pháp khoảng (Hình 2), chúng ta thấy rằng tập hợp tất cả các nghiệm của bất đẳng thức (3) cũng bao gồm hai khoảng: (2, 3) và (4, +).
Bây giờ chúng ta cần tìm phần chung giải bất đẳng thức (2) và (3). Hãy vẽ một trục tọa độ x và đánh dấu các nghiệm tìm được trên đó. Bây giờ thì rõ ràng rồi phần chung nghiệm của bất phương trình (2) và (3) là khoảng (5, 7) (Hình 3).
Do đó, tập hợp tất cả nghiệm của hệ bất đẳng thức (1) tạo thành khoảng (5, 7).
Ví dụ: Giải hệ bất phương trình
x2 - 6x + 10< 0,
Trước tiên hãy giải bất đẳng thức
x 2 - 6x + 10< 0.
Sử dụng phương pháp tuyển chọn hình vuông đầy đủ, chúng ta có thể viết rằng
x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.
Do đó, bất đẳng thức (2) có thể viết dưới dạng
(x - 3) 2 + 1< 0,
từ đó rõ ràng là nó không có giải pháp.
Bây giờ bạn không cần phải giải bất đẳng thức
vì câu trả lời đã rõ ràng: hệ (1) không có nghiệm.
Ví dụ: Giải hệ bất phương trình
Trước tiên hãy xem xét bất đẳng thức đầu tiên; chúng tôi có
1 < 0, < 0.
Sử dụng đường cong dấu chúng ta tìm nghiệm của bất đẳng thức này: x< -2; 0 < x < 2.
Bây giờ chúng ta giải bất đẳng thức thứ hai của hệ đã cho. Ta có x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.
Sau khi lưu ý các nghiệm tìm được cho bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai trên trục số tổng quát (Hình 6), chúng ta tìm thấy các khoảng mà các nghiệm này trùng nhau (giao điểm của nghiệm): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.
Ví dụ: Giải hệ bất phương trình
Ta biến đổi bất đẳng thức thứ nhất của hệ:
x 3 (x - 10)(x + 10) 0, hoặc x(x - 10)(x + 10) 0
(vì các thừa số ở lũy thừa lẻ có thể được thay thế bằng các thừa số tương ứng của lũy thừa bậc một); Sử dụng phương pháp khoảng, chúng ta sẽ tìm nghiệm của bất đẳng thức cuối cùng: -10 x 0, x 10.
Xét bất đẳng thức thứ hai của hệ; chúng tôi có
Chúng tôi tìm thấy (Hình 8) x -9; 3< x < 15.
Kết hợp các nghiệm tìm được, ta thu được (Hình 9) x 0; x > 3.
Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình:
x + y< 2,5,
Giải: Đưa hệ về dạng
Cộng các bất đẳng thức thứ nhất và thứ hai, ta có y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим
ở đâu -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.
Chúng tôi tiếp tục xem xét các cách giải bất đẳng thức liên quan đến một biến. Chúng ta đã nghiên cứu các bất đẳng thức tuyến tính và bậc hai, đây là những trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức hữu tỉ. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ làm rõ loại bất đẳng thức nào được coi là hợp lý và chúng tôi sẽ cho bạn biết chúng được chia thành loại nào (số nguyên và phân số). Sau đó, chúng tôi sẽ chỉ ra cách giải chúng một cách chính xác, cung cấp các thuật toán cần thiết và phân tích các vấn đề cụ thể.
Yandex.RTB RA-339285-1
Khái niệm về sự bình đẳng hợp lý
Khi nghiên cứu chủ đề giải bất đẳng thức ở trường, các em liền tiếp thu bất đẳng thức hữu tỉ. Họ tiếp thu và mài giũa các kỹ năng làm việc với kiểu biểu đạt này. Hãy cùng chúng tôi đưa ra định nghĩa về khái niệm này:
Định nghĩa 1
Bất đẳng thức hữu tỉ là bất đẳng thức có các biến chứa biểu thức hữu tỉ ở cả hai phần.
Lưu ý rằng định nghĩa không ảnh hưởng đến câu hỏi về số lượng biến, có nghĩa là có thể có nhiều biến như mong muốn. Do đó, có thể xảy ra bất đẳng thức hữu tỉ với 1, 2, 3 biến trở lên. Thông thường, bạn phải xử lý các biểu thức chỉ chứa một biến, ít hơn là hai biến và các bất đẳng thức với số lượng lớn biến thường không được xem xét trong khóa học ở trường.
Vì vậy, chúng ta có thể nhận ra một bất đẳng thức hợp lý bằng cách nhìn vào cách viết của nó. Nó phải có các biểu thức hợp lý ở cả bên phải và bên trái. Dưới đây là một số ví dụ:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Nhưng đây là bất đẳng thức có dạng 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Tất cả các bất đẳng thức hợp lý được chia thành số nguyên và phân số.
Định nghĩa 2
Toàn bộ sự bình đẳng hợp lý bao gồm toàn bộ các biểu thức hợp lý (ở cả hai phần).
Định nghĩa 3
Bình đẳng hợp lý phân số là một đẳng thức chứa biểu thức phân số ở một hoặc cả hai phần của nó.
Ví dụ: bất đẳng thức dạng 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 và 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 là phân số hợp lý và 0, 5 x 3 (2 − 5 y) Và 1: x + 3 > 0- trọn.
Chúng tôi đã phân tích bất bình đẳng hợp lý là gì và xác định các loại chính của chúng. Chúng ta có thể chuyển sang xem xét các cách để giải quyết chúng.
Giả sử rằng chúng ta cần tìm giải pháp cho toàn bộ sự bất bình đẳng hợp lý r(x)< s (x) , chỉ bao gồm một biến x. Đồng thời r(x) Và s(x)đại diện cho bất kỳ số nguyên nào số hữu tỉ hoặc biểu thức và dấu bất đẳng thức có thể khác nhau. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần biến đổi nó và có được đẳng thức tương đương.
Hãy bắt đầu bằng cách di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái. Chúng tôi nhận được những điều sau đây:
có dạng r(x) − s(x)< 0 (≤ , > , ≥)
Chúng tôi biết điều đó r(x) − s(x) sẽ là một giá trị số nguyên và bất kỳ biểu thức số nguyên nào cũng có thể được chuyển đổi thành đa thức. Hãy biến đổi r(x) − s(x) trong h(x). Biểu thức này sẽ là một đa thức bằng nhau. Xét r(x) − s(x) và h(x) có cùng khoảng giá trị cho phép của x nên ta có thể chuyển sang các bất đẳng thức h(x)< 0 (≤ , >, ≥), sẽ tương đương với bản gốc.
Thông thường, một phép biến đổi đơn giản như vậy sẽ đủ để giải bất đẳng thức, vì kết quả có thể là bất đẳng thức tuyến tính hoặc bậc hai, giá trị của nó rất dễ tính toán. Hãy phân tích những vấn đề như vậy.
Ví dụ 1
Tình trạng: giải toàn bộ bất đẳng thức hợp lý x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Giải pháp
Hãy bắt đầu bằng cách di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái với dấu ngược lại.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Bây giờ chúng ta đã hoàn thành tất cả các phép toán với đa thức ở bên trái, chúng ta có thể chuyển sang bất đẳng thức tuyến tính 3 x − 2 0, tương đương với những gì đã cho trong điều kiện. Thật dễ dàng để giải quyết:
3 x 2 x 2 3
Trả lời: x 2 3 .
Ví dụ 2
Tình trạng: tìm lời giải của bất đẳng thức (x 2 + 1) 2 − 3 x 2 > (x 2 − x) (x 2 + x).
Giải pháp
Chúng tôi chuyển biểu thức từ bên trái sang bên phải và thực hiện các phép biến đổi tiếp theo bằng cách sử dụng các công thức nhân viết tắt.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
Kết quả của các phép biến đổi, chúng ta nhận được một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị x, do đó, nghiệm của bất đẳng thức ban đầu có thể là bất kỳ số thực nào.
Trả lời: bất kỳ số nào thực sự.
Ví dụ 3
Tình trạng: giải quyết bất đẳng thức x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Giải pháp
Chúng tôi sẽ không chuyển bất cứ thứ gì từ phía bên phải vì có 0 ở đó. Hãy bắt đầu ngay bằng cách chuyển đổi vế trái thành đa thức:
x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .
Chúng ta đã rút ra được một bất đẳng thức bậc hai tương đương với bất đẳng thức ban đầu, có thể giải dễ dàng bằng một số phương pháp. Hãy sử dụng một phương pháp đồ họa.
Hãy bắt đầu bằng việc tính căn bậc ba của bình phương − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Bây giờ trên sơ đồ, chúng tôi đánh dấu tất cả các số 0 cần thiết. Vì hệ số dẫn đầu nhỏ hơn 0 nên các nhánh của parabol trên đồ thị sẽ hướng xuống dưới.
Chúng ta sẽ cần vùng của parabol nằm phía trên trục x, vì trong bất đẳng thức chúng ta có dấu >. Khoảng thời gian cần thiết là (− 0 , 5 , 6) , do đó, khoảng giá trị này sẽ là giải pháp chúng ta cần.
Trả lời: (− 0 , 5 , 6) .
Có nhiều hơn nữa trường hợp phức tạp, khi thu được đa thức một phần ba trở lên ở bên trái trình độ cao. Để giải bất đẳng thức đó, nên sử dụng phương pháp khoảng. Đầu tiên chúng ta tính toán tất cả các nghiệm của đa thức h(x), điều này thường được thực hiện bằng cách phân tích thành nhân tử một đa thức.
Ví dụ 4
Tình trạng: tính toán (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Giải pháp
Hãy bắt đầu, như mọi khi, bằng cách di chuyển biểu thức sang bên trái, sau đó chúng ta sẽ cần mở rộng dấu ngoặc và đưa ra các thuật ngữ tương tự.
(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
Kết quả của các phép biến đổi, chúng ta thu được đẳng thức tương đương với đẳng thức ban đầu, bên trái của đẳng thức đó là đa thức bậc ba. Hãy sử dụng phương pháp khoảng để giải nó.
Đầu tiên chúng ta tính toán gốc của đa thức, mà chúng ta cần giải phương trình bậc ba x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 = 0. Liệu nó có nguồn gốc hợp lý? Chúng chỉ có thể nằm trong số các ước số của số hạng tự do, tức là giữa các số ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Hãy thay chúng lần lượt vào phương trình ban đầu và tìm ra rằng các số 1, 2 và 3 sẽ là nghiệm của nó.
Vậy đa thức x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6 có thể được mô tả như một sản phẩm (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), và bất đẳng thức x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 có thể được biểu diễn dưới dạng (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Với bất đẳng thức loại này, khi đó chúng ta sẽ dễ dàng xác định dấu trên các khoảng hơn.
Tiếp theo, chúng ta thực hiện các bước còn lại của phương pháp khoảng: vẽ trục số và điểm trên đó tọa độ 1, 2, 3. Họ chia đường thành 4 khoảng trong đó họ cần xác định các dấu hiệu. Chúng ta hãy tô màu các khoảng bằng dấu trừ, vì bất đẳng thức ban đầu có dấu < .
Tất cả những gì chúng ta phải làm là viết ra câu trả lời có sẵn: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Trả lời: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Trong một số trường hợp, tiến hành từ bất đẳng thức r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) đến h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , ở đâu h(x)– đa thức có bậc cao hơn 2, không phù hợp. Điều này mở rộng cho các trường hợp trong đó việc biểu thị r(x) − s(x) dưới dạng tích của nhị thức tuyến tính và tam thức bậc hai dễ dàng hơn việc phân tích h(x) thành các thừa số riêng lẻ. Hãy nhìn vào vấn đề này.
Ví dụ 5
Tình trạng: tìm lời giải của bất đẳng thức (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).
Giải pháp
Bất đẳng thức này áp dụng cho số nguyên. Nếu chúng ta di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái, mở ngoặc và thực hiện rút gọn các số hạng, chúng ta nhận được x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .
Giải bất đẳng thức này không phải là điều dễ dàng, vì bạn phải tìm nghiệm của đa thức bậc bốn. Nó không có một nghiệm hữu tỉ duy nhất (ví dụ: 1, − 1, 19 hoặc − 19 không phù hợp), và rất khó để tìm kiếm các rễ khác. Điều này có nghĩa là chúng ta không thể sử dụng phương pháp này.
Nhưng có những giải pháp khác. Nếu chúng ta di chuyển các biểu thức từ vế phải của bất đẳng thức ban đầu sang trái, chúng ta có thể khoanh tròn nhân tử chung x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Chúng ta thu được bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức ban đầu và nghiệm của nó sẽ cho ta kết quả mong muốn. Hãy tìm các số 0 của biểu thức ở phía bên trái mà chúng ta giải được phương trình bậc hai x 2 − 2 x − 1 = 0 Và x 2 − 2 x − 19 = 0. Gốc của chúng là 1 ± 2, 1 ± 2 5. Ta chuyển sang phương trình x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0, có thể giải bằng phương pháp khoảng:
Theo hình vẽ, câu trả lời sẽ là - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞.
Trả lời: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Chúng ta hãy nói thêm rằng đôi khi không thể tìm được tất cả nghiệm của một đa thức h(x), do đó, chúng ta không thể biểu diễn nó dưới dạng tích của nhị thức tuyến tính và tam thức bậc hai. Sau đó giải bất đẳng thức dạng h (x)< 0 (≤ , >, ≥) không thể, nghĩa là cũng không thể giải được bất đẳng thức hữu tỉ ban đầu.
Giả sử chúng ta cần giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số có dạng r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , trong đó r (x) và s(x) là các biểu thức hữu tỉ, x là một biến. Ít nhất một trong các biểu thức được chỉ định sẽ là phân số. Thuật toán giải trong trường hợp này sẽ như sau:
- Chúng tôi xác định phạm vi giá trị cho phép của biến x.
- Chúng ta di chuyển biểu thức từ vế phải của bất đẳng thức sang trái và biểu thức thu được r(x) − s(x) biểu diễn nó dưới dạng phân số. Hơn nữa, ở đâu p(x) Và q(x) sẽ là các biểu thức số nguyên là tích của các nhị thức tuyến tính, các tam thức bậc hai không thể phân tích được, cũng như các lũy thừa có số mũ tự nhiên.
- Tiếp theo, chúng ta giải bất đẳng thức thu được bằng phương pháp khoảng.
- Bước cuối cùng là loại trừ các điểm thu được trong quá trình giải khỏi phạm vi giá trị chấp nhận được của biến x mà chúng ta đã xác định ở đầu.
Đây là thuật toán giải các bất đẳng thức hữu tỉ phân số. Hầu hết đều rõ ràng; chỉ cần giải thích một chút cho đoạn 2. Chúng ta di chuyển biểu thức từ bên phải sang bên trái và nhận được r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥), rồi làm cách nào để đưa nó về dạng p(x)q(x)< 0 (≤ , > , ≥) ?
Trước tiên, hãy xác định xem liệu phép chuyển đổi này có thể luôn được thực hiện hay không. Về mặt lý thuyết, khả năng như vậy luôn tồn tại, vì bất kỳ biểu hiện hợp lý. Ở đây chúng ta có một phân số có đa thức ở tử số và mẫu số. Chúng ta hãy nhớ lại định lý cơ bản của đại số và định lý Bezout và xác định rằng bất kỳ đa thức bậc n nào chứa một biến đều có thể chuyển đổi thành tích của các nhị thức tuyến tính. Do đó, về mặt lý thuyết, chúng ta luôn có thể biến đổi biểu thức theo cách này.
Trong thực tế, việc phân tích đa thức thường khá khó khăn, đặc biệt nếu bậc lớn hơn 4. Nếu chúng ta không thể thực hiện khai triển thì chúng ta sẽ không thể giải được bất đẳng thức này, nhưng những bài toán như vậy thường không được học trong các môn học ở trường.
Tiếp theo, chúng ta cần quyết định xem bất đẳng thức thu được là p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) tương đương với r(x) − s(x)< 0 (≤ , >, ≥) và về bản gốc. Có khả năng là nó có thể trở nên không đồng đều.
Sự tương đương của bất đẳng thức sẽ được đảm bảo khi khoảng giá trị chấp nhận được p(x)q(x) sẽ phù hợp với phạm vi biểu thức r(x) − s(x). Khi đó không cần phải tuân theo điểm cuối cùng của hướng dẫn giải bất phương trình hữu tỉ phân số.
Nhưng phạm vi giá trị cho p(x)q(x) có thể rộng hơn r(x) − s(x), ví dụ, bằng cách giảm phân số. Một ví dụ sẽ đi từ x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 đến x · x - 1 x + 3 . Hoặc điều này có thể xảy ra khi đưa các thuật ngữ tương tự, ví dụ ở đây:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 đến 1 x + 3
Đối với những trường hợp như vậy, bước cuối cùng của thuật toán đã được thêm vào. Bằng cách thực hiện nó, bạn sẽ loại bỏ các giá trị biến không liên quan phát sinh do việc mở rộng phạm vi các giá trị có thể chấp nhận được. Hãy lấy một vài ví dụ để làm rõ hơn những gì chúng ta đang nói đến.
Ví dụ 6
Tình trạng: tìm nghiệm của đẳng thức hữu tỉ x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .
Giải pháp
Chúng tôi hành động theo thuật toán được chỉ ra ở trên. Đầu tiên chúng ta xác định phạm vi các giá trị có thể chấp nhận được. Trong trường hợp này, nó được xác định bởi hệ bất đẳng thức x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , nghiệm của nó là tập hợp (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Sau đó, chúng ta cần biến đổi nó để thuận tiện cho việc áp dụng phương pháp khoảng. Trước hết chúng tôi cho phân số đại sốđến mẫu số chung nhỏ nhất (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Chúng ta thu gọn biểu thức ở tử số bằng cách sử dụng công thức tính bình phương của tổng:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Phạm vi giá trị được chấp nhận của biểu thức kết quả là (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Chúng ta thấy rằng nó tương tự với những gì đã được xác định cho đẳng thức ban đầu. Ta kết luận rằng bất đẳng thức x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 tương đương với bất đẳng thức ban đầu, nghĩa là không cần thực hiện bước cuối cùng của thuật toán.
Chúng tôi sử dụng phương pháp khoảng:
Ta thấy nghiệm ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞), sẽ là nghiệm của bất đẳng thức hữu tỉ ban đầu x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Trả lời: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
Ví dụ 7
Tình trạng: tính nghiệm x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .
Giải pháp
Chúng tôi xác định phạm vi của các giá trị chấp nhận được. Trong trường hợp bất đẳng thức này, nó sẽ bằng tất cả các số thực ngoại trừ −2, −1, 0 và 1 .
Chúng ta di chuyển các biểu thức từ bên phải sang bên trái:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Có tính đến kết quả, chúng tôi viết:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
Đối với biểu thức - 1 x - 1, phạm vi giá trị hợp lệ là tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ một. Chúng tôi thấy rằng phạm vi giá trị đã mở rộng: − 2 , − 1 và 0 . Điều này có nghĩa là chúng ta cần thực hiện bước cuối cùng của thuật toán.
Vì chúng ta đã đến bất đẳng thức - 1 x - 1 > 0, nên chúng ta có thể viết tương đương của nó là 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Chúng tôi loại trừ các điểm không nằm trong phạm vi giá trị cho phép của đẳng thức ban đầu. Chúng ta cần loại trừ khỏi (− ∞ , 1) các số − 2 , − 1 và 0 . Như vậy, nghiệm của bất đẳng thức hữu tỉ x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 sẽ là các giá trị (- ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Trả lời: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Để kết luận, chúng tôi đưa ra một ví dụ khác về một vấn đề trong đó câu trả lời cuối cùng phụ thuộc vào phạm vi giá trị có thể chấp nhận được.
Ví dụ 8
Tình trạng: tìm nghiệm của bất đẳng thức 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0.
Giải pháp
Khoảng giá trị cho phép của bất đẳng thức xác định trong điều kiện được xác định bởi hệ x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.
Hệ này không có nghiệm vì
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Điều này có nghĩa là đẳng thức ban đầu 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 không có nghiệm, vì không có giá trị nào của biến mà nó sẽ tạo ra giác quan.
Trả lời: không có giải pháp nào
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
lượt xem
