Sóng dừng và cộng hưởng. Tốc độ pha sóng

29.09.2019

Sóng đứng là gì? Sóng đứng là gì? Nó phát sinh như thế nào? Sự khác biệt giữa sóng dừng và sóng di chuyển là gì?

Bạn đã nhìn thấy tấm đá phiến chưa?
Điều tương tự cũng xảy ra trên mặt nước, chẳng hạn như một vũng nước vào một ngày có gió.
ôi, câu trả lời của bạn khó quá. Tôi giải thích nó đơn giản như một củ cà rốt.
Một quá trình sóng là gì? Đây là khi một vật nào đó thay đổi và nó có giá trị cực đại và cực tiểu (ví dụ về sóng nước khi ở trong những khoảnh khắc khác nhau tại cùng một thời điểm, mức cực đại của sóng (cực đại) thay đổi thành mức tối thiểu). Khi mức tối đa thay đổi thành mức tối thiểu, đây là những sóng di chuyển. Sóng có thể đứng. Đây là khi mức tối đa không thay đổi đến mức tối thiểu, nhưng có mức độ khác nhau ở những nơi khác nhau (gợn sóng đứng trên mặt nước do gió).
Oh o. Đây là một khái niệm làm chấn động bộ não của hàng chục nghìn người suốt ngày đêm! sóng dừng- Đây chính là bản chất của BTG. Bản chất của kỹ thuật Tesla. Bản chất của năng lượng tương lai từ hư không!)))
Đứng#769;sóng trà#769; dao động trong các hệ dao động phân tán với sự sắp xếp đặc trưng của biên độ cực đại (kháng nút) và cực tiểu (nút) xen kẽ. Trong thực tế, sóng như vậy phát sinh trong quá trình phản xạ từ các chướng ngại vật và sự không đồng nhất do sự chồng chất của sóng phản xạ lên sóng tới. Trong trường hợp này, tần số, pha và hệ số suy giảm của sóng tại nơi phản xạ là vô cùng quan trọng.
Ví dụ về sóng dừng bao gồm dao động của dây, dao động của không khí trong ống đàn organ; trong tự nhiên sóng Schumann.

Nói đúng ra, một sóng đứng thuần túy chỉ có thể tồn tại khi không có sự suy hao trong môi trường và sự phản xạ hoàn toàn của sóng từ ranh giới. Thông thường, ngoài sóng đứng, môi trường còn chứa sóng truyền cung cấp năng lượng cho những nơi hấp thụ hoặc bức xạ.
Ống Rubens được dùng để biểu diễn sóng đứng trong chất khí.
Đổ nước vào bồn tắm và vẩy tay lên bề mặt. Sóng sẽ lan ra từ bàn tay của bạn theo mọi hướng. Họ được gọi là người chạy bộ. Bằng cách thay đổi trơn tru tần số rung của tay, bạn có thể đảm bảo rằng các sóng ngừng di chuyển sang hai bên mà vẫn giữ nguyên vị trí. Chuyển động sẽ chỉ lên và xuống. Đây là những sóng đứng.
Chúng được hình thành trong trường hợp này chỉ vì bồn tắm có những bức tường mà từ đó xảy ra phản xạ; nếu không có tường thì sóng đứng sẽ không hình thành, chẳng hạn như trên mặt nước thoáng.
Lời giải thích cho sự xuất hiện của sóng dừng rất đơn giản: khi một sóng truyền trực tiếp và một sóng phản xạ từ một bức tường va chạm, chúng tăng cường lẫn nhau và nếu sự va chạm này xảy ra liên tục ở cùng một nơi thì chuyển động ngang của sóng sẽ biến mất. .
sóng đứng,
sóng phát sinh do sự giao thoa của các sóng truyền theo hai hướng ngược nhau. Gần S. thế kỷ. phát sinh khi sóng bị phản xạ từ các chướng ngại vật và sự không đồng nhất do sự chồng chất của sóng phản xạ trên sóng truyền trực tiếp. Các phần khác nhau của thế kỷ phía Bắc. dao động cùng pha nhưng có biên độ khác nhau (Hình 1). Vào thế kỷ N. , không giống như năng lượng chạy, không có dòng năng lượng. Ví dụ, những sóng như vậy phát sinh trong một hệ đàn hồi - một thanh hoặc cột không khí nằm bên trong một đường ống, đóng ở một đầu khi piston dao động trong đường ống. Sóng lan truyền được phản xạ từ các ranh giới của hệ thống, và do sự chồng chất của sóng tới và sóng phản xạ, sự nhiễu loạn được hình thành trong hệ thống. Trong trường hợp này, dọc theo chiều dài của cột không khí, được gọi là các nút chuyển vị (vận tốc) của mặt phẳng, vuông góc với trục của cột, tại đó không có chuyển vị của các hạt không khí và biên độ áp suất là cực đại, và các antinode của chuyển vị của mặt phẳng, tại đó chuyển vị là tối đa và áp suất đều bằng không. Các nút dịch chuyển và antinode được đặt trong ống ở khoảng cách bằng một phần tư bước sóng, và nút dịch chuyển và antinode áp suất luôn được hình thành gần một bức tường vững chắc. Một hình ảnh tương tự được quan sát thấy nếu bức tường đặc ở cuối đường ống bị loại bỏ, nhưng khi đó nút vận tốc và nút áp suất nằm trên mặt phẳng của lỗ (xấp xỉ). Trong bất kỳ âm lượng nào có ranh giới nhất định và nguồn âm thanh, âm thanh sẽ được hình thành. nhưng có cấu trúc phức tạp hơn.
Bất kỳ quá trình sóng nào liên quan đến sự lan truyền nhiễu đều có thể đi kèm với sự hình thành sóng. Chúng có thể xảy ra không chỉ trong môi trường khí, lỏng và rắn mà còn trong chân không trong quá trình truyền và phản xạ nhiễu điện từ, ví dụ như trong các đường dây điện dài. Ăng-ten của máy phát sóng vô tuyến thường được chế tạo dưới dạng máy rung thẳng hoặc hệ thống máy rung, dọc theo chiều dài của nó là S.V. Trong các phần của ống dẫn sóng và khối kín hình dạng khác nhau, được sử dụng làm bộ cộng hưởng trong công nghệ tần số cực cao, được thành lập bởi S. thế kỷ. một số loại nhất định. Trong các hệ thống điện từ. điện và từ trườngđược tách ra theo cách tương tự như trong đàn hồi S. v. chuyển vị và áp suất được tách ra.
Pure S. v. nói đúng ra chỉ có thể được thiết lập trong trường hợp không có sự suy giảm trong môi trường và sự phản xạ hoàn toàn của sóng từ ranh giới. Thông thường, ngoại trừ S. v. , còn có các sóng lan truyền cung cấp năng lượng cho những nơi hấp thụ hoặc phát xạ.
Trong quang học cũng có thể xác định S. thế kỷ. với mức cao và mức thấp có thể nhìn thấy điện trường. Nếu ánh sáng không đơn sắc thì ở thế kỷ Bắc. các antinode của điện trường có bước sóng khác nhau sẽ nằm ở những vị trí khác nhau và thường quan sát thấy sự phân tách màu sắc.

Sóng đứng- hiện tượng giao thoa của các sóng truyền theo hướng ngược nhau, trong đó sự truyền năng lượng bị suy yếu hoặc không có.

sóng dừng(điện từ) - thay đổi định kỳ biên độ cường độ điện trường và từ trường dọc theo phương truyền sóng gây ra bởi sự giao thoa của sóng tới và sóng phản xạ.

Ví dụ, sóng dừng xảy ra khi sóng bị phản xạ từ các chướng ngại vật và sự không đồng nhất do sự tương tác (giao thoa) của sóng tới và sóng phản xạ. Kết quả giao thoa bị ảnh hưởng bởi tần số dao động, mô đun và pha của hệ số phản xạ, hướng truyền của sóng tới và sóng phản xạ so với nhau, sự thay đổi hoặc bảo toàn phân cực của sóng khi phản xạ và hệ số suy giảm sóng trong môi trường truyền sóng. Nói đúng ra, sóng dừng chỉ có thể tồn tại nếu không có tổn thất trong môi trường truyền sóng (hoặc trong môi trường hoạt động) và sự phản xạ toàn phần của sóng tới. Trong môi trường thực tế, người ta quan sát thấy chế độ sóng hỗn hợp vì luôn có sự truyền năng lượng đến nơi hấp thụ và phát xạ. Nếu, khi một con sóng rơi xuống, nó hoàn toàn sự hấp thụ, thì không có sóng phản xạ, không có sự giao thoa của sóng, biên độ của quá trình truyền sóng trong không gian là không đổi. Quá trình sóng như vậy được gọi là sóng lan truyền.

Ví dụ về sóng dừng bao gồm dao động của dây, dao động của không khí trong ống đàn organ; trong tự nhiên - sóng Schumann. Để chứng minh sóng dừng trong chất khí, người ta sử dụng ống Rubens.

Sóng dừng là nghiệm của phương trình sóng. Chúng có thể được coi là sự chồng chất của các sóng truyền theo hướng ngược nhau.

Khi sóng dừng tồn tại trong môi trường, có những điểm tại đó biên độ dao động bằng không. Những điểm này được gọi là điểm giao sóng đứng. Những điểm tại đó dao động có biên độ cực đại được gọi là phản nút.

YouTube bách khoa toàn thư

1 / 5
Ví dụ, các dạng dao động khác nhau của một sợi dây được kẹp ở hai đầu sẽ xác định âm cơ bản và âm bội của nó.

Mô tả toán học của sóng dừng

Trong trường hợp một chiều, hai sóng có cùng tần số, bước sóng và biên độ truyền theo hướng ngược nhau (ví dụ hướng về nhau) sẽ tương tác, có thể tạo ra sóng dừng. Ví dụ, một sóng điều hòa truyền sang phải, đến đầu dây, tạo ra sóng dừng. Sóng phản xạ từ đầu phải có cùng biên độ và tần số với sóng tới.
Xét sóng tới và sóng phản xạ có dạng:
y 1 = y 0 sin ⁡ (k x − ω t) (\displaystyle y_(1)\;=\;y_(0)\,\sin(kx-\omega t)) y 2 = y 0 sin ⁡ (k x + ω t) (\displaystyle y_(2)\;=\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t))
Do đó phương trình thu được của sóng dừng là y sẽ ở dạng tổng năm 1 Và năm 2:
y = y 0 sin ⁡ (k x − ω t) + y 0 sin ⁡ (k x + ω t) . (\displaystyle y\;=\;y_(0)\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_(0)\,\sin(kx+\omega t).)
Sử dụng quan hệ lượng giác, phương trình này có thể được viết lại thành:
y = 2 y 0 cos ⁡ (ω t) sin ⁡ (k x) . (\displaystyle y\;=\;2\,y_(0)\,\cos(\omega t)\;\sin(kx.)
Nếu chúng ta coi thời trang x = 0, λ/2, 3λ/2, . . . (\displaystyle x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...) và phản thời trang x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, . . . (\displaystyle x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...), thì khoảng cách giữa các mode/phản mode liền kề sẽ bằng một nửa bước sóng

Xét kết quả giao thoa của hai sóng phẳng hình sin có cùng biên độ và tần số truyền ngược chiều nhau. Để đơn giản cho việc suy luận, chúng ta hãy giả sử rằng phương trình của các sóng này có dạng:

Điều này có nghĩa là tại gốc cả hai sóng dao động cùng pha. Tại điểm A có tọa độ x, tổng giá trị của đại lượng dao động theo nguyên lý chồng chất (xem § 19) bằng

Phương trình này cho thấy do sự giao thoa của sóng tiến và sóng lùi tại mỗi điểm của môi trường (có tọa độ cố định), xảy ra một dao động điều hòa với cùng tần số nhưng có biên độ

tùy thuộc vào giá trị của tọa độ x. Tại những điểm trong môi trường hoàn toàn không có dao động: những điểm này được gọi là nút dao động.

Tại những điểm mà biên độ dao động có giá trị lớn nhất, bằng nhau. Những điểm này được gọi là annode dao động. Dễ dàng chứng minh rằng khoảng cách giữa các nút liền kề hoặc các nút liền kề bằng khoảng cách giữa nút và nút gần nhất bằng Khi x thay đổi theo cosin trong công thức (5.16) thì dấu bị đảo ngược (đối số của nó thay đổi thành do đó, nếu trong nửa sóng - từ nút này sang nút khác - các hạt của môi trường bị lệch theo một hướng, thì trong nửa sóng liền kề, các hạt của môi trường sẽ bị lệch theo hướng ngược lại.

Quá trình truyền sóng trong môi trường mô tả theo công thức (5.16) được gọi là sóng dừng. Về mặt đồ họa, sóng dừng có thể được mô tả như trong Hình 2. 1,61. Giả sử y là sự dịch chuyển của các điểm trong môi trường so với trạng thái cân bằng; thì công thức (5.16) mô tả “sóng dịch chuyển dừng”. Tại một thời điểm nào đó, khi tất cả các điểm của môi trường có chuyển vị cực đại, hướng của chuyển vị đó, tùy thuộc vào giá trị của tọa độ x, được xác định bằng dấu. Các chuyển vị này được chỉ ra trong hình. 1.61 với mũi tên liền. Sau một phần tư thời gian, khi độ dời của mọi điểm trong môi trường bằng 0; các hạt của môi trường đi qua dòng với tốc độ khác nhau. Sau một phần tư thời gian nữa, khi các hạt của môi trường lại có chuyển vị cực đại, nhưng theo hướng ngược lại; những sự bù đắp này được thể hiện trong

cơm. 1.61 với mũi tên chấm. Các điểm là các cực dương của sóng dịch chuyển đứng; điểm và nút của sóng này.

Các đặc điểm đặc trưng của sóng dừng, trái ngược với sóng lan truyền hoặc truyền đi thông thường như sau (có nghĩa là sóng phẳng khi không có sự suy giảm):

1) trong sóng dừng, biên độ dao động ở những vị trí khác nhau của hệ là khác nhau; hệ thống có các nút và phản nút dao động. Trong một sóng “di chuyển”, các biên độ này giống nhau ở mọi nơi;

2) trong một phần của hệ thống từ nút này đến nút lân cận, tất cả các điểm của môi trường đều dao động cùng pha; khi di chuyển sang phần lân cận, các pha dao động bị đảo ngược. Trong sóng truyền, các pha dao động theo công thức (5.2) phụ thuộc vào tọa độ của các điểm;

3) trong sóng dừng không có sự truyền năng lượng một chiều, như trường hợp sóng lan truyền.

Khi mô tả các quá trình dao động trong hệ đàn hồi, giá trị dao động y không chỉ có thể được coi là độ dịch chuyển hoặc vận tốc của các hạt trong hệ mà còn là giá trị của biến dạng tương đối hoặc giá trị của lực nén, lực căng hoặc ứng suất cắt, v.v. , trong sóng đứng, ở những nơi hình thành các anton vận tốc hạt, các nút biến dạng được đặt và ngược lại, các nút vận tốc trùng với các anton biến dạng. Sự chuyển đổi năng lượng từ dạng động năng sang dạng thế năng và ngược lại xảy ra trong phần hệ thống từ cực dương sang nút lân cận. Chúng ta có thể giả định rằng mỗi khu vực như vậy không trao đổi năng lượng với các khu vực lân cận. Lưu ý rằng sự chuyển đổi động năng của các hạt chuyển động thành thế năng của các phần bị biến dạng của môi trường xảy ra hai lần trong một chu kỳ.

Ở trên, khi xem xét sự giao thoa của sóng tiến và sóng lùi (xem biểu thức (5.16)), chúng ta không quan tâm đến nguồn gốc của các sóng này. Bây giờ chúng ta giả sử rằng môi trường trong đó dao động lan truyền có kích thước giới hạn, ví dụ, dao động được gây ra trong một số vật rắn - trong một thanh hoặc dây, trong cột chất lỏng hoặc khí, v.v. Sóng truyền trong môi trường như vậy ( vật thể) , được phản xạ từ các ranh giới, do đó, trong thể tích của vật thể này, sự giao thoa của các sóng do nguồn bên ngoài gây ra và phản xạ từ các ranh giới liên tục xảy ra.

Hãy xem xét ví dụ đơn giản nhất; Giả sử, tại một điểm (Hình 1.62) của một thanh hoặc sợi dây, một chuyển động dao động có tần số được kích thích nhờ sự hỗ trợ của một nguồn hình sin bên ngoài; Chúng ta chọn điểm bắt đầu đếm thời gian sao cho lúc này độ dịch chuyển được biểu thị bằng công thức

trong đó biên độ dao động tại điểm Sóng gây ra trong thanh sẽ bị phản xạ từ đầu thứ hai của thanh 0% và sẽ truyền theo hướng ngược lại

phương hướng. Hãy tìm kết quả giao thoa của sóng truyền trực tiếp và sóng phản xạ tại một điểm nhất định trên thanh có tọa độ x. Để đơn giản cho lý luận, chúng ta giả sử rằng không có sự hấp thụ năng lượng dao động trong thanh và do đó biên độ của sóng truyền trực tiếp và sóng phản xạ là bằng nhau.

Tại một thời điểm nào đó khi độ dịch chuyển của các hạt dao động tại một điểm bằng y thì tại một điểm khác của thanh độ dịch chuyển do sóng thẳng gây ra, theo công thức sóng, sẽ bằng

Sóng phản xạ cũng đi qua điểm A. Để tìm độ dịch chuyển do sóng phản xạ gây ra tại điểm A (tại cùng một thời điểm, cần tính thời gian sóng truyền đi từ điểm này đến điểm A và quay trở lại điểm đó. Vì độ dịch chuyển gây ra tại điểm đó do sóng phản xạ gây ra). sóng sẽ bằng

Giả sử rằng ở đầu phản xạ của thanh trong quá trình phản xạ không có sự thay đổi đột ngột về pha dao động; Trong một số trường hợp, sự thay đổi pha này (gọi là mất pha) xảy ra và phải được tính đến.

Sự kết hợp các dao động gây ra tại các điểm khác nhau của thanh bởi sóng thẳng và sóng phản xạ tạo ra sóng dừng; Thực ra,

trong đó có một số pha không đổi độc lập với tọa độ x và đại lượng

là biên độ dao động tại một điểm; nó phụ thuộc vào tọa độ x, tức là nó khác nhau ở những vị trí khác nhau của thanh.

Chúng ta hãy tìm tọa độ của các điểm trên thanh nơi hình thành các nút và phản nút của sóng dừng. Cosin chuyển sang 0 hoặc 1 khi giá trị đối số là bội số của

số nguyên ở đâu Nếu số này là số lẻ thì cosin trở thành 0 và công thức (5.19) cho tọa độ các nút của sóng dừng; nếu chẵn, chúng ta nhận được tọa độ của các antinode.

Ở trên chỉ thêm hai sóng: một sóng trực tiếp đến và một sóng phản xạ truyền từ đó. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng sóng phản xạ ở ranh giới của thanh sẽ lại bị phản xạ và đi theo hướng của sóng trực tiếp . Những phản ánh như vậy

sẽ có rất nhiều sóng từ các đầu của thanh, và do đó cần phải tìm ra kết quả của sự giao thoa của không phải hai mà là của tất cả các sóng tồn tại đồng thời trong thanh.

Giả sử rằng một nguồn dao động bên ngoài gây ra sóng trong thanh một thời gian, sau đó nguồn cung cấp năng lượng dao động từ bên ngoài dừng lại. Trong thời gian này, sự phản xạ xảy ra trong thanh, đó là thời gian sóng truyền từ đầu này sang đầu kia của thanh. Do đó, sóng truyền theo hướng thuận và sóng truyền theo hướng ngược lại sẽ đồng thời tồn tại trong thanh.

Giả sử rằng do sự giao thoa của một cặp sóng (trực tiếp và phản xạ), độ dịch chuyển tại điểm A hóa ra bằng y. Chúng ta hãy tìm điều kiện để tất cả các chuyển vị y do mỗi cặp sóng gây ra có cùng hướng tại điểm A của thanh và do đó cộng lại. Để làm được điều này, pha dao động gây ra bởi mỗi cặp sóng tại một điểm phải khác với pha dao động do cặp sóng tiếp theo gây ra. Nhưng mỗi sóng lại quay trở lại điểm A với cùng hướng truyền chỉ sau một thời gian, tức là, nó chậm pha hơn bằng cách đánh đồng độ trễ này với đâu là một số nguyên, chúng ta nhận được

nghĩa là một số nguyên nửa sóng phải khớp dọc theo chiều dài của thanh. Lưu ý rằng trong điều kiện này, pha của tất cả các sóng truyền từ hướng thuận khác nhau bởi đâu là một số nguyên; Tương tự như vậy, pha của tất cả các sóng truyền từ hướng ngược lại khác nhau bởi Do đó, nếu một cặp sóng (tiến và lùi) phân bố các chuyển vị dọc theo thanh, được xác định theo công thức (5.17), thì khi các cặp sóng như vậy giao nhau thì sự phân bố chuyển vị không thay đổi; chỉ có biên độ dao động sẽ tăng lên. Nếu biên độ dao động cực đại trong quá trình giao thoa của hai sóng theo công thức (5.18) bằng nhau thì với sự giao thoa của nhiều sóng sẽ lớn hơn. Chúng ta hãy ký hiệu nó khi đó sự phân bố biên độ dao động dọc theo thanh thay cho biểu thức (5.18) sẽ được xác định theo công thức

Từ các biểu thức (5.19) và (5.20), các điểm tại đó cosin có giá trị hoặc 1 được xác định:

ở đâu là số nguyên Tọa độ của các nút của sóng dừng được lấy từ công thức này cho các giá trị lẻ, sau đó tùy thuộc vào độ dài của thanh, tức là độ lớn

tọa độ của các antinode sẽ đạt được ở các giá trị chẵn

Trong bộ lễ phục. Hình 1.63 biểu diễn một cách sơ đồ một sóng đứng trong một thanh có chiều dài là ; các điểm là các antinode, các điểm là các nút của sóng đứng này.

Trong ch. người ta đã chỉ ra rằng khi không có các tác động tuần hoàn từ bên ngoài, bản chất của các chuyển động dao động trong hệ và trên hết là đại lượng chính - tần số dao động - được xác định bởi kích thước và tính chất vật lý hệ thống. Mỗi hệ dao động đều có chuyển động dao động vốn có của nó; dao động này có thể được quan sát thấy nếu hệ được đưa ra khỏi trạng thái cân bằng và khi đó các ảnh hưởng bên ngoài bị loại bỏ.

Trong ch. Phần 4 Tôi chủ yếu xem xét các hệ dao động với các tham số tập trung, trong đó một số vật (vật thể điểm) có khối lượng quán tính, và các vật thể khác (lò xo) có đặc tính đàn hồi. Ngược lại, các hệ dao động trong đó khối lượng và độ đàn hồi vốn có trong mỗi thể tích cơ bản được gọi là hệ có tham số phân bố. Chúng bao gồm các thanh, dây đã thảo luận ở trên, cũng như các cột chất lỏng hoặc khí (trong nhạc cụ gió), v.v. Đối với các hệ thống như vậy, dao động tự nhiên là sóng đứng; đặc điểm chính của các sóng này - bước sóng hoặc sự phân bố của các nút và phản nút, cũng như tần số dao động - chỉ được xác định bởi kích thước và tính chất của hệ thống. Sóng dừng có thể tồn tại ngay cả khi không có tác động (định kỳ) từ bên ngoài lên hệ; hiệu ứng này chỉ cần thiết để gây ra hoặc duy trì sóng đứng trong hệ thống hoặc để thay đổi biên độ dao động. Đặc biệt, nếu tác động bên ngoài lên một hệ thống có các tham số phân bố xảy ra với tần số bằng tần số dao động của chính nó, tức là tần số của sóng đứng, thì hiện tượng cộng hưởng sẽ xảy ra, được thảo luận trong Chương. 5.

Nó giống nhau đối với các tần số khác nhau.

Do đó, trong các hệ thống có tham số phân bố, các dao động tự nhiên - sóng dừng - được đặc trưng bởi toàn bộ phổ tần số là bội số của nhau. Tần số nhỏ nhất tương ứng với chiều dài dài nhất sóng gọi là tần số cơ bản; phần còn lại) là âm bội hoặc hài âm.

Mỗi hệ thống được đặc trưng không chỉ bởi sự hiện diện của phổ rung động như vậy mà còn bởi sự phân bổ năng lượng nhất định giữa các rung động có tần số khác nhau. Đối với các nhạc cụ, sự phân bố này mang lại cho âm thanh một đặc điểm riêng, được gọi là âm sắc của âm thanh, khác nhau đối với các nhạc cụ khác nhau.

Các phép tính trên áp dụng cho một thanh dao động tự do có chiều dài. Tuy nhiên, chúng ta thường có các thanh cố định ở một hoặc cả hai đầu (ví dụ: các dây dao động), hoặc có một hoặc nhiều điểm gắn dọc theo thanh. hệ thống không thể rung các chuyển động là các nút dịch chuyển cưỡng bức.

nếu cần thu được sóng dừng trong một thanh tại một, hai, ba điểm gắn kết, v.v., thì những điểm này không thể được chọn tùy ý mà phải được đặt dọc theo thanh sao cho chúng kết thúc tại các nút của kết quả. sóng đứng. Điều này được thể hiện, ví dụ, trong hình. 1,64. Trong cùng hình vẽ, đường chấm chấm biểu thị sự dịch chuyển của các điểm của thanh trong quá trình dao động; Các antinode dịch chuyển luôn được hình thành ở các đầu tự do, các nút dịch chuyển luôn được hình thành ở các đầu cố định. Đối với các cột không khí dao động trong đường ống, các nút chuyển vị (và vận tốc) thu được tại các bức tường đặc phản xạ; Các kháng thể của chuyển vị và vận tốc được hình thành ở đầu hở của ống.

§4 Sự giao thoa của sóng.

Nguyên lý chồng chất. Khái niệm về sự kết hợp sóng

Nếu nhiều sóng truyền đồng thời trong một môi trường thì dao động của các phần tử môi trường bằng nhau tổng hình học dao động mà các hạt sẽ tạo ra trong quá trình truyền lan của từng sóng riêng biệt. Do đó, các sóng chỉ chồng lên nhau mà không làm nhiễu loạn nhau - nguyên lý chồng chất (chồng chất) của sóng.

Hai sóng được gọi là kết hợp nếu độ lệch pha của chúng không phụ thuộc vào thời gian

-
điều kiện mạch lạc.

Nguồn sóng kết hợpđược gọi là nguồn mạch lạc.

bởi vì đối với các nguồn kết hợp, độ lệch pha ban đầu, thì biên độ độ phân giải tại các điểm khác nhau phụ thuộc vào giá trị, được gọi là sự khác biệt đường đi. Nếu như

thì mức tối đa được quan sát thấy.

Tại

mức tối thiểu được quan sát.

Khi các sóng từ các nguồn kết hợp được xếp chồng lên nhau, sẽ quan sát được cực tiểu và cực đại của biên độ thu được, tức là. khuếch đại lẫn nhau tại một số điểm trong không gian và suy yếu ở những điểm khác, tùy thuộc vào mối quan hệ giữa các pha của các sóng này - bản chất của hiện tượng giao thoa.

§5 Sóng đứng

Trường hợp giao thoa đặc biệt là sóng đứng - sóng được hình thành do sự chồng chất của hai sóng truyền, sóng truyền về phía nhau có biên độ và tần số giống nhau.

Để suy ra phương trình sóng đứng, chúng ta giả sử: 1) sóng truyền trong môi trường không bị suy giảm; 2) A 1 = A 2 = A- có biên độ bằng nhau; 3) ω 1 = ω 2 = ω - tần số bằng nhau; 4)φ 10 = φ 20 = 0.

Phương trình của sóng lan truyền dọc theo hướng dương của trục x (tức là phương trình của sóng tới):

(1)

Phương trình của sóng lan truyền theo hướng âm của trục x (tức là phương trình của sóng phản xạ):

(2)

Thêm (1) và (2) chúng ta thu được phương trình sóng dừng:

Điểm đặc biệt của sóng đứng là biên độ phụ thuộc vào tọa độ X. Khi di chuyển từ điểm này đến điểm khác, biên độ thay đổi theo định luật:

Biên độ sóng dừng.

Những điểm của môi trường có biên độ sóng dừng lớn nhất và bằng 2 MỘT, được gọi là các antinode. Tọa độ của các antinode có thể được tìm thấy từ điều kiện

từ đây

Khoảng cách giữa hai điện cực liền kề là.

Những điểm có biên độ sóng dừng nhỏ nhất và bằng 0 được gọi là nút. Tọa độ của các nút có thể được tìm thấy từ điều kiện

từ đây

Khoảng cách giữa hai nút lân cận là.

Ngược lại với sóng lan truyền, tất cả các điểm của nó đều dao động cùng biên độ nhưng pha khác nhau tùy thuộc vào tọa độ X dấu chấm (), điểm của sóng đứng giữa hai nút dao động với biên độ khác nhau nhưng cùng pha(). Khi đi qua một nút, hệ số nhânđổi dấu nên pha dao động là các mặt khác nhau khác với nút ở điểm π, tức là các điểm nằm ở hai phía đối diện của nút dao động ngược pha.

Sóng dừng là kết quả của sự giao thoa giữa sóng tới và sóng phản xạ. Bản chất của sự phản xạ bị ảnh hưởng bởi giao diện giữa hai môi trường nơi xảy ra phản xạ. Nếu sóng phản xạ từ một môi trường kém đậm đặc hơn (Hình a), thì pha của sóng tại mặt phân cách không thay đổi và sẽ có một phản nút ở mặt phân cách giữa hai môi trường. Nếu sóng phản xạ từ môi trường đậm đặc hơn thì pha của nó sẽ thay đổi ngược lại, tức là. sự phản xạ từ môi trường đậm đặc hơn xảy ra với sự suy giảm một nửa bước sóng (λ/2). Sóng truyền truyền năng lượng của chuyển động dao động theo hướng truyền sóng. Sóng dừng không truyền năng lượng vì Sóng tới và sóng phản xạ có cùng biên độ mang cùng năng lượng và ngược chiều nhau. Do đó, tổng năng lượng của sóng đứng thu được bị giới hạn giữa các nút không đổi. Chỉ trong khoảng cách bằng λ/2 thì sự chuyển đổi động năng thành thế năng mới xảy ra.

Sóng đứng. 6.1 Sóng đứng trong vừa đàn hồi

6.1 Sóng đứng trong môi trường đàn hồi

Theo nguyên lý chồng chất, khi nhiều sóng truyền đồng thời trong một môi trường đàn hồi thì sự chồng chất của chúng xảy ra và các sóng không nhiễu loạn lẫn nhau: dao động của các hạt trong môi trường là tổng vectơ các dao động mà các hạt đó tạo ra khi mỗi sóng lan truyền riêng biệt.

Sóng tạo ra các dao động của môi trường có độ lệch pha không đổi tại mỗi điểm trong không gian được gọi là mạch lạc.

Khi thêm sóng kết hợp vào thì hiện tượng xảy ra sự can thiệp, bao gồm thực tế là tại một số điểm trong không gian, các sóng tăng cường lẫn nhau và tại các điểm khác chúng làm suy yếu lẫn nhau. Một trường hợp giao thoa quan trọng được quan sát thấy khi hai sóng phẳng truyền ngược chiều có cùng tần số và biên độ chồng lên nhau. Các dao động sinh ra được gọi là sóng dừng. Thông thường, sóng dừng phát sinh khi sóng lan truyền bị phản xạ từ chướng ngại vật. Trong trường hợp này, sóng tới và sóng phản xạ về phía nó, khi cộng lại sẽ tạo thành sóng dừng.

Chúng ta thu được phương trình sóng đứng. Lấy hai sóng điều hòa phẳng truyền hướng về nhau dọc theo trục X và có cùng tần số và biên độ:

Ở đâu - pha dao động của các điểm của môi trường trong quá trình truyền sóng thứ nhất;

- pha dao động của các điểm trong môi trường khi sóng thứ hai truyền qua.

Độ lệch pha tại mỗi điểm trên trục X mạng sẽ không phụ thuộc vào thời gian, tức là. sẽ không đổi:

Do đó, cả hai sóng sẽ kết hợp.

Dao động của các phần tử môi trường do việc cộng thêm các sóng đang xét sẽ như sau:

Chúng ta hãy biến đổi tổng cosin của các góc theo quy tắc (4.4) và thu được:

Tập hợp lại các yếu tố, chúng tôi nhận được:

Để đơn giản biểu thức, chúng ta chọn điểm tham chiếu sao cho độ lệch pha và thời điểm bắt đầu đếm sao cho tổng các pha bằng 0: .

Khi đó phương trình tính tổng sóng sẽ có dạng:

Phương trình (6.6) được gọi là phương trình sóng dừng. Nó chứng tỏ rằng tần số của sóng dừng bằng tần số của sóng truyền và biên độ, không giống như sóng truyền, phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm gốc:

. (6.7)

Xét đến (6.7), phương trình sóng đứng có dạng:

. (6.8)

Như vậy, các điểm của môi trường dao động có tần số trùng với tần số của sóng truyền và biên độ Một, phụ thuộc vào vị trí của điểm trên trục X. Theo đó, biên độ thay đổi theo định luật cosin và có cực đại, cực tiểu riêng (Hình 6.1).

Để hình dung vị trí của biên độ cực tiểu và cực đại, chúng ta thay thế, theo (5.29), số sóng bằng giá trị của nó:

Khi đó biểu thức (6.7) của biên độ sẽ có dạng

(6.10)

Từ đó có thể thấy rõ rằng biên độ dịch chuyển đạt cực đại tại , I E. tại những điểm có tọa độ thỏa mãn điều kiện:

, (6.11)

Ở đâu

Từ đây ta thu được tọa độ các điểm có biên độ dịch chuyển cực đại:

; (6.12)

Những điểm có biên độ dao động của môi trường lớn nhất gọi là phản âm của sóng.

Biên độ của sóng bằng 0 tại những điểm . Tọa độ của những điểm như vậy, được gọi là nút sóng, thỏa mãn điều kiện:

, (6.13)

Ở đâu

Từ (6.13) rõ ràng tọa độ của các nút có các giá trị:

, (6.14)

Trong bộ lễ phục. Hình 6.2 thể hiện một hình ảnh gần đúng của sóng dừng, đánh dấu vị trí của các nút và phản nút. Có thể thấy rằng các nút lân cận và các antinode dịch chuyển được đặt cách nhau một khoảng cách như nhau.

Hãy tìm khoảng cách giữa các antinode và nút lân cận. Từ (6.12) chúng ta thu được khoảng cách giữa các antinode:

(6.15)

Khoảng cách giữa các nút được lấy từ (6.14):

(6.16)

Từ các mối quan hệ thu được (6.15) và (6.16), rõ ràng là khoảng cách giữa các nút lân cận, cũng như giữa các antinode lân cận, là không đổi và bằng ; các nút và antinode được dịch chuyển tương đối với nhau bởi (Hình 6.3).

Từ định nghĩa bước sóng, chúng ta có thể viết biểu thức tính độ dài của sóng dừng: nó bằng một nửa chiều dài của sóng truyền:

Chúng ta hãy viết, xét đến (6.17), các biểu thức tọa độ của các nút và các phản nút:

, (6.18)

, (6.19)

Hệ số xác định biên độ của sóng dừng thay đổi dấu khi đi qua giá trị 0, do đó pha dao động ở các phía khác nhau của nút khác nhau . Do đó, tất cả các điểm nằm ở hai phía đối diện của nút đều dao động ngược pha. Tất cả các điểm nằm giữa các nút lân cận đều dao động cùng pha.

Các nút có điều kiện phân chia môi trường thành các vùng tự trị trong đó các dao động điều hòa xảy ra độc lập. Không có sự chuyển động giữa các vùng và do đó không có dòng năng lượng giữa các vùng. Tức là không có sự truyền nhiễu dọc theo trục. Vì vậy sóng được gọi là sóng dừng.

Vì vậy, sóng dừng được hình thành từ hai sóng truyền ngược chiều nhau có tần số và biên độ bằng nhau. Các vectơ Umov của mỗi sóng này có độ lớn bằng nhau và ngược hướng và khi cộng vào chúng sẽ cho kết quả bằng 0. Do đó, sóng dừng không truyền năng lượng.

6.2 Ví dụ về sóng dừng

6.2.1 Sóng đứng trên dây

Hãy xem xét một chuỗi có độ dài L, cố định ở cả hai đầu (Hình 6.4).

Hãy đặt một trục dọc theo chuỗi X sao cho đầu bên trái của chuỗi có tọa độ x=0, và cái bên phải – x=L. Dao động xảy ra trên dây được mô tả bằng phương trình:

Hãy viết các điều kiện biên của chuỗi đang xét. Vì các đầu của nó cố định nên tại các điểm có tọa độ x=0 Và x=L không ngần ngại:

(6.22)

Chúng ta hãy tìm phương trình dao động của dây dựa trên các điều kiện biên đã viết. Chúng ta hãy viết phương trình (6.20) cho đầu bên trái của chuỗi có tính đến (6.21):

Hệ thức (6.23) được thỏa mãn ở mọi thời điểm t trong hai trường hợp:

1. . Điều này có thể thực hiện được nếu không có rung động nào trong chuỗi (). Trường hợp này không được quan tâm và chúng tôi sẽ không xem xét nó.

2. . Đây là giai đoạn. Trường hợp này sẽ cho phép chúng ta thu được phương trình dao động của dây.

Chúng ta hãy thay thế giá trị pha thu được vào điều kiện biên (6.22) cho đầu bên phải của chuỗi:

. (6.25)

Xem xét rằng

, (6.26)

từ (6.25) ta thu được:

Một lần nữa, có hai trường hợp phát sinh trong đó hệ thức (6.27) được thỏa mãn. Chúng ta sẽ không xét trường hợp dây () không có dao động.

Trong trường hợp thứ hai, đẳng thức phải được thỏa mãn:

và điều này chỉ có thể thực hiện được khi đối số của sin là bội số của một số nguyên:

Chúng tôi loại bỏ giá trị, bởi vì trong trường hợp này và điều này có nghĩa là độ dài của chuỗi bằng 0 ( L=0) hoặc số sóng k=0. Khi tính đến mối liên hệ (6.9) giữa số sóng và bước sóng, rõ ràng là để số sóng bằng 0 thì bước sóng phải vô hạn và điều này có nghĩa là không có dao động.

Từ (6.28) rõ ràng số sóng khi dao động của một sợi dây cố định ở hai đầu chỉ có thể nhận một số giá trị rời rạc nhất định:

Xét (6.9), ta viết (6.30) dưới dạng:

từ đó chúng ta thu được biểu thức cho các bước sóng có thể có trong chuỗi:

Nói cách khác, trên chiều dài của chuỗi L phải vừa với một số nguyên N nửa sóng:

Tần số dao động tương ứng có thể được xác định từ (5.7):

Đây là vận tốc pha của sóng, tùy theo (5.102), vào mật độ tuyến tính của dây và lực căng của dây:

Thay (6.34) vào (6.33), chúng ta thu được biểu thức mô tả tần số dao động có thể có của dây:

, (6.36)

Tần số được gọi là tần số tự nhiên dây. Tần số (tại N = 1):

(6.37)

gọi điện tần số cơ bản(hoặc giai điệu chính) dây. Tần số xác định tại n>1được gọi là âm bội hoặc sóng hài. Số hài hòa là n-1. Ví dụ: tần số:

tương ứng với sóng hài đầu tiên và tần số:

tương ứng với sóng hài thứ hai, v.v. Vì chuỗi có thể được biểu diễn dưới dạng hệ thống rời rạc với vô số bậc tự do thì mỗi sóng hài là thời trang sự rung động của dây. Trong trường hợp tổng quát, dao động của dây thể hiện sự chồng chất của các mode.

Mỗi sóng hài có bước sóng riêng. Đối với âm chính (với n= 1) bước sóng:

tương ứng cho sóng hài thứ nhất và thứ hai (tại n= 2 và n= 3) bước sóng sẽ là:

Hình 6.5 cho thấy sự xuất hiện của một số dạng dao động được thực hiện bởi một sợi dây.

Do đó, một sợi dây có các đầu cố định tạo ra một trường hợp đặc biệt trong khuôn khổ vật lý cổ điển - một phổ tần số rung động (hoặc bước sóng) rời rạc. Một thanh đàn hồi có một hoặc cả hai đầu được kẹp và dao động của cột không khí trong ống cũng hoạt động theo cách tương tự, điều này sẽ được thảo luận trong các phần tiếp theo.

6.2.2 Tác động điều kiện ban đầuđể di chuyển

chuỗi liên tục. Phân tích Fourier

Dao động của một sợi dây có hai đầu bị kẹp, ngoài dải tần số dao động riêng biệt, còn có một dao động khác tài sản quan trọng: dạng dao động cụ thể của dây phụ thuộc vào phương pháp kích thích dao động, tức là. từ các điều kiện ban đầu. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn.

Phương trình (6.20), mô tả một dạng của sóng dừng trên dây, là một nghiệm cụ thể của phương trình sóng vi phân (5.61). Vì dao động của dây bao gồm tất cả các chế độ có thể có (đối với dây - một số vô hạn), nên quyết định chung phương trình sóng (5.61) bao gồm số lượng vô hạn giải pháp riêng:

, (6.43)

Ở đâu Tôi– số chế độ rung. Biểu thức (6.43) được viết có tính đến thực tế là các đầu của chuỗi cố định:

và cũng có tính đến kết nối tần số Tôi-chế độ thứ và số sóng của nó:

(6.46)

Đây – số sóng Tôi thời trang;

- số sóng của chế độ 1;

Chúng ta hãy tìm giá trị của pha ban đầu cho mỗi chế độ dao động. Để làm điều này tại một thời điểm t=0 hãy tạo cho chuỗi một hình dạng được mô tả bởi hàm f 0 (x), biểu thức mà chúng ta thu được từ (6.43):

. (6.47)

Trong bộ lễ phục. Hình 6.6 cho thấy một ví dụ về hình dạng của một chuỗi được mô tả bởi hàm f 0 (x).

Tại một thời điểm t=0 dây vẫn đứng yên, tức là tốc độ của tất cả các điểm của nó bằng không. Từ (6.43) chúng ta tìm được biểu thức cho tốc độ của các điểm trong chuỗi:

và, thay thế vào đó t=0, ta thu được biểu thức tốc độ của các điểm trên dây tại thời điểm ban đầu:

. (6.49)

Vì tại thời điểm ban đầu tốc độ bằng 0 nên biểu thức (6.49) sẽ bằng 0 đối với mọi điểm của chuỗi nếu . Từ đó, pha ban đầu của tất cả các chế độ cũng bằng 0 (). Khi tính đến điều này, biểu thức (6.43), mô tả chuyển động của dây, có dạng:

, (6.50)