Cấp độ đầu tiên

Cấp số nhân. Hướng dẫn toàn diện với các ví dụ (2019)

Dãy số

Vì vậy, hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích (trong trường hợp của chúng tôi là có số đó). Cho dù chúng ta viết bao nhiêu số, chúng ta luôn có thể nói số nào là số đầu tiên, số nào là số hai, v.v. cho đến số cuối cùng, tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về dãy số:

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Ví dụ: đối với trình tự của chúng tôi:

Số được gán chỉ dành riêng cho một số trong dãy. Nói cách khác, không có số thứ ba trong dãy. Số thứ hai (như số thứ) luôn giống nhau.

Số có số đó được gọi là thành viên thứ n của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ mục, bằng số thành viên này: .

Trong trường hợp của chúng ta:

Các loại tiến triển phổ biến nhất là số học và hình học. Trong chủ đề này chúng ta sẽ nói về loại thứ hai - cấp số nhân.

Tại sao cần có tiến trình hình học và lịch sử của nó?

Ngay cả trong thời cổ đại, nhà sư toán học người Ý Leonardo xứ Pisa (hay còn gọi là Fibonacci) đã giải quyết các nhu cầu thực tế của thương mại. Nhà sư phải đối mặt với nhiệm vụ xác định số lượng quả cân nhỏ nhất có thể dùng để cân một sản phẩm là bao nhiêu? Trong các tác phẩm của mình, Fibonacci chứng minh rằng hệ trọng số như vậy là tối ưu: Đây là một trong những tình huống đầu tiên mà người ta phải giải quyết một cấp số nhân, mà bạn có thể đã nghe và ít nhất đã từng nghe đến. khái niệm chung. Khi bạn đã hiểu đầy đủ về chủ đề, hãy nghĩ xem tại sao hệ thống như vậy lại tối ưu?

Hiện nay, trong thực tế cuộc sống, tiến trình hình học thể hiện khi đầu tư tiền vào ngân hàng, khi số tiền lãi được cộng dồn trên số tiền tích lũy trong tài khoản kỳ trước. Nói cách khác, nếu bạn gửi tiền có kỳ hạn vào ngân hàng tiết kiệm thì sau một năm, số tiền gửi sẽ tăng lên theo số tiền ban đầu, tức là. số tiền mới sẽ bằng số tiền đóng góp nhân với. Trong một năm nữa, số tiền này sẽ tăng lên, tức là. số tiền thu được tại thời điểm đó sẽ lại được nhân lên, v.v. Một tình huống tương tự được mô tả trong bài toán tính toán cái gọi là lãi kép- tỷ lệ phần trăm được lấy mỗi lần từ số tiền có trong tài khoản, có tính đến tiền lãi trước đó. Chúng ta sẽ nói về những nhiệm vụ này sau.

Có nhiều trường hợp đơn giản hơn khi áp dụng cấp số nhân. Ví dụ, sự lây lan của bệnh cúm: một người lây nhiễm cho người khác, họ lại lây nhiễm cho người khác, và do đó, làn sóng lây nhiễm thứ hai là một người, và họ lại lây nhiễm cho người khác... vân vân.. .

Nhân tiện, một kim tự tháp tài chính, cùng một MMM, là một phép tính đơn giản và khô khan dựa trên các đặc tính của cấp số nhân. Hấp dẫn? Hãy tìm ra nó.

Cấp số nhân.

Giả sử chúng ta có một dãy số:

Bạn sẽ trả lời ngay rằng điều này thật dễ dàng và tên của một dãy như vậy là một cấp số cộng với hiệu các số hạng của nó. Còn cái này thì sao:

Nếu bạn trừ số trước đó khỏi số tiếp theo, bạn sẽ thấy rằng mỗi lần bạn nhận được một sự khác biệt mới (v.v.), nhưng chuỗi chắc chắn tồn tại và rất dễ nhận thấy - mỗi số tiếp theo lớn hơn số trước nhiều lần!

Kiểu dãy số này được gọi là cấp số nhân và được chỉ định.

Cấp số hình học () là một dãy số, số hạng đầu tiên khác 0 và mỗi số hạng, bắt đầu từ số thứ hai, bằng số trước đó, nhân với cùng một số. Con số này được gọi là mẫu số của cấp số nhân.

Hạn chế là số hạng thứ nhất ( ) không bằng nhau và không ngẫu nhiên. Giả sử rằng không có, và số hạng đầu tiên vẫn bằng, và q bằng, hmm.. cứ để vậy, sau đó hóa ra:

Đồng ý rằng đây không còn là một sự tiến triển nữa.

Như bạn hiểu, chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự nếu có bất kỳ số nào khác 0, a. Trong những trường hợp này, đơn giản là sẽ không có cấp số cộng nào, vì toàn bộ dãy số sẽ toàn là số 0 hoặc một số và tất cả các số còn lại sẽ là số 0.

Bây giờ chúng ta hãy nói chi tiết hơn về mẫu số của cấp số nhân, tức là o.

Hãy lặp lại: - đây là số mỗi số hạng tiếp theo thay đổi bao nhiêu lần? cấp số nhân.

Bạn nghĩ nó có thể là gì? Đúng vậy, tích cực và tiêu cực, nhưng không phải bằng không (chúng ta đã nói về điều này cao hơn một chút).

Giả sử rằng của chúng tôi là tích cực. Hãy để trong trường hợp của chúng tôi, a. Giá trị của số hạng thứ hai là bao nhiêu và? Bạn có thể dễ dàng trả lời rằng:

Đúng rồi. Theo đó, nếu thì tất cả các số hạng tiếp theo của cấp số có cùng dấu - chúng tích cực.

Nếu nó âm tính thì sao? Ví dụ, a. Giá trị của số hạng thứ hai là bao nhiêu và?

Đây là một câu chuyện hoàn toàn khác

Hãy thử đếm các số hạng của tiến trình này. Bạn đã nhận được bao nhiêu? Tôi có. Vì vậy, nếu, thì các dấu của các số hạng của cấp số nhân sẽ thay thế nhau. Nghĩa là, nếu bạn thấy một cấp số cộng với các dấu xen kẽ cho các phần tử của nó thì mẫu số của nó là âm. Kiến thức này có thể giúp bạn tự kiểm tra khi giải quyết vấn đề về chủ đề này.

Bây giờ chúng ta hãy thực hành một chút: cố gắng xác định dãy số nào là cấp số nhân và dãy số nào là cấp số cộng:

Hiểu rồi? Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:

• Tiến trình hình học - 3, 6.
• Cấp số cộng - 2, 4.
• Nó không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân - 1, 5, 7.

Hãy quay lại tiến trình cuối cùng của chúng ta và cố gắng tìm thành viên của nó, giống như trong cấp số học. Như bạn có thể đoán, có hai cách để tìm thấy nó.

Chúng tôi lần lượt nhân mỗi số hạng với.

Vì vậy, số hạng thứ của cấp số nhân được mô tả bằng.

Như bạn đã đoán, bây giờ chính bạn sẽ rút ra được một công thức giúp bạn tìm ra bất kỳ thành viên nào của cấp số nhân. Hay bạn đã tự mình phát triển nó, mô tả cách tìm thành viên từng bước? Nếu vậy, hãy kiểm tra tính đúng đắn của lý luận của bạn.

Chúng ta hãy minh họa điều này bằng ví dụ tìm số hạng thứ của cấp số này:

Nói cách khác:

Hãy tự tìm giá trị của số hạng của cấp số nhân đã cho.

Đã xảy ra? Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:

Xin lưu ý rằng bạn nhận được số chính xác như trong phương pháp trước, khi chúng tôi nhân tuần tự với từng số hạng trước đó của cấp số nhân.
Hãy thử “phi cá nhân hóa” công thức này - hãy đặt nó ở dạng tổng quát và nhận được:

Công thức dẫn xuất đúng với mọi giá trị - cả dương và âm. Hãy tự kiểm tra điều này bằng cách tính các số hạng của cấp số nhân với các điều kiện sau: , a.

Bạn đã đếm chưa? Hãy so sánh kết quả:

Đồng ý rằng có thể tìm một số hạng của cấp số theo cách tương tự như một số hạng, tuy nhiên, có khả năng tính toán không chính xác. Và nếu chúng ta đã tìm thấy số hạng thứ của cấp số nhân, thì còn gì đơn giản hơn việc sử dụng phần “cắt ngắn” của công thức.

Tiến trình hình học giảm vô hạn.

Gần đây hơn, chúng ta đã nói về thực tế là nó có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0, tuy nhiên, có những giá trị đặc biệt mà cấp số nhân được gọi là giảm vô hạn.

Tại sao bạn nghĩ tên này được đưa ra?
Đầu tiên, chúng ta hãy viết ra một số cấp số nhân bao gồm các số hạng.
Vậy thì hãy nói:

Chúng ta thấy rằng mỗi số hạng tiếp theo nhỏ hơn số hạng trước một hệ số, nhưng liệu có số nào không? Bạn sẽ trả lời ngay - “không”. Đó là lý do tại sao nó giảm vô hạn - nó giảm và giảm, nhưng không bao giờ bằng không.

Để hiểu rõ điều này trông như thế nào một cách trực quan, chúng ta hãy thử vẽ biểu đồ về quá trình tiến triển của chúng ta. Vì vậy, đối với trường hợp của chúng tôi, công thức có dạng sau:

Do đó, trên đồ thị, chúng ta đã quen với việc vẽ đồ thị sự phụ thuộc vào:

Bản chất của biểu thức không thay đổi: trong mục đầu tiên, chúng tôi đã chỉ ra sự phụ thuộc của giá trị của một thành viên trong cấp số nhân vào số thứ tự của nó, và trong mục thứ hai, chúng tôi chỉ đơn giản lấy giá trị của một thành viên trong cấp số nhân là , và chỉ định số thứ tự không phải là, mà là. Tất cả những gì còn lại phải làm là xây dựng một biểu đồ.
Để xem xem bạn có gì. Đây là biểu đồ tôi nghĩ ra:

Bạn có thấy? Hàm số giảm, tiến tới 0, nhưng không bao giờ vượt qua nó, nên nó giảm vô hạn. Hãy đánh dấu các điểm của chúng ta trên biểu đồ, đồng thời tọa độ và ý nghĩa của nó:

Cố gắng mô tả sơ đồ đồ thị của một cấp số nhân nếu số hạng đầu tiên của nó cũng bằng nhau. Phân tích sự khác biệt với biểu đồ trước của chúng tôi là gì?

Bạn đã quản lý được chưa? Đây là biểu đồ tôi nghĩ ra:

Bây giờ bạn đã hiểu đầy đủ những kiến ​​thức cơ bản về chủ đề cấp số nhân: bạn biết nó là gì, bạn biết cách tìm số hạng của nó và bạn cũng biết cấp số nhân giảm vô hạn là gì, hãy chuyển sang tính chất chính của nó.

Tính chất của tiến trình hình học.

Bạn có nhớ tính chất của các số hạng của một cấp số cộng không? Có, vâng, làm thế nào để tìm giá trị của một số cấp số nhất định khi có các giá trị trước và sau của các số hạng của cấp số này. Bạn có nhớ? Cái này:

Bây giờ chúng ta phải đối mặt với chính câu hỏi tương tự về số hạng của cấp số nhân. Để rút ra một công thức như vậy, chúng ta hãy bắt đầu vẽ và suy luận. Bạn sẽ thấy, nó rất dễ dàng và nếu bạn quên, bạn có thể tự lấy nó ra.

Hãy lấy một cấp số hình học đơn giản khác, trong đó chúng ta biết và. Làm thế nào để tìm thấy? Với cấp số cộng thì thật dễ dàng và đơn giản, nhưng ở đây thì sao? Trên thực tế, không có gì phức tạp về hình học - bạn chỉ cần viết ra từng giá trị cho chúng tôi theo công thức.

Bạn có thể hỏi, chúng ta nên làm gì bây giờ? Vâng, rất đơn giản. Trước tiên, hãy mô tả các công thức này bằng hình ảnh và cố gắng thực hiện nhiều thao tác khác nhau với chúng để đạt được giá trị.

Hãy trừu tượng hóa những con số được cung cấp cho chúng ta, hãy chỉ tập trung vào biểu thức của chúng thông qua công thức. Chúng ta cần tìm giá trị được tô màu cam, biết các số hạng liền kề với nó. Hãy thử thực hiện nhiều hành động khác nhau với họ, kết quả là chúng ta có thể nhận được.

Phép cộng.
Hãy thử thêm hai biểu thức và chúng tôi nhận được:

Từ biểu thức này, như bạn có thể thấy, chúng ta không thể diễn đạt nó theo bất kỳ cách nào, do đó, chúng ta sẽ thử một tùy chọn khác - phép trừ.

Phép trừ.

Như bạn có thể thấy, chúng ta cũng không thể diễn đạt điều này, do đó, hãy thử nhân các biểu thức này với nhau.

Phép nhân.

Bây giờ hãy xem xét cẩn thận những gì chúng ta có bằng cách nhân các số hạng của cấp số nhân đã cho với những gì cần tìm:

Đoán xem tôi đang nói về cái gì? Đúng vậy, để tìm được chúng ta cần phải lấy Căn bậc hai từ các số cấp số nhân liền kề với số mong muốn nhân với nhau:

Đây nhé. Chính bạn đã rút ra được tính chất của cấp số nhân. Hãy thử viết công thức này vào nhìn chung. Đã xảy ra?

Quên điều kiện cho? Hãy suy nghĩ xem tại sao nó lại quan trọng, chẳng hạn như cố gắng tự mình tính toán nó. Điều gì sẽ xảy ra trong trường hợp này? Đúng vậy, hoàn toàn vô nghĩa vì công thức trông như thế này:

Theo đó, đừng quên hạn chế này.

Bây giờ hãy tính xem nó bằng bao nhiêu

Câu trả lời chính xác - ! Nếu bạn không quên giá trị thứ hai có thể có trong quá trình tính toán, thì bạn thật tuyệt và có thể ngay lập tức chuyển sang đào tạo, còn nếu bạn quên, hãy đọc những gì được thảo luận bên dưới và chú ý đến lý do tại sao cần phải viết ra cả hai nghiệm trong câu trả lời.

Hãy vẽ cả hai cấp số nhân của chúng ta - một cấp có giá trị và cấp số kia có giá trị và kiểm tra xem cả hai cấp số đó có quyền tồn tại hay không:

Để kiểm tra xem một cấp số nhân như vậy có tồn tại hay không, cần phải xem liệu tất cả các số hạng đã cho của nó có giống nhau không? Tính q cho trường hợp thứ nhất và thứ hai.

Hãy xem tại sao chúng ta phải viết hai câu trả lời? Vì dấu của số hạng cần tìm phụ thuộc vào dấu của nó dương hay âm! Và vì chúng ta không biết nó là gì nên chúng ta cần viết cả hai câu trả lời kèm theo dấu cộng và dấu trừ.

Bây giờ bạn đã nắm vững những điểm chính và rút ra công thức về tính chất cấp số nhân, hãy tìm, biết và

So sánh câu trả lời của bạn với câu trả lời đúng:

Bạn nghĩ sao, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta không được cung cấp các giá trị của các số hạng cấp số nhân liền kề với số mong muốn mà cách đều nó. Ví dụ, chúng ta cần tìm, cho và. Chúng ta có thể sử dụng công thức mà chúng ta rút ra trong trường hợp này không? Cố gắng xác nhận hoặc bác bỏ khả năng này theo cách tương tự, mô tả từng giá trị bao gồm những gì, giống như bạn đã làm khi rút ra công thức ban đầu, tại.
Bạn đã nhận được gì?

Bây giờ hãy nhìn kỹ lại.
và tương ứng:

Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng công thức hoạt động không chỉ với nước láng giềng với các số hạng mong muốn của cấp số nhân, mà còn với cách đều nhau từ những gì các thành viên đang tìm kiếm.

Do đó, công thức ban đầu của chúng tôi có dạng:

Nghĩa là, nếu trong trường hợp đầu tiên chúng ta đã nói điều đó thì bây giờ chúng ta nói rằng nó có thể bằng bất kỳ số tự nhiên, cái nào nhỏ hơn. Điều chính là nó giống nhau cho cả hai số đã cho.

Thực hành trên ví dụ cụ thể, hãy cực kỳ cẩn thận!

1. , . Tìm thấy.
2. , . Tìm thấy.
3. , . Tìm thấy.

Quyết định? Tôi hy vọng bạn đã cực kỳ chú ý và nhận thấy một cú đánh nhỏ.

Hãy so sánh kết quả.

Trong hai trường hợp đầu, chúng ta bình tĩnh áp dụng công thức trên và nhận được các giá trị sau:

Trong trường hợp thứ ba, khi kiểm tra cẩn thận số sê-ri của các số được cung cấp cho chúng tôi, chúng tôi hiểu rằng chúng không cách đều số mà chúng tôi đang tìm kiếm: đó là số trước đó, nhưng bị xóa ở một vị trí, vì vậy nó là không thể áp dụng công thức.

Làm thế nào để giải quyết nó? Nó thực sự không khó như bạn tưởng! Hãy để chúng tôi viết ra mỗi số được cung cấp cho chúng tôi và số chúng tôi đang tìm kiếm bao gồm.

Vì vậy, chúng tôi có và. Hãy xem chúng ta có thể làm gì với chúng? Tôi đề nghị chia cho. Chúng tôi nhận được:

Chúng tôi thay thế dữ liệu của chúng tôi vào công thức:

Bước tiếp theo mà chúng ta có thể tìm thấy là - để làm được điều này, chúng ta cần lấy căn bậc ba của số kết quả.

Bây giờ hãy nhìn lại những gì chúng ta có. Chúng ta có nó, nhưng chúng ta cần tìm nó, và đến lượt nó, nó bằng:

Chúng tôi tìm thấy tất cả các dữ liệu cần thiết cho việc tính toán. Thay vào công thức:

Câu trả lời của chúng tôi: .

Hãy thử tự mình giải quyết một vấn đề tương tự khác:
Được cho: ,
Tìm thấy:

Bạn đã nhận được bao nhiêu? Tôi có - .

Như bạn có thể thấy, về cơ bản bạn cần chỉ nhớ một công thức- . Bạn có thể tự mình rút tất cả phần còn lại mà không gặp bất kỳ khó khăn nào vào bất kỳ lúc nào. Để làm điều này, chỉ cần viết cấp số hình học đơn giản nhất trên một tờ giấy và ghi lại giá trị của mỗi số của nó, theo công thức được mô tả ở trên.

Tổng các số hạng của một cấp số nhân.

Bây giờ chúng ta hãy xem các công thức cho phép chúng ta tính nhanh tổng các số hạng của cấp số nhân trong một khoảng nhất định:

Để suy ra công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân hữu hạn, hãy nhân tất cả các phần của phương trình trên với. Chúng tôi nhận được:

Hãy xem xét kỹ: hai công thức cuối cùng có điểm gì chung? Đúng rồi, thành viên chung chẳng hạn, vân vân, ngoại trừ thành viên đầu tiên và cuối cùng. Hãy thử trừ số 1 từ phương trình thứ 2. Bạn đã nhận được gì?

Bây giờ hãy biểu thị số hạng của cấp số nhân thông qua công thức và thay thế biểu thức thu được vào công thức cuối cùng của chúng ta:

Nhóm biểu thức. Bạn sẽ nhận được:

Tất cả những gì còn lại phải làm là bày tỏ:

Theo đó, trong trường hợp này.

Chuyện gì xảy ra nếu? Công thức nào hoạt động sau đó? Hãy tưởng tượng một tiến trình hình học tại. Tính cách cô ấy là gì? Hàng đúng số giống nhau, theo đó công thức sẽ như thế này:

Có rất nhiều truyền thuyết về cả cấp số cộng và cấp số nhân. Một trong số đó là truyền thuyết về Set, người sáng tạo ra cờ vua.

Nhiều người biết điều đó trò chơi cờ vuađược phát minh ở Ấn Độ. Khi vị vua Hindu gặp cô, ông rất vui vì sự thông minh và nhiều chức vụ có thể có ở cô. Khi biết rằng nó được phát minh bởi một trong những thần dân của mình, nhà vua quyết định đích thân ban thưởng cho anh ta. Anh ta triệu tập nhà phát minh đến và ra lệnh cho anh ta yêu cầu anh ta mọi thứ anh ta muốn, hứa sẽ thực hiện ngay cả mong muốn khéo léo nhất.

Seta xin thời gian để suy nghĩ, và khi ngày hôm sau Seta xuất hiện trước nhà vua, anh đã khiến nhà vua ngạc nhiên trước yêu cầu khiêm tốn chưa từng có của mình. Ngài xin một hạt lúa mì cho ô đầu tiên của bàn cờ, một hạt lúa mì cho ô thứ hai, một hạt lúa mì cho ô thứ ba, thứ tư, v.v.

Nhà vua tức giận đuổi Seth đi, nói rằng yêu cầu của người hầu không xứng đáng với lòng hảo tâm của nhà vua, nhưng hứa rằng người hầu sẽ nhận được ngũ cốc của mình cho tất cả các ô vuông trên bàn cờ.

Và bây giờ là câu hỏi: sử dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân, tính xem Seth sẽ nhận được bao nhiêu hạt?

Hãy bắt đầu lý luận. Vì theo điều kiện, Seth đã xin một hạt lúa mì cho ô đầu tiên của bàn cờ, cho ô thứ hai, cho ô thứ ba, cho ô thứ tư, v.v., nên chúng ta thấy điều đó trong bài toán. Chúng ta đang nói về về tiến triển hình học. Nó bằng gì trong trường hợp này?
Phải.

Tổng số ô vuông của bàn cờ. Tương ứng, . Chúng ta đã có đầy đủ dữ liệu, việc còn lại là cắm vào công thức và tính toán.

Để hình dung ít nhất là xấp xỉ “tỷ lệ” của một số cho trước, chúng ta biến đổi bằng cách sử dụng các tính chất của mức độ:

Tất nhiên, nếu muốn, bạn có thể lấy một máy tính và tính xem bạn nhận được số nào, còn nếu không, bạn sẽ phải tin tôi: giá trị cuối cùng của biểu thức sẽ là.
Đó là:

triệu triệu triệu tỷ tỷ tỷ triệu nghìn.

Phù) Nếu bạn muốn tưởng tượng mức độ to lớn của con số này, thì hãy ước tính xem một nhà kho cần lớn bao nhiêu để chứa toàn bộ số lượng ngũ cốc.
Nếu chuồng cao m và rộng m thì chiều dài của nó sẽ phải kéo dài hàng km, tức là gấp đôi khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời.

Nếu nhà vua giỏi toán thì có thể mời chính nhà khoa học đến đếm hạt, vì để đếm một triệu hạt, ông ta cần ít nhất một ngày đếm không mệt mỏi, và biết rằng cần phải đếm số tạ, số hạt sẽ phải được tính trong suốt cuộc đời của anh ấy.

Bây giờ chúng ta hãy giải một bài toán đơn giản liên quan đến tổng các số hạng của cấp số nhân.
Một học sinh lớp 5A Vasya bị ốm vì cúm nhưng vẫn tiếp tục đến trường. Mỗi ngày Vasya lây nhiễm cho hai người, những người này lại lây nhiễm cho hai người nữa, v.v. Trong lớp chỉ có người. Bao nhiêu ngày nữa cả lớp sẽ bị cúm?

Vì vậy, số hạng đầu tiên của cấp số nhân là Vasya, tức là một người. Số hạng thứ của cấp số nhân là hai người mà anh ta đã lây nhiễm vào ngày đầu tiên đến. Tổng số kỳ lũy tiến bằng số học sinh lớp 5A. Theo đó, chúng ta nói về một tiến trình trong đó:

Hãy thay thế dữ liệu của chúng ta vào công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân:

Cả lớp sẽ bị ốm trong vài ngày tới. Bạn không tin vào công thức và con số? Hãy cố gắng khắc họa sự “lây nhiễm” của chính học sinh. Đã xảy ra? Hãy nhìn nó trông như thế nào đối với tôi:

Hãy tự tính xem học sinh sẽ bị cúm trong bao nhiêu ngày nếu mỗi người lây cho một người và trong lớp chỉ có một người.

Bạn đã nhận được giá trị gì? Hóa ra mọi người đều bắt đầu ốm sau một ngày.

Như bạn có thể thấy, một nhiệm vụ như vậy và bản vẽ cho nó giống như một kim tự tháp, trong đó mỗi nhiệm vụ tiếp theo đều “mang đến” những người mới. Tuy nhiên, sớm hay muộn cũng sẽ đến lúc cái sau không thể thu hút được ai. Trong trường hợp của chúng ta, nếu chúng ta tưởng tượng rằng lớp đó bị cô lập, người sẽ đóng chuỗi (). Do đó, nếu một người tham gia vào một kim tự tháp tài chính, trong đó tiền được trao nếu bạn dẫn theo hai người tham gia khác, thì người đó (hoặc nói chung) sẽ không mang theo bất kỳ ai, do đó, sẽ mất tất cả những gì họ đã đầu tư vào vụ lừa đảo tài chính này.

Mọi thứ đã nói ở trên đề cập đến một cấp số nhân giảm dần hoặc tăng dần, nhưng, như bạn nhớ, chúng ta có một loại đặc biệt - cấp số nhân giảm vô hạn. Làm thế nào để tính tổng số thành viên của nó? Và tại sao kiểu tiến triển này lại có những đặc điểm nhất định? Chúng ta hãy cùng nhau tìm ra nó.

Vì vậy, trước tiên, chúng ta hãy nhìn lại bản vẽ về một cấp số nhân giảm vô hạn từ ví dụ của chúng ta:

Bây giờ chúng ta hãy xem công thức tính tổng của cấp số nhân, được rút ra trước đó một chút:
hoặc

Chúng ta đang phấn đấu vì điều gì? Đúng vậy, đồ thị cho thấy nó có xu hướng bằng 0. Tức là tại, sẽ gần bằng tương ứng, khi tính biểu thức ta sẽ nhận được gần như. Về vấn đề này, chúng tôi tin rằng khi tính tổng của một cấp số nhân giảm vô hạn, dấu ngoặc này có thể bị bỏ qua vì nó sẽ bằng nhau.

- công thức là tổng các số hạng của cấp số nhân giảm vô hạn.

QUAN TRỌNG! Chúng ta chỉ sử dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân giảm vô hạn nếu điều kiện nêu rõ rằng chúng ta cần tìm tổng vô hạn số thành viên.

Nếu một số n cụ thể được chỉ định thì chúng ta sử dụng công thức tính tổng của n số hạng, ngay cả khi hoặc.

Bây giờ chúng ta hãy luyện tập.

1. Tìm tổng các số hạng đầu tiên của cấp số nhân với và.
2. Tìm tổng các số hạng của cấp số nhân giảm vô hạn với và.

Tôi hy vọng bạn đã cực kỳ cẩn thận. Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:

Bây giờ bạn đã biết mọi thứ về cấp số nhân và đã đến lúc chuyển từ lý thuyết sang thực hành. Các bài toán cấp số nhân phổ biến nhất gặp phải trong kỳ thi là các bài toán tính lãi kép. Đây là những người chúng ta sẽ nói về.

Các vấn đề về tính lãi kép.

Có lẽ bạn đã từng nghe đến cái gọi là công thức lãi suất kép. Bạn có hiểu nó có ý nghĩa gì không? Nếu không, hãy cùng tìm hiểu nhé, vì một khi bạn hiểu được bản thân quy trình, bạn sẽ hiểu ngay tiến trình hình học có liên quan gì đến nó.

Tất cả chúng ta đều đến ngân hàng và biết rằng có điều kiện khác nhau về tiền gửi: đây là thời hạn, dịch vụ bổ sung và lãi suất với hai những cách khác tính toán của nó - đơn giản và phức tạp.

VỚI điều quan tâm đơn giản mọi thứ ít nhiều rõ ràng: tiền lãi được tích lũy một lần vào cuối thời hạn gửi tiền. Nghĩa là, nếu chúng tôi nói rằng chúng tôi gửi 100 rúp trong một năm, thì số tiền đó sẽ chỉ được ghi có vào cuối năm. Theo đó, khi kết thúc khoản tiền gửi, chúng tôi sẽ nhận được rúp.

Lãi kép- đây là một tùy chọn trong đó nó xảy ra vốn hóa lãi suất, I E. việc bổ sung của họ vào số tiền gửi và tính toán thu nhập sau đó không phải từ số tiền ban đầu mà từ số tiền gửi tích lũy. Viết hoa không xảy ra liên tục, nhưng với tần suất nhất định. Theo quy định, các khoảng thời gian như vậy là bằng nhau và hầu hết các ngân hàng thường sử dụng tháng, quý hoặc năm.

Giả sử rằng chúng tôi gửi cùng một số rúp hàng năm, nhưng với mức vốn hóa hàng tháng của khoản tiền gửi. Chúng ta đang làm gì vậy?

Bạn có hiểu mọi thứ ở đây không? Nếu không, hãy tìm hiểu từng bước một.

Chúng tôi đã mang rúp đến ngân hàng. Đến cuối tháng, chúng ta sẽ có một số tiền trong tài khoản bao gồm đồng rúp cộng với tiền lãi từ chúng, nghĩa là:

Đồng ý?

Chúng ta có thể lấy nó ra khỏi ngoặc và sau đó chúng ta nhận được:

Đồng ý, công thức này đã giống với những gì chúng tôi đã viết lúc đầu hơn. Tất cả những gì còn lại là tìm ra tỷ lệ phần trăm

Trong báo cáo vấn đề, chúng ta được biết về lãi suất hàng năm. Như bạn biết, chúng tôi không nhân với - chúng tôi chuyển đổi tỷ lệ phần trăm thành số thập phân, đó là:

Phải? Bây giờ bạn có thể hỏi, con số này đến từ đâu? Rất đơn giản!
Tôi nhắc lại: báo cáo vấn đề nói về HÀNG NĂM tiền lãi tích lũy HÀNG THÁNG. Như bạn đã biết, trong một năm tính bằng tháng, theo đó, ngân hàng sẽ tính cho chúng tôi một phần tiền lãi hàng năm mỗi tháng:

Nhận ra nó? Bây giờ hãy thử viết phần này của công thức sẽ trông như thế nào nếu tôi nói rằng tiền lãi được tính hàng ngày.
Bạn đã quản lý được chưa? Hãy so sánh kết quả:

Làm tốt! Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: viết số tiền sẽ được ghi có vào tài khoản của chúng ta trong tháng thứ hai, có tính đến lãi suất được tích lũy trên số tiền gửi tích lũy.
Đây là những gì tôi có:

Hay nói cách khác:

Tôi nghĩ rằng bạn đã nhận thấy một khuôn mẫu và thấy sự tiến triển hình học trong tất cả những điều này. Viết số tiền mà thành viên của nó sẽ bằng, hay nói cách khác, chúng ta sẽ nhận được số tiền bao nhiêu vào cuối tháng.
Làm? Hãy kiểm tra!

Như bạn có thể thấy, nếu bạn gửi tiền vào ngân hàng trong một năm với lãi suất đơn giản, bạn sẽ nhận được rúp, và nếu với lãi suất kép, bạn sẽ nhận được rúp. Lợi ích tuy nhỏ nhưng điều này chỉ xảy ra trong năm thứ năm, nhưng trong thời gian dài hơn, vốn hóa sẽ sinh lời nhiều hơn:

Chúng ta hãy xem xét một loại vấn đề khác liên quan đến lãi kép. Sau những gì bạn đã tìm ra, nó sẽ là điều cơ bản đối với bạn. Vì vậy, nhiệm vụ:

Công ty Zvezda bắt đầu đầu tư vào ngành này vào năm 2000 với số vốn bằng đô la. Hàng năm kể từ năm 2001, nó đều nhận được lợi nhuận bằng số vốn năm trước. Công ty Zvezda sẽ nhận được bao nhiêu lợi nhuận vào cuối năm 2003 nếu lợi nhuận không được rút khỏi lưu thông?

Vốn của công ty Zvezda năm 2000.
- vốn của công ty Zvezda năm 2001.
- vốn của công ty Zvezda vào năm 2002.
- vốn của công ty Zvezda năm 2003.

Hoặc chúng ta có thể viết ngắn gọn:

Đối với trường hợp của chúng tôi:

2000, 2001, 2002 và 2003.

Tương ứng:
đồng rúp
Xin lưu ý rằng trong bài toán này, chúng ta không có phép chia theo hay chia vì tỷ lệ phần trăm được đưa ra HÀNG NĂM và nó được tính HÀNG NĂM. Nghĩa là, khi đọc một bài toán về lãi kép, hãy chú ý đến tỷ lệ phần trăm được đưa ra và nó được tính trong khoảng thời gian nào, sau đó mới tiến hành tính toán.
Bây giờ bạn đã biết mọi thứ về tiến trình hình học.

Đào tạo.

1. Tìm số hạng của cấp số nhân nếu biết điều đó, và
2. Tìm tổng các số hạng đầu tiên của cấp số nhân nếu biết điều đó, và
3. Công ty MDM Capital bắt đầu đầu tư vào ngành này vào năm 2003 với số vốn bằng đô la. Hàng năm kể từ năm 2004, công ty đều nhận được khoản lãi bằng vốn năm trước. Công ty MSK Cash Flows bắt đầu đầu tư vào ngành này vào năm 2005 với số tiền 10.000 đô la, bắt đầu kiếm được lợi nhuận vào năm 2006 với số tiền . Vốn của một công ty lớn hơn công ty kia bao nhiêu đô la vào cuối năm 2007, nếu lợi nhuận không được rút khỏi lưu thông?

Câu trả lời:

1. Vì phát biểu bài toán không nói rằng cấp số nhân là vô hạn và cần phải tìm tổng của một số số hạng cụ thể của nó nên việc tính toán được thực hiện theo công thức:
2. 
   Công ty vốn MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - tăng 100%, tức là gấp 2 lần.
   Tương ứng:
   đồng rúp
   Công ty dòng tiền MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - tăng lên, tức là gấp đôi.
   Tương ứng:
   đồng rúp
   đồng rúp

Hãy tóm tắt.

1) Cấp số hình học ( ) là một dãy số, số hạng đầu tiên khác 0 và mỗi số hạng, bắt đầu từ số hạng thứ hai, bằng số hạng trước đó, nhân với cùng một số. Con số này được gọi là mẫu số của cấp số nhân.

2) Phương trình của các số hạng cấp số nhân là .

3) có thể nhận bất kỳ giá trị nào ngoại trừ và.

• nếu thì tất cả các số hạng tiếp theo của cấp số có cùng dấu - chúng tích cực;
• nếu thì tất cả các số hạng tiếp theo của cấp số dấu hiệu thay thế;
• khi - sự tiến triển được gọi là giảm vô hạn.

4) , với - tính chất cấp số nhân (các số hạng liền kề)

hoặc
, tại (các thuật ngữ cách đều)

Khi bạn tìm thấy nó, đừng quên điều đó nên có hai câu trả lời.

Ví dụ,

5) Tổng các số hạng của cấp số nhân được tính theo công thức:
hoặc

Nếu tiến trình giảm vô hạn thì:
hoặc

QUAN TRỌNG! Chúng ta chỉ sử dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân giảm vô hạn nếu điều kiện nêu rõ rằng chúng ta cần tìm tổng số lượng vô hạn các thành viên.

6) Các bài toán về lãi kép cũng được tính bằng công thức số hạng cấp số nhân với điều kiện tiền chưa được rút ra khỏi lưu thông:

CẤP SỐ NHÂN. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Cấp số nhân( ) là một dãy số, số hạng đầu tiên khác 0 và mỗi số hạng, bắt đầu từ số thứ hai, bằng số hạng trước đó, nhân với cùng một số. Số này được gọi là mẫu số của một cấp số nhân.

Mẫu số của cấp số nhân có thể nhận bất kỳ giá trị nào ngoại trừ và.

• Nếu thì tất cả các số hạng tiếp theo của cấp số có cùng dấu - chúng dương;
• nếu thì tất cả các thành viên tiếp theo của tiến trình sẽ thay thế các dấu hiệu;
• khi - sự tiến triển được gọi là giảm vô hạn.

Phương trình của các số hạng cấp tiến hình học - .

Tổng các số hạng của cấp số nhânđược tính theo công thức:
hoặc

Cấp số nhân không kém phần quan trọng trong toán học so với số học. Cấp số nhân là một dãy số b1, b2,..., b[n], mỗi số hạng tiếp theo có được bằng cách nhân số trước đó với một số không đổi. Con số này cũng đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng hoặc giảm dần của quá trình tiến triển, được gọi là mẫu số của cấp số nhân và biểu thị

Để xác định đầy đủ một cấp số nhân, ngoài mẫu số, cần phải biết hoặc xác định số hạng đầu tiên của nó. Vì giá trị dương Cấp số tiến của mẫu số là một dãy số đơn điệu, và nếu dãy số này giảm đơn điệu và nếu nó tăng đơn điệu. Trường hợp mẫu số bằng một không được xem xét trong thực tế, vì chúng ta có một dãy số giống hệt nhau và tổng của chúng không có ý nghĩa thực tế

Thuật ngữ chung của cấp số nhân tính theo công thức

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhânđược xác định bởi công thức

Chúng ta hãy xem xét lời giải của các bài toán cấp số hình học cổ điển. Hãy bắt đầu với những điều đơn giản nhất để hiểu.

Ví dụ 1. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 27 và mẫu số của nó là 1/3. Tìm sáu số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

Lời giải: Ta viết bài toán dưới dạng

Để tính toán, chúng tôi sử dụng công thức cho số hạng thứ n của cấp số nhân

Dựa vào đó, chúng ta tìm được số hạng chưa biết của tiến trình

Như bạn có thể thấy, việc tính toán các số hạng của cấp số nhân không khó. Bản thân quá trình tiến triển sẽ như thế này

Ví dụ 2. Ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân cho trước: 6; -12; 24. Tìm mẫu số và số hạng thứ bảy của nó.

Giải: Chúng ta tính mẫu số của cấp số hình học dựa trên định nghĩa của nó

Chúng ta đã thu được một cấp số nhân xen kẽ có mẫu số bằng -2. Số hạng thứ bảy được tính bằng công thức

Điều này giải quyết vấn đề.

Ví dụ 3. Một cấp số nhân được cho bởi hai số hạng của nó . Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân.

Giải pháp:

Hãy viết các giá trị đã cho bằng công thức

Theo quy luật, người ta cần tìm mẫu số rồi tìm giá trị mong muốn, nhưng đối với số hạng thứ mười chúng ta có

Công thức tương tự có thể thu được dựa trên các thao tác đơn giản với dữ liệu đầu vào. Chia số hạng thứ sáu của chuỗi cho số hạng khác và kết quả là chúng ta nhận được

Nếu nhân giá trị kết quả với số hạng thứ sáu, chúng ta nhận được số hạng thứ mười

Vì vậy, đối với những nhiệm vụ như vậy, việc sử dụng các phép biến đổi đơn giản để đường tắt bạn có thể tìm thấy giải pháp phù hợp.

Ví dụ 4. Cấp số nhân được cho bởi công thức truy hồi

Tìm mẫu số của cấp số nhân và tổng của sáu số hạng đầu tiên.

Giải pháp:

Hãy viết dữ liệu đã cho dưới dạng hệ phương trình

Biểu thị mẫu số bằng cách chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất

Hãy tìm số hạng đầu tiên của cấp số từ phương trình đầu tiên

Chúng ta hãy tính năm số hạng sau để tìm tổng của cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số khác 0 được hình thành bằng cách nhân mỗi số hạng tiếp theo với một hệ số cho trước không bằng 0.

Trình tự

Trước khi hiểu tiến trình, bạn nên hiểu định nghĩa về dãy số và quy luật chi phối nó. Hãy nhớ lại dãy số tự nhiên - dãy số đầu tiên chúng ta học lại Mẫu giáo. Đây là những số nguyên được sử dụng để đếm các mục. Sự khởi đầu trông như thế này:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...n

Nếu chúng ta liên kết mỗi số trong chuỗi tự nhiên với một số khác được tạo thành theo một công thức nhất định, chúng ta sẽ có một chuỗi mới:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... an

Số an là thành phần tổng quát của dãy số và là quy luật hình thành nên các phần tử của dãy số. Rõ ràng, công thức xác định chuỗi tự nhiên chỉ đơn giản là n. Đối với dãy số chẵn, mỗi phần tử và thuật ngữ chung được cho bởi công thức 2n và đối với số lẻ - 2n − 1.

Cấp tiến số học và hình học

Một ví dụ khác về hoạt động của tiến trình hình học là sự lây lan của dịch cúm. Ví dụ, một bệnh nhân có thể lây nhiễm cho 12 người mỗi ngày, mỗi người trong số 12 người đó cũng sẽ lây nhiễm cho 12 người nữa, như vậy vào ngày thứ hai sẽ có 144 bệnh nhân, ngày thứ ba - 1.728 và ngày thứ tư - 20.736.

Chương trình của chúng tôi tạo ra một tiến trình hình học của giá trị đã chọn. Để thực hiện việc này, bạn sẽ cần nhập giá trị của số hạng đầu tiên vào ô “Số đầu tiên”, mẫu số của cấp số nhân trong ô “Sự khác biệt (Bước)” và số phần tử của chuỗi trong ô “Cuối cùng”. Ô số”. Sau đó, chương trình sẽ cung cấp các số tương ứng với định luật cấp tiến hình học.

Hãy xem một ví dụ

Trò chơi tiền mặt qua thư

Vào thời Xô Viết, đã có một vụ lừa đảo dựa trên nguyên tắc cấp số nhân. Bản chất của trò lừa đảo như sau. Người dân nhận được thư chỉ rõ 5 địa chỉ và hướng dẫn:

• gửi đến địa chỉ với giá 1 rúp;
• gạch bỏ địa chỉ đầu tiên và nhập địa chỉ của bạn làm địa chỉ thứ năm;
• gửi thư mời có địa chỉ được chỉ định cho bạn bè và người quen của bạn.

Các nhà thám hiểm đã đưa ra lời giải thích hợp lý cho cơ chế làm giàu. Thật vậy, nếu những người bạn mời gửi mỗi người 1 rúp thì bạn sẽ trả lại số tiền đã chi. Năm người được mời tham gia trò chơi sẽ gửi thư cho bạn bè của họ, trong đó địa chỉ của bạn được ghi là số 4. Số lượng thư như vậy đã là 25 và làn sóng người được mời tiếp theo sẽ gửi cho bạn tổng cộng 25 rúp. Sau đó, 25 người sẽ được gửi 5 lá thư, trong đó địa chỉ của bạn là địa chỉ thứ ba và đây đã là 125 phong bì, mỗi phong bì trị giá 1 rúp.

Những kẻ lừa đảo đã hứa bao nhiêu tiền khi kết thúc vòng mời? Câu trả lời nằm ở một cấp số nhân đơn giản. Theo phiên bản của họ, sẽ có 5 đợt lời mời có địa chỉ của bạn. Vì chúng tôi không tính đến đơn vị mà bắt đầu bằng 5 chữ cái nên số cuối cùng sẽ bằng 6. Số đầu tiên, tất nhiên, là 1. Bước tiến triển hình học của chúng tôi là 5. Chúng tôi nhập dữ liệu này vào các ô của máy tính và nhận được dãy số:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

tổng các phần tử của chuỗi là 3906. Đó là khoản lợi nhuận 3906 rúp mà những kẻ lừa đảo đã hứa với những công dân cả tin. Đương nhiên, trên thực tế, tất cả số tiền đều thuộc về những người tổ chức trò chơi, vì ở bước đầu tiên, những kẻ lừa đảo đã gửi không phải một mà là hàng trăm lá thư, trong đó ghi rõ địa chỉ của chính chúng. Ngay cả khi ở bước đầu tiên những kẻ lừa đảo chỉ gửi 200 lá thư, thì đến bước thứ năm, 625.000 người sẽ tham gia trò chơi và ban tổ chức sẽ nhận được hơn 700.000 rúp từ họ. Các bước tiếp theo không còn ý nghĩa nữa.

Phần kết luận

Tiến trình hình học thường được tìm thấy trong thực tế. Sử dụng danh mục máy tính của chúng tôi để giải các bài toán thú vị hoặc kiểm tra các ví dụ giáo dục.