Đường giữa của hình thang. Ghi nhớ và áp dụng tính chất của hình thang
Hình thang là trương hợp đặc biệt một tứ giác có một cặp cạnh song song. Thuật ngữ "hình thang" xuất phát từ tiếng Hy Lạp τράπεζα, có nghĩa là "cái bàn", "cái bàn". Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét các loại hình thang và tính chất của nó. Ngoài ra, chúng ta sẽ tìm ra cách tính các phần tử riêng lẻ của ví dụ này. Ví dụ: đường chéo hình thang cân, đường tâm, diện tích, v.v. Tài liệu được trình bày theo phong cách hình học phổ biến cơ bản, tức là ở dạng dễ tiếp cận.
Thông tin chung
Đầu tiên chúng ta hãy tìm hiểu tứ giác là gì. Hình này là trường hợp đặc biệt của một đa giác có bốn cạnh và bốn đỉnh. Hai đỉnh của một tứ giác không kề nhau gọi là đối diện. Điều tương tự cũng có thể nói về hai mặt không liền kề. Các loại tứ giác chính là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình thang và hình delta.
Vì vậy, chúng ta hãy quay trở lại hình thang. Như chúng tôi đã nói, hình này có hai cạnh song song. Chúng được gọi là căn cứ. Hai mặt còn lại (không song song) là các mặt bên. Trong các tài liệu thi và các loại khác nhau kiểm tra rất thường xuyên bạn có thể tìm thấy các bài toán liên quan đến hình thang, cách giải thường yêu cầu học sinh phải có những kiến thức không được cung cấp trong chương trình. Khóa học hình học giới thiệu cho học sinh các tính chất của góc và đường chéo, cũng như đường trung bình của hình thang cân. Tuy nhiên, ngoài điều này, hình hình học được đề cập còn có những đặc điểm khác. Nhưng nhiều hơn về họ một lát sau ...
Các loại hình thang
Có rất nhiều loại hình này. Tuy nhiên, thông thường người ta thường xem xét hai trong số chúng - hình cân và hình chữ nhật.
1. Hình thang chữ nhật là hình có một cạnh vuông góc với hai đáy. Hai góc của cô ấy luôn bằng chín mươi độ.
2. Hình thang cân là hình hình học có các cạnh bằng nhau. Điều này có nghĩa là các góc ở đáy cũng bằng nhau theo từng cặp.
Các nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghiên cứu tính chất của hình thang
Nguyên tắc chính bao gồm việc sử dụng cái gọi là cách tiếp cận nhiệm vụ. Về cơ bản thì không cần phải nhập khóa học lý thuyết hình học của các thuộc tính mới của hình này. Chúng có thể được phát hiện và hình thành trong quá trình giải các bài toán khác nhau (tốt nhất là các bài toán hệ thống). Đồng thời, điều rất quan trọng là giáo viên phải biết những nhiệm vụ nào cần giao cho học sinh vào lúc này hay lúc khác. quá trình giáo dục. Hơn nữa, mỗi thuộc tính của hình thang có thể được biểu diễn như một nhiệm vụ chính trong hệ thống nhiệm vụ.
Nguyên tắc thứ hai được gọi là tổ chức xoắn ốc để nghiên cứu các tính chất “đáng chú ý” của hình thang. Điều này ngụ ý sự quay trở lại trong quá trình học tập đối với các đặc điểm riêng biệt của một đối tượng nhất định. hình hình học. Điều này giúp học sinh dễ nhớ hơn. Ví dụ: tính chất của bốn điểm. Nó có thể được chứng minh cả khi nghiên cứu sự tương đồng và sau đó sử dụng vectơ. Và sự tương đương của các tam giác liền kề với các cạnh bên của một hình có thể được chứng minh bằng cách không chỉ áp dụng các tính chất của các tam giác có chiều cao bằng nhau vẽ về các cạnh nằm trên cùng một đường thẳng mà còn sử dụng công thức S = 1/2( ab*sinα). Ngoài ra, bạn có thể làm việc trên một hình thang nội tiếp hoặc một tam giác vuông trên một hình thang nội tiếp, v.v.
Việc sử dụng các đặc điểm “ngoại khóa” của một hình hình học trong nội dung môn học ở trường là một công nghệ dạy học dựa trên nhiệm vụ. Việc liên tục nhắc đến các tính chất đang học trong khi học các chủ đề khác giúp học sinh có được kiến thức sâu hơn về hình thang và đảm bảo giải thành công các bài toán được giao. Vì vậy, hãy bắt đầu nghiên cứu con số tuyệt vời này.
Các yếu tố và tính chất của hình thang cân
Như chúng tôi đã lưu ý, hình hình học này có các cạnh bằng nhau. Nó còn được gọi là hình thang đúng. Tại sao nó lại đáng chú ý đến vậy và tại sao nó lại có được cái tên như vậy? Điểm đặc biệt của hình này là không chỉ các cạnh và góc ở đáy mà cả các đường chéo cũng bằng nhau. Ngoài ra, tổng các góc của hình thang cân là 360 độ. Nhưng đó không phải là tất cả! Trong số tất cả các hình thang đã biết, chỉ có hình thang cân mới có thể được mô tả là hình tròn. Điều này là do tổng các góc đối diện của hình này bằng 180 độ và chỉ trong điều kiện này, người ta mới có thể mô tả một đường tròn xung quanh một hình tứ giác. Tính chất tiếp theo của hình hình học đang xét là khoảng cách từ đỉnh của đáy đến hình chiếu của đỉnh đối diện lên đường thẳng chứa đáy này sẽ bằng đường giữa.
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu cách tìm các góc của hình thang cân. Chúng ta hãy xem xét một giải pháp cho vấn đề này, với điều kiện là biết kích thước của các cạnh của hình.
Giải pháp
Thông thường, một tứ giác thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C, D, trong đó BS và AD là các đáy. Trong một hình thang cân, các cạnh bằng nhau. Chúng ta sẽ giả sử rằng kích thước của chúng bằng X và kích thước của các đáy bằng Y và Z (tương ứng nhỏ hơn và lớn hơn). Để thực hiện phép tính, cần vẽ chiều cao H từ góc B. Kết quả là tam giác vuông ABN, trong đó AB là cạnh huyền, BN và AN là hai chân. Chúng ta tính kích thước của chân AN: chúng ta lấy cơ số lớn trừ đi số nhỏ hơn và chia kết quả cho 2. Chúng ta viết nó dưới dạng công thức: (Z-Y)/2 = F. Bây giờ, để tính độ nhọn góc của tam giác, chúng ta sử dụng hàm cos. Chúng ta nhận được kết quả sau: cos(β) = X/F. Bây giờ chúng ta tính góc: β=arcos (X/F). Hơn nữa, khi biết một góc, chúng ta có thể xác định góc thứ hai, để làm được điều này, chúng ta thực hiện một phép tính số học cơ bản: 180 - β. Tất cả các góc được xác định.
Có một giải pháp thứ hai cho vấn đề này. Đầu tiên, chúng ta hạ nó từ góc xuống độ cao H. Chúng ta tính giá trị của chân BN. Chúng ta biết rằng bình phương cạnh huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Ta được: BN = √(X2-F2). Tiếp theo chúng ta sử dụng hàm lượng giác tg. Kết quả ta có: β = arctan (BN/F). Một góc nhọn đã được tìm thấy. Tiếp theo, chúng tôi định nghĩa nó tương tự như phương pháp đầu tiên.
Tính chất các đường chéo của hình thang cân
Đầu tiên, hãy viết ra bốn quy tắc. Nếu các đường chéo trong hình thang cân vuông góc thì:
Chiều cao của hình sẽ bằng tổng các đáy chia cho hai;
Chiều cao của nó và đường giữa bình đẳng;
Tâm của đường tròn là điểm mà tại đó ;
Nếu cạnh bên được chia điểm tiếp tuyến thành các đoạn H và M thì bằng căn bậc hai sản phẩm của các bộ phận này;
Tứ giác được tạo thành bởi các điểm tiếp tuyến, đỉnh của hình thang và tâm của đường tròn nội tiếp là hình vuông có cạnh bằng bán kính;
Diện tích của một hình bằng tích của các đáy và tích của một nửa tổng các đáy và chiều cao của nó.
Hình thang tương tự
Chủ đề này rất thuận tiện cho việc nghiên cứu các tính chất của nó. Ví dụ: các đường chéo chia hình thang thành bốn hình tam giác, các hình kề nhau có đáy bằng nhau và các hình kề nhau có kích thước bằng nhau. Tuyên bố này có thể được gọi là một tính chất của các hình tam giác mà hình thang được chia bởi các đường chéo của nó. Phần đầu tiên của nhận định này được chứng minh thông qua dấu hiệu tương đồng ở hai góc độ. Để chứng minh phần thứ hai, tốt hơn nên sử dụng phương pháp dưới đây.
Chứng minh định lý
Ta chấp nhận rằng hình ABSD (AD và BS là hai đáy của hình thang) được chia cho các đường chéo VD và AC. Điểm giao nhau của chúng là O. Chúng ta có bốn hình tam giác: AOS - ở đáy dưới, BOS - ở đáy trên, ABO và SOD ở hai bên. Các tam giác SOD và BOS có cùng chiều cao nếu các đoạn BO và OD là đáy của chúng. Chúng tôi thấy rằng sự khác biệt giữa các diện tích (P) của chúng bằng với sự khác biệt giữa các phân đoạn này: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Do đó, PSOD = PBOS/K. Tương tự, tam giác BOS và AOB có chung chiều cao. Chúng ta lấy các đoạn CO và OA làm cơ sở. Chúng ta nhận được PBOS/PAOB = CO/OA = K và PAOB = PBOS/K. Từ đó suy ra PSOD = PAOB.
Để củng cố tài liệu, học sinh nên tìm mối liên hệ giữa diện tích của các hình tam giác thu được mà hình thang được chia cho các đường chéo của nó bằng cách giải bài toán sau. Biết rằng các tam giác BOS và AOD có diện tích bằng nhau; cần tìm diện tích hình thang. Vì PSOD = PAOB nên PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Từ sự đồng dạng của các tam giác BOS và AOD suy ra BO/OD = √(PBOS/PAOD). Do đó, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Chúng ta nhận được PSOD = √(PBOS*PAOD). Khi đó PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Tính chất tương tự
Tiếp tục phát triển chủ đề này, người ta có thể chứng minh điều khác tính năng thú vị hình thang. Do đó, bằng cách sử dụng sự tương tự, người ta có thể chứng minh tính chất của một đoạn đi qua điểm được tạo thành bởi giao điểm của các đường chéo của hình hình học này, song song với các đáy. Để làm được điều này, chúng ta giải bài toán sau: chúng ta cần tìm độ dài đoạn RK đi qua điểm O. Từ sự đồng dạng của các tam giác AOD và BOS suy ra AO/OS = AD/BS. Từ sự đồng dạng của các tam giác AOP và ASB suy ra AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Từ đây chúng ta có RO=BS*BP/(BS+BP). Tương tự, từ sự đồng dạng của các tam giác DOC và DBS, suy ra OK = BS*AD/(BS+AD). Từ đây chúng ta có RO=OK và RK=2*BS*AD/(BS+AD). Đoạn đi qua giao điểm của các đường chéo, song song với các đáy và nối hai cạnh bên thì được chia đôi bởi giao điểm. Chiều dài của nó là giá trị trung bình hài hòa của các cơ sở của hình.
Hãy xem xét tính chất sau đây của hình thang, được gọi là tính chất bốn điểm. Các điểm giao nhau của các đường chéo (O), giao điểm của các cạnh (E), cũng như trung điểm của các đáy (T và F) luôn nằm trên cùng một đường thẳng. Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng phương pháp tương tự. Kết quả là các tam giác BES và AED bằng nhau và trong mỗi tam giác đó, các đường trung tuyến ET và EJ chia góc ở đỉnh E thành các phần bằng nhau. Do đó các điểm E, T, F thẳng hàng. Tương tự như vậy, các điểm T, O và Zh nằm trên cùng một đường thẳng. Tất cả điều này xuất phát từ sự giống nhau của các tam giác BOS và AOD. Từ đây ta kết luận rằng cả bốn điểm - E, T, O và F - sẽ nằm trên cùng một đường thẳng.
Sử dụng các hình thang tương tự, bạn có thể yêu cầu học sinh tìm độ dài đoạn thẳng (LS) chia hình thành hai hình giống nhau. Đoạn này phải song song với các căn cứ. Vì các hình thang ALFD và LBSF thu được là tương tự nhau nên BS/LF = LF/AD. Suy ra LF=√(BS*AD). Chúng ta thấy rằng đoạn chia hình thang thành hai hình giống nhau có chiều dài bằng trung bình hình học của độ dài các đáy của hình.
Hãy xem xét tính chất tương tự sau đây. Nó dựa trên một đoạn chia hình thang thành hai hình bằng nhau. Chúng ta giả sử rằng hình thang ABSD được chia bởi đoạn EH thành hai đoạn giống nhau. Từ đỉnh B, chiều cao bị bỏ qua, chiều cao này được chia bởi đoạn EN thành hai phần - B1 và B2. Chúng ta nhận được: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 và PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Tiếp theo, chúng ta soạn một hệ có phương trình đầu tiên là (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 và phương trình thứ hai (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Theo đó B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) và BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Ta thấy rằng độ dài đoạn chia hình thang thành hai hình bằng nhau bằng bình phương trung bình căn bậc hai của độ dài hai đáy: √((BS2+AD2)/2).
Kết quả tương đồng
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
1. Đoạn nối trung điểm các cạnh bên của hình thang thì song song với AD và BS và bằng trung bình số học của BS và AD (độ dài đáy của hình thang).
2. Đường thẳng đi qua điểm O là giao điểm của hai đường chéo song song với AD và BS sẽ bằng trung bình điều hòa của hai số AD và BS (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Đoạn chia hình thang thành các hình đồng dạng có độ dài bằng trung bình hình học của hai đáy BS và AD.
4. Phần tử chia một hình thành hai phần bằng nhau có độ dài bằng căn bình phương trung bình của các số AD và BS.
Để củng cố kiến thức và hiểu được mối liên hệ giữa các đoạn đã xét, học sinh cần dựng chúng cho một hình thang cụ thể. Anh ta có thể dễ dàng hiển thị đường ở giữa và đoạn đi qua điểm O - giao điểm của các đường chéo của hình - song song với các đáy. Nhưng cái thứ ba và thứ tư sẽ nằm ở đâu? Câu trả lời này sẽ dẫn học sinh đến việc khám phá mối quan hệ mong muốn giữa các giá trị trung bình.
Đoạn nối trung điểm các đường chéo của hình thang
Hãy xem xét tính chất sau của hình này. Chúng ta giả sử rằng đoạn MH song song với các đáy và chia đôi các đường chéo. Hãy gọi các điểm giao nhau là Ш và Ш. Đoạn này sẽ bằng một nửa hiệu của các đáy. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn. MS là đường giữa của tam giác ABS, nó bằng BS/2. MSH là đường trung bình của tam giác ABD, bằng AD/2. Khi đó chúng ta có ShShch = MSh-MSh, do đó, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.
Trung tâm của lực hấp dẫn
Chúng ta hãy xem cách xác định phần tử này cho một hình hình học nhất định. Để làm điều này, cần phải mở rộng các căn cứ theo hướng ngược lại. Nó có nghĩa là gì? Bạn cần thêm đế dưới vào đế trên - theo bất kỳ hướng nào, chẳng hạn như bên phải. Và chúng ta kéo dài cái dưới bằng chiều dài của cái trên sang trái. Tiếp theo, chúng tôi kết nối chúng theo đường chéo. Giao điểm của đoạn này với đường giữa của hình là trọng tâm của hình thang.
Hình thang nội tiếp và ngoại tiếp
Hãy liệt kê các tính năng của các số liệu như vậy:
1. Một hình thang chỉ có thể nội tiếp được trong một đường tròn nếu nó là hình cân.
2. Một hình thang có thể được mô tả xung quanh một hình tròn với điều kiện tổng chiều dài hai đáy của chúng bằng tổng chiều dài các cạnh.
Hệ quả của đường tròn nội tiếp:
1. Chiều cao của hình thang được mô tả luôn bằng hai bán kính.
2. Cạnh của hình thang được mô tả được quan sát từ tâm của vòng tròn theo một góc vuông.
Hệ quả thứ nhất là hiển nhiên, nhưng để chứng minh hệ quả thứ hai cần phải chứng minh rằng góc SOD vuông, điều này trên thực tế cũng không khó. Nhưng kiến thức của tài sản này sẽ cho phép bạn sử dụng tam giác vuông khi giải quyết vấn đề.
Bây giờ chúng ta hãy chỉ rõ những hệ quả này đối với một hình thang cân nội tiếp trong một đường tròn. Chúng ta thấy rằng chiều cao là trung bình hình học của các đáy của hình: H=2R=√(BS*AD). Khi luyện tập kĩ thuật cơ bản để giải các bài toán về hình thang (nguyên tắc vẽ hai đường cao), học sinh phải giải được nhiệm vụ sau. Chúng ta giả sử BT là chiều cao của hình cân ABSD. Cần tìm các đoạn AT và TD. Sử dụng công thức được mô tả ở trên, điều này sẽ không khó thực hiện.
Bây giờ chúng ta hãy tìm cách xác định bán kính của một hình tròn bằng cách sử dụng diện tích hình thang ngoại tiếp. Ta hạ độ cao từ đỉnh B xuống đáy AD. Vì đường tròn nội tiếp hình thang nên BS+AD = 2AB hoặc AB = (BS+AD)/2. Từ tam giác ABN ta tìm được sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Chúng ta nhận được PABSD = (BS+BP)*R, từ đó R = PABSD/(BS+BP).
Tất cả các công thức tính đường trung bình của hình thang
Bây giờ là lúc chuyển sang phần tử cuối cùng của hình hình học này. Hãy tìm xem đường giữa của hình thang (M) bằng bao nhiêu:
1. Qua các căn cứ: M = (A+B)/2.
2. Qua chiều cao, chân đế và các góc:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Thông qua chiều cao, đường chéo và góc giữa chúng. Ví dụ: D1 và D2 là các đường chéo của hình thang; α, β - góc giữa chúng:
M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.
4. Diện tích và chiều cao: M = P/N.
Khái niệm đường trung bình của hình thang
Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ loại hình nào được gọi là hình thang.
Định nghĩa 1
Hình thang là một tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh kia không song song.
Trong trường hợp này, các cạnh song song được gọi là đáy của hình thang và các cạnh không song song được gọi là các cạnh bên của hình thang.
Định nghĩa 2
Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm các cạnh bên của hình thang.
Định lý đường giữa hình thang
Bây giờ chúng ta giới thiệu định lý về đường trung bình của hình thang và chứng minh nó bằng phương pháp vectơ.
Định lý 1
Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng của chúng.
Bằng chứng.
Cho một hình thang $ABCD$ có đáy $AD\ và\BC$. Và đặt $MN$ là đường giữa của hình thang này (Hình 1).
Hình 1. Đường giữa hình thang
Hãy chứng minh rằng $MN||AD\ và\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Xét vectơ $\overrightarrow(MN)$. Tiếp theo chúng ta sử dụng quy tắc đa giác để cộng vectơ. Một mặt, chúng tôi hiểu rằng
Mặt khác
Hãy cộng hai đẳng thức cuối cùng và nhận được
Vì $M$ và $N$ là trung điểm của các cạnh bên của hình thang nên chúng ta sẽ có
Chúng tôi nhận được:
Kể từ đây
Từ cùng một đẳng thức (vì $\overrightarrow(BC)$ và $\overrightarrow(AD)$ là cùng chiều và do đó, thẳng hàng), chúng ta thu được $MN||AD$ đó.
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ về khái niệm đường trung bình của hình thang
ví dụ 1
Các cạnh bên của hình thang lần lượt là $15\ cm$ và $17\ cm$. Chu vi của hình thang là $52\cm$. Tìm độ dài đường trung bình của hình thang.
Giải pháp.
Chúng ta hãy biểu thị đường trung bình của hình thang bằng $n$.
Tổng các cạnh bằng
Do đó, vì chu vi là $52\ cm$ nên tổng các đáy bằng
Vì vậy, theo Định lý 1, ta có
Trả lời:$10\cm$.
Ví dụ 2
Các đầu của đường kính của đường tròn lần lượt cách xa tiếp tuyến của nó là $9$ cm và $5$ cm. Tìm đường kính của đường tròn này.
Giải pháp.
Cho một đường tròn có tâm tại điểm $O$ và đường kính $AB$. Hãy vẽ một tiếp tuyến $l$ và xây dựng các khoảng cách $AD=9\ cm$ và $BC=5\ cm$. Hãy vẽ bán kính $OH$ (Hình 2).
Hình 2.
Vì $AD$ và $BC$ là khoảng cách đến tiếp tuyến, nên $AD\bot l$ và $BC\bot l$ và vì $OH$ là bán kính, nên $OH\bot l$, do đó, $OH |\left|AD\right||BC$. Từ tất cả những điều này, chúng ta nhận được rằng $ABCD$ là một hình thang và $OH$ là đường trung bình của nó. Theo Định lý 1, ta có
\[(\Large(\text(Hình thang miễn phí)))\]
Các định nghĩa
Hình thang là một tứ giác lồi có hai cạnh song song và hai cạnh kia không song song.
Các cạnh song song của hình thang được gọi là đáy của nó, và hai cạnh còn lại được gọi là các cạnh bên của nó.
Chiều cao của hình thang là đường vuông góc kẻ từ một điểm bất kỳ của đáy này sang đáy khác.
Định lý: tính chất của hình thang
1) Tổng các góc ở một bên là \(180^\circ\) .
2) Các đường chéo chia hình thang thành bốn hình tam giác, trong đó có hai hình tam giác giống nhau và hai hình còn lại có kích thước bằng nhau.
Bằng chứng
1) Bởi vì \(AD\song song BC\), thì các góc \(\angle BAD\) và \(\angle ABC\) là một phía đối với các đường thẳng này và đường ngang \(AB\), do đó, \(\góc BAD +\góc ABC=180^\circ\).
2) Bởi vì \(AD\song song BC\) và \(BD\) là cát tuyến, khi đó \(\angle DBC=\angle BDA\) nằm ngang.
Ngoài ra \(\angle BOC=\angle AOD\) là phương thẳng đứng.
Do đó, ở hai góc \(\tam giác BOC \sim \tam giác AOD\).
Hãy chứng minh điều đó \(S_(\tam giác AOB)=S_(\tam giác COD)\). Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang. Sau đó \(S_(\tam giác ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\tam giác ACD)\). Sau đó: \
Sự định nghĩa
Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm của các cạnh.
Định lý
Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng của chúng.
Bằng chứng*
1) Hãy chứng minh sự song song.
Chúng ta hãy kẻ qua điểm \(M\) đường thẳng \(MN"\song song AD\) (\(N"\in CD\) ). Khi đó, theo định lý Thales (vì \(MN"\song song AD\song song BC, AM=MB\)) điểm \(N"\) là điểm giữa của đoạn \(CD\). Điều này có nghĩa là các điểm \(N\) và \(N"\) sẽ trùng nhau.
2) Hãy chứng minh công thức.
Hãy làm \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Cho phép \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
Khi đó, theo định lý Thales, \(M"\) và \(N"\) lần lượt là trung điểm của các đoạn \(BB"\) và \(CC"\). Điều này có nghĩa là \(MM"\) là đường giữa của \(\tam giác ABB"\) , \(NN"\) là đường giữa của \(\triangle DCC"\) . Đó là lý do tại sao: \
Bởi vì \(MN\song song AD\BC song song\) và \(BB", CC"\perp AD\) , thì \(B"M"N"C"\) và \(BM"N"C\) là hình chữ nhật. Theo định lý Thales, từ \(MN\parallel AD\) và \(AM=MB\) suy ra \(B"M"=M"B\) . Do đó, \(B"M"N"C "\) và \(BM"N"C\) là các hình chữ nhật bằng nhau, do đó, \(M"N"=B"C"=BC\) .
Như vậy:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]
Định lý: tính chất của hình thang tùy ý
Trung điểm của các đáy, giao điểm của các đường chéo của hình thang và giao điểm của các phần kéo dài của các cạnh bên cùng nằm trên một đường thẳng.
Bằng chứng*
Bạn nên làm quen với cách chứng minh sau khi nghiên cứu chủ đề “Sự giống nhau của các tam giác”.
1) Hãy chứng minh rằng các điểm \(P\), \(N\) và \(M\) nằm trên cùng một đường thẳng.
Hãy vẽ một đường thẳng \(PN\) (\(P\) là giao điểm của các phần kéo dài của các cạnh bên, \(N\) là điểm giữa của \(BC\)). Hãy để nó cắt cạnh \(AD\) tại điểm \(M\) . Hãy chứng minh rằng \(M\) là trung điểm của \(AD\) .
Hãy xem xét \(\tam giác BPN\) và \(\tam giác APM\) . Chúng giống nhau ở hai góc (\(\angle APM\) – chung, \(\angle PAM=\angle PBN\) tương ứng tại \(AD\parallel BC\) và \(AB\) secant). Có nghĩa: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Hãy xem xét \(\tam giác CPN\) và \(\tam giác DPM\) . Chúng giống nhau ở hai góc (\(\angle DPM\) – chung, \(\angle PDM=\angle PCN\) tương ứng tại \(AD\parallel BC\) và \(CD\) secant). Có nghĩa: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Từ đây \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Nhưng \(BN=NC\) do đó \(AM=DM\) .
2) Hãy chứng minh các điểm \(N, O, M\) cùng nằm trên một đường thẳng.
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\) và \(O\) là giao điểm của các đường chéo. Hãy vẽ một đường thẳng \(NO\) , nó sẽ cắt cạnh \(AD\) tại điểm \(M\) . Hãy chứng minh rằng \(M\) là trung điểm của \(AD\) .
\(\tam giác BNO\sim \tam giác DMO\) dọc theo hai góc (\(\angle OBN=\angle ODM\) nằm ngang tại \(BC\parallel AD\) và \(BD\) secant; \(\angle BON=\angle DOM\) thẳng đứng). Có nghĩa: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
Tương tự như vậy \(\tam giác CON\sim \tam giác AOM\). Có nghĩa: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
Từ đây \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Nhưng \(BN=CN\) do đó \(AM=MD\) .
\[(\Large(\text(Hình thang cân)))\]
Các định nghĩa
Một hình thang được gọi là hình chữ nhật nếu một trong các góc của nó vuông.
Hình thang được gọi là hình cân nếu các cạnh của nó bằng nhau.
Định lý: tính chất của hình thang cân
1) Hình thang cân có các góc đáy bằng nhau.
2) Các đường chéo của hình thang cân bằng nhau.
3) Hai tam giác tạo thành bởi hai đường chéo và một đáy là cân.
Bằng chứng
1) Hãy xem xét hình thang cân\(A B C D\) .
Từ các đỉnh \(B\) và \(C\), chúng ta lần lượt thả các đường vuông góc \(BM\) và \(CN\) về phía \(AD\). Vì \(BM\perp AD\) và \(CN\perp AD\) , nên \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , thì \(MBCN\) là hình bình hành, do đó, \(BM = CN\) .
Xét các tam giác vuông \(ABM\) và \(CDN\) . Vì các cạnh huyền của chúng bằng nhau và cạnh \(BM\) bằng cạnh \(CN\) , nên các tam giác này bằng nhau, do đó, \(\angle DAB = \angle CDA\) .
2) 
Bởi vì \(AB=CD, \góc A=\góc D, AD\)- nói chung, sau đó theo dấu hiệu đầu tiên. Do đó, \(AC=BD\) .
3) Bởi vì \(\tam giác ABD=\tam giác ACD\), sau đó \(\angle BDA=\angle CAD\) . Do đó, tam giác \(\tam giác AOD\) là tam giác cân. Tương tự, người ta chứng minh \(\tam giác BOC\) là tam giác cân.
Định lý: dấu hiệu của hình thang cân
1) Nếu hình thang có các góc đáy bằng nhau thì đó là hình thang cân.
2) Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì đó là hình cân.
Bằng chứng
Xét hình thang \(ABCD\) sao cho \(\angle A = \angle D\) .
Hãy hoàn thành hình thang thành tam giác \(AED\) như trong hình. Vì \(\angle 1 = \angle 2\) , nên tam giác \(AED\) là cân và \(AE = ED\) . Các góc \(1\) và \(3\) bằng nhau là các góc tương ứng của các đường thẳng song song \(AD\) và \(BC\) và cát tuyến \(AB\). Tương tự, các góc \(2\) và \(4\) bằng nhau, nhưng \(\angle 1 = \angle 2\), thì \(\góc 3 = \góc 1 = \góc 2 = \góc 4\), do đó, tam giác \(BEC\) cũng là tam giác cân và \(BE = EC\) .
Sau cùng \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), tức là \(AB = CD\), đây là điều cần chứng minh.
2) Đặt \(AC=BD\) . Bởi vì \(\tam giác AOD\sim \tam giác BOC\), thì chúng ta biểu thị hệ số tương tự của chúng là \(k\) . Sau đó, nếu \(BO=x\) , thì \(OD=kx\) . Tương tự như \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Bởi vì \(AC=BD\) , sau đó \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Điều này có nghĩa là \(\tam giác AOD\) là cân và \(\angle OAD=\angle ODA\) .
Vì vậy, theo dấu hiệu đầu tiên \(\tam giác ABD=\tam giác ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\góc ODA, AD\)- tổng quan). Vì vậy, \(AB=CD\) , tại sao.
Tứ giác chỉ có hai cạnh song song được gọi là hình thang.
Các cạnh song song của hình thang gọi là lý do, những cạnh không song song được gọi là bên. Nếu các cạnh bằng nhau thì hình thang đó là hình cân. Khoảng cách giữa các đáy gọi là chiều cao của hình thang.
Đường giữa hình thang
Đường giữa là đoạn nối trung điểm các cạnh bên của hình thang. Đường giữa của hình thang song song với các đáy của nó.
Định lý:
Nếu đường thẳng đi qua điểm giữa của một cạnh song song với hai đáy của hình thang thì nó chia đôi cạnh thứ hai của hình thang.
Định lý:
Độ dài của đường giữa bằng trung bình số học của độ dài các đáy của nó
MN || AB || DCAM = MD; BN=NC
Đường giữa MN, AB và CD - đáy, AD và BC - các cạnh bên
MN = (AB + DC)/2
Định lý:
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng trung bình cộng độ dài các đáy của nó.
nhiệm vụ chinh: Chứng minh rằng đường trung bình của hình thang chia đôi một đoạn có hai đáy nằm ở giữa hai đáy của hình thang.
Đường giữa của tam giác
Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác gọi là đường trung bình của tam giác. Nó song song với cạnh thứ ba và có chiều dài bằng nửa cạnh thứ ba.
Định lý: Nếu một đường thẳng cắt trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh kia của tam giác thì nó cắt cạnh thứ ba.
AM = MC và BN = NC =>
Áp dụng các thuộc tính đường giữa của một tam giác và hình thang
Chia một đoạn cho một số tiền nhất định các phần bằng nhau.
Bài tập: Chia đoạn AB thành 5 phần bằng nhau.
Giải pháp:
Cho p là một tia ngẫu nhiên có gốc tọa độ là điểm A và không nằm trên đường thẳng AB. Chúng tôi liên tục trì hoãn 5 phân đoạn bằng nhau trên p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Ta nối A 5 với B và vẽ các đường thẳng như vậy đi qua A 4, A 3, A 2 và A 1 song song với A 5 B. Chúng cắt AB lần lượt tại các điểm B 4, B 3, B 2 và B 1. Các điểm này chia đoạn AB thành 5 phần bằng nhau. Thật vậy, từ hình thang BB 3 A 3 A 5 ta thấy BB 4 = B 4 B 3. Tương tự như vậy, từ hình thang B 4 B 2 A 2 A 4 ta thu được B 4 B 3 = B 3 B 2
Trong khi đó từ hình thang B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Khi đó từ B 2 AA 2 suy ra B 2 B 1 = B 1 A. Cuối cùng ta có:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Rõ ràng là để chia đoạn AB thành một số phần bằng nhau khác, chúng ta cần chiếu cùng số đoạn bằng nhau đó lên tia p. Và sau đó tiếp tục theo cách được mô tả ở trên.
Khái niệm đường trung bình của hình thang
Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ loại hình nào được gọi là hình thang.
Định nghĩa 1
Hình thang là một tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh kia không song song.
Trong trường hợp này, các cạnh song song được gọi là đáy của hình thang và các cạnh không song song được gọi là các cạnh bên của hình thang.
Định nghĩa 2
Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm các cạnh bên của hình thang.
Định lý đường giữa hình thang
Bây giờ chúng ta giới thiệu định lý về đường trung bình của hình thang và chứng minh nó bằng phương pháp vectơ.
Định lý 1
Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng của chúng.
Bằng chứng.
Cho một hình thang $ABCD$ có đáy $AD\ và\BC$. Và đặt $MN$ là đường giữa của hình thang này (Hình 1).
Hình 1. Đường giữa hình thang
Hãy chứng minh rằng $MN||AD\ và\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Xét vectơ $\overrightarrow(MN)$. Tiếp theo chúng ta sử dụng quy tắc đa giác để cộng vectơ. Một mặt, chúng tôi hiểu rằng
Mặt khác
Hãy cộng hai đẳng thức cuối cùng và nhận được
Vì $M$ và $N$ là trung điểm của các cạnh bên của hình thang nên chúng ta sẽ có
Chúng tôi nhận được:
Kể từ đây
Từ cùng một đẳng thức (vì $\overrightarrow(BC)$ và $\overrightarrow(AD)$ là cùng chiều và do đó, thẳng hàng), chúng ta thu được $MN||AD$ đó.
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ về khái niệm đường trung bình của hình thang
ví dụ 1
Các cạnh bên của hình thang lần lượt là $15\ cm$ và $17\ cm$. Chu vi của hình thang là $52\cm$. Tìm độ dài đường trung bình của hình thang.
Giải pháp.
Chúng ta hãy biểu thị đường trung bình của hình thang bằng $n$.
Tổng các cạnh bằng
Do đó, vì chu vi là $52\ cm$ nên tổng các đáy bằng
Vì vậy, theo Định lý 1, ta có
Trả lời:$10\cm$.
Ví dụ 2
Các đầu của đường kính của đường tròn lần lượt cách xa tiếp tuyến của nó là $9$ cm và $5$ cm. Tìm đường kính của đường tròn này.
Giải pháp.
Cho một đường tròn có tâm tại điểm $O$ và đường kính $AB$. Hãy vẽ một tiếp tuyến $l$ và xây dựng các khoảng cách $AD=9\ cm$ và $BC=5\ cm$. Hãy vẽ bán kính $OH$ (Hình 2).
Hình 2.
Vì $AD$ và $BC$ là khoảng cách đến tiếp tuyến, nên $AD\bot l$ và $BC\bot l$ và vì $OH$ là bán kính, nên $OH\bot l$, do đó, $OH |\left|AD\right||BC$. Từ tất cả những điều này, chúng ta nhận được rằng $ABCD$ là một hình thang và $OH$ là đường trung bình của nó. Theo Định lý 1, ta có
