Thực tiễn của Kỳ thi Thống nhất và Kỳ thi cấp Bang năm ngoái cho thấy các bài toán hình học gây khó khăn cho nhiều học sinh. Bạn có thể dễ dàng đối phó với chúng nếu bạn ghi nhớ tất cả các công thức cần thiết và thực hành giải quyết vấn đề.

Trong bài viết này, bạn sẽ thấy các công thức tính diện tích hình thang, cũng như các ví dụ về các bài toán có lời giải. Bạn có thể gặp những KIM tương tự trong kỳ thi chứng chỉ hoặc tại Olympic. Vì vậy, hãy đối xử với chúng một cách cẩn thận.

Những điều bạn cần biết về hình thang?

Để bắt đầu, chúng ta hãy nhớ rằng hình thangđược gọi là một tứ giác có hai cạnh đối diện, còn gọi là đáy, song song, còn hai cạnh kia thì không.

Trong hình thang, chiều cao (vuông góc với đáy) cũng có thể giảm xuống. Đường ở giữa được vẽ - đây là đường thẳng song song với các cơ sở và bằng một nửa tổng của chúng. Cũng như các đường chéo có thể giao nhau, tạo thành các góc nhọn và tù. Hoặc, trong một số trường hợp, ở một góc vuông. Ngoài ra, nếu hình thang là hình cân thì có thể nội tiếp một hình tròn trong đó. Và mô tả một vòng tròn xung quanh nó.

Công thức tính diện tích hình thang

Đầu tiên, chúng ta hãy xem các công thức tiêu chuẩn để tìm diện tích hình thang. Chúng ta sẽ xem xét các cách tính diện tích hình thang cân và hình thang cong dưới đây.

Vì vậy, hãy tưởng tượng rằng bạn có một hình thang có đáy a và b, trong đó chiều cao h được hạ xuống đáy lớn hơn. Tính diện tích của một hình trong trường hợp này dễ như bóc vỏ quả lê. Bạn chỉ cần chia tổng độ dài của các đáy cho 2 và nhân kết quả với chiều cao: S = 1/2(a + b)*h.

Xét một trường hợp khác: giả sử trong một hình thang, ngoài chiều cao còn có đường giữa m. Chúng ta biết công thức tìm độ dài đường giữa: m = 1/2(a + b). Do đó, chúng ta có thể đơn giản hóa một cách chính xác công thức tính diện tích hình thang về dạng sau: S = m*h. Nói cách khác, để tìm diện tích hình thang, bạn cần nhân đường tâm với chiều cao.

Hãy xem xét một phương án khác: hình thang có các đường chéo d 1 và d 2 không cắt nhau ở góc vuông α. Để tính diện tích của một hình thang như vậy, bạn cần chia tích của các đường chéo cho hai và nhân kết quả với sin của góc giữa chúng: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Bây giờ hãy xem xét công thức tính diện tích hình thang nếu không biết gì về nó ngoại trừ độ dài tất cả các cạnh của nó: a, b, c và d. Đây là một công thức rườm rà và phức tạp, nhưng sẽ rất hữu ích nếu bạn nhớ nó trong trường hợp: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Nhân tiện, các ví dụ trên cũng đúng cho trường hợp bạn cần công thức tính diện tích hình thang hình chữ nhật. Đây là một hình thang, cạnh của nó tiếp giáp với các đáy theo một góc vuông.

Hình thang cân

Hình thang có các cạnh bằng nhau được gọi là hình cân. Chúng ta sẽ xem xét một số lựa chọn cho công thức tính diện tích hình thang cân.

Phương án thứ nhất: trong trường hợp đường tròn có bán kính r nội tiếp bên trong một hình thang cân, cạnh và đáy lớn hơn tạo thành một góc nhọn α. Một hình tròn có thể nội tiếp trong một hình thang với điều kiện tổng độ dài hai đáy của nó bằng tổng độ dài các cạnh.

Diện tích của hình thang cân được tính như sau: nhân bình phương bán kính của hình tròn nội tiếp với 4 và chia tất cả cho sinα: S = 4r 2 /sinα. Một công thức diện tích khác là trường hợp đặc biệt cho phương án khi góc giữa đáy lớn và cạnh bên là 30 0: S = 8r2.

Tùy chọn thứ hai: lần này chúng ta lấy một hình thang cân, ngoài ra còn vẽ các đường chéo d 1 và d 2, cũng như chiều cao h. Nếu các đường chéo của hình thang vuông góc với nhau thì chiều cao bằng nửa tổng hai đáy: h = 1/2(a + b). Biết được điều này, bạn có thể dễ dàng chuyển công thức tính diện tích hình thang đã quen thuộc sang dạng này: S = h 2.

Công thức tính diện tích hình thang cong

Hãy bắt đầu bằng việc tìm hiểu hình thang cong là gì. Hãy tưởng tượng một trục tọa độ và đồ thị của hàm f liên tục và không âm không đổi dấu trong một đoạn cho trước trên trục x. Một hình thang cong được tạo bởi đồ thị của hàm y = f(x) - ở trên cùng, trục x ở dưới cùng (đoạn) và ở hai bên - các đường thẳng được vẽ giữa các điểm a và b và đồ thị của chức năng.

Không thể tính diện tích của một hình không chuẩn như vậy bằng các phương pháp trên. Ở đây bạn cần phải áp dụng phân tích toán học và sử dụng tích phân. Cụ thể: công thức Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Trong công thức này, F là nguyên hàm của hàm trên đoạn đã chọn. Và khu vực hình thang cong tương ứng với sự gia tăng của nguyên hàm trên một đoạn nhất định.

Vấn đề mẫu

Để làm cho tất cả các công thức này dễ hiểu hơn trong đầu bạn, đây là một số ví dụ về các bài toán tìm diện tích hình thang. Sẽ tốt nhất nếu trước tiên bạn cố gắng tự mình giải quyết vấn đề và chỉ sau đó so sánh câu trả lời bạn nhận được với giải pháp làm sẵn.

Nhiệm vụ 1: Cho một hình thang. Đế lớn của nó là 11 cm, đế nhỏ hơn là 4 cm. Hình thang có hai đường chéo, một hình dài 12 cm, hình thứ hai dài 9 cm.

Giải: Dựng hình thang AMRS. Vẽ đường thẳng РХ đi qua đỉnh P sao cho song song với đường chéo MC và cắt đường thẳng AC tại điểm X. Ta được tam giác APХ.

Chúng ta sẽ xem xét hai hình thu được nhờ các thao tác này: tam giác APX và hình bình hành CMRX.

Nhờ hình bình hành ta biết PX = MC = 12 cm và CX = MR = 4 cm. Từ đó tính được cạnh AX của tam giác ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Chúng ta cũng có thể chứng minh tam giác APX vuông (để làm được điều này, hãy áp dụng định lý Pythagore - AX 2 = AP 2 + PX 2). Và tính diện tích của nó: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Tiếp theo bạn cần chứng minh rằng các tam giác AMP và PCX có diện tích bằng nhau. Cơ sở sẽ là sự bình đẳng của các bên MR và CX (đã được chứng minh ở trên). Và cả chiều cao mà bạn hạ xuống ở các cạnh này - chúng bằng chiều cao của hình thang AMRS.

Tất cả điều này sẽ cho phép bạn nói rằng S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Nhiệm vụ 2: KRMS hình thang đã cho. Trên các cạnh của nó có các điểm O và E, trong khi OE và KS song song. Người ta cũng biết rằng diện tích của hình thang ORME và OKSE có tỉ lệ 1:5. RM = a và KS = b. Bạn cần tìm OE.

Lời giải: Vẽ đường thẳng song song với RK đi qua điểm M và gọi giao điểm của nó với OE là T. A là giao điểm của đường thẳng đi qua điểm E song song với RK với đáy KS.

Hãy giới thiệu thêm một ký hiệu nữa - OE = x. Và cả chiều cao h 1 của tam giác TME và chiều cao h 2 của tam giác AEC (bạn có thể chứng minh độc lập sự giống nhau của các tam giác này).

Chúng ta sẽ giả sử rằng b > a. Diện tích của hình thang ORME và OKSE có tỷ lệ 1:5, cho phép chúng ta lập phương trình sau: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Hãy biến đổi và nhận được: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Vì hai tam giác TME và AEC đồng dạng nên ta có h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Hãy kết hợp cả hai phần tử và nhận được: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Do đó, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Phần kết luận

Hình học không phải là môn khoa học dễ nhất, nhưng bạn chắc chắn có thể giải quyết được các câu hỏi thi. Chỉ cần thể hiện một chút kiên trì trong quá trình chuẩn bị là đủ. Và tất nhiên, hãy nhớ tất cả các công thức cần thiết.

Chúng tôi đã cố gắng tập hợp tất cả các công thức tính diện tích hình thang vào một chỗ để các bạn có thể sử dụng khi chuẩn bị cho kỳ thi và ôn tập tài liệu.

Hãy nhớ nói với bạn cùng lớp và bạn bè của bạn về bài viết này. trong mạng xã hội. Cho phép điểm cao sẽ có nhiều hơn nữa cho Kỳ thi Thống nhất Tiểu bang và Kỳ thi Kiểm tra Tiểu bang!

blog.site, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn gốc.

Hướng dẫn

Để làm cho cả hai phương pháp dễ hiểu hơn, chúng ta có thể đưa ra một vài ví dụ.

Ví dụ 1: Độ dài đường trung bình của hình thang là 10 cm, diện tích là 100 cm2. Để tìm chiều cao của hình thang này, bạn cần làm:

h = 100/10 = 10cm

Trả lời: Chiều cao của hình thang này là 10 cm

Ví dụ 2: diện tích hình thang là 100 cm2, chiều dài hai đáy là 8 cm và 12 cm. Để tìm chiều cao của hình thang này, bạn cần thực hiện các thao tác sau:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Trả lời: Chiều cao của hình thang này là 20 cm

ghi chú

Có một số loại hình thang:
Hình thang cân là hình thang có các cạnh bằng nhau.
Hình thang chữ nhật là hình thang trong đó một trong các góc bên trong bằng 90 độ.
Điều cần lưu ý là trong hình thang hình chữ nhật thì chiều cao bằng chiều dài cạnh khi góc phải.
Bạn có thể vẽ một vòng tròn xung quanh một hình thang hoặc lắp nó vào trong một hình đã cho. Bạn chỉ có thể nội tiếp một đường tròn nếu tổng các đáy của nó bằng tổng các cạnh đối diện của nó. Một vòng tròn chỉ có thể được mô tả xung quanh một hình thang cân.

Lời khuyên hữu ích

Hình bình hành là một trường hợp đặc biệt của hình thang, vì định nghĩa của hình thang không hề mâu thuẫn với định nghĩa của hình bình hành. Hình bình hành là một tứ giác có các cạnh đối song song với nhau. Đối với hình thang, định nghĩa chỉ đề cập đến một cặp cạnh của nó. Do đó, mọi hình bình hành cũng là hình thang. Tuyên bố ngược lại là không đúng sự thật.

Nguồn:

• cách tìm diện tích của công thức hình thang

Mẹo 2: Cách tìm chiều cao của hình thang nếu biết diện tích

Hình thang là một tứ giác có hai trong bốn cạnh của nó song song với nhau. Các cạnh song song là đáy của hình đã cho, hai cạnh còn lại là cạnh bên của hình đã cho. hình thang. Tìm thấy chiều cao hình thang, Nêu biêt được quảng trường, nó sẽ rất dễ dàng.

Hướng dẫn

Bạn cần tìm ra cách tính toán quảng trường nguyên bản hình thang. Có một số công thức cho việc này, tùy thuộc vào dữ liệu ban đầu: S = ((a+b)*h)/2, trong đó a và b là các cơ số hình thang, và h là chiều cao của nó (Chiều cao hình thang- vuông góc, hạ xuống từ một đế hình thang sang người khác);
S = m*h, trong đó m là đường thẳng hình thang(Đường giữa là đoạn có đáy hình thang và nối trung điểm các cạnh của nó).

Để rõ ràng hơn, có thể xét các bài toán tương tự: Ví dụ 1: Cho một hình thang có quảng trường 68 cm2, đường giữa là 8 cm, bạn cần tìm chiều caođược cho hình thang. Để giải quyết vấn đề này, bạn cần sử dụng công thức dẫn xuất trước đó:
h = 68/8 = 8,5 cm Đáp án: chiều cao của cái này hình thang là 8,5 cm Ví dụ 2: Giả sử y hình thang quảng trường bằng 120 cm2 thì chiều dài đáy của hình này hình thang lần lượt là 8 cm và 12 cm, bạn cần tìm chiều cao cái này hình thang. Để làm điều này, bạn cần áp dụng một trong các công thức dẫn xuất:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmTrả lời: chiều cao cho trước hình thang bằng 12 cm

Video về chủ đề

ghi chú

Bất kỳ hình thang nào cũng có một số tính chất:

Đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy của nó;

Đoạn nối các đường chéo của hình thang bằng một nửa hiệu hai đáy của nó;

Nếu vẽ một đường thẳng đi qua trung điểm của các đáy thì nó sẽ cắt giao điểm của các đường chéo của hình thang;

Một hình tròn có thể nội tiếp trong hình thang nếu tổng hai đáy của hình thang bằng tổng các cạnh của nó.

Sử dụng các tính chất này khi giải quyết vấn đề.

Mẹo 3: Cách tìm diện tích hình thang nếu biết hai đáy

Qua độ nét hình học Hình thang là tứ giác chỉ có một cặp cạnh đối song song. Hai bên này là của cô ấy lý do. Khoảng cách giữa lý do gọi là chiều cao hình thang. Tìm thấy quảng trường hình thang có thể sử dụng các công thức hình học.

Hướng dẫn

Đo các căn cứ và hình thang A B C D. Thông thường chúng được đưa ra trong các nhiệm vụ. Cho vào trong ví dụ này vấn đề nền tảng AD (a) hình thang sẽ bằng 10 cm, đáy BC (b) - 6 cm, chiều cao hình thang BK (h) - 8 cm Sử dụng hình học để tìm diện tích. hình thang, nếu biết chiều dài đáy và chiều cao của nó - S= 1/2 (a+b)*h, trong đó: - a - kích thước của đáy AD hình thang ABCD, - b - giá trị đáy BC, - h - giá trị chiều cao BK.

Diện tích của một hình thang. Lời chào hỏi! Trong ấn phẩm này chúng ta sẽ xem xét công thức này. Tại sao cô ấy lại như vậy và làm thế nào để hiểu cô ấy. Nếu đã hiểu thì không cần phải dạy. Nếu bạn chỉ muốn xem công thức này và gấp thì có thể cuộn xuống trang ngay lập tức))

Bây giờ chi tiết và theo thứ tự.

Hình thang là một tứ giác, hai cạnh của tứ giác này song song, hai cạnh còn lại không song song. Những cái không song song là các đáy của hình thang. Hai cái còn lại được gọi là hai bên.

Nếu các cạnh bằng nhau thì hình thang được gọi là hình cân. Nếu một trong các cạnh vuông góc với các đáy thì hình thang đó được gọi là hình chữ nhật.

TRONG cái nhìn cổ điển Hình thang được mô tả như sau: đáy lớn hơn ở phía dưới và đáy nhỏ hơn ở trên cùng. Nhưng không ai cấm miêu tả cô ấy và ngược lại. Dưới đây là các bản phác thảo:

Khái niệm quan trọng tiếp theo.

Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm của các cạnh. Đường ở giữa song song với hai đáy của hình thang và bằng nửa tổng của chúng.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu sâu hơn. Tại sao cái này rất?

Xét một hình thang có hai đáy A và B và với đường giữa tôi, và thực hiện một số phép dựng bổ sung: vẽ các đường thẳng đi qua các đáy và vuông góc qua các đầu của đường giữa cho đến khi chúng cắt các đáy:

*Các ký hiệu bằng chữ cái cho các đỉnh và các điểm khác không được đưa vào một cách có chủ ý để tránh các ký hiệu không cần thiết.

Nhìn xem, tam giác 1 và 2 bằng nhau theo dấu đẳng thức thứ hai của tam giác, tam giác 3 và 4 giống nhau. Từ sự bình đẳng của các hình tam giác dẫn đến sự bình đẳng của các phần tử, cụ thể là các chân (chúng được biểu thị lần lượt bằng màu xanh lam và đỏ).

Bây giờ hãy chú ý! Nếu chúng ta “cắt bỏ” các đoạn màu xanh và đỏ khỏi đáy dưới, thì chúng ta sẽ còn lại một đoạn (đây là cạnh của hình chữ nhật) bằng đường giữa. Tiếp theo, nếu chúng ta “dán” các đoạn màu xanh và đỏ đã cắt vào đáy trên của hình thang thì chúng ta cũng sẽ được một đoạn (đây cũng là cạnh của hình chữ nhật) bằng đường giữa của hình thang.

Hiểu rồi? Hóa ra tổng các đáy sẽ bằng hai đường trung bình của hình thang:

Xem giải thích khác

Chúng ta hãy làm như sau - dựng một đường thẳng đi qua đáy dưới của hình thang và một đường thẳng đi qua các điểm A và B:

Chúng ta có các hình tam giác 1 và 2, chúng bằng nhau ở các cạnh bên và các góc liền kề (dấu hiệu thứ hai của sự bằng nhau của các hình tam giác). Điều này có nghĩa là đoạn kết quả (trong bản phác thảo được biểu thị bằng màu xanh lam) bằng đáy trên của hình thang.

Bây giờ hãy xem xét tam giác:

* Đường trung bình của hình thang này và đường trung bình của tam giác trùng nhau.

Biết rằng một tam giác có một nửa cạnh đáy song song với nó, đó là:

Được rồi, chúng tôi đã tìm ra nó. Bây giờ về diện tích của hình thang.

Công thức diện tích hình thang:

Người ta nói: diện tích của hình thang bằng tích của một nửa tổng hai đáy và chiều cao của nó.

Nghĩa là, hóa ra nó bằng tích của đường tâm và chiều cao:

Có lẽ bạn đã nhận thấy rằng điều này là hiển nhiên. Về mặt hình học, điều này có thể được biểu diễn theo cách này: nếu chúng ta cắt các hình tam giác 2 và 4 khỏi hình thang một cách tinh thần và đặt chúng lần lượt vào các hình tam giác 1 và 3:

Khi đó chúng ta sẽ được một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích hình thang của chúng ta. Diện tích của hình chữ nhật này sẽ bằng tích của đường tâm và chiều cao, nghĩa là chúng ta có thể viết:

Nhưng vấn đề ở đây tất nhiên không phải ở chữ viết mà là ở sự hiểu biết.

Tải xuống (xem) tài liệu bài viết ở định dạng *pdf

Đó là tất cả. Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander.

VÀ . Bây giờ chúng ta có thể bắt đầu xem xét câu hỏi làm thế nào để tìm diện tích hình thang. Nhiệm vụ này rất hiếm khi phát sinh trong cuộc sống hàng ngày, nhưng đôi khi nó lại cần thiết, chẳng hạn như tìm diện tích của một căn phòng có dạng hình thang, loại hình này ngày càng được sử dụng rộng rãi trong xây dựng. căn hộ hiện đại hoặc trong các dự án thiết kế cải tạo.

Hình thang là hình hình học, được tạo thành bởi bốn đoạn cắt nhau, trong đó có hai đoạn song song với nhau và được gọi là hai đáy của hình thang. Hai đoạn còn lại gọi là hai cạnh của hình thang. Ngoài ra, sau này chúng ta sẽ cần một định nghĩa khác. Đây là đường giữa của hình thang, là đoạn nối trung điểm các cạnh và chiều cao của hình thang, bằng khoảng cách giữa hai đáy.
Giống như hình tam giác, hình thang có các loại đặc biệt là hình thang cân (có cạnh bằng nhau), trong đó chiều dài các cạnh bằng nhau và hình thang hình chữ nhật, trong đó một trong các cạnh tạo thành một góc vuông với hai đáy.

Hình thang có một số tính chất thú vị:

1. Đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng các đáy và song song với chúng.
   
2. Hình thang cân có các cạnh bằng nhau và các góc tạo với đáy.
   
3. Trung điểm các đường chéo của hình thang và giao điểm của các đường chéo của nó cùng nằm trên một đường thẳng.
   
4. Nếu tổng các cạnh của hình thang bằng tổng hai đáy thì có thể nội tiếp một đường tròn trong đó
   
5. Nếu tổng các góc tạo bởi các cạnh của hình thang tại bất kỳ đáy nào của nó là 90 thì độ dài đoạn nối trung điểm của hai đáy bằng nửa hiệu của chúng.
   
6. Một hình thang cân có thể được mô tả bằng một hình tròn. Và ngược lại. Nếu một hình thang vừa với một hình tròn thì đó là hình cân.
   
7. Đoạn thẳng đi qua trung điểm các đáy của hình thang cân sẽ vuông góc với các đáy của nó và là trục đối xứng.
   

Cách tìm diện tích hình thang.

Diện tích của hình thang sẽ bằng một nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao. Ở dạng công thức, điều này được viết dưới dạng biểu thức:

Trong đó S là diện tích hình thang, a, b là chiều dài mỗi đáy của hình thang, h là chiều cao của hình thang.

Bạn có thể hiểu và ghi nhớ công thức này như sau. Như trong hình bên dưới, sử dụng đường tâm, một hình thang có thể được chuyển thành hình chữ nhật, chiều dài của hình này sẽ bằng một nửa tổng các đáy.

Bạn cũng có thể phân tách bất kỳ hình thang nào thành các hình đơn giản hơn: một hình chữ nhật và một hoặc hai hình tam giác, và nếu dễ dàng hơn cho bạn, hãy tìm diện tích của hình thang bằng tổng diện tích của các hình cấu thành của nó.

Có một công thức đơn giản khác để tính diện tích của nó. Theo đó, diện tích hình thang bằng tích đường trung bình của nó với chiều cao hình thang và được viết dưới dạng: S = m*h, trong đó S là diện tích, m là chiều dài hình thang. đường giữa, h là chiều cao của hình thang. Công thức này phù hợp với các bài toán hơn là các bài toán hàng ngày, vì trong điều kiện thực tế, bạn sẽ không biết độ dài của đường tâm nếu không tính toán sơ bộ. Và bạn sẽ chỉ biết độ dài của các đáy và các cạnh.

Trong trường hợp này, diện tích của hình thang có thể được tìm thấy bằng công thức:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

trong đó S là diện tích, a, b là các đáy, c, d là các cạnh của hình thang.

Có một số cách khác để tìm diện tích hình thang. Tuy nhiên, chúng cũng bất tiện như công thức cuối cùng, có nghĩa là không có ích gì khi chăm chú vào chúng. Vì vậy, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng công thức đầu tiên trong bài viết và chúc bạn luôn nhận được kết quả chính xác.