Traagheidskrachten en de basiswet van de mechanica. Niet-inertiële referentiekaders



Misschien zal deze ongebruikelijke vraag verwarring veroorzaken bij de gemiddelde persoon die nieuw is met de basispostulaten van de klassieke mechanica. De uitdrukkingen 'inertie' en 'door traagheid' zijn stevig verankerd in het alledaagse lexicon, en het lijkt erop dat hun essentie voor iedereen duidelijk is. Maar wat is traagheid, en niet iedereen kan verklaren waarom lichamen door traagheid kunnen bewegen.

Laten we proberen dit probleem te begrijpen met behulp van de basispostulaten van de mechanica en min of meer wetenschappelijke kennis over de wereld om ons heen.

Eerst gaan we virtuele experimenten uitvoeren, waarvan iedereen de resultaten kan presenteren.
Laat een zware gietijzeren bal (bijvoorbeeld een grote kanonskogel) voor ons rusten op een gladde horizontale vloer, en een van de 'experimenteerders' probeert hem in elke richting te rollen, terwijl hij zijn voeten op de grond laat rusten en duwt met zijn handen.
Eerst zullen we aanzienlijke kracht moeten uitoefenen om de bal van zijn plaats te verplaatsen, waarna hij zelfverzekerd begint te rollen in de door jou gekozen richting, en als we stoppen met duwen, zal hij blijven rollen (wrijvingskrachten en aerodynamische weerstand Voor de zuiverheid van het experiment zullen we voorlopig zonder virtuele aandacht vertrekken).

Probeer nu integendeel deze bal tegen te houden door hem met je handen vast te pakken en je benen als rem te gebruiken. Voel je weerstand?.. Ik denk het wel.
Tegelijkertijd zal niemand ontkennen dat hoe massiever de bal is, hoe moeilijker het is om de mechanische toestand ervan te veranderen, dat wil zeggen om te bewegen of te stoppen.
De conclusie is dus dat het verplaatsen van een stilstaande bal of het stoppen ervan tijdens het bewegen behoorlijk moeilijk is - je moet een merkbare kracht uitoefenen. Vanuit mechanisch oogpunt doen we in dit geval een poging om een ​​onbegrijpelijke kracht te overwinnen.

Laten we onze kern die op de vloer rust eens nader bekijken. Vanuit het oogpunt van de klassieke mechanica worden er wederom slechts twee krachten op uitgeoefend: de zwaartekracht, die de bal naar het midden van onze planeet trekt, en ook de kracht van de vloerreactie, die de zwaartekracht tegenwerkt. , d.w.z. er tegenover gericht.
Wanneer onze bal met een constante snelheid over een gladde vloer rolt, wordt er ook alleen op ingewerkt door de twee hierboven beschreven krachten: de aantrekking tot de aarde en de reactie van het steunoppervlak. Beide krachten houden elkaar in evenwicht en de bal bevindt zich in een evenwichtstoestand. En welke kracht verhindert een poging om de bal van zijn plaats te bewegen of te stoppen tijdens een rechte en uniforme beweging?
Ik denk dat de slimsten het al geraden hebben - dit is natuurlijk de kracht van traagheid.
Waar kwam ze vandaan? We hebben tenslotte maar één kracht op de bal uitgeoefend, in een poging de bal te bewegen of te stoppen. Waar heeft de kracht van de traagheid zich tot nu toe verborgen gehouden en wanneer is deze ‘ontwaakt’?

Leerboeken over mechanica beweren dat de traagheidskracht als zodanig niet in de natuur bestaat. Het concept van deze kracht werd in 1743 in wetenschappelijk gebruik geïntroduceerd door de Fransman Jean Leron d'Alembert (D'Alembert), toen hij voorstelde deze te gebruiken om lichamen die met versnelling bewegen in evenwicht te brengen. De methode werd het principe van d'Alembert genoemd en werd gebruikt om dynamische problemen om te zetten in statische problemen, waardoor de oplossing ervan werd vereenvoudigd.
Maar deze oplossing voor het probleem werd niet verklaard en kwam zelfs in conflict met andere postulaten van de mechanica, in het bijzonder met de wetten die iets eerder door de grote Engelsman Isaac Newton zijn beschreven.

Toen I. Newton in 1686 zijn werk ‘Mathematical Principles of Natural Philosophy’ publiceerde en de ogen van de mensheid opende voor de fundamentele wetten van de mechanica, inclusief de wet die de beweging van lichamen beschrijft onder invloed van welke kracht dan ook ( F = ma), breidde hij zich enigszins uit als maatstaf voor een bepaalde eigenschap van materiële lichamen: traagheid.
In overeenstemming met de conclusies van het genie hebben alle materiële lichamen om ons heen een bepaalde eigenschap van 'luiheid': ze streven naar eeuwige vrede en proberen zich te ontdoen van versnelde bewegingen. Newton noemde deze ‘luiheid’ van materiële lichamen traagheid.
Dat wil zeggen, traagheid is geen kracht, maar een bepaalde eigenschap van alle lichamen die de materiële wereld om ons heen vormen, uitgedrukt in weerstand tegen pogingen om hun mechanische toestand te veranderen (om enige versnelling te geven).
Het zou echter niet helemaal eerlijk zijn om de verdiensten van het verklaren van de aard van traagheid alleen aan Newton toe te schrijven. De fundamentele conclusies over deze kwestie werden getrokken door de Italiaan G. Galileo en de Fransman R. Descartes, en I. Newton generaliseerde ze alleen en gebruikte ze bij de beschrijving van de wetten van de mechanica.



In overeenstemming met de gedachten van middeleeuwse genieën zijn materiële lichamen (dat wil zeggen lichamen met massa) uiterst terughoudend om hun mechanische toestand te laten veranderen, en gaan ze hier alleen mee akkoord onder invloed van een externe kracht. Tegelijkertijd betoogde dezelfde Newton, die de wetten van de interactie tussen lichamen beschreef, dat krachten in de natuur niet alleen verschijnen - ze verschijnen, als resultaat van de interactie van twee lichamen, alleen in paren, en beide krachten van zo'n lichaam verschijnen paar zijn even groot en zijn langs dezelfde rechte lijn naar elkaar gericht, d.w.z. elkaar in paren compenseren.

Op basis hiervan zouden er in het geval van een gietijzeren bal ook twee krachten moeten zijn: de inspanning van de onderzoeker en de kracht die deze inspanning tegenwerkt, vanwege de bovengenoemde traagheidseigenschap van deze bal.
Maar de kracht algemene concepten Klassieke mechanica is het resultaat van de interactie van lichamen. En geen enkele eigenschap van het lichaam kan, in overeenstemming met dit postulaat, de oorzaak zijn van het verschijnen van welke kracht dan ook.

De tegenspraak met de wetten van Newton leidde tot de opkomst van wetenschappelijke gemeenschap concepten inertiële en niet-traagheidsreferentiesystemen.
Inertiaal begon een referentiesysteem te worden genoemd waarin alle lichamen, bij afwezigheid van externe invloeden, in rust zijn, en niet-traagheidssystemen - alle andere referentiesystemen ten opzichte waarvan lichamen met versnelling bewegen. Tegelijkertijd worden in een inertiaal referentiekader de door Newton beschreven wetten van de mechanica onvoorwaardelijk waargenomen, maar in een niet-inertiaal referentiekader worden ze niet nageleefd.
Alle wetten van de klassieke mechanica kunnen echter worden toegepast op niet-inertiële referentiekaders als we, samen met de feitelijke krachten (belastingen en reacties), de traagheidskracht gebruiken - een virtuele kracht die wordt veroorzaakt door dezelfde ongelukkige traagheidseigenschap van lichamen.

Het was dus mogelijk om de tegenstrijdigheid op te heffen die voortvloeide uit de aard van het ontstaan ​​van krachten beschreven door Newton, en om voorwaardelijk evenwicht van lichamen te bereiken onder elke versnelde beweging, met behulp van het principe van d'Alembert.
De traagheidskracht kreeg het bestaansrecht, en natuurkundigen begonnen het nader te bestuderen, zonder bang te hoeven zijn belachelijk gemaakt te worden door hun collega's.

Het optreden van traagheidskrachten houdt rechtstreeks verband met de versnelling van het lichaam - in een rusttoestand (immobiliteit of rechtlijnige uniforme beweging van het lichaam) ontstaan ​​deze krachten niet en verschijnen ze alleen in niet-traagheidsreferentiesystemen. In dit geval is de grootte van de traagheidskracht even groot en tegengesteld gericht aan de kracht die de versnelling van het lichaam veroorzaakt, zodat ze elkaar onderling in evenwicht houden.

In de echte wereld wordt elk lichaam beïnvloed door traagheidskrachten, dat wil zeggen dat het concept van een traagheidsreferentiekader abstract is. Maar in veel praktische situaties kan men het referentiesysteem voorwaardelijk als traagheid accepteren, wat het mogelijk maakt de oplossing van problemen die verband houden met de mechanische beweging van materiële lichamen te vereenvoudigen.

Verband tussen traagheid en zwaartekracht

Zelfs G. Galileo wees op een verband tussen de concepten van traagheid en zwaartekracht.

De traagheidskrachten die inwerken op lichamen in een niet-traagheidsreferentiekader zijn evenredig met hun massa en, als alle overige omstandigheden gelijk blijven, verlenen ze identieke versnellingen aan deze lichamen. Daarom bewegen deze lichamen onder dezelfde omstandigheden in het ‘veld van traagheidskrachten’ op precies dezelfde manier. En dezelfde eigenschap bezitten lichamen die onder invloed staan ​​van de krachten van het zwaartekrachtveld.

Om deze reden worden traagheidskrachten onder sommige omstandigheden geassocieerd met zwaartekrachten. De beweging van lichamen in een uniform versnelde lift vindt bijvoorbeeld op precies dezelfde manier plaats als in een stilstaande lift die in een uniform zwaartekrachtveld hangt. Geen enkel experiment dat in een lift wordt uitgevoerd, kan een uniform zwaartekrachtveld scheiden van een uniform veld van traagheidskrachten.

De analogie tussen zwaartekrachten en traagheidskrachten ligt ten grondslag aan het principe van gelijkwaardigheid van zwaartekrachten en traagheidskrachten (Einsteins gelijkwaardigheidsprincipe): alle fysische verschijnselen in een zwaartekrachtveld komen op precies dezelfde manier voor als in het overeenkomstige veld van traagheidskrachten, als de sterke punten van beide velden op de overeenkomstige punten in de ruimte komen overeen, en andere begincondities want de onderzochte lichamen zijn dezelfde.
Dit principe vormt de basis van de algemene relativiteitstheorie.

Wat zijn de soorten traagheidskrachten?

Traagheidskrachten worden veroorzaakt door de versnelde beweging van het referentiesysteem ten opzichte van het gemeten systeem. Daarom moet in het algemene geval rekening worden gehouden met de volgende gevallen van manifestatie van deze krachten:

• traagheidskrachten tijdens versnelde translatiebeweging van het referentiesysteem (als gevolg van translatieversnelling);
• traagheidskrachten die inwerken op een lichaam in rust in een roterend referentieframe (als gevolg van centrifugale versnelling);
• traagheidskrachten die inwerken op een lichaam dat beweegt in een roterend referentieframe (als gevolg van translatie- en centrifugale versnellingen, evenals Coriolis-versnelling);

Trouwens, de term 'traagheid' is van Latijnse oorsprong - het woord ' luiheid' betekent inactiviteit.



Dit onderwerp zal worden gewijd aan de beschouwing van een speciaal type kracht: traagheidskrachten. De eigenaardigheid van deze krachten is als volgt. Alle mechanische krachten – of het nu zwaartekracht-, elastische- of wrijvingskrachten zijn – ontstaan ​​wanneer een lichaam wordt beïnvloed door andere lichamen. Bij traagheidskrachten is de situatie anders.

Laten we eerst onthouden wat traagheid is. Inertie is fysiek fenomeen, bestaande uit het feit dat het lichaam er altijd naar streeft zijn oorspronkelijke snelheid te behouden. En traagheidskrachten ontstaan ​​wanneer de snelheid van het lichaam verandert – d.w.z. versnelling verschijnt. Afhankelijk van de beweging waaraan het lichaam deelneemt, ervaart het een of andere versnelling en genereert het een of andere traagheidskracht. Maar al deze krachten zijn verenigd door hetzelfde patroon: de traagheidskracht is altijd tegengesteld gericht aan de versnelling die deze veroorzaakte.

Door hun aard verschillen traagheidskrachten van andere mechanische krachten. Alle andere mechanische krachten ontstaan ​​als gevolg van de werking van het ene lichaam op het andere. Terwijl traagheidskrachten worden veroorzaakt door de eigenschappen van de mechanische beweging van het lichaam. Trouwens, afhankelijk van de beweging waarbij het lichaam betrokken is, ontstaat er een of andere traagheidskracht:

De beweging kan eenvoudig zijn en dan begint het gesprek over de traagheidskracht van translatiebeweging;

De beweging kan kromlijnig zijn, en dat zal ook zo zijn over de middelpuntvliedende kracht van traagheid;

Ten slotte kan de beweging zowel rechtlijnig als kromlijnig zijn (als het lichaam in een roterend systeem beweegt of roterend beweegt), en dan zullen we praten over de Corioliskracht.

Laten we de soorten traagheidskrachten en de voorwaarden voor het optreden ervan in meer detail bekijken.

1. Traagheidskracht bij voorwaartse bewegingF i . Het treedt op wanneer een lichaam langs een recht pad beweegt. We komen de werking van deze kracht voortdurend tegen in voertuigen die op een rechte weg rijden, tijdens het remmen en tijdens het accelereren. Bij het remmen worden we naar voren geslingerd omdat... de bewegingssnelheid neemt sterk af en ons lichaam probeert de snelheid die het had te behouden. Bij het opvoeren van snelheid worden we om dezelfde reden tegen de rugleuning van de stoel gedrukt. In afb. 2.1

De versnellingsrichtingen en de traagheidskracht van de translatiebeweging in het geval van een snelheidsafname worden weergegeven: de versnelling is tegengesteld aan de beweging gericht en de traagheidskracht is tegengesteld aan de versnelling gericht. De formule voor traagheidskracht wordt gegeven door de tweede wet van Newton: . Het minteken is te wijten aan het feit dat de vectoren en tegengestelde richtingen hebben. De numerieke waarde (modulus) van deze kracht wordt dienovereenkomstig berekend met de formule:

F = ma (3.1)

2. CENTRIFUGAAL Traagheidskracht i . Om te begrijpen hoe deze kracht ontstaat, bekijk Fig. 3.2 toont een schijf die in een horizontaal vlak roteert met een bal die door middel van een trekverbinding (bijvoorbeeld een elastische band) aan het midden van de schijf is bevestigd. Wanneer de schijf begint te draaien, heeft de bal de neiging weg te bewegen

midden en trekt de elastische band strakker. Bovendien, hoe sneller de schijf draait, hoe verder de bal van het midden van de schijf af beweegt. Deze beweging van de bal langs het vlak van de schijf wordt veroorzaakt door de werking van een zogenaamde kracht middelpuntvliedende traagheidskracht (F cb) . Dus, De middelpuntvliedende kracht treedt op tijdens rotatie en is gericht langs de straal vanaf het rotatiecentrum is een traagheidskracht, wat betekent dat het optreden ervan te wijten is aan de aanwezigheid van versnelling, die tegengesteld aan deze kracht moet zijn gericht. Als de middelpuntvliedende kracht vanuit het midden is gericht, dan is het duidelijk dat de oorzaak van deze kracht een normale (middelpuntzoekende) versnelling is en N , omdat het juist deze is die naar het rotatiecentrum is gericht (zie Onderwerp 1, §1.2, paragraaf 3). Op basis hiervan verkrijgen we de formule voor de middelpuntvliedende kracht. Volgens de tweede wet van Newton F=ma , Waar M - lichaamsgewicht. Dan geldt de relatie voor de middelpuntvliedende traagheidskracht:

F cb = ma n.

Rekening houdend met (1.18) en (1.19), verkrijgen we:

(3.2) en F cb = mω 2 r (3.3).

3. CORIOLIS KRACHT F K . Wanneer twee soorten bewegingen worden gecombineerd: rotatie en translatie, ontstaat er een andere kracht, de Coriolis-kracht (of Coriolis-kracht) vernoemd naar de Franse monteur Gustav Gaspard Coriolis (1792-1843), die deze kracht berekende.

Het optreden van de Corioliskracht kan worden gedetecteerd in het voorbeeld van het experiment getoond in Fig. 3.3. Het toont een schijf die horizontaal draait

Rijst. 3.3 bovenaanzicht

vliegtuig. Laten we een radiale lijn OA op de schijf tekenen en een bal lanceren in de richting van O naar A met een snelheid v. Als de schijf niet draait, rolt de bal langs de rechte lijn die we hebben getekend. Als de schijf in rotatie wordt gebracht in de richting aangegeven door de pijl, dan rolt de bal langs de curve OB, weergegeven door de stippellijn, en verandert zijn snelheid υ van richting (zie figuur 3.3 (b)). Ten opzichte van het roterende referentiekader (en in dit geval is het een schijf) gedraagt ​​de bal zich dus alsof er een bepaalde kracht op inwerkt, loodrecht op de snelheid v. Dit is de Corioliskracht F K . Het is dit dat ervoor zorgt dat de bal afwijkt van het rechte traject van OA. De formule die deze kracht beschrijft, wordt opnieuw bepaald door de tweede wet van Newton, alleen dit keer werkt de zogenaamde versnelling als Coriolisversnelling K : ,F K =2mυω (3,5).

Dus, zoals eerder vermeld, is het, om de Coriolis-kracht te laten manifesteren, noodzakelijk om 2 soorten bewegingen te combineren. En hier zijn er twee opties: 1). Het lichaam beweegt ten opzichte van een roterend referentieframe. Het is dit geval dat wordt weergegeven in figuur 3.3. 2). Een roterend lichaam maakt een translatiebeweging.Als voorbeeld kunnen we denken aan de zogenaamde “curve”-ballen – een techniek die gebruikt wordt in het voetbal – waarbij de bal zodanig wordt geraakt dat deze tijdens zijn vlucht roteert.

Ze worden in de literatuur gebruikt, hoewel ze nog niet wijdverspreid zijn. In de toekomst zullen we ons aan deze terminologie houden, omdat we hierdoor de presentatie beknopter en duidelijker kunnen maken.

De traagheidskracht van Euler bestaat in het algemene geval uit verschillende componenten van verschillende oorsprong, die ook speciale namen krijgen ("overdraagbaar", "Coriolis", enz.). Dit wordt in meer detail besproken in het overeenkomstige gedeelte hieronder.

In andere talen geven de namen die voor traagheidskrachten worden gebruikt duidelijker hun betekenis aan bijzondere eigenschappen: in Duits Duits. Scheinkräfte ("denkbeeldige", "schijnbare", "schijnbare", "valse", "fictieve" kracht), in Engels Engels. pseudo-kracht (“pseudo-kracht”) of Engels. fictieve kracht (“fictieve kracht”). Minder vaak gebruikt in het Engels zijn de namen "d'Alembert force" (Engelse d'Alembert force) en "inertial force" (Engelse traagheidskracht). In de in het Russisch gepubliceerde literatuur worden soortgelijke kenmerken ook gebruikt met betrekking tot de krachten van Euler en d’Alembert, waarbij deze krachten ‘fictieve’, ‘schijnbare’, ‘denkbeeldige’ of ‘pseudo-krachten’ worden genoemd.

Tegelijkertijd benadrukt de literatuur soms realiteit traagheidskrachten, die de betekenis van een bepaalde term contrasteren met de betekenis van de term fictie. Tegelijkertijd geven verschillende auteurs echter verschillende betekenissen aan deze woorden, en de traagheidskrachten blijken reëel of fictief te zijn, niet vanwege verschillen in het begrip van hun fundamentele eigenschappen, maar afhankelijk van de gekozen definities. Sommige auteurs beschouwen dit gebruik van terminologie als ongelukkig en raden aan dit eenvoudigweg te vermijden educatief proces.

Hoewel het debat over de terminologie nog niet voorbij is, hebben de bestaande meningsverschillen geen invloed op de wiskundige formulering van de bewegingsvergelijkingen waarbij traagheidskrachten betrokken zijn en leiden ze niet tot misverstanden bij het gebruik van de vergelijkingen in de praktijk.

Krachten in de klassieke mechanica

Er wordt inderdaad rekening gehouden met een fysieke grootheid die kracht wordt genoemd door de tweede wet van Newton, terwijl de wet zelf alleen is geformuleerd voor traagheidsreferentiesystemen. Dienovereenkomstig blijkt het concept van kracht alleen voor dergelijke referentiesystemen te worden gedefinieerd.

Vergelijking van de tweede wet van Newton met betrekking tot versnelling een → (\displaystyle (\vec (a))) En m (\displaystyle m) massa van een materieel punt waarop de kracht inwerkt F → (\displaystyle (\vec (F))), is geschreven in de vorm

een → = F → m. (\displaystyle (\vec (a))=(\frac (\vec (F))(m)).)

Uit de vergelijking volgt direct dat de versnelling van lichamen alleen door krachten wordt veroorzaakt, en omgekeerd: de werking van niet-gecompenseerde krachten op een lichaam veroorzaakt noodzakelijkerwijs de versnelling ervan.

De derde wet van Newton vormt een aanvulling en ontwikkeling van wat er in de tweede wet over krachten werd gezegd.

In de klassieke mechanica worden geen andere krachten geïntroduceerd of gebruikt. De mogelijkheid van het bestaan ​​van krachten die onafhankelijk ontstaan, zonder op elkaar inwerkende lichamen, wordt door de mechanica niet toegestaan.

Hoewel de namen van Euler en d'Alembertiaanse traagheidskrachten het woord bevatten kracht, deze fysieke hoeveelheden zijn geen krachten in de zin die in de mechanica wordt aanvaard.

Newtoniaanse traagheidskrachten

Sommige auteurs gebruiken de term "traagheidskracht" om te verwijzen naar de reactiekracht uit de derde wet van Newton. Het concept werd door Newton geïntroduceerd in zijn ‘Mathematical Principles of Natural Philosophy’: ‘De aangeboren kracht van de materie is de weerstandskracht die er inherent aan is, waardoor elk afzonderlijk lichaam, voor zover het aan zichzelf wordt overgelaten, zijn staat van bewustzijn handhaaft. rust of uniforme rechtlijnige beweging. Door de traagheid van de materie komt het voor dat ieder lichaam slechts met moeite uit zijn rust of beweging wordt verwijderd. Daarom zou de aangeboren kracht heel verstandig de traagheidskracht kunnen worden genoemd. Deze kracht manifesteert zich alleen door het lichaam wanneer een andere kracht die erop wordt uitgeoefend een verandering in de toestand teweegbrengt. De manifestatie van deze kracht kan op twee manieren worden beschouwd: zowel als weerstand als als druk.’ En de term ‘traagheidskracht’ zelf werd volgens Euler voor het eerst in deze betekenis gebruikt door Kepler (met verwijzing naar E.L. Nikolai).

Om deze reactiekracht aan te duiden, stellen sommige auteurs voor om de term ‘Newtoniaanse traagheidskracht’ te gebruiken om verwarring te voorkomen met fictieve krachten die worden gebruikt in berekeningen in niet-traagheidsreferentieframes en bij het gebruik van het principe van d’Alembert.

Een echo van Newtons keuze voor het woord ‘weerstand’ om traagheid te beschrijven is ook het idee van een bepaalde kracht die deze eigenschap zogenaamd realiseert in de vorm weerstand veranderingen in bewegingsparameters. In dit verband merkte Maxwell op dat je net zo goed zou kunnen zeggen dat koffie niet zoet wordt, omdat het niet uit zichzelf zoet wordt, maar pas na toevoeging van suiker.

Bestaan ​​van traagheidsreferentiesystemen

Newton ging uit van de veronderstelling dat er traagheidsreferentiesystemen bestaan ​​en dat er onder deze systemen de meest geprefereerde is (Newton associeerde dit zelf met de ether, die alle ruimte vult). Verdere ontwikkeling De natuurkunde heeft aangetoond dat een dergelijk systeem niet bestaat, maar dit leidde tot de noodzaak om verder te gaan dan de klassieke natuurkunde.

Beweging in traagheid FR

Nadat we een triviale wiskundige bewerking hebben uitgevoerd bij de uitdrukking van de derde wet van Newton (5) en de term van de rechterkant naar links hebben verplaatst, verkrijgen we een wiskundig onberispelijke notatie:

F 1 → + F 2 → = 0 (\displaystyle (\vec (F_(1)))+(\vec (F_(2)))=0)(6)

Vanuit fysiek oogpunt resulteert de toevoeging van krachtvectoren in een resulterende kracht.

In dit geval betekent uitdrukking (6), gelezen vanuit het gezichtspunt van de tweede wet van Newton, enerzijds dat de resultante van de krachten gelijk is aan nul en dat het systeem van deze twee lichamen daarom niet versneld beweegt. Aan de andere kant worden hier geen verboden op de versnelde beweging van de lichamen zelf uitgedrukt.

Feit is dat het concept van een resultante alleen ontstaat als de gezamenlijke actie van verschillende krachten wordt beoordeeld dezelfde lichaam. In dit geval worden de krachten uitgeoefend, ook al zijn ze even groot en tegengesteld in richting naar verschillende instanties en daarom, als we elk van de onderzochte lichamen afzonderlijk beschouwen, houden ze elkaar niet in evenwicht, aangezien elk van de op elkaar inwerkende lichamen alleen wordt beïnvloed door een van hen. Gelijkheid (6) duidt niet op een wederzijdse neutralisatie van hun optreden voor elk van de lichamen; het spreekt over het systeem als geheel.

De vergelijking die de tweede wet van Newton uitdrukt in een traagheidsreferentieframe wordt overal gebruikt:

F r → = m een ​​r → (\displaystyle (\vec (F_(r)))=m(\vec (a_(r)))) (7)

Als er een resultante is van alle reële krachten die op een lichaam inwerken, dan is deze uitdrukking, die de canonieke notatie is van de Tweede Wet, eenvoudigweg een verklaring dat de door het lichaam ontvangen versnelling evenredig is aan deze kracht en de massa van het lichaam. . Beide uitdrukkingen die in elk deel van deze gelijkheid voorkomen, verwijzen naar hetzelfde lichaam.

Maar uitdrukking (7) kan, vergelijkbaar met (6), herschreven worden als:

F r → − m een ​​r → = 0 (\displaystyle (\vec (F_(r)))-m(\vec (a_(r)))=0) (8)

Voor een waarnemer van buitenaf die zich in een traagheidsframe bevindt en op basis van het bovenstaande de versnelling van een lichaam analyseert, heeft een dergelijke invoer alleen fysieke betekenis als de termen aan de linkerkant van de gelijkheid verwijzen naar krachten die gelijktijdig optreden, maar betrekking hebben op verschillende lichamen. En in (8) vertegenwoordigt de tweede term aan de linkerkant een kracht van dezelfde grootte, maar gericht in de tegenovergestelde richting en uitgeoefend op een ander lichaam, namelijk kracht, dat wil zeggen

F ik 1 → = - m een ​​r → (\displaystyle (\vec (F_(i_(1))))=-m(\vec (a_(r)))) (9)

In het geval dat het passend blijkt te zijn om op elkaar inwerkende lichamen te verdelen in versnelde en versnellende en, om de krachten te onderscheiden die dan op basis van de Derde Wet inwerken, worden die krachten die vanuit het versnelde lichaam op het versnellende lichaam werken, traagheidskrachten genoemd F → ik 1 (\ Displaystyle (\ vec (F)) _ (i_ (1))) of “Newtoniaanse traagheidskrachten”, wat overeenkomt met schrijfuitdrukking (5) voor de Derde Wet in nieuwe notatie:

F r → = - F ik 1 → (\displaystyle (\vec (F_(r)))=-(\vec (F_(i_(1))))) (10)

Het is belangrijk dat de werkingskracht van het versnellende lichaam op het versnelde en de traagheidskracht dezelfde oorsprong hebben, en als de massa's van de op elkaar inwerkende lichamen zo dicht bij elkaar liggen dat de versnellingen die ze ontvangen vergelijkbaar zijn in grootte, dan de introductie van de bijzondere naam “traagheidskracht” is slechts een gevolg van de bereikte afspraken. Het is net zo voorwaardelijk als de verdeling van krachten in actie en reactie zelf.

De situatie is anders wanneer de massa van op elkaar inwerkende lichamen onvergelijkbaar met elkaar zijn (een persoon en de harde vloer, die zich afzet van waaruit hij loopt). In dit geval wordt de verdeling van lichamen in versnellend en versneld heel duidelijk, en het versnellende lichaam kan worden beschouwd als een mechanische verbinding die het lichaam versnelt, maar op zichzelf niet wordt versneld.

In een traagheidsreferentieframe traagheidskracht bijgevoegd niet naar het versnelde lichaam, maar naar de verbinding.

Euler-traagheidskrachten

Beweging in niet-inertiële FR

Beide kanten van de gelijkheid tweemaal differentiëren in de tijd r = R + r ′ (\displaystyle r=R+r(^(\prime))), we krijgen:

Een r → = een R → + een r ′ → (\displaystyle (\vec (a_(r)))=(\vec (a_(R)))+(\vec (a_(r^(\prime))) ))(11), waarbij:

een r → = r ¨ (\displaystyle (\vec (a_(r)))=(\ddot (r))) is de versnelling van het lichaam in traagheid CO, hierna absolute versnelling genoemd. een R → = R ¨ (\displaystyle (\vec (a_(R)))=(\ddot (R))) is de versnelling van het niet-inertiële CO in het inertiële CO, hierna de overdrachtsversnelling genoemd. een r ′ → = r ¨ ′ (\displaystyle (\vec (a_(r^(\prime))))=(\ddot (r))(^(\prime))) is de versnelling van het lichaam in niet-inertiële FR, hierna relatieve versnelling genoemd.

Het is belangrijk dat deze versnelling niet alleen afhangt van de kracht die op het lichaam inwerkt, maar ook van de versnelling van het referentiesysteem waarin dit lichaam beweegt, en daarom kan het bij een willekeurige keuze van deze FR een overeenkomstig willekeurige waarde hebben. waarde.

Laten we beide zijden van vergelijking (11) vermenigvuldigen met lichaamsgewicht m (\displaystyle m) en wij krijgen:

M een r → = m een ​​R → + m een ​​r ′ → (\displaystyle m(\vec (a_(r)))=m(\vec (a_(R)))+m(\vec (a_(r^(\prime) ))))) (12)

Volgens de tweede wet van Newton, geformuleerd voor traagheidsframes, is de term aan de linkerkant het resultaat van het vermenigvuldigen van de massa met de vector gedefinieerd in het traagheidsframe, en daarom kan er een echte kracht aan worden gekoppeld:

M een r → = F r → (\displaystyle m(\vec (a_(r)))=(\vec (F_(r)))). Dit is de kracht die op het lichaam inwerkt in de eerste (traagheids) CO, die hier “absolute kracht” zal worden genoemd. Het blijft inwerken op het lichaam met onveranderde richting en omvang in elk coördinatensysteem.

De volgende kracht wordt gedefinieerd als:

M een R → = F R → (\displaystyle m(\vec (a_(R)))=(\vec (F_(R)))) (13)

volgens de regels die zijn aangenomen voor het benoemen van lopende bewegingen, zou het “draagbaar” moeten worden genoemd.

Het is belangrijk dat er versnelling is een R → (\displaystyle (\vec (a_(R)))) in het algemene geval heeft het niets te maken met het onderzochte lichaam, aangezien het wordt veroorzaakt door krachten die alleen inwerken op het lichaam dat is gekozen als een niet-traagheidsreferentiesysteem. Maar de massa die in de uitdrukking is opgenomen, is de massa van het lichaam dat wordt bestudeerd. Vanwege de kunstmatigheid van het introduceren van een dergelijke kracht, moet deze als een fictieve kracht worden beschouwd.

Verplaats de uitdrukkingen voor absolute en draagbare kracht naar de linkerkant van de gelijkheid:

M een r → - m een ​​R → = m een ​​r ′ → (\displaystyle m(\vec (a_(r)))-m(\vec (a_(R)))=m(\vec (a_(r^(\prime) ))))) (14)

en door de geïntroduceerde notaties toe te passen, verkrijgen we:

F r → - F R → = m een ​​r ′ → (\displaystyle (\vec (F_(r)))-(\vec (F_(R)))=m(\vec (a_(r^(\prime))) )) (15)

Hieruit blijkt duidelijk dat door de versnelling in het nieuwe referentiekader niet de volledige kracht op het lichaam inwerkt, maar slechts een deel ervan. F ′ → (\displaystyle (\vec (F^(\prime)))), dat overblijft nadat de overdrachtskracht ervan is afgetrokken F R → (\displaystyle (\vec (F_(R)))) Dus:

F ′ → = m een ​​r ′ → (\displaystyle (\vec (F^(\prime)))=m(\vec (a_(r^(\prime))))) (16)

dan verkrijgen we uit (15):

F r → - F R → = F ′ → (\displaystyle (\vec (F_(r)))-(\vec (F_(R)))=(\vec (F^(\prime)))) (17)

Volgens de conventies voor het benoemen van de bewegingen die plaatsvinden, zou deze kracht ‘relatief’ moeten worden genoemd. Het is deze kracht die ervoor zorgt dat het lichaam beweegt in een niet-traagheidscoördinatensysteem.

Het resultaat dat wordt verkregen in het verschil tussen de “absolute” en “relatieve” krachten wordt verklaard door het feit dat in een niet-inertiaal systeem, naast de kracht F → r (\ Displaystyle (\ vec (F)) _ (r)), er werd bovendien een bepaalde kracht op het lichaam uitgeoefend F → ik 2 (\ Displaystyle (\ vec (F)) _ (i_ (2))) zodat:

F r → + F ik 2 → = F ′ → (\displaystyle (\vec (F_(r)))+(\vec (F_(i_(2))))=(\vec (F^(\prime) ))) (18)

Deze kracht is de traagheidskracht, zoals toegepast op de beweging van lichamen in niet-traagheidsreferentieframes. Het heeft niets te maken met de werking van echte krachten op het lichaam.

Dan verkrijgen we uit (17) en (18):

F ik 2 → = - F R → (\displaystyle (\vec (F_(i_(2))))=-(\vec (F_(R)))) (19)

Dat wil zeggen, de kracht van traagheid in niet-inertiële FR gelijk in grootte en tegengesteld in richting aan de kracht die de versnelde beweging van dit systeem veroorzaakt. Zij bijgevoegd naar het versnelde lichaam.

Deze kracht is in zijn oorsprong niet het resultaat van de werking van omringende lichamen en velden, en ontstaat uitsluitend door de versnelde beweging van het tweede referentiekader ten opzichte van het eerste.

Alle grootheden in uitdrukking (18) kunnen onafhankelijk van elkaar worden gemeten, en daarom betekent het hier geplaatste gelijkteken niets anders dan de erkenning van de mogelijkheid om de axiomatiek van Newton uit te breiden, rekening houdend met dergelijke ‘fictieve krachten’ (traagheidskrachten) naar beweging in niet-traagheidsreferentiesystemen, en vereist daarom experimentele bevestiging. Binnen het raamwerk van de klassieke natuurkunde wordt dit inderdaad bevestigd.

Verschil tussen krachten F ik 1 → (\displaystyle (\vec (F_(i_(1))))) en bestaat alleen uit het feit dat de tweede wordt waargenomen tijdens de versnelde beweging van een lichaam in een niet-traagheidscoördinatensysteem, en de eerste overeenkomt met zijn onbeweeglijkheid in dit systeem. Omdat immobiliteit slechts een extreem geval is van beweging bij lage snelheid, bestaat er geen fundamenteel verschil tussen deze fictieve traagheidskrachten.

Voorbeeld 2

Laat de tweede CO met een constante snelheid bewegen of gewoon bewegingloos zijn in de inertiële CO. Dan een R → = 0 (\displaystyle (\vec (a_(R)))=0) en er is geen traagheidskracht. Een bewegend lichaam ervaart versnelling veroorzaakt door echte krachten die erop inwerken.

Voorbeeld 3

Laat de tweede CO met versnelling bewegen een R → = een r → (\displaystyle (\vec (a_(R)))=(\vec (a_(r)))), dat wil zeggen dat deze CO feitelijk wordt gecombineerd met het bewegende lichaam. Dan is het lichaam in deze niet-inertiële CO bewegingsloos vanwege het feit dat de kracht die erop inwerkt volledig wordt gecompenseerd door de traagheidskracht:

F ik 2 → = - F r → = F ik 1 → (\displaystyle (\vec (F_(i_(2)))=-(\vec (F_(r)))=(\vec (F_(i_ () 1)))))

Voorbeeld 4

De passagier reist naar personenwagen met een constante snelheid. De passagier is het lichaam, de auto is zijn referentiesysteem (tot nu toe traag). F r → = 0 (\displaystyle (\vec (F_(r)))=0).

De auto begint te vertragen en draait voor de passagier het tweede niet-traagheidssysteem in dat hierboven is besproken, waarop een remkracht wordt uitgeoefend op zijn beweging F R → (\displaystyle (\vec (F_(R)))). In dit niet-inertiële referentiekader verschijnt een traagheidskracht, uitgeoefend op de passagier en tegengesteld gericht ten opzichte van de versnelling van de auto (dat wil zeggen de snelheid): F ik 2 → (\displaystyle (\vec (F_(i_(2))))). De traagheidskracht heeft de neiging om, in een bepaald referentiekader, de beweging van het lichaam van de passagier in de richting van de voorruit te veroorzaken.

De beweging van de passagier wordt echter belemmerd door de veiligheidsgordel: onder invloed van het lichaam van de passagier rekt de gordel uit en oefent een overeenkomstige kracht uit op de passagier. Deze reactie van de gordel balanceert de traagheidskracht en de passagier in het referentieframe dat bij de auto hoort, ondervindt geen versnelling en blijft gedurende het gehele remproces bewegingloos ten opzichte van de auto.

Vanuit het gezichtspunt van een waarnemer die zich in een willekeurig traagheidsreferentiekader bevindt (bijvoorbeeld geassocieerd met de weg), verliest de passagier snelheid als gevolg van de kracht die door de gordel op hem wordt uitgeoefend. Dankzij deze kracht vindt versnelling (negatief) van de passagier plaats; zijn werk veroorzaakt een afname van de kinetische energie van de passagier. Het is duidelijk dat er geen traagheidskrachten optreden in het traagheidsreferentieframe, en dat deze niet worden gebruikt om de beweging van de passagier te beschrijven.

Voorbeelden van gebruik

In sommige gevallen is het handig om bij berekeningen een niet-traagheidsreferentiesysteem te gebruiken, bijvoorbeeld:

• Het is handig om de beweging van bewegende delen van een auto te beschrijven in een coördinatensysteem dat bij de auto hoort. Als de auto accelereert, wordt dit systeem niet-traag;
• Het is soms handig om de beweging van een lichaam langs een cirkelvormig pad te beschrijven in een coördinatensysteem dat bij dit lichaam hoort. Een dergelijk coördinatensysteem is niet-inertieel vanwege de centripetale versnelling.

In niet-traagheidsreferentiesystemen zijn de standaardformuleringen van de wetten van Newton niet van toepassing. Dus wanneer een auto accelereert, krijgen losse voorwerpen binnenin, in het coördinatensysteem dat is gekoppeld aan de carrosserie van de auto, versnelling zonder dat er enige kracht rechtstreeks op wordt uitgeoefend; en wanneer een lichaam in een baan beweegt, in het niet-traagheidscoördinatensysteem dat bij het lichaam hoort, is het lichaam in rust, ook al wordt er op ingewerkt door een onevenwichtige zwaartekracht, die werkt als een middelpuntzoekende kracht in het traagheidscoördinatensysteem in waarin de orbitale rotatie werd waargenomen.

Om de mogelijkheid te herstellen om in deze gevallen de gebruikelijke formuleringen van de wetten van Newton en de bijbehorende bewegingsvergelijkingen voor elk onderzocht lichaam toe te passen, blijkt het handig om een ​​fictieve kracht te introduceren - traagheidskracht- evenredig met de massa van dit lichaam en de grootte van de versnelling van het coördinatensysteem, en tegengesteld aan de vector van deze versnelling.

Met het gebruik van deze fictieve macht wordt het mogelijk korte beschrijving daadwerkelijk waargenomen effecten: “waarom wordt de passagier tegen de rugleuning van de stoel gedrukt bij het accelereren van een auto?” - “de traagheidskracht werkt op het lichaam van de passagier.” In een traagheidscoördinatensysteem dat verband houdt met de weg, is er geen traagheidskracht nodig om uit te leggen wat er gebeurt: het lichaam van de passagier versnelt daarin (samen met de auto), en deze versnelling wordt geproduceerd door een kracht waarmee de stoel werkt op de passagier.

Traagheidskracht op het aardoppervlak

Laten F 1 → (\displaystyle (\vec (F_(1)))) is de som van alle krachten die op een lichaam inwerken in een vast (eerste) coördinatensysteem, waardoor de versnelling ontstaat. Deze som wordt gevonden door de versnelling van een lichaam in dit systeem te meten als de massa bekend is.

Insgelijks, F 2 → (\displaystyle (\vec (F_(2)))) is de som van de krachten, gemeten in een niet-traagheidscoördinatensysteem (tweede), die versnelling veroorzaken een 2 → (\displaystyle (\vec (a_(2)))), die in het algemeen verschilt van een 1 → (\displaystyle (\vec (a_(1)))) als gevolg van de versnelde beweging van de tweede CO ten opzichte van de eerste.

Dan wordt de traagheidskracht in een niet-traagheidscoördinatensysteem bepaald door het verschil:

F ik 2 → = F 2 → - F 1 → (\displaystyle (\vec (F_(i_(2))))=(\vec (F_(2)))-(\vec (F_(1))) ) (19)

F ik 2 → = m (een 2 → - een 1 →) (\displaystyle (\vec (F_(i_(2))))=m((\vec (a_(2)))-(\vec (a_ (1))))) (20)

In het bijzonder als het lichaam in rust is in een niet-traagheidsframe een 2 → = 0 (\displaystyle (\vec (a_(2)))=0), Dat

F ik 2 → = - F 1 → (\displaystyle (\vec (F_(i_(2))))=-(\vec (F_(1)))) (21) .

Beweging van een lichaam langs een willekeurig traject in een niet-traagheidsreferentieframe

De positie van een materieel lichaam in een voorwaardelijk stationair en traagheidssysteem wordt hier gegeven door de vector r → (\displaystyle (\vec (r))), en in een niet-traagheidssysteem - door de vector r ′ → (\displaystyle (\vec (r^(\prime)))). De afstand tussen de oorsprongen wordt bepaald door de vector R → (\displaystyle (\vec (R))). De hoeksnelheid van het systeem wordt gespecificeerd door de vector ω → (\displaystyle (\vec (\omega))), waarvan de richting langs de rotatie-as wordt ingesteld volgens de rechtse schroefregel. Lineaire snelheid lichaam ten opzichte van het roterende referentieframe wordt gegeven door de vector v → (\displaystyle (\vec (v))).

In dit geval zal de versnelling, in overeenstemming met (11), gelijk zijn aan de som:

EEN r → = d 2 R → d t 2 + d ω → d t × r ′ → + 2 ω → × v → + ω → × [ ω → × r ′ → ] , (22) (\displaystyle (\vec (a_) (r)))=(\frac (d^(2)(\vec (R)))(dt^(2)))+(\frac (d(\vec (\omega )))(dt)) \times (\vec (r"))+(2(\vec (\omega ))\times (\vec (v)))+(\vec (\omega ))\times \left[(\vec (\ omega ))\times (\vec (r"))\right],\qquad (22))

• de eerste term is de draagbare versnelling van het tweede systeem ten opzichte van het eerste;

• de tweede term is de versnelling die ontstaat als gevolg van de ongelijkmatige rotatie van het systeem rond zijn as;

Werk van traagheidskrachten

In de klassieke natuurkunde komen traagheidskrachten in tweeën voor verschillende situaties afhankelijk van het referentiesysteem waarin de waarneming wordt gedaan. Dit is de kracht die op de verbinding wordt uitgeoefend wanneer deze wordt waargenomen in een traagheidsreferentieframe, of de kracht die wordt uitgeoefend op het lichaam in kwestie wanneer deze wordt waargenomen in een niet-traagheidsreferentieframe. Beide krachten kunnen arbeid verrichten. De uitzondering is de Coriolis-kracht, die geen werk doet, omdat deze altijd loodrecht op de snelheidsvector is gericht. Tegelijkertijd kan de Coriolis-kracht het traject van een lichaam veranderen en daardoor bijdragen aan de uitvoering van werk door andere krachten (zoals wrijving). Een voorbeeld hiervan is het biereffect.

Bovendien kan het in sommige gevallen raadzaam zijn om de werkende Corioliskracht in twee componenten te verdelen, die elk wel werken. Het totale werk dat door deze componenten wordt verricht, is nul, maar een dergelijke weergave kan nuttig zijn bij het analyseren van de processen van energieherverdeling in het beschouwde systeem.

In een theoretische overweging, wanneer het dynamische bewegingsprobleem kunstmatig wordt gereduceerd tot een statisch probleem, wordt een derde soort kracht geïntroduceerd, de krachten van d'Alembert genaamd, die geen werk verrichten vanwege de onbeweeglijkheid van de lichamen waarop deze krachten inwerken. .

Laten we het op een materieel punt hebben M er is een bepaald systeem van krachten aan het werk.

Onder de krachten kunnen zich actieve krachten en reactieverbanden bevinden.

Gebaseerd op het axioma van de onafhankelijkheid van de werking van krachten, het punt M onder invloed van deze krachten dezelfde versnelling zal ontvangen alsof er slechts één kracht op zou inwerken gelijk aan geometrische som gegeven krachten,

Waar A- puntversnelling M; M- puntmassa M FΣ; - resultante van het krachtsysteem.

Laten we de vector aan de linkerkant van de vergelijking naar de rechterkant verplaatsen. Hierna krijgen we de som van vectoren gelijk aan nul,

Laten we de notatie introduceren dan kan de bovenstaande vergelijking worden weergegeven als:

Alle krachten, inclusief de kracht, moeten dus in evenwicht zijn, aangezien de krachten en F Σ gelijk aan elkaar en langs één rechte lijn in tegengestelde richtingen gericht. Een kracht gelijk aan het product van de massa van een punt en zijn versnelling, maar gericht in de richting tegengesteld aan de versnelling, wordt de traagheidskracht genoemd.

Uit de laatste vergelijking volgt dat op elk gegeven moment de krachten die op een materieel punt worden uitgeoefend, in evenwicht worden gehouden door de traagheidskrachten. Bovenstaande conclusie wordt het principe van D'Alembert genoemd. Het kan niet alleen op een materieel punt worden toegepast, maar ook op een vast lichaam of op een systeem van lichamen. In het laatste geval wordt het als volgt geformuleerd: als het op alle werkende krachten toegepast op een bewegend lichaam of systeem van lichamen, traagheidskrachten uitoefenen, dan kan het resulterende krachtensysteem als in evenwicht worden beschouwd.

Benadrukt moet worden dat traagheidskrachten bestaan, maar niet worden uitgeoefend op een bewegend lichaam, maar op die lichamen die een versnelde beweging veroorzaken.

De toepassing van het principe van D'Alembert maakt het mogelijk evenwichtsvergelijkingen te gebruiken bij het oplossen van dynamische problemen. Deze techniek voor het oplossen van dynamische problemen wordt genoemd kinetostatische methode.

Laten we eens kijken hoe de traagheidskracht van een materieel punt wordt bepaald in verschillende gevallen van beweging.

1. Punt M massa M beweegt rechtlijnig met versnelling (Fig. a, b).

Bij beweging in een rechte lijn valt de richting van de versnelling samen met het traject. De traagheidskracht is gericht in de richting tegengesteld aan de versnelling, en de numerieke waarde ervan wordt bepaald door de formule:

Tijdens een versnelde beweging (Fig. a) vallen de richtingen van versnelling en snelheid samen en is de traagheidskracht gericht in de richting tegengesteld aan de beweging. Wanneer tijdens slow motion (figuur b) de versnelling in de richting tegengesteld aan de snelheid is gericht, werkt de traagheidskracht in de bewegingsrichting.

2. Punt M beweegt kromlijnig en ongelijkmatig (Fig. c).

In dit geval kan, zoals bekend uit het vorige, de versnelling ervan worden ontleed in normaal en N en raaklijn bij componenten. Op dezelfde manier bestaat de traagheidskracht van een punt ook uit twee componenten: normaal en tangentieel.

De normale component van de traagheidskracht is gelijk aan het product van de massa van het punt en de normale versnelling en is tegengesteld aan deze versnelling gericht:

De tangentiële component van de traagheidskracht is gelijk aan het product van de massa van het punt en de tangentiële versnelling en is tegengesteld aan deze versnelling gericht:

Uiteraard de totale traagheidskracht van een punt M gelijk aan de geometrische som van de normale en tangentiële componenten, d.w.z.

Gezien het feit dat de raaklijn- en normaalcomponenten onderling loodrecht zijn, is de totale traagheidskracht:

3.3 Werk van constante kracht op lineaire beweging

Laten we de arbeid definiëren voor het geval waarin de werkende kracht constant is in grootte en richting, en het punt van toepassing ervan langs een recht pad beweegt. Laten we een materieel punt C bekijken waarop een kracht F, constant in waarde en richting, wordt uitgeoefend.

Gedurende een bepaalde periode T punt MET naar positie verplaatst C 1 langs een recht pad over een afstand S.

Functie A constante kracht F in het geval van een rechtlijnige beweging is het punt van toepassing gelijk aan het product van de krachtmodulus F naar een afstand S en door de cosinus van de hoek tussen de richting van de kracht en de richting van de verplaatsing, d.w.z.

De hoek α tussen de krachtrichting en de bewegingsrichting kan variëren van 0 tot 180°. Bij α< 90° работа положительна, при α>90° - negatief, bij α = 90° A=0(werk is nul).

Als een kracht een scherpe hoek maakt met de bewegingsrichting, wordt dit een drijvende kracht genoemd; zijn werk is altijd positief. Als de hoek tussen de richtingen van kracht en verplaatsing stomp is, weerstaat de kracht de beweging, doet negatief werk en wordt de sleepkracht genoemd. Voorbeelden van weerstandskrachten zijn onder meer snijkrachten, wrijving, luchtweerstand en andere, die altijd in de tegengestelde richting van de beweging zijn gericht.

Wanneer α = 0, d.w.z. wanneer de richting van de kracht samenvalt met de richting van de snelheid, A = Fs , omdat wantα = 1. Product F cosα is de projectie van kracht F op de bewegingsrichting van een materieel punt. Daarom kan de krachtarbeid worden gedefinieerd als het product van verplaatsing S en krachtprojectie F op de bewegingsrichting van het punt.

De arbeidseenheid in het Internationale Systeem van Eenheden (SI) is de joule (J), gelijk aan de arbeid die wordt verricht door een kracht van één newton (N) op een bewegingsrichting van één meter (m) lang: . Er wordt ook een grotere werkeenheid gebruikt: kilojoule (kJ), 1 kJ = 1000 J = 10 3 J. V technisch systeem(MKGSS) als werkeenheid wordt aangenomen dat dit de kilogramkrachtmeter (kgf·m) is.

Luiheid - het vermogen om iemands toestand onveranderd te houden is een interne eigenschap van alle materiële lichamen.

Traagheidskracht - een kracht die optreedt tijdens het versnellen of vertragen van een lichaam (materieel punt) en die in de tegenovergestelde richting van de versnelling is gericht. De traagheidskracht kan worden gemeten; deze wordt toegepast op "schakels" - lichamen die zijn verbonden met een versnellend of vertragend lichaam.

Er wordt berekend dat de traagheidskracht gelijk is aan

F-in = | m*a|

Dus de krachten die op materiële punten inwerken m 1 En m2(Fig. 14.1), bij het overklokken zijn de platforms respectievelijk gelijk

F in1 = m 1 *a ; F in2 = m 2 *a

Versnellen lichaam (platform met massa T(Fig. 14.1)) neemt de traagheidskracht niet waar, anders zou versnelling van het platform helemaal onmogelijk zijn.

Tijdens een rotatiebeweging (kromlijnig) wordt de resulterende versnelling meestal weergegeven in de vorm van twee componenten: normaal een p en raaklijn bij(Afb. 14.2).

Daarom kunnen bij het beschouwen van kromlijnige beweging twee componenten van de traagheidskracht optreden: normaal en tangentieel

een = een t + een n ;

Bij een uniforme beweging langs een boog treedt altijd een normale versnelling op; de tangentiële versnelling is nul, daarom werkt alleen de normale component van de traagheidskracht, radiaal gericht vanuit het midden van de boog (Fig. 14.3).

Het principe van de kinetostatica (principe van D'Alembert)

Het principe van kinetostatica wordt gebruikt om de oplossing van een aantal technische problemen te vereenvoudigen.

In werkelijkheid worden traagheidskrachten uitgeoefend op lichamen die verbonden zijn met het versnellende lichaam (op verbindingen).

stelde d'Alembert voor voorwaardelijk van toepassing de traagheidskracht op een actief versnellend lichaam. Dan wordt het systeem van krachten die op een materieel punt worden uitgeoefend in evenwicht gebracht, en is het mogelijk om statische vergelijkingen te gebruiken bij het oplossen van dynamische problemen.

D'Alemberts principe:

Een materieel punt onder invloed van actieve krachten, koppelingsreacties en een voorwaardelijk uitgeoefende traagheidskracht is in evenwicht;

Einde van het werk -

Dit onderwerp behoort tot de sectie:

Theoretische mechanica

Theoretische mechanica.. lezing.. onderwerp: basisconcepten en axioma's van de statica..

Als je nodig hebt aanvullend materiaal over dit onderwerp, of als u niet hebt gevonden wat u zocht, raden wij u aan de zoekopdracht in onze database met werken te gebruiken:

Wat gaan wij met het ontvangen materiaal doen:

Als dit materiaal nuttig voor u was, kunt u het op uw pagina op sociale netwerken opslaan:

Tweeten

Alle onderwerpen in deze sectie:

Problemen van de theoretische mechanica
Theoretische mechanica is de wetenschap van de mechanische beweging van materiële vaste lichamen en hun interactie. Onder mechanische beweging wordt verstaan ​​de beweging van een lichaam in ruimte en tijd

Derde axioma
Zonder de mechanische toestand van het lichaam te verstoren, kunt u een gebalanceerd krachtensysteem toevoegen of verwijderen (het principe van het weggooien van een krachtensysteem dat gelijk is aan nul) (Fig. 1.3). P,=P2 P,=P.

Uitvloeisel van het tweede en derde axioma
De kracht die op een vast lichaam inwerkt, kan langs de actielijn worden verplaatst (Fig. 1.6).

Verbindingen en reacties van verbindingen
Alle wetten en stellingen van de statica gelden voor een vrij star lichaam. Alle lichamen zijn verdeeld in vrij en gebonden. Vrije lichamen zijn lichamen waarvan de beweging niet beperkt is.

Harde staaf
In de diagrammen worden de staven weergegeven als een dikke ononderbroken lijn (Fig. 1.9). De staaf kan

Vast scharnier
Het bevestigingspunt kan niet worden verplaatst. De stang kan vrij rond de scharnieras draaien. De reactie van een dergelijke steun gaat door de scharnieras, maar

Vliegtuigsysteem van convergerende krachten
Een systeem van krachten waarvan de werkingslijnen elkaar op één punt kruisen, wordt convergent genoemd (Fig. 2.1).

Het resultaat van convergerende krachten
De resultante van twee elkaar snijdende krachten kan worden bepaald met behulp van een parallellogram of krachtendriehoek (4e axioma) (zie 2.2).

Evenwichtsvoorwaarde voor een vlak systeem van convergerende krachten
Wanneer het krachtenstelsel in evenwicht is, moet de resultante gelijk zijn aan nul; daarom moet in een geometrische constructie het einde van de laatste vector samenvallen met het begin van de eerste. Als

Evenwichtsproblemen oplossen met behulp van een geometrische methode
Het is handig om de geometrische methode te gebruiken als er drie krachten in het systeem aanwezig zijn. Beschouw bij het oplossen van evenwichtsproblemen het lichaam als absoluut vast (gestold). Procedure voor het oplossen van problemen:

Oplossing
1. De krachten die optreden in de bevestigingsstangen zijn in grootte gelijk aan de krachten waarmee de stangen de last ondersteunen (5e axioma van de statica) (Fig. 2.5a). We bepalen mogelijke richtingen van reacties als gevolg van

Projectie van kracht op de as
De projectie van de kracht op de as wordt bepaald door het segment van de as, afgesneden door loodlijnen die vanaf het begin en het einde van de vector op de as zijn neergelaten (Fig. 3.1).

Sterkte op analytische wijze
De grootte van de resultante is gelijk aan de vector (geometrische) som van de vectoren van het krachtensysteem. We bepalen de resulterende geometrisch. Laten we een coördinatensysteem kiezen en de projecties van alle taken bepalen

Convergerende krachten in analytische vorm
Gebaseerd op het feit dat de resultante nul is, verkrijgen we: Conditie

Een paar krachten, een moment van een paar krachten
Een krachtenpaar is een systeem van twee krachten die even groot zijn, evenwijdig zijn en in verschillende richtingen zijn gericht. Laten we een systeem van krachten (P; B") bekijken die een paar vormen.

Krachtmoment rond een punt
Een kracht die niet door het bevestigingspunt van het lichaam gaat, veroorzaakt rotatie van het lichaam ten opzichte van het punt. Daarom wordt het effect van een dergelijke kracht op het lichaam geschat als een moment. Krachtmoment rel.

De stelling van Poinsot over parallelle krachtoverdracht
Een kracht kan evenwijdig aan de actielijn worden overgedragen; in dit geval is het noodzakelijk om een ​​paar krachten toe te voegen met een moment gelijk aan het product van de modulus van de kracht en de afstand waarover de kracht wordt overgedragen.

Verdeelde krachten
De werkingslijnen van een willekeurig krachtensysteem kruisen elkaar niet op één punt. Daarom moet een dergelijk systeem worden vereenvoudigd om de toestand van het lichaam te beoordelen. Om dit te doen, worden alle krachten van het systeem willekeurig in één overgebracht

Invloed van referentiepunt
Het referentiepunt wordt willekeurig gekozen. Wanneer de positie van het referentiepunt verandert, verandert de waarde van de hoofdvector niet. De grootte van het hoofdmoment bij het verplaatsen van het reductiepunt zal veranderen,

Plat krachtsysteem
1. Bij evenwicht is de hoofdvector van het systeem nul. Analytische bepaling van de hoofdvector leidt tot de conclusie:

Soorten ladingen
Volgens de toepassingsmethode worden belastingen verdeeld in geconcentreerd en verdeeld. Als de daadwerkelijke belastingoverdracht plaatsvindt op een verwaarloosbaar klein oppervlak (op een punt), wordt de belasting geconcentreerd genoemd

Krachtmoment rond de as
Het krachtmoment ten opzichte van de as is gelijk aan het moment van projectie van de kracht op een vlak loodrecht op de as, relatief ten opzichte van het snijpunt van de as met het vlak (Fig. 7.1 a). LOEIEN

Vector in de ruimte
In de ruimte wordt de krachtvector geprojecteerd op drie onderling loodrechte coördinaatassen. De projecties van de vector vormen de randen van een rechthoekig parallellepipedum, de krachtvector valt samen met de diagonaal (Fig. 7.2

Ruimtelijk convergent systeem van krachten
Een ruimtelijk convergent krachtenstelsel is een krachtenstelsel dat niet in hetzelfde vlak ligt en waarvan de werkingslijnen elkaar op één punt snijden. De resultante van het ruimtelijke systeem

Een willekeurig ruimtelijk systeem van krachten naar het centrum O brengen
Er wordt een ruimtelijk systeem van krachten gegeven (Fig. 7.5a). Laten we het naar het centrum O brengen. De krachten moeten parallel worden verplaatst en er ontstaat een systeem van krachtparen. Het moment van elk van deze paren is gelijk

Zwaartepunt van homogene platte lichamen
(platte figuren) Heel vaak is het nodig om het zwaartepunt van verschillende platte lichamen en geometrische platte figuren met een complexe vorm te bepalen. Voor platte lichamen kunnen we schrijven: V =

Bepalen van de coördinaten van het zwaartepunt van vlakke figuren
Opmerking. Het zwaartepunt van een symmetrische figuur ligt op de symmetrieas. Het zwaartepunt van de staaf bevindt zich in het midden van de hoogte. Posities van de zwaartepunten van eenvoudig geometrische vormen kan

Kinematica van een punt
Een idee hebben van ruimte, tijd, traject, pad, snelheid en versnelling.Weten hoe je de beweging van een punt (natuurlijk en coördinaat) kunt specificeren. Ken de aanduidingen

Afgelegde afstand
Het pad wordt gemeten langs het traject in de rijrichting. Benaming - S, meeteenheden - meters. Bewegingsvergelijking van een punt: Vergelijking definiëren

Reis snelheid
De vectorgrootheid die momenteel de snelheid en richting van beweging langs het traject karakteriseert, wordt snelheid genoemd. Snelheid is een vector die op elk moment gericht is

Puntversnelling
Een vectorgrootheid die de mate van snelheidsverandering in grootte en richting karakteriseert, wordt de versnelling van een punt genoemd. Snelheid van het punt bij het verplaatsen vanaf punt M1

Uniforme beweging
Eenparige beweging is beweging met constante snelheid: v = const. Voor rechtlijnige, uniforme beweging (Fig. 10.1 a)

Even afwisselende beweging
Even variabele beweging is beweging met constante tangentiële versnelling: at = const. Voor rechtlijnige, uniforme beweging

Voorwaartse beweging
Translationeel is de beweging van een stijf lichaam waarbij elke rechte lijn op het lichaam tijdens beweging evenwijdig blijft aan de oorspronkelijke positie (fig. 11.1, 11.2). Bij

Roterende beweging
Tijdens een rotatiebeweging beschrijven alle punten van het lichaam cirkels rond een gemeenschappelijke vaste as. De vaste as waaromheen alle punten van het lichaam draaien, wordt de rotatie-as genoemd.

Speciale gevallen van roterende beweging
Uniforme rotatie (hoeksnelheid is constant): ω =const De vergelijking (wet) van uniforme rotatie heeft in dit geval de vorm:

Snelheden en versnellingen van punten van een roterend lichaam
Het lichaam draait rond punt O. Laten we de bewegingsparameters van punt A bepalen, gelegen op een afstand RA van de rotatieas (Fig. 11.6, 11.7). Pad

Oplossing
1. Sectie 1 - ongelijkmatige versnelde beweging, ω = φ’; ε = ω’ 2. Sectie 2 - de snelheid is constant - de beweging is uniform, . ω = constant 3.

Basisdefinities
Een complexe beweging is een beweging die kan worden opgesplitst in verschillende eenvoudige bewegingen. Eenvoudige bewegingen worden als translationeel en roterend beschouwd. Om de complexe beweging van punten te overwegen

Vlakparallelle beweging van een stijf lichaam
Plan-parallelle of vlakke beweging van een star lichaam wordt zodanig genoemd dat alle punten van het lichaam evenwijdig bewegen aan een vast punt in het beschouwde referentiesysteem.

Translationeel en rotatie
De vlakparallelle beweging wordt opgesplitst in twee bewegingen: translationeel met een bepaalde pool en roterend ten opzichte van deze pool. Om te bepalen wordt gebruik gemaakt van ontleding

Snelheidscentrum
De snelheid van elk punt op het lichaam kan worden bepaald met behulp van het momentane snelheidsmiddelpunt. In dit geval wordt complexe beweging weergegeven in de vorm van een reeks rotaties rond verschillende centra. Taak

Axioma's van dynamiek
De wetten van de dynamiek generaliseren de resultaten van talrijke experimenten en observaties. De wetten van de dynamiek, die gewoonlijk als axioma’s worden beschouwd, zijn geformuleerd door Newton, maar ook de eerste en de vierde wet zijn geformuleerd.

Het concept van wrijving. Soorten wrijving
Wrijving is de weerstand die optreedt wanneer het ene ruwe lichaam over het oppervlak van een ander beweegt. Wanneer lichamen glijden, ontstaat er glijdende wrijving, en wanneer ze rollen ontstaat er rollende wrijving. Ondersteuning van de natuur

Rollende wrijving
Rolweerstand gaat gepaard met onderlinge vervorming van de bodem en het wiel en is aanzienlijk minder dan glijwrijving. Meestal wordt de grond als zachter beschouwd dan het wiel, dan is de grond voornamelijk vervormd en

Gratis en niet-gratis punten
Een materieel punt waarvan de beweging in de ruimte niet wordt beperkt door verbindingen, wordt vrij genoemd. Problemen worden opgelost met behulp van de basiswet van de dynamiek. Materiaal dan

Oplossing
Actieve krachten: drijvende kracht, wrijvingskracht, zwaartekracht. Reactie in de steun R. We passen de traagheidskracht toe in de tegenovergestelde richting van de versnelling. Volgens het principe van d'Alembert is het systeem van krachten die op het platform inwerken

Arbeid verricht door resulterende kracht
Onder invloed van een krachtensysteem beweegt een punt met massa m van positie M1 naar positie M 2 (Fig. 15.7). Gebruik bij beweging onder invloed van een krachtensysteem

Stroom
Om de prestaties en de snelheid van het werk te karakteriseren, werd het concept van macht geïntroduceerd. Vermogen - verrichte arbeid per tijdseenheid:

Roterende kracht
Rijst. 16.2 Het lichaam beweegt langs een straalboog van punt M1 naar punt M2 M1M2 = φr Krachtarbeid

Efficiëntie
Elke machine en elk mechanisme besteedt tijdens het werk een deel van zijn energie aan het overwinnen van schadelijke weerstanden. Dus de machine (mechanisme) uitgezonderd nuttig werk voert ook nog een extra uit

Momentumveranderingsstelling
De hoeveelheid beweging van een materieel punt wordt genoemd vectorgrootheid, gelijk aan het product van de massa van een punt en zijn snelheid mv. De vector van momentum valt samen met

Stelling over de verandering van kinetische energie
Energie is het vermogen van een lichaam om mechanisch werk te doen. Er zijn twee vormen van mechanische energie: potentiële energie, of positionele energie, en kinetische energie.

Grondbeginselen van de dynamiek van een systeem van materiële punten
Een reeks materiële punten die door interactiekrachten met elkaar zijn verbonden, wordt een mechanisch systeem genoemd. Elk materieel lichaam in de mechanica wordt als mechanisch beschouwd

Basisvergelijking voor de dynamiek van een roterend lichaam
Laten stevig onder invloed van externe krachten roteert het met hoeksnelheid rond de Oz-as

Spanningen
De sectiemethode maakt het mogelijk om de waarde van de interne krachtfactor in de sectie te bepalen, maar maakt het niet mogelijk om de verdelingswet vast te stellen Interne krachten per sectie. Om de sterkte van n te beoordelen

Interne krachtfactoren, spanningen. Constructie van diagrammen
Een idee hebben van longitudinale krachten en normaalspanningen in dwarsdoorsneden. Ken de regels voor het construeren van diagrammen van longitudinale krachten en normaalspanningen, de verdelingswet

Longitudinale krachten
Laten we eens kijken naar een balk die langs zijn as wordt belast met externe krachten. De balk wordt in de muur bevestigd (bevestiging “bevestiging”) (Fig. 20.2a). We verdelen de balk in laadvlakken. Laadruimte met

Geometrische kenmerken van vlakke secties
Heb er een idee over fysieke zin en de procedure voor het bepalen van axiale, centrifugale en polaire traagheidsmomenten rond de centrale hoofdassen en de belangrijkste centrale traagheidsmomenten.

Statisch moment van doorsnedeoppervlak
Laten we een willekeurige sectie bekijken (Fig. 25.1). Als we de sectie verdelen in oneindig kleine gebieden dA en elk gebied vermenigvuldigen met de afstand tot de coördinatenas en de resulterende

Centrifugaal traagheidsmoment
Het centrifugaaltraagheidsmoment van een sectie is de som van de producten van elementaire gebieden genomen over beide coördinaten:

Axiale traagheidsmomenten
Het axiale traagheidsmoment van een sectie ten opzichte van een bepaalde meter die in hetzelfde vlak ligt, wordt de som genoemd van de producten van elementaire gebieden over het hele gebied genomen door het kwadraat van hun afstand

Polair traagheidsmoment van de sectie
Het polaire traagheidsmoment van een sectie ten opzichte van een bepaald punt (pool) is de som van de producten van elementaire gebieden over het hele gebied genomen door het kwadraat van hun afstand tot dit punt:

Traagheidsmomenten van de eenvoudigste secties
Axiale traagheidsmomenten van een rechthoek (Fig. 25.2) Stel je dit direct voor

Polair traagheidsmoment van een cirkel
Bereken voor een cirkel eerst het polaire traagheidsmoment en vervolgens de axiale traagheidsmomenten. Laten we ons een cirkel voorstellen als een verzameling oneindig dunne ringen (Fig. 25.3).

Torsievervorming
Torsie van een ronde balk treedt op wanneer deze wordt belast met krachtenparen met momenten in vlakken loodrecht op de lengteas. In dit geval worden de beschrijvende lijnen van de balk gebogen en geroteerd over een hoek γ,

Hypotheses voor torsie
1. De hypothese van vlakke doorsneden is vervuld: de dwarsdoorsnede van de balk, vlak en loodrecht op de lengteas, blijft na vervorming vlak en loodrecht op de lengteas.

Interne krachtfactoren tijdens torsie
Torsie is een belasting waarbij slechts één interne krachtfactor in de dwarsdoorsnede van de balk voorkomt: koppel. Externe belastingen zijn ook twee

Koppeldiagrammen
Koppelmomenten kunnen variëren langs de as van de balk. Nadat we de waarden van de momenten langs de secties hebben bepaald, construeren we een grafiek van de koppels langs de as van de balk.

Torsiespanning
We tekenen een raster van longitudinale en transversale lijnen op het oppervlak van de balk en beschouwen het patroon dat op het oppervlak is gevormd na Fig. 27.1a vervorming (Fig. 27.1a). Knal

Maximale torsiespanningen
Uit de formule voor het bepalen van spanningen en het diagram van de verdeling van tangentiële spanningen tijdens torsie wordt duidelijk dat de maximale spanningen op het oppervlak optreden. Laten we de maximale spanning bepalen

Soorten sterkteberekeningen
Er zijn twee soorten sterkteberekeningen: 1. Ontwerpberekening - de diameter van de balk (schacht) in het gevaarlijke gedeelte wordt bepaald:

Stijfheidsberekening
Bij het berekenen van de stijfheid wordt de vervorming bepaald en vergeleken met de toegestane vervorming. Laten we eens kijken naar de vervorming van een ronde balk onder invloed van een extern paar krachten met een moment t (Fig. 27.4).

Basisdefinities
Buigen is een soort belasting waarbij een interne krachtfactor (een buigmoment) in de dwarsdoorsnede van de balk verschijnt. Er wordt gewerkt aan hout

Interne krachtfactoren tijdens het buigen
Voorbeeld 1. Beschouw een balk waarop een paar krachten met een moment m en een externe kracht F inwerken (Fig. 29.3a). Om interne krachtfactoren te bepalen, gebruiken we de methode met

Buigmomenten
Een dwarskracht in een doorsnede wordt als positief beschouwd als deze de neiging heeft deze te roteren

Differentiële afhankelijkheden voor directe dwarsbuiging
De constructie van diagrammen van schuifkrachten en buigmomenten wordt aanzienlijk vereenvoudigd door gebruik te maken van differentiële relaties tussen het buigmoment, de schuifkracht en de uniforme intensiteit

De sectiemethode gebruiken De resulterende uitdrukking kan worden gegeneraliseerd
De dwarskracht in de beschouwde sectie is gelijk aan de algebraïsche som van alle krachten die op de balk inwerken tot aan de beschouwde sectie: Q = ΣFi Omdat we praten

Spanningen
Laten we eens kijken naar de buiging van een balk die naar rechts is vastgeklemd en wordt belast met een geconcentreerde kracht F (Fig. 33.1).

Stresstoestand op een gegeven moment
De gespannen toestand op een punt wordt gekenmerkt door normale en tangentiële spanningen die optreden op alle gebieden (secties) die door dit punt gaan. Meestal is het voldoende om bijvoorbeeld te bepalen

Het concept van een complexe vervormde staat
De reeks vervormingen die in verschillende richtingen en in verschillende vlakken door een punt optreden, bepalen de vervormde toestand op dit punt. Complexe vervorming

Berekening van een ronde balk voor buigen met torsie
Bij het berekenen van een ronde balk onder invloed van buiging en torsie (Fig. 34.3), moet rekening worden gehouden met normale en tangentiële spanningen, omdat in beide gevallen de maximale spanningswaarden ontstaan

Het concept van stabiel en onstabiel evenwicht
Relatief korte en massieve staven zijn ontworpen voor compressie, omdat ze falen als gevolg van vernietiging of restvervormingen. Lange hengels met een kleine doorsnede voor actie

Stabiliteitsberekening
De stabiliteitsberekening bestaat uit het bepalen van de toelaatbare drukkracht en, in vergelijking daarmee, de inwerkende kracht:

Berekening met behulp van de formule van Euler
Het probleem van het bepalen van de kritische kracht werd wiskundig opgelost door L. Euler in 1744. Voor een aan beide zijden scharnierende staaf (Fig. 36.2) heeft de formule van Euler de vorm

Kritische spanningen
Kritische spanning is de drukspanning die overeenkomt met de kritische kracht. De spanning van de drukkracht wordt bepaald door de formule

Beperkingen van de toepasbaarheid van de formule van Euler
De formule van Euler is alleen geldig binnen de grenzen van elastische vervormingen. De kritische spanning moet dus kleiner zijn dan de elastische limiet van het materiaal. Vorige