Formules voor het vinden van de oppervlakte van alle figuren. Hoe het gebied van geometrische vormen te vinden

Alle formules voor de oppervlakte van vlakke figuren

Gebied van een gelijkbenige trapezium

1. De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van zijden en hoek

a - lagere basis

b - bovenste basis

c - gelijke zijden

α - hoek aan de onderkant

De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van de zijkanten, (S):

De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van zijden en hoek, (S):

2. De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van de straal van de ingeschreven cirkel

R- straal van de ingeschreven cirkel

D- diameter van de ingeschreven cirkel

O - ingeschreven cirkelcentrum

H- hoogte van de trapezium

α, β - trapeziumhoeken

De formule voor het gebied van een gelijkbenige trapezium in termen van de straal van de ingeschreven cirkel, (S):

EERLIJK, voor een ingeschreven cirkel in een gelijkbenige trapezium:

3. De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van de diagonalen en de hoek ertussen

d-diagonaal van een trapezium

α,β- hoeken tussen diagonalen

De formule voor het gebied van een gelijkbenige trapezium in termen van de diagonalen en de hoek ertussen, (S):

4. De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van midden lijn, zijkant en hoek aan de basis

c-kant

m- middenlijn van de trapezium

α, β - hoeken aan de basis

De formule voor het gebied van een gelijkbenige trapezium in termen van de middellijn, laterale zijde en hoek aan de basis,

(S):

5. De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van bases en hoogte

een - bodembasis

b - bovenste basis

h - de hoogte van de trapezium

De formule voor het gebied van een gelijkbenige trapezium in termen van bases en hoogte, (S):

Gebied van een driehoek gegeven een zijde en twee hoeken, formule.

a, b, c - zijden van de driehoek

α, β, γ - tegenovergestelde hoeken

Oppervlakte van een driehoek door een zijde en twee hoeken (S):

De formule voor de oppervlakte van een regelmatige veelhoek

a - veelhoekzijde

n - aantal zijden

Oppervlakte van een regelmatige veelhoek, (S):

De (Heronische) formule voor de oppervlakte van een driehoek in termen van de halve omtrek (S):

De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek is:

Formules voor het berekenen van de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek.

a - zijde van de driehoek

h - hoogte

Hoe bereken je de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek?

b - de basis van de driehoek

a - gelijke zijden

h - hoogte

3. De formule voor de oppervlakte van een trapezium in termen van vier zijden

een - bodembasis

b - bovenste basis

c, d - zijden

De straal van de omgeschreven cirkel van het trapezium aan de zijkanten en diagonalen

a - de zijkanten van de trapezium

c - bodembasis

b - bovenste basis

d - diagonaal

h - hoogte

De formule voor de straal van de omgeschreven cirkel van een trapezium, (R)

vind de straal van de omgeschreven cirkel van een gelijkbenige driehoek langs de zijkanten

Als je de zijden van een gelijkbenige driehoek kent, kun je de formule gebruiken om de straal van de omgeschreven cirkel rond deze driehoek te vinden.

a, b - zijden van de driehoek

Straal van de omgeschreven cirkel van een gelijkbenige driehoek (R):

Straal van een ingeschreven cirkel in een zeshoek

a - kant van de zeshoek

Straal van een ingeschreven cirkel in een zeshoek, (r):

Straal van een ingeschreven cirkel in een ruit

r - straal van de ingeschreven cirkel

een - kant van de ruit

D, d - diagonalen

h - diamanthoogte

Straal van een ingeschreven cirkel in een gelijkbenig trapezium

c - lagere basis

b - bovenste basis

een - zijkanten

h - hoogte

Straal van een ingeschreven cirkel in een rechthoekige driehoek

a, b - benen van een driehoek

c - schuine zijde

Straal van een ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek

a, b - zijden van de driehoek

Bewijs dat de oppervlakte van de ingeschreven vierhoek is

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

waarbij p de halve omtrek is en a, b, c en d de zijden van de vierhoek zijn.

Bewijs dat de oppervlakte van een vierhoek ingeschreven in een cirkel is

1/2 (ab + cb) sin α, waarbij a, b, c en d de zijden van de vierhoek zijn en α de hoek is tussen de zijden a en b.

S = √[ a ƀ c d] zonde ½ (α + β). - Lees meer op FB.ru:

Het gebied van een willekeurige vierhoek (Fig. 1.13) kan worden uitgedrukt in termen van de zijden a, b, c en de som van een paar tegenoverliggende hoeken:

waarbij p de halve omtrek van de vierhoek is.

De oppervlakte van een vierhoek ingeschreven in een cirkel () (Fig. 1.14, a) wordt berekend met behulp van de Brahmagupta-formule

en beschreven (Fig. 1.14, b) () - volgens de formule

Als de vierhoek tegelijkertijd wordt ingeschreven en beschreven (Fig. 1.14, c), wordt de formule vrij eenvoudig:

Piek Formule

Om de oppervlakte van een veelhoek op geruit papier te schatten, volstaat het om te berekenen hoeveel cellen deze veelhoek beslaat (we nemen de oppervlakte van de cel als een eenheid). Preciezer gezegd, als S de oppervlakte van de veelhoek is, is dit het aantal cellen dat volledig binnen de veelhoek ligt, en is het aantal cellen dat ten minste één gemeenschappelijk punt heeft met het inwendige van de veelhoek.

We zullen hieronder alleen dergelijke polygonen beschouwen, waarvan alle hoekpunten op de knooppunten van het geruite papier liggen - in die waar de rasterlijnen elkaar kruisen. Het blijkt dat je voor dergelijke polygonen de volgende formule kunt specificeren:

waar is het gebied, r is het aantal knooppunten dat strikt binnen de polygoon ligt.

Deze formule wordt de "Piekformule" genoemd, naar de wiskundige die hem in 1899 ontdekte.

Om problemen in de geometrie op te lossen, moet u formules kennen - zoals de oppervlakte van een driehoek of de oppervlakte van een parallellogram - evenals eenvoudige trucs, waar we het over zullen hebben.

Laten we eerst de formules leren voor de gebieden van figuren. We hebben ze speciaal verzameld in een handige tabel. Print, leer en solliciteer!

Natuurlijk staan ​​niet alle geometrieformules in onze tabel. Bijvoorbeeld om problemen in geometrie en stereometrie op te lossen in het tweede deel profiel examen in de wiskunde worden ook andere formules voor de oppervlakte van een driehoek gebruikt. We zullen je er zeker over vertellen.

Maar wat als u niet het gebied van een trapezium of driehoek moet vinden, maar het gebied van een complexe figuur? Eten universele manieren! We laten ze zien aan de hand van voorbeelden uit de FIPI-taakbank.

1. Hoe vind je het gebied van een niet-standaard figuur? Bijvoorbeeld een willekeurige vierhoek? Een eenvoudige techniek - laten we deze figuur opsplitsen in de figuren die we allemaal kennen, en de oppervlakte ervan vinden - als de som van de oppervlakten van deze figuren.

Verdeel deze vierhoek door een horizontale lijn in twee driehoeken met een gemeenschappelijke basis gelijk aan . De hoogten van deze driehoeken zijn gelijk aan en . Dan is de oppervlakte van de vierhoek gelijk aan de som van de oppervlakten van de twee driehoeken: .

Antwoord: .

2. In sommige gevallen kan het gebied van de figuur worden weergegeven als het verschil tussen alle gebieden.

Het is niet zo eenvoudig om uit te rekenen waar de basis en de hoogte in deze driehoek gelijk aan zijn! Maar we kunnen zeggen dat de oppervlakte ervan gelijk is aan het verschil tussen de oppervlakten van een vierkant met een zijde en drie rechthoekige driehoeken. Zie je ze op de foto? We krijgen: .

Antwoord: .

3. Soms is het in een taak nodig om het gebied niet van de hele figuur te vinden, maar van zijn deel. Meestal hebben we het over de oppervlakte van een sector - deel van een cirkel Zoek de oppervlakte van een sector van een cirkel met een straal waarvan de booglengte gelijk is aan .

Op deze foto zien we een deel van een cirkel. De oppervlakte van de hele cirkel is gelijk aan , aangezien . Het blijft om erachter te komen welk deel van de cirkel is afgebeeld. Aangezien de lengte van de hele cirkel (sinds) is en de lengte van de boog van deze sector gelijk is, is de lengte van de boog daarom meerdere malen kleiner dan de lengte van de hele cirkel. De hoek waarop deze boog rust is ook keer kleiner dan een volledige cirkel (dat wil zeggen, graden). Dit betekent dat het gebied van de sector meerdere keren kleiner zal zijn dan het gebied van de hele cirkel.

Wat is een gebied?

Gebied - een kenmerk van een gesloten geometrische figuur (cirkel, vierkant, driehoek, etc.), die de grootte laat zien. Oppervlakte wordt gemeten in vierkante centimeters, meters, enz. Aangeduid met letter S(vierkant).

Hoe de oppervlakte van een driehoek te vinden?

S= A H

Waar A- basislengte H is de hoogte van de driehoek die naar de basis is getrokken.

Bovendien hoeft de basis niet onderaan te liggen. Dat zal ook lukken.

Als driehoek stomp, dan valt de hoogte naar de voortzetting van de basis:

Als driehoek rechthoekig, dan zijn de basis en hoogte de poten:

2. Een andere formule, die niet minder nuttig is, maar die om de een of andere reden altijd wordt vergeten:

S= een b sinα

Waar A En B twee zijden van een driehoek sinα is de sinus van de hoek tussen deze zijden.

De belangrijkste voorwaarde is dat de hoek wordt genomen tussen twee bekende zijden.

3. De formule voor de oppervlakte aan drie zijden (formule van Heron):

S=

Waar A, B En Met zijn de zijden van de driehoek, en R - halve omtrek. P = (a+b+c)/2.

4. De formule voor de oppervlakte van een driehoek in termen van de straal van de omgeschreven cirkel:

S=

Waar A, B En Met zijn de zijden van de driehoek, en R- straal van de omgeschreven cirkel.

5. De formule voor de oppervlakte van een driehoek in termen van de straal van de ingeschreven cirkel:

S= p r

Waar R - halve omtrek van een driehoek, en R- straal van de ingeschreven cirkel.

Hoe vind je de oppervlakte van een rechthoek?

1. De oppervlakte van een rechthoek is vrij eenvoudig:

S=A B

Geen trucs.

Hoe vind je de oppervlakte van een vierkant?

1. Aangezien een vierkant een rechthoek is waarvan alle zijden gelijk zijn, is dezelfde formule hierop van toepassing:

S=A een = a2

2. Ook kan de oppervlakte van een vierkant worden gevonden via de diagonaal:

S= D 2

Hoe het gebied van een parallellogram te vinden?

1. De oppervlakte van een parallellogram wordt gevonden met de formule:

S=A H

Dit komt door het feit dat als je er rechts een rechthoekige driehoek van afsnijdt en deze aan de linkerkant bevestigt, je een rechthoek krijgt:

2. Ook kan het gebied van een parallellogram worden gevonden door de hoek tussen de twee zijden:

S=A b sinα

Hoe de oppervlakte van een ruit te vinden?

Een ruit is in wezen een parallellogram waarin alle zijden gelijk zijn. Daarom zijn dezelfde gebiedsformules erop van toepassing.

1. Ruitgebied qua hoogte:

S=A H