Hoe de vierkantswortel van grote getallen te extraheren. Vierkantswortel

Hoe de wortel te extraheren van het nummer. In dit artikel zullen we leren hoe we de vierkantswortel kunnen nemen van vier- en vijfcijferige getallen.

Laten we als voorbeeld de wortel van 1936 nemen.

Vandaar, .

Het laatste cijfer van het getal 1936 is het getal 6. Het kwadraat van het getal 4 en het getal 6 eindigt op 6. Daarom kan 1936 het kwadraat van het getal 44 of het getal 46 zijn. Het blijft om dit te controleren met behulp van vermenigvuldiging.

Middelen,

Laten we de wortel nemen van het getal 15129.

Vandaar, .

Het laatste cijfer van het getal 15129 is het getal 9. Het kwadraat van het getal 3 en het getal 7 eindigt op 9. Daarom kan 15129 het kwadraat zijn van het getal 123 of het getal 127. Laten we dit controleren met behulp van vermenigvuldiging.

Middelen,

Hoe de root te extraheren - video

En nu stel ik voor dat je de video van Anna Denisova bekijkt - "Hoe de wortel eruit te halen ", auteur van de site" Eenvoudige natuurkunde ", waarin ze uitlegt hoe je vierkante en derdemachtswortels kunt vinden zonder rekenmachine.

In de video worden verschillende manieren besproken om wortels te extraheren:

1. De eenvoudigste manier om de vierkantswortel te extraheren.

2. Door selectie met behulp van het kwadraat van de som.

3. Babylonische methode.

4. Methode voor het extraheren van de vierkantswortel van een kolom.

5. Snelle manier het extraheren van de derdemachtswortel.

6. Methode voor het extraheren van de derdemachtswortel in een kolom.

Het berekenen (of extraheren) van de vierkantswortel kan op verschillende manieren worden gedaan, maar ze zijn niet allemaal erg eenvoudig. Het is natuurlijk gemakkelijker om een ​​rekenmachine te gebruiken. Maar als dit niet mogelijk is (of als je de essentie van de vierkantswortel wilt begrijpen), kan ik je adviseren om de volgende weg te gaan, het algoritme is als volgt:

Als je niet de kracht, het verlangen of het geduld hebt voor zulke langdurige berekeningen, kun je je toevlucht nemen tot een ruwe selectie; het voordeel is dat het ongelooflijk snel is en, met de juiste vindingrijkheid, nauwkeurig. Voorbeeld:

Toen ik op school zat (begin jaren zestig), leerden we de wortel van elk getal te nemen. De techniek is eenvoudig, uiterlijk vergelijkbaar met staartdeling, maar om deze hier te presenteren heb je een half uur tijd en 4-5 duizend tekens tekst nodig. Maar waarom heb je dit nodig? Je hebt een telefoon of ander gadget, nm heeft een rekenmachine. Op elke computer zit een rekenmachine. Persoonlijk voer ik dit soort berekeningen het liefst in Excel uit.

Vaak moet je op school vierkantswortels vinden verschillende nummers. Maar als we gewend zijn hiervoor voortdurend een rekenmachine te gebruiken, dan is dit bij examens niet mogelijk, dus moeten we leren naar de wortel te zoeken zonder de hulp van een rekenmachine. En het is in principe mogelijk om dit te doen.

Het algoritme is als volgt:

Kijk eerst naar het laatste cijfer van uw nummer:

Bijvoorbeeld,

Nu moeten we ongeveer de waarde voor de wortel van de meest linkse groep bepalen

In het geval dat een getal meer dan twee groepen heeft, moet je de wortel als volgt vinden:

Maar het volgende getal zou het grootste moeten zijn, je moet het als volgt kiezen:

Nu moeten we een nieuw getal A vormen door de volgende groep toe te voegen aan de rest die hierboven is verkregen.

In onze voorbeelden:

De kolom is hoger en als er meer dan vijftien tekens nodig zijn, rusten computers en telefoons met rekenmachines meestal. Het blijft de vraag of de beschrijving van de techniek 4-5 duizend tekens zal bevatten.

Neem een ​​willekeurig getal en tel paren cijfers naar rechts en links vanaf de komma

Bijvoorbeeld 1234567890.098765432100

Een paar cijfers is als een getal van twee cijfers. De wortel van een tweecijferig getal is ééncijferig getal. We selecteren een enkel cijfer waarvan het kwadraat kleiner is dan het eerste paar cijfers. In ons geval is dat 3.

Net als bij het delen door een kolom schrijven we dit vierkant onder het eerste paar en trekken het af van het eerste paar. Het resultaat is onderstreept. 12 - 9 = 3. Voeg het tweede paar getallen toe aan dit verschil (het wordt 334). Links van het aantal bermen wordt de dubbele waarde van dat deel van het resultaat dat al is gevonden aangevuld met een getal (we hebben 2 * 6 = 6), zodat dit bij vermenigvuldiging met het niet verkregen getal niet het geval is mag het getal met het tweede paar cijfers niet overschrijden. We krijgen dat het gevonden cijfer vijf is. We vinden opnieuw het verschil (9), voegen het volgende paar cijfers toe om 956 te krijgen, schrijven opnieuw het verdubbelde deel van het resultaat (70) op, vullen het opnieuw aan met het gewenste cijfer, enzovoort totdat het stopt. Of naar de vereiste nauwkeurigheid van berekeningen.

Ten eerste moet je, om de vierkantswortel te berekenen, de tafel van vermenigvuldiging goed kennen. Het meest eenvoudige voorbeelden- dit is 25 (5 bij 5 = 25) enzovoort. Als u complexere getallen neemt, kunt u deze tabel gebruiken, waarbij de horizontale lijn eenheden is en de verticale lijn tientallen.



Eten goede manier hoe je de wortel van een getal kunt vinden zonder de hulp van rekenmachines. Hiervoor heb je een liniaal en een kompas nodig. Het punt is dat je op de liniaal de waarde vindt die onder je wortel ligt. Zet bijvoorbeeld een markering naast 9. Het is jouw taak om dit getal in een gelijk aantal segmenten te verdelen, dat wil zeggen in twee lijnen van elk 4,5 cm, en in een even segment. Het is gemakkelijk te raden dat je uiteindelijk 3 segmenten van elk 3 centimeter krijgt.

De methode is niet eenvoudig voor grote getallen werkt niet, maar kan zonder rekenmachine worden berekend.

zonder de hulp van een rekenmachine werd de methode voor het extraheren van de vierkantswortel aangeleerd Sovjet-tijden op school in groep 8.

Om dit te doen, moet u een meercijferig getal van rechts naar links opsplitsen in randen van 2 cijfers :

Het eerste cijfer van de wortel is de hele wortel van de linkerkant, in dit geval 5.

We trekken 5 kwadraat af van 31, 31-25 = 6 en voegen de volgende zijde toe aan de zes, we hebben 678.

Het volgende cijfer x wordt gekoppeld aan de dubbele vijf, zodat

10x*x was het maximum, maar minder dan 678.

x=6, aangezien 106*6 = 636,

Nu berekenen we 678 - 636 = 42 en voegen de volgende rand 92 toe, we hebben 4292.

Opnieuw zoeken we naar de maximale x zodat 112x*x lt; 4292.

Antwoord: de wortel is 563

Je kunt op deze manier doorgaan zolang als nodig is.

In sommige gevallen kunt u proberen het radicaalgetal in twee of meer kwadraten te ontleden.

Het is ook handig om de tabel (of in ieder geval een deel ervan) te onthouden: vierkanten natuurlijke cijfers van 10 tot 99.



Ik stel een versie voor die ik heb uitgevonden voor het extraheren van de vierkantswortel van een kolom. Het verschilt van de algemeen bekende, met uitzondering van de selectie van cijfers. Maar zoals ik later ontdekte, bestond deze methode al vele jaren voordat ik werd geboren. De grote Isaac Newton beschreef het in zijn boek General Arithmetic of een boek over rekenkundige synthese en analyse. Dus hier presenteer ik mijn visie en grondgedachte voor het algoritme van de Newton-methode. Het is niet nodig om het algoritme te onthouden. Indien nodig kunt u eenvoudig het diagram in de figuur als visueel hulpmiddel gebruiken.







Met behulp van tabellen kun je niet berekenen, maar de vierkantswortels vinden van de getallen die in de tabellen staan. De eenvoudigste manier om niet alleen vierkantswortels, maar ook andere graden te berekenen, is door middel van opeenvolgende benaderingen. We berekenen bijvoorbeeld de vierkantswortel van 10739, vervangen de laatste drie cijfers door nullen en extraheren de wortel van 10.000, we krijgen 100 met een nadeel, dus we nemen het getal 102, kwadrateren het, we krijgen 10404, wat ook minder is dan de gegeven nemen we weer 103*103=10609 met een nadeel, we nemen 103,5*103,5=10712,25, nemen nog meer 103,6*103,6=10732, nemen 103,7*103,7=10753,69, wat al teveel is. Je kunt de wortel van 10739 ongeveer gelijk stellen aan 103,6. Nauwkeuriger gezegd: 10739=103,629... . . Op dezelfde manier berekenen we de derdemachtswortel, eerst krijgen we vanaf 10.000 ongeveer 25*25*25=15625, wat meer is, we nemen 22*22*22=10,648, we nemen iets meer dan 22,06*22,06*22,06=10735 , wat heel dicht bij de gegeven ligt.

Studenten vragen altijd: “Waarom kan ik geen rekenmachine gebruiken bij het wiskunde-examen? Hoe de vierkantswortel van een getal te extraheren zonder rekenmachine? Laten we proberen deze vraag te beantwoorden.

Hoe kun je de vierkantswortel van een getal extraheren zonder de hulp van een rekenmachine?

Actie vierkantswortel omgekeerd aan de actie van kwadrateren.

√81= 9 9 2 =81

Als je de wortel neemt van een positief getal en het resultaat kwadrateert, krijg je hetzelfde getal.

Uit kleine getallen die exacte kwadraten zijn van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kunnen vierkantswortels oraal worden geëxtraheerd. Meestal leren ze op school een tabel met kwadraten van natuurlijke getallen tot twintig. Als u deze tabel kent, is het gemakkelijk om vierkantswortels te extraheren uit de getallen 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Uit getallen groter dan 400 kunt u ze extraheren met behulp van de selectiemethode met behulp van enkele tips. Laten we proberen deze methode met een voorbeeld te bekijken.

Voorbeeld: Pak de wortel van het getal 676 uit.

We merken op dat 20 2 = 400, en 30 2 = 900, wat 20 betekent< √676 < 900.

Exacte kwadraten van natuurlijke getallen eindigen op 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Het getal 6 wordt gegeven door 4 2 en 6 2.
Dit betekent dat als de wortel uit 676 wordt gehaald, deze 24 of 26 is.

Het blijft om te controleren: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Antwoord: √676 = 26 .

Meer voorbeeld: √6889 .

Omdat 80 2 = 6400 en 90 2 = 8100, dan 80< √6889 < 90.
Het getal 9 wordt gegeven door 3 2 en 7 2, waarna √6889 gelijk is aan 83 of 87.

Laten we eens kijken: 83 2 = 6889.

Antwoord: √6889 = 83 .

Als u het moeilijk vindt om dit op te lossen met behulp van de selectiemethode, kunt u de radicale uitdrukking factoriseren.

Bijvoorbeeld, zoek √893025.

Laten we het getal 893025 in factoren tellen. Onthoud dat je dit in de zesde klas deed.

We krijgen: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Meer voorbeeld: √20736. Laten we het getal 20736 ontbinden in factoren:

We krijgen √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Natuurlijk vereist factorisatie kennis van deelbaarheidstekens en vaardigheden op het gebied van factorisatie.

En eindelijk is dat zo regel voor het extraheren van vierkantswortels. Laten we kennis maken met deze regel met voorbeelden.

Bereken √279841.

Om de wortel van een meercijferig geheel getal te bepalen, verdelen we het van rechts naar links in vlakken met twee cijfers (de meest linkse rand kan één cijfer bevatten). We schrijven het zo: 27’98’41

Om het eerste cijfer van de wortel (5) te verkrijgen, nemen we de vierkantswortel van het grootste perfecte vierkant in het eerste vlak aan de linkerkant (27).
Vervolgens wordt het kwadraat van het eerste cijfer van de wortel (25) afgetrokken van het eerste vlak en wordt het volgende vlak (98) opgeteld bij het verschil (afgetrokken).
Schrijf links van het resulterende getal 298 het dubbele cijfer van de wortel (10), deel daarmee het getal van alle tientallen van het eerder verkregen getal (29/2 ≈ 2), test het quotiënt (102 ∙ 2 = 204 mag niet meer zijn dan 298) en schrijf (2) na het eerste cijfer van de wortel.
Vervolgens wordt het resulterende quotiënt 204 afgetrokken van 298 en wordt de volgende rand (41) opgeteld bij het verschil (94).
Schrijf links van het resulterende getal 9441 het dubbele product van de cijfers van de wortel (52 ∙2 = 104), deel het getal van alle tientallen van het getal 9441 (944/104 ≈ 9) door dit product, test de quotiënt (1049 ∙9 = 9441) moet 9441 zijn en noteer dit (9) na het tweede cijfer van de wortel.

We kregen het antwoord √279841 = 529.

Op dezelfde manier extraheren wortels van decimale breuken. Alleen het radicale getal moet in vlakken worden verdeeld, zodat de komma tussen de vlakken staat.

Voorbeeld. Zoek de waarde √0,00956484.

Je hoeft alleen maar te onthouden dat als decimale een oneven aantal decimalen heeft, kan de vierkantswortel er niet precies uit worden afgeleid.

Dus nu heb je drie manieren gezien om de wortel te extraheren. Kies degene die het beste bij u past en oefen. Om problemen te leren oplossen, moet je ze oplossen. En als u vragen heeft, .

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.

Er zijn verschillende methoden om de vierkantswortel te berekenen zonder rekenmachine.

Hoe je de wortel van een getal kunt vinden - 1 manier

• Eén methode is om het getal onder de wortel in factoren te ontbinden. Deze componenten vormen, wanneer ze worden vermenigvuldigd, een radicale waarde. De nauwkeurigheid van het resultaat hangt af van het getal onder de wortel.
• Als u bijvoorbeeld het getal 1.600 neemt en dit begint te ontbinden, wordt de redenering als volgt opgebouwd: dit getal is een veelvoud van 100, wat betekent dat het gedeeld kan worden door 25; aangezien de wortel van het getal 25 wordt genomen, is het getal vierkant en geschikt voor verdere berekeningen; bij het delen krijgen we een ander getal - 64. Dit getal is ook vierkant, dus de wortel kan goed worden geëxtraheerd; Na deze berekeningen kun je onder de wortel het getal 1600 schrijven als het product van 25 en 64.

• Een van de regels voor het extraheren van een wortel stelt dat de wortel van het product van factoren gelijk is aan het getal dat wordt verkregen door de wortels van elke factor te vermenigvuldigen. Dit betekent dat: √(25*64) = √25 * √64. Als we de wortels van 25 en 64 nemen, krijgen we de volgende uitdrukking: 5 * 8 = 40. Dat wil zeggen, de vierkantswortel van het getal 1600 is 40.
• Maar het komt voor dat het getal onder de wortel niet kan worden ontleed in twee factoren, waaruit de hele wortel wordt gehaald. Normaal gesproken kan dit alleen voor één van de vermenigvuldigers worden gedaan. Daarom is het meestal niet mogelijk om in een dergelijke vergelijking een absoluut exact antwoord te vinden.
• In dit geval kan slechts een geschatte waarde worden berekend. Daarom moet je de wortel van de vermenigvuldiger nemen, wat een vierkant getal is. Deze waarde wordt vervolgens vermenigvuldigd met de wortel van het tweede getal dat niet de kwadratische term van de vergelijking is.
• Het ziet er zo uit, laten we bijvoorbeeld het getal 320 nemen. Het kan worden ontleed in 64 en 5. Je kunt de hele wortel uit 64 halen, maar niet uit 5. Daarom zal de uitdrukking er als volgt uitzien: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
• Indien nodig kunt u door berekening de geschatte waarde van dit resultaat vinden
  √5 ≈ 2,236, dus √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
• Ook kan het getal onder de wortel in meerdere worden ontleed voornaamste factoren, en identieke exemplaren kunnen eronder worden verwijderd. Voorbeeld: √75 = √(5*5*3) ​​​​= 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Hoe de wortel van een getal te vinden - methode 2

• Een andere manier is om staartdelingen te doen. Delen gebeurt op een vergelijkbare manier, maar je hoeft alleen maar naar vierkante getallen te zoeken, waaruit je vervolgens de wortel kunt halen.
• In dit geval vierkant getal we schrijven bovenaan en trekken het af van de linkerkant, en de geëxtraheerde wortel van onderaf.
• Nu moet de tweede waarde worden verdubbeld en van rechtsonder worden geschreven in de vorm: getal_x_=. De gaten moeten worden opgevuld met een getal dat kleiner is dan of gelijk is aan de vereiste waarde aan de linkerkant - net als bij een normale deling.
• Indien nodig wordt dit resultaat opnieuw van links afgetrokken. Dergelijke berekeningen gaan door totdat het resultaat is bereikt. U kunt ook nullen toevoegen totdat u het gewenste aantal decimalen bereikt.