Uit de praktijk van het Unified State Exam en State Examination van vorig jaar blijkt dat geometrieproblemen voor veel schoolkinderen problemen opleveren. Je kunt er gemakkelijk mee omgaan als je alle noodzakelijke formules uit je hoofd leert en oefent met het oplossen van problemen.

In dit artikel ziet u formules voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium, evenals voorbeelden van problemen met oplossingen. Het kan zijn dat je dezelfde tegenkomt in KIM’s tijdens certificeringsexamens of op Olympiades. Behandel ze daarom zorgvuldig.

Wat moet je weten over het trapezium?

Laten we dat om te beginnen niet vergeten trapezium wordt een vierhoek genoemd waarin twee tegenoverliggende zijden, ook wel bases genoemd, evenwijdig zijn, en de andere twee niet.

Bij een trapezium kan de hoogte (loodrecht op de basis) ook verlaagd worden. De middelste lijn wordt getrokken - dit is een rechte lijn die evenwijdig loopt aan de bases en gelijk is aan de helft van hun som. Evenals diagonalen die elkaar kunnen kruisen en scherpe en stompe hoeken vormen. Of, in sommige gevallen, in een rechte hoek. Als het trapezium bovendien gelijkbenig is, kan er een cirkel in worden ingeschreven. En beschrijf er een cirkel omheen.

Formules voor trapeziumoppervlakken

Laten we eerst eens kijken naar de standaardformules voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium. We zullen hieronder manieren overwegen om het gebied van gelijkbenige en kromlijnige trapeziums te berekenen.

Stel je dus voor dat je een trapezium hebt met basis a en b, waarbij de hoogte h wordt verlaagd naar de grotere basis. Het berekenen van de oppervlakte van een figuur is in dit geval net zo eenvoudig als het pellen van peren. Je hoeft alleen maar de som van de lengtes van de bases door twee te delen en het resultaat te vermenigvuldigen met de hoogte: S = 1/2(a + b)*h.

Laten we een ander geval nemen: stel dat er in een trapezium, naast de hoogte, een middellijn m is. We kennen de formule om de lengte te vinden middenlijn: m = 1/2(a + b). Daarom kunnen we met recht de formule voor de oppervlakte van een trapezium vereenvoudigen tot de volgende vorm: S = m* u. Met andere woorden, om de oppervlakte van een trapezium te vinden, moet je de middellijn vermenigvuldigen met de hoogte.

Laten we een andere optie overwegen: het trapezium bevat diagonalen d 1 en d 2, die elkaar niet kruisen onder een rechte hoek α. Om de oppervlakte van zo'n trapezium te berekenen, moet je het product van de diagonalen door twee delen en het resultaat vermenigvuldigen met de zonde van de hoek ertussen: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Beschouw nu de formule voor het vinden van de oppervlakte van een trapezium als er niets over bekend is behalve de lengtes van alle zijden: a, b, c en d. Dit is een omslachtige en complexe formule, maar het is handig om deze te onthouden voor het geval dat: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Overigens gelden de bovenstaande voorbeelden ook voor het geval dat je de formule nodig hebt voor de oppervlakte van een rechthoekig trapezium. Dit is een trapezium, waarvan de zijkant in een rechte hoek aansluit op de bases.

Gelijkbenig trapezium

Een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn, wordt gelijkbenig genoemd. We zullen verschillende opties voor de gebiedsformule overwegen gelijkbenig trapezium.

Eerste optie: voor het geval waarin een cirkel met straal r is ingeschreven in een gelijkbenige trapezium, en de zijkant en de grotere basis een scherpe hoek α vormen. Een cirkel kan in een trapezium worden ingeschreven, op voorwaarde dat de som van de lengtes van de basis gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.

De oppervlakte van een gelijkbenig trapezium wordt als volgt berekend: vermenigvuldig het kwadraat van de straal van de ingeschreven cirkel met vier en deel het geheel door sinα: S = 4r 2 /sinα. Een andere oppervlakteformule is een speciaal geval voor de optie wanneer de hoek tussen de grote basis en de zijkant 30 0 is: S = 8r2.

Tweede optie: deze keer nemen we een gelijkbenige trapezium, waarin bovendien de diagonalen d 1 en d 2 zijn getekend, evenals de hoogte h. Als de diagonalen van een trapezium onderling loodrecht staan, is de hoogte de helft van de som van de basissen: h = 1/2(a + b). Als je dit weet, is het gemakkelijk om de formule voor het gebied van een trapezium dat je al kent om te zetten in deze vorm: S = u2.

Formule voor de oppervlakte van een gebogen trapezium

Laten we beginnen met uitzoeken wat een gebogen trapezium is. Stel je een coördinatenas voor en een grafiek van een continue en niet-negatieve functie f die niet van teken verandert binnen een bepaald segment op de x-as. Een kromlijnig trapezium wordt gevormd door de grafiek van de functie y = f(x) - bovenaan bevindt de x-as zich onderaan (segment), en aan de zijkanten - rechte lijnen getrokken tussen de punten a en b en de grafiek van de functie.

Het is onmogelijk om het gebied van zo'n niet-standaard figuur te berekenen met behulp van de bovenstaande methoden. Hier moet u wiskundige analyse toepassen en de integraal gebruiken. Namelijk: de Newton-Leibniz-formule - S = ∫ b een f(x)dx = F(x)│ b een = F(b) – F(a). In deze formule is F de primitief van onze functie op het geselecteerde segment. En het gebied gebogen trapezium komt overeen met de toename van de primitief op een bepaald segment.

Voorbeeld problemen

Om al deze formules begrijpelijker te maken in je hoofd, volgen hier enkele voorbeelden van problemen bij het vinden van de oppervlakte van een trapezium. Het beste is als u eerst zelf probeert de problemen op te lossen en pas daarna het antwoord dat u krijgt, vergelijkt met de kant-en-klare oplossing.

Taak 1: Gegeven een trapezium. De grotere basis is 11 cm, de kleinere is 4 cm. Het trapezium heeft diagonalen, één 12 cm lang, de tweede 9 cm.

Oplossing: Construeer een trapeziumvormige AMRS. Trek een rechte lijn РХ door hoekpunt P, zodat deze evenwijdig is aan de diagonaal MC en de rechte lijn AC snijdt in punt X. Je krijgt een driehoek APХ.

We zullen twee figuren beschouwen die als resultaat van deze manipulaties zijn verkregen: driehoek APX en parallellogram CMRX.

Dankzij het parallellogram leren we dat PX = MC = 12 cm en CX = MR = 4 cm. Van waaruit we de zijde AX van de driehoek ARX kunnen berekenen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

We kunnen ook bewijzen dat de driehoek APX rechthoekig is (pas hiervoor de stelling van Pythagoras toe - AX 2 = AP 2 + PX 2). En bereken de oppervlakte: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Vervolgens moet je bewijzen dat de driehoeken AMP en PCX even groot zijn. De basis zal de gelijkheid van de partijen MR en CX zijn (hierboven al bewezen). En ook de hoogtes die je aan deze zijkanten laat zakken - deze zijn gelijk aan de hoogte van het AMRS-trapezium.

Dit alles zal je toelaten om te zeggen dat S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Taak #2: De trapezium-KRMS wordt gegeven. Op de zijkanten bevinden zich punten O en E, terwijl OE en KS evenwijdig zijn. Het is ook bekend dat de oppervlakten van de trapeziums ORME en OKSE een verhouding van 1:5 hebben. RM = a en KS = b. Je moet OE vinden.

Oplossing: Trek een lijn evenwijdig aan RK door punt M, en geef het snijpunt met OE aan als T. A is het snijpunt van een lijn getrokken door punt E evenwijdig aan RK met de basis KS.

Laten we nog een notatie introduceren: OE = x. En ook de hoogte h 1 voor de driehoek TME en de hoogte h 2 voor de driehoek AEC (je kunt de gelijkenis van deze driehoeken onafhankelijk bewijzen).

We nemen aan dat b > a. De oppervlakten van de trapeziums ORME en OKSE hebben de verhouding 1:5, wat ons het recht geeft om de volgende vergelijking te maken: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Laten we transformeren en krijgen: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Omdat de driehoeken TME en AEC gelijkvormig zijn, geldt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Laten we beide waarden combineren en zo krijgen: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Dus OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusie

Meetkunde is niet de gemakkelijkste wetenschappen, maar je kunt de examenvragen zeker aan. Het is voldoende om tijdens de voorbereiding een beetje doorzettingsvermogen te tonen. En onthoud natuurlijk alle noodzakelijke formules.

We hebben geprobeerd alle formules voor het berekenen van de oppervlakte van een trapezium op één plek te verzamelen, zodat je ze kunt gebruiken bij het voorbereiden op examens en het herzien van de stof.

Zorg ervoor dat je je klasgenoten en vrienden over dit artikel vertelt. in sociale netwerken. Laten goede cijfers er komt nog meer voor het Unified State Examination en State Examination Test!

blog.site is bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal een link naar de originele bron vereist.

Instructies

Om beide methoden begrijpelijker te maken, kunnen we een paar voorbeelden geven.

Voorbeeld 1: de lengte van de middellijn van het trapezium is 10 cm, de oppervlakte is 100 cm². Om de hoogte van dit trapezium te vinden, moet je het volgende doen:

h = 100/10 = 10 cm

Antwoord: de hoogte van dit trapezium is 10 cm

Voorbeeld 2: de oppervlakte van het trapezium is 100 cm², de lengtes van de basissen zijn 8 cm en 12 cm. Om de hoogte van dit trapezium te vinden, moet je de volgende actie uitvoeren:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Antwoord: de hoogte van dit trapezium is 20 cm

opmerking

Er zijn verschillende soorten trapeziums:
Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn aan elkaar.
Een rechthoekig trapezium is een trapezium waarin een van de interne hoeken gelijk aan 90 graden.
Het is vermeldenswaard dat in een rechthoekig trapezium de hoogte samenvalt met de lengte van de zijkant juiste hoek.
Je kunt een cirkel rond een trapezium beschrijven, of deze in een bepaalde figuur passen. Je kunt een cirkel alleen inschrijven als de som van de bases gelijk is aan de som van de tegenoverliggende zijden. Een cirkel kan alleen worden beschreven rond een gelijkbenig trapezium.

Behulpzaam advies

Een parallellogram is een speciaal geval van een trapezium, omdat de definitie van een trapezium op geen enkele manier in tegenspraak is met de definitie van een parallellogram. Een parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar zijn. Voor een trapezium heeft de definitie alleen betrekking op een paar zijden. Daarom is elk parallellogram ook een trapezium. De omgekeerde bewering is niet waar.

Bronnen:

• hoe je het gebied van een trapeziumformule kunt vinden

Tip 2: Hoe de hoogte van een trapezium te vinden als het gebied bekend is

Een trapezium is een vierhoek waarvan twee van de vier zijden evenwijdig aan elkaar zijn. De evenwijdige zijden zijn de basis van de gegeven zijde, de andere twee zijn de zijkanten van de gegeven zijde. trapeziums. Vinden hoogte trapeziums, indien gekend vierkant, het zal heel gemakkelijk zijn.

Instructies

Je moet uitzoeken hoe je moet berekenen vierkant origineel trapeziums. Hiervoor bestaan ​​verschillende formules, afhankelijk van de initiële gegevens: S = ((a+b)*h)/2, waarbij a en b basen zijn trapeziums, en h is de hoogte (Height trapeziums- loodrecht, neergelaten vanaf één basis trapeziums naar een ander);
S = m*h, waarbij m lijn is trapeziums(De middelste lijn is een segment met bases trapeziums en het verbinden van de middelpunten van de zijkanten).

Om het duidelijker te maken, kunnen soortgelijke problemen worden overwogen: Voorbeeld 1: Gegeven een trapezium met vierkant 68 cm², waarvan de middelste lijn 8 cm is, moet je vinden hoogte gegeven trapeziums. Om dit probleem op te lossen, moet je de eerder afgeleide formule gebruiken:
h = 68/8 = 8,5 cm Antwoord: hoogte hiervan trapeziums is 8,5 cmVoorbeeld 2: Laat y trapeziums vierkant is gelijk aan 120 cm², de lengte van de basis hiervan trapeziums 8 cm en 12 cm moet je respectievelijk vinden hoogte dit trapeziums. Om dit te doen, moet u een van de afgeleide formules toepassen:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmAntwoord: gegeven hoogte trapeziums gelijk aan 12 cm

Video over het onderwerp

opmerking

Elke trapezium heeft een aantal eigenschappen:

De middellijn van een trapezium is gelijk aan de helft van de som van zijn bases;

Het segment dat de diagonalen van een trapezium verbindt, is gelijk aan de helft van het verschil tussen de basissen;

Als een rechte lijn door de middelpunten van de bases wordt getrokken, zal deze het snijpunt van de diagonalen van het trapezium snijden;

Een cirkel kan in een trapezium worden ingeschreven als de som van de basissen van het trapezium gelijk is aan de som van de zijden.

Gebruik deze eigenschappen bij het oplossen van problemen.

Tip 3: Hoe de oppervlakte van een trapezium te vinden als de bases bekend zijn

Door geometrische definitie Een trapezium is een vierhoek waarvan slechts één paar zijden evenwijdig is. Deze kanten zijn van haar redenen. Afstand tussen redenen hoogte genoemd trapeziums. Vinden vierkant trapeziums mogelijk met behulp van geometrische formules.

Instructies

Meet de basis en trapeziums ABCD. Meestal worden ze gegeven in taken. Binnenlaten in dit voorbeeld taken stichting AD (a) trapeziums zal gelijk zijn aan 10 cm, basis BC (b) - 6 cm, hoogte trapeziums BK (h) - 8 cm Gebruik geometrisch om het gebied te vinden trapeziums, als de lengtes van de basis en de hoogte bekend zijn - S= 1/2 (a+b)*h, waarbij: - a - de grootte van de basis AD trapeziums ABCD, - b - de waarde van de basis BC, - h - de waarde van de hoogte BK.

Gebied van een trapezium. Groeten! In deze publicatie zullen we deze formule bekijken. Waarom is ze precies zo en hoe kun je haar begrijpen. Als er begrip is, hoef je het niet te onderwijzen. Als je deze formule alleen maar dringend wilt bekijken, dan kun je meteen naar beneden scrollen op de pagina))

Nu gedetailleerd en in orde.

Een trapezium is een vierhoek, twee zijden van deze vierhoek zijn evenwijdig, de andere twee niet. Degenen die niet evenwijdig zijn, zijn de basis van het trapezium. De andere twee worden zijden genoemd.

Als de zijden gelijk zijn, wordt de trapezium gelijkbenig genoemd. Als een van de zijden loodrecht op de basis staat, wordt zo'n trapezium rechthoekig genoemd.

IN klassieke vorm Het trapezium wordt als volgt weergegeven: de grotere basis bevindt zich onderaan en de kleinere basis bevindt zich bovenaan. Maar niemand verbiedt haar af te beelden en omgekeerd. Hier zijn de schetsen:

Volgende belangrijk concept.

De middellijn van een trapezium is een segment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt. De middelste lijn is evenwijdig aan de basis van het trapezium en gelijk aan hun halve som.

Laten we nu dieper graven. Waarom is dit zo?

Beschouw een trapezium met bases a en b en met de middenlijn l, en voer enkele aanvullende constructies uit: trek rechte lijnen door de basissen, en loodlijnen door de uiteinden van de middellijn totdat ze de basissen kruisen:

*Letteraanduidingen voor hoekpunten en andere punten zijn niet opzettelijk opgenomen om onnodige aanduidingen te voorkomen.

Kijk, driehoeken 1 en 2 zijn gelijk volgens het tweede teken van gelijkheid van driehoeken, driehoeken 3 en 4 zijn hetzelfde. Uit de gelijkheid van driehoeken volgt de gelijkheid van de elementen, namelijk de benen (ze zijn respectievelijk aangegeven in blauw en rood).

Nu aandacht! Als we mentaal de blauwe en rode segmenten van de onderste basis "afsnijden", dan houden we een segment over (dit is de zijkant van de rechthoek) gelijk aan de middelste lijn. Als we vervolgens de uitgesneden blauwe en rode segmenten aan de bovenste basis van de trapezium "lijmen", krijgen we ook een segment (dit is ook de zijkant van de rechthoek) gelijk aan de middellijn van de trapezium.

Begrepen? Het blijkt dat de som van de bases gelijk zal zijn aan de twee middelste lijnen van de trapezium:

Bekijk een andere uitleg

Laten we het volgende doen: construeer een rechte lijn die door de onderste basis van het trapezium gaat en een rechte lijn die door de punten A en B gaat:

We krijgen driehoeken 1 en 2, ze zijn gelijk langs de zijkant en aangrenzende hoeken (het tweede teken van gelijkheid van driehoeken). Dit betekent dat het resulterende segment (in de schets aangegeven in blauw) gelijk is aan de bovenste basis van de trapezium.

Beschouw nu de driehoek:

*De middellijn van dit trapezium en de middellijn van de driehoek vallen samen.

Het is bekend dat een driehoek gelijk is aan de helft van de basis die evenwijdig daaraan loopt, dat wil zeggen:

Oké, we zijn er achter gekomen. Nu over het gebied van de trapezium.

Formule voor trapeziumoppervlak:

Ze zeggen: de oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het product van de helft van de som van de bases en de hoogte.

Dat wil zeggen, het blijkt dat het gelijk is aan het product van de middellijn en de hoogte:

Je hebt waarschijnlijk al gemerkt dat dit duidelijk is. Geometrisch kan dit als volgt worden uitgedrukt: als we driehoeken 2 en 4 mentaal van het trapezium afsnijden en ze respectievelijk op driehoeken 1 en 3 plaatsen:

Dan krijgen we een rechthoek met een oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van ons trapezium. De oppervlakte van deze rechthoek is gelijk aan het product van de middellijn en de hoogte, dat wil zeggen dat we kunnen schrijven:

Maar het gaat hier natuurlijk niet om het schrijven, maar om het begrijpen.

Download (bekijk) artikelmateriaal in *pdf-formaat

Dat is alles. Veel succes!

Met vriendelijke groet, Alexander.

EN . Nu kunnen we beginnen na te denken over de vraag hoe we het gebied van een trapezium kunnen vinden. Deze taak komt zeer zelden voor in het dagelijks leven, maar soms blijkt het bijvoorbeeld nodig te zijn om de oppervlakte van een kamer in de vorm van een trapezium te vinden, die steeds vaker in de bouw wordt gebruikt moderne appartementen, of in renovatieontwerpprojecten.

Trapezium is geometrische figuur, gevormd door vier elkaar kruisende segmenten, waarvan er twee evenwijdig aan elkaar zijn en de basis van een trapezium worden genoemd. De andere twee segmenten worden de zijkanten van het trapezium genoemd. Bovendien hebben we later een andere definitie nodig. Dit is de middellijn van de trapezium, een segment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt en de hoogte van de trapezium, die gelijk is aan de afstand tussen de bases.
Net als driehoeken hebben trapeziums speciale typen in de vorm van een gelijkbenige (gelijkzijdige) trapezium, waarbij de lengtes van de zijden hetzelfde zijn, en een rechthoekig trapezium, waarbij een van de zijden een rechte hoek vormt met de basis.

Trapezes hebben een aantal interessante eigenschappen:

1. De middellijn van het trapezium is gelijk aan de helft van de som van de bases en is evenwijdig daaraan.
   
2. Gelijkbenige trapeziums hebben gelijke zijden en de hoeken die ze vormen met de basis.
   
3. De middelpunten van de diagonalen van een trapezium en het snijpunt van de diagonalen liggen op dezelfde rechte lijn.
   
4. Als de som van de zijden van een trapezium gelijk is aan de som van de bases, dan kan er een cirkel in worden ingeschreven
   
5. Als de som van de hoeken gevormd door de zijden van een trapezium aan een van zijn bases 90 is, dan is de lengte van het segment dat de middelpunten van de bases verbindt gelijk aan hun halve verschil.
   
6. Een gelijkbenig trapezium kan worden beschreven door een cirkel. En vice versa. Als een trapezium in een cirkel past, is het gelijkbenig.
   
7. Het segment dat door de middelpunten van de bases van een gelijkbenige trapezium gaat, staat loodrecht op de bases en vertegenwoordigt de symmetrieas.
   

Hoe het gebied van een trapezium te vinden.

Het oppervlak van het trapezium zal gelijk zijn aan de helft van de som van de bases vermenigvuldigd met de hoogte. In formulevorm wordt dit geschreven als een uitdrukking:

waarbij S het gebied van het trapezium is, a, b is de lengte van elk van de bases van het trapezium, h is de hoogte van het trapezium.

U kunt deze formule als volgt begrijpen en onthouden. Zoals uit de onderstaande figuur blijkt, kan een trapezium met behulp van de middellijn worden omgezet in een rechthoek, waarvan de lengte gelijk is aan de helft van de som van de bases.

Je kunt elk trapezium ook ontleden in eenvoudiger figuren: een rechthoek en een of twee driehoeken, en als het gemakkelijker voor je is, vind dan de oppervlakte van het trapezium als de som van de gebieden van de samenstellende figuren.

Er is nog een eenvoudige formule om het gebied te berekenen. Volgens dit is de oppervlakte van een trapezium gelijk aan het product van zijn middellijn door de hoogte van de trapezium en wordt geschreven in de vorm: S = m*h, waarbij S het gebied is, m de lengte van de trapezium. middellijn, h is de hoogte van het trapezium. Deze formule is geschikter voor wiskundeproblemen dan voor alledaagse problemen, omdat je in reële omstandigheden de lengte van de middellijn niet kent zonder voorafgaande berekeningen. En je kent alleen de lengtes van de basis en zijkanten.

In dit geval kan het gebied van het trapezium worden gevonden met behulp van de formule:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

waarbij S het gebied is, a, b zijn de bases, c, d zijn de zijkanten van het trapezium.

Er zijn verschillende andere manieren om de oppervlakte van een trapezium te vinden. Maar ze zijn ongeveer net zo lastig als de laatste formule, wat betekent dat het geen zin heeft om er bij stil te staan. Daarom raden we u aan de eerste formule uit het artikel te gebruiken en willen we dat u altijd nauwkeurige resultaten krijgt.