Wat zijn vector- en scalaire grootheden. Vectorhoeveelheid in de natuurkunde

24.09.2019

(tensoren van rang 0), aan de andere kant tensorgrootheden (strikt genomen tensoren van rang 2 of hoger). Het kan ook worden gecontrasteerd met bepaalde objecten van een geheel andere wiskundige aard.

In de meeste gevallen wordt de term vector in de natuurkunde gebruikt om een vector aan te duiden in de zogenaamde ‘fysieke ruimte’, dat wil zeggen in de gebruikelijke driedimensionale ruimte van de klassieke natuurkunde of in de vierdimensionale ruimte-tijd in de moderne natuurkunde ( in het laatste geval valt het concept van een vector en een vectorgrootheid samen met het concept van 4-vector en 4-vectorhoeveelheid).

Het gebruik van de uitdrukking “vectorhoeveelheid” is hierdoor praktisch uitgeput. Wat het gebruik van de term ‘vector’ betreft, ondanks de standaardneiging tot hetzelfde toepassingsgebied, gaat deze in een groot aantal gevallen nog steeds ver buiten deze grenzen. Zie hieronder voor meer informatie.

Gebruik van termen vector En vectorhoeveelheid in de natuurkunde

Over het algemeen valt het concept van een vector in de natuurkunde vrijwel volledig samen met dat in de wiskunde. Er is echter een terminologische specificiteit verbonden aan het feit dat dit concept in de moderne wiskunde enigszins overdreven abstract is (in relatie tot de behoeften van de natuurkunde).

In de wiskunde verstaat men bij het uitspreken van ‘vector’ eerder een vector in het algemeen, dat wil zeggen elke vector van een abstracte lineaire ruimte van welke dimensie en aard dan ook, die, tenzij speciale inspanningen worden geleverd, zelfs tot verwarring kan leiden (niet zozeer natuurlijk, in essentie, wat betreft gebruiksgemak). Als het nodig is om specifieker te zijn, moet men in de wiskundige stijl ofwel uitvoerig spreken (“vector van die en die ruimte”), ofwel in gedachten houden wat er wordt geïmpliceerd door de expliciet beschreven context.

In de natuurkunde hebben we het bijna altijd niet over wiskundige objecten (die bepaalde formele eigenschappen bezitten) in het algemeen, maar over hun specifieke (“fysieke”) verbinding. Als we deze overwegingen van specificiteit in aanmerking nemen, samen met overwegingen van beknoptheid en gemak, kan het duidelijk zijn dat de terminologische praktijk in de natuurkunde aanzienlijk verschilt van die in de wiskunde. Het is echter niet in duidelijke tegenspraak met dit laatste. Dit kan worden bereikt met een paar eenvoudige ‘trucjes’. In de eerste plaats omvat dit de afspraak over het standaardgebruik van de term (wanneer de context niet specifiek is gespecificeerd). Dus in de natuurkunde betekent het woord vector, in tegenstelling tot de wiskunde, zonder aanvullende verduidelijking meestal niet ‘een of andere vector van een lineaire ruimte in het algemeen’, maar in de eerste plaats een vector die geassocieerd wordt met ‘gewone fysieke ruimte’ (de driedimensionale ruimte van de klassieke natuurkunde of de vierdimensionale ruimte-tijd van de relativistische fysica). Voor vectoren van ruimtes die niet direct en direct gerelateerd zijn aan “fysieke ruimte” of “ruimte-tijd”, worden speciale namen gebruikt (soms inclusief het woord “vector”, maar met verduidelijking). Als een vector van een ruimte die niet direct en direct gerelateerd is aan ‘fysieke ruimte’ of ‘ruimte-tijd’ (en die moeilijk onmiddellijk op een specifieke manier te karakteriseren is) in de theorie wordt geïntroduceerd, wordt deze vaak specifiek beschreven als een ‘ abstracte vector”.

Alles wat erin werd gezegd in grotere mate, dan verwijst de term "vector" naar de term "vectorhoeveelheid". De stilte impliceert in dit geval zelfs nog strikter een binding met de ‘gewone ruimte’ of ruimte-tijd, en het gebruik van abstracte vectorruimten in relatie tot elementen komt bijna nooit voor; een dergelijk gebruik lijkt tenminste de zeldzaamste uitzondering te zijn (als helemaal geen reservering).

In de natuurkunde worden vectoren en vectorgrootheden (bijna altijd) vectoren van twee klassen genoemd die op elkaar lijken:

Voorbeelden van fysieke vectorgrootheden: snelheid, kracht, warmtestroom.

Ontstaan van vectorgrootheden

Hoe zijn fysieke ‘vectorgrootheden’ gerelateerd aan de ruimte? Allereerst is het opvallend dat de dimensie van vectorgrootheden (in de gebruikelijke betekenis van het gebruik van deze term, die hierboven is uitgelegd) samenvalt met de dimensie van dezelfde ‘fysieke’ (en ‘geometrische’) ruimte, namelijk De ruimte is bijvoorbeeld driedimensionaal en de vector van elektrische velden is driedimensionaal. Intuïtief kan men ook opmerken dat elke fysieke vectorgrootheid, ongeacht het vage verband dat deze heeft met de gewone ruimtelijke uitbreiding, niettemin een zeer bepaalde richting heeft in deze gewone ruimte.

Het blijkt echter dat er veel meer kan worden bereikt door de hele reeks vectorgrootheden van de natuurkunde direct te ‘reduceren’ tot de eenvoudigste ‘geometrische’ vectoren, of liever zelfs tot één vector: de vector van elementaire verplaatsing, en het zou meer zijn juist om te zeggen - door ze er allemaal uit af te leiden.

Deze procedure heeft twee verschillende (hoewel ze elkaar in essentie in detail herhalen) implementaties voor het driedimensionale geval van de klassieke natuurkunde en voor de vierdimensionale ruimte-tijdformulering die gebruikelijk is in de moderne natuurkunde.

Klassieke 3D-behuizing

We vertrekken vanuit de gebruikelijke driedimensionale ‘geometrische’ ruimte waarin we leven en ons kunnen bewegen.

Laten we de vector van oneindig kleine verplaatsing als initiële en referentievector nemen. Het is vrij duidelijk dat dit een reguliere "geometrische" vector is (net als een eindige verplaatsingsvector).

Laten we nu meteen opmerken dat het vermenigvuldigen van een vector met een scalair altijd een nieuwe vector oplevert. Hetzelfde kan gezegd worden over de som en het verschil van vectoren. In dit hoofdstuk zullen we geen onderscheid maken tussen polaire en axiale vectoren, dus merken we op dat het vectorproduct van twee vectoren een nieuwe vector oplevert.

Ook geeft de nieuwe vector de differentiatie van de vector ten opzichte van de scalair (aangezien een dergelijke afgeleide de limiet is van de verhouding van het verschil tussen vectoren en de scalair). Dit kan verder worden gezegd over derivaten van alle hogere ordes. Hetzelfde geldt voor integratie via scalairen (tijd, volume).

Merk nu op dat, gebaseerd op de straalvector R of van elementaire verplaatsing d R, begrijpen we gemakkelijk dat vectoren (aangezien tijd een scalair is) zulke kinematische grootheden zijn als

Van snelheid en versnelling, vermenigvuldigd met een scalair (massa), krijgen we

Omdat we nu geïnteresseerd zijn in pseudovectoren, merken we dat op

Met behulp van de Lorentz-krachtformule zijn de elektrische veldsterkte en de magnetische inductievector gekoppeld aan de kracht- en snelheidsvectoren.

Als we deze procedure voortzetten, ontdekken we dat alle ons bekende vectorgrootheden nu niet alleen intuïtief, maar ook formeel verbonden zijn met de oorspronkelijke ruimte. Ze zijn namelijk allemaal in zekere zin de elementen ervan, omdat ze in wezen worden uitgedrukt als lineaire combinaties van andere vectoren (met scalaire factoren, misschien dimensionaal, maar scalair, en daarom formeel vrij legaal).

In de natuurkunde zijn er verschillende categorieën grootheden: vector en scalair.

Wat is een vectorgrootheid?

Vectorhoeveelheid heeft twee hoofdkenmerken: richting en module. Twee vectoren zijn hetzelfde als hun absolute waarde en richting hetzelfde zijn. Om een vectorgrootheid aan te duiden, worden meestal letters met een pijl erboven gebruikt. Een voorbeeld van een vectorgrootheid is kracht, snelheid of versnelling.

Om de essentie van een vectorgrootheid te begrijpen, moet je deze vanuit een geometrisch standpunt bekijken. Een vector is een lijnstuk met een richting. De lengte van een dergelijk segment correleert met de waarde van zijn modulus. Fysiek voorbeeld vectorhoeveelheid is de verplaatsing van een materieel punt dat in de ruimte beweegt. Parameters zoals de versnelling van dit punt, de snelheid en de krachten die erop inwerken, elektro magnetisch veld wordt ook weergegeven als vectorgrootheden.

Als we een vectorgrootheid ongeacht de richting beschouwen, kan zo'n segment worden gemeten. Maar het resulterende resultaat weerspiegelt slechts gedeeltelijke kenmerken van de hoeveelheid. Om deze volledig te meten, moet de waarde worden aangevuld met andere parameters van het directionele segment.

In vectoralgebra bestaat er een concept nul-vector. Dit concept betekent een punt. Wat de richting van de nulvector betreft, wordt deze als onzeker beschouwd. Om de nulvector aan te duiden, wordt de rekenkundige nul gebruikt, vetgedrukt.

Als we al het bovenstaande analyseren, kunnen we concluderen dat alle gerichte segmenten vectoren definiëren. Twee segmenten definiëren alleen één vector als ze gelijk zijn. Bij het vergelijken van vectoren geldt dezelfde regel als bij het vergelijken van scalaire grootheden. Gelijkheid betekent volledige overeenstemming in alle opzichten.

Wat is een scalaire grootheid?

In tegenstelling tot een vector heeft een scalaire grootheid slechts één parameter: deze zijn numerieke waarde. Het is vermeldenswaard dat de geanalyseerde waarde zowel een positieve numerieke waarde als een negatieve kan hebben.

Voorbeelden hiervan zijn massa, spanning, frequentie of temperatuur. Met dergelijke hoeveelheden kunt u verschillende rekenkundige bewerkingen uitvoeren: optellen, delen, aftrekken, vermenigvuldigen. Voor een scalaire grootheid is een kenmerk als richting niet typisch.

Een scalaire grootheid wordt gemeten met een numerieke waarde, zodat deze op een coördinatenas kan worden weergegeven. Heel vaak wordt bijvoorbeeld de as van de afgelegde afstand, temperatuur of tijd geconstrueerd.

Belangrijkste verschillen tussen scalaire en vectorgrootheden

Uit de hierboven gegeven beschrijvingen wordt duidelijk dat het belangrijkste verschil tussen vectorgrootheden en scalaire grootheden hun is kenmerken. Een vectorgrootheid heeft een richting en grootte, terwijl een scalaire grootheid alleen een numerieke waarde heeft. Natuurlijk kan een vectorgrootheid, net als een scalaire grootheid, worden gemeten, maar een dergelijke karakteristiek zal niet compleet zijn, aangezien er geen richting is.

Om het verschil tussen een scalaire grootheid en een vectorgrootheid duidelijker voor te stellen, moet een voorbeeld worden gegeven. Om dit te doen, nemen we een kennisgebied als klimatologie. Als we zeggen dat de wind met een snelheid van 8 meter per seconde waait, wordt een scalaire grootheid geïntroduceerd. Maar als we zeggen dat de noordenwind met een snelheid van 8 meter per seconde waait, dan hebben we het over een vectorwaarde.

Vectoren spelen een grote rol in de moderne wiskunde, maar ook op veel gebieden van de mechanica en natuurkunde. De meeste fysieke grootheden kunnen als vectoren worden weergegeven. Hierdoor kunnen we de gebruikte formules en resultaten generaliseren en aanzienlijk vereenvoudigen. Vaak worden vectorwaarden en vectoren met elkaar geïdentificeerd. In de natuurkunde hoor je bijvoorbeeld misschien dat snelheid of kracht een vector is.

Scalaire en vectorgrootheden

Vectorrekening (bijvoorbeeld verplaatsing (s), kracht (F), versnelling (a), snelheid (V) energie (E)).
scalaire grootheden die volledig worden bepaald door hun numerieke waarden te specificeren (lengte (L), oppervlakte (S), volume (V), tijd (t), massa (m), enz.);
Scalaire grootheden: temperatuur, volume, dichtheid, elektrisch potentieel, potentiële energie van een lichaam (bijvoorbeeld in een zwaartekrachtveld). Ook de modulus van elke vector (bijvoorbeeld de hieronder genoemde).
Vectorgrootheden: straalvector, snelheid, versnelling, elektrische veldsterkte, magnetische veldsterkte. En vele anderen :)
een vectorgrootheid heeft een numerieke uitdrukking en richting: snelheid, versnelling, kracht, elektromagnetische inductie, verplaatsing, enz., en de scalair is slechts een numerieke uitdrukking: volume, dichtheid, lengte, breedte, hoogte, massa (niet te verwarren met gewicht) temperatuur
vector, bijvoorbeeld snelheid (v), kracht (F), verplaatsing (s), impuls (p), energie (E). Boven elk van deze letters wordt een pijlvector geplaatst. daarom zijn ze vector. en scalaire zijn massa (m), volume (V), oppervlakte (S), tijd (t), hoogte (h)
Vectorbewegingen zijn lineaire, tangentiële bewegingen.
Scalaire bewegingen zijn gesloten bewegingen die vectorbewegingen afschermen.
Vectorbewegingen worden overgedragen via scalaire bewegingen, zoals via tussenpersonen, net zoals stroom via een geleider van atoom naar atoom wordt overgedragen.
Scalaire grootheden: temperatuur, volume, dichtheid, elektrisch potentieel, potentiële energie van een lichaam (bijvoorbeeld in een zwaartekrachtveld). Ook de modulus van elke vector (bijvoorbeeld de hieronder genoemde).
Vectorgrootheden: straalvector, snelheid, versnelling, elektrische veldsterkte, magnetische veldsterkte. En vele anderen: -
Een scalaire grootheid (scalair) is een fysieke grootheid die slechts één kenmerk heeft: een numerieke waarde.
Een scalaire grootheid kan positief of negatief zijn.

Voorbeelden van scalaire grootheden: massa, temperatuur, pad, arbeid, tijd, periode, frequentie, dichtheid, energie, volume, elektrisch vermogen, spanning, stroom, enz.

Wiskundige bewerkingen met scalaire grootheden zijn algebraïsche bewerkingen.

Vectorhoeveelheid

Een vectorgrootheid (vector) is een fysieke grootheid die twee kenmerken heeft: module en richting in de ruimte.

Voorbeelden van vectorgrootheden: snelheid, kracht, versnelling, spanning, enz.

Geometrisch wordt een vector weergegeven als een gericht segment van een rechte lijn, waarvan de lengte wordt geschaald naar de modulus van de vector.

Alle grootheden die we tegenkomen in de natuurkunde, en in het bijzonder in een van de takken van de mechanica, kunnen in twee typen worden verdeeld:

a) scalair, die worden bepaald door één reëel positief of negatief getal. Voorbeelden van dergelijke grootheden zijn tijd, temperatuur;

b) vector, die wordt bepaald door een gericht ruimtelijk segment van een lijn (of drie scalaire grootheden) en de onderstaande eigenschappen heeft.

Voorbeelden van vectorgrootheden zijn kracht, snelheid en versnelling.

Cartesisch coördinatensysteem

Wanneer waar we het over hebben over gerichte segmenten, dan moet u het object aangeven ten opzichte waarvan deze richting wordt bepaald. Het Cartesiaanse coördinatensysteem, waarvan de componenten de assen zijn, wordt als een dergelijk object beschouwd.

Een as is een rechte lijn waarop de richting wordt aangegeven. Drie onderling loodrechte assen die elkaar snijden in punt O, dienovereenkomstig genoemd, vormen een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem. Het cartesiaanse coördinatensysteem kan rechtshandig zijn (figuur 1) of linkshandig (figuur 2). Deze systemen zijn spiegelbeelden van elkaar en kunnen door geen enkele beweging gecombineerd worden.

In alle daaropvolgende presentaties wordt overal een rechtshandig coördinatensysteem aangenomen. In het rechter coördinatensysteem wordt de positieve referentierichting voor alle hoeken tegen de klok in genomen.

Dit komt overeen met de richting waarin de x- en y-assen uitgelijnd zijn, gezien vanuit de positieve richting van de as

Gratis vectoren

Een vector die alleen wordt gekenmerkt door lengte en richting in een bepaald coördinatensysteem, wordt gratis genoemd. Een vrije vector wordt weergegeven door een segment met een bepaalde lengte en richting, waarvan het begin zich op elk punt in de ruimte bevindt. In de tekening wordt de vector weergegeven door een pijl (Fig. 3).

Vectoren worden aangegeven met één vetgedrukte letter of twee letters die overeenkomen met het begin en einde van een pijl met een streepje erboven of

De grootte van een vector wordt de modulus genoemd en wordt op een van de volgende manieren aangegeven

Gelijkheid van vectoren

Omdat de belangrijkste kenmerken van een vector de lengte en richting zijn, worden vectoren gelijk genoemd als hun richtingen en grootten samenvallen. In een specifiek geval kunnen gelijke vectoren langs één rechte lijn worden gericht. De gelijkheid van vectoren, bijvoorbeeld a en b (Fig. 4), wordt geschreven als:

Als de vectoren (a en b) even groot zijn, maar diametraal tegengesteld in richting (Fig. 5), dan wordt dit geschreven in de vorm:

Vectoren die dezelfde of diametraal tegengestelde richtingen hebben, worden collineair genoemd.

Een vector vermenigvuldigen met een scalair

Het product van vector a en scalaire K wordt een vector in modulus genoemd, die in richting gelijk is aan vector a als K positief is, en diametraal daaraan tegengesteld als K negatief is.

Eenheidsvector

Een vector waarvan de modulus gelijk is aan één en waarvan de richting samenvalt met een gegeven vector a wordt de eenheidsvector van een gegeven vector of zijn eenheidsvector genoemd. Ort wordt aangegeven met . Elke vector kan worden weergegeven via zijn eenheidsvector als

Eenheidsvectoren die zich langs de positieve richtingen van de coördinaatassen bevinden, worden dienovereenkomstig aangegeven (Fig. 6).

Vectortoevoeging

De regel voor het toevoegen van vectoren wordt gepostuleerd (de rechtvaardiging voor dit postulaat zijn observaties van echte vectorobjecten). Dit postulaat is dat twee vectoren

Ze worden naar een bepaald punt in de ruimte overgebracht, zodat hun oorsprong samenvalt (Fig. 7). De gerichte diagonaal van een parallellogram gebouwd op deze vectoren (Fig. 7) wordt de som van vectoren genoemd; de optelling van vectoren wordt in de vorm geschreven

en wordt optelling genoemd volgens de parallellogramregel.

De gespecificeerde regel voor het toevoegen van vectoren kan ook op de volgende manier worden geïmplementeerd: op elk punt in de ruimte wordt een vector verder ontslagen, een vector wordt vanaf het einde van de vector ontslagen (Fig. 8). Een vector a, waarvan het begin samenvalt met het begin van de vector en waarvan het einde samenvalt met het einde van de vector, zal de som van vectoren zijn

De laatste vectoroptellingsregel is handig als u meer dan twee vectoren moet toevoegen. Als u meerdere vectoren moet toevoegen, moet u met behulp van de opgegeven regel een onderbroken lijn construeren, waarvan de zijden de gegeven vectoren zijn, en het begin van elke vector samenvalt met het einde van de vorige vector. De som van deze vectoren zal een vector zijn waarvan het begin samenvalt met het begin van de eerste vector, en het einde samenvalt met het einde van de laatste vector (figuur 9). Als de gegeven vectoren een gesloten veelhoek vormen, wordt gezegd dat de som van de vectoren nul is.

Uit de regel voor het construeren van de som van vectoren volgt dat hun som niet afhangt van de volgorde waarin de termen worden genomen, of dat de optelling van vectoren commutatief is. Voor twee vectoren kan deze laatste worden geschreven als:

Vectoraftrekking

Het aftrekken van een vector van een vector gebeurt volgens de volgende regel: een vector wordt geconstrueerd en een vector wordt vanaf het uiteinde uitgezet (Fig. 10). Vector a, waarvan het begin samenvalt met het begin

vector en het einde - waarbij het einde van de vector gelijk is aan het verschil tussen de vectoren en De uitgevoerde bewerking kan in de vorm worden geschreven:

Vectorontleding in componenten

Een gegeven vector ontleden betekent dat je hem voorstelt als de som van verschillende vectoren, die de componenten ervan worden genoemd.

Laten we eens kijken naar het probleem van het ontbinden van de vector a, als gespecificeerd is dat de componenten ervan langs drie coördinaatassen moeten worden gericht. Om dit te doen, zullen we een parallellepipedum construeren, waarvan de diagonaal de vector a is en de randen evenwijdig zijn aan de coördinaatassen (Fig. 11). Dan, zoals duidelijk blijkt uit de tekening, geeft de som van de vectoren langs de randen van dit parallellepipedum vector a:

Projectie van een vector op een as

De projectie van een vector op een as heeft de grootte van een gericht segment, dat wordt begrensd door vlakken loodrecht op de as, die door het begin en het einde van de vector gaan (Fig. 12). De snijpunten van deze vlakken met de as (A en B) worden respectievelijk de projectie van het begin en het einde van de vector genoemd.

De projectie van een vector heeft een plusteken als de richtingen ervan, gerekend vanaf de projectie van het begin van de vector tot de projectie van het einde ervan, samenvallen met de richting van de as. Als deze richtingen niet samenvallen, heeft de projectie een minteken.

De projecties van vector a op de coördinaatassen worden dienovereenkomstig aangegeven

Vectorcoördinaten

De componenten van vector a, parallel gelegen aan de coördinaatassen via vectorprojecties en eenheidsvectoren, kunnen in de vorm worden geschreven:

Vandaar:

waar ze de vector volledig definiëren en de coördinaten ervan worden genoemd.

Door de hoeken aan te geven die vector a maakt met de coördinaatassen, kunnen de projecties van vector a op de assen in de vorm worden geschreven:

Daarom hebben we voor de modulus van vector a de uitdrukking:

Omdat de definitie van een vector door zijn projecties uniek is, zullen twee gelijke vectoren gelijke coördinaten hebben.

Optelling van vectoren via hun coördinaten

Zoals volgt uit afb. 13 is de projectie van de som van vectoren op de as gelijk aan de algebraïsche som van hun projecties. Daarom, uitgaande van de vectorgelijkheid:

de volgende drie scalaire gelijkheden volgen:

of de coördinaten van de totale vector zijn gelijk aan de algebraïsche som van de coördinaten van de samenstellende vectoren.

Puntproduct van twee vectoren

Het scalaire product van twee vectoren wordt aangeduid met a b en wordt bepaald door het product van hun modules en de cosinus van de hoek daartussen:

Het puntproduct van twee vectoren kan ook worden gedefinieerd als het product van de modulus van een van de vectoren en de projectie van de andere vector op de richting van de eerste vector.

Uit de definitie van het scalaire product volgt dit

dat wil zeggen, de commutatieve wet vindt plaats.

Met betrekking tot optellen heeft het scalaire product de distributieve eigenschap:

wat direct volgt uit de eigenschap dat de projectie van de som van vectoren gelijk is aan de algebraïsche som van hun projecties.

Het scalaire product via projecties van vectoren kan worden geschreven als:

Kruisproduct van twee vectoren

Het kruisproduct van twee vectoren wordt axb genoemd. Dit is een vector c, waarvan de modulus gelijk is aan het product van de moduli van de vectoren, vermenigvuldigd met de sinus van de hoek ertussen:

Vector c is loodrecht gericht op het vlak dat wordt gedefinieerd door de vectoren a en b, zodat, gezien vanaf het einde van vector c, de eerste vector positief moest worden geroteerd om vector a zo snel mogelijk uit te lijnen met vector b. richting (tegen de klok in; Afb. 14). Een vector die het kruisproduct is van twee vectoren wordt een axiale vector (of pseudovector) genoemd. De richting hangt af van de keuze van het coördinatensysteem of de voorwaarde voor de positieve richting van de hoeken. De aangegeven richting van de vector c komt overeen met het rechtshandige systeem van cartesiaanse coördinaatassen, waarvan de keuze eerder was overeengekomen.

In de wiskunde is een vector een gericht segment van een bepaalde lengte. In de natuurkunde wordt een vectorgrootheid opgevat als: volledige beschrijving een fysieke grootheid die een modulus en werkingsrichting heeft. Laten we de basiseigenschappen van vectoren bekijken, evenals voorbeelden van fysieke grootheden die vector zijn.

Scalaire en vectoren

Scalaire grootheden in de natuurkunde zijn parameters die kunnen worden gemeten en weergegeven door een enkel getal. Temperatuur, massa en volume zijn bijvoorbeeld scalairen omdat ze respectievelijk worden gemeten in graden, kilogrammen en kubieke meters.

In de meeste gevallen blijkt dat het getal dat een scalaire grootheid definieert geen uitgebreide informatie bevat. Als je bijvoorbeeld een fysiek kenmerk als versnelling in ogenschouw neemt, is het niet voldoende om te zeggen dat deze gelijk is aan 5 m/s 2, omdat je moet weten waar deze naartoe is gericht, tegen de snelheid van het lichaam in, onder een bepaalde hoek. deze snelheid, of anderszins. Naast versnelling is snelheid een voorbeeld van een vectorgrootheid in de natuurkunde. Ook in deze categorie vallen kracht, elektrische veldsterkte en nog veel meer.

Volgens de definitie van een vectorgrootheid als een in de ruimte gericht segment, kan deze worden weergegeven als een reeks getallen (vectorcomponenten) als deze in een bepaald coördinatensysteem wordt beschouwd. Meestal doen zich in de natuurkunde en wiskunde problemen voor die, om een vector te beschrijven, kennis vereisen van zijn twee (problemen in een vlak) of drie (problemen in de ruimte) componenten.

Definitie van een vector in n-dimensionale ruimte

In een n-dimensionale ruimte, waar n een geheel getal is, zal een vector uniek worden bepaald als zijn n componenten bekend zijn. Elke component vertegenwoordigt de coördinaat van het einde van de vector langs de overeenkomstige coördinatenas, op voorwaarde dat het begin van de vector zich aan de oorsprong bevindt van het coördinatensysteem van de n-dimensionale ruimte. Als resultaat kan de vector als volgt worden weergegeven: v = (a 1, a 2, a 3, ..., a n), waarbij a 1 de scalaire waarde is van de eerste component van de vector v. Dienovereenkomstig zal de vector in de driedimensionale ruimte worden geschreven als v = (a 1, a 2, a 3), en in de tweedimensionale ruimte - v = (a 1, a 2).

Hoe wordt een vectorgrootheid aangegeven? Elke vector in 1-dimensionale, 2-dimensionale en 3-dimensionale ruimtes kan worden weergegeven als een gericht segment dat tussen de punten A en B ligt. In dit geval wordt deze aangegeven als AB →, waarbij de pijl aangeeft dat we het hebben over een vectorhoeveelheid. De reeks letters wordt meestal aangegeven vanaf het begin van de vector tot het einde. Dit betekent dat als de coördinaten van de punten A en B, bijvoorbeeld in de driedimensionale ruimte, gelijk zijn aan respectievelijk (x 1, y 1, z 1) en (x 2, y 2, z 2), dan is de componenten van de vector AB → zullen gelijk zijn (x 2 -x 1, y 2 -y 1, z 2 -z 1).

Grafische weergave van vector

In tekeningen is het gebruikelijk om een vectorgrootheid af te beelden als een segment; aan het uiteinde staat een pijl die de werkingsrichting aangeeft van de fysieke grootheid waarvan deze een representatie is. Dit segment wordt meestal ondertekend met bijvoorbeeld v → of F →, zodat duidelijk is over welk kenmerk we het hebben.

Een grafische weergave van een vector helpt te begrijpen waar de fysieke grootheid wordt toegepast en in welke richting deze werkt. Bovendien is het handig om veel wiskundige bewerkingen op vectoren uit te voeren met behulp van hun afbeeldingen.

Wiskundige bewerkingen op vectoren

Vectorgrootheden kunnen, net als gewone getallen, met elkaar en met andere getallen worden opgeteld, afgetrokken en vermenigvuldigd.

De som van twee vectoren wordt opgevat als de derde vector, die wordt verkregen als de opgetelde parameters zo zijn gerangschikt dat het einde van de eerste samenvalt met het begin van de tweede vector, en vervolgens het begin van de eerste en het einde van de vector met elkaar verbinden. seconde. Om deze wiskundige bewerking uit te voeren zijn er drie hoofdmethoden ontwikkeld:

De parallellogrammethode bestaat uit construeren geometrische figuur op twee vectoren die hun oorsprong vinden in hetzelfde punt in de ruimte. De diagonaal van dit parallellogram, die zich uitstrekt vanaf het gemeenschappelijke oorsprongspunt van de vectoren, zal hun som zijn.
De polygoonmethode, waarvan de essentie is dat het begin van elke volgende vector zich aan het einde van de vorige moet bevinden, waarna de totale vector het begin van de eerste en het einde van de laatste zal verbinden.
Een analytische methode die bestaat uit het paarsgewijze optellen van de overeenkomstige componenten van bekende vectoren.

Wat het verschil in vectorgrootheden betreft, dit kan worden vervangen door de eerste parameter toe te voegen aan de parameter die tegengesteld is aan de tweede.

Vermenigvuldiging van een vector met een bepaald getal A wordt uitgevoerd door eenvoudige regel: Elke component van de vector moet met dit getal worden vermenigvuldigd. Het resultaat is ook een vector waarvan de modulus A keer groter is dan de originele, en de richting is hetzelfde of tegengesteld aan de originele, het hangt allemaal af van het teken van het getal A.

Je kunt een vector of een getal er niet door delen, maar het delen van een vector door het getal A is vergelijkbaar met vermenigvuldigen met het getal 1/A.

Punt- en kruisproduct

Vectorvermenigvuldiging kan worden uitgevoerd met behulp van twee op verschillende manieren: scalair en vector.

Het scalaire product van vectorgrootheden is een methode om ze te vermenigvuldigen, waarvan het resultaat één getal is, dat wil zeggen een scalair. In matrixvorm wordt het scalaire product geschreven als de rijen van de component van de eerste vector per kolom met de componenten van de tweede. Als resultaat krijgen we in de n-dimensionale ruimte de formule: (A → *B →) = a 1 *b 1 +a 2 *b 2 +...+a n *b n .

In de driedimensionale ruimte kan het puntproduct anders worden gedefinieerd. Om dit te doen, moet je de modules van de overeenkomstige vectoren vermenigvuldigen met de cosinus van de hoek ertussen, dat wil zeggen (A → *B →) = |A → |*|B → |*cos(θ AB). Uit deze formule volgt dat als de vectoren in dezelfde richting zijn gericht, het scalaire product gelijk is aan de vermenigvuldiging van hun modules, en als de vectoren loodrecht op elkaar staan, het nul blijkt te zijn. Merk op dat de modulus van een vector in een rechthoekig coördinatensysteem wordt gedefinieerd als vierkantswortel uit de som van de kwadraten van de componenten van deze vector.

Onder het vectorproduct wordt verstaan de vermenigvuldiging van een vector met een vector, waarvan het resultaat ook een vector is. De richting blijkt loodrecht te staan op elk van de vermenigvuldigde parameters, en de lengte is gelijk aan het product van de moduli van de vectoren en de sinus van de hoek ertussen, dat wil zeggen A → x B → = |A → | *|B → |*sin(θ AB), waarbij het teken "x" het vectorproduct aangeeft. In matrixvorm wordt dit type product weergegeven als een determinant, waarvan de rijen de elementaire vectoren van een bepaald coördinatensysteem zijn en de componenten van elke vector.

Zowel scalair als vectorillustraties gebruikt in de wiskunde en natuurkunde om veel grootheden te bepalen, bijvoorbeeld de oppervlakte en het volume van figuren.

Snelheid en acceleratie

In de natuurkunde wordt snelheid opgevat als de snelheid waarmee de locatie van een bepaald materieel punt verandert. Snelheid wordt gemeten in SI-eenheden in meters per seconde (m/s), en wordt aangegeven met het symbool v → . Versnelling verwijst naar de snelheid waarmee de snelheid verandert. De versnelling wordt gemeten in meter per vierkante seconde (m/s2) en wordt meestal aangegeven met het symbool a →. De waarde van 1 m/s2 betekent dat het lichaam elke seconde zijn snelheid met 1 m/s verhoogt.

Snelheid en versnelling zijn vectorgrootheden die deelnemen aan de formules van de tweede wet van Newton en de verplaatsing van een lichaam als materieel punt. Snelheid is altijd gericht in de bewegingsrichting, maar versnelling kan op elke manier worden gericht ten opzichte van het bewegende lichaam.

Fysieke kwantiteitskracht

Kracht is een fysieke vectorgrootheid die de intensiteit van de interactie tussen lichamen weerspiegelt. Het wordt aangeduid met het symbool F → en gemeten in Newton (N). Per definitie is 1 N een kracht die in staat is om de snelheid van een lichaam met een massa van 1 kg per seconde met 1 m/s te veranderen.

Deze fysieke grootheid wordt veel gebruikt in de natuurkunde, omdat de energiekarakteristieken van interactieprocessen ermee verband houden. De aard van de kracht kan heel verschillend zijn, bijvoorbeeld: zwaartekrachten planeten, de kracht die de auto laat bewegen, elastische krachten vaste media, elektrische krachten, die het gedrag beschrijft van elektrische ladingen, magnetische, nucleaire krachten die de stabiliteit bepalen atoomkernen, enzovoort.

Vectorhoeveelheidsdruk

Een andere grootheid die nauw verwant is aan het concept van kracht is druk. In de natuurkunde wordt het opgevat als de normale projectie van kracht op het gebied waarop deze inwerkt. Omdat kracht een vector is, zal druk, volgens de regel van het vermenigvuldigen van een getal met een vector, ook een vectorgrootheid zijn: P → = F → /S, waarbij S de oppervlakte is. De druk wordt gemeten in pascal (Pa), 1 Pa is de parameter waarbij een loodrechte kracht van 1 N inwerkt op een oppervlak van 1 m2. Op basis van de definitie is de drukvector in dezelfde richting gericht als de krachtvector.

In de natuurkunde wordt het concept van druk vaak gebruikt bij de studie van verschijnselen in vloeistoffen en gassen (bijvoorbeeld de wet van Pascal of de toestandsvergelijking ideaal gas). Druk hangt nauw samen met de temperatuur van een lichaam, omdat de kinetische energie van atomen en moleculen, waarvan de weergave temperatuur is, de aard van het bestaan van druk zelf verklaart.

Elektrische veldsterkte

Rond elk geladen lichaam is er elektrisch veld, waarvan de kracht kenmerkend is de spanning. Deze intensiteit wordt gedefinieerd als de kracht die op een bepaald punt in het elektrische veld inwerkt op een eenheidslading die op dit punt is geplaatst. De elektrische veldsterkte wordt aangegeven met de letter E → en wordt gemeten in newton per coulomb (N/C). De intensiteitsvector is langs de elektrische veldlijn in zijn richting gericht als de lading positief is, en ertegen in als de lading negatief is.

De elektrische veldsterkte die door een puntlading wordt gecreëerd, kan op elk punt worden bepaald met behulp van de wet van Coulomb.

Magnetische inductie

Het magnetische veld is, zoals de wetenschappers Maxwell en Faraday in de 19e eeuw aantoonden, nauw verwant elektrisch veld. Een veranderend elektrisch veld genereert dus een magnetisch veld, en omgekeerd. Daarom worden beide typen velden beschreven in termen van elektromagnetische fysische verschijnselen.

Magnetische inductie beschrijft de krachteigenschappen van een magnetisch veld. Is magnetische inductie een scalaire of vectorgrootheid? Dit kan worden begrepen door te weten dat dit wordt bepaald door de kracht F → die inwerkt op een lading q, die met een snelheid v → in een magnetisch veld vliegt, volgens de volgende formule: F → = q*|v → x B → |, waarbij B → - magnetische inductie. Als we dus de vraag beantwoorden of magnetische inductie een scalaire grootheid of een vectorgrootheid is, kunnen we zeggen dat het een vector is die van de magnetische noordpool naar het zuiden is gericht. B wordt gemeten → in tesla (T).

Fysieke hoeveelheid candela

Een ander voorbeeld van een vectorgrootheid is de candela, die in de natuurkunde wordt geïntroduceerd als de lichtstroom, gemeten in lumen, die door een oppervlak gaat dat wordt begrensd door een hoek van 1 steradiaal. Candela reflecteert de helderheid van het licht omdat het de dichtheid van de lichtstroom aangeeft.

bekeken

VKontakte opslaan