Video hướng dẫn này sẽ giúp người dùng hình dung về chủ đề Kim tự tháp. Đúng kim tự tháp. Trong bài học này chúng ta sẽ làm quen với khái niệm kim tự tháp và đưa ra định nghĩa về nó. Chúng ta hãy xem nó là gì kim tự tháp đều đặn và nó có những đặc tính gì. Sau đó, chúng ta chứng minh định lý về bề mặt bên của một hình chóp đều.

Trong bài học này chúng ta sẽ làm quen với khái niệm kim tự tháp và đưa ra định nghĩa về nó.

Hãy xem xét một đa giác A 1 A 2...MỘT, nằm trong mặt phẳng α và điểm P, không nằm trong mặt phẳng α (Hình 1). Hãy kết nối các dấu chấm P với đỉnh A 1, A 2, A 3, … MỘT. Chúng tôi nhận được N Hình tam giác: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R và như thế.

Sự định nghĩa. đa diện RA 1 A 2 ...A n, tạo thành N-quảng trường A 1 A 2...MỘT Và N Hình tam giác RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA và A n-1 được gọi N-kim tự tháp than. Cơm. 1.

Cơm. 1

Hãy xem xét một kim tự tháp tứ giác PABCD(Hình 2).

R- đỉnh của kim tự tháp.

A B C D- đáy của kim tự tháp.

RA- sườn bên.

AB- sườn cơ sở.

Từ điểm R hãy bỏ đường vuông góc RNđến mặt phẳng cơ sở A B C D. Đường vuông góc được vẽ là chiều cao của kim tự tháp.

Cơm. 2

Toàn bộ bề mặt Kim tự tháp bao gồm một bề mặt bên, nghĩa là diện tích của tất cả các mặt bên và diện tích của đế:

S đầy đủ = S bên + S chính

Một kim tự tháp được gọi là đúng nếu:

• nền tảng của nó - đa giác đều;
• đoạn nối đỉnh của kim tự tháp với tâm của đế là chiều cao của nó.

Giải thích bằng ví dụ đúng kim tự tháp tứ giác

Xét một hình chóp tứ giác đều PABCD(Hình 3).

R- đỉnh của kim tự tháp. Cơ sở của kim tự tháp A B C D- một tứ giác đều, nghĩa là một hình vuông. chấm VỀ, giao điểm của hai đường chéo là tâm của hình vuông. Có nghĩa, RO là chiều cao của kim tự tháp.

Cơm. 3

Giải trình: đúng N Trong một tam giác, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau. Tâm này được gọi là tâm của đa giác. Đôi khi họ nói rằng đỉnh được chiếu vào tâm.

Chiều cao của mặt bên của một hình chóp đều vẽ từ đỉnh của nó được gọi là huyền thoại và được chỉ định ha.

1. mọi thứ xương sườn bên của một kim tự tháp đều bằng nhau;

2. Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.

Chúng tôi sẽ đưa ra bằng chứng về các tính chất này bằng ví dụ về hình chóp tứ giác đều.

Được cho: PABCD- kim tự tháp tứ giác đều,

A B C D- quảng trường,

RO- chiều cao của kim tự tháp.

Chứng minh:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Xem Hình 2. 4.

Cơm. 4

Bằng chứng.

RO- chiều cao của kim tự tháp. Tức là thẳng RO vuông góc với mặt phẳng ABC, và do đó trực tiếp CTCP, VÕ, SO Và LÀM nằm trong đó. Vậy hình tam giác ROA, ROV, ROS, ROD- hình hộp chữ nhật.

Hãy xem xét một hình vuông A B C D. Từ các tính chất của hình vuông suy ra rằng AO = VO = CO = LÀM.

Khi đó các tam giác vuông ROA, ROV, ROS, ROD chân RO- nói chung và chân CTCP, VÕ, SO Và LÀM bằng nhau, nghĩa là các tam giác này có hai cạnh bằng nhau. Từ sự bằng nhau của các tam giác dẫn đến sự bằng nhau của các đoạn thẳng, RA = PB = RS = PD.Điểm 1 đã được chứng minh.

Phân đoạn AB Và Mặt trời bằng nhau vì chúng là các cạnh của cùng một hình vuông, RA = PB = RS. Vậy hình tam giác AVR Và VSR - cân và bằng nhau ở ba cạnh.

Theo cách tương tự, chúng ta thấy rằng các tam giác ABP, VCP, CDP, DAP là cân và bằng nhau, như yêu cầu chứng minh ở đoạn 2.

Diện tích bề mặt bên của một hình chóp đều bằng một nửa tích của chu vi đáy và trung đoạn:

Để chứng minh điều này, hãy chọn một hình chóp tam giác đều.

Được cho: RAV- hình chóp tam giác đều.

AB = BC = AC.

RO- chiều cao.

Chứng minh: . Xem hình. 5.

Cơm. 5

Bằng chứng.

RAV- hình chóp tam giác đều. Đó là AB= AC = BC. Cho phép VỀ- tâm của tam giác ABC, Sau đó RO là chiều cao của kim tự tháp. Dưới chân kim tự tháp có một hình tam giác đều ABC. thông báo rằng .

Hình tam giác RAV, RVS, RSA- tam giác cân bằng nhau (theo tính chất). bạn Kim tự tháp hình tam giác ba mặt bên: RAV, RVS, RSA. Điều này có nghĩa là diện tích bề mặt bên của kim tự tháp là:

Bên S = 3S RAW

Định lý đã được chứng minh.

Bán kính của hình tròn nội tiếp ở đáy của một hình chóp tứ giác đều là 3 m, chiều cao của hình chóp là 4 m, tính diện tích các mặt bên của hình chóp.

Được cho: hình chóp tứ giác đều A B C D,

A B C D- quảng trường,

r= 3m,

RO- chiều cao của kim tự tháp,

RO= 4m.

Tìm thấy: Bên S. Xem hình. 6.

Cơm. 6

Giải pháp.

Theo định lý đã được chứng minh thì .

Đầu tiên chúng ta hãy tìm cạnh của đáy AB. Chúng ta biết rằng bán kính của hình tròn nội tiếp đáy của một hình chóp tứ giác đều là 3 m.

Sau đó, tôi.

Tìm chu vi của hình vuông A B C D có cạnh 6m:

Hãy xem xét một hình tam giác BCD. Cho phép M- giữa bên DC. Bởi vì VỀ- ở giữa BD, Cái đó (m).

Tam giác DPC- cân. M- ở giữa DC. Đó là, RM- đường trung bình, và do đó là chiều cao trong tam giác DPC. Sau đó RM- apothem của kim tự tháp.

RO- chiều cao của kim tự tháp. Sau đó, thẳng RO vuông góc với mặt phẳng ABC, và do đó trực tiếp ôi, nằm trong đó. Chúng ta hãy tìm apothem RM từ một tam giác vuông rom.

Bây giờ chúng ta có thể tìm thấy bề mặt bên của kim tự tháp:

Trả lời: 60 m2.

Bán kính của hình tròn ngoại tiếp đáy của một hình chóp tam giác đều là m, diện tích xung quanh là 18 m 2. Tìm độ dài của trung đoạn.

Được cho: ABCP- hình chóp tam giác đều,

AB = BC = SA,

R= m,

Cạnh S = 18 m2.

Tìm thấy: . Xem hình. 7.

Cơm. 7

Giải pháp.

Trong một tam giác vuông ABC Bán kính của đường tròn ngoại tiếp đã cho. Hãy tìm một bên AB tam giác này bằng cách sử dụng định luật sin.

Biết cạnh của một tam giác đều (m), chúng ta tìm được chu vi của nó.

Theo định lý về diện tích xung quanh của hình chóp đều, trong đó ha- apothem của kim tự tháp. Sau đó:

Trả lời: 4m.

Vì vậy, chúng ta đã xem kim tự tháp là gì, kim tự tháp đều là gì, và chúng ta đã chứng minh định lý về bề mặt bên của một kim tự tháp đều. Trong bài học tiếp theo chúng ta sẽ làm quen với hình chóp cụt.

Thư mục

1. Hình học. Lớp 10-11: Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông (cơ bản và cấp độ hồ sơ) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Tái bản lần thứ 5, tái bản. và bổ sung - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm.
2. Hình học. Lớp 10-11: Sách giáo khoa phổ thông cơ sở giáo dục/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: Ill.
3. Hình học. Lớp 10: Sách giáo khoa dành cho cơ sở giáo dục phổ thông nghiên cứu chuyên sâu và chuyên sâu về toán/E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - tái bản lần thứ 6, khuôn mẫu. - M.: Bustard, 008. - 233 tr.: ốm.

1. Cổng thông tin Internet "Yaklass" ()
2. Cổng thông tin điện tử “Ngày hội tư tưởng sư phạm “Ngày đầu tháng 9” ()
3. Cổng thông tin Internet “Slideshare.net” ()

Bài tập về nhà

1. Một đa giác đều có thể là đáy của một kim tự tháp không đều không?
2. Chứng minh rằng các cạnh rời nhau của một hình chóp đều vuông góc.
3. Tìm giá trị của góc nhị diện ở cạnh đáy của một hình chóp tứ giác đều nếu đường trung bình của hình chóp bằng cạnh đáy của nó.
4. RAV- hình chóp tam giác đều. Xây dựng góc tuyến tính của góc nhị diện ở đáy kim tự tháp.

Sự định nghĩa

Kim tự tháp là một khối đa diện gồm một đa giác \(A_1A_2...A_n\) và \(n\) có một đỉnh chung \(P\) (không nằm trong mặt phẳng của đa giác) và các cạnh đối diện với nó, trùng với các cạnh của đa giác.
Chỉ định: \(PA_1A_2...A_n\) .
Ví dụ: hình chóp ngũ giác \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Hình tam giác \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), v.v. được gọi là mặt bên kim tự tháp, phân đoạn \(PA_1, PA_2\), v.v. – xương sườn bên, đa giác \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – nền tảng, điểm \(P\) – đứng đầu.

Chiều cao kim tự tháp là đường vuông góc đi từ đỉnh kim tự tháp xuống mặt phẳng đáy.

Một kim tự tháp có hình tam giác ở đáy được gọi là tứ diện.

Kim tự tháp được gọi là Chính xác, nếu đáy của nó là đa giác đều và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

\((a)\) các cạnh bên của hình chóp bằng nhau;

\((b)\) chiều cao của hình chóp đi qua tâm của vòng tròn ngoại tiếp gần đáy;

\((c)\) các gân bên nghiêng với mặt phẳng của đế một góc bằng nhau.

\((d)\) các mặt bên nghiêng với mặt phẳng của đế một góc bằng nhau.

Tứ diện đều là một hình chóp hình tam giác, tất cả các mặt đều là những tam giác đều bằng nhau.

Định lý

Các điều kiện \((a), (b), (c), (d)\) là tương đương.

Bằng chứng

Hãy tìm chiều cao của kim tự tháp \(PH\) . Gọi \(\alpha\) là mặt phẳng đáy của hình chóp.

1) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng từ \((a)\) nó tuân theo \((b)\) . Đặt \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Bởi vì \(PH\perp \alpha\), thì \(PH\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này, nghĩa là các tam giác là vuông góc. Điều này có nghĩa là các tam giác này bằng nhau ở chân chung \(PH\) và cạnh huyền \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Điều này có nghĩa là \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Điều này có nghĩa là các điểm \(A_1, A_2, ..., A_n\) cách điểm \(H\) một khoảng cách bằng nhau, do đó chúng nằm trên cùng một đường tròn có bán kính \(A_1H\) . Vòng tròn này, theo định nghĩa, được bao quanh đa giác \(A_1A_2...A_n\) .

2) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((b)\) ngụ ý \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hình chữ nhật và bằng nhau ở hai chân. Điều này có nghĩa là các góc của chúng cũng bằng nhau, do đó, \(\góc PA_1H=\góc PA_2H=...=\góc PA_nH\).

3) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((c)\) ngụ ý \((a)\) .

Tương tự như điểm đầu tiên, hình tam giác \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hình chữ nhật cả dọc theo chân và góc nhọn. Điều này có nghĩa là các cạnh huyền của chúng cũng bằng nhau, tức là \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((b)\) ngụ ý \((d)\) .

Bởi vì trong một đa giác đều, tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau (nói chung, điểm này được gọi là tâm của đa giác đều), khi đó \(H\) là tâm của đường tròn nội tiếp. Hãy vẽ các đường vuông góc từ điểm \(H\) đến các cạnh của đáy: \(HK_1, HK_2\), v.v. Đây là bán kính của đường tròn nội tiếp (theo định nghĩa). Khi đó, theo TTP (\(PH\) là đường vuông góc với mặt phẳng, \(HK_1, HK_2\), v.v. là các hình chiếu vuông góc với các cạnh) nghiêng \(PK_1, PK_2\), v.v. vuông góc với các cạnh \(A_1A_2, A_2A_3\), v.v. tương ứng. Vì vậy, theo định nghĩa \(\góc PK_1H, \góc PK_2H\) bằng góc giữa các mặt bên và đáy. Bởi vì các tam giác \(PK_1H, PK_2H, ...\) bằng nhau (là hình chữ nhật có hai cạnh) thì các góc \(\góc PK_1H, \góc PK_2H, ...\)đều bình đẳng.

5) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((d)\) ngụ ý \((b)\) .

Tương tự như điểm thứ tư, các tam giác \(PK_1H, PK_2H, ...\) bằng nhau (là hình chữ nhật dọc theo chân và góc nhọn), nghĩa là các đoạn \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) là bình đẳng. Điều này có nghĩa, theo định nghĩa, \(H\) là tâm của một đường tròn nội tiếp đáy. Nhưng bởi vì Đối với đa giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau thì \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp. Chtd.

Kết quả

Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau.

Sự định nghĩa

Chiều cao của mặt bên của một hình chóp đều vẽ từ đỉnh của nó được gọi là huyền thoại.
Các trung điểm của tất cả các mặt bên của một hình chóp đều bằng nhau và cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.

Ghi chú quan trọng

1. Chiều cao của hình chóp tam giác đều là giao điểm của các đường cao (hoặc đường phân giác, đường trung bình) của đáy (đáy là tam giác đều).

2. Chiều cao của hình chóp tứ giác đều rơi vào giao điểm của các đường chéo của đáy (đáy là hình vuông).

3. Chiều cao của hình chóp lục giác đều là giao điểm của các đường chéo của đáy (đáy là hình lục giác đều).

4. Chiều cao của kim tự tháp vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm ở đáy.

Sự định nghĩa

Kim tự tháp được gọi là hình hộp chữ nhật, nếu một trong các cạnh bên của nó vuông góc với mặt phẳng đáy.

Ghi chú quan trọng

1. Trong hình chóp hình chữ nhật, cạnh vuông góc với đáy chính là chiều cao của hình chóp. Tức là \(SR\) là chiều cao.

2. Bởi vì \(SR\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào tính từ đáy thì \(\tam giác SRM, \tam giác SRP\)- tam giác vuông.

3. Hình tam giác \(\tam giác SRN, \tam giác SRK\)- cũng là hình chữ nhật.
Nghĩa là, bất kỳ tam giác nào được hình thành bởi cạnh này và đường chéo nổi lên từ đỉnh của cạnh này nằm ở đáy sẽ là hình chữ nhật.

\[(\Large(\text(Thể tích và diện tích bề mặt của hình chóp)))\]

Định lý

Thể tích của hình chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao của hình chóp: \

Hậu quả

Gọi \(a\) là cạnh đáy, \(h\) là chiều cao của hình chóp.

1. Thể tích của hình chóp tam giác đều là \(V_(\text(tam giác vuông.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Thể tích của hình chóp tứ giác đều là \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Thể tích của hình chóp lục giác đều là \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Thể tích của một tứ diện đều là \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Định lý

Diện tích bề mặt bên của một hình chóp đều bằng nửa tích của chu vi đáy và trung đoạn.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Sự định nghĩa

Hãy xem xét một kim tự tháp tùy ý \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng song song với đáy của kim tự tháp thông qua một điểm nhất định nằm trên cạnh bên của kim tự tháp. Mặt phẳng này sẽ chia hình chóp thành hai khối đa diện, một khối là hình chóp (\(PB_1B_2...B_n\)), khối còn lại được gọi là kim tự tháp cắt ngắn(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Hình chóp cụt có hai đáy - đa giác \(A_1A_2...A_n\) và \(B_1B_2...B_n\) tương tự nhau.

Chiều cao của hình chóp cụt là đường vuông góc được vẽ từ một điểm nào đó của đáy trên đến mặt phẳng của đáy dưới.

Ghi chú quan trọng

1. Tất cả các mặt bên của hình chóp cụt đều là hình thang.

2. Đoạn nối tâm các đáy của hình chóp cụt đều (tức là hình chóp thu được qua mặt cắt ngang của hình chóp đều) là chiều cao.

• huyền thoại- chiều cao của mặt bên của một hình chóp đều, được vẽ từ đỉnh của nó (ngoài ra, trung điểm là chiều dài của đường vuông góc, được hạ từ giữa đa giác đều xuống một trong các cạnh của nó);
• mặt bên (ASB, BSC, CSD, DSA) - hình tam giác gặp nhau ở đỉnh;
• xương sườn bên ( BẰNG , B.S. , CS , D.S. ) - các cạnh chung của các mặt bên;
• đỉnh của kim tự tháp (t. S) - điểm nối các gân bên và không nằm trong mặt phẳng của đế;
• chiều cao ( VÌ THẾ ) - đoạn vuông góc vẽ qua đỉnh của hình chóp đến mặt phẳng đáy của nó (các đầu của đoạn đó sẽ là đỉnh của hình chóp và đáy của đường vuông góc);
• mặt cắt chéo của kim tự tháp- phần kim tự tháp đi qua đỉnh và đường chéo của đáy;
• căn cứ (A B C D) - một đa giác không thuộc đỉnh của hình chóp.

Thuộc tính của kim tự tháp.

1. Khi tất cả các cạnh bên có cùng kích thước thì:

• thật dễ dàng để mô tả một vòng tròn gần chân kim tự tháp, và đỉnh của kim tự tháp sẽ được chiếu vào tâm của vòng tròn này;
• các gân bên tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng của đế;
• Hơn nữa, điều ngược lại cũng đúng, tức là khi các gân bên tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng của đáy hoặc khi có thể mô tả một hình tròn xung quanh đáy hình chóp và đỉnh của hình chóp sẽ chiếu vào tâm của hình tròn này, điều đó có nghĩa là tất cả các cạnh bên của kim tự tháp có cùng kích thước.

2. Khi các mặt bên có một góc nghiêng so với mặt phẳng đáy có cùng giá trị thì:

• thật dễ dàng để mô tả một vòng tròn gần đáy của kim tự tháp, và đỉnh của kim tự tháp sẽ được chiếu vào tâm của vòng tròn này;
• chiều cao của các mặt bên có chiều dài bằng nhau;
• diện tích của mặt bên bằng ½ tích của chu vi đáy và chiều cao của mặt bên.

3. Một hình cầu có thể được mô tả xung quanh một kim tự tháp nếu ở đáy của kim tự tháp có một đa giác xung quanh có thể mô tả một hình tròn (điều kiện cần và đủ). Tâm của hình cầu sẽ là điểm giao nhau của các mặt phẳng đi qua tâm của các cạnh của hình chóp vuông góc với chúng. Từ định lý này, chúng ta kết luận rằng một hình cầu có thể được mô tả xung quanh bất kỳ hình tam giác nào và xung quanh bất kỳ hình chóp đều nào.

4. Một hình cầu có thể nội tiếp vào hình chóp nếu các mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện trong của hình chóp cắt nhau tại điểm thứ nhất (điều kiện cần và đủ). Điểm này sẽ trở thành tâm của hình cầu.

Kim tự tháp đơn giản nhất.

Dựa trên số góc, đáy của kim tự tháp được chia thành hình tam giác, hình tứ giác, v.v.

Sẽ có một kim tự tháp hình tam giác, hình tứ giác, v.v., khi đáy của kim tự tháp là hình tam giác, hình tứ giác, v.v. Hình chóp tam giác là hình tứ diện - tứ diện. Tứ giác - ngũ giác và vân vân.

Cấp độ đầu tiên

Kim tự tháp. Hướng dẫn trực quan (2019)

Kim tự tháp là gì?

Cô ấy nhìn như thế nào?

Bạn thấy đấy: ở dưới cùng của kim tự tháp (họ nói “ ở căn cứ") một số đa giác, và tất cả các đỉnh của đa giác này được nối với một số điểm trong không gian (điểm này được gọi là " đỉnh»).

Toàn bộ cấu trúc này vẫn có mặt bên, sườn bên Và xương sườn. Một lần nữa, hãy vẽ một kim tự tháp cùng với tất cả những cái tên sau:

Một số kim tự tháp có thể trông rất kỳ lạ nhưng chúng vẫn là kim tự tháp.

Ví dụ ở đây là hoàn toàn “xiên” kim tự tháp.

Và nói thêm một chút về tên gọi: nếu ở đáy kim tự tháp có hình tam giác thì gọi là hình tam giác, nếu là hình tứ giác thì là tứ giác, còn nếu là hình ngũ giác thì... bạn tự đoán nhé. .

Cùng lúc đó, nơi nó rơi xuống chiều cao, gọi điện đế chiều cao. Xin lưu ý rằng trong các kim tự tháp “quanh co” chiều cao thậm chí có thể kết thúc ở bên ngoài kim tự tháp. Như thế này:

Và không có gì sai với điều đó. Nó trông giống như một hình tam giác tù.

Đúng kim tự tháp.

rất nhiều từ phức tạp? Hãy giải mã: “Ở căn cứ - đúng” - điều này có thể hiểu được. Bây giờ chúng ta hãy nhớ rằng một đa giác đều có một tâm - một điểm là tâm của và , và .

Chà, từ “đỉnh được chiếu vào tâm của đế” có nghĩa là đáy có chiều cao rơi chính xác vào tâm của đế. Nhìn nó mượt mà và dễ thương làm sao kim tự tháp đều đặn.

lục giác: ở đáy có hình lục giác đều, đỉnh chiếu vào tâm của đáy.

tứ giác: đáy là hình vuông, mặt trên chiếu lên giao điểm các đường chéo của hình vuông này.

tam giác: ở đáy có một tam giác đều, đỉnh chiếu tới giao điểm của các đường cao (chúng vừa là đường trung tuyến, đường phân giác) của tam giác này.

Rất tính chất quan trọng kim tự tháp đúng:

Trong kim tự tháp bên phải

• tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.
• tất cả các mặt bên đều là tam giác cân và tất cả các tam giác này đều bằng nhau.

Khối lượng của kim tự tháp

Công thức chính tính thể tích của kim tự tháp:

Chính xác thì nó đến từ đâu? Điều này không đơn giản như vậy và lúc đầu bạn chỉ cần nhớ rằng hình chóp và hình nón có thể tích trong công thức, nhưng hình trụ thì không.

Bây giờ hãy tính thể tích của các kim tự tháp phổ biến nhất.

Giả sử cạnh của đáy bằng nhau và cạnh bên bằng nhau. Chúng ta cần tìm và.

Đây là diện tích của một hình tam giác đều.

Chúng ta hãy nhớ cách tìm kiếm khu vực này. Ta sử dụng công thức diện tích:

Đối với chúng tôi, “ ” là thế này, và “ ” cũng là thế này, à.

Bây giờ chúng ta hãy tìm nó.

Theo định lý Pythagore cho

Có gì khác biệt? Đây là bán kính đường tròn vì kim tự thápChính xác và do đó, là trung tâm.

Vì - giao điểm của các đường trung tuyến.

(Định lý Pythagore cho)

Hãy thay thế nó vào công thức cho.

Và hãy thay thế mọi thứ vào công thức khối lượng:

Chú ý: nếu bạn có một tứ diện đều (tức là), thì công thức sẽ như thế này:

Giả sử cạnh của đáy bằng nhau và cạnh bên bằng nhau.

Không cần phải nhìn vào đây; Xét cho cùng, đáy là một hình vuông, và do đó.

Chúng ta sẽ tìm thấy nó. Theo định lý Pythagore cho

Chúng ta có biết? Hầu hết. Nhìn:

(chúng tôi đã thấy điều này bằng cách nhìn vào nó).

Thay vào công thức tính:

Và bây giờ chúng ta thay thế và vào công thức thể tích.

Giả sử cạnh của đế bằng nhau và cạnh bên bằng nhau.

Làm thế nào để tìm thấy? Hãy nhìn xem, một hình lục giác bao gồm đúng sáu hình tam giác đều giống nhau. Chúng ta đã tìm diện tích của một hình tam giác đều khi tính thể tích của một hình chóp tam giác đều; ở đây chúng ta sử dụng công thức mà chúng ta đã tìm thấy.

Bây giờ chúng ta hãy tìm (nó).

Theo định lý Pythagore cho

Nhưng chuyện gì vậy? Điều đó đơn giản vì (và tất cả những người khác nữa) đều đúng.

Hãy thay thế:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

KIM TỰ THÁP. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Hình chóp là một khối đa diện bao gồm bất kỳ đa giác phẳng nào (), một điểm không nằm trong mặt phẳng của đáy (đỉnh của hình chóp) và tất cả các đoạn nối đỉnh của hình chóp với các điểm của đáy (các cạnh bên).

Một đường vuông góc rơi từ đỉnh kim tự tháp xuống mặt phẳng đáy.

Kim tự tháp đúng- một kim tự tháp trong đó một đa giác đều nằm ở đáy và đỉnh của kim tự tháp được chiếu vào tâm của đế.

Tính chất của kim tự tháp đều:

• Trong một hình chóp đều, tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.
• Tất cả các mặt bên đều là tam giác cân và tất cả các tam giác này đều bằng nhau.