Lăng kính có các cạnh bên ở đáy được gọi là đường thẳng. Định lý về diện tích xung quanh của lăng kính thẳng
Thông tin chung về lăng kính thẳng
Bề mặt bên của lăng kính (chính xác hơn là diện tích bề mặt bên) được gọi là Tổng diện tích của các mặt bên. Tổng bề mặt của lăng kính bằng tổng bề mặt bên và diện tích của các đáy.
Định lý 19.1. Bề mặt bên của một lăng kính thẳng bằng tích của chu vi đáy và chiều cao của lăng kính, tức là chiều dài của cạnh bên.
Bằng chứng. Các mặt bên của lăng trụ thẳng là hình chữ nhật. Đáy của các hình chữ nhật này là các cạnh của đa giác nằm ở đáy lăng kính và chiều cao bằng chiều dài các cạnh bên. Nó theo sau đó bề mặt bên lăng kính bằng nhau
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
trong đó a 1 và n là độ dài của các cạnh đáy, p là chu vi đáy của lăng kính và I là độ dài của các cạnh bên. Định lý đã được chứng minh.
Nhiệm vụ thực tế
Vấn đề (22) . Trong lăng kính nghiêng nó được thực hiện phần, vuông góc với các gân bên và cắt tất cả các gân bên. Tìm bề mặt bên của lăng kính nếu chu vi của phần đó bằng p và các cạnh bên bằng l.
Giải pháp. Mặt phẳng của phần được vẽ chia lăng kính thành hai phần (Hình 411). Chúng ta hãy dịch song song một trong số chúng, kết hợp các cơ sở của lăng kính. Trong trường hợp này, chúng ta thu được một lăng kính thẳng, đáy của nó là tiết diện của lăng kính ban đầu và các cạnh bên bằng l. Lăng kính này có bề mặt bên giống như lăng kính ban đầu. Do đó, bề mặt bên của lăng kính ban đầu bằng pl.
Tóm tắt chủ đề được đề cập
Bây giờ chúng ta hãy tóm tắt chủ đề chúng ta đã đề cập về lăng kính và ghi nhớ những đặc tính của lăng kính.
Thuộc tính lăng kính
Thứ nhất, một lăng kính có tất cả các đáy là các đa giác bằng nhau;
Thứ hai, trong một lăng kính, tất cả các mặt bên của nó đều là hình bình hành;
Thứ ba, trong một hình nhiều mặt như lăng kính, tất cả các cạnh bên đều bằng nhau;
Ngoài ra, nên nhớ rằng các khối đa diện như lăng kính có thể thẳng hoặc nghiêng.
Lăng kính nào được gọi là lăng kính thẳng?
Nếu cạnh bên của lăng kính nằm vuông góc với mặt phẳng đáy của nó thì lăng kính đó được gọi là lăng kính thẳng.
Sẽ không thừa nếu nhắc lại rằng các mặt bên của lăng trụ thẳng là hình chữ nhật.
Loại lăng kính nào được gọi là xiên?
Nhưng nếu cạnh bên của lăng kính không vuông góc với mặt phẳng đáy của nó thì chúng ta có thể nói chắc chắn rằng đó là lăng kính nghiêng.
Lăng kính nào được gọi là đúng?
Nếu một đa giác đều nằm ở đáy của một hình lăng trụ thẳng thì lăng kính đó là hình lăng trụ đều.
Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại các tính chất của lăng kính thông thường.
Tính chất của lăng kính đều
Đầu tiên, luôn là lý do lăng kính đúng phục vụ đa giác đều;
Thứ hai, nếu chúng ta xét các mặt bên của một lăng kính đều, chúng luôn là những hình chữ nhật bằng nhau;
Thứ ba, nếu so sánh kích thước của các gân bên thì trong lăng kính thông thường, chúng luôn bằng nhau.
Thứ tư, lăng kính đúng luôn thẳng;
Thứ năm, nếu trong một lăng kính đều các mặt bên có dạng hình vuông thì hình như vậy thường được gọi là đa giác bán đều.
Mặt cắt lăng kính
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào mặt cắt ngang của lăng kính:
Bài tập về nhà
Bây giờ chúng ta hãy cố gắng củng cố chủ đề chúng ta đã học bằng cách giải các bài toán.
Hãy vẽ một hình lăng trụ tam giác nghiêng, khoảng cách giữa các cạnh của nó sẽ bằng: 3 cm, 4 cm và 5 cm, và bề mặt bên của lăng kính này sẽ bằng 60 cm2. Có các thông số này hãy tìm cạnh bên của lăng kính này.
Bạn có biết rằng hình học không gian Chúng ta thường xuyên bị vây quanh không chỉ trong các bài học hình học mà còn trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta bắt gặp những đồ vật giống với hình này hay hình hình học khác.
Mỗi gia đình, trường học hoặc nơi làm việc đều có một máy tính có bộ phận hệ thống có hình lăng trụ thẳng.
Nếu bạn chọn một cây bút chì đơn giản, bạn sẽ thấy phần chính của cây bút chì là một lăng kính.
Đi dọc con đường trung tâm thành phố, chúng ta thấy dưới chân mình là một tấm ngói có hình lăng trụ lục giác.
A. V. Pogorelov, Hình học lớp 7-11, Sách giáo khoa cho các cơ sở giáo dục
Định nghĩa 1. Bề mặt lăng trụ
Định lý 1. Trên các mặt cắt song song của một mặt lăng trụ
Định nghĩa 2. Tiết diện vuông góc của mặt lăng trụ
Định nghĩa 3. Lăng kính
Định nghĩa 4. Chiều cao lăng kính
Định nghĩa 5. Lăng kính phải
Định lý 2. Diện tích bề mặt bên của lăng kính
Song song:
Định nghĩa 6. Song song
Định lý 3. Về giao điểm các đường chéo của hình bình hành
Định nghĩa 7. Song song bên phải
Định nghĩa 8. Hình chữ nhật song song
Định nghĩa 9. Phép đo hình bình hành
Định nghĩa 10. Khối lập phương
Định nghĩa 11. Hình thoi
Định lý 4. Trên các đường chéo của hình bình hành hình chữ nhật
Định lý 5. Thể tích lăng trụ
Định lý 6. Thể tích lăng trụ thẳng
Định lý 7. Thể tích hình bình hành hình chữ nhật
lăng kính là một khối đa diện có hai mặt (đáy) nằm trong các mặt phẳng song song và các cạnh không nằm trong các mặt này thì song song với nhau.
Các mặt không phải là đáy được gọi là bên.
Các cạnh của các mặt bên và đáy được gọi là xương sườn lăng kính, các đầu của cạnh được gọi là các đỉnh của lăng kính. Xương sườn bên các cạnh không thuộc cơ sở được gọi. Sự kết hợp của các mặt bên được gọi là bề mặt bên của lăng kính, và sự kết hợp của tất cả các mặt được gọi là toàn bộ bề mặt của lăng kính. Chiều cao lăng kính gọi là đường vuông góc rơi từ điểm của đáy trên đến mặt phẳng của đáy dưới hoặc chiều dài của đường vuông góc này. 
lăng kính trực tiếpđược gọi là lăng kính có các cạnh bên vuông góc với các mặt phẳng đáy. 
Chính xácđược gọi là lăng kính thẳng (Hình 3), ở đáy có một đa giác đều.
Chỉ định:
l - sườn bên;
P - chu vi đáy;
S o - diện tích nền;
H - chiều cao;
P^ - chu vi tiết diện vuông góc;
S b - diện tích bề mặt bên;
V - âm lượng;
S p là diện tích toàn phần của lăng kính.
|
V=SH |
*Giả sử hai mặt phẳng liên tiếp cắt nhau và mặt phẳng cuối cùng cắt mặt phẳng đầu tiên
Định lý 1 . Các phần của một bề mặt lăng trụ có các mặt phẳng song song với nhau (nhưng không song song với các cạnh của nó) là các đa giác bằng nhau.
Cho ABCDE và A"B"C"D"E" là các mặt cắt của một mặt lăng trụ bởi hai mặt phẳng song song. Để chắc chắn rằng hai đa giác này bằng nhau, chỉ cần chứng minh rằng các tam giác ABC và A"B"C" là bằng nhau và có cùng hướng quay và điều đó đúng đối với các tam giác ABD và A"B"D", ABE và A"B"E". Nhưng các cạnh tương ứng của các tam giác này song song (ví dụ AC song song với AC) giống như giao tuyến của một mặt phẳng nào đó với hai mặt phẳng song song; Theo đó, các cạnh này bằng nhau (ví dụ: AC bằng A"C"), giống như các cạnh đối diện của hình bình hành và các góc tạo bởi các cạnh này bằng nhau và có cùng hướng.
Định nghĩa 2 . Tiết diện vuông góc của một bề mặt lăng trụ là tiết diện của bề mặt này bởi một mặt phẳng vuông góc với các cạnh của nó. Dựa trên định lý trước đó, tất cả các phần vuông góc của cùng một bề mặt lăng trụ sẽ là các đa giác bằng nhau.
Định nghĩa 3
. Lăng kính là một khối đa diện được giới hạn bởi một bề mặt lăng trụ và hai mặt phẳng song song với nhau (nhưng không song song với các cạnh của bề mặt lăng trụ)
Các khuôn mặt nằm trong những mặt phẳng cuối cùng này được gọi là cơ sở lăng kính; các mặt thuộc bề mặt lăng trụ - mặt bên; các cạnh của bề mặt lăng trụ - sườn bên của lăng kính. Theo định lý trước, đáy của lăng trụ là đa giác bằng nhau. Tất cả các mặt bên của lăng kính - hình bình hành; tất cả các gân bên đều bằng nhau.
Rõ ràng, nếu cho đáy lăng kính ABCDE và một trong các cạnh AA" về kích thước và hướng thì có thể dựng lăng kính bằng cách vẽ các cạnh BB", CC",... bằng và song song với cạnh AA" .
Định nghĩa 4 . Chiều cao của lăng kính là khoảng cách giữa các mặt phẳng đáy của nó (HH").
Định nghĩa 5
. Một lăng kính được gọi là thẳng nếu đáy của nó là các tiết diện vuông góc của bề mặt lăng trụ. Trong trường hợp này, chiều cao của lăng kính tất nhiên là sườn bên; các cạnh bên sẽ là hình chữ nhật.
Lăng kính có thể được phân loại theo số mặt bên bằng số cạnh của đa giác làm đáy của nó. Do đó, lăng kính có thể là hình tam giác, hình tứ giác, hình ngũ giác, v.v.
Định lý 2
. Diện tích bề mặt bên của lăng kính bằng tích của cạnh bên và chu vi của phần vuông góc.
Cho ABCDEA"B"C"D"E" là một hình lăng trụ cho trước và abcde tiết diện vuông góc của nó sao cho các đoạn ab, bc, .. vuông góc với các cạnh bên của nó. Mặt ABA"B" là hình bình hành, diện tích của nó bằng tích của đáy AA " với độ cao trùng với ab; diện tích mặt ВСВ "С" bằng tích của đáy ВВ" với chiều cao bc, v.v. Do đó, bề mặt bên (tức là tổng diện tích của các mặt bên) bằng tích của cạnh bên, nói cách khác là tổng chiều dài của các đoạn AA", ВВ", .., với lượng ab+bc+cd+de+ea.
Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề cần thiết để thành công vượt qua kỳ thi quốc gia thống nhất môn toán đạt 60-65 điểm. Hoàn toàn mọi vấn đề 1-13 Hồ sơ thi thống nhất bang toán học. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi!
Khóa luyện thi Kỳ thi Thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.
Tất cả các lý thuyết cần thiết. Cách nhanh chóng giải pháp, cạm bẫy và bí mật của Kỳ thi Thống nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018.
Khóa học bao gồm 5 chủ đề lớn, mỗi chủ đề kéo dài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng.
Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất Nhà nước. Vấn đề từ ngữ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích các loại nhiệm vụ Kỳ thi Thống nhất. Lập thể. thủ thuật khó khăn giải pháp, bảng ghi nhớ hữu ích, phát triển trí tưởng tượng về không gian. Lượng giác từ đầu đến bài 13. Hiểu thay vì nhồi nhét. Giải thích rõ ràng về các khái niệm phức tạp. Đại số học. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Là cơ sở để giải các bài toán phức tạp Phần 2 của Đề thi Thống nhất.
Lăng kính. song song
lăng kính là một khối đa diện có hai mặt là n-giác bằng nhau (căn cứ) , nằm trong các mặt phẳng song song và n mặt còn lại là hình bình hành (mặt bên) . Sườn bên Cạnh của lăng kính không thuộc đáy gọi là cạnh của lăng kính.
Một lăng kính có các cạnh bên vuông góc với các mặt phẳng đáy được gọi là thẳng lăng kính (Hình 1). Nếu các cạnh bên không vuông góc với các mặt phẳng của đáy thì lăng kính được gọi là nghiêng . Chính xác Lăng kính là một lăng trụ đứng có đáy là các đa giác đều.
Chiều cao lăng kính là khoảng cách giữa các mặt phẳng của các căn cứ. Đường chéo Lăng kính là đoạn thẳng nối hai đỉnh không thuộc cùng một mặt. Mặt cắt chéo được gọi là một phần của lăng kính bởi một mặt phẳng đi qua hai cạnh bên không thuộc cùng một mặt. Mặt cắt vuông góc được gọi là tiết diện lăng kính có mặt phẳng vuông góc với cạnh bên của lăng kính.
Diện tích bề mặt bên lăng trụ là tổng diện tích của tất cả các mặt bên. Tổng diện tích bề mặt được gọi là tổng diện tích tất cả các mặt của lăng kính (tức là tổng diện tích các mặt bên và diện tích các đáy).
Đối với lăng kính tùy ý, các công thức sau là đúng::
Ở đâu tôi- chiều dài của gân bên;
H- chiều cao;
P
Q
bên S
đầy đủ
Đế chữ S- diện tích của căn cứ;
V.- thể tích của lăng kính.
Đối với lăng kính thẳng các công thức sau đúng:
Ở đâu P- chu vi đáy;
tôi- chiều dài của gân bên;
H- chiều cao.
song song gọi là lăng kính có đáy là hình bình hành. Một hình bình hành có các cạnh bên vuông góc với các đáy được gọi là trực tiếp (Hình 2). Nếu các cạnh bên không vuông góc với các đáy thì hình bình hành được gọi là nghiêng . Hình bình hành bên phải có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật. Một hình chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau được gọi là khối lập phương
Các mặt của hình bình hành không có đỉnh chung được gọi là đối diện . Độ dài các cạnh xuất phát từ một đỉnh được gọi là đo song song. Vì một hình bình hành là một lăng kính nên các phần tử chính của nó được định nghĩa giống như cách chúng được định nghĩa cho lăng kính.
Định lý.
1. Các đường chéo của một hình bình hành cắt nhau tại một điểm và chia đôi điểm đó.
2. Trong hình chữ nhật có hình bình hành, bình phương chiều dài đường chéo bằng tổng các bình phương ba chiều của nó: 
3. 
Tất cả bốn đường chéo của một hình bình hành hình chữ nhật đều bằng nhau.
Đối với một hình song song tùy ý, các công thức sau đây là hợp lệ:
Ở đâu tôi- chiều dài của gân bên;
H- chiều cao;
P- chu vi tiết diện vuông góc;
Q– Diện tích mặt cắt ngang vuông góc;
bên S- diện tích bề mặt bên;
đầy đủ- Tổng diện tích bề mặt;
Đế chữ S- diện tích của căn cứ;
V.- thể tích của lăng kính.
Đối với một hình bình hành bên phải, các công thức sau đây là đúng:
Ở đâu P- chu vi đáy;
tôi- chiều dài của gân bên;
H- chiều cao của hình bình hành bên phải.
Đối với hình chữ nhật có hình bình hành các công thức sau là đúng:
(3)
Ở đâu P- chu vi đáy;
H- chiều cao;
d- đường chéo;
a,b,c- phép đo của một hình bình hành.
Các công thức sau đây đúng cho hình lập phương:
Ở đâu Một- chiều dài gân;
d- đường chéo của hình lập phương.
Ví dụ 1.Đường chéo của một hình bình hành hình chữ nhật là 33 dm và kích thước của nó tỉ lệ 2: 6: 9. Tìm kích thước của hình bình hành đó.
Giải pháp.Để tìm kích thước của hình bình hành, chúng ta sử dụng công thức (3), tức là bởi thực tế là bình phương cạnh huyền của hình lập phương bằng tổng bình phương các kích thước của nó. Hãy ký hiệu bằng k hệ số tỷ lệ. Khi đó kích thước của hình bình hành sẽ bằng 2 k, 6k và 9 k. Hãy viết công thức (3) cho dữ liệu bài toán:
Giải phương trình này cho k, chúng tôi nhận được:
Điều này có nghĩa là kích thước của hình bình hành là 6 dm, 18 dm và 27 dm.
Trả lời: 6 dm, 18 dm, 27 dm.
Ví dụ 2. Tìm thể tích của một hình lăng trụ tam giác nghiêng, đáy của nó là một tam giác đều có cạnh 8 cm, nếu cạnh bên bằng cạnh đáy và nghiêng một góc 60° so với đáy.
Giải pháp
.
Hãy vẽ một bản vẽ (Hình 3).
Để tìm thể tích của một lăng kính nghiêng, bạn cần biết diện tích đáy và chiều cao của nó. Diện tích đáy của lăng kính này là diện tích của một tam giác đều có cạnh 8 cm, chúng ta tính:
Chiều cao của lăng kính là khoảng cách giữa các đáy của nó. Từ đầu MỘT 1 của đế trên, hạ thấp vuông góc với mặt phẳng của đế dưới MỘT 1 D. Chiều dài của nó sẽ là chiều cao của lăng kính. Hãy xem xét D MỘT 1 QUẢNG CÁO: vì đây là góc nghiêng của cạnh bên MỘT 1 MỘTđến mặt phẳng cơ sở, MỘT 1 MỘT= 8 cm, từ tam giác này ta tìm được MỘT 1 D:
Bây giờ chúng ta tính toán khối lượng bằng công thức (1):
Trả lời: 192cm3.
Ví dụ 3. Cạnh bên của hình lăng trụ lục giác đều là 14 cm, diện tích tiết diện lớn nhất là 168 cm 2. Tìm tổng diện tích bề mặt của lăng kính.
Giải pháp. Hãy vẽ một bản vẽ (Hình 4)
Tiết diện lớn nhất là hình chữ nhật A.A. 1 ĐĐ 1 kể từ đường chéo QUẢNG CÁO lục giác đều ABCDEF là cái lớn nhất. Để tính diện tích xung quanh của lăng kính, cần biết cạnh của đáy và chiều dài của cạnh bên.
Biết diện tích của phần đường chéo (hình chữ nhật), chúng ta tìm được đường chéo của đáy.
Kể từ đó 
Kể từ đó AB= 6 cm.
Khi đó chu vi của đáy là:
Chúng ta hãy tìm diện tích bề mặt bên của lăng kính:
Diện tích hình lục giác đều có cạnh 6 cm là:
Tìm tổng diện tích bề mặt của lăng kính:
Trả lời: 
Ví dụ 4.Đáy của hình bình hành bên phải là hình thoi. Diện tích mặt cắt ngang là 300 cm2 và 875 cm2. Tìm diện tích bề mặt bên của hình bình hành.
Giải pháp. Hãy vẽ một bản vẽ (Hình 5).
Chúng ta hãy biểu thị cạnh của hình thoi bằng MỘT, các đường chéo của hình thoi d 1 và d 2, chiều cao song song h. Để tìm diện tích bề mặt bên của hình bình hành bên phải, cần nhân chu vi đáy với chiều cao: (công thức (2)). Chu vi cơ sở p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, bởi vì A B C D- hình thoi H = AA 1 = h. Cái đó. Cần tìm MỘT Và h.
Hãy xem xét các phần đường chéo. AA 1 SS 1 – hình chữ nhật có một cạnh là đường chéo của hình thoi AC = d 1, thứ hai – cạnh bên AA 1 = h, Sau đó
Tương tự cho phần BB 1 ĐĐ 1 chúng tôi nhận được:
Sử dụng tính chất của hình bình hành sao cho tổng bình phương của các đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh của nó, ta thu được đẳng thức. Ta thu được đẳng thức sau.
