Đại lượng vectơ và đại lượng vô hướng là gì? Đại lượng vectơ trong vật lý

(tensor bậc 0), mặt khác là đại lượng tensor (nói đúng ra là tensor bậc 2 trở lên). Nó cũng có thể được đối chiếu với một số đối tượng có tính chất toán học hoàn toàn khác.

Trong hầu hết các trường hợp, thuật ngữ vectơ được sử dụng trong vật lý để biểu thị một vectơ trong cái gọi là “không gian vật lý”, nghĩa là trong không gian ba chiều thông thường của vật lý cổ điển hoặc trong không-thời gian bốn chiều trong vật lý hiện đại ( trong trường hợp sau, khái niệm vectơ và đại lượng vectơ trùng với khái niệm đại lượng 4 vectơ và 4 vectơ).

Việc sử dụng cụm từ “đại lượng vectơ” thực tế đã cạn kiệt vì điều này. Đối với việc sử dụng thuật ngữ “vectơ”, mặc dù thiên hướng mặc định của nó đối với cùng một lĩnh vực ứng dụng, nhưng trong một số lượng lớn các trường hợp, nó vẫn vượt xa các ranh giới đó rất nhiều. Xem bên dưới để biết chi tiết.

Sử dụng các điều khoản vectơ Và lượng vectơ Trong vật lý

Nói chung, trong vật lý, khái niệm vectơ gần như hoàn toàn trùng khớp với khái niệm trong toán học. Tuy nhiên, có một đặc điểm về mặt thuật ngữ gắn liền với thực tế là trong toán học hiện đại, khái niệm này có phần quá trừu tượng (so với nhu cầu của vật lý).

Trong toán học, khi chúng ta nói “vectơ”, chúng ta muốn nói đến một vectơ nói chung, nghĩa là bất kỳ vectơ nào của bất kỳ không gian tuyến tính trừu tượng nào thuộc bất kỳ chiều và tính chất nào, trừ khi có những nỗ lực đặc biệt, thậm chí có thể dẫn đến nhầm lẫn (không phải như vậy). tất nhiên là nhiều về bản chất là để dễ sử dụng). Nếu cần phải cụ thể hơn, theo phong cách toán học, người ta phải nói khá dài (“vectơ của không gian như vậy và không gian như vậy”) hoặc ghi nhớ những gì được ngụ ý trong bối cảnh được mô tả rõ ràng.

Trong vật lý, chúng ta hầu như luôn nói không phải về các đối tượng toán học (có những tính chất hình thức nhất định) nói chung mà về mối liên hệ (“vật lý”) cụ thể của chúng. Khi tính đến những cân nhắc về tính đặc hiệu này cùng với những cân nhắc về tính ngắn gọn và thuận tiện, có thể hiểu rằng việc thực hành thuật ngữ trong vật lý khác biệt rõ rệt với việc thực hành thuật ngữ trong toán học. Tuy nhiên, nó không mâu thuẫn rõ ràng với vế sau. Điều này có thể đạt được bằng một vài “thủ thuật” đơn giản. Trước hết, những điều này bao gồm thỏa thuận về việc sử dụng thuật ngữ theo mặc định (khi ngữ cảnh không được chỉ định cụ thể). Do đó, trong vật lý, không giống như toán học, từ vectơ nếu không được làm rõ thêm thường không có nghĩa là “một vectơ nào đó của bất kỳ không gian tuyến tính nào nói chung”, mà chủ yếu là một vectơ gắn liền với “không gian vật lý thông thường” (không gian ba chiều của vật lý cổ điển hoặc vật lý cổ điển). không gian bốn chiều - thời gian của vật lý tương đối tính). Đối với các vectơ của không gian không liên quan trực tiếp và trực tiếp đến “không gian vật lý” hoặc “không-thời gian”, các tên đặc biệt được sử dụng (đôi khi bao gồm từ “vectơ”, nhưng có làm rõ). Nếu một vectơ của không gian nào đó không liên quan trực tiếp và trực tiếp đến “không gian vật lý” hoặc “không-thời gian” (và khó mô tả ngay lập tức theo bất kỳ cách cụ thể nào) được đưa vào lý thuyết, thì nó thường được mô tả cụ thể là “ vectơ trừu tượng”.

Tất cả những gì đã được nói trong đến một mức độ lớn hơn, hơn là thuật ngữ "vectơ", đề cập đến thuật ngữ "đại lượng vectơ". Sự im lặng trong trường hợp này thậm chí còn hàm ý chặt chẽ hơn sự ràng buộc với “không gian thông thường” hoặc không-thời gian, và việc sử dụng các không gian vectơ trừu tượng liên quan đến các phần tử hầu như không bao giờ gặp phải, ít nhất việc sử dụng như vậy dường như là ngoại lệ hiếm nhất (nếu hoàn toàn không phải là đặt chỗ trước).

Trong vật lý, vectơ thường xuyên nhất và đại lượng vectơ - hầu như luôn luôn - được gọi là vectơ của hai lớp tương tự nhau:

Ví dụ về các đại lượng vật lý vectơ: tốc độ, lực, dòng nhiệt.

Nguồn gốc của đại lượng vectơ

Các “đại lượng vectơ” vật lý liên quan đến không gian như thế nào? Trước hết, điều đáng chú ý là thứ nguyên của các đại lượng vectơ (theo nghĩa thông thường khi sử dụng thuật ngữ này, đã được giải thích ở trên) trùng với thứ nguyên của cùng một không gian “vật lý” (và “hình học”), chẳng hạn, không gian ba chiều và vectơ điện trường là ba chiều. Bằng trực giác, người ta cũng có thể nhận thấy rằng bất kỳ đại lượng vật lý vectơ nào, cho dù nó có mối liên hệ mơ hồ nào với phần mở rộng không gian thông thường, tuy nhiên vẫn có một hướng rất xác định trong không gian thông thường này.

Tuy nhiên, hóa ra có thể đạt được nhiều hơn thế bằng cách trực tiếp “rút gọn” toàn bộ tập hợp các đại lượng vectơ vật lý thành các vectơ “hình học” đơn giản nhất, hay đúng hơn là thành một vectơ - vectơ dịch chuyển cơ bản, và nó sẽ còn nhiều hơn thế nói đúng - bằng cách rút ra tất cả từ nó.

Quy trình này có hai cách thực hiện khác nhau (mặc dù về cơ bản là lặp lại chi tiết) cho trường hợp ba chiều của vật lý cổ điển và cho công thức không-thời gian bốn chiều phổ biến trong vật lý hiện đại.

Vỏ 3D cổ điển

Chúng ta sẽ bắt đầu từ không gian “hình học” ba chiều thông thường nơi chúng ta sống và có thể di chuyển.

Chúng ta hãy lấy vectơ chuyển vị vô hạn làm vectơ ban đầu và vectơ tham chiếu. Khá rõ ràng rằng đây là một vectơ "hình học" thông thường (giống như một vectơ dịch chuyển hữu hạn).

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý ngay rằng việc nhân một vectơ với một đại lượng vô hướng luôn cho một vectơ mới. Điều tương tự cũng có thể nói về tổng và hiệu của các vectơ. Trong chương này chúng ta sẽ không phân biệt giữa vectơ cực và vectơ trục, vì vậy chúng ta lưu ý rằng tích vectơ của hai vectơ cũng cho một vectơ mới.

Ngoài ra, vectơ mới đưa ra vi phân của vectơ đối với vô hướng (vì đạo hàm như vậy là giới hạn của tỷ số hiệu của vectơ với vô hướng). Điều này có thể được nói thêm về các dẫn xuất của tất cả các bậc cao hơn. Điều tương tự cũng đúng đối với tích phân theo đại số vô hướng (thời gian, khối lượng).

Bây giờ lưu ý rằng, dựa trên vectơ bán kính r hoặc từ chuyển vị cơ bản d r, chúng ta dễ dàng hiểu rằng các vectơ (vì thời gian là vô hướng) là những đại lượng động học như

Từ tốc độ và gia tốc nhân với đại lượng (khối lượng), ta được

Vì bây giờ chúng ta quan tâm đến các vectơ giả nên chúng ta lưu ý rằng

• Sử dụng công thức lực Lorentz, cường độ điện trường và vectơ cảm ứng từ gắn liền với vectơ lực và vectơ vận tốc.

Tiếp tục quy trình này, chúng ta phát hiện ra rằng tất cả các đại lượng vectơ mà chúng ta đã biết giờ đây không chỉ được gắn trực tiếp mà còn về mặt hình thức, gắn liền với không gian ban đầu. Cụ thể, theo một nghĩa nào đó, tất cả chúng đều là các phần tử của nó, vì về cơ bản chúng được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác (với các thừa số vô hướng, có thể là thứ nguyên, nhưng vô hướng, và do đó về mặt hình thức khá hợp pháp).

Trong vật lý, có một số loại đại lượng: vectơ và vô hướng.

Đại lượng vectơ là gì?

lượng vectơ có hai đặc điểm chính: hướng và mô-đun. Hai vectơ sẽ giống nhau nếu giá trị tuyệt đối và hướng của chúng giống nhau. Để biểu thị một đại lượng vectơ, các chữ cái có mũi tên phía trên thường được sử dụng nhất. Một ví dụ về đại lượng vectơ là lực, vận tốc hoặc gia tốc.

Để hiểu bản chất của đại lượng vectơ, người ta nên xem xét nó từ quan điểm hình học. Vectơ là một đoạn có hướng. Độ dài của một đoạn như vậy tương quan với giá trị mô đun của nó. Ví dụ vật lýĐại lượng vectơ là độ dịch chuyển của một điểm vật chất chuyển động trong không gian. Các thông số như gia tốc của điểm này, tốc độ và lực tác dụng lên nó, điện từ trường cũng sẽ được hiển thị dưới dạng đại lượng vectơ.

Nếu chúng ta xem xét một đại lượng vectơ bất kể hướng thì đoạn đó có thể đo được. Nhưng kết quả thu được sẽ chỉ phản ánh một phần đặc điểm của đại lượng. Để đo lường đầy đủ nó, giá trị phải được bổ sung bằng các tham số khác của đoạn định hướng.

Trong đại số vectơ có khái niệm vectơ không. Khái niệm này có nghĩa là một điểm. Đối với hướng của vectơ 0, nó được coi là không chắc chắn. Để biểu thị vectơ 0, số 0 số học được sử dụng, được in đậm.

Nếu phân tích tất cả những điều trên, chúng ta có thể kết luận rằng tất cả các đoạn có hướng đều xác định vectơ. Hai đoạn sẽ chỉ xác định một vectơ nếu chúng bằng nhau. Khi so sánh các vectơ, quy tắc tương tự được áp dụng như khi so sánh đại lượng vô hướng. Bình đẳng có nghĩa là hoàn toàn đồng ý về mọi mặt.

Đại lượng vô hướng là gì?

Không giống như vectơ, đại lượng vô hướng chỉ có một tham số - tham số này giá trị số của nó. Điều đáng chú ý là giá trị được phân tích có thể có cả giá trị số dương và giá trị âm.

Ví dụ bao gồm khối lượng, điện áp, tần số hoặc nhiệt độ. Với số lượng như vậy, bạn có thể thực hiện các phép tính số học khác nhau: cộng, chia, trừ, nhân. Một đại lượng vô hướng không có đặc tính như hướng.

Một đại lượng vô hướng được đo bằng một giá trị số, do đó nó có thể được hiển thị trên trục tọa độ. Ví dụ, trục quãng đường, nhiệt độ hoặc thời gian thường được xây dựng.

Sự khác biệt chính giữa đại lượng vô hướng và vectơ

Từ những mô tả ở trên, rõ ràng sự khác biệt chính giữa đại lượng vectơ và đại lượng vô hướng là ở chỗ chúng đặc trưng. Đại lượng vectơ có hướng và độ lớn, trong khi đại lượng vô hướng chỉ có giá trị bằng số. Tất nhiên, đại lượng vectơ, giống như đại lượng vô hướng, có thể đo được, nhưng đặc tính như vậy sẽ không đầy đủ vì không có hướng.

Để hình dung rõ hơn sự khác biệt giữa đại lượng vô hướng và đại lượng vectơ, cần đưa ra một ví dụ. Để làm được điều này, chúng ta hãy sử dụng một lĩnh vực kiến ​​thức như khí hậu học. Nếu chúng ta nói rằng gió thổi với tốc độ 8 mét/giây thì sẽ đưa ra một đại lượng vô hướng. Nhưng nếu chúng ta nói rằng gió bắc thổi với tốc độ 8 mét mỗi giây, thì chúng ta đang nói về một giá trị vectơ.

Các vectơ đóng một vai trò to lớn trong toán học hiện đại, cũng như trong nhiều lĩnh vực cơ học và vật lý. Hầu hết các đại lượng vật lý có thể được biểu diễn dưới dạng vectơ. Điều này cho phép chúng ta khái quát hóa và đơn giản hóa đáng kể các công thức và kết quả được sử dụng. Thông thường các giá trị vectơ và vectơ được xác định với nhau. Ví dụ, trong vật lý, bạn có thể nghe thấy tốc độ hoặc lực là một vectơ.

Đại lượng vô hướng và vectơ

1. Phép tính vectơ (ví dụ: độ dịch chuyển (s), lực (F), gia tốc (a), vận tốc (V) năng lượng (E)).

   đại lượng vô hướng được xác định hoàn toàn bằng cách chỉ định các giá trị số của chúng (chiều dài (L), diện tích (S), thể tích (V), thời gian (t), khối lượng (m), v.v.);

2. Đại lượng vô hướng: nhiệt độ, thể tích, mật độ, điện thế, thế năng của cơ thể (ví dụ: trong trường hấp dẫn). Ngoài ra mô đun của bất kỳ vectơ nào (ví dụ: các vectơ được liệt kê bên dưới).

   Các đại lượng vectơ: vectơ bán kính, tốc độ, gia tốc, cường độ điện trường, cường độ từ trường. Và nhiều người khác :)

3. một đại lượng vectơ có biểu thức và hướng bằng số: tốc độ, gia tốc, lực, cảm ứng điện từ, độ dịch chuyển, v.v., và đại lượng vô hướng chỉ là một biểu thức số: thể tích, mật độ, chiều dài, chiều rộng, chiều cao, khối lượng (không được nhầm lẫn với trọng lượng) nhiệt độ
4. vectơ, ví dụ: tốc độ (v), lực (F), chuyển vị (s), xung lực (p), năng lượng (E). Một vectơ mũi tên được đặt phía trên mỗi chữ cái này. đó là lý do tại sao chúng là vector. và vô hướng là khối lượng (m), thể tích (V), diện tích (S), thời gian (t), chiều cao (h)
5. Chuyển động của vectơ là chuyển động tuyến tính, tiếp tuyến.
   Chuyển động vô hướng là chuyển động kín sàng lọc chuyển động vectơ.
   Các chuyển động của vectơ được truyền qua các chuyển động vô hướng, cũng như thông qua các trung gian, giống như dòng điện được truyền từ nguyên tử này sang nguyên tử khác thông qua một dây dẫn.
6. Đại lượng vô hướng: nhiệt độ, thể tích, mật độ, điện thế, thế năng của cơ thể (ví dụ: trong trường hấp dẫn). Ngoài ra mô đun của bất kỳ vectơ nào (ví dụ: các vectơ được liệt kê bên dưới).

   Các đại lượng vectơ: vectơ bán kính, tốc độ, gia tốc, cường độ điện trường, cường độ từ trường. Và nhiều người khác: -

7. Đại lượng vô hướng (vô hướng) là đại lượng vật lý chỉ có một đặc tính: giá trị số.

   Đại lượng vô hướng có thể dương hoặc âm.

   Ví dụ về đại lượng vô hướng: khối lượng, nhiệt độ, đường đi, công, thời gian, chu kỳ, tần số, mật độ, năng lượng, thể tích, công suất điện, điện áp, dòng điện, v.v.

   Các phép toán với đại lượng vô hướng là các phép toán đại số.

   lượng vectơ

   Đại lượng vectơ (vectơ) là đại lượng vật lý có hai đặc tính: môđun và hướng trong không gian.

   Ví dụ về đại lượng vectơ: tốc độ, lực, gia tốc, lực căng, v.v.

   Về mặt hình học, một vectơ được mô tả như một đoạn có hướng của một đường thẳng, độ dài của nó được chia tỷ lệ theo mô đun của vectơ.

Tất cả các đại lượng mà chúng ta gặp trong vật lý và đặc biệt là trong một trong các nhánh cơ học của nó, có thể được chia thành hai loại:

a) đại lượng vô hướng, được xác định bởi một số thực dương hoặc số âm. Ví dụ về các đại lượng đó bao gồm thời gian, nhiệt độ;

b) vectơ, được xác định bởi một đoạn không gian có hướng của một đường (hoặc ba đại lượng vô hướng) và có các tính chất cho dưới đây.

Ví dụ về đại lượng vectơ là lực, tốc độ, gia tốc.

Hệ tọa độ Descartes

Khi Chúng ta đang nói về về các phân đoạn có hướng, thì bạn nên chỉ ra đối tượng liên quan đến hướng này được xác định. Hệ tọa độ Descartes, các thành phần của nó là các trục, được coi là một đối tượng như vậy.

Trục là một đường thẳng được chỉ định hướng. Ba trục vuông góc với nhau cắt nhau tại điểm O, được đặt tên tương ứng, tạo thành hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Hệ tọa độ Descartes có thể thuận tay phải (Hình 1) hoặc thuận tay trái (Hình 2). Các hệ thống này là hình ảnh phản chiếu của nhau và không thể kết hợp được bằng bất kỳ chuyển động nào.

Trong tất cả các phần trình bày tiếp theo, hệ tọa độ thuận tay phải được áp dụng xuyên suốt. Trong hệ tọa độ bên phải, hướng tham chiếu dương cho tất cả các góc được lấy ngược chiều kim đồng hồ.

Điều này tương ứng với hướng mà trục x và y thẳng hàng khi nhìn từ hướng dương của trục

Vectơ miễn phí

Một vectơ chỉ được đặc trưng bởi độ dài và hướng trong một hệ tọa độ nhất định được gọi là tự do. Một vectơ tự do được biểu thị bằng một đoạn có độ dài và hướng nhất định, phần đầu của đoạn này nằm ở bất kỳ điểm nào trong không gian. Trong hình vẽ, vectơ được biểu thị bằng một mũi tên (Hình 3).

Các vectơ được biểu thị bằng một hoặc hai chữ cái in đậm tương ứng với phần đầu và phần cuối của mũi tên có dấu gạch ngang phía trên hoặc

Độ lớn của vectơ được gọi là mô đun của nó và được biểu thị theo một trong các cách sau

Đẳng thức của vectơ

Vì đặc điểm chính của vectơ là chiều dài và hướng của nó nên vectơ được gọi là bằng nhau nếu hướng và độ lớn của chúng trùng nhau. Trong trường hợp cụ thể, các vectơ bằng nhau có thể hướng dọc theo một đường thẳng. Đẳng thức của vectơ, ví dụ a và b (Hình 4), được viết là:

Nếu các vectơ (a và b) có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng theo đường kính (Hình 5), thì điều này được viết dưới dạng:

Các vectơ cùng hướng hoặc ngược chiều được gọi là thẳng hàng.

Nhân một vectơ với một số vô hướng

Tích của vectơ a và vô hướng K được gọi là vectơ theo mô đun, cùng hướng với vectơ a nếu K dương và đối nghịch với nó nếu K âm.

Đơn vị véc tơ

Một vectơ có mô đun bằng 1 và có hướng trùng với vectơ a đã cho được gọi là vectơ đơn vị của vectơ đã cho hoặc vectơ đơn vị của nó. Ort được ký hiệu là . Bất kỳ vectơ nào cũng có thể được biểu diễn thông qua vectơ đơn vị của nó dưới dạng

Các vectơ đơn vị nằm dọc theo hướng dương của trục tọa độ được chỉ định tương ứng (Hình 6).

Phép cộng vectơ

Quy tắc cộng vectơ được đưa ra (sự biện minh cho định đề này là quan sát các đối tượng thực có tính chất vectơ). Tiên đề này là hai vectơ

Chúng được chuyển đến một điểm nào đó trong không gian sao cho nguồn gốc của chúng trùng nhau (Hình 7). Đường chéo có hướng của hình bình hành dựng trên các vectơ này (Hình 7) được gọi là tổng các vectơ, phép cộng các vectơ được viết dưới dạng

và được gọi là phép cộng theo quy tắc hình bình hành.

Quy tắc cụ thể để cộng vectơ cũng có thể được thực hiện theo cách sau: tại bất kỳ điểm nào trong không gian, một vectơ được đặt xa hơn, một vectơ được đặt cách xa phần cuối của vectơ (Hình 8). Một vectơ a, phần đầu trùng với phần đầu của vectơ và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ, sẽ là tổng của các vectơ

Quy tắc cộng vectơ cuối cùng rất thuận tiện nếu bạn cần cộng nhiều hơn hai vectơ. Thật vậy, nếu bạn cần thêm một số vectơ, thì bằng cách sử dụng quy tắc đã chỉ định, bạn nên xây dựng một đường đứt nét, các cạnh của chúng là các vectơ đã cho và phần đầu của bất kỳ vectơ nào đều trùng với phần cuối của vectơ trước đó. Tổng của các vectơ này sẽ là một vectơ có phần đầu trùng với phần đầu của vectơ đầu tiên và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ cuối cùng (Hình 9). Nếu các vectơ đã cho tạo thành một đa giác khép kín thì tổng các vectơ được cho là bằng 0.

Từ quy tắc xây dựng tổng các vectơ, ta suy ra rằng tổng của chúng không phụ thuộc vào thứ tự lấy các số hạng hoặc phép cộng các vectơ là giao hoán. Đối với hai vectơ, vectơ sau có thể được viết là:

Phép trừ vectơ

Việc trừ một vectơ khỏi một vectơ được thực hiện theo quy tắc sau: một vectơ được xây dựng và một vectơ - được đặt ở đầu của nó (Hình 10). Vector a, điểm đầu trùng với điểm đầu

vectơ và điểm cuối - có điểm cuối của vectơ bằng hiệu giữa các vectơ và Phép toán thực hiện có thể được viết dưới dạng:

Phân tách vectơ thành các thành phần

Phân tách một vectơ đã cho có nghĩa là biểu diễn nó dưới dạng tổng của một số vectơ, được gọi là các thành phần của nó.

Chúng ta hãy xem xét vấn đề phân rã vectơ a, nếu nó được chỉ định rằng các thành phần của nó sẽ hướng dọc theo ba trục tọa độ. Để làm điều này, chúng ta sẽ xây dựng một hình bình hành, đường chéo của nó là vectơ a và các cạnh song song với các trục tọa độ (Hình 11). Khi đó, như hiển nhiên trên hình vẽ, tổng các vectơ nằm dọc theo các cạnh của hình bình hành này sẽ cho vectơ a:

Chiếu một vectơ lên ​​một trục

Hình chiếu của vectơ lên ​​một trục là kích thước của một đoạn có hướng, được giới hạn bởi các mặt phẳng vuông góc với trục, đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ (Hình 12). Giao điểm của các mặt phẳng này với trục (A và B) lần lượt được gọi là hình chiếu của điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

Hình chiếu của vectơ có dấu cộng nếu các hướng của nó, tính từ hình chiếu của phần đầu của vectơ đến hình chiếu của phần cuối của vectơ, trùng với hướng của trục. Nếu các hướng này không trùng nhau thì hình chiếu có dấu trừ.

Hình chiếu của vectơ a lên các trục tọa độ được ký hiệu tương ứng

Tọa độ vectơ

Các thành phần của vectơ a, nằm song song với các trục tọa độ thông qua phép chiếu vectơ và vectơ đơn vị, có thể viết dưới dạng:

Kể từ đây:

trong đó chúng xác định hoàn toàn vectơ và được gọi là tọa độ của nó.

Biểu thị qua các góc mà vectơ a tạo với các trục tọa độ, hình chiếu của vectơ a lên các trục có thể viết dưới dạng:

Do đó đối với mô đun của vectơ a chúng ta có biểu thức:

Vì định nghĩa của vectơ theo hình chiếu của nó là duy nhất nên hai vectơ bằng nhau sẽ có tọa độ bằng nhau.

Cộng các vectơ thông qua tọa độ của chúng

Như sau từ Hình. 13, hình chiếu của tổng các vectơ lên ​​trục bằng tổng đại số các hình chiếu của chúng. Do đó, từ đẳng thức vectơ:

ba đẳng thức vô hướng sau đây như sau:

hoặc tọa độ của vectơ tổng bằng tổng đại số tọa độ của các vectơ thành phần.

Tích chấm của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ được ký hiệu là a b và được xác định bằng tích các mô đun của chúng và cosin của góc giữa chúng:

Tích vô hướng của hai vectơ cũng có thể được định nghĩa là tích mô đun của một trong các vectơ và hình chiếu của vectơ kia lên hướng của vectơ thứ nhất.

Từ định nghĩa của tích vô hướng, suy ra rằng

tức là luật giao hoán xảy ra.

Liên quan đến phép cộng, tích vô hướng có tính chất phân phối:

suy ra trực tiếp từ tính chất là phép chiếu của tổng các vectơ bằng tổng đại số của các phép chiếu của chúng.

Tích vô hướng thông qua phép chiếu của vectơ có thể được viết là:

Tích chéo của hai vectơ

Tích chéo của hai vectơ được ký hiệu là axb. Đây là một vectơ c, mô đun của nó bằng tích các mô đun của các vectơ được nhân với sin của góc giữa chúng:

Vector c có hướng vuông góc với mặt phẳng xác định bởi vectơ a và b sao cho nếu nhìn từ cuối vectơ c thì để căn chỉnh vectơ a với vectơ b càng nhanh càng tốt, vectơ đầu tiên phải quay theo chiều dương hướng (ngược chiều kim đồng hồ; Hình 14). Một vectơ là tích chéo của hai vectơ được gọi là vectơ trục (hoặc vectơ giả). Hướng của nó phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ hoặc điều kiện theo chiều dương của các góc. Hướng chỉ định của vectơ c tương ứng với hệ trục tọa độ Descartes bên phải, sự lựa chọn đã được thống nhất trước đó.

Trong toán học, vectơ là một đoạn có hướng có độ dài nhất định. Trong vật lý, đại lượng vectơ được hiểu là mô tả đầy đủ một số đại lượng vật lý có mô đun và hướng tác dụng. Hãy xem xét các tính chất cơ bản của vectơ, cũng như các ví dụ về các đại lượng vật lý là vectơ.

Vô hướng và vectơ

Đại lượng vô hướng trong vật lý là những tham số có thể đo được và biểu thị bằng một số duy nhất. Ví dụ: nhiệt độ, khối lượng và thể tích là các đại lượng vô hướng vì chúng được đo tương ứng bằng độ, kilôgam và mét khối.

Trong hầu hết các trường hợp, hóa ra số xác định đại lượng vô hướng không chứa thông tin toàn diện. Ví dụ, khi xem xét một đặc tính vật lý như gia tốc, sẽ không đủ nếu nói rằng nó bằng 5 m/s 2, vì bạn cần biết nó hướng về đâu, ngược với tốc độ của cơ thể, ở một góc nào đó. với tốc độ này, hoặc cách khác. Ngoài gia tốc, một ví dụ về đại lượng vectơ trong vật lý là vận tốc. Loại này cũng bao gồm lực, cường độ điện trường, v.v.

Theo định nghĩa đại lượng vectơ là một đoạn có hướng trong không gian thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp số (thành phần vectơ) nếu được xét trong một hệ tọa độ nhất định. Thông thường trong vật lý và toán học, các vấn đề nảy sinh mà để mô tả một vectơ, đòi hỏi kiến ​​thức về hai thành phần (bài toán trên mặt phẳng) hoặc ba (bài toán trong không gian) của nó.

Định nghĩa vectơ trong không gian n chiều

Trong không gian n chiều, trong đó n là số nguyên, một vectơ sẽ được xác định duy nhất nếu biết n thành phần của nó. Mỗi thành phần biểu diễn tọa độ điểm cuối của vectơ dọc theo trục tọa độ tương ứng, với điều kiện điểm bắt đầu của vectơ là gốc của hệ tọa độ của không gian n chiều. Kết quả là vectơ có thể được biểu diễn như sau: v = (a 1, a 2, a 3, ..., a n), trong đó a 1 là giá trị vô hướng của thành phần thứ nhất của vectơ v. Theo đó, trong không gian 3 chiều vectơ sẽ được viết là v = (a 1, a 2, a 3) và trong không gian 2 chiều - v = (a 1, a 2).

Đại lượng vectơ được biểu thị như thế nào? Bất kỳ vectơ nào trong không gian 1 chiều, 2 chiều và 3 chiều đều có thể được biểu diễn dưới dạng đoạn có hướng nằm giữa các điểm A và B. Trong trường hợp này, nó được ký hiệu là AB →, trong đó mũi tên chỉ ra rằng chúng ta đang nói về một lượng vectơ. Trình tự các chữ cái thường được biểu thị từ đầu đến cuối của vectơ. Điều này có nghĩa là nếu tọa độ của các điểm A và B, chẳng hạn, trong không gian 3 chiều, lần lượt bằng (x 1, y 1, z 1) và (x 2, y 2, z 2), thì các thành phần của vectơ AB → sẽ bằng nhau (x 2 -x 1, y 2 -y 1, z 2 -z 1).

Biểu diễn đồ họa của vector

Trong các hình vẽ, người ta thường mô tả một đại lượng vectơ dưới dạng một đoạn; ở cuối nó có một mũi tên chỉ hướng tác dụng của đại lượng vật lý mà nó đại diện. Đoạn này thường được ký hiệu, ví dụ: v → hoặc F →, để rõ ràng chúng ta đang nói đến đặc điểm nào.

Biểu diễn đồ họa của vectơ giúp hiểu được đại lượng vật lý được áp dụng ở đâu và nó tác động theo hướng nào. Ngoài ra, thật thuận tiện khi thực hiện nhiều phép toán trên vectơ bằng cách sử dụng hình ảnh của chúng.

Các phép toán trên vectơ

Các đại lượng vectơ, giống như các số thông thường, có thể được cộng, trừ và nhân với nhau và với các số khác.

Tổng của hai vectơ được hiểu là vectơ thứ ba, có được nếu các tham số tổng được sắp xếp sao cho điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng với phần đầu của vectơ thứ hai, sau đó nối phần đầu của vectơ thứ nhất với điểm cuối của vectơ thứ hai. thứ hai. Để thực hiện phép toán này, ba phương pháp chính đã được phát triển:

1. Phương pháp hình bình hành bao gồm việc xây dựng hình hình học trên hai vectơ cùng xuất phát từ một điểm trong không gian. Đường chéo của hình bình hành này, kéo dài từ điểm gốc chung của các vectơ, sẽ là tổng của chúng.
2. Phương pháp đa giác, bản chất của nó là phần đầu của mỗi vectơ tiếp theo phải nằm ở phần cuối của vectơ trước, khi đó vectơ tổng sẽ nối điểm đầu của vectơ đầu tiên và điểm cuối của vectơ cuối cùng.
3. Một phương pháp phân tích bao gồm phép cộng từng cặp các thành phần tương ứng của các vectơ đã biết.

Đối với sự khác biệt về đại lượng vectơ, nó có thể được thay thế bằng cách thêm tham số đầu tiên bằng tham số ngược hướng với tham số thứ hai.

Phép nhân một vectơ với một số A nhất định được thực hiện bởi Quy tắc đơn giản: Mỗi thành phần của vectơ phải được nhân với số này. Kết quả cũng là một vectơ có mô đun A lớn hơn vectơ ban đầu và hướng bằng hoặc ngược chiều với vectơ ban đầu, tất cả phụ thuộc vào dấu của số A.

Bạn không thể chia một vectơ hoặc một số cho nó, nhưng chia vectơ cho số A cũng tương tự như nhân với số 1/A.

Sản phẩm chấm và chéo

Phép nhân vectơ có thể được thực hiện bằng cách sử dụng hai những cách khác: vô hướng và vector.

Tích vô hướng của các đại lượng vectơ là một phương pháp nhân chúng, kết quả của nó là một số, nghĩa là một số vô hướng. Ở dạng ma trận, tích vô hướng được viết dưới dạng các hàng của thành phần của vectơ thứ 1 trên mỗi cột của các thành phần của vectơ thứ 2. Kết quả là, trong không gian n chiều, chúng ta có công thức: (A → *B →) = a 1 *b 1 +a 2 *b 2 +...+a n *b n .

Trong không gian 3 chiều, tích vô hướng có thể được định nghĩa khác nhau. Để làm điều này, bạn cần nhân mô-đun của các vectơ tương ứng với cosin của góc giữa chúng, nghĩa là (A → *B →) = |A → |*|B → |*cos(θ AB). Từ công thức này, suy ra rằng nếu các vectơ hướng cùng hướng thì tích vô hướng bằng phép nhân của các mô đun của chúng và nếu các vectơ vuông góc với nhau thì nó sẽ bằng 0. Lưu ý rằng mô đun của vectơ trong hệ tọa độ hình chữ nhật được định nghĩa là Căn bậc hai từ tổng bình phương của các thành phần của vectơ này.

Tích vectơ được hiểu là phép nhân của một vectơ với một vectơ thì kết quả của nó cũng là một vectơ. Hướng của nó vuông góc với từng tham số được nhân và độ dài bằng tích các mô đun của vectơ và sin của góc giữa chúng, nghĩa là A → x B → = |A → | *|B → |*sin(θ AB), trong đó dấu "x" biểu thị tích vectơ. Ở dạng ma trận, loại tích này được biểu diễn dưới dạng định thức, các hàng của nó là các vectơ cơ bản của một hệ tọa độ nhất định và các thành phần của mỗi vectơ.

Cả vô hướng và tác phẩm nghệ thuật vectorđược sử dụng trong toán học và vật lý để xác định nhiều đại lượng, ví dụ như diện tích và thể tích của các hình.

Tốc độ và khả năng tăng tốc

Trong vật lý, tốc độ được hiểu là tốc độ thay đổi vị trí của một điểm vật chất nhất định. Tốc độ được đo bằng đơn vị SI tính bằng mét trên giây (m/s) và được ký hiệu bằng ký hiệu v → . Gia tốc đề cập đến tốc độ thay đổi tốc độ. Gia tốc được đo bằng mét trên giây vuông (m/s2) và thường được biểu thị bằng ký hiệu a →. Giá trị 1 m/s2 có nghĩa là cứ mỗi giây vật lại tăng tốc độ thêm 1 m/s.

Vận tốc và gia tốc là các đại lượng vectơ tham gia vào các công thức của định luật thứ hai Newton và sự dịch chuyển của vật thể với tư cách là một điểm vật chất. Vận tốc luôn hướng dọc theo hướng chuyển động, nhưng gia tốc có thể hướng theo bất kỳ hướng nào so với vật chuyển động.

Lực đại lượng vật lý

Lực là một đại lượng vật lý vectơ phản ánh cường độ tương tác giữa các vật thể. Nó được ký hiệu bằng ký hiệu F → và được đo bằng newton (N). Theo định nghĩa, 1 N là lực có khả năng làm thay đổi tốc độ của một vật có khối lượng 1 kg x 1 m/s trong mỗi giây thời gian.

Đại lượng vật lý này được sử dụng rộng rãi trong vật lý, vì đặc tính năng lượng của các quá trình tương tác có liên quan đến nó. Bản chất của lực có thể rất khác nhau, ví dụ, lực hấp dẫn các hành tinh, lực làm cho ô tô chuyển động, lực đàn hồi phương tiện truyền thông rắn, lực điện, mô tả hành vi của điện tích, lực từ, lực hạt nhân quyết định sự ổn định Hạt nhân nguyên tử, và như thế.

Áp suất đại lượng vectơ

Một đại lượng khác liên quan chặt chẽ đến khái niệm lực là áp suất. Trong vật lý, nó được hiểu là hình chiếu bình thường của lực lên khu vực mà nó tác dụng. Vì lực là một vectơ nên theo quy tắc nhân một số với một vectơ, áp suất cũng sẽ là một đại lượng vectơ: P → = F → /S, trong đó S là diện tích. Áp suất được đo bằng pascal (Pa), 1 Pa là thông số tại đó lực vuông góc 1 N tác dụng lên bề mặt 1 m2. Dựa vào định nghĩa, vectơ áp suất cùng hướng với vectơ lực.

Trong vật lý, khái niệm áp suất thường được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng trong chất lỏng và chất khí (ví dụ, định luật Pascal hay phương trình trạng thái khí lý tưởng). Áp suất có liên quan chặt chẽ với nhiệt độ của vật thể, vì động năng của các nguyên tử và phân tử, biểu thị bằng nhiệt độ, giải thích bản chất của sự tồn tại của áp suất.

Cường độ điện trường

Xung quanh bất kỳ vật tích điện nào đều có điện trường, đặc tính sức mạnh của nó là độ căng của nó. Cường độ này được định nghĩa là lực tác dụng tại một điểm nhất định trong điện trường lên một đơn vị điện tích đặt tại điểm này. Cường độ điện trường được ký hiệu bằng chữ E → và được đo bằng newton trên coulomb (N/C). Vectơ cường độ hướng dọc theo đường sức điện theo hướng của nó nếu điện tích dương và ngược hướng nếu điện tích âm.

Cường độ điện trường do điện tích điểm tạo ra có thể được xác định tại bất kỳ điểm nào bằng định luật Coulomb.

Cảm ứng từ

Từ trường, như các nhà khoa học Maxwell và Faraday đã chứng minh vào thế kỷ 19, có liên quan chặt chẽ với điện trường. Do đó, điện trường biến thiên sẽ tạo ra từ trường và ngược lại. Do đó, cả hai loại trường đều được mô tả dưới dạng hiện tượng vật lý điện từ.

Cảm ứng từ mô tả tính chất lực của từ trường. Cảm ứng từ là đại lượng vô hướng hay vectơ? Điều này có thể hiểu khi biết rằng nó được xác định thông qua lực F → tác dụng lên điện tích q, bay với tốc độ v → trong từ trường, theo công thức sau: F → = q*|v → x B → |, trong đó B → - cảm ứng từ. Như vậy, để trả lời câu hỏi cảm ứng từ là đại lượng vô hướng hay đại lượng vectơ, chúng ta có thể nói rằng đó là vectơ có hướng từ cực bắc đến cực nam. B được đo → bằng teslas (T).

Candela đại lượng vật lý

Một ví dụ khác về đại lượng vectơ là candela, đại lượng được đưa vào vật lý dưới dạng quang thông, đo bằng lumen, đi qua một bề mặt giới hạn bởi một góc 1 steradian. Candela phản ánh độ sáng của ánh sáng vì nó biểu thị mật độ quang thông.