Độ dài của vectơ đặc trưng cho một đại lượng vật lý. Đại lượng vectơ trong vật lý: định nghĩa, ký hiệu, ví dụ

Tất cả các đại lượng mà chúng ta gặp trong vật lý và đặc biệt là trong một trong các nhánh cơ học của nó, có thể được chia thành hai loại:

a) đại lượng vô hướng, được xác định bởi một số thực dương hoặc số âm. Ví dụ về các đại lượng đó bao gồm thời gian, nhiệt độ;

b) vectơ, được xác định bởi một đoạn không gian có hướng của một đường (hoặc ba đại lượng vô hướng) và có các tính chất cho dưới đây.

Ví dụ về đại lượng vectơ là lực, tốc độ, gia tốc.

Hệ tọa độ Descartes

Khi nói về các đoạn được định hướng, bạn nên chỉ ra đối tượng liên quan đến hướng này được xác định. Hệ tọa độ Descartes, các thành phần của nó là các trục, được coi là một đối tượng như vậy.

Trục là một đường thẳng được chỉ định hướng. Ba trục vuông góc với nhau cắt nhau tại điểm O, được đặt tên tương ứng, tạo thành hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Hệ tọa độ Descartes có thể thuận tay phải (Hình 1) hoặc thuận tay trái (Hình 2). Các hệ thống này là hình ảnh phản chiếu của nhau và không thể kết hợp được bằng bất kỳ chuyển động nào.

Trong tất cả các phần trình bày tiếp theo, hệ tọa độ thuận tay phải được áp dụng xuyên suốt. Trong hệ tọa độ bên phải, hướng tham chiếu dương cho tất cả các góc được lấy ngược chiều kim đồng hồ.

Điều này tương ứng với hướng mà trục x và y thẳng hàng khi nhìn từ hướng dương của trục

Vectơ miễn phí

Một vectơ chỉ được đặc trưng bởi độ dài và hướng trong một hệ tọa độ nhất định được gọi là tự do. Một vectơ tự do được biểu thị bằng một đoạn có độ dài và hướng nhất định, phần đầu của đoạn này nằm ở bất kỳ điểm nào trong không gian. Trong hình vẽ, vectơ được biểu thị bằng một mũi tên (Hình 3).

Các vectơ được biểu thị bằng một hoặc hai chữ cái in đậm tương ứng với phần đầu và phần cuối của mũi tên có dấu gạch ngang phía trên hoặc

Độ lớn của vectơ được gọi là mô đun của nó và được biểu thị theo một trong các cách sau

Đẳng thức của vectơ

Vì đặc điểm chính của vectơ là chiều dài và hướng của nó nên vectơ được gọi là bằng nhau nếu hướng và độ lớn của chúng trùng nhau. Trong trường hợp cụ thể, các vectơ bằng nhau có thể hướng dọc theo một đường thẳng. Đẳng thức của vectơ, ví dụ a và b (Hình 4), được viết là:

Nếu các vectơ (a và b) có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng theo đường kính (Hình 5), thì điều này được viết dưới dạng:

Các vectơ cùng hướng hoặc ngược chiều được gọi là thẳng hàng.

Nhân một vectơ với một số vô hướng

Tích của vectơ a và vô hướng K được gọi là vectơ theo mô đun, cùng hướng với vectơ a nếu K dương và đối nghịch với nó nếu K âm.

Đơn vị véc tơ

Một vectơ có mô đun bằng 1 và có hướng trùng với vectơ a đã cho được gọi là vectơ đơn vị của vectơ đã cho hoặc vectơ đơn vị của nó. Ort được ký hiệu là . Bất kỳ vectơ nào cũng có thể được biểu diễn thông qua vectơ đơn vị của nó dưới dạng

Các vectơ đơn vị nằm dọc theo hướng dương của trục tọa độ được chỉ định tương ứng (Hình 6).

Phép cộng vectơ

Quy tắc cộng vectơ được đưa ra (sự biện minh cho định đề này là quan sát các đối tượng thực có tính chất vectơ). Tiên đề này là hai vectơ

Chúng được chuyển đến một điểm nào đó trong không gian sao cho nguồn gốc của chúng trùng nhau (Hình 7). Đường chéo có hướng của hình bình hành dựng trên các vectơ này (Hình 7) được gọi là tổng các vectơ, phép cộng các vectơ được viết dưới dạng

và được gọi là phép cộng theo quy tắc hình bình hành.

Quy tắc cụ thể để cộng vectơ cũng có thể được thực hiện theo cách sau: tại bất kỳ điểm nào trong không gian, một vectơ được đặt xa hơn, một vectơ được đặt cách xa phần cuối của vectơ (Hình 8). Một vectơ a, phần đầu trùng với phần đầu của vectơ và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ, sẽ là tổng của các vectơ

Quy tắc cộng vectơ cuối cùng rất thuận tiện nếu bạn cần cộng nhiều hơn hai vectơ. Thật vậy, nếu bạn cần thêm một số vectơ, thì bằng cách sử dụng quy tắc đã chỉ định, bạn nên xây dựng một đường đứt nét, các cạnh của chúng là các vectơ đã cho và phần đầu của bất kỳ vectơ nào đều trùng với phần cuối của vectơ trước đó. Tổng của các vectơ này sẽ là một vectơ có phần đầu trùng với phần đầu của vectơ đầu tiên và phần cuối trùng với phần cuối của vectơ cuối cùng (Hình 9). Nếu các vectơ đã cho tạo thành một đa giác khép kín thì tổng các vectơ được cho là bằng 0.

Từ quy tắc xây dựng tổng các vectơ, ta suy ra rằng tổng của chúng không phụ thuộc vào thứ tự lấy các số hạng hoặc phép cộng các vectơ là giao hoán. Đối với hai vectơ, vectơ sau có thể được viết là:

Phép trừ vectơ

Việc trừ một vectơ khỏi một vectơ được thực hiện theo quy tắc sau: một vectơ được xây dựng và một vectơ - được đặt ở đầu của nó (Hình 10). Vector a, điểm đầu trùng với điểm đầu

vectơ và điểm cuối - có điểm cuối của vectơ bằng hiệu giữa các vectơ và Phép toán thực hiện có thể được viết dưới dạng:

Phân tách vectơ thành các thành phần

Phân tách một vectơ đã cho có nghĩa là biểu diễn nó dưới dạng tổng của một số vectơ, được gọi là các thành phần của nó.

Chúng ta hãy xem xét vấn đề phân rã vectơ a, nếu nó được chỉ định rằng các thành phần của nó sẽ hướng dọc theo ba trục tọa độ. Để làm điều này, chúng ta sẽ xây dựng một hình bình hành, đường chéo của nó là vectơ a và các cạnh song song với các trục tọa độ (Hình 11). Khi đó, như hiển nhiên trên hình vẽ, tổng các vectơ nằm dọc theo các cạnh của hình bình hành này sẽ cho vectơ a:

Chiếu một vectơ lên ​​một trục

Hình chiếu của vectơ lên ​​một trục là kích thước của một đoạn có hướng, được giới hạn bởi các mặt phẳng vuông góc với trục, đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ (Hình 12). Giao điểm của các mặt phẳng này với trục (A và B) lần lượt được gọi là hình chiếu của điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

Hình chiếu của vectơ có dấu cộng nếu các hướng của nó, tính từ hình chiếu của phần đầu của vectơ đến hình chiếu của phần cuối của vectơ, trùng với hướng của trục. Nếu các hướng này không trùng nhau thì hình chiếu có dấu trừ.

Hình chiếu của vectơ a lên các trục tọa độ được ký hiệu tương ứng

Tọa độ vectơ

Các thành phần của vectơ a, nằm song song với các trục tọa độ thông qua phép chiếu vectơ và vectơ đơn vị, có thể viết dưới dạng:

Kể từ đây:

trong đó chúng xác định hoàn toàn vectơ và được gọi là tọa độ của nó.

Biểu thị qua các góc mà vectơ a tạo với các trục tọa độ, hình chiếu của vectơ a lên các trục có thể viết dưới dạng:

Do đó đối với mô đun của vectơ a chúng ta có biểu thức:

Vì định nghĩa của vectơ theo hình chiếu của nó là duy nhất nên hai vectơ bằng nhau sẽ có tọa độ bằng nhau.

Cộng các vectơ thông qua tọa độ của chúng

Như sau từ Hình. 13, hình chiếu của tổng các vectơ lên ​​trục bằng tổng đại số các hình chiếu của chúng. Do đó, từ đẳng thức vectơ:

ba đẳng thức vô hướng sau đây như sau:

hoặc tọa độ của vectơ tổng bằng tổng đại số tọa độ của các vectơ thành phần.

Tích chấm của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ được ký hiệu là a b và được xác định bằng tích các mô đun của chúng và cosin của góc giữa chúng:

Tích vô hướng của hai vectơ cũng có thể được định nghĩa là tích mô đun của một trong các vectơ và hình chiếu của vectơ kia lên hướng của vectơ thứ nhất.

Từ định nghĩa của tích vô hướng, suy ra rằng

tức là luật giao hoán xảy ra.

Liên quan đến phép cộng, tích vô hướng có tính chất phân phối:

suy ra trực tiếp từ tính chất là phép chiếu của tổng các vectơ bằng tổng đại số của các phép chiếu của chúng.

Tích vô hướng thông qua phép chiếu của vectơ có thể được viết là:

Tích chéo của hai vectơ

Tích chéo của hai vectơ được ký hiệu là axb. Đây là một vectơ c, mô đun của nó bằng tích các mô đun của các vectơ được nhân với sin của góc giữa chúng:

Vector c có hướng vuông góc với mặt phẳng xác định bởi vectơ a và b sao cho nếu nhìn từ cuối vectơ c thì để căn chỉnh vectơ a với vectơ b càng nhanh càng tốt, vectơ đầu tiên phải quay theo chiều dương hướng (ngược chiều kim đồng hồ; Hình 14). Một vectơ đại diện sản phẩm vector hai vectơ được gọi là vectơ trục (hoặc vectơ giả). Hướng của nó phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ hoặc điều kiện theo chiều dương của các góc. Hướng chỉ định của vectơ c tương ứng với hệ trục tọa độ Descartes bên phải, sự lựa chọn đã được thống nhất trước đó.

Đại lượng (nói đúng ra là tensor bậc 2 trở lên). Nó cũng có thể được đối chiếu với một số đối tượng có tính chất toán học hoàn toàn khác.

Trong hầu hết các trường hợp, thuật ngữ vectơ được sử dụng trong vật lý để biểu thị một vectơ trong cái gọi là “không gian vật lý”, nghĩa là trong không gian ba chiều thông thường của vật lý cổ điển hoặc trong không-thời gian bốn chiều trong vật lý hiện đại ( trong trường hợp sau, khái niệm vectơ và đại lượng vectơ trùng với khái niệm đại lượng 4 vectơ và 4 vectơ).

Việc sử dụng cụm từ “đại lượng vectơ” thực tế đã cạn kiệt vì điều này. Đối với việc sử dụng thuật ngữ “vectơ”, mặc dù thiên hướng mặc định của nó đối với cùng một lĩnh vực ứng dụng, nhưng trong một số lượng lớn các trường hợp, nó vẫn vượt xa các ranh giới đó rất nhiều. Xem bên dưới để biết chi tiết.

YouTube bách khoa toàn thư

1 / 3

Bài 8. Đại lượng vectơ. Hành động trên vectơ.

VECTOR - nó là gì và tại sao cần thiết, giải thích

ĐO LƯỜNG VẬT LÝ Lớp 7 | Romanov

phụ đề

Sử dụng các điều khoản vectơ Và lượng vectơ Trong vật lý

Nói chung, trong vật lý, khái niệm vectơ gần như hoàn toàn trùng khớp với khái niệm trong toán học. Tuy nhiên, có một đặc điểm về mặt thuật ngữ gắn liền với thực tế là trong toán học hiện đại, khái niệm này có phần quá trừu tượng (so với nhu cầu của vật lý).

Trong toán học, khi chúng ta nói “vectơ”, chúng ta muốn nói đến một vectơ nói chung, nghĩa là bất kỳ vectơ nào của bất kỳ không gian tuyến tính trừu tượng nào thuộc bất kỳ chiều và tính chất nào, trừ khi có những nỗ lực đặc biệt, thậm chí có thể dẫn đến nhầm lẫn (không phải như vậy). tất nhiên là nhiều về bản chất là để dễ sử dụng). Nếu cần phải cụ thể hơn, theo phong cách toán học, người ta phải nói khá dài (“vectơ của không gian như vậy và không gian như vậy”) hoặc ghi nhớ những gì được ngụ ý trong bối cảnh được mô tả rõ ràng.

Trong vật lý, chúng ta hầu như luôn nói không phải về các đối tượng toán học (có những tính chất hình thức nhất định) nói chung mà về mối liên hệ (“vật lý”) cụ thể của chúng. Khi tính đến những cân nhắc về tính đặc hiệu này cùng với những cân nhắc về tính ngắn gọn và thuận tiện, có thể hiểu rằng việc thực hành thuật ngữ trong vật lý khác biệt rõ rệt với việc thực hành thuật ngữ trong toán học. Tuy nhiên, nó không mâu thuẫn rõ ràng với vế sau. Điều này có thể đạt được bằng một vài “thủ thuật” đơn giản. Trước hết, những điều này bao gồm thỏa thuận về việc sử dụng thuật ngữ theo mặc định (khi ngữ cảnh không được chỉ định cụ thể). Do đó, trong vật lý, không giống như toán học, từ vectơ nếu không được làm rõ thêm thường không có nghĩa là “một vectơ nào đó của bất kỳ không gian tuyến tính nào nói chung”, mà chủ yếu là một vectơ gắn liền với “không gian vật lý thông thường” (không gian ba chiều của vật lý cổ điển hoặc vật lý cổ điển). không gian bốn chiều - thời gian của vật lý tương đối tính). Đối với các vectơ của không gian không liên quan trực tiếp và trực tiếp đến “không gian vật lý” hoặc “không-thời gian”, các tên đặc biệt được sử dụng (đôi khi bao gồm từ “vectơ”, nhưng có làm rõ). Nếu một vectơ của không gian nào đó không liên quan trực tiếp và trực tiếp đến “không gian vật lý” hoặc “không-thời gian” (và khó có thể mô tả ngay lập tức bằng cách nào đó một cách chắc chắn) được đưa vào lý thuyết, thì nó thường được mô tả cụ thể là “vectơ trừu tượng”. .”

Tất cả những gì đã được nói trong đến một mức độ lớn hơn, hơn là thuật ngữ "vectơ", đề cập đến thuật ngữ "đại lượng vectơ". Sự im lặng trong trường hợp này thậm chí còn hàm ý nghiêm túc hơn sự tham chiếu đến “không gian thông thường” hoặc không-thời gian, và việc sử dụng các không gian vectơ trừu tượng liên quan đến các phần tử của không gian vectơ trừu tượng hầu như không bao giờ gặp phải, ít nhất, việc sử dụng như vậy dường như là ngoại lệ hiếm nhất (nếu không phải là đặt chỗ trước).

Trong vật lý, vectơ thường xuyên nhất và đại lượng vectơ - hầu như luôn luôn - được gọi là vectơ của hai lớp tương tự nhau:

Ví dụ về các đại lượng vật lý vectơ: tốc độ, lực, dòng nhiệt.

Nguồn gốc của đại lượng vectơ

Các “đại lượng vectơ” vật lý liên quan đến không gian như thế nào? Trước hết, điều đáng chú ý là thứ nguyên của các đại lượng vectơ (theo nghĩa thông thường khi sử dụng thuật ngữ này, đã được giải thích ở trên) trùng với thứ nguyên của cùng một không gian “vật lý” (và “hình học”), vì Ví dụ, không gian là ba chiều và vectơ điện trường ba chiều. Bằng trực giác, người ta cũng có thể nhận thấy rằng bất kỳ đại lượng vật lý vectơ nào, cho dù nó có mối liên hệ mơ hồ nào với phần mở rộng không gian thông thường, tuy nhiên vẫn có một hướng rất xác định trong không gian thông thường này.

Tuy nhiên, hóa ra có thể đạt được nhiều hơn thế bằng cách trực tiếp “rút gọn” toàn bộ tập hợp các đại lượng vectơ vật lý thành các vectơ “hình học” đơn giản nhất, hay đúng hơn là thành một vectơ - vectơ dịch chuyển cơ bản, và nó sẽ còn nhiều hơn thế nói đúng - bằng cách rút ra tất cả từ nó.

Quy trình này có hai cách thực hiện khác nhau (mặc dù về cơ bản là lặp lại chi tiết) cho trường hợp ba chiều của vật lý cổ điển và cho công thức không-thời gian bốn chiều phổ biến trong vật lý hiện đại.

Vỏ 3D cổ điển

Chúng ta sẽ bắt đầu từ không gian “hình học” ba chiều thông thường nơi chúng ta sống và có thể di chuyển.

Chúng ta hãy lấy vectơ chuyển vị vô hạn làm vectơ ban đầu và vectơ tham chiếu. Khá rõ ràng rằng đây là một vectơ "hình học" thông thường (giống như một vectơ dịch chuyển hữu hạn).

Bây giờ chúng ta hãy lưu ý ngay rằng việc nhân một vectơ với một đại lượng vô hướng luôn tạo ra một vectơ mới. Điều tương tự cũng có thể nói về tổng và hiệu của các vectơ. Trong chương này chúng ta sẽ không phân biệt giữa vectơ cực và vectơ trục, vì vậy chúng ta lưu ý rằng tích chéo của hai vectơ cũng cho một vectơ mới.

Ngoài ra, vectơ mới đưa ra vi phân của vectơ đối với vô hướng (vì đạo hàm như vậy là giới hạn của tỷ số hiệu của vectơ với vô hướng). Điều này có thể được nói thêm về các dẫn xuất của tất cả các bậc cao hơn. Điều tương tự cũng đúng đối với tích phân theo đại số vô hướng (thời gian, khối lượng).

Bây giờ lưu ý rằng, dựa trên vectơ bán kính r hoặc từ chuyển vị cơ bản d r, chúng ta dễ dàng hiểu rằng các vectơ (vì thời gian là vô hướng) là những đại lượng động học như

Từ tốc độ và gia tốc nhân với đại lượng (khối lượng), ta được

Vì bây giờ chúng ta quan tâm đến các vectơ giả nên chúng ta lưu ý rằng

• Sử dụng công thức lực Lorentz, cường độ điện trường và vectơ cảm ứng từ gắn liền với vectơ lực và vectơ vận tốc.

Tiếp tục quy trình này, chúng ta phát hiện ra rằng tất cả các đại lượng vectơ mà chúng ta đã biết giờ đây không chỉ được gắn trực tiếp mà còn về mặt hình thức, gắn liền với không gian ban đầu. Cụ thể, theo một nghĩa nào đó, tất cả chúng đều là các phần tử của nó, vì về cơ bản chúng được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác (với các hệ số vô hướng, có thể là thứ nguyên, nhưng vô hướng, và do đó về mặt hình thức khá hợp pháp).

Vỏ bốn chiều hiện đại

Quy trình tương tự có thể được thực hiện dựa trên chuyển động bốn chiều. Hóa ra là tất cả các đại lượng 4 vectơ đều “đến” từ chuyển vị 4 chiều, do đó theo một nghĩa nào đó chúng là các vectơ không-thời gian giống như chính chuyển vị 4 chiều.

Các loại vectơ liên quan đến vật lý

• Vectơ cực hoặc vectơ đúng là vectơ thông thường.
• Một vectơ trục (giả vectơ) thực ra không phải là một vectơ thực, nhưng về mặt hình thức, nó gần như không khác gì vectơ trục, ngoại trừ việc nó đổi hướng sang hướng ngược lại khi hướng của hệ tọa độ thay đổi (ví dụ: khi hệ tọa độ được phản chiếu ). Ví dụ về vectơ giả: tất cả các đại lượng được xác định thông qua tích chéo của hai vectơ cực.
• Đối với các lực lượng có một số khác nhau

Vật lý và toán học không thể làm được nếu không có khái niệm “đại lượng vectơ”. Bạn cần biết và nhận ra nó, đồng thời có thể vận hành nó. Bạn nhất định phải học điều này để không bị bối rối và mắc những sai lầm ngu ngốc.

Làm thế nào để phân biệt đại lượng vô hướng với đại lượng vectơ?

Cái đầu tiên luôn chỉ có một đặc điểm. Đây là giá trị số của nó. Hầu hết các đại lượng vô hướng có thể nhận cả giá trị dương và âm. Ví dụ về những điều này là điện tích, công việc hoặc nhiệt độ. Nhưng có những đại lượng không thể âm, ví dụ như chiều dài và khối lượng.

Đại lượng vectơ, ngoài đại lượng số luôn lấy modulo, còn được đặc trưng bởi hướng. Do đó, nó có thể được mô tả bằng đồ họa, nghĩa là ở dạng mũi tên, chiều dài của nó bằng giá trị tuyệt đối hướng theo một hướng nhất định.

Khi viết, mỗi đại lượng vectơ được biểu thị bằng dấu mũi tên trên chữ cái. Nếu như Chúng ta đang nói về về một giá trị số thì mũi tên không được viết hoặc nó được lấy theo modulo.

Hành động nào thường được thực hiện nhất với vectơ?

Đầu tiên, một so sánh. Chúng có thể bằng hoặc không bằng nhau. Trong trường hợp đầu tiên, các mô-đun của chúng giống nhau. Nhưng đây không phải là điều kiện duy nhất. Chúng cũng phải có hướng giống nhau hoặc ngược nhau. Trong trường hợp đầu tiên, chúng phải được gọi là các vectơ bằng nhau. Trong lần thứ hai, họ hóa ra ngược lại. Nếu ít nhất một trong các điều kiện đã chỉ định không được đáp ứng thì các vectơ không bằng nhau.

Sau đó đến bổ sung. Nó có thể được thực hiện theo hai quy tắc: hình tam giác hoặc hình bình hành. Điều đầu tiên quy định trước tiên phải loại bỏ một vectơ, sau đó từ đầu của nó đến vectơ thứ hai. Kết quả của phép cộng sẽ là kết quả cần được rút ra từ đầu phần đầu tiên đến cuối phần thứ hai.

Quy tắc hình bình hành có thể được sử dụng khi cộng các đại lượng vectơ trong vật lý. Không giống như quy tắc đầu tiên, ở đây chúng nên được hoãn lại từ một điểm. Sau đó xây dựng chúng thành một hình bình hành. Kết quả của hành động phải được coi là đường chéo của hình bình hành được vẽ từ cùng một điểm.

Nếu một đại lượng vectơ bị trừ đi một đại lượng vectơ khác thì chúng lại được vẽ từ một điểm. Chỉ kết quả sẽ là một vectơ trùng với những gì được vẽ từ cuối giây đến cuối vectơ thứ nhất.

Những vectơ nào được nghiên cứu trong vật lý?

Có rất nhiều trong số chúng như có vô hướng. Bạn có thể nhớ một cách đơn giản những đại lượng vectơ tồn tại trong vật lý. Hoặc biết các dấu hiệu mà chúng có thể được tính toán. Đối với những người thích tùy chọn đầu tiên, bảng này sẽ hữu ích. Nó trình bày các đại lượng vật lý vectơ chính.

Bây giờ nói thêm một chút về một số số lượng này.

Đại lượng đầu tiên là tốc độ

Nên bắt đầu với các ví dụ về đại lượng vectơ. Điều này là do thực tế là nó là một trong những nghiên cứu đầu tiên.

Tốc độ được định nghĩa là đặc điểm chuyển động của một vật thể trong không gian. Nó đặt giá trị số và hướng. Do đó, tốc độ là một đại lượng vectơ. Ngoài ra, người ta thường chia nó thành các loại. Điều thứ nhất là tốc độ tuyến tính. Nó được giới thiệu khi xét chuyển động thẳng đều. Trong trường hợp này, nó bằng tỷ lệ giữa quãng đường mà cơ thể di chuyển với thời gian chuyển động.

Công thức tương tự có thể được sử dụng cho chuyển động không đều. Chỉ khi đó nó sẽ ở mức trung bình. Hơn nữa, khoảng thời gian phải chọn phải càng ngắn càng tốt. Khi khoảng thời gian có xu hướng về 0, giá trị tốc độ đã là tức thời.

Nếu xét chuyển động tùy ý thì tốc độ luôn là một đại lượng vectơ. Rốt cuộc, nó phải được phân tách thành các thành phần hướng dọc theo mỗi vectơ chỉ đường tọa độ. Ngoài ra, nó được định nghĩa là đạo hàm của vectơ bán kính tính theo thời gian.

Đại lượng thứ hai là sức mạnh

Nó xác định thước đo cường độ tác động lên cơ thể bởi các vật thể hoặc trường khác. Vì lực là một đại lượng vectơ nên nó nhất thiết phải có độ lớn và hướng riêng. Vì nó tác động lên cơ thể nên điểm tác dụng lực cũng rất quan trọng. Để có được hình ảnh trực quan của vectơ lực, bạn có thể tham khảo bảng sau.

Ngoài ra một đại lượng vectơ khác là hợp lực. Nó được định nghĩa là tổng của tất cả các lực cơ học tác dụng lên cơ thể. Để xác định nó, cần thực hiện phép cộng theo nguyên tắc quy tắc tam giác. Bạn chỉ cần sắp xếp từng vectơ một từ cuối vectơ trước đó. Kết quả sẽ là kết nối phần đầu của phần đầu tiên với phần cuối của phần cuối cùng.

Đại lượng thứ ba là độ dịch chuyển

Trong quá trình chuyển động, cơ thể mô tả một đường nhất định. Nó được gọi là quỹ đạo. Dòng này có thể hoàn toàn khác nhau. Hoá ra người quan trọng hơn không phải cô vẻ bề ngoài, điểm bắt đầu và điểm kết thúc của chuyển động. Chúng được kết nối bởi một đoạn gọi là bản dịch. Đây cũng là một đại lượng vectơ. Hơn nữa, nó luôn hướng từ đầu chuyển động đến điểm dừng chuyển động. Người ta thường chỉ định nó chữ cái Latinh r.

Ở đây có thể nảy sinh câu hỏi sau: “Đường đi có phải là đại lượng vectơ không?” Nói chung, tuyên bố này là không đúng sự thật. Đường đi bằng chiều dài quỹ đạo và không có hướng cụ thể. Một ngoại lệ là trường hợp xem xét chuyển động thẳng theo một hướng. Khi đó độ lớn của vectơ dịch chuyển trùng với giá trị của đường đi và hướng của chúng giống nhau. Do đó, khi xem xét chuyển động dọc theo một đường thẳng mà không thay đổi hướng chuyển động, đường đi có thể được đưa vào các ví dụ về đại lượng vectơ.

Đại lượng thứ tư là gia tốc

Đó là một đặc điểm của tốc độ thay đổi tốc độ. Hơn nữa, gia tốc có thể có cả giá trị dương và âm. Tại chuyển động thẳng nó hướng tới tốc độ cao hơn. Nếu chuyển động xảy ra dọc theo một đường cong thì vectơ gia tốc của nó bị phân tách thành hai thành phần, một thành phần hướng về tâm cong dọc theo bán kính.

Giá trị gia tốc trung bình và tức thời được phân biệt. Giá trị đầu tiên phải được tính bằng tỷ số của sự thay đổi tốc độ trong một khoảng thời gian nhất định so với thời điểm này. Khi khoảng thời gian đang xét có xu hướng tiến tới 0, chúng ta nói đến gia tốc tức thời.

Giá trị thứ năm - xung

Theo một cách khác nó còn được gọi là lượng chuyển động. Động lượng là một đại lượng vectơ vì nó liên quan trực tiếp đến tốc độ và lực tác dụng lên cơ thể. Cả hai đều có định hướng và cho nó sự thúc đẩy.

Theo định nghĩa, giá trị sau bằng tích của khối lượng cơ thể và tốc độ. Sử dụng khái niệm động lượng của một vật, chúng ta có thể viết định luật nổi tiếng của Newton theo cách khác. Hóa ra độ biến thiên của động lượng bằng tích của lực và một khoảng thời gian.

Trong vật lý, định luật bảo toàn động lượng đóng một vai trò quan trọng, trong đó phát biểu rằng trong một hệ kín các vật thể, tổng động lượng của nó không đổi.

Chúng tôi đã liệt kê rất ngắn gọn những đại lượng (vectơ) được nghiên cứu trong khóa học vật lý.

Vấn đề tác động không đàn hồi

Tình trạng. Có một nền tảng cố định trên đường ray. Một cỗ xe đang tiến lại gần nó với vận tốc 4 m/s. Khối lượng của sàn và xe lần lượt là 10 tấn và 40 tấn. Ô tô va vào bệ và xảy ra khớp nối tự động. Cần tính toán vận tốc của hệ thống “ô-sàn” sau va chạm.

Giải pháp. Trước tiên, bạn cần nhập các ký hiệu sau: vận tốc của ô tô trước va chạm là v1, vận tốc của ô tô với bệ sau khi ghép là v, khối lượng của ô tô là m1, khối lượng của bệ là m2. Tùy theo điều kiện của bài toán cần tìm giá trị của vận tốc v.

Các quy tắc để giải quyết các nhiệm vụ như vậy yêu cầu biểu diễn sơ đồ của hệ thống trước và sau khi tương tác. Điều hợp lý là hướng trục OX dọc theo đường ray theo hướng ô tô đang chuyển động.

Trong những điều kiện này, hệ thống ô tô có thể được coi là đóng. Điều này được xác định bởi thực tế là các lực bên ngoài có thể bị bỏ qua. Trọng lực và phản lực hỗ trợ được cân bằng và không tính đến ma sát trên đường ray.

Theo định luật bảo toàn động lượng, tổng vectơ của chúng trước khi xe và bệ tương tác bằng tổng vectơ của khớp nối sau va chạm. Lúc đầu sàn không chuyển động nên động lượng của nó bằng không. Chỉ có ô tô chuyển động, động lượng của nó bằng tích của m1 và v1.

Vì va chạm không đàn hồi, tức là ô tô nối với bệ và sau đó chúng bắt đầu lăn cùng chiều nên xung lực của hệ không đổi hướng. Nhưng ý nghĩa của nó đã thay đổi. Cụ thể là tích của tổng khối lượng của ô tô với bệ và tốc độ mong muốn.

Bạn có thể viết đẳng thức sau: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Điều này sẽ đúng khi chiếu các vectơ xung lên trục đã chọn. Từ đó, dễ dàng rút ra đẳng thức cần thiết để tính tốc độ cần thiết: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

Theo quy định, các giá trị khối lượng phải được chuyển đổi từ tấn sang kilôgam. Do đó, khi thay chúng vào công thức, trước tiên bạn phải nhân số lượng đã biết với một nghìn. Tính toán đơn giản cho số 0,75 m/s.

Trả lời. Vận tốc của ô tô khi chạm sàn là 0,75 m/s.

Vấn đề chia cơ thể thành các phần

Tình trạng. Tốc độ của một quả lựu đạn bay là 20 m/s. Nó vỡ thành hai mảnh. Trọng lượng của quả thứ nhất là 1,8 kg. Nó tiếp tục di chuyển theo hướng quả lựu đạn đang bay với tốc độ 50 m/s. Mảnh thứ hai có khối lượng 1,2kg. Tốc độ của nó là bao nhiêu?

Giải pháp. Gọi khối lượng của các mảnh vỡ là m1 và m2. Tốc độ của chúng sẽ lần lượt là v1 và v2. Vận tốc ban đầu của quả lựu đạn là v. Bài toán yêu cầu tính giá trị của v2.

Để mảnh lớn hơn tiếp tục di chuyển cùng hướng với toàn bộ quả lựu đạn thì mảnh thứ hai phải bay vào mặt trái. Nếu bạn chọn hướng của trục là hướng ở xung lực ban đầu, thì sau khi đứt, mảnh lớn sẽ bay dọc theo trục và mảnh nhỏ bay ngược lại trục.

Trong bài toán này, người ta cho phép sử dụng định luật bảo toàn động lượng do quả lựu đạn phát nổ ngay lập tức. Do đó, mặc dù trọng lực tác dụng lên quả lựu đạn và các bộ phận của nó nhưng nó không có thời gian để tác dụng và thay đổi hướng của vectơ xung lực với giá trị tuyệt đối của nó.

Tổng độ lớn vectơ của xung lực sau vụ nổ lựu đạn bằng với cường độ vectơ trước đó. Nếu chúng ta viết định luật bảo toàn động lượng của một vật chiếu lên trục OX thì nó sẽ có dạng: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Từ đó có thể dễ dàng thể hiện tốc độ cần thiết. Nó sẽ được xác định theo công thức: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Sau khi thay các giá trị số và tính toán, ta được 25 m/s.

Trả lời. Vận tốc của mảnh nhỏ là 25 m/s.

Vấn đề về chụp ở một góc

Tình trạng. Một khẩu súng được đặt trên một bệ có khối lượng M. Nó bắn ra một viên đạn có khối lượng m. Nó bay theo một góc α so với đường chân trời với vận tốc v (so với mặt đất). Bạn cần biết tốc độ của nền tảng sau khi bắn.

Giải pháp. Trong bài toán này, bạn có thể sử dụng định luật bảo toàn động lượng khi chiếu lên trục OX. Nhưng chỉ trong trường hợp hình chiếu của các hợp lực bên ngoài bằng 0.

Đối với hướng của trục OX, bạn cần chọn phía mà đường đạn sẽ bay và song song với đường ngang. Trong trường hợp này, hình chiếu của lực hấp dẫn và phản lực của giá đỡ lên OX sẽ bằng 0.

Vấn đề sẽ được giải quyết trong nhìn chung, vì không có dữ liệu cụ thể về số lượng đã biết. Câu trả lời là một công thức.

Động lượng của hệ trước khi bắn bằng 0, vì bệ và đạn đứng yên. Gọi tốc độ nền tảng mong muốn được biểu thị bằng chữ cái Latinh u. Khi đó động lượng của nó sau khi bắn sẽ được xác định bằng tích của khối lượng và hình chiếu của vận tốc. Vì nền tảng sẽ quay trở lại (ngược lại với hướng của trục OX), giá trị xung sẽ có dấu trừ.

Động lượng của một viên đạn là tích của khối lượng của nó và hình chiếu của vận tốc lên trục OX. Do vận tốc hướng một góc so với đường chân trời nên hình chiếu của nó bằng vận tốc nhân với cosin của góc. Trong sự bình đẳng theo nghĩa đen, nó sẽ trông như thế này: 0 = - Mu + mv * cos α. Từ đó, thông qua các phép biến đổi đơn giản, sẽ thu được công thức trả lời: u = (mv * cos α) / M.

Trả lời. Vận tốc của sàn được xác định theo công thức u = (mv * cos α)/M.

Vấn đề vượt sông

Tình trạng. Chiều rộng của sông dọc theo toàn bộ chiều dài của nó là như nhau và bằng l, hai bờ song song. Biết vận tốc dòng nước trên sông v1 và vận tốc của thuyền v2. 1). Khi vượt biển, mũi thuyền hướng thẳng về phía bờ đối diện. Nó sẽ bị cuốn xuôi dòng bao xa? 2). Mũi thuyền phải nghiêng một góc α bằng bao nhiêu để nó chạm tới bờ đối diện và vuông góc với điểm xuất phát? Sẽ mất bao lâu để vượt qua như vậy?

Giải pháp. 1). Tổng tốc độ của thuyền là tổng vectơ của hai đại lượng. Đầu tiên trong số này là dòng chảy của sông, hướng dọc theo bờ. Thứ hai là tốc độ riêng của thuyền, vuông góc với bờ. Hình vẽ tạo ra hai hình tam giác giống nhau. Đầu tiên được hình thành bởi chiều rộng của dòng sông và khoảng cách mà thuyền trôi qua. Thứ hai là bởi vectơ vận tốc.

Từ đó có mục sau: s / l = v1 / v2. Sau khi chuyển đổi, thu được công thức cho giá trị mong muốn: s = l * (v1 / v2).

2). Trong dạng bài toán này, vectơ vận tốc tổng vuông góc với bờ. Nó bằng tổng vectơ của v1 và v2. Sin của góc mà vectơ vận tốc tự nhiên phải lệch bằng tỷ số của mô đun v1 và v2. Để tính thời gian di chuyển, bạn sẽ cần chia chiều rộng của dòng sông cho tốc độ tối đa đã tính. Giá trị sau được tính bằng định lý Pythagore.

v = √(v22 – v12), thì t = l / (√(v22 – v12)).

Trả lời. 1). s = l*(v1/v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Trong vật lý, có một số loại đại lượng: vectơ và vô hướng.

Đại lượng vectơ là gì?

Đại lượng vectơ có hai đặc điểm chính: hướng và mô-đun. Hai vectơ sẽ giống nhau nếu giá trị tuyệt đối và hướng của chúng giống nhau. Để biểu thị một đại lượng vectơ, các chữ cái có mũi tên phía trên thường được sử dụng nhất. Một ví dụ về đại lượng vectơ là lực, vận tốc hoặc gia tốc.

Để hiểu bản chất của đại lượng vectơ, người ta nên xem xét nó từ quan điểm hình học. Vectơ là một đoạn có hướng. Độ dài của một đoạn như vậy tương quan với giá trị mô đun của nó. Ví dụ vật lýĐại lượng vectơ là độ dịch chuyển của một điểm vật chất chuyển động trong không gian. Các thông số như gia tốc của điểm này, tốc độ và lực tác dụng lên nó, trường điện từ cũng sẽ được hiển thị dưới dạng đại lượng vectơ.

Nếu chúng ta xem xét một đại lượng vectơ bất kể hướng thì đoạn đó có thể đo được. Nhưng kết quả thu được sẽ chỉ phản ánh một phần đặc điểm của đại lượng. Để đo lường đầy đủ nó, giá trị phải được bổ sung bằng các tham số khác của đoạn định hướng.

Trong đại số vectơ có khái niệm vectơ không. Khái niệm này có nghĩa là một điểm. Đối với hướng của vectơ 0, nó được coi là không chắc chắn. Để biểu thị vectơ 0, số 0 số học được sử dụng, được in đậm.

Nếu phân tích tất cả những điều trên, chúng ta có thể kết luận rằng tất cả các đoạn có hướng đều xác định vectơ. Hai đoạn sẽ chỉ xác định một vectơ nếu chúng bằng nhau. Khi so sánh các vectơ, quy tắc tương tự được áp dụng như khi so sánh đại lượng vô hướng. Bình đẳng có nghĩa là hoàn toàn đồng ý về mọi mặt.

Đại lượng vô hướng là gì?

Không giống như một vectơ, đại lượng vô hướng chỉ có một tham số - cái này giá trị số của nó. Điều đáng chú ý là giá trị được phân tích có thể có cả giá trị số dương và giá trị âm.

Ví dụ bao gồm khối lượng, điện áp, tần số hoặc nhiệt độ. Với số lượng như vậy, bạn có thể thực hiện các phép tính số học khác nhau: cộng, chia, trừ, nhân. Một đại lượng vô hướng không có đặc tính như hướng.

Một đại lượng vô hướng được đo bằng một giá trị số, do đó nó có thể được hiển thị trên trục tọa độ. Ví dụ, trục quãng đường, nhiệt độ hoặc thời gian thường được xây dựng.

Sự khác biệt chính giữa đại lượng vô hướng và vectơ

Từ những mô tả ở trên, rõ ràng sự khác biệt chính giữa đại lượng vectơ và đại lượng vô hướng là ở chỗ chúng đặc trưng. Đại lượng vectơ có hướng và độ lớn, trong khi đại lượng vô hướng chỉ có giá trị bằng số. Tất nhiên, đại lượng vectơ, giống như đại lượng vô hướng, có thể đo được, nhưng đặc tính như vậy sẽ không đầy đủ vì không có hướng.

Để hình dung rõ hơn sự khác biệt giữa đại lượng vô hướng và đại lượng vectơ, cần đưa ra một ví dụ. Để làm được điều này, chúng ta hãy sử dụng một lĩnh vực kiến ​​thức như khí hậu học. Nếu chúng ta nói rằng gió thổi với tốc độ 8 mét/giây thì sẽ đưa ra một đại lượng vô hướng. Nhưng nếu chúng ta nói rằng gió bắc thổi với tốc độ 8 mét mỗi giây, thì chúng ta đang nói về một giá trị vectơ.

Các vectơ đóng một vai trò to lớn trong toán học hiện đại, cũng như trong nhiều lĩnh vực cơ học và vật lý. Hầu hết các đại lượng vật lý có thể được biểu diễn dưới dạng vectơ. Điều này cho phép chúng ta khái quát hóa và đơn giản hóa đáng kể các công thức và kết quả được sử dụng. Thông thường các giá trị vectơ và vectơ được xác định với nhau. Ví dụ, trong vật lý, bạn có thể nghe thấy tốc độ hoặc lực là một vectơ.