Naar 1 transformatie van trigonometrische uitdrukkingen oplossing. Les "Trigonometrische uitdrukkingen vereenvoudigen"

Les 1

Onderwerp: 11e leerjaar (voorbereiding op het Unified State Exam)

Vereenvoudiging van trigonometrische uitdrukkingen.

Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen. (twee uur)

Doelen:

• Systematiseer, generaliseer en breid de kennis en vaardigheden van studenten uit met betrekking tot het gebruik van trigonometrische formules en het oplossen van eenvoudige trigonometrische vergelijkingen.

Benodigdheden voor de les:

Lesstructuur:

1. Organisatorisch moment
2. Testen op laptops. De bespreking van de resultaten.
3. Vereenvoudiging van trigonometrische uitdrukkingen
4. Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen
5. Onafhankelijk werk.
6. Samenvatting van de les. Uitleg huiswerkopdracht.

1. Organisatorisch moment. (2 minuten.)

De leraar begroet het publiek, kondigt het onderwerp van de les aan, herinnert hen eraan dat de taak eerder is gegeven om trigonometrieformules te herhalen en bereidt de leerlingen voor op testen.

2. Testen. (15 min + 3 min discussie)

Het doel is om de kennis van trigonometrische formules en het vermogen om deze toe te passen te testen. Elke student heeft een laptop op zijn bureau met een versie van de toets.

Er kunnen allerlei opties zijn, ik zal een voorbeeld van een ervan geven:

Ik optie.

Vereenvoudig uitdrukkingen:

a) fundamentele trigonometrische identiteiten

1. zonde 2 3j + cos 2 3j + 1;

b) optelformules

3. zonde5x - zonde3x;

c) het omzetten van een product in een som

6. 2sin8y gezellig3y;

d) formules voor dubbele hoeken

7. 2sin5x cos5x;

e) formules voor halve hoeken

e) formules voor drievoudige hoeken

g) universele vervanging

h) graadverlaging

16. cos2 (3x/7);

Leerlingen zien hun antwoorden naast elke formule op de laptop.

Het werk wordt direct door de computer gecontroleerd. De resultaten worden op een groot scherm weergegeven, zodat iedereen ze kan zien.

Ook worden na afronding van het werk de juiste antwoorden op de laptops van de leerlingen getoond. Elke leerling ziet waar de fout is gemaakt en welke formules hij moet herhalen.

3. Vereenvoudiging van trigonometrische uitdrukkingen. (25 min.)

Het doel is om het gebruik van basisformules voor trigonometrie te herhalen, oefenen en consolideren. Oplossen van problemen B7 van het Unified State Exam.

Op in dit stadium Het is raadzaam om de klas op te delen in groepen sterke leerlingen (zelfstandig werken met aansluitende toetsing) en zwakke leerlingen die samenwerken met de docent.

Opdracht voor sterke studenten (vooraf opgesteld op gedrukte basis). De nadruk ligt vooral op de formules van reductie en dubbele hoek, volgens het Unified State Exam 2011.

Vereenvoudig uitdrukkingen (voor sterke studenten):

Tegelijkertijd werkt de leraar met zwakke leerlingen, waarbij hij taken op het scherm bespreekt en oplost onder het dictaat van de leerlingen.

Berekenen:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Makkelijker maken:

Het was tijd om de resultaten van het werk van de sterke groep te bespreken.

De antwoorden verschijnen op het scherm en met behulp van een videocamera wordt ook het werk van 5 verschillende leerlingen weergegeven (elk één taak).

De zwakke groep ziet de voorwaarde en de oplossingsmethode. Er zijn discussies en analyses gaande. Gebruik makend van technische middelen het gebeurt snel.

4. Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen. (30 minuten.)

Het doel is om de oplossing van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen te herhalen, te systematiseren en te generaliseren en hun wortels op te schrijven. Oplossing voor probleem B3.

Elke trigonometrische vergelijking, hoe we deze ook oplossen, leidt tot de eenvoudigste.

Bij het voltooien van de taak moeten leerlingen aandacht besteden aan het opschrijven van de wortels van vergelijkingen van speciale gevallen en algemeen beeld en over de selectie van wortels in de laatste vergelijking.

Vergelijkingen oplossen:

Schrijf de kleinste positieve wortel op als je antwoord.

5. Zelfstandig werk (10 min.)

Het doel is om de verworven vaardigheden te testen, problemen, fouten te identificeren en manieren om deze te elimineren.

Werk op meerdere niveaus wordt aangeboden aan de keuze van de student.

Optie "3"

1) Zoek de waarde van de uitdrukking

2) Vereenvoudig de uitdrukking 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Los de vergelijking op

Optie voor "4"

1) Zoek de waarde van de uitdrukking

2) Los de vergelijking op Noteer de kleinste positieve wortel in je antwoord.

Optie voor "5"

1) Zoek tanα als

2) Zoek de wortel van de vergelijking Schrijf de kleinste positieve wortel op als je antwoord.

6. Lesoverzicht (5 min.)

De leerkracht vat samen wat in de les werd herhaald en versterkt trigonometrische formules, het oplossen van eenvoudige trigonometrische vergelijkingen.

Huiswerk wordt opgegeven (vooraf op papier voorbereid) met een willekeurige controle bij de volgende les.

Vergelijkingen oplossen:

9)

10) Geef in je antwoord de kleinste positieve wortel aan.

Les 2

Onderwerp: 11e leerjaar (voorbereiding op het Unified State Exam)

Methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Wortel selectie. (twee uur)

Doelen:

• Generaliseer en systematiseer kennis over het oplossen van trigonometrische vergelijkingen van verschillende typen.
• Om de ontwikkeling van het wiskundig denken van studenten te bevorderen, het vermogen om te observeren, vergelijken, generaliseren en classificeren.
• Moedig leerlingen aan om moeilijkheden in het proces van mentale activiteit te overwinnen, tot zelfbeheersing en introspectie van hun activiteiten.

Benodigdheden voor de les: KRMu, laptops voor elke leerling.

Lesstructuur:

1. Organisatorisch moment
2. Bespreking van d/z en zelf. werk van de laatste les
3. Overzicht van methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen.
4. Trigonometrische vergelijkingen oplossen
5. Selectie van wortels in goniometrische vergelijkingen.
6. Onafhankelijk werk.
7. Samenvatting van de les. Huiswerk.

1. Organisatiemoment (2 min.)

De docent begroet het publiek, kondigt het onderwerp van de les en het werkplan aan.

2. a) Analyse huiswerk(5 minuten.)

Het doel is om de uitvoering te controleren. Eén werk wordt met behulp van een videocamera op het scherm weergegeven, de rest wordt selectief verzameld voor controle door de docent.

b) Analyse onafhankelijk werk(3 min.)

Het doel is om fouten te analyseren en manieren aan te geven om deze te overwinnen.

Antwoorden en oplossingen staan ​​op het scherm; de leerlingen krijgen hun werk vooraf uitgedeeld. De analyse verloopt snel.

3. Overzicht van methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen (5 min.)

Het doel is om methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen te herinneren.

Vraag de leerlingen welke methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen zij kennen. Benadruk dat er zogenaamde basismethoden (vaak gebruikt) zijn:

• variabele vervanging,
• factorisatie,
• homogene vergelijkingen,

en er zijn toegepaste methoden:

• met behulp van de formules voor het omzetten van een som in een product en een product in een som,
• volgens de formules voor het verminderen van de graad,
• universele trigonometrische substitutie
• introductie van een hulphoek,
• vermenigvuldiging met een trigonometrische functie.

Er moet ook aan worden herinnerd dat één vergelijking op verschillende manieren kan worden opgelost.

4. Trigonometrische vergelijkingen oplossen (30 min.)

Het doel is om kennis en vaardigheden over dit onderwerp te generaliseren en te consolideren, ter voorbereiding op de C1-oplossing van het Unified State Exam.

Ik vind het raadzaam om voor elke methode vergelijkingen samen met studenten op te lossen.

De leerling dicteert de oplossing, de leraar schrijft deze op de tablet en het hele proces wordt op het scherm weergegeven. Hierdoor kunt u eerder besproken materiaal snel en effectief in uw geheugen oproepen.

Vergelijkingen oplossen:

1) vervanging van de variabele 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorisatie 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene vergelijkingen zonde 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) de som omzetten in een product cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) het product omzetten in de som 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) reductie van de graad sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universele trigonometrische substitutie sinx + 5cosx + 5 = 0.

Bij het oplossen van deze vergelijking moet worden opgemerkt dat het gebruik van deze methode leidt tot een vernauwing van het definitiebereik, aangezien sinus en cosinus worden vervangen door tg(x/2). Voordat u het antwoord opschrijft, moet u daarom controleren of de getallen uit de verzameling π + 2πn, n Z paarden van deze vergelijking zijn.

8) introductie van een hulphoek √3sinx + cosx - √2 = 0

9) vermenigvuldiging met een trigonometrische functie cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Selectie van wortels van goniometrische vergelijkingen (20 min.)

Omdat in omstandigheden van hevige concurrentie bij het betreden van universiteiten het oplossen van het eerste deel van het examen alleen niet voldoende is, moeten de meeste studenten aandacht besteden aan de taken van het tweede deel (C1, C2, C3).

Daarom is het doel van deze fase van de les om eerder bestudeerd materiaal te onthouden en je voor te bereiden op het oplossen van probleem C1 van het Unified State Exam 2011.

Bestaan goniometrische vergelijkingen, waarin het nodig is om wortels te selecteren bij het schrijven van het antwoord. Dit komt door enkele beperkingen, bijvoorbeeld: de noemer van de breuk is niet gelijk aan nul, de uitdrukking onder de even wortel is niet-negatief, de uitdrukking onder het logaritmeteken is positief, enz.

Dergelijke vergelijkingen worden beschouwd als vergelijkingen met een grotere complexiteit versie van het Unified State Exam bevinden zich in het tweede deel, namelijk C1.

Los De vergelijking op:

Een breuk is gelijk aan nul als dan met behulp van de eenheidscirkel selecteren we de wortels (zie figuur 1)

Foto 1.

we krijgen x = π + 2πn, n Z

Antwoord: π + 2πn, n Z

Op het scherm wordt de selectie van wortels weergegeven op een cirkel in een kleurenafbeelding.

Het product is gelijk aan nul als ten minste één van de factoren gelijk is aan nul, en de boog verliest zijn betekenis niet. Dan

Met behulp van de eenheidscirkel selecteren we de wortels (zie figuur 2)

De videoles ‘Trigonometrische uitdrukkingen vereenvoudigen’ is bedoeld om de vaardigheden van leerlingen te ontwikkelen bij het oplossen van goniometrische problemen met behulp van fundamentele goniometrische identiteiten. Tijdens de videoles worden soorten trigonometrische identiteiten en voorbeelden van het oplossen van problemen met behulp hiervan besproken. Door het gebruik van visuele hulpmiddelen is het voor de leerkracht makkelijker om de lesdoelen te bereiken. Levendige presentatie van materiaal bevordert het onthouden belangrijke punten. Door het gebruik van animatie-effecten en voice-over kun je de leraar volledig vervangen in de fase van het uitleggen van de stof. Door dit visuele hulpmiddel in wiskundelessen te gebruiken, kan de leraar de effectiviteit van het lesgeven vergroten.

Aan het begin van de videoles wordt het onderwerp aangekondigd. Vervolgens herinneren we ons de eerder bestudeerde trigonometrische identiteiten. Het scherm toont de gelijkheden sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, waarbij t≠π/2+πk voor kϵZ, ctg t=cos t/sin t, correct voor t≠πk, waarbij kϵZ, tg t· ctg t=1, voor t≠πk/2, waarbij kϵZ de fundamentele trigonometrische identiteiten wordt genoemd. Opgemerkt wordt dat deze identiteiten vaak worden gebruikt bij het oplossen van problemen waarbij het nodig is om gelijkheid te bewijzen of een uitdrukking te vereenvoudigen.

Hieronder bekijken we voorbeelden van de toepassing van deze identiteiten bij het oplossen van problemen. Ten eerste wordt voorgesteld om na te denken over het oplossen van problemen met het vereenvoudigen van uitdrukkingen. In voorbeeld 1 is het nodig om de uitdrukking cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t te vereenvoudigen. Om het voorbeeld op te lossen, neemt u eerst de gemeenschappelijke factor cos 2 t tussen haakjes. Als resultaat van deze transformatie tussen haakjes wordt de uitdrukking 1-cos 2 t verkregen, waarvan de waarde uit de hoofdidentiteit van trigonometrie gelijk is aan sin 2 t. Na het transformeren van de uitdrukking is het duidelijk dat het mogelijk is om nog een gemeenschappelijke factor sin 2 t tussen haakjes te verwijderen, waarna de uitdrukking de vorm sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t) aanneemt. Uit dezelfde basisidentiteit leiden we de waarde af van de uitdrukking tussen haakjes gelijk aan 1. Als resultaat van vereenvoudiging verkrijgen we cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

In voorbeeld 2 moet de uitdrukking cost/(1-sint)+ cost/(1+ sint) vereenvoudigd worden. Omdat de tellers van beide breuken de uitdrukking 'kosten' bevatten, kunnen deze als gemeenschappelijke deler tussen haakjes worden geplaatst. Vervolgens worden de breuken tussen haakjes herleid tot een gemeenschappelijke noemer door (1-sint)(1+sint) te vermenigvuldigen. Nadat soortgelijke termen zijn ingevoerd, blijft de teller 2 en de noemer 1 - sin 2 t. Aan de rechterkant van het scherm wordt de trigonometrische basisidentiteit sin 2 t+cos 2 t=1 opgeroepen. Hiermee vinden we de noemer van de breuk cos 2 t. Na het verkleinen van de breuk verkrijgen we een vereenvoudigde vorm van de uitdrukking cost/(1-sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

Vervolgens bekijken we voorbeelden van identiteitsbewijzen die gebruik maken van de verworven kennis over de basisidentiteiten van de trigonometrie. In voorbeeld 3 is het nodig om de identiteit (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t te bewijzen. De rechterkant van het scherm toont drie identiteiten die nodig zijn voor het bewijs: tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t en tg t=sin t/cos t met beperkingen. Om de identiteit te bewijzen worden eerst de haakjes geopend, waarna een product wordt gevormd dat de uitdrukking van de trigonometrische hoofdidentiteit tg t·ctg t=1 weerspiegelt. Vervolgens wordt, volgens de identiteit uit de definitie van cotangens, ctg 2 t getransformeerd. Als resultaat van de transformaties wordt de uitdrukking 1-cos 2 t verkregen. Met behulp van de hoofdidentiteit vinden we de betekenis van de uitdrukking. Het is dus bewezen dat (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

In voorbeeld 4 moet je de waarde van de uitdrukking tg 2 t+ctg 2 t vinden als tg t+ctg t=6. Om de uitdrukking te berekenen, moet je eerst de rechter- en linkerkant van de gelijkheid kwadrateren (tg t+ctg t) 2 =6 2. De verkorte vermenigvuldigingsformule wordt aan de rechterkant van het scherm weergegeven. Na het openen van de haakjes aan de linkerkant van de uitdrukking wordt de som tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t gevormd, om deze te transformeren kunt u een van de trigonometrische identiteiten tg t·ctg t=1 toepassen , waarvan de vorm aan de rechterkant van het scherm wordt opgeroepen. Na de transformatie wordt de gelijkheid tg 2 t+ctg 2 t=34 verkregen. De linkerkant van de gelijkheid valt samen met de toestand van het probleem, dus het antwoord is 34. Het probleem is opgelost.

De videoles “Vereenvoudiging van trigonometrische uitdrukkingen” wordt aanbevolen voor gebruik in een traditionele wiskundeles op school. Het materiaal zal ook nuttig zijn voor de leraar die het implementeert afstand leren. Om vaardigheden te ontwikkelen bij het oplossen van trigonometrische problemen.

TEKST DECODEREN:

"Vereenvoudiging van trigonometrische uitdrukkingen."

Gelijkheid

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kwadraat te plus cosinus kwadraat te is gelijk aan één)

2)tgt =, voor t ≠ + πk, kϵZ (raaklijn te is gelijk aan de verhouding van sinus te tot cosinus te waarbij te niet gelijk is aan pi met twee plus pi ka, ka hoort bij zet)

3)ctgt = , voor t ≠ πk, kϵZ (cotangens te is gelijk aan de verhouding van cosinus te tot sinus te waarbij te niet gelijk is aan pi ka, ka hoort bij zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 voor t ≠ , kϵZ (het product van raaklijn te door cotangens te is gelijk aan één als te niet gelijk is aan piek ka, gedeeld door twee, ka hoort bij zet)

worden fundamentele trigonometrische identiteiten genoemd.

Ze worden vaak gebruikt bij het vereenvoudigen en bewijzen van trigonometrische uitdrukkingen.

Laten we eens kijken naar voorbeelden van het gebruik van deze formules om trigonometrische uitdrukkingen te vereenvoudigen.

VOORBEELD 1. Vereenvoudig de uitdrukking: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (uitdrukking een cosinus kwadraat te minus cosinus van de vierde graad te plus sinus van de vierde graad te).

Oplossing. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = zonde 2 t 1= zonde 2 t

(we halen de gemeenschappelijke factor cosinus kwadraat te eruit, tussen haakjes krijgen we het verschil tussen eenheid en de gekwadrateerde cosinus te, wat gelijk is aan de gekwadrateerde sinus te bij de eerste identiteit. We krijgen de som van de vierde machtssinus te van de product cosinus vierkant te en sinus vierkant te We halen de gemeenschappelijke factor sinus vierkant te buiten de haakjes, tussen haakjes krijgen we de som van de kwadraten van de cosinus en sinus, die volgens de trigonometrische basisidentiteit gelijk is aan één. Als resultaat krijgen we het kwadraat van de sinus te).

VOORBEELD 2. Vereenvoudig de uitdrukking: + .

(de uitdrukking be is de som van twee breuken in de teller van de eerste cosinus te in de noemer één min sinus te, in de teller van de tweede cosinus te in de noemer van de tweede plus sinus te).

(Laten we de gemeenschappelijke factor cosinus te tussen haakjes zetten, en deze tussen haakjes naar een gemeenschappelijke noemer brengen, die het product is van één minus sinus te door één plus sinus te.

In de teller krijgen we: één plus sinus te plus één minus sinus te, we presenteren soortgelijke, de teller is gelijk aan twee nadat soortgelijke zijn gebracht.

In de noemer kunt u de verkorte vermenigvuldigingsformule (verschil van vierkanten) toepassen en het verschil verkrijgen tussen de eenheid en het kwadraat van de sinus te, die, volgens de trigonometrische basisidentiteit

gelijk aan het kwadraat van de cosinus te. Na reduceren met cosinus te krijgen we het uiteindelijke antwoord: twee gedeeld door cosinus te).

Laten we eens kijken naar voorbeelden van het gebruik van deze formules bij het bewijzen van goniometrische uitdrukkingen.

VOORBEELD 3. Bewijs de identiteit (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (het product van het verschil tussen de kwadraten van raaklijn te en sinus te door het kwadraat van cotangens te is gelijk aan het kwadraat van sinus te).

Bewijs.

Laten we de linkerkant van de gelijkheid transformeren:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = zonde 2 t

(Laten we de haakjes openen; uit de eerder verkregen relatie is bekend dat het product van de kwadraten van raaklijn te door cotangens te gelijk is aan één. Laten we ons herinneren dat cotangens te gelijk is aan de verhouding van cosinus te door sinus te, die betekent dat het kwadraat van cotangens de verhouding is van het kwadraat van cosinus te tot het kwadraat van sinus te.

Na reductie met sinuskwadraat te verkrijgen we het verschil tussen eenheid en cosinuskwadraat te, wat gelijk is aan sinuskwadraat te). QED

VOORBEELD 4. Zoek de waarde van de uitdrukking tg 2 t + ctg 2 t als tgt + ctgt = 6.

(de som van de kwadraten van raaklijn te en cotangens te, als de som van raaklijn en cotangens zes is).

Oplossing. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Laten we beide zijden van de oorspronkelijke gelijkheid kwadrateren:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (het kwadraat van de som van raaklijn te en cotangens te is gelijk aan zes kwadraat). Laten we ons de formule voor verkorte vermenigvuldiging herinneren: het kwadraat van de som van twee grootheden is gelijk aan het kwadraat van de eerste plus tweemaal het product van de eerste door de tweede plus het kwadraat van de tweede. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 We krijgen tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (raaklijn kwadraat te plus het dubbele van het product van tangens te en cotangens te plus cotangens kwadraat te is gelijk zesendertig) .

Omdat het product van raaklijn te en cotangens te gelijk is aan één, dan is tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (de som van de kwadraten van raaklijn te en cotangens te en twee is gelijk aan zesendertig),