Trigonometrische vergelijkingen cos x a. Trigonometrische vergelijkingen - formules, oplossingen, voorbeelden

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

U kunt een gedetailleerde oplossing voor uw probleem bestellen!!!

Een gelijkheid die een onbekende bevat onder het teken van een trigonometrische functie (`sin x, cos x, tan x` of `ctg x`) wordt een trigonometrische vergelijking genoemd, en het zijn hun formules die we verder zullen bekijken.

De eenvoudigste vergelijkingen zijn `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, waarbij `x` de te vinden hoek is en `a` een willekeurig getal is. Laten we voor elk ervan de wortelformules opschrijven.

1. Vergelijking `zonde x=a`.

Voor `|a|>1` heeft het geen oplossingen.

Wanneer `|a| \leq 1` heeft een oneindig aantal oplossingen.

Wortelformule: `x=(-1)^n boogsin a + \pi n, n \in Z`

2. Vergelijking `cos x=a`

Voor `|a|>1` - zoals in het geval van sinus, heeft het geen oplossingen tussen reële getallen.

Wanneer `|a| \leq 1` heeft een oneindig aantal oplossingen.

Wortelformule: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Speciale gevallen voor sinus en cosinus in grafieken.

3. Vergelijking `tg x=a`

Heeft een oneindig aantal oplossingen voor alle waarden van `a`.

Wortelformule: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Vergelijking `ctg x=a`

Heeft ook een oneindig aantal oplossingen voor alle waarden van `a`.

Wortelformule: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formules voor de wortels van goniometrische vergelijkingen in de tabel

Voor sinus:
Voor cosinus:
Voor tangens en cotangens:
Formules voor het oplossen van vergelijkingen die inverse trigonometrische functies bevatten:

Methoden voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen

Het oplossen van een trigonometrische vergelijking bestaat uit twee fasen:

• met behulp van het transformeren naar de eenvoudigste;
• los de eenvoudigste vergelijking op die is verkregen met behulp van de hierboven geschreven hoofdformules en tabellen.

Laten we de belangrijkste oplossingsmethoden bekijken aan de hand van voorbeelden.

Algebraïsche methode.

Deze methode omvat het vervangen van een variabele en het vervangen ervan door een gelijkheid.

Voorbeeld. Los de vergelijking op: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac\pi 6)-3cos(x+\frac\pi 6)+1=0`,

maak een vervanging: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dan `2y^2-3y+1=0`,

we vinden de wortels: `y_1=1, y_2=1/2`, waaruit twee gevallen volgen:

1. `cos(x+\frac\pi 6)=1`, `x+\frac\pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac\pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Antwoord: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorisatie.

Voorbeeld. Los de vergelijking op: `sin x+cos x=1`.

Oplossing. Laten we alle termen van de gelijkheid naar links verplaatsen: `sin x+cos x-1=0`. Met behulp van transformeren en ontbinden we de linkerkant in factoren:

`zonde x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Antwoord: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reductie tot een homogene vergelijking

Eerst moet je deze trigonometrische vergelijking terugbrengen tot een van de volgende twee vormen:

`a sin x+b cos x=0` (homogene vergelijking van de eerste graad) of `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogene vergelijking van de tweede graad).

Deel vervolgens beide delen door `cos x \ne 0` - voor het eerste geval, en door `cos^2 x \ne 0` - voor het tweede geval. We verkrijgen vergelijkingen voor `tg x`: `a tg x+b=0` en `a tg^2 x + b tg x +c =0`, die moeten worden opgelost met behulp van bekende methoden.

Voorbeeld. Los de vergelijking op: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Oplossing. Laten we de rechterkant schrijven als `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 zonde^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Dit is een homogene trigonometrische vergelijking van de tweede graad, we delen de linker- en rechterkant door `cos^2 x \ne 0`, we krijgen:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2x+tgx — 2=0`. Laten we de vervanging `tg x=t` introduceren, resulterend in `t^2 + t - 2=0`. De wortels van deze vergelijking zijn `t_1=-2` en `t_2=1`. Dan:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Antwoord. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Verplaatsen naar halve hoek

Voorbeeld. Los de vergelijking op: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Oplossing. Laten we de formules voor dubbele hoeken toepassen, resulterend in: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Door de hierboven beschreven algebraïsche methode toe te passen, verkrijgen we:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Antwoord. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introductie van hulphoek

In de goniometrische vergelijking `a sin x + b cos x =c`, waarbij a,b,c coëfficiënten zijn en x een variabele is, deelt u beide zijden door `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

De coëfficiënten aan de linkerkant hebben de eigenschappen sinus en cosinus, namelijk de som van hun kwadraten is gelijk aan 1 en hun modules zijn niet groter dan 1. Laten we ze als volgt noteren: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, dan:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Laten we het volgende voorbeeld eens nader bekijken:

Voorbeeld. Los de vergelijking op: `3 sin x+4 cos x=2`.

Oplossing. Verdeel beide zijden van de gelijkheid door `sqrt (3^2+4^2)`, we krijgen:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 zonde x+4/5 cos x=2/5`.

Laten we `3/5 = cos \varphi` aanduiden, `4/5=sin \varphi`. Omdat `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, nemen we `\varphi=arcsin 4/5` als hulphoek. Vervolgens schrijven we onze gelijkheid in de vorm:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Door de formule voor de som van de hoeken voor de sinus toe te passen, schrijven we onze gelijkheid in de volgende vorm:

`zonde (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n boogsin 2/5-` `boogsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Antwoord. `x=(-1)^n boogsin 2/5-` `boogsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fractionele rationele trigonometrische vergelijkingen

Dit zijn gelijkheden met breuken waarvan de tellers en noemers trigonometrische functies bevatten.

Voorbeeld. Los De vergelijking op. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Oplossing. Vermenigvuldig en deel de rechterkant van de gelijkheid door `(1+cos x)`. Als resultaat krijgen we:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (zonde x)(1+cos x)=` `\frac (zonde^2 x)(1+cos x)`

`\frac (zonde x)(1+cos x)-` `\frac (zonde^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (zonde x-zonde^2 x)(1+cos x)=0`

Gezien het feit dat de noemer niet gelijk kan zijn aan nul, krijgen we `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Laten we de teller van de breuk gelijkstellen aan nul: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Dan `sin x=0` of `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Gegeven dat ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, zijn de oplossingen `x=2\pi n, n \in Z` en `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Antwoord. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrie, en trigonometrische vergelijkingen in het bijzonder, worden op bijna alle gebieden van de meetkunde, natuurkunde en techniek gebruikt. Studeren begint in de 10e klas, er zijn altijd taken voor het Unified State Exam, dus probeer alle formules van trigonometrische vergelijkingen te onthouden - ze zullen zeker nuttig voor je zijn!

Je hoeft ze echter niet eens uit het hoofd te leren, het belangrijkste is om de essentie te begrijpen en deze te kunnen afleiden. Het is niet zo moeilijk als het lijkt. Ontdek het zelf door de video te bekijken.

De belangrijkste methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen zijn: het terugbrengen van de vergelijkingen tot de eenvoudigste (met behulp van goniometrische formules), het introduceren van nieuwe variabelen en factoring. Laten we het gebruik ervan bekijken met voorbeelden. Besteed aandacht aan het formaat van het schrijven van oplossingen voor trigonometrische vergelijkingen.

Een noodzakelijke voorwaarde voor het succesvol oplossen van goniometrische vergelijkingen is kennis van goniometrische formules (onderwerp 13 van werk 6).

Voorbeelden.

1. Vergelijkingen teruggebracht tot de eenvoudigste.

1) Los de vergelijking op

Oplossing:

Antwoord:

2) Zoek de wortels van de vergelijking

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, behorend tot het segment.

Oplossing:

Antwoord:

2. Vergelijkingen die reduceren tot kwadratisch.

1) Los de vergelijking 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 op.

Oplossing: Met behulp van de formule sin 2 x = 1 – cos 2 x krijgen we

Antwoord:

2) Los de vergelijking op cos 2x = 1 + 4 cosx.

Oplossing: Met behulp van de formule cos 2x = 2 cos 2 x – 1 krijgen we

Antwoord:

3) Los de vergelijking tgx – 2ctgx + 1 = 0 op

Oplossing:

Antwoord:

3. Homogene vergelijkingen

1) Los de vergelijking 2sinx – 3cosx = 0 op

Oplossing: Stel cosx = 0, dan 2sinx = 0 en sinx = 0 – een tegenspraak met het feit dat sin 2 x + cos 2 x = 1. Dit betekent cosx ≠ 0 en we kunnen de vergelijking delen door cosx. We krijgen

Antwoord:

2) Los de vergelijking 1 + 7 op cos 2 x = 3 sin 2x

Oplossing:

We gebruiken de formules 1 = sin 2 x + cos 2 x en sin 2x = 2 sinxcosx, we krijgen

zonde 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Stel cosx = 0, dan sin 2 x = 0 en sinx = 0 – een tegenspraak met het feit dat sin 2 x + cos 2 x = 1.
Dit betekent cosx ≠ 0 en we kunnen de vergelijking delen door cos 2 x . We krijgen

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Laten we tgx = y aanduiden
j 2 – 6 j + 8 = 0
y1 = 4; j2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Antwoord: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Vergelijkingen van de vorm A zonde + B cosx = s, s≠ 0.

1) Los de vergelijking op.

Oplossing:

Antwoord:

5. Vergelijkingen opgelost door factorisatie.

1) Los de vergelijking sin2x – sinx = 0 op.

Wortel van de vergelijking F (X) = φ ( X) kan alleen dienen als het getal 0. Laten we dit eens controleren:

cos 0 = 0 + 1 – de gelijkheid is waar.

Het getal 0 is de enige wortel van deze vergelijking.

Antwoord: 0.

De videocursus “Get an A” omvat alle onderwerpen die nodig zijn om met succes te slagen voor het Unified State Examen in wiskunde met 60-65 punten. Volledig alle taken 1 t/m 13 van het Profiel Unified State Examen wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basic Unified State Examination in wiskunde. Als je het Unified State Exam met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het Unified State Exam voor groep 10-11, maar ook voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het Unified State Exam in wiskunde (de eerste 12 problemen) en probleem 13 (trigonometrie) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Exam, en noch een student met 100 punten, noch een student in de geesteswetenschappen kan zonder deze punten.

Alle benodigde theorie. Snelle oplossingen, valkuilen en geheimen van het Unified State Exam. Alle huidige taken van deel 1 uit de FIPI Task Bank zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het Unified State Exam 2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanaf het begin gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden Unified State Exam-taken. Woordproblemen en waarschijnlijkheidstheorie. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten Unified State Examination-taken. Stereometrie. Lastige oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeelding. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Duidelijke uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Een basis voor het oplossen van complexe problemen van deel 2 van het Unified State Exam.