Formule voor homogene vergelijking. Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Stop! Laten we proberen deze omslachtige formule te begrijpen.

De eerste variabele in de macht met een bepaalde coëfficiënt moet op de eerste plaats komen. In ons geval wel

In ons geval wel. Zoals we ontdekten, betekent dit dat de graad bij de eerste variabele convergeert. En de tweede variabele van de eerste graad is aanwezig. Coëfficiënt.

Wij hebben het.

De eerste variabele is een macht, en de tweede variabele is gekwadrateerd, met een coëfficiënt. Dit is de laatste term in de vergelijking.

Zoals u kunt zien, voldoet onze vergelijking aan de definitie in de vorm van een formule.

Laten we eens kijken naar het tweede (verbale) deel van de definitie.

We hebben twee onbekenden en. Het convergeert hier.

Laten we alle voorwaarden eens bekijken. Daarin zou de som van de graden van de onbekenden hetzelfde moeten zijn.

De som van de graden is gelijk.

De som van de machten is gelijk aan (at en at).

De som van de graden is gelijk.

Zoals je ziet past alles!!!

Laten we nu oefenen met het definiëren van homogene vergelijkingen.

Bepaal welke van de vergelijkingen homogeen zijn:

Homogene vergelijkingen - vergelijkingen met getallen:

Laten we de vergelijking afzonderlijk bekijken.

Als we elke term delen door elke term in factoren te ontbinden, krijgen we:

En deze vergelijking valt volledig onder de definitie van homogene vergelijkingen.

Hoe homogene vergelijkingen op te lossen?

Voorbeeld 2.

Laten we de vergelijking delen door.

Volgens onze voorwaarde kan y niet gelijk zijn. Daarom kunnen we veilig delen door

Door een vervanging uit te voeren, krijgen we een eenvoudige kwadratische vergelijking:

Omdat dit een gereduceerde kwadratische vergelijking is, gebruiken we de stelling van Vieta:

Nadat we de omgekeerde vervanging hebben uitgevoerd, krijgen we het antwoord

Antwoord:

Voorbeeld 3.

Laten we de vergelijking delen door (op voorwaarde).

Antwoord:

Voorbeeld 4.

Zoek of.

Hier moet je niet delen, maar vermenigvuldigen. Laten we de hele vergelijking vermenigvuldigen met:

Laten we een vervanging maken en de kwadratische vergelijking oplossen:

Nadat we de omgekeerde vervanging hebben uitgevoerd, krijgen we het antwoord:

Antwoord:

Homogene trigonometrische vergelijkingen oplossen.

Het oplossen van homogene trigonometrische vergelijkingen verschilt niet van de hierboven beschreven oplossingsmethoden. Alleen hier moet je onder andere een beetje trigonometrie kennen. En kunnen beslissen goniometrische vergelijkingen(hiervoor kunt u de sectie lezen).

Laten we dergelijke vergelijkingen bekijken met behulp van voorbeelden.

Voorbeeld 5.

Los de vergelijking op.

We zien een typische homogene vergelijking: en zijn onbekenden, en de som van hun machten in elke term is gelijk.

Dergelijke homogene vergelijkingen zijn niet moeilijk op te lossen, maar voordat je de vergelijkingen indeelt, moet je het geval overwegen waarin

In dit geval heeft de vergelijking de vorm: , so. Maar sinus en cosinus kunnen niet tegelijkertijd gelijk zijn, omdat ze volgens de fundamentele trigonometrische identiteit zijn. Daarom kunnen we het veilig verdelen in:

Aangezien de vergelijking is gegeven, geldt volgens de stelling van Vieta het volgende:

Antwoord:

Voorbeeld 6.

Los de vergelijking op.

Net als in het voorbeeld moet je de vergelijking delen door. Laten we het geval bekijken waarin:

Maar sinus en cosinus kunnen niet tegelijkertijd gelijk zijn, omdat ze volgens de fundamentele trigonometrische identiteit zijn. Dat is waarom.

Laten we een vervanging maken en de kwadratische vergelijking oplossen:

Laten we de omgekeerde substitutie uitvoeren en vinden:

Antwoord:

Homogene exponentiële vergelijkingen oplossen.

Homogene vergelijkingen worden op dezelfde manier opgelost als hierboven besproken. Als je bent vergeten hoe je exponentiële vergelijkingen moet oplossen, kijk dan naar de overeenkomstige sectie ()!

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 7.

Los de vergelijking op

Laten we het ons als volgt voorstellen:

We zien een typische homogene vergelijking, met twee variabelen en een som van machten. Laten we de vergelijking verdelen in:

Zoals u kunt zien, krijgen we door de vervanging uit te voeren de onderstaande kwadratische vergelijking (u hoeft zich geen zorgen te maken over delen door nul - deze is altijd strikt groter dan nul):

Volgens de stelling van Vieta:

Antwoord: .

Voorbeeld 8.

Los de vergelijking op

Laten we het ons als volgt voorstellen:

Laten we de vergelijking verdelen in:

Laten we een vervanging maken en de kwadratische vergelijking oplossen:

De wortel voldoet niet aan de voorwaarde. Laten we de omgekeerde substitutie uitvoeren en vinden:

Antwoord:

HOMOGENE VERGELIJKINGEN. MIDDEN NIVEAU

Laat me u eerst aan het voorbeeld van één probleem herinneren wat zijn homogene vergelijkingen en wat is de oplossing van homogene vergelijkingen.

Los het probleem op:

Zoek of.

Hier kun je iets merkwaardigs opmerken: als we elke term delen door, krijgen we:

Dat wil zeggen, nu zijn er geen afzonderlijke en, - nu is de variabele in de vergelijking de gewenste waarde. En dit is een gewone kwadratische vergelijking die gemakkelijk kan worden opgelost met behulp van de stelling van Vieta: het product van de wortels is gelijk, en de som is de getallen en.

Antwoord:

Vergelijkingen van de vorm

heet homogeen. Dat wil zeggen, dit is een vergelijking met twee onbekenden, waarvan elke term dezelfde som van machten van deze onbekenden heeft. In bovenstaand voorbeeld is dit bedrag bijvoorbeeld gelijk aan. Homogene vergelijkingen worden opgelost door in deze mate te delen door een van de onbekenden:

En de daaropvolgende vervanging van variabelen: . Zo verkrijgen we een machtsvergelijking met één onbekende:

Meestal komen we vergelijkingen van de tweede graad tegen (dat wil zeggen kwadratisch), en we weten hoe we ze moeten oplossen:

Merk op dat we de hele vergelijking alleen door een variabele kunnen delen (en vermenigvuldigen) als we ervan overtuigd zijn dat deze variabele niet gelijk aan nul kan zijn! Als ons bijvoorbeeld wordt gevraagd om te vinden, begrijpen we dat onmiddellijk, omdat het onmogelijk is om te delen. In gevallen waarin dit niet zo voor de hand liggend is, is het noodzakelijk om afzonderlijk het geval te controleren waarin deze variabele gelijk is aan nul. Bijvoorbeeld:

Los de vergelijking op.

Oplossing:

We zien hier een typische homogene vergelijking: en zijn onbekenden, en de som van hun machten in elke term is gelijk.

Maar voordat we delen door en een kwadratische vergelijking relatief krijgen, moeten we het geval overwegen wanneer. In dit geval heeft de vergelijking de vorm: , wat betekent . Maar sinus en cosinus kunnen niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, omdat volgens de trigonometrische basisidentiteit: . Daarom kunnen we het veilig verdelen in:

Ik hoop dat deze oplossing volkomen duidelijk is? Als dit niet het geval is, lees dan het gedeelte. Als het niet duidelijk is waar het vandaan komt, moet je nog eerder terugkeren - naar de sectie.

Beslis zelf:

1. Zoek of.
2. Zoek of.
3. Los de vergelijking op.

Hier zal ik kort de oplossing voor homogene vergelijkingen schrijven:

Oplossingen:

Antwoord: .

Maar hier moeten we vermenigvuldigen in plaats van delen:

Antwoord:

Als u nog geen trigonometrische vergelijkingen heeft gemaakt, kunt u dit voorbeeld overslaan.

Omdat we hier moeten delen door, moeten we er eerst voor zorgen dat honderd niet gelijk is aan nul:

En dit is onmogelijk.

Antwoord: .

HOMOGENE VERGELIJKINGEN. KORT OVER DE BELANGRIJKSTE DINGEN

De oplossing van alle homogene vergelijkingen wordt gereduceerd tot deling door een van de onbekenden tot de macht en verdere verandering van variabelen.

Algoritme:

De functie bijvoorbeeld
is een homogene functie van de eerste dimensie, aangezien

is een homogene functie van de derde dimensie, aangezien

is een homogene functie van de nuldimensie, aangezien

, d.w.z.
.

Definitie 2. Differentiaalvergelijking van de eerste orde j" = F(X, j) wordt homogeen genoemd als de functie F(X, j) is een homogene functie van de nuldimensie ten opzichte van X En j, of, zoals ze zeggen, F(X, j) is een homogene functie van graad nul.

Het kan in de vorm worden weergegeven

waarmee we een homogene vergelijking kunnen definiëren als een differentiaalvergelijking die kan worden omgezet in de vorm (3.3).

Vervanging
reduceert een homogene vergelijking tot een vergelijking met scheidbare variabelen. Na vervanging inderdaad j =xz wij krijgen
,
Door de variabelen te scheiden en te integreren, vinden we:

,

Voorbeeld 1. Los de vergelijking op.

Δ We nemen aan j =zx,
Vervang deze uitdrukkingen j En dy in deze vergelijking:
of
We scheiden de variabelen:
en integreren:
,

Vervangen z op , wij krijgen
.

Voorbeeld 2. Vinden algemene oplossing vergelijkingen

Δ In deze vergelijking P (X,j) =X 2 -2j 2 ,Q(X,j) =2xy zijn homogene functies van de tweede dimensie, daarom is deze vergelijking homogeen. Het kan in de vorm worden weergegeven
en los hetzelfde op als hierboven. Maar wij gebruiken een andere vorm van opnemen. Laten we zeggen j = zx, waar dy = zdx + xdz. Als we deze uitdrukkingen in de oorspronkelijke vergelijking vervangen, krijgen we het resultaat

dx+2 zxdz = 0 .

We scheiden de variabelen door te tellen

.

Laten we deze vergelijking term voor term integreren

, waar

dat is
. Terugkeren naar de vorige functie
een algemene oplossing vinden


Voorbeeld 3 . Zoek de algemene oplossing van de vergelijking
.

Δ Keten van transformaties: ,j = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

Lezing 8.

4. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde Een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde heeft de vorm

Hier is de vrije term, ook wel de rechterkant van de vergelijking genoemd. In deze vorm zullen we overwegen lineaire vergelijking in de toekomst.

Als
0, dan wordt vergelijking (4.1a) lineair inhomogeen genoemd. Als
0, dan heeft de vergelijking de vorm

en wordt lineair homogeen genoemd.

De naam van vergelijking (4.1a) wordt verklaard door het feit dat de onbekende functie j en zijn afgeleide voer het lineair in, d.w.z. in de eerste graad.

In een lineaire homogene vergelijking zijn de variabelen gescheiden. Herschrijf het in het formulier
waar
en integrerend krijgen we:
,die.

Wanneer gedeeld door we verliezen de beslissing
. Het kan echter worden opgenomen in de gevonden familie van oplossingen (4.3), als we dat aannemen MET kan ook de waarde 0 aannemen.

Er zijn verschillende methoden om vergelijking (4.1a) op te lossen. Volgens Bernoulli's methode, wordt de oplossing gezocht als een product van twee functies van X:

Een van deze functies kan willekeurig worden gekozen, omdat alleen het product uv moet voldoen aan de oorspronkelijke vergelijking, de andere wordt bepaald op basis van vergelijking (4.1a).

Als we beide kanten van gelijkheid differentiëren (4.4), vinden we
.

Vervanging van de resulterende afgeleide uitdrukking , evenals de waarde bij in vergelijking (4.1a), krijgen we
, of

die. als functie v Laten we de oplossing nemen voor de homogene lineaire vergelijking (4.6):

(Hier C Het is noodzakelijk om te schrijven, anders krijg je geen algemene, maar een specifieke oplossing).

We zien dus dat als gevolg van de gebruikte substitutie (4.4) vergelijking (4.1a) wordt gereduceerd tot twee vergelijkingen met scheidbare variabelen (4.6) en (4.7).

Vervanging
En v(x) in formule (4.4), verkrijgen we uiteindelijk

,

.

Voorbeeld 1. Zoek de algemene oplossing van de vergelijking

 Laten we zeggen
, Dan
. Uitdrukkingen vervangen En in de oorspronkelijke vergelijking, krijgen we
of
(*)

Laten we de coëfficiënt gelijk stellen aan :

Door de variabelen in de resulterende vergelijking te scheiden, hebben we dat gedaan


(willekeurige constante C we schrijven niet), vanaf hier v= X. v Waarde gevonden

,
,
.

vervangen in vergelijking (*):
Vandaar,

algemene oplossing van de oorspronkelijke vergelijking.

.

Merk op dat vergelijking (*) in gelijkwaardige vorm geschreven kan worden: Willekeurig een functie selecteren u v, niet
. Deze oplossing verschilt van de oplossing die alleen door vervanging wordt overwogen v op Willekeurig een functie selecteren(en daarom Willekeurig een functie selecteren op v), dus de uiteindelijke waarde bij blijkt hetzelfde te zijn.

Op basis van het bovenstaande verkrijgen we een algoritme voor het oplossen van een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde.

Merk verder op dat een vergelijking van de eerste orde soms lineair wordt als bij beschouwd als een onafhankelijke variabele, en X– afhankelijk, d.w.z. van rol wisselen X En j. Dit kan op voorwaarde dat X En dx voer de vergelijking lineair in.

Voorbeeld 2 . Los de vergelijking op
.

Het lijkt erop dat deze vergelijking niet lineair is met betrekking tot de functie bij.

Als we echter overwegen X als functie van bij, dan, gegeven dat
, kan het naar het formulier worden gebracht

(4.1 B)

Vervangen op , wij krijgen
of
. Beide zijden van de laatste vergelijking delen door het product ja, laten we het in vorm brengen

, of
. (**)

Hier P(y)=,
. Dit is een lineaire vergelijking met betrekking tot X. Wij geloven
,
. Als we deze uitdrukkingen vervangen door (**), krijgen we

of
.

Laten we v kiezen zodat
,
, waar
;
. Volgende hebben we
,
,
.

Omdat
, dan komen we tot een algemene oplossing voor deze vergelijking in de vorm

.

Merk op dat in vergelijking (4.1a) P(X) En Q (X) kan niet alleen worden opgenomen in de vorm van functies uit X, maar ook constanten: P= A,Q= B. Lineaire vergelijking

kan ook worden opgelost met behulp van de substitutie y= uv en scheiding van variabelen:

;
.

Vanaf hier
;
;
; Waar
. Door onszelf te bevrijden van de logaritme, verkrijgen we een algemene oplossing voor de vergelijking

(Hier
).

Bij B= 0 komen we bij de oplossing van de vergelijking

(zie exponentiële groeivergelijking (2.4) op
).

Eerst integreren we de overeenkomstige homogene vergelijking (4.2). Zoals hierboven vermeld, heeft de oplossing de vorm (4.3). We zullen de factor overwegen MET in (4.3) als functie van X, d.w.z. in wezen een wijziging van de variabele doorvoeren

van waaruit we, integrerend, vinden

Merk op dat volgens (4.14) (zie ook (4.9)) de algemene oplossing van een inhomogene lineaire vergelijking gelijk is aan de som van de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking (4.3) en de specifieke oplossing van de inhomogene vergelijking gedefinieerd door de tweede term opgenomen in (4.14) (en in (4.9)).

Bij het oplossen van specifieke vergelijkingen moet u de bovenstaande berekeningen herhalen, in plaats van de omslachtige formule (4.14) te gebruiken.

Laten we de Lagrange-methode toepassen op de vergelijking die wordt besproken voorbeeld 1 :

.

We integreren de overeenkomstige homogene vergelijking
.

Als we de variabelen scheiden, krijgen we
en verder
. De uitdrukking oplossen met een formule j = Cx. We zoeken een oplossing voor de oorspronkelijke vergelijking in het formulier j = C(X)X. Als we deze uitdrukking in de gegeven vergelijking vervangen, krijgen we
;
;
,
. De algemene oplossing van de oorspronkelijke vergelijking heeft de vorm

.

Concluderend merken we op dat de Bernoulli-vergelijking wordt gereduceerd tot een lineaire vergelijking

, ( )

die in de vorm kan worden geschreven

.

Vervanging
het reduceert tot een lineaire vergelijking:

,
,
.

De vergelijkingen van Bernoulli kunnen ook worden opgelost met behulp van de hierboven beschreven methoden.

Voorbeeld 3 . Zoek de algemene oplossing van de vergelijking
.

 Keten van transformaties:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Kant-en-klare antwoorden op voorbeelden van homogeen differentiaalvergelijkingen Veel studenten zijn op zoek naar de eerste orde (controllers van de 1e orde zijn de meest voorkomende in het lesgeven), dan kun je ze in detail analyseren. Maar voordat u verdergaat met het overwegen van voorbeelden, raden wij u aan het korte theoretische materiaal aandachtig te lezen.
Vergelijkingen van de vorm P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, waarbij de functies P(x,y) en Q(x,y) homogene functies van dezelfde orde zijn, worden genoemd homogene differentiaalvergelijking(ODR).

Schema voor het oplossen van een homogene differentiaalvergelijking

1. Eerst moet je de substitutie y=z*x toepassen, waarbij z=z(x) een nieuwe onbekende functie is (dus de oorspronkelijke vergelijking wordt gereduceerd tot een differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen.
2. De afgeleide van het product is gelijk aan y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z of in differentiëlen dy=d(zx)=z*dx+ x*dz.
3. Vervolgens vervangen we nieuwe functie y en zijn afgeleide y" (of dy) in DE met scheidbare variabelen ten opzichte van x en z.
4. Nadat we de differentiaalvergelijking met scheidbare variabelen hebben opgelost, maken we de omgekeerde verandering y=z*x, dus z= y/x, en krijgen we algemene oplossing (algemene integraal) van een differentiaalvergelijking.
5. Indien gespecificeerd initiële toestand y(x 0)=y 0, dan vinden we een specifieke oplossing voor het Cauchy-probleem. In theorie klinkt het eenvoudig, maar in de praktijk heeft niet iedereen zoveel plezier in het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Laten we daarom, om onze kennis te verdiepen, algemene voorbeelden bekijken. Er valt je niet veel te leren over eenvoudige taken, dus laten we meteen verder gaan met de complexere taken.

Berekeningen van homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Voorbeeld 1.

Oplossing: Deel de rechterkant van de vergelijking door de variabele die een factor is naast de afgeleide. Als gevolg hiervan komen we uit op homogene differentiaalvergelijking van de 0e orde

En hier raakten misschien veel mensen geïnteresseerd, Hoe bepaal je de volgorde van een functie van een homogene vergelijking?
De vraag is heel relevant en het antwoord daarop is als volgt:
aan de rechterkant vervangen we de waarde t*x, t*y in plaats van de functie en het argument. Bij vereenvoudiging wordt de parameter “t” verkregen tot een bepaalde graad k, wat de volgorde van de vergelijking wordt genoemd. In ons geval wordt "t" verminderd, wat overeenkomt met de macht 0 of nulde orde van een homogene vergelijking.
Vervolgens kunnen we aan de rechterkant naar de nieuwe variabele y=zx gaan; z=y/x.
Vergeet tegelijkertijd niet de afgeleide van “y” uit te drukken via de afgeleide van de nieuwe variabele. Door de regel van delen vinden we

Vergelijkingen in verschillen zal de vorm aannemen

We schrappen de algemene termen aan de rechter- en linkerkant en gaan verder met differentiaalvergelijking met gescheiden variabelen.

Laten we beide kanten van de DE integreren

Voor het gemak van verdere transformaties voeren we de constante onmiddellijk onder de logaritme in

Gebaseerd op de eigenschappen van logaritmen, het resultaat logaritmische vergelijking gelijk aan het volgende

Deze invoer is nog geen oplossing (antwoord); het is noodzakelijk om terug te keren naar de uitgevoerde vervanging van variabelen

Zo vinden ze algemene oplossing van differentiaalvergelijkingen. Als je de voorgaande lessen zorgvuldig hebt gelezen, hebben we gezegd dat je het schema vrij zou moeten kunnen gebruiken voor het berekenen van vergelijkingen met gescheiden variabelen en dat dit soort vergelijkingen voor meer berekeningen moeten worden berekend. complexe typen DU.

Voorbeeld 2. Zoek de integraal van een differentiaalvergelijking

Oplossing: Het schema voor het berekenen van homogene en gecombineerde besturingssystemen is u nu bekend. We verplaatsen de variabele naar de rechterkant van de vergelijking en halen ook x 2 uit de teller en de noemer als gemeenschappelijke factor

Zo verkrijgen we een homogene differentiaalvergelijking van de nulde orde.
De volgende stap is het introduceren van de vervanging van variabelen z=y/x, y=z*x, waaraan we u voortdurend zullen herinneren, zodat u deze kunt onthouden

Hierna schrijven we de afstandsbediening in differentiëlen

Vervolgens transformeren we de afhankelijkheid naar differentiaalvergelijking met gescheiden variabelen

en we lossen het op door integratie.

De integralen zijn eenvoudig, de overige transformaties worden uitgevoerd op basis van de eigenschappen van de logaritme. De laatste stap omvat het blootleggen van de logaritme. Ten slotte keren we terug naar de originele vervanging en schrijven deze in het formulier

De constante "C" kan elke waarde aannemen. Iedereen die schriftelijk studeert, heeft problemen met dit soort vergelijkingen bij examens, dus kijk goed en onthoud het rekenschema.

Voorbeeld 3. Differentiaalvergelijking oplossen

Oplossing: Zoals uit de bovenstaande methodologie blijkt, worden dit soort differentiaalvergelijkingen opgelost door een nieuwe variabele te introduceren. Laten we de afhankelijkheid herschrijven zodat de afgeleide geen variabele heeft

Verder zien we, door de rechterkant te analyseren, dat het fragment -ee overal aanwezig is en duiden dit aan als een nieuw onbekend
z=y/x, y=z*x .
De afgeleide van y vinden

Rekening houdend met de vervanging herschrijven we de originele DE in het formulier

We vereenvoudigen de identieke termen en reduceren alle resulterende termen tot de DE met gescheiden variabelen

Door beide kanten van de gelijkheid te integreren

we komen tot een oplossing in de vorm van logaritmen

Door de afhankelijkheden die we vinden bloot te leggen algemene oplossing voor differentiaalvergelijking

die, na het vervangen van de initiële verandering van variabelen erin, de vorm aanneemt

Hier is C een constante die verder kan worden bepaald op basis van de Cauchy-voorwaarde. Als het Cauchy-probleem niet is gespecificeerd, heeft het een willekeurige reële waarde.
Dat is alle wijsheid in de berekening van homogene differentiaalvergelijkingen.

Ik denk dat we moeten beginnen met de geschiedenis van zo'n glorieus wiskundig hulpmiddel als differentiaalvergelijkingen. Zoals alle differentiaal- en integraalrekeningen werden deze vergelijkingen eind 17e eeuw door Newton uitgevonden. Hij vond deze specifieke ontdekking van hem zo belangrijk dat hij zelfs een bericht versleutelde, dat vandaag de dag ongeveer als volgt kan worden vertaald: “Alle natuurwetten worden beschreven door differentiaalvergelijkingen.” Dit lijkt misschien overdreven, maar het is waar. Elke wet van de natuurkunde, scheikunde en biologie kan door deze vergelijkingen worden beschreven.

Wiskundigen Euler en Lagrange hebben een enorme bijdrage geleverd aan de ontwikkeling en creatie van de theorie van differentiaalvergelijkingen. Al in de 18e eeuw ontdekten en ontwikkelden ze wat ze nu studeren in hogere universitaire opleidingen.

Een nieuwe mijlpaal in de studie van differentiaalvergelijkingen begon dankzij Henri Poincaré. Hij creëerde de 'kwalitatieve theorie van differentiaalvergelijkingen', die, in combinatie met de theorie van functies van een complexe variabele, een belangrijke bijdrage leverde aan de basis van de topologie - de wetenschap van de ruimte en zijn eigenschappen.

Wat zijn differentiaalvergelijkingen?

Veel mensen zijn bang voor één zin. In dit artikel zullen we echter in detail de hele essentie van dit zeer nuttige wiskundige apparaat schetsen, dat eigenlijk niet zo ingewikkeld is als het lijkt op basis van de naam. Om over differentiaalvergelijkingen van de eerste orde te kunnen spreken, moet u eerst vertrouwd raken met de basisconcepten die inherent met deze definitie samenhangen. En we beginnen met het differentieel.

Differentieel

Veel mensen kennen dit concept al sinds school. Laten we het echter eens nader bekijken. Stel je de grafiek van een functie voor. We kunnen het zo vergroten dat elk segment ervan de vorm van een rechte lijn zal aannemen. Laten we er twee punten op nemen die oneindig dicht bij elkaar liggen. Het verschil tussen hun coördinaten (x of y) zal oneindig klein zijn. Het wordt het differentieel genoemd en wordt aangegeven met de tekens dy (differentieel van y) en dx (differentieel van x). Het is heel belangrijk om te begrijpen dat het verschil geen eindige hoeveelheid is, en dat dit de betekenis en hoofdfunctie ervan is.

Nu moeten we het volgende element overwegen, dat nuttig voor ons zal zijn bij het uitleggen van het concept van een differentiaalvergelijking. Dit is een afgeleide.

Derivaat

We hebben dit concept waarschijnlijk allemaal op school gehoord. Er wordt gezegd dat de afgeleide de snelheid is waarmee een functie toeneemt of afneemt. Uit deze definitie wordt echter veel onduidelijk. Laten we proberen de afgeleide uit te leggen via differentiëlen. Laten we terugkeren naar een oneindig klein segment van een functie met twee punten die zich op een minimale afstand van elkaar bevinden. Maar zelfs over deze afstand weet de functie enigszins te veranderen. En om deze verandering te beschrijven bedachten ze een afgeleide, die anders kan worden geschreven als een verhouding van differentiëlen: f(x)"=df/dx.

Nu is het de moeite waard om de basiseigenschappen van het derivaat te overwegen. Er zijn er maar drie:

1. De afgeleide van een som of verschil kan worden weergegeven als een som of verschil van afgeleiden: (a+b)"=a"+b" en (a-b)"=a"-b".
2. De tweede eigenschap heeft betrekking op vermenigvuldiging. De afgeleide van een product is de som van de producten van de ene functie en de afgeleide van een andere: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. De afgeleide van het verschil kan worden geschreven als de volgende gelijkheid: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Al deze eigenschappen zullen voor ons nuttig zijn bij het vinden van oplossingen voor differentiaalvergelijkingen van de eerste orde.

Er zijn ook partiële afgeleiden. Laten we zeggen dat we een functie z hebben die afhangt van de variabelen x en y. Om de partiële afgeleide van deze functie te berekenen, bijvoorbeeld met betrekking tot x, moeten we de variabele y als constante nemen en eenvoudigweg differentiëren.

Integraal

Een ander belangrijk concept is integraal. In feite is dit precies het tegenovergestelde van een derivaat. Er zijn verschillende soorten integralen, maar om de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen op te lossen hebben we de meest triviale nodig

Laten we zeggen dat f afhankelijk is van x. We nemen er de integraal uit en krijgen de functie F(x) (vaak de primitieve functie genoemd), waarvan de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie. Dus F(x)"=f(x). Hieruit volgt ook dat de integraal van de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.

Bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen is het erg belangrijk om de betekenis en functie van de integraal te begrijpen, aangezien je ze heel vaak zult moeten gebruiken om de oplossing te vinden.

Vergelijkingen variëren afhankelijk van hun aard. In de volgende sectie zullen we kijken naar de soorten differentiaalvergelijkingen van de eerste orde, en vervolgens leren hoe we deze kunnen oplossen.

Klassen van differentiaalvergelijkingen

"Diffurs" zijn verdeeld volgens de volgorde van de derivaten die erbij betrokken zijn. Er is dus een eerste, tweede, derde en meer orde. Ze kunnen ook worden onderverdeeld in verschillende klassen: gewone en gedeeltelijke afgeleiden.

In dit artikel zullen we gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde bekijken. In de volgende paragrafen bespreken we ook voorbeelden en manieren om deze op te lossen. We zullen alleen ODE's beschouwen, omdat dit de meest voorkomende typen vergelijkingen zijn. Gewone zijn onderverdeeld in ondersoorten: met scheidbare variabelen, homogeen en heterogeen. Vervolgens leer je hoe ze van elkaar verschillen en leer je hoe je ze kunt oplossen.

Bovendien kunnen deze vergelijkingen worden gecombineerd, zodat we een stelsel van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde krijgen. We zullen dergelijke systemen ook overwegen en leren hoe we ze kunnen oplossen.

Waarom overwegen we alleen de eerste bestelling? Omdat je met iets eenvoudigs moet beginnen, en het simpelweg onmogelijk is om alles wat met differentiaalvergelijkingen te maken heeft in één artikel te beschrijven.

Scheidbare vergelijkingen

Dit zijn misschien wel de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Hiertoe behoren voorbeelden die als volgt kunnen worden geschreven: y"=f(x)*f(y). Om deze vergelijking op te lossen, hebben we een formule nodig om de afgeleide weer te geven als een verhouding van differentiëlen: y"=dy/dx. Door dit te gebruiken krijgen we de volgende vergelijking: dy/dx=f(x)*f(y). Nu kunnen we ons wenden tot de oplossingsmethode standaard voorbeelden: laten we de variabelen in delen verdelen, d.w.z. alles met de variabele y verplaatsen naar het deel waar dy zich bevindt, en hetzelfde doen met de variabele x. We verkrijgen een vergelijking van de vorm: dy/f(y)=f(x)dx, die wordt opgelost door integralen van beide zijden te nemen. Vergeet de constante niet die moet worden ingesteld na het nemen van de integraal.

De oplossing voor elk “verschil” is een functie van de afhankelijkheid van x van y (in ons geval) of, als er een numerieke voorwaarde aanwezig is, het antwoord in de vorm van een getal. Laten we eens kijken specifiek voorbeeld de hele oplossing:

Laten we de variabelen in verschillende richtingen verplaatsen:

Laten we nu de integralen nemen. Ze zijn allemaal te vinden in een speciale tabel met integralen. En wij krijgen:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Indien nodig kunnen we "y" uitdrukken als een functie van "x". Nu kunnen we zeggen dat onze differentiaalvergelijking is opgelost als de voorwaarde niet is gespecificeerd. Er kan een voorwaarde worden opgegeven, bijvoorbeeld y(n/2)=e. Vervolgens vervangen we eenvoudigweg de waarden van deze variabelen in de oplossing en vinden we de waarde van de constante. In ons voorbeeld is dit 1.

Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Laten we nu verder gaan met het moeilijkere deel. Er kunnen homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde worden geschreven algemeen beeld dus: y"=z(x,y). Opgemerkt moet worden dat de juiste functie van twee variabelen homogeen is, en niet in twee afhankelijkheden kan worden verdeeld: z op x en z op y. Het is vrij eenvoudig om te controleren of de vergelijking is homogeen of niet: we maken de vervanging x=k*x en y=k*y. Nu annuleren we alle k. Als al deze letters worden geannuleerd, is de vergelijking homogeen en kunnen we veilig beginnen met zoeken verderop zullen we zeggen: het principe van het oplossen van deze voorbeelden is ook heel eenvoudig.

We moeten een vervanging maken: y=t(x)*x, waarbij t een bepaalde functie is die ook afhankelijk is van x. Dan kunnen we de afgeleide uitdrukken: y"=t"(x)*x+t. Als we dit allemaal in onze oorspronkelijke vergelijking vervangen en vereenvoudigen, krijgen we een voorbeeld met scheidbare variabelen t en x. We lossen het op en krijgen de afhankelijkheid t(x). Toen we het ontvingen, vervangen we eenvoudigweg y=t(x)*x door onze vorige vervanging. Dan krijgen we de afhankelijkheid van y van x.

Laten we, om het duidelijker te maken, naar een voorbeeld kijken: x*y"=y-x*e y/x .

Bij controle met vervanging wordt alles verminderd. Dit betekent dat de vergelijking werkelijk homogeen is. Nu maken we nog een vervanging waar we het over hadden: y=t(x)*x en y"=t"(x)*x+t(x). Na vereenvoudiging verkrijgen we de volgende vergelijking: t"(x)*x=-e t. We lossen het resulterende voorbeeld op met gescheiden variabelen en krijgen: e -t =ln(C*x). Het enige wat we moeten doen is vervangen t met y/x (als y =t*x, dan t=y/x), en we krijgen het antwoord: e -y/x =ln(x*C).

Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Het is tijd om naar een ander breed onderwerp te kijken. We zullen inhomogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde analyseren. Hoe verschillen ze van de vorige twee? Laten we het uitzoeken. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde kunnen in algemene vorm als volgt worden geschreven: y" + g(x)*y=z(x). Het is de moeite waard om te verduidelijken dat z(x) en g(x) constante grootheden kunnen zijn.

En nu een voorbeeld: y" - y*x=x 2 .

Er zijn twee oplossingen, en we zullen beide in volgorde bekijken. De eerste is de methode om willekeurige constanten te variëren.

Om de vergelijking op deze manier op te lossen, moet je eerst de rechterkant gelijkstellen aan nul en de resulterende vergelijking oplossen, die, na het overbrengen van de delen, de vorm zal aannemen:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Nu moeten we de constante C 1 vervangen door de functie v(x), die we moeten vinden.

Laten we de afgeleide vervangen:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

En vervang deze uitdrukkingen door de oorspronkelijke vergelijking:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Je kunt zien dat aan de linkerkant twee termen vervallen. Als dit in een bepaald voorbeeld niet is gebeurd, heb je iets verkeerd gedaan. Laten we doorgaan:

v"*e x2/2 = x 2 .

Nu lossen we de gebruikelijke vergelijking op waarin we de variabelen moeten scheiden:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Om de integraal te extraheren, zullen we hier partiële integratie moeten toepassen. Dit is echter niet het onderwerp van ons artikel. Als u geïnteresseerd bent, kunt u zelf leren hoe u dergelijke acties kunt uitvoeren. Het is niet moeilijk, en met voldoende vaardigheid en zorg kost het niet veel tijd.

Laten we eens kijken naar de tweede methode voor het oplossen van inhomogene vergelijkingen: de methode van Bernoulli. Welke aanpak sneller en gemakkelijker is, bepaal jij zelf.

Dus als we een vergelijking met deze methode oplossen, moeten we een substitutie uitvoeren: y=k*n. Hier zijn k en n enkele x-afhankelijke functies. Dan ziet de afgeleide er als volgt uit: y"=k"*n+k*n". We vervangen beide vervangingen in de vergelijking:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Groepering:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Nu moeten we wat tussen haakjes staat gelijkstellen aan nul. Als we nu de twee resulterende vergelijkingen combineren, krijgen we een systeem van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde dat moet worden opgelost:

We lossen de eerste gelijkheid op als een gewone vergelijking. Om dit te doen moet je de variabelen scheiden:

We nemen de integraal en krijgen: ln(n)=x 2 /2. Als we dan n uitdrukken:

Nu vervangen we de resulterende gelijkheid in de tweede vergelijking van het systeem:

k"*e x2/2 =x 2 .

En transformerend krijgen we dezelfde gelijkheid als bij de eerste methode:

dk=x 2 /e x2/2 .

Verdere acties zullen wij ook niet bespreken. Het is de moeite waard om te zeggen dat het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde in eerste instantie aanzienlijke problemen oplevert. Naarmate je je echter dieper in het onderwerp verdiept, begint het steeds beter uit te werken.

Waar worden differentiaalvergelijkingen gebruikt?

Differentiaalvergelijkingen worden zeer actief gebruikt in de natuurkunde, omdat bijna alle basiswetten in differentiaalvorm zijn geschreven, en de formules die we zien oplossingen zijn voor deze vergelijkingen. In de scheikunde worden ze om dezelfde reden gebruikt: met hun hulp worden fundamentele wetten afgeleid. In de biologie worden differentiaalvergelijkingen gebruikt om het gedrag van systemen, zoals roofdieren en prooien, te modelleren. Ze kunnen ook worden gebruikt om reproductiemodellen te maken van bijvoorbeeld een kolonie micro-organismen.

Hoe kunnen differentiaalvergelijkingen u helpen in het leven?

Het antwoord op deze vraag is simpel: helemaal niet. Als u geen wetenschapper of ingenieur bent, is het onwaarschijnlijk dat ze nuttig voor u zullen zijn. Voor de algemene ontwikkeling kan het echter geen kwaad om te weten wat een differentiaalvergelijking is en hoe deze wordt opgelost. En dan is de vraag van de zoon of dochter: “wat is een differentiaalvergelijking?” zal je niet in verwarring brengen. Nou, als je een wetenschapper of ingenieur bent, dan begrijp je zelf het belang van dit onderwerp in elke wetenschap. Maar het allerbelangrijkste is dat nu de vraag “hoe een differentiaalvergelijking van de eerste orde op te lossen?” je kunt altijd een antwoord geven. Mee eens, het is altijd leuk als je iets begrijpt dat mensen zelfs niet durven te begrijpen.

Belangrijkste problemen bij het studeren

Het grootste probleem bij het begrijpen van dit onderwerp is een slechte vaardigheid in het integreren en differentiëren van functies. Als je slecht bent in het nemen van afgeleiden en integralen, dan is het waarschijnlijk de moeite waard om te bestuderen en te beheersen verschillende methoden integratie en differentiatie, en pas dan beginnen met het bestuderen van het materiaal dat in het artikel is beschreven.

Sommige mensen zijn verrast als ze horen dat dx kan worden overgedragen, omdat eerder (op school) werd gesteld dat de breuk dy/dx ondeelbaar is. Hier moet je de literatuur over de afgeleide lezen en begrijpen dat het een verhouding is van oneindig kleine hoeveelheden die kunnen worden gemanipuleerd bij het oplossen van vergelijkingen.

Veel mensen realiseren zich niet meteen dat het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde vaak een functie of integraal is die niet kan worden aangenomen, en deze misvatting bezorgt hen veel problemen.

Wat kun je nog meer bestuderen voor een beter begrip?

Het is het beste om verdere onderdompeling in de wereld van differentiaalrekening te beginnen met gespecialiseerde leerboeken, bijvoorbeeld over wiskundige analyse voor studenten van niet-wiskundige specialiteiten. Dan kun je verdergaan met meer gespecialiseerde literatuur.

Het is de moeite waard om te zeggen dat er naast differentiaalvergelijkingen ook integraalvergelijkingen zijn, zodat je altijd iets hebt om naar te streven en iets om te studeren.

Conclusie

We hopen dat je na het lezen van dit artikel een idee hebt van wat differentiaalvergelijkingen zijn en hoe je ze correct kunt oplossen.

Hoe dan ook, wiskunde zal op de een of andere manier nuttig voor ons zijn in het leven. Het ontwikkelt logica en aandacht, zonder welke elke persoon zonder handen is.

Momenteel zijn er, volgens het basisniveau van het studeren van wiskunde, slechts 4 uur voorzien voor het studeren van wiskunde op de middelbare school (2 uur algebra, 2 uur meetkunde). Op kleine plattelandsscholen proberen ze het aantal uren te vergroten vanwege de schoolcomponent. Maar als de klas humanitair is, wordt er een schoolcomponent toegevoegd voor de studie van geesteswetenschappelijke vakken. In een klein dorp heeft een schoolkind vaak geen keus; die op school verkrijgbaar is. Hij is niet van plan advocaat, historicus of journalist te worden (er zijn zulke gevallen), maar wil ingenieur of econoom worden, dus moet hij met hoge scores slagen voor het Unified State Examination in wiskunde. Onder dergelijke omstandigheden moet de wiskundeleraar zijn eigen uitweg uit de huidige situatie vinden; bovendien wordt er volgens het leerboek van Kolmogorov niet in de studie van het onderwerp ‘homogene vergelijkingen’ voorzien. De afgelopen jaren kostte het me twee dubbele lessen om dit onderwerp te introduceren en te versterken. Helaas verbood onze onderwijstoezichtinspectie dubbele lessen op school, waardoor het aantal oefeningen moest worden teruggebracht naar 45 minuten, en daarmee de moeilijkheidsgraad van de oefeningen werd teruggebracht naar gemiddeld. Ik breng onder uw aandacht een lesplan over dit onderwerp in de 10e klas met basisniveau wiskunde studeren op een kleine plattelandsschool.

Lestype: traditioneel.

Doel: leer typische homogene vergelijkingen oplossen.

Taken:

Cognitief:

Ontwikkelingsgericht:

Educatief:

• Het bevorderen van hard werken door het geduldig voltooien van taken, een gevoel van kameraadschap door het werken in paren en groepen.

Lesvoortgang

I. Organisatorisch fase(3 min.)

II. Testen van de kennis die nodig is om nieuw materiaal onder de knie te krijgen (10 min.)

Identificeer de belangrijkste problemen bij verdere analyse van voltooide taken. De jongens kiezen 3 opties. Taken gedifferentieerd naar moeilijkheidsgraad en mate van paraatheid van de kinderen, gevolgd door uitleg aan het bord.

Niveau 1. Los de vergelijkingen op:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Antwoorden: 7;3

Niveau 2. Los eenvoudige trigonometrische vergelijkingen en bikwadratische vergelijkingen op:

antwoorden:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Antwoorden: -2; 2; -3; 3

Niveau 3. Vergelijkingen oplossen door variabelen te veranderen:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Antwoorden:

III. Het onderwerp communiceren, doelen en doelstellingen stellen.

Onderwerp: Homogene vergelijkingen

Doel: leer typische homogene vergelijkingen oplossen

Taken:

Cognitief:

• maak kennis met homogene vergelijkingen, leer de meest voorkomende soorten van dergelijke vergelijkingen op te lossen.

Ontwikkelingsgericht:

• Ontwikkeling van analytisch denken.
• Ontwikkeling van wiskundige vaardigheden: leer de belangrijkste kenmerken identificeren waardoor homogene vergelijkingen verschillen van andere vergelijkingen, in staat zijn om de gelijkenis van homogene vergelijkingen in hun verschillende verschijningsvormen vast te stellen.

IV. Nieuwe kennis leren (15 min.)

1. Lezingsmoment.

Definitie 1(Schrijf het op in een notitieboekje). Een vergelijking van de vorm P(x;y)=0 heet homogeen als P(x;y) een homogeen polynoom is.

Een polynoom in twee variabelen x en y wordt homogeen genoemd als de graad van elk van zijn termen gelijk is aan hetzelfde getal k.

Definitie 2(Even een introductie). Vergelijkingen van de vorm

wordt een homogene vergelijking van graad n genoemd met betrekking tot u(x) en v(x). Door beide zijden van de vergelijking te delen door (v(x))n, kunnen we een substitutie gebruiken om de vergelijking te verkrijgen

Hierdoor kunnen we de oorspronkelijke vergelijking vereenvoudigen. Het geval v(x)=0 moet afzonderlijk worden beschouwd, aangezien het onmogelijk is om door 0 te delen.

2. Voorbeelden van homogene vergelijkingen:

Leg uit: waarom ze homogeen zijn, geef voorbeelden van dergelijke vergelijkingen.

3. Taak om homogene vergelijkingen te bepalen:

Identificeer uit de gegeven vergelijkingen homogene vergelijkingen en leg uw keuze uit:

Nadat je je keuze hebt uitgelegd, gebruik je een van de voorbeelden om te laten zien hoe je een homogene vergelijking oplost:

4. Beslis zelf:

Antwoord:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Verdeel beide zijden van de vergelijking door cos x, we krijgen 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Laat de oplossing zien aan een voorbeeld uit de brochure“P.V. Chulkov. Vergelijkingen en ongelijkheden in een wiskundecursus op school. Moskou Pedagogische Universiteit“Eerste september” 2006 p.22.” Als een mogelijk voorbeeld Unified State Exam-niveau MET.

V. Los de consolidatie op met behulp van het leerboek van Bashmakov

pagina 183 nr. 59 (1.5) of volgens het leerboek onder redactie van Kolmogorov: pagina 81 nr. 169 (a, c)

antwoorden:

VI. Test, zelfstandig werk (7 min.)

1 optie	Optie 2
Vergelijkingen oplossen:
a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 =0	B)

Antwoorden op taken:

Optie 1 a) Antwoord: arctan2+πn,n € Z; b) Antwoord: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Optie 2 a) Antwoord: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Antwoord: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Huiswerk

Nr. 169 volgens Kolmogorov, nr. 59 volgens Bashmakov.

2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Opmerking: gebruik aan de rechterkant de trigonometrische basisidentiteit 2(sin 2 x + cos 2 x)

Antwoord: arctan(-1±√3) +πn,

Gebruikte literatuur:

1. PV Chulkov. Vergelijkingen en ongelijkheden in een wiskundecursus op school. – M.: Pedagogische Universiteit “Eerste september”, 2006. p
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometrie. – M.: “AST-PRESS”, 1998, p
3. Algebra voor groep 8, onder redactie van N.Ya. Vilenkina. – M.: “Verlichting”, 1997.
4. Algebra voor graad 9, onder redactie van N.Ya. Vilenkina. Moskou "Verlichting", 2001.
5. MI. Basjmakov. Algebra en het begin van analyse. Voor de klassen 10-11 - M.: “Verlichting” 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Doednitsyn. Algebra en het begin van analyse. Voor 10-11 graden. – M.: “Verlichting”, 1990.
7. A.G. Mordkovich. Algebra en het begin van analyse. Deel 1 Leerboek voor groep 10-11. – M.: “Mnemosyne”, 2004.