Hoe wordt een stelsel vergelijkingen opgelost? Methoden voor het oplossen van stelsels vergelijkingen. Regel voor het oplossen van eenvoudige vergelijkingen
Vergelijkingen met breuken oplossen Laten we naar voorbeelden kijken. De voorbeelden zijn eenvoudig en illustratief. Met hun hulp zult u het op de meest begrijpelijke manier kunnen begrijpen.
U moet bijvoorbeeld de eenvoudige vergelijking x/b + c = d oplossen.
Een vergelijking van dit type wordt lineair genoemd, omdat De noemer bevat alleen getallen.
De oplossing wordt uitgevoerd door beide zijden van de vergelijking te vermenigvuldigen met b, waarna de vergelijking de vorm aanneemt x = b*(d – c), d.w.z. de noemer van de breuk aan de linkerkant vervalt.
Zo los je bijvoorbeeld een breukvergelijking op:
x/5+4=9
We vermenigvuldigen beide zijden met 5. We krijgen:
x+20=45
x=45-20=25
Nog een voorbeeld waarbij het onbekende in de noemer staat:
Vergelijkingen van dit type worden fractioneel-rationeel of eenvoudigweg fractioneel genoemd.
We zouden een breukvergelijking oplossen door breuken weg te laten, waarna deze vergelijking meestal verandert in een lineaire of kwadratische vergelijking, die kan worden opgelost op de gebruikelijke manier. U hoeft alleen maar rekening te houden met de volgende punten:
- de waarde van een variabele die de noemer naar 0 verandert, kan geen wortel zijn;
- U kunt een vergelijking niet delen of vermenigvuldigen met de uitdrukking =0.
Dit is waar het concept van het gebied van toegestane waarden (ADV) van kracht wordt - dit zijn de waarden van de wortels van de vergelijking waarvoor de vergelijking zinvol is.
Bij het oplossen van de vergelijking is het dus noodzakelijk om de wortels te vinden en deze vervolgens te controleren op naleving van de ODZ. Die wortels die niet overeenkomen met onze ODZ zijn uitgesloten van het antwoord.
U moet bijvoorbeeld een breukvergelijking oplossen:
Op basis van de bovenstaande regel kan x niet = 0 zijn, d.w.z. ODZ in dit geval: x – elke andere waarde dan nul.
We verwijderen de noemer door alle termen van de vergelijking met x te vermenigvuldigen
En we lossen de gebruikelijke vergelijking op
5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3
Antwoord: x = 1/3
Laten we een ingewikkelder vergelijking oplossen:
ODZ is hier ook aanwezig: x -2.
Bij het oplossen van deze vergelijking zullen we niet alles opzij schuiven en de breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen. We zullen beide zijden van de vergelijking onmiddellijk vermenigvuldigen met een uitdrukking die alle noemers in één keer zal opheffen.
Om de noemers te verkleinen, moet je de linkerkant vermenigvuldigen met x+2 en de rechterkant met 2. Dit betekent dat beide kanten van de vergelijking moeten worden vermenigvuldigd met 2(x+2):
Dit is de meest gebruikelijke vermenigvuldiging van breuken, die we hierboven al hebben besproken.
Laten we dezelfde vergelijking schrijven, maar iets anders
De linkerkant wordt gereduceerd met (x+2), en de rechterkant met 2. Na de reductie verkrijgen we de gebruikelijke lineaire vergelijking:
x = 4 – 2 = 2, wat overeenkomt met onze ODZ
Antwoord: x = 2.
Vergelijkingen met breuken oplossen niet zo moeilijk als het lijkt. In dit artikel hebben we dit met voorbeelden laten zien. Als u er problemen mee heeft hoe je vergelijkingen met breuken oplost, meld je vervolgens af in de reacties.
De online service voor het oplossen van vergelijkingen helpt u bij het oplossen van elke vergelijking. Als u onze site gebruikt, ontvangt u niet alleen het antwoord op de vergelijking, maar ziet u deze ook gedetailleerde oplossing, dat wil zeggen een stapsgewijze weergave van het proces om het resultaat te verkrijgen. Onze service is nuttig voor middelbare scholieren en hun ouders. Studenten kunnen zich voorbereiden op toetsen en examens, hun kennis testen, en ouders kunnen de oplossing van wiskundige vergelijkingen door hun kinderen volgen. Vermogen om vergelijkingen op te lossen - verplichte eis aan schoolkinderen. De dienst zal u helpen uzelf te onderwijzen en uw kennis op het gebied van wiskundige vergelijkingen te verbeteren. Met zijn hulp kun je elke vergelijking oplossen: kwadratisch, kubisch, irrationeel, trigonometrisch, enz. Voordeel online dienst en is van onschatbare waarde, omdat je naast het juiste antwoord ook een gedetailleerde oplossing voor elke vergelijking ontvangt. Voordelen van het online oplossen van vergelijkingen. U kunt elke vergelijking helemaal gratis online op onze website oplossen. De service is volledig automatisch, u hoeft niets op uw computer te installeren, u hoeft alleen maar de gegevens in te voeren en het programma geeft u een oplossing. Eventuele fouten in berekeningen of typefouten zijn uitgesloten. Bij ons is het heel eenvoudig om elke vergelijking online op te lossen, dus zorg ervoor dat u onze site gebruikt om elke soort vergelijking op te lossen. U hoeft alleen maar de gegevens in te voeren en de berekening is binnen enkele seconden voltooid. Het programma werkt zelfstandig, zonder menselijke tussenkomst, en u ontvangt een accuraat en gedetailleerd antwoord. De vergelijking oplossen in algemeen beeld. In een dergelijke vergelijking zijn de variabele coëfficiënten en de gewenste wortels met elkaar verbonden. De hoogste macht van een variabele bepaalt de volgorde van een dergelijke vergelijking. Op basis hiervan, gebruik voor de vergelijkingen verschillende methoden en stellingen voor het vinden van oplossingen. Vergelijkingen oplossen van dit type betekent het vinden van de vereiste wortels in algemene vorm. Met onze service kunt u zelfs de meest complexe algebraïsche vergelijking online oplossen. Je kunt zoiets krijgen gemeenschappelijk besluit vergelijkingen en het quotiënt voor de numerieke waarden van de coëfficiënten die u hebt opgegeven. Om een algebraïsche vergelijking op de website op te lossen, volstaat het om slechts twee velden correct in te vullen: de linker- en rechterkant van de gegeven vergelijking. Algebraïsche vergelijkingen met variabele coëfficiënten hebben een oneindig aantal oplossingen, en door bepaalde voorwaarden te stellen, worden gedeeltelijke oplossingen geselecteerd uit de reeks oplossingen. Kwadratische vergelijking. De kwadratische vergelijking heeft de vorm ax^2+bx+c=0 voor a>0. Vergelijkingen oplossen vierkante uitstraling impliceert het vinden van de waarden van x waarbij de gelijkheid ax^2+bx+c=0 geldt. Om dit te doen, zoekt u de discriminantwaarde met behulp van de formule D=b^2-4ac. Als de discriminant kleiner is dan nul, dan heeft de vergelijking geen echte wortels (de wortels komen uit het veld van complexe getallen), als deze gelijk is aan nul, dan heeft de vergelijking één reële wortel, en als de discriminant groter is dan nul , dan heeft de vergelijking twee reële wortels, die worden gevonden met de formule: D = -b+-sqrt/2a. Om een kwadratische vergelijking online op te lossen, hoeft u alleen maar de coëfficiënten van een dergelijke vergelijking in te voeren (gehele getallen, breuken of decimale waarden). Als er aftrekkingstekens in een vergelijking voorkomen, moet u een minteken vóór de overeenkomstige termen van de vergelijking plaatsen. Beslissen kwadratische vergelijking online en afhankelijk van de parameter, dat wil zeggen de variabelen in de coëfficiënten van de vergelijking. Onze online service voor het vinden van algemene oplossingen kan deze taak goed aan. Lineaire vergelijkingen. Om lineaire vergelijkingen (of stelsels van vergelijkingen) op te lossen, worden in de praktijk vier hoofdmethoden gebruikt. We zullen elke methode in detail beschrijven. Vervangingsmethode. Het oplossen van vergelijkingen met behulp van de substitutiemethode vereist het uitdrukken van één variabele in termen van de andere. Hierna wordt de uitdrukking vervangen door andere vergelijkingen van het systeem. Vandaar de naam van de oplossingsmethode, dat wil zeggen dat in plaats van een variabele de expressie ervan wordt vervangen door de overige variabelen. In de praktijk vereist de methode complexe berekeningen, hoewel deze gemakkelijk te begrijpen is. Het online oplossen van een dergelijke vergelijking zal dus tijd helpen besparen en berekeningen eenvoudiger maken. U hoeft alleen maar het aantal onbekenden in de vergelijking aan te geven en de gegevens uit de lineaire vergelijkingen in te vullen, waarna de service de berekening zal maken. Gauss-methode. De methode is gebaseerd op de eenvoudigste transformaties van het systeem om tot een gelijkwaardig driehoekig systeem te komen. Hieruit worden de onbekenden één voor één bepaald. In de praktijk is het nodig om een dergelijke vergelijking online op te lossen met gedetailleerde beschrijving, waardoor je een goed begrip zult hebben van de Gaussische methode voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Schrijf het stelsel lineaire vergelijkingen in het juiste formaat op en houd rekening met het aantal onbekenden om het stelsel nauwkeurig op te lossen. Cramers methode. Deze methode lost stelsels vergelijkingen op in gevallen waarin het systeem een unieke oplossing heeft. De belangrijkste wiskundige actie hier is de berekening van matrixdeterminanten. Het oplossen van vergelijkingen met behulp van de Cramer-methode gebeurt online, u ontvangt direct het resultaat met een volledige en gedetailleerde beschrijving. Het volstaat om het systeem te vullen met coëfficiënten en het aantal onbekende variabelen te selecteren. Matrix-methode. Deze methode bestaat uit het verzamelen van de coëfficiënten van de onbekenden in matrix A, de onbekenden in kolom X en de vrije termen in kolom B. Het systeem van lineaire vergelijkingen wordt dus gereduceerd tot een matrixvergelijking van de vorm AxX = B. Deze vergelijking heeft alleen een unieke oplossing als de determinant van matrix A verschillend is van nul, anders heeft het systeem geen oplossingen, of een oneindig aantal oplossingen. Het oplossen van vergelijkingen met behulp van de matrixmethode omvat het vinden van de inverse matrix A.
Laten we twee soorten oplossingen voor stelsels vergelijkingen analyseren:
1. Het systeem oplossen met behulp van de substitutiemethode.
2. Het systeem oplossen door de systeemvergelijkingen term voor term op te tellen (aftrekken).
Om het stelsel vergelijkingen op te lossen via substitutiemethode je moet een eenvoudig algoritme volgen:
1. Express. Uit elke vergelijking drukken we één variabele uit.
2. Vervanger. We vervangen de resulterende waarde in een andere vergelijking in plaats van de uitgedrukte variabele.
3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele. Wij vinden een oplossing voor het systeem.
Oplossen systeem door term-voor-term optellen (aftrekken) methode nodig hebben:
1. Selecteer een variabele waarvoor we identieke coëfficiënten gaan maken.
2. We voegen vergelijkingen toe of trekken ze af, wat resulteert in een vergelijking met één variabele.
3. Los de resulterende lineaire vergelijking op. Wij vinden een oplossing voor het systeem.
De oplossing voor het systeem zijn de snijpunten van de functiegrafieken.
Laten we de oplossing van systemen in detail bekijken met behulp van voorbeelden.
Voorbeeld 1:
Laten we het oplossen via de substitutiemethode
Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de substitutiemethode2x+5y=1 (1 vergelijking)
x-10y=3 (2e vergelijking)
1. Express
Het is te zien dat er in de tweede vergelijking een variabele x is met een coëfficiënt van 1, wat betekent dat het het gemakkelijkst is om de variabele x uit de tweede vergelijking uit te drukken.
x=3+10y
2. Nadat we het hebben uitgedrukt, vervangen we 3+10y in de eerste vergelijking in plaats van de variabele x.
2(3+10j)+5j=1
3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele.
2(3+10y)+5y=1 (open de haakjes)
6+20j+5j=1
25j=1-6
25j=-5 |: (25)
j=-5:25
y=-0,2
De oplossing voor het vergelijkingssysteem zijn de snijpunten van de grafieken, daarom moeten we x en y vinden, omdat het snijpunt bestaat uit x en y. Laten we x vinden, in het eerste punt waar we het uitdrukten, vervangen we y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Het is gebruikelijk om punten te schrijven, in de eerste plaats schrijven we de variabele x, en in de tweede plaats de variabele y.
Antwoord: (1; -0,2)
Voorbeeld #2:
Laten we het oplossen met behulp van de term-voor-term optelling (aftrekking) methode.
Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de optelmethode3x-2y=1 (1 vergelijking)
2x-3y=-10 (2e vergelijking)
1. We kiezen een variabele, laten we zeggen dat we x kiezen. In de eerste vergelijking heeft de variabele x een coëfficiënt van 3, in de tweede - 2. We moeten de coëfficiënten hetzelfde maken, hiervoor hebben we het recht om de vergelijkingen te vermenigvuldigen of te delen door een willekeurig getal. We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met 2 en de tweede met 3 en krijgen een totale coëfficiënt van 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Trek de tweede van de eerste vergelijking af om de variabele x weg te werken en los de lineaire vergelijking op.
__6x-4y=2
5j=32 | :5
j=6,4
3. Zoek x. We vervangen de gevonden y in een van de vergelijkingen, laten we zeggen in de eerste vergelijking.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Het snijpunt zal x=4,6 zijn; j=6,4
Antwoord: (4,6; 6,4)
Wil jij je gratis voorbereiden op examens? Bijlesdocent online gratis. Geen grapje.
Vergelijkingen
Hoe vergelijkingen oplossen?
In deze sectie zullen we de meest elementaire vergelijkingen herinneren (of bestuderen, afhankelijk van wie je kiest). Dus wat is de vergelijking? In menselijke termen is dit een soort van wiskundige uitdrukking, waar er een gelijkteken en een onbekend is. Meestal wordt dit aangegeven met de letter "X". Los De vergelijking op- dit is om zulke waarden van x te vinden die, wanneer gesubstitueerd in origineel expressie zal ons de juiste identiteit geven. Laat me je eraan herinneren dat identiteit een uitdrukking is waar geen twijfel over bestaat, zelfs voor iemand die absoluut niet belast is met wiskundige kennis. Zoals 2=2, 0=0, ab=ab, etc. Dus hoe vergelijkingen op te lossen? Laten we het uitzoeken.
Er zijn allerlei vergelijkingen (ik ben verrast, toch?). Maar al hun oneindige verscheidenheid kan in slechts vier typen worden verdeeld.
4. Ander.)
Al de rest natuurlijk, vooral, ja...) Dit omvat kubieke, exponentiële, logaritmische, trigonometrische en allerlei andere. Wij zullen nauw met hen samenwerken in de desbetreffende secties.
Ik zal meteen zeggen dat soms de vergelijkingen van de eerste zijn drie soorten ze zullen je zo bedriegen dat je ze niet eens zult herkennen... Niets. We zullen leren hoe we ze kunnen ontspannen.
En waarom hebben we deze vier typen nodig? En dan wat lineaire vergelijkingen op één manier opgelost vierkant anderen, fractionele rationale getallen - derde, A rest Ze durven helemaal niet! Nou, het is niet zo dat ze helemaal niet kunnen beslissen, het is dat ik het mis had met wiskunde.) Het is gewoon dat ze hun eigen speciale technieken en methoden hebben.
Maar voor iedereen (ik herhaal - voor elk!) vergelijkingen bieden een betrouwbare en faalveilige basis voor het oplossen. Werkt overal en altijd. Deze stichting - Klinkt eng, maar het is heel eenvoudig. En erg (Erg!) belangrijk.
Eigenlijk bestaat de oplossing van de vergelijking uit deze transformaties. 99% Antwoord op de vraag: " Hoe vergelijkingen oplossen?" ligt precies in deze transformaties. Is de hint duidelijk?)
Identieke transformaties van vergelijkingen.
IN eventuele vergelijkingen Om het onbekende te vinden, moet je het originele voorbeeld transformeren en vereenvoudigen. En dat dus bij het wisselen verschijning de essentie van de vergelijking is niet veranderd. Dergelijke transformaties worden genoemd identiek of gelijkwaardig.
Merk op dat deze transformaties van toepassing zijn specifiek voor de vergelijkingen. Er zijn ook identiteitstransformaties in de wiskunde uitdrukkingen. Dit is een ander onderwerp.
Nu zullen we alles, alles, allemaal basis herhalen identieke transformaties van vergelijkingen.
Basic omdat ze toegepast kunnen worden elk vergelijkingen - lineair, kwadratisch, fractioneel, trigonometrisch, exponentieel, logaritmisch, enz. enzovoort.
Eerste identiteitstransformatie: je kunt aan beide kanten van elke vergelijking optellen (aftrekken). elk(maar wel één en hetzelfde!) getal of uitdrukking (inclusief een uitdrukking met een onbekende!). Dit verandert niets aan de essentie van de vergelijking.
Trouwens, je hebt deze transformatie voortdurend gebruikt, je dacht gewoon dat je sommige termen van het ene deel van de vergelijking naar het andere overbracht met een verandering van teken. Type:
Het geval is bekend, we verplaatsen de twee naar rechts en we krijgen:
Eigenlijk jij weggenomen van beide kanten van de vergelijking is twee. Het resultaat is hetzelfde:
x+2 - 2 = 3 - 2
Het verplaatsen van termen naar links en rechts met een verandering van teken is eenvoudigweg een verkorte versie van de eerste identiteitstransformatie. En waarom hebben we zulke diepgaande kennis nodig? - je vraagt. Niets in de vergelijkingen. In godsnaam, verdraag het. Vergeet alleen niet het bord te veranderen. Maar bij ongelijkheid kan de gewoonte van overdracht tot een doodlopende weg leiden...
Tweede identiteitstransformatie: beide zijden van de vergelijking kunnen met hetzelfde worden vermenigvuldigd (gedeeld). niet-nul getal of uitdrukking. Hier verschijnt al een begrijpelijke beperking: vermenigvuldigen met nul is dom, en delen is volkomen onmogelijk. Dit is de transformatie die je gebruikt als je iets cools oplost
Het is duidelijk X= 2. Hoe heb je het gevonden? Door selectie? Of is het je net opgevallen? Om niet te selecteren en niet op inzicht te wachten, moet je begrijpen dat je rechtvaardig bent verdeelde beide kanten van de vergelijking door 5. Bij het delen van de linkerkant (5x) werden de vijf verkleind, waardoor pure X overblijft. Dat is precies wat we nodig hadden. En als je de rechterkant van (10) deelt door vijf, is het resultaat natuurlijk twee.
Dat is alles.
Het is grappig, maar deze twee (slechts twee!) identieke transformaties vormen de basis van de oplossing alle vergelijkingen van de wiskunde. Wauw! Het is logisch om naar voorbeelden te kijken van wat en hoe, toch?)
Voorbeelden van identieke transformaties van vergelijkingen. Belangrijkste problemen.
Laten we beginnen met Eerst identiteitstransformatie. Links-rechts overbrengen.
Een voorbeeld voor de jongeren.)
Laten we zeggen dat we de volgende vergelijking moeten oplossen:
3-2x=5-3x
Laten we de spreuk onthouden: "met X'en - naar links, zonder X'en - naar rechts!" Deze spreuk is een instructie voor het gebruik van de eerste identiteitstransformatie.) Welke uitdrukking met een X staat rechts? 3x? Het antwoord is onjuist! Aan onze rechterkant - 3x! Minus drie x! Als u naar links gaat, verandert het teken daarom in plus. Het zal blijken:
3-2x+3x=5
De X’s werden dus op een stapel verzameld. Laten we op de cijfers ingaan. Links staat een drie. Met welk teken? Het antwoord "zonder" wordt niet geaccepteerd!) Voor de drie wordt inderdaad niets getekend. En dit betekent dat er vóór de drie is plus. Dus de wiskundigen waren het erover eens. Er staat niets geschreven, wat betekent plus. Daarom wordt de triple naar de rechterkant overgebracht met een minpuntje. We krijgen:
-2x+3x=5-3
Er blijven slechts kleinigheden over. Aan de linkerkant - breng soortgelijke, aan de rechterkant - tel. Het antwoord komt meteen:
In dit voorbeeld was één identiteitstransformatie voldoende. De tweede was niet nodig. Nou ja, oké.)
Een voorbeeld voor oudere kinderen.)
Als je deze site leuk vindt...
Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)
U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)
Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.