Hoe een breuk en een decimaal te vergelijken. Vergelijking van eindige en oneindige decimalen, regels, voorbeelden, oplossingen

26.09.2019

In dit artikel zullen we kijken naar het onderwerp " decimalen vergelijken" Laten we eerst bespreken algemeen principe vergelijking van decimale breuken. Hierna zullen we uitzoeken welke decimale breuken gelijk zijn en welke ongelijk zijn. Vervolgens zullen we leren bepalen welke decimale breuk groter is en welke kleiner. Om dit te doen, zullen we de regels bestuderen voor het vergelijken van eindige, oneindige periodieke en oneindige niet-periodieke breuken. We zullen de hele theorie voorzien van voorbeelden gedetailleerde oplossingen. Laten we tot slot stilstaan bij de vergelijking van decimale breuken met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde cijfers.

Laten we meteen zeggen dat we het hier alleen zullen hebben over het vergelijken van positieve decimale breuken (zie positieve en negatieve getallen). De overige gevallen worden besproken in de artikelen Vergelijking van rationale getallen en vergelijking van reële getallen.

Paginanavigatie.

Algemeen principe voor het vergelijken van decimale breuken

Op basis van dit vergelijkingsprincipe worden regels voor het vergelijken van decimale breuken afgeleid die het mogelijk maken om te doen zonder de vergeleken decimale breuken om te zetten in gewone breuken. In de volgende paragrafen bespreken we deze regels, evenals voorbeelden van de toepassing ervan.

Een soortgelijk principe wordt gebruikt om eindige decimale breuken of oneindige periodieke decimale breuken te vergelijken met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde getallen: de vergeleken getallen worden vervangen door hun overeenkomstige gewone breuken, waarna de gewone breuken worden vergeleken.

Betreft vergelijkingen van oneindige niet-periodieke decimalen, dan komt het meestal neer op het vergelijken van eindige decimale breuken. Om dit te doen, moet u rekening houden met het aantal tekens van de vergeleken oneindige niet-periodieke decimale breuken waarmee u het resultaat van de vergelijking kunt verkrijgen.

Gelijke en ongelijke decimalen

Eerst introduceren wij definities van gelijke en ongelijke decimale breuken.

Definitie.

De twee eindigende decimale breuken worden genoemd gelijkwaardig, als hun overeenkomstige gewone breuken gelijk zijn, anders worden deze decimale breuken genoemd ongelijk.

Op basis van deze definitie is het gemakkelijk om de volgende bewering te rechtvaardigen: als je meerdere cijfers 0 optelt of weglaat aan het einde van een gegeven decimale breuk, krijg je een decimale breuk die gelijk is aan deze breuk. Bijvoorbeeld 0,3=0,30=0,300=… en 140,000=140,00=140,0=140.

Het toevoegen of weggooien van een nul aan het einde van een decimale breuk aan de rechterkant komt overeen met het vermenigvuldigen of delen door 10 van de teller en de noemer van de overeenkomstige gewone breuk. En we kennen de basiseigenschap van een breuk, die stelt dat het vermenigvuldigen of delen van de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde natuurlijke getal een breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk. Dit bewijst dat het toevoegen of weggooien van nullen aan de rechterkant in het fractionele deel van een decimaal getal een breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk.

De decimale breuk 0,5 komt bijvoorbeeld overeen met de gewone breuk 5/10, na het toevoegen van een nul aan de rechterkant komt de decimale breuk 0,50 overeen, wat overeenkomt met de gewone breuk 50/100, en. Dus 0,5=0,50. Omgekeerd, als we in de decimale breuk 0,50 de 0 aan de rechterkant weggooien, dan krijgen we de breuk 0,5, dus van de gewone breuk 50/100 komen we bij de breuk 5/10, maar . Daarom is 0,50=0,5.

Laten we verder gaan naar bepaling van gelijke en ongelijke oneindige periodieke decimale breuken.

Definitie.

Twee oneindige periodieke breuken gelijkwaardig, als de overeenkomstige gewone breuken gelijk zijn; als de gewone breuken die ermee corresponderen niet gelijk zijn, dan zijn de vergeleken periodieke breuken dat ook niet gelijk.

Uit deze definitie volgen drie conclusies:

Als de notaties van periodieke decimale breuken volledig samenvallen, dan zijn zulke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. De periodieke decimalen 0,34(2987) en 0,34(2987) zijn bijvoorbeeld gelijk.
Als de perioden van de vergeleken decimale periodieke breuken vanaf dezelfde positie beginnen, heeft de eerste breuk een periode van 0, de tweede een periode van 9 en is de waarde van het cijfer voorafgaand aan periode 0 één groter dan de waarde van het cijfer voorafgaand aan periode 9, dan zijn zulke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. De periodieke breuken 8,3(0) en 8,2(9) zijn bijvoorbeeld gelijk, en de breuken 141,(0) en 140,(9) zijn ook gelijk.
Elke twee andere periodieke breuken zijn niet gelijk. Hier zijn voorbeelden van ongelijke oneindige periodieke decimale breuken: 9,0(4) en 7,(21), 0,(12) en 0,(121), 10,(0) en 9,8(9).

Het blijft om te behandelen gelijke en ongelijke oneindige niet-periodieke decimale breuken. Zoals bekend kunnen dergelijke decimale breuken niet worden omgezet in gewone breuken (dergelijke decimale breuken vertegenwoordigen irrationele getallen), daarom kan de vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken niet worden gereduceerd tot de vergelijking van gewone breuken.

Definitie.

Twee oneindige niet-periodieke decimalen gelijkwaardig, als hun gegevens volledig overeenkomen.

Maar er is één voorbehoud: het is onmogelijk om het "voltooide" record van eindeloze niet-periodieke decimale breuken te zien, daarom is het onmogelijk om zeker te zijn van de volledige samenloop van hun records. Hoe te zijn?

Alleen bij het vergelijken van oneindige niet-periodieke decimale breuken laatste nummer tekenen van de breuken die worden vergeleken, waardoor we de nodige conclusies kunnen trekken. De vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken wordt dus gereduceerd tot de vergelijking van eindige decimale breuken.

Met deze benadering kunnen we alleen over de gelijkheid van oneindige niet-periodieke decimale breuken praten tot aan het betreffende cijfer. Laten we voorbeelden geven. De oneindige niet-periodieke decimalen 5,45839... en 5,45839... zijn gelijk aan de dichtstbijzijnde honderdduizendste, aangezien de eindige decimalen 5,45839 en 5,45839 gelijk zijn; niet-periodieke decimale breuken 19.54... en 19.54810375... zijn gelijk aan de dichtstbijzijnde honderdste, aangezien ze gelijk zijn aan de breuken 19.54 en 19.54.

Met deze benadering wordt de ongelijkheid van oneindige niet-periodieke decimale breuken vrij definitief vastgesteld. De oneindige niet-periodieke decimalen 5,6789... en 5,67732... zijn bijvoorbeeld niet gelijk, aangezien de verschillen in hun notaties duidelijk zijn (de eindige decimalen 5,6789 en 5,6773 zijn niet gelijk). De oneindige decimalen 6,49354... en 7,53789... zijn ook niet gelijk.

Regels voor het vergelijken van decimale breuken, voorbeelden, oplossingen

Nadat je hebt vastgesteld dat twee decimale breuken ongelijk zijn, moet je vaak uitzoeken welke van deze breuken groter is en welke kleiner dan de andere. Nu zullen we kijken naar de regels voor het vergelijken van decimale breuken, zodat we de gestelde vraag kunnen beantwoorden.

In veel gevallen is het voldoende om hele delen van de te vergelijken decimale breuken te vergelijken. Het volgende is waar regel voor het vergelijken van decimalen: groter dan die decimale breuk, hele deel die groter is, en die kleiner is dan de decimale breuk waarvan het hele deel kleiner is.

Deze regel is van toepassing op zowel eindige als oneindige decimale breuken. Laten we eens kijken naar de oplossingen voor de voorbeelden.

Voorbeeld.

Vergelijk de decimalen 9,43 en 7,983023….

Oplossing.

Het is duidelijk dat deze decimalen niet gelijk zijn. Het gehele deel van de eindige decimale breuk 9,43 is gelijk aan 9, en het gehele deel van de oneindige niet-periodieke breuk 7,983023... is gelijk aan 7. Sinds 9>7 (zie vergelijking van natuurlijke getallen), dan 9,43>7,983023.

Antwoord:

9,43>7,983023 .

Voorbeeld.

Welke decimale breuk 49.43(14) en 1045.45029... is kleiner?

Oplossing.

Het gehele deel van de periodieke breuk 49.43(14) is kleiner dan het gehele deel van de oneindige niet-periodieke decimale breuk 1045.45029..., dus 49.43(14)<1 045,45029… .

Antwoord:

49,43(14) .

Als de hele delen van de decimale breuken die worden vergeleken gelijk zijn, moet je de breukdelen vergelijken om erachter te komen welke groter en welke kleiner is. Vergelijking fractionele delen decimale breuken worden beetje bij beetje uitgevoerd- van de categorie van tienden naar de lagere.

Laten we eerst eens kijken naar een voorbeeld van het vergelijken van twee eindige decimale breuken.

Voorbeeld.

Vergelijk de einddecimalen 0,87 en 0,8521.

Oplossing.

De gehele delen van deze decimale breuken zijn gelijk (0=0), dus we gaan verder met het vergelijken van de breukdelen. De waarden van de tienden zijn gelijk (8=8), en de waarde van de honderdsten van een breuk is 0,87 groter dan de waarde van de honderdsten van een breuk 0,8521 (7>5). Daarom 0,87>0,8521.

Antwoord:

0,87>0,8521 .

Soms, om een vergelijking uit te voeren van decimale breuken met verschillende bedragen decimalen, breuken met minder decimalen moeten rechts worden toegevoegd met een aantal nullen. Het is best handig om het aantal decimalen gelijk te maken voordat u begint met het vergelijken van de uiteindelijke decimale breuken, door een bepaald aantal nullen rechts van een ervan toe te voegen.

Voorbeeld.

Vergelijk de einddecimalen 18.00405 en 18.0040532.

Oplossing.

Het is duidelijk dat deze breuken ongelijk zijn, omdat hun notatie verschillend is, maar tegelijkertijd gelijke gehele delen hebben (18 = 18).

Voordat we de breuken van deze breuken bitsgewijze vergelijken, maken we het aantal decimalen gelijk. Om dit te doen, voegen we twee cijfers 0 toe aan het einde van de breuk 18.00405, en we krijgen een gelijke decimale breuk 18.0040500.

De waarden van de decimalen van de breuken 18.0040500 en 18.0040532 zijn gelijk tot honderdduizendsten, en de waarde van de miljoenste plaats van de breuk 18.0040500 is kleiner dan de waarde van de overeenkomstige plaats van de breuk 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Antwoord:

18,00405<18,0040532 .

Bij het vergelijken van een eindige decimale breuk met een oneindige breuk wordt de eindige breuk vervangen door een gelijke oneindige periodieke breuk met een periode van 0, waarna een vergelijking per cijfer wordt gemaakt.

Voorbeeld.

Vergelijk het eindige decimaal 5,27 met het oneindige niet-periodieke decimaal 5,270013... .

Oplossing.

De hele delen van deze decimale breuken zijn gelijk. De waarden van de tienden en honderdsten van deze breuken zijn gelijk, en om verdere vergelijking uit te voeren vervangen we de eindige decimale breuk door een gelijke oneindige periodieke breuk met periode 0 van de vorm 5,270000.... Tot op de vijfde decimaal zijn de waarden van de decimalen 5.270000... en 5.270013... gelijk, en op de vijfde decimaal hebben we 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Antwoord:

5,27<5,270013… .

Vergelijking van oneindige decimale breuken wordt ook plaatselijk uitgevoerd, en eindigt zodra de waarden van sommige cijfers anders blijken te zijn.

Voorbeeld.

Vergelijk de oneindige decimalen 6.23(18) en 6.25181815….

Oplossing.

De hele delen van deze breuken zijn gelijk, en de waarden op de tiende plaats zijn ook gelijk. En de waarde van het honderdste cijfer van een periodieke breuk 6.23(18) is kleiner dan het honderdste cijfer van een oneindige niet-periodieke decimale breuk 6.25181815..., dus 6.23(18)<6,25181815… .

Antwoord:

6,23(18)<6,25181815… .

Voorbeeld.

Welke van de oneindige periodieke decimalen 3,(73) en 3,(737) is groter?

Oplossing.

Het is duidelijk dat 3,(73)=3,73737373... en 3,(737)=3,737737737... . Op de vierde decimaal eindigt de bitsgewijze vergelijking, aangezien we daar 3 hebben<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Antwoord:

3,(737) .

Vergelijk decimalen met natuurlijke getallen, breuken en gemengde getallen.

Het resultaat van het vergelijken van een decimale breuk met een natuurlijk getal kan worden verkregen door het gehele deel van een gegeven breuk te vergelijken met een bepaald natuurlijk getal. In dit geval moeten periodieke breuken met perioden van 0 of 9 eerst worden vervangen door eindige decimale breuken die daaraan gelijk zijn.

Het volgende is waar regel voor het vergelijken van decimale breuken en natuurlijke getallen: als het hele deel van een decimale breuk kleiner is dan een bepaald natuurlijk getal, dan is de hele breuk kleiner dan dit natuurlijke getal; als het gehele deel van een breuk groter is dan of gelijk is aan een bepaald natuurlijk getal, dan is de breuk groter dan het gegeven natuurlijke getal.

Laten we eens kijken naar voorbeelden van de toepassing van deze vergelijkingsregel.

Voorbeeld.

Vergelijk het natuurlijke getal 7 met de decimale breuk 8,8329….

Oplossing.

Omdat een bepaald natuurlijk getal kleiner is dan het gehele deel van een gegeven decimale breuk, is dit getal kleiner dan een gegeven decimale breuk.

Antwoord:

7<8,8329… .

Voorbeeld.

Vergelijk het natuurlijke getal 7 en de decimale breuk 7.1.

SECTIE 7 DECIMALE FRACTIES EN HANDELINGEN MET HEN

In dit gedeelte leer je:

wat is een decimale breuk en wat is de structuur ervan;

hoe decimalen te vergelijken;

wat zijn de regels voor het optellen en aftrekken van decimalen;

hoe je het product en het quotiënt van twee decimale breuken kunt vinden;

wat is het afronden van een getal en hoe rond je getallen af;

hoe je de bestudeerde stof in de praktijk kunt toepassen

§ 29. WAT IS EEN DECIMAAL? DECIMAAL VERGELIJKEN

Kijk naar Figuur 220. Je ziet dat de lengte van segment AB 7 mm is, en de lengte van segment DC 18 mm. Om de lengtes van deze segmenten in centimeters te geven, moet je breuken gebruiken:

Je kent veel andere voorbeelden waarbij breuken met noemers van 10, 100, 1000 en dergelijke worden gebruikt. Dus,

Dergelijke breuken worden decimalen genoemd. Om ze op te nemen, gebruikt u een handiger formulier, dat wordt voorgesteld door de liniaal op uw accessoire. Laten we eens kijken naar het betreffende voorbeeld.

U weet dat de lengte van het segment DC (Fig. 220) kan worden uitgedrukt als een gemengd getal

Als we een komma achter het gehele deel van dit getal plaatsen, en daarna de teller van het breukdeel, krijgen we een compactere invoer: 1,8 cm. Voor het segment AB krijgen we: 0,7 cm. De breuk is inderdaad correct, het is minder dan één, daarom is het gehele deel 0. De getallen 1,8 en 0,7 zijn voorbeelden van decimale breuken.

De decimale breuk 1,8 wordt als volgt gelezen: “één komma acht”, en de breuk 0,7 is “nul komma zeven”.

Hoe breuken te schrijven als decimalen? Om dit te doen, moet u de structuur van de decimale notatie kennen.

Bij de notatie van een decimale breuk is er altijd een geheel getal en een breukgedeelte. ze worden gescheiden door een komma. In het hele deel zijn de klassen en rangen dezelfde natuurlijke cijfers. Je weet dat dit klassen van eenheden zijn, duizenden, miljoenen, enz., en elk ervan heeft 3 cijfers: eenheden, tientallen en honderden. In het fractionele deel van een decimale breuk worden geen klassen onderscheiden, maar er kunnen zoveel cijfers zijn als gewenst; hun namen komen overeen met de namen van de noemers van de breuken - tienden, honderdsten, duizendsten, tienduizendsten, honderdduizendsten, miljoensten , tien miljoensten, enz. De tiende plaats is de oudste plaats in het breukdeel van een decimaal.

In tabel 40 zie je de namen van de decimalen en het getal “honderddrieëntwintig hele en vierduizend vijfhonderd zeshonderdduizendsten” of

De naam van het fractionele deel "honderdduizendsten" in een gewone breuk bepaalt de noemer, en in het decimale deel - het laatste cijfer van het fractionele deel. Dat zie je in de teller van het gebroken deel van het getal Er staan één cijfer minder dan nullen in de noemer. Als we hier geen rekening mee houden, krijgen we een fout bij het registreren van het fractionele deel - in plaats van 4506 honderdduizendsten schrijven we 4506 tienduizendsten, maar

Wanneer u dit getal als decimale breuk schrijft, moet u daarom 0 achter de komma plaatsen (op de tiende plaats): 123.04506.

Opmerking:

een decimale breuk moet evenveel cijfers achter de komma hebben als er nullen staan in de noemer van de overeenkomstige gewone breuk.

We kunnen nu de breuken opschrijven

als decimalen.

Decimalen kunnen op dezelfde manier worden vergeleken als natuurlijke getallen. Als er veel cijfers zijn bij het opnemen van decimale breuken, worden speciale regels gebruikt. Laten we naar voorbeelden kijken.

Taak. Vergelijk de breuken: 1) 96.234 en 830.123; 2) 3,574 en 3,547.

Oplossingen. 1, Het gehele deel van de eerste breuk is het tweecijferige getal 96, en het gehele deel van de tweede breuk is het driecijferige getal 830, daarom:

96,234 < 830,123.

2. Schriftelijk zijn de breuken 3,574 en 3,547 en de gehele delen gelijk. Daarom vergelijken we hun breuken beetje bij beetje. Om dit te doen, schrijven we deze breuken onder elkaar:

Elke breuk heeft 5 tienden. Maar in de eerste breuk zijn er 7 honderdsten, en in de tweede zijn er slechts 4 honderdsten. Daarom is de eerste fractie groter dan de tweede: 3,574 > 3,547.

Regels voor het vergelijken van decimale breuken.

1. Van twee decimale breuken is degene waarvan het hele deel groter is, groter.

2. Als de gehele delen van decimale breuken gelijk zijn, vergelijk dan de breukdelen beetje bij beetje, te beginnen met het meest significante cijfer.

Net als breuken kunnen decimalen op een coördinatenstraal worden geplaatst. In Figuur 221 zie je dat de punten A, B en C coördinaten hebben: A(0,2), B(0,9), C(1,6).

Meer te weten komen

Decimalen zijn gerelateerd aan het decimale positienummersysteem. Hun uiterlijk heeft echter een langere geschiedenis en wordt geassocieerd met de naam van de uitstekende wiskundige en astronoom al-Kashi (volledige naam - Jemshid ibn Masudal-Kashi). In zijn werk "The Key to Arithmetic" (15e eeuw) formuleerde hij voor het eerst de regels voor het werken met decimale breuken en gaf hij voorbeelden van het uitvoeren van acties ermee. Omdat hij niets wist over de ontdekking van al-Kashi, 'ontdekte' de Vlaamse wiskundige en ingenieur Simon Stevin ongeveer 150 jaar later voor de tweede keer decimale breuken. In het werk "Decimal" (1585 p.) schetste S. Stevin de theorie van decimale breuken. Hij promootte ze op alle mogelijke manieren, waarbij hij het gemak van decimale breuken voor praktische berekeningen benadrukte.

Het scheiden van het hele deel van de fractionele decimaal is op verschillende manieren voorgesteld. Al-Kashi schreef dus de hele en gedeeltelijke delen met verschillende inkten of plaatste er een verticale lijn tussen. S. Stevin plaatste een nul in een cirkel om het hele deel van het gebroken deel te scheiden. De in onze tijd aangenomen komma werd voorgesteld door de beroemde Duitse astronoom Johannes Kepler (1571 - 1630).

PROBLEMEN OPLOSSEN

1173. Noteer de lengte van segment AB in centimeters als:

1)AB = 5 mm; 2)AB = 8 mm; 3)AB = 9 mm; 4)AB = 2 mm.

1174. Lees de breuken:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Naam: a) het gehele deel van de breuk; b) het fractionele deel van een breuk; c) breukcijfers.

1175. Geef een voorbeeld van een decimale breuk waarin na de komma staat:

1) één cijfer; 2) twee cijfers; 3) drie cijfers.

1176. Hoeveel decimalen heeft een decimale breuk als de noemer van de overeenkomstige gewone breuk gelijk is aan:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Welke van de breuken heeft het grootste gehele deel:

1) 12,5 of 115,2; 4) 789.154 of 78.4569;

2) 5,25 of 35,26; 5) 1258.00265 of 125.0333;

3) 185,25 of 56,325; 6) 1269.569 of 16.12?

1178. In het nummer 1256897 scheidt u het laatste cijfer met een komma en leest u het ontvangen nummer af. Verplaats vervolgens de komma één cijfer naar links en benoem de ontvangen breuken.

1179. Lees de breuken en schrijf ze als decimalen:

1180 Lees de breuken en schrijf ze als decimalen:

1181. Schrijf in gewone breuk:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Schrijf in gewone breuk:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Schrijf in decimale breuk:

1) 8 punt 3; 5) 145 punt 14;

2) 12 punt 5; 6) 125 punt 19;

3) 0 punt 5; 7) 0 komma 12 honderdsten;

4) 12 punten 34; 8) 0 komma 3 honderdsten.

1184. Schrijf in decimale breuk:

1) nul komma achtduizendsten;

2) twintig komma vier;

3) dertien komma vijf;

4) honderdvijfenveertig komma tweehonderdste.

1185. Schrijf de breuk als een breuk en vervolgens als decimaal:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Schrijf als een gemengd getal en vervolgens als decimaal:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Schrijf als een gemengd getal en vervolgens als decimaal:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Uitgedrukt in hryvnia's:

1) 35k.; 2) 6 kilometer; 3) 12 UAH 35 kopeken; 4)123k.

1189. Uitgedrukt in hryvnia's:

1) 58k.; 2) 2k.; 3) 56 UAH 55 kopeken; 4)175k.

1190. Schrijf in hryvnia's en kopeken:

1)10,34 UAH; 2) 12.03 UAH; 3) 0,52 UAH; 4) 126,05 UAH.

1191. Druk uit in meters en schrijf het antwoord als een decimale breuk: 1) 5 m 7 dm; 2) 15 meter 58 cm; 3) 5 m2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Druk uit in kilometers en noteer het antwoord als een decimale breuk: 1) 3 km 175 m; 2) 45 kilometer 47 meter; 3) 15 km 2 m.

1193. Schrijf in meters en centimeters:

1) 12,55 meter; 2) 2,06 meter; 3) 0,25 meter; 4) 0,08 meter.

1194. De grootste diepte van de Zwarte Zee is 2.211 km. Druk de diepte van de zee uit in meters.

1195. Breuken vergelijken:

1) 15,5 en 16,5; 5) 4,2 en 4,3; 9) 1,4 en 1,52;

2) 12,4 en 12,5; 6) 14,5 en 15,5; 10) 4,568 en 4,569;

3)45,8 en 45,59; 7) 43,04 en 43,1; 11)78,45178,458;

4) 0,4 en 0,6; 8) 1,23 en 1,364; 12) 2,25 en 2,243.

1196. Breuken vergelijken:

1)78,5 en 79,5; 3) 78,3 en 78,89; 5) 25.03 en 25.3;

2) 22,3 en 22,7; 4) 0,3 en 0,8; 6) 23,569 en 23,568.

1197. Schrijf de decimale breuken in oplopende volgorde:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Schrijf de decimale breuken op in aflopende volgorde:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Druk uit in vierkante meters en schrijf als een decimale breuk:

1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3)5dm212cm2.

1200. De kamer heeft de vorm van een rechthoek. De lengte is 90 dm en de breedte is 40 dm. Zoek de oppervlakte van de kamer. Schrijf je antwoord in vierkante meters.

1201. Vergelijk breuken:

1)0,04 en 0,06; 5) 1,003 en 1,03; 9) 120,058 en 120,051;

2) 402.0022 en 40.003; 6) 1,05 en 1,005; 10) 78,05 en 78,58;

3) 104,05 en 105,05; 7) 4,0502 en 4,0503; 11) 2,205 en 2,253;

4) 40.04 en 40.01; 8)60.4007i60.04007; 12)20.12 en 25.012.

1202. Breuken vergelijken:

1)0,03 en 0,3; 4) 6,4012 en 6,404;

2) 5,03 en 5,003; 5) 450.025 en 450.2054;

1203. Schrijf de vijf decimale breuken op die zich tussen de breuken op de coördinatenstraal bevinden:

1)6,2 en 6,3; 2) 9,2 en 9,3; 3) 5,8 en 5,9; 4) 0,4 en 0,5.

1204. Schrijf vijf decimale breuken op die zich tussen de breuken op de coördinatenbundel bevinden: 1) 3.1 en 3.2; 2) 7,4 en 7,5.

1205. Tussen twee aangrenzende natuurlijke getallen wordt een decimale breuk geplaatst:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Schrijf vijf decimale breuken op waarvoor de ongelijkheid geldt:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Schrijf vijf decimale breuken op waarvoor de ongelijkheid geldt:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Schrijf de grootste decimale breuk:

1) met twee cijfers achter de komma, minder dan 2;

2) met één cijfer achter de komma, minder dan 3;

3) met drie cijfers achter de komma, minder dan 4;

4) met vier cijfers achter de komma, minder dan 1.

1209. Schrijf de kleinste decimale breuk:

1) met twee cijfers achter de komma, wat groter is dan 2;

2) met drie cijfers achter de komma, wat groter is dan 4.

1210. Schrijf alle getallen op die in de plaats van het sterretje kunnen worden gezet om de juiste ongelijkheid te verkrijgen:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Welk getal kan in plaats van een asterisk worden geplaatst om de juiste ongelijkheid te krijgen:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Schrijf alle decimalen op waarvan het gehele deel gelijk is aan 6, en waarvan het breukdeel drie decimalen bevat, geschreven als 7 en 8. Schrijf deze breuken in aflopende volgorde.

1213. Schrijf zes decimale breuken op, waarvan het gehele deel gelijk is aan 45, en het breukdeel bestaat uit vier verschillende cijfers: 1, 2, 3, 4. Schrijf deze breuken in oplopende volgorde.

1214. Hoeveel decimale breuken kun je maken, waarvan het gehele deel gelijk is aan 86, en het breukdeel uit drie verschillende cijfers bestaat: 1,2,3?

1215. Hoeveel decimale breuken kunnen worden gemaakt, waarvan het gehele deel gelijk is aan 5, en het breukdeel uit drie cijfers bestaat, geschreven als 6 en 7? Schrijf deze breuken in aflopende volgorde.

1216. Schrap drie nullen in het getal 50.004007, zodat het volgende ontstaat:

1) het grootste getal; 2) het kleinste getal.

ZET HET IN DE PRAKTIJK

1217. Meet de lengte en breedte van je notitieboekje in millimeters en schrijf het antwoord in decimeters.

1218. Schrijf uw lengte in meters en gebruik decimalen.

1219. Meet de afmetingen van uw kamer en bereken de omtrek en oppervlakte. Schrijf je antwoord in meters en vierkante meters.

BEKIJK PROBLEMEN

1220. Bij welke waarden van x is de breuk oneigenlijk?

1221. Los de vergelijking op:

1222. De winkel moest 714 kg appels verkopen. Op de eerste dag werden alle appels verkocht, en op de tweede dag - van wat er op de eerste dag werd verkocht. Hoeveel appels zijn er in 2 dagen verkocht?

1223. De rand van een kubus werd met 10 cm verkleind en we kregen een kubus met een volume van 8 dm3. Zoek het volume van de eerste kubus.

Een les in het beheersen en consolideren van nieuwe kennis

Onderwerp : Vergelijking van decimalen

Dambaeva Valentina Matvejevna

Wiskundeleraar

MAOU "Middelbare school nr. 25" Ulan-Ude

Onderwerp. Decimalen vergelijken.

Didactisch doel: Leer leerlingen twee decimalen met elkaar te vergelijken. Laat de leerlingen kennismaken met de vergelijkingsregel. Ontwikkel het vermogen om grotere (kleinere) breuken te vinden.

Educatief doel. Om de creatieve activiteit van studenten te ontwikkelen tijdens het oplossen van voorbeelden. Ontwikkel interesse in wiskunde door verschillende soorten taken te selecteren. Ontwikkel intelligentie en vindingrijkheid en ontwikkel flexibel denken. Blijf bij leerlingen het vermogen ontwikkelen om zelfkritisch te zijn over de resultaten van hun werk.

Lesmateriaal. Uitreiking. Signaalkaarten, taakkaarten, carbonpapier.

Visuele hulpmiddelen. Tabellen-taken, poster-regels.

Soort les. Assimilatie van nieuwe kennis. Consolidatie van nieuwe kennis.

Lesplan

Tijd organiseren. 1 minuut.

Huiswerk controleren. 3 minuten

Herhaling. 8 minuten

Uitleg van een nieuw onderwerp. 18-20 minuten.

Consolidatie. 25-27 minuten.

Het werk samenvatten. 3 minuten

Huiswerk. 1 minuut.

Express dictaat. 10-13 minuten

Tijdens de lessen.

1. Organisatorisch moment.

2. Huiswerk controleren. Verzameling notitieboekjes.

3. Herhaling(mondeling).

a) vergelijk gewone breuken (werk met signaalkaarten).

4/5 en 3/5; 4/4 en 13/40; 1 en 3/2; 4/2 en 12/20; 3 5/6 en 5 5/6;

b) In welke categorie zijn er 4 eenheden, 2 eenheden.....?

57532, 4081

c) vergelijk natuurlijke getallen

99 en 1111; 5 4 4 en 5 3 4, 556 en 55 9 ; 4 366 en 7 366;

Hoe getallen met hetzelfde aantal cijfers vergelijken?

(Getallen met hetzelfde aantal cijfers worden bitsgewijs vergeleken, te beginnen met het meest significante cijfer. Posterregel).

Je kunt je voorstellen dat de cijfers met dezelfde naam “concurreren” waarvan de cijferterm groter is: één met enen, tientallen met tientallen, enz.

4. Uitleg van een nieuw onderwerp.

A) Welk teken (>,< или =) следует заменить вопросительный знак между десятичными дробями на рисунке.

Postertaak

3425, 672678 ? 3425, 672478

14, 24000 ? 14, 24

Om deze vraag te beantwoorden, moet je leren hoe je decimalen kunt vergelijken.

12, 3 < 15,3

72,1 > 68,4 Waarom?

Van twee decimale breuken is degene met het grootste gehele deel groter.

13,5 > 13,4

0, 327 > 0,321

Waarom?

Als de hele delen van de breuken die worden vergeleken aan elkaar gelijk zijn, wordt hun breukdeel met cijfers vergeleken.

3. 0,800 ? 0,8

1,32 ? 1,3

Maar wat als er verschillende nummers van deze nummers zijn? Als u een of meer nullen aan de rechterkant van een decimale breuk toevoegt, verandert de waarde van de breuk niet.

Omgekeerd, als een decimale breuk eindigt op nullen, kunnen deze nullen worden weggegooid; de waarde van de breuk verandert niet.

Laten we eens kijken naar drie decimale breuken:

1,25 1,250 1,2500

Hoe verschillen ze van elkaar?

Alleen het aantal nullen aan het einde van de record.

Welke cijfers vertegenwoordigen ze?

Om dit te weten te komen, moet u voor elke breuk de som van de cijfertermen opschrijven.

1,25 = 1+ 2/10 + 5/100

1,250 = 1+ 2/10 + 5/100 1 25/100 = 1,25

1,2500 = 1+ 2/10 + 5/100

In alle gelijkheden wordt rechts hetzelfde bedrag geschreven. Dit betekent dat alle drie de breuken hetzelfde getal vertegenwoordigen. Anders zijn deze drie breuken gelijk: 1,25 = 1,250 = 1,2500.

Decimale breuken kunnen op dezelfde manier als gewone breuken op een coördinatenstraal worden weergegeven. Om bijvoorbeeld de decimale breuk 0,5 op een coördinatenstraal weer te geven. Laten we het eerst presenteren in de vorm van een gewone breuk: 0,5 = 5/10. Laten we dan vijf tienden van een eenheidssegment opzij zetten vanaf het begin van de straal. We krijgen punt A(0,5)

Gelijke decimale breuken worden op de coördinatenstraal weergegeven door hetzelfde punt.

De kleinere decimale breuk ligt op de coördinatenstraal links van de grotere, en de grotere ligt rechts van de kleinere.

b) Werk met het leerboek, met de regel.

Probeer nu de vraag te beantwoorden die aan het begin van de uitleg werd gesteld: welk teken (>,< или =) следует заменить вопросительный знак.

5. Consolidatie.

№1

Vergelijken: Werken met signaalkaarten

85,09 en 67,99

55,7 en 55.700

0,0025 en 0,00247

98,52 m en 65,39 m

149,63 kg en 150,08 kg

3,55 0 C en 3,61 0 C

6.784 uur en 6.718 uur

№ 2

Schrijf het decimaalteken

a) met vier decimalen, gelijk aan 0,87

b) met vijf decimalen, gelijk aan 0,541

c) met drie decimalen, gelijk aan 35

d) met twee decimalen, gelijk aan 8,40000

2 studenten werken aan individuele borden

№ 3

Smekalkin bereidde zich voor om de taak van het vergelijken van getallen te voltooien en kopieerde verschillende paren getallen in een notitieboekje, waartussen je een bordje moet plaatsen > of<. Вдруг он нечаянно уронил тетрадь на мокрый пол. Записи размазались, и некоторые цифры стало невозможно разобрать. Вот что получилось:

a) 4,3** en 4,7**

b) **, 412 en *, 9*

c) 0,742 en 0,741*

d)*, *** en **,**

e) 95,0** en *4.*3*

Smekalkin vond het leuk dat hij de taak met uitgesmeerde cijfers kon voltooien. In plaats van een taak kregen we tenslotte raadsels. Hij besloot zelf raadsels met uitgesmeerde cijfers te bedenken en biedt ze aan jou aan. In de volgende vermeldingen zijn sommige cijfers wazig. Je moet raden welke cijfers dit zijn.

a) 2.*1 en 2.02

b) 6,431 en 6,4*8

c) 1,34 en 1,3*

d) 4.*1 en 4.41

d) 4,5*8 en 4,593

e) 5,657* en 5,68

De taak staat op de poster en op individuele kaarten.

Het controleren en rechtvaardigen van elk geplaatst bord.

№ 4

Ik bevestig:

a) 3,7 is kleiner dan 3,278

Het eerste getal heeft immers minder cijfers dan het tweede.

b) 25,63 is gelijk aan 2,563

Ze hebben immers dezelfde nummers in dezelfde volgorde.

Corrigeer mijn verklaring

"Tegenvoorbeeld" (mondeling)

№ 5

Welke natuurlijke getallen staan tussen de getallen? (geschreven).

a) 3, 7 en 6.6

b) 18.2 en 19.8

c) 43 en 45.42

d) 15 en 18

6. Lesoverzicht.

Hoe vergelijk je twee decimale breuken met verschillende gehele getallen?

Hoe vergelijk je twee decimale breuken met dezelfde gehele getallen?

Hoe vergelijk je twee decimalen met hetzelfde aantal decimalen?

7. Huiswerk.

8. Express dictaat.

Schrijf de cijfers korter

0,90 1,40

10,72000 61,610000

Vergelijk breuken

0,3 en 0,31 0,4 en 0,43

0,46 en 0,5 0,38 en 0,4

55,7 en 55.700 88,4 en 88.400

Ordenen

Aflopend Oplopend

3,456; 3465; 8,149; 8,079; 0,453

Welke natuurlijke getallen staan tussen de getallen?

7,5 en 9,1 3,25 en 5,5

84 en 85.001 0,3 en 4

Voer de cijfers in om de ongelijkheid waar te maken:

15,*2 > 15,62 4,60 < 4,*3

6,99 6,8

Express dictaat van het bord controleren

Extra taak.

1. Schrijf 3 voorbeelden naar je buurman en check!

Literatuur:

Stratilatov P.V. "Over het werksysteem van een wiskundeleraar" Moskou "Verlichting" 1984

Kabalevsky Yu.D. "Onafhankelijk werk van studenten tijdens het leren van wiskunde" 1988

Bulanova L.M., Dudnitsyn Yu.P. “Testtaken in de wiskunde”,

Moskou “Toewijding” 1992

V.G. Kovalenko “Didactische spellen in wiskundelessen” Moskou “Verlichting” 1990

Minaeva S.S. “Berekeningen in lessen en buitenschoolse activiteiten in de wiskunde” Moskou “Verlichting” 1983

Het doel van de les:

voorwaarden creëren voor het afleiden van de regel voor het vergelijken van decimale breuken en de mogelijkheid om deze toe te passen;
herhaal het schrijven van gewone breuken als decimalen, waarbij decimalen worden afgerond;
ontwikkel logisch denken, vermogen om te generaliseren, onderzoeksvaardigheden, spraak.

Tijdens de lessen

Jongens, laten we onthouden wat we in de vorige lessen met jullie hebben gedaan?

Antwoord: bestudeerde decimale breuken, schreef gewone breuken als decimalen en vice versa, afgeronde decimalen.

Wat zou je vandaag willen doen?

(Studenten antwoorden.)

Maar wat we in de les gaan doen, hoor je binnen een paar minuten. Open uw notitieboekjes en noteer de datum. Een leerling gaat naar het bord en werkt vanaf de achterkant van het bord. Ik bied je taken aan die je mondeling afwerkt. Noteer uw antwoorden in uw notitieboekje op een regel gescheiden door een puntkomma. Een leerling aan het bord schrijft in een column.

Ik lees de taken die vooraf op het bord staan:

Laten we het controleren. Wie heeft andere antwoorden? Onthoud de regels.

Gekregen: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Breng een patroon tot stand en ga door met de resulterende reeks voor nog eens 2 cijfers. Laten we het controleren.

Neem het transcript en plaats onder elk nummer (de persoon die antwoordt aan het bord een letter naast het nummer) de bijbehorende letter. Lees het woord.

Uitleg:

Dus, wat gaan we doen in de klas?

Antwoord: vergelijking.

Ter vergelijking! Oké, ik ga nu bijvoorbeeld mijn handen, 2 schoolboeken, 3 linialen vergelijken. Wat wil je vergelijken?

Antwoord: decimale breuken.

Welk onderwerp van de les gaan we opschrijven?

Ik schrijf het onderwerp van de les op het bord en de leerlingen schrijven het in hun notitieboekje: ‘Decimalen vergelijken.’

Oefening: vergelijk de cijfers (geschreven op het bord)

18.625 en 5.784		15.200 en 15.200
3.0251 en 21.02		7,65 en 7,8
23,0521 en 0,0521		0,089 en 0,0081

Eerst openen we de linkerkant. Hele delen zijn verschillend. We trekken een conclusie over het vergelijken van decimale breuken met verschillende gehele delen. Open de rechterkant. Hele delen zijn gelijke getallen. Hoe vergelijken?

Aanbod: schrijf decimalen als breuken en vergelijk.

Schrijf een vergelijking van gewone breuken. Als je elke decimale breuk omzet in een gewone breuk en 2 breuken vergelijkt, kost dat veel tijd. Misschien kunnen we een vergelijkingsregel bedenken? (Studenten suggereren.) Ik heb de regel voor het vergelijken van decimale breuken opgeschreven, wat de auteur suggereert. Laten we vergelijken.

Er zijn 2 regels afgedrukt op een vel papier:

Als de hele delen van decimale breuken verschillend zijn, dan is de breuk met het grootste hele deel groter.
Als de hele delen van decimale breuken hetzelfde zijn, dan is de grootste breuk de breuk waarvan de eerste van de niet-overeenkomende decimalen groter is.

Jij en ik hebben een ontdekking gedaan. En deze ontdekking is de regel voor het vergelijken van decimale breuken. Het viel samen met de regel voorgesteld door de auteur van het leerboek.

Ik heb gemerkt dat de regels zeggen welke van de twee breuken groter is. Kunt u mij vertellen welke van de twee decimale breuken kleiner is?

Compleet in notitieboekje nr. 785(1, 2) op pagina 172. De taak wordt op het bord geschreven. De leerlingen geven commentaar en de leraar maakt gebaren.

Oefening: vergelijken

3,4208 en 3,4028

Dus wat hebben we vandaag geleerd? Laten we onszelf controleren. Werk op stukjes papier met carbonpapier.

Leerlingen vergelijken decimale breuken met >,<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Onafhankelijk werk.

(Check - antwoorden op de achterkant van het bord.)

Vergelijken

148,05 en 14,805

6.44806 en 6.44863

35.601 en 35.6010

De eerste die dit doet, krijgt taak (voert uit vanaf de achterkant van het bord) nr. 786(1, 2):

Zoek het patroon en noteer het volgende nummer in de reeks. In welke reeksen staan de getallen in oplopende volgorde, en in welke volgorde zijn ze in aflopende volgorde?

Antwoord:

0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) – afnemend
0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) – neemt toe.

Nadat de laatste leerling het werk heeft ingeleverd, controleert u het.

De leerlingen vergelijken hun antwoorden.

Degenen die alles goed hebben gedaan, geven zichzelf een cijfer van "5", degenen die 1-2 fouten hebben gemaakt - "4", 3 fouten - "3". Ontdek bij welke vergelijkingen fouten zijn gemaakt, op welke regel.

Schrijf je huiswerk op: nr. 813, nr. 814 (clausule 4, p. 171). Opmerking. Als u tijd heeft, vult u nr. 786(1, 3), nr. 793(a) in.

Samenvatting van de les.