Het is bekend dat er in de wiskunde geen manier is om uitdrukkingen te vereenvoudigen. Dit is nodig voor het correct en snel oplossen van een breed scala aan problemen, evenals verschillende soorten vergelijkingen. De hier besproken vereenvoudiging impliceert een vermindering van het aantal acties dat nodig is om een ​​doel te bereiken. Hierdoor worden berekeningen merkbaar vereenvoudigd en wordt er aanzienlijk tijd bespaard. Maar hoe kan de uitdrukking worden vereenvoudigd? Hiervoor worden gevestigde wiskundige relaties gebruikt, vaak formules of wetten genoemd, waarmee uitdrukkingen veel korter kunnen worden gemaakt, waardoor berekeningen worden vereenvoudigd.

Het is geen geheim dat het tegenwoordig niet moeilijk is om online uitdrukkingen te vereenvoudigen. Hier zijn links naar enkele van de meest populaire:

Dit is echter niet bij elke uitdrukking mogelijk. Laten we daarom de meer traditionele methoden eens nader bekijken.

De gemeenschappelijke deler uitbreiden

In het geval dat een uitdrukking monomialen bevat die dezelfde factoren hebben, kunt u de som van hun coëfficiënten vinden en deze vervolgens vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke factor. Deze bewerking wordt ook wel "het verwijderen van de gemeenschappelijke deler" genoemd. Als u deze methode consequent gebruikt, kunt u de uitdrukking soms aanzienlijk vereenvoudigen. Algebra is over het algemeen gebaseerd op het groeperen en herschikken van factoren en delers.

De eenvoudigste formules voor verkorte vermenigvuldiging

Een van de gevolgen van de eerder beschreven methode zijn de verkorte vermenigvuldigingsformules. Hoe je uitdrukkingen met hun hulp kunt vereenvoudigen, is veel duidelijker voor degenen die deze formules niet eens uit het hoofd hebben geleerd, maar weten hoe ze zijn afgeleid, dat wil zeggen waar ze vandaan komen, en dienovereenkomstig hun wiskundige aard. In principe blijft de voorgaande bewering geldig in alle moderne wiskunde, van het eerste leerjaar tot de hogere opleidingen van mechanische en wiskundige faculteiten. Verschil van kwadraten, kwadraat van verschil en som, som en verschil van kubussen - al deze formules worden veel gebruikt in de elementaire en hogere wiskunde in gevallen waarin het nodig is om de uitdrukking te vereenvoudigen om problemen op te lossen. Voorbeelden van dergelijke transformaties zijn gemakkelijk te vinden in elk schoolboek voor algebra, of, nog eenvoudiger, op het World Wide Web.

Graad wortels

Elementaire wiskunde kent, als je het als geheel bekijkt, niet veel manieren om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen. Diploma's en operaties ermee zijn in de regel voor de meeste studenten relatief eenvoudig. Maar veel moderne schoolkinderen en studenten hebben aanzienlijke problemen als het nodig is een uitdrukking met wortels te vereenvoudigen. En dit is volkomen ongegrond. Omdat de wiskundige aard van wortels niet verschilt van de aard van dezelfde graden, waarmee er in de regel veel minder problemen zijn. Het is bekend dat Vierkantswortel van een getal, variabele of uitdrukking is niets meer dan hetzelfde getal, dezelfde variabele of uitdrukking tot de macht van de helft, de derdemachtswortel is hetzelfde tot de macht van een derde, enzovoort, afhankelijk van de correspondentie.

Vereenvoudiging van uitdrukkingen met breuken

Laten we ook eens kijken naar een veelvoorkomend voorbeeld van hoe u een uitdrukking met breuken kunt vereenvoudigen. In gevallen waarin uitdrukkingen natuurlijke breuken zijn, moet u de gemeenschappelijke factor isoleren van de noemer en de teller, en vervolgens de breuk daarmee verminderen. Wanneer monomialen identieke factoren hebben die tot machten zijn verheven, is het noodzakelijk ervoor te zorgen dat de machten gelijk zijn bij het optellen ervan.

Vereenvoudiging van fundamentele trigonometrische uitdrukkingen

Wat voor sommigen opvalt, is het gesprek over hoe te vereenvoudigen trigonometrische uitdrukking. De breedste tak van trigonometrie is misschien wel de eerste fase waarin wiskundestudenten te maken krijgen met enigszins abstracte concepten, problemen en methoden om deze op te lossen. Er zijn hier overeenkomstige formules, waarvan de eerste de fundamentele trigonometrische identiteit is. Als je voldoende wiskundig inzicht hebt, kun je de systematische afleiding uit deze identiteit van alle fundamentele trigonometrische identiteiten en formules traceren, inclusief differentieformules en sommen van argumenten, dubbele, drievoudige argumenten, reductieformules en vele andere. Natuurlijk mogen we hier de allereerste methoden niet vergeten, zoals het toevoegen van een gemeenschappelijke factor, die samen met nieuwe methoden en formules volop worden gebruikt.

Samenvattend geven we de lezer wat algemeen advies:

• Polynomen moeten worden ontbonden in factoren, dat wil zeggen dat ze moeten worden weergegeven in de vorm van een product van een bepaald aantal factoren: monomialen en polynomen. Als een dergelijke mogelijkheid bestaat, is het noodzakelijk om de gemeenschappelijke factor tussen haakjes te zetten.
• Het is beter om alle verkorte vermenigvuldigingsformules zonder uitzondering te onthouden. Er zijn er niet zo veel, maar ze vormen de basis voor het vereenvoudigen van wiskundige uitdrukkingen. Vergeet de selectiemethode niet volledige vierkanten in trinomialen, wat het omgekeerde is van een van de verkorte vermenigvuldigingsformules.
• Alle breuken die in de uitdrukking voorkomen, moeten zo vaak mogelijk worden verkleind. Vergeet echter niet dat alleen de vermenigvuldigers worden verlaagd. In het geval dat de noemer en de teller algebraïsche breuken vermenigvuldigd met hetzelfde getal, dat verschilt van nul, verandert de betekenis van de breuken niet.
• Over het algemeen kunnen alle uitingen worden getransformeerd door acties of in een keten. De eerste methode verdient meer de voorkeur, omdat de resultaten van tussenacties zijn gemakkelijker te verifiëren.
• Heel vaak moeten we in wiskundige uitdrukkingen wortels extraheren. Er moet aan worden herinnerd dat alleen wortels van gelijke graden kunnen worden geëxtraheerd niet-negatief getal of uitdrukkingen, en de wortels van vreemde machten komen volledig uit alle uitdrukkingen of getallen.

We hopen dat ons artikel je in de toekomst zal helpen wiskundige formules te begrijpen en je zal leren hoe je ze in de praktijk kunt toepassen.

Eerste level

Uitdrukkingen converteren. Gedetailleerde theorie (2019)

Uitdrukkingen converteren

We horen vaak deze onaangename zin: “vereenvoudig de uitdrukking.” Meestal zien we een soort monster als dit:

“Het is veel eenvoudiger”, zeggen we, maar zo’n antwoord werkt meestal niet.

Nu zal ik je leren om niet bang te zijn voor dergelijke taken. Bovendien vereenvoudig je dit voorbeeld aan het einde van de les zelf tot (slechts!) een gewoon getal (ja, verdorie met deze letters).

Maar voordat u aan deze les begint, moet u met breuken en factorpolynomen kunnen omgaan. Zorg er daarom eerst voor dat u, als u dit nog niet eerder heeft gedaan, de onderwerpen “” en “” beheerst.

Heb je het gelezen? Zo ja, dan bent u nu klaar.

Basisvereenvoudigingsoperaties

Laten we nu eens kijken naar de basistechnieken die worden gebruikt om uitdrukkingen te vereenvoudigen.

De eenvoudigste is

1. Gelijksoortig brengen

Wat zijn vergelijkbaar? Je hebt dit in groep 7 gedaan, toen letters in plaats van cijfers voor het eerst verschenen in de wiskunde. Vergelijkbaar zijn termen (monomials) met hetzelfde lettergedeelte. Kortom, soortgelijke termen zijn bijvoorbeeld en.

Weet je nog?

Gelijksoortige middelen brengen betekent dat je meerdere soortgelijke termen aan elkaar toevoegt en één term krijgt.

Hoe kunnen we de letters samenvoegen? - je vraagt.

Dit is heel gemakkelijk te begrijpen als je je voorstelt dat de letters een soort objecten zijn. Een letter is bijvoorbeeld een stoel. Waar is de uitdrukking dan gelijk aan? Twee stoelen plus drie stoelen, hoeveel zullen het zijn? Dat klopt, stoelen: .

Probeer nu deze uitdrukking: .

Om verwarring te voorkomen, laat verschillende letters verschillende objecten vertegenwoordigen. Bijvoorbeeld: - is (zoals gewoonlijk) een stoel, en - is een tafel. Dan:

stoelen tafels stoel tafels stoelen stoelen tafels

De cijfers waarmee de letters in dergelijke termen worden vermenigvuldigd, worden genoemd coëfficiënten. In een monomial is de coëfficiënt bijvoorbeeld gelijk. En daarin is gelijk.

De regel voor het meenemen van soortgelijke exemplaren is dus:

Voorbeelden:

Geef soortgelijke:

Antwoorden:

2. (en vergelijkbaar, aangezien deze termen dus hetzelfde lettergedeelte hebben).

2. Factorisatie

Dit is meestal het belangrijkste onderdeel bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen. Nadat u vergelijkbare waarden heeft gegeven, moet de resulterende uitdrukking meestal worden ontbonden, dat wil zeggen gepresenteerd als een product. Dit is vooral belangrijk bij breuken: om een ​​breuk te kunnen verkleinen, moeten de teller en de noemer als product worden weergegeven.

Je hebt de methoden voor het factoriseren van uitdrukkingen in detail doorgenomen in het onderwerp "", dus hier hoef je alleen maar te onthouden wat je hebt geleerd. Om dit te doen, beslist u er een paar voorbeelden(moet worden ontbonden):

Oplossingen:

3. Een breuk verkleinen.

Welnu, wat is er leuker dan een deel van de teller en de noemer door te strepen en ze uit je leven te gooien?

Dat is het mooie van bezuinigingen.

Het is makkelijk:

Als de teller en de noemer dezelfde factoren bevatten, kunnen ze worden verminderd, dat wil zeggen uit de breuk worden verwijderd.

Deze regel volgt uit de basiseigenschap van een breuk:

Dat wil zeggen, de essentie van de reductieoperatie is dat We delen de teller en de noemer van de breuk door hetzelfde getal (of door dezelfde uitdrukking).

Om een ​​breuk te verkleinen heb je nodig:

1) teller en noemer factoriseren

2) als de teller en de noemer bevatten veel voorkomende factoren, kunnen ze worden doorgestreept.

Het principe is, denk ik, duidelijk?

Op één ding wil ik uw aandacht vestigen typische fout bij het contracteren. Hoewel dit onderwerp eenvoudig is, doen veel mensen alles verkeerd, zonder dat ze het begrijpen verminderen- dit betekent verdeling teller en noemer zijn hetzelfde getal.

Geen afkortingen als de teller of noemer een som is.

Bijvoorbeeld: we moeten vereenvoudigen.

Sommige mensen doen dit: wat absoluut verkeerd is.

Nog een voorbeeld: verminderen.

De “slimste” zal dit doen: .

Vertel me wat er hier mis is? Het lijkt erop dat: - dit een vermenigvuldiger is, wat betekent dat deze kan worden verminderd.

Maar nee: - dit is een factor van slechts één term in de teller, maar de teller zelf als geheel is niet ontbonden.

Hier is nog een voorbeeld: .

Deze uitdrukking is ontbonden in factoren, wat betekent dat u deze kunt verkleinen, dat wil zeggen: u kunt de teller en de noemer delen door, en vervolgens door:

Je kunt het meteen verdelen in:

Onthoud dit om dergelijke fouten te voorkomen makkelijke manier hoe u kunt bepalen of een uitdrukking in factoren is ontbonden:

De rekenkundige bewerking die als laatste wordt uitgevoerd bij het berekenen van de waarde van een uitdrukking is de “master”-bewerking. Dat wil zeggen, als u enkele (willekeurige) cijfers vervangt in plaats van letters en probeert de waarde van de uitdrukking te berekenen, en als de laatste actie vermenigvuldiging is, dan hebben we een product (de uitdrukking is ontbonden). Als de laatste actie optellen of aftrekken is, betekent dit dat de uitdrukking niet in factoren is ontbonden (en daarom niet kan worden gereduceerd).

Om te consolideren, lost u er zelf een paar op voorbeelden:

Antwoorden:

1. Ik hoop dat je niet meteen haast hebt gemaakt met knippen en? Het was nog steeds niet genoeg om eenheden als deze te ‘verminderen’:

De eerste stap zou factorisatie moeten zijn:

4. Breuken optellen en aftrekken. Breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer.

Het optellen en aftrekken van gewone breuken is een bekende handeling: we zoeken naar een gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en optellen/aftrekken van de tellers. Laat ons herdenken:

Antwoorden:

1. De noemers en zijn relatief priemgetallen, dat wil zeggen dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben. Daarom is de LCM van deze getallen gelijk aan hun product. Dit zal de gemene deler zijn:

2. Hier is de gemene deler:

3. Het eerste hier gemengde fracties we veranderen ze in onjuiste en volgen dan het gebruikelijke patroon:

Het is een heel ander verhaal als de breuken letters bevatten, bijvoorbeeld:

Laten we beginnen met iets simpels:

a) Noemers bevatten geen letters

Hier is alles hetzelfde als bij gewone numerieke breuken: we vinden de gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en optellen/aftrekken van de tellers:

Nu kunt u in de teller soortgelijke getallen geven, indien aanwezig, en deze in factoren ontbinden:

Probeer het zelf:

b) Noemers bevatten letters

Laten we het principe van het vinden van een gemeenschappelijke noemer zonder letters onthouden:

· allereerst bepalen we de gemeenschappelijke factoren;

· daarna schrijven we alle gemeenschappelijke factoren één voor één op;

· en vermenigvuldig ze met alle andere niet-gemeenschappelijke factoren.

Om de gemeenschappelijke factoren van de noemers te bepalen, ontbinden we ze eerst in priemfactoren:

Laten we de gemeenschappelijke factoren benadrukken:

Laten we nu de gemeenschappelijke factoren één voor één opschrijven en daar alle niet-gemeenschappelijke (niet onderstreepte) factoren aan toevoegen:

Dit is de gemene deler.

Laten we teruggaan naar de brieven. De noemers worden op precies dezelfde manier gegeven:

· factoreer de noemers;

· bepalen gemeenschappelijke (identieke) factoren;

· schrijf alle gemeenschappelijke factoren één keer op;

· vermenigvuldig ze met alle andere niet-gemeenschappelijke factoren.

Dus, in volgorde:

1) factoreer de noemers:

2) gemeenschappelijke (identieke) factoren bepalen:

3) Schrijf alle gemeenschappelijke factoren één keer op en vermenigvuldig ze met alle andere (niet-onderstreepte) factoren:

Er is hier dus een gemeenschappelijke noemer. De eerste breuk moet worden vermenigvuldigd met, de tweede - met:

Er is trouwens één truc:

Bijvoorbeeld: .

We zien dezelfde factoren in de noemers, alleen allemaal met verschillende indicatoren. De gemene deler zal zijn:

tot op zekere hoogte

tot op zekere hoogte

tot op zekere hoogte

tot op zekere hoogte.

Laten we de taak ingewikkelder maken:

Hoe zorg je ervoor dat breuken dezelfde noemer hebben?

Laten we de basiseigenschap van een breuk onthouden:

Nergens staat dat hetzelfde getal kan worden afgetrokken (of opgeteld) van de teller en de noemer van een breuk. Omdat het niet waar is!

Kijk zelf maar: neem bijvoorbeeld een willekeurige breuk en voeg een getal toe aan de teller en de noemer, bijvoorbeeld . Wat heb je geleerd?

Dus nog een onwankelbare regel:

Wanneer u breuken reduceert tot een gemeenschappelijke noemer, gebruik dan alleen de vermenigvuldigingsbewerking!

Maar wat moet je vermenigvuldigen om te krijgen?

Vermenigvuldig dus met. En vermenigvuldig met:

Uitdrukkingen die niet in factoren kunnen worden ontbonden, zullen we ‘elementaire factoren’ noemen. Dit is bijvoorbeeld een elementaire factor. - Dezelfde. Maar nee: het kan in factoren worden ontbonden.

Hoe zit het met de uitdrukking? Is het elementair?

Nee, omdat het kan worden ontbonden in factoren:

(je hebt al gelezen over factoriseren in het onderwerp “”).

De elementaire factoren waarin je de uitdrukking met letters uitbreidt, zijn dus analoog voornaamste factoren, waarin u de getallen ontleedt. En wij zullen ze op dezelfde manier behandelen.

We zien dat beide noemers een vermenigvuldiger hebben. Het zal tot op zekere hoogte naar de gemeenschappelijke noemer gaan (weet je nog waarom?).

De factor is elementair en ze hebben geen gemeenschappelijke factor, wat betekent dat de eerste breuk er eenvoudig mee moet worden vermenigvuldigd:

Een ander voorbeeld:

Oplossing:

Voordat u deze noemers in paniek vermenigvuldigt, moet u nadenken over hoe u ze in factoren kunt ontbinden? Ze vertegenwoordigen allebei:

Geweldig! Dan:

Een ander voorbeeld:

Oplossing:

Laten we, zoals gewoonlijk, de noemers ontbinden in factoren. In de eerste noemer zetten we het gewoon tussen haakjes; in de tweede - het verschil in vierkanten:

Het lijkt erop dat er geen gemeenschappelijke factoren zijn. Maar als je goed kijkt, lijken ze op elkaar... En het is waar:

Dus laten we schrijven:

Dat wil zeggen, het bleek zo: binnen de haak hebben we de termen verwisseld, en tegelijkertijd veranderde het teken voor de breuk in het tegenovergestelde. Let op, je zult dit vaak moeten doen.

Laten we het nu naar een gemeenschappelijke noemer brengen:

Begrepen? Laten we het nu controleren.

Taken voor onafhankelijke oplossing:

Antwoorden:

Hier moeten we nog één ding onthouden: het verschil in kubussen:

Houd er rekening mee dat de noemer van de tweede breuk niet de formule “kwadraat van de som” bevat! Het kwadraat van de som ziet er als volgt uit: .

A is het zogenaamde onvolledige kwadraat van de som: de tweede term daarin is het product van de eerste en de laatste, en niet hun dubbele product. Het gedeeltelijke kwadraat van de som is een van de factoren bij de uitbreiding van het kubusverschil:

Wat te doen als er al drie breuken zijn?

Ja, hetzelfde! Laten we daar allereerst voor zorgen maximaal aantal de factoren in de noemers waren hetzelfde:

Let op: als u de tekens binnen één haakje wijzigt, verandert het teken vóór de breuk in het tegenovergestelde. Wanneer we de tekens in het tweede haakje veranderen, verandert het teken vóór de breuk weer in het tegenovergestelde. Als gevolg hiervan is het (het teken voor de breuk) niet veranderd.

We schrijven de hele eerste noemer uit in de gemeenschappelijke noemer en voegen daar vervolgens alle factoren aan toe die nog niet zijn geschreven, vanaf de tweede en vervolgens vanaf de derde (enzovoort, als er meer breuken zijn). Dat wil zeggen, het komt als volgt uit:

Hmm... Het is duidelijk wat je met breuken moet doen. Maar hoe zit het met de twee?

Het is simpel: je weet hoe je breuken moet optellen, toch? We moeten er dus voor zorgen dat twee een breuk worden! Laten we niet vergeten: een breuk is een delingsoperatie (de teller wordt gedeeld door de noemer, voor het geval je het vergeten bent). En er is niets eenvoudiger dan een getal delen door. In dit geval verandert het getal zelf niet, maar verandert het in een breuk:

Precies wat nodig is!

5. Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Nou, het moeilijkste deel is nu voorbij. En voor ons ligt het eenvoudigste, maar tegelijkertijd het belangrijkste:

Procedure

Wat is de procedure voor het berekenen van een numerieke uitdrukking? Onthoud door de betekenis van deze uitdrukking te berekenen:

Heb je geteld?

Het zou moeten werken.

Dus, laat me je eraan herinneren.

De eerste stap is het berekenen van de graad.

De tweede is vermenigvuldigen en delen. Als er meerdere vermenigvuldigingen en delingen tegelijkertijd plaatsvinden, kunnen deze in willekeurige volgorde worden uitgevoerd.

En ten slotte voeren we optellen en aftrekken uit. Nogmaals, in willekeurige volgorde.

Maar: de uitdrukking tussen haakjes wordt om de beurt geëvalueerd!

Als meerdere haakjes met elkaar worden vermenigvuldigd of gedeeld, berekenen we eerst de uitdrukking in elk van de haakjes en vermenigvuldigen of delen we ze vervolgens.

Wat moet ik doen als er meer haakjes in de haakjes zitten? Laten we eens nadenken: er staat een uitdrukking tussen de haakjes. Wat moet u eerst doen als u een uitdrukking berekent? Dat klopt, bereken de haakjes. Nou, we zijn er achter gekomen: eerst berekenen we de binnenste haakjes en dan al het andere.

De procedure voor de bovenstaande uitdrukking is dus als volgt (de huidige actie is rood gemarkeerd, dat wil zeggen de actie die ik nu uitvoer):

Oké, het is allemaal eenvoudig.

Maar dit is niet hetzelfde als een uitdrukking met letters?

Nee, het is hetzelfde! Alleen in plaats van rekenkundige bewerkingen moet u algebraïsche bewerkingen uitvoeren, dat wil zeggen de acties die in de vorige sectie zijn beschreven: soortgelijk brengen, breuken optellen, breuken verkleinen, enzovoort. Het enige verschil is de actie van het ontbinden van polynomen (we gebruiken dit vaak als we met breuken werken). Om te ontbinden in factoren, moet u meestal I gebruiken of eenvoudigweg de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

Meestal is het ons doel om de uitdrukking weer te geven als een product of quotiënt.

Bijvoorbeeld:

Laten we de uitdrukking vereenvoudigen.

1) Eerst vereenvoudigen we de uitdrukking tussen haakjes. Daar hebben we een verschil in breuken, en ons doel is om het als een product of quotiënt te presenteren. Dus brengen we de breuken naar een gemeenschappelijke noemer en voegen toe:

Het is onmogelijk om deze uitdrukking verder te vereenvoudigen; alle factoren hier zijn elementair (weet je nog wat dit betekent?).

2) Wij krijgen:

Breuken vermenigvuldigen: wat is er eenvoudiger?

3) Nu kun je het volgende inkorten:

Oké, het is nu allemaal voorbij. Niets ingewikkelds, toch?

Een ander voorbeeld:

Vereenvoudig de uitdrukking.

Probeer het eerst zelf op te lossen en kijk dan pas naar de oplossing.

Laten we eerst de volgorde van acties bepalen. Laten we eerst de breuken tussen haakjes optellen, zodat we in plaats van twee breuken één krijgen. Dan gaan we breuken delen. Laten we het resultaat met de laatste breuk optellen. Ik zal de stappen schematisch nummeren:

Nu laat ik je het proces zien, waarbij ik de huidige actie rood kleur:

Tot slot geef ik je nog twee handige tips:

1. Als er soortgelijke zijn, moeten deze onmiddellijk worden gebracht. Op welk moment soortgelijke problemen zich ook in ons land voordoen, het is raadzaam om ze onmiddellijk ter sprake te brengen.

2. Voor het verkleinen van fracties geldt hetzelfde: zodra de mogelijkheid tot verkleinen zich voordoet, moet daarvan gebruik worden gemaakt. De uitzondering geldt voor breuken die u optelt of aftrekt: als ze nu dezelfde noemers hebben, moet de reductie voor later worden bewaard.

Hier zijn enkele taken die u zelf kunt oplossen:

En wat er helemaal aan het begin werd beloofd:

Oplossingen (kort):

Als je tenminste de eerste drie voorbeelden hebt behandeld, dan heb je het onderwerp onder de knie.

Nu verder met leren!

UITDRUKKINGEN OMZETTEN. SAMENVATTING EN BASISFORMULES

Basisvereenvoudigingsoperaties:

• Gelijkaardig brengen: om vergelijkbare termen toe te voegen (verminderen), moet u hun coëfficiënten optellen en het lettergedeelte toewijzen.
• Factorisatie: de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten, toepassen, enz.
• Een fractie verkleinen: De teller en de noemer van een breuk kunnen worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal dat niet nul is, wat de waarde van de breuk niet verandert.
  1) teller en noemer factoriseren
  2) als de teller en de noemer gemeenschappelijke factoren hebben, kunnen deze worden doorgestreept.

  BELANGRIJK: alleen vermenigvuldigers kunnen worden verminderd!

• Breuken optellen en aftrekken:
  ;
• Breuken vermenigvuldigen en delen:
  ;

Wiskundige rekenmachine-online v.1.0

De rekenmachine voert de volgende bewerkingen uit: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, werken met decimalen, wortelextractie, machtsverheffing, procentberekening en andere bewerkingen.

Oplossing:

Hoe een wiskundige rekenmachine te gebruiken

Sleutel	Aanduiding	Uitleg
5	nummers 0-9	Arabische cijfers. Natuurlijke gehele getallen invoeren, nul. Om een ​​negatief geheel getal te krijgen, moet u op de +/- toets drukken
.	puntkomma)	Scheidingsteken om een ​​decimale breuk aan te geven. Als er geen getal vóór het punt (komma) staat, vervangt de rekenmachine automatisch een nul vóór het punt. Er wordt bijvoorbeeld: .5 - 0,5 geschreven
+	plusteken	Getallen optellen (gehele getallen, decimalen)
-	minteken	Getallen aftrekken (gehele getallen, decimalen)
÷	divisie teken	Getallen delen (gehele getallen, decimalen)
X	vermenigvuldigingsteken	Getallen vermenigvuldigen (gehele getallen, decimalen)
√	wortel	De wortel van een getal extraheren. Wanneer u nogmaals op de “root”-knop drukt, wordt de wortel van het resultaat berekend. Bijvoorbeeld: wortel van 16 = 4; wortel van 4 = 2
x 2	kwadrateren	Een getal kwadrateren. Wanneer u nogmaals op de knop "kwadrateren" drukt, wordt het resultaat gekwadrateerd. Bijvoorbeeld: kwadraat 2 = 4; vierkant 4 = 16
1/x	fractie	Uitvoer in decimale breuken. De teller is 1, de noemer is het ingevoerde getal
%	procent	Een percentage van een getal krijgen. Om te werken, moet u het volgende invoeren: het getal waaruit het percentage wordt berekend, het teken (plus, min, delen, vermenigvuldigen), hoeveel procent in numerieke vorm, de knop "%"
(	haakje openen	Een open haakje om de berekeningsprioriteit op te geven. Een gesloten haakje is vereist. Voorbeeld: (2+3)*2=10
)	gesloten haakje	Een gesloten haakje om de berekeningsprioriteit op te geven. Een open haakje is vereist
±	plus minus	Omgekeerd teken
=	gelijk aan	Geeft het resultaat van de oplossing weer. Ook boven de rekenmachine worden in het veld “Oplossing” tussentijdse berekeningen en het resultaat weergegeven.
←	een teken verwijderen	Verwijdert het laatste teken
MET	opnieuw instellen	Reset knop. Reset de rekenmachine volledig naar positie "0"

Algoritme van de online calculator met voorbeelden

Toevoeging.

Optelling van gehele getallen natuurlijke cijfers { 5 + 7 = 12 }

Toevoeging van hele natuurlijke en negatieve getallen { 5 + (-2) = 3 }

Decimale breuken optellen (0,3 + 5,2 = 5,5)

Aftrekken.

Natuurlijke gehele getallen aftrekken ( 7 - 5 = 2 )

Natuurlijke en negatieve gehele getallen aftrekken ( 5 - (-2) = 7 )

Decimale breuken aftrekken (6,5 - 1,2 = 4,3)

Vermenigvuldiging.

Product van natuurlijke gehele getallen (3 * 7 = 21)

Product van natuurlijke en negatieve gehele getallen ( 5 * (-3) = -15 )

Product van decimale breuken ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Divisie.

Deling van natuurlijke gehele getallen (27/3 = 9)

Deling van natuurlijke en negatieve gehele getallen (15 / (-3) = -5)

Deling van decimale breuken (6,2 / 2 = 3,1)

De wortel van een getal extraheren.

De wortel van een geheel getal extraheren ( root(9) = 3)

De wortel eruit halen decimalen( wortel(2,5) = 1,58 )

De wortel van een som van getallen extraheren ( root(56 + 25) = 9)

De wortel van het verschil tussen getallen extraheren (wortel (32 – 7) = 5)

Een getal kwadrateren.

Een geheel getal kwadrateren ( (3) 2 = 9 )

Kwadratische decimalen ((2,2)2 = 4,84)

Conversie naar decimale breuken.

Percentages van een getal berekenen

Verhoog het getal 230 met 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Verlaag het getal 510 met 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5)

18% van het getal 140 is (140 * 0,18 = 25,2)

Onder de verschillende uitdrukkingen die in de algebra worden beschouwd, zijn belangrijke plek bezetten sommen monomialen. Hier zijn voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

De som van monomialen wordt een polynoom genoemd. De termen in een polynoom worden termen van de polynoom genoemd. Monomialen worden ook geclassificeerd als polynomen, waarbij een monomial wordt beschouwd als een polynoom dat uit één lid bestaat.

Een polynoom bijvoorbeeld
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan worden vereenvoudigd.

Laten we alle termen weergeven in de vorm van monomials standaardweergave:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Laten we soortgelijke termen presenteren in de resulterende polynoom:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Het resultaat is een polynoom, waarvan alle termen monomialen van de standaardvorm zijn, en er zijn geen vergelijkbare. Dergelijke polynomen worden genoemd polynomen van standaardvorm.

Achter graad van polynoom van een standaardformulier de hoogste bevoegdheden van haar leden overneemt. De binomiale \(12a^2b - 7b\) heeft dus de derde graad, en de trinominale \(2b^2 -7b + 6\) heeft de tweede.

Normaal gesproken worden de termen van polynomen in standaardvorm die één variabele bevatten, gerangschikt in aflopende volgorde van exponenten. Bijvoorbeeld:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

De som van verschillende polynomen kan worden omgezet (vereenvoudigd) in een polynoom met standaardvorm.

Soms moeten de termen van een polynoom in groepen worden verdeeld, waarbij elke groep tussen haakjes wordt geplaatst. Omdat het omsluiten van haakjes de omgekeerde transformatie is van het openen van haakjes, is het gemakkelijk te formuleren regels voor het openen van haakjes:

Als er een “+” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes met dezelfde tekens geschreven.

Als er een “-” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen de haakjes met tegengestelde tekens geschreven.

Transformatie (vereenvoudiging) van het product van een monomiaal en een polynoom

Met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging kun je het product van een monomiaal en een polynoom transformeren (vereenvoudigen) in een polynoom. Bijvoorbeeld:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Het product van een monomiaal en een polynoom is identiek gelijk aan de som van de producten van dit monomiaal en elk van de termen van het polynoom.

Dit resultaat wordt meestal als regel geformuleerd.

Om een ​​monomiaal met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je dat monomiaal vermenigvuldigen met elk van de termen van het polynoom.

We hebben deze regel al verschillende keren gebruikt om met een som te vermenigvuldigen.

Product van polynomen. Transformatie (vereenvoudiging) van het product van twee polynomen

Over het algemeen is het product van twee polynomen identiek gelijk aan de som van het product van elke term van de ene polynoom en elke term van de andere.

Meestal wordt de volgende regel gebruikt.

Om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je elke term van de ene polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere en de resulterende producten bij elkaar optellen.

Verkorte vermenigvuldigingsformules. Somkwadraten, verschillen en verschil in kwadraten

Bij algebraïsche transformaties heb je vaker te maken met sommige uitdrukkingen dan met andere. Misschien wel de meest voorkomende uitdrukkingen zijn \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) en \(a^2 - b^2 \), d.w.z. het kwadraat van de som, het kwadraat van het verschil en het verschil van vierkanten. Je hebt gemerkt dat de namen van deze uitdrukkingen onvolledig lijken te zijn, \((a + b)^2 \) is bijvoorbeeld natuurlijk niet alleen het kwadraat van de som, maar het kwadraat van de som van a en b . Het kwadraat van de som van a en b komt echter in de regel niet vaak voor; in plaats van de letters a en b bevat het verschillende, soms behoorlijk complexe, uitdrukkingen.

De uitdrukkingen \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kunnen eenvoudig worden omgezet (vereenvoudigd) in polynomen van de standaardvorm. In feite bent u deze taak al tegengekomen bij het vermenigvuldigen van polynomen:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Het is nuttig om de resulterende identiteiten te onthouden en toe te passen zonder tussentijdse berekeningen. Korte verbale formuleringen helpen hierbij.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - het kwadraat van de som is gelijk aan de som van de kwadraten en het dubbele product.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - het kwadraat van het verschil is gelijk aan de som der kwadraten zonder het verdubbelde product.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - het verschil tussen de kwadraten is gelijk aan het product van het verschil en de som.

Deze drie identiteiten maken het mogelijk om bij transformaties de linkerdelen te vervangen door rechtse delen, en vice versa: rechterdelen door linkse delen. Het moeilijkste is om de overeenkomstige uitdrukkingen te zien en te begrijpen hoe de variabelen a en b daarin worden vervangen. Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules.

Eerste level

Uitdrukkingen converteren. Gedetailleerde theorie (2019)

Deze onaangename zin horen we vaak: “Vereenvoudig de uitdrukking.” Meestal zien we een soort monster als dit:

“Het is veel eenvoudiger”, zeggen we, maar zo’n antwoord werkt meestal niet.

Nu zal ik je leren om niet bang te zijn voor dergelijke taken.

Bovendien vereenvoudig je dit voorbeeld aan het einde van de les zelf tot (slechts!) een gewoon getal (ja, verdorie met deze letters).

Maar voordat u met deze activiteit begint, moet u dit wel kunnen omgaan met breuken En factorpolynomen.

Als u dit nog niet eerder heeft gedaan, zorg er dan voor dat u de onderwerpen “” en “” beheerst.

Heb je het gelezen? Zo ja, dan bent u nu klaar.

Laten we gaan laten we gaan!)

Belangrijke notitie!Als je gobbledygook ziet in plaats van formules, wis dan je cache. Om dit te doen, drukt u op CTRL+F5 (in Windows) of Cmd+R (op Mac).

Basisbewerkingen voor expressievereenvoudiging

Laten we nu eens kijken naar de basistechnieken die worden gebruikt om uitdrukkingen te vereenvoudigen.

De eenvoudigste is

1. Gelijksoortig brengen

Wat zijn vergelijkbaar? Je hebt dit in groep 7 gedaan, toen letters in plaats van cijfers voor het eerst verschenen in de wiskunde.

Vergelijkbaar- dit zijn termen (monomials) met hetzelfde lettergedeelte.

Kortom, soortgelijke termen zijn bijvoorbeeld en.

Weet je nog?

Geef vergelijkbaar- betekent dat u meerdere vergelijkbare termen aan elkaar toevoegt en één term krijgt.

Hoe kunnen we de letters samenvoegen? - je vraagt.

Dit is heel gemakkelijk te begrijpen als je je voorstelt dat de letters een soort objecten zijn.

Een letter is bijvoorbeeld een stoel. Waar is de uitdrukking dan gelijk aan?

Twee stoelen plus drie stoelen, hoeveel zullen het zijn? Dat klopt, stoelen: .

Probeer nu deze uitdrukking: .

Om verwarring te voorkomen, laat verschillende letters verschillende objecten vertegenwoordigen.

Bijvoorbeeld: - is (zoals gewoonlijk) een stoel, en - is een tafel.

stoelen tafels stoel tafels stoelen stoelen tafels

De cijfers waarmee de letters in dergelijke termen worden vermenigvuldigd, worden genoemd coëfficiënten.

In een monomial is de coëfficiënt bijvoorbeeld gelijk. En daarin is gelijk.

De regel voor het meenemen van soortgelijke exemplaren is dus:

Voorbeelden:

Geef soortgelijke:

Antwoorden:

2. (en vergelijkbaar, aangezien deze termen dus hetzelfde lettergedeelte hebben).

2. Factorisatie

Dit is meestal het geval het belangrijkste onderdeel bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen.

Nadat u vergelijkbare waarden heeft gegeven, is meestal de resulterende uitdrukking nodig factoriseren, dat wil zeggen gepresenteerd in de vorm van een product.

Vooral dit belangrijk in breuken: om de fractie immers te kunnen verkleinen, De teller en de noemer moeten worden weergegeven als een product.

Je hebt de methoden voor het factoriseren van uitdrukkingen in detail doorgenomen in het onderwerp "", dus hier hoef je alleen maar te onthouden wat je hebt geleerd.

Om dit te doen, lost u verschillende voorbeelden op (u moet ze ontbinden in factoren)

Voorbeelden:

Oplossingen:

3. Een breuk verkleinen.

Welnu, wat is er leuker dan een deel van de teller en de noemer door te strepen en ze uit je leven te gooien?

Dat is het mooie van bezuinigingen.

Het is makkelijk:

Als de teller en de noemer dezelfde factoren bevatten, kunnen ze worden verminderd, dat wil zeggen uit de breuk worden verwijderd.

Deze regel volgt uit de basiseigenschap van een breuk:

Dat wil zeggen, de essentie van de reductieoperatie is dat We delen de teller en de noemer van de breuk door hetzelfde getal (of door dezelfde uitdrukking).

Om een ​​breuk te verkleinen heb je nodig:

1) teller en noemer factoriseren

2) als de teller en de noemer bevatten veel voorkomende factoren, kunnen ze worden doorgestreept.

Voorbeelden:

Het principe is, denk ik, duidelijk?

Ik wil uw aandacht vestigen op een typische fout bij het afkorten. Hoewel dit onderwerp eenvoudig is, doen veel mensen alles verkeerd, zonder dat ze het begrijpen verminderen- dit betekent verdeling teller en noemer zijn hetzelfde getal.

Geen afkortingen als de teller of noemer een som is.

Bijvoorbeeld: we moeten vereenvoudigen.

Sommige mensen doen dit: wat absoluut verkeerd is.

Nog een voorbeeld: verminderen.

De “slimste” zal dit doen:

Vertel me wat er hier mis is? Het lijkt erop dat: - dit een vermenigvuldiger is, wat betekent dat deze kan worden verminderd.

Maar nee: - dit is een factor van slechts één term in de teller, maar de teller zelf als geheel is niet ontbonden.

Hier is nog een voorbeeld: .

Deze uitdrukking is ontbonden in factoren, wat betekent dat u deze kunt verkleinen, dat wil zeggen: u kunt de teller en de noemer delen door, en vervolgens door:

Je kunt het meteen verdelen in:

Om dergelijke fouten te voorkomen, moet je een eenvoudige manier bedenken om te bepalen of een uitdrukking in factoren is ontbonden:

De rekenkundige bewerking die als laatste wordt uitgevoerd bij het berekenen van de waarde van een uitdrukking is de “master”-bewerking.

Dat wil zeggen, als u enkele (willekeurige) cijfers vervangt in plaats van letters en probeert de waarde van de uitdrukking te berekenen, en als de laatste actie vermenigvuldiging is, dan hebben we een product (de uitdrukking is ontbonden).

Als de laatste actie optellen of aftrekken is, betekent dit dat de uitdrukking niet in factoren is ontbonden (en daarom niet kan worden gereduceerd).

Om dit te versterken, los je zelf een paar voorbeelden op:

Voorbeelden:

Oplossingen:

1. Ik hoop dat je niet meteen haast hebt gemaakt met knippen en? Het was nog steeds niet genoeg om eenheden als deze te ‘verminderen’:

De eerste stap zou factorisatie moeten zijn:

4. Breuken optellen en aftrekken. Breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer.

Het optellen en aftrekken van gewone breuken is een bekende handeling: we zoeken naar een gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en optellen/aftrekken van de tellers.

Laat ons herdenken:

Antwoorden:

1. De noemers en zijn relatief priemgetallen, dat wil zeggen dat ze geen gemeenschappelijke factoren hebben. Daarom is de LCM van deze getallen gelijk aan hun product. Dit zal de gemene deler zijn:

2. Hier is de gemene deler:

3. Hier zetten we allereerst gemengde breuken om in onechte breuken, en dan - volgens het gebruikelijke schema:

Het is een heel ander verhaal als de breuken letters bevatten, bijvoorbeeld:

Laten we beginnen met iets simpels:

a) Noemers bevatten geen letters

Hier is alles hetzelfde als bij gewone numerieke breuken: we vinden de gemeenschappelijke noemer, vermenigvuldigen elke breuk met de ontbrekende factor en optellen/aftrekken van de tellers:

Nu kunt u in de teller soortgelijke getallen geven, indien aanwezig, en deze in factoren ontbinden:

Probeer het zelf:

Antwoorden:

b) Noemers bevatten letters

Laten we het principe van het vinden van een gemeenschappelijke noemer zonder letters onthouden:

· allereerst bepalen we de gemeenschappelijke factoren;

· daarna schrijven we alle gemeenschappelijke factoren één voor één op;

· en vermenigvuldig ze met alle andere niet-gemeenschappelijke factoren.

Om de gemeenschappelijke factoren van de noemers te bepalen, ontbinden we ze eerst in priemfactoren:

Laten we de gemeenschappelijke factoren benadrukken:

Laten we nu de gemeenschappelijke factoren één voor één opschrijven en daar alle niet-gemeenschappelijke (niet onderstreepte) factoren aan toevoegen:

Dit is de gemene deler.

Laten we teruggaan naar de brieven. De noemers worden op precies dezelfde manier gegeven:

· factoreer de noemers;

· bepalen gemeenschappelijke (identieke) factoren;

· schrijf alle gemeenschappelijke factoren één keer op;

· vermenigvuldig ze met alle andere niet-gemeenschappelijke factoren.

Dus, in volgorde:

1) factoreer de noemers:

2) gemeenschappelijke (identieke) factoren bepalen:

3) Schrijf alle gemeenschappelijke factoren één keer op en vermenigvuldig ze met alle andere (niet-onderstreepte) factoren:

Er is hier dus een gemeenschappelijke noemer. De eerste breuk moet worden vermenigvuldigd met, de tweede - met:

Er is trouwens één truc:

Bijvoorbeeld: .

We zien dezelfde factoren in de noemers, alleen allemaal met verschillende indicatoren. De gemene deler zal zijn:

tot op zekere hoogte

tot op zekere hoogte

tot op zekere hoogte

tot op zekere hoogte.

Laten we de taak ingewikkelder maken:

Hoe zorg je ervoor dat breuken dezelfde noemer hebben?

Laten we de basiseigenschap van een breuk onthouden:

Nergens staat dat hetzelfde getal kan worden afgetrokken (of opgeteld) van de teller en de noemer van een breuk. Omdat het niet waar is!

Kijk zelf maar: neem bijvoorbeeld een willekeurige breuk en voeg een getal toe aan de teller en de noemer, bijvoorbeeld . Wat heb je geleerd?

Dus nog een onwankelbare regel:

Wanneer u breuken reduceert tot een gemeenschappelijke noemer, gebruik dan alleen de vermenigvuldigingsbewerking!

Maar wat moet je vermenigvuldigen om te krijgen?

Vermenigvuldig dus met. En vermenigvuldig met:

Uitdrukkingen die niet in factoren kunnen worden ontbonden, zullen we ‘elementaire factoren’ noemen.

Dit is bijvoorbeeld een elementaire factor. - Dezelfde. Maar nee: het kan in factoren worden ontbonden.

Hoe zit het met de uitdrukking? Is het elementair?

Nee, omdat het kan worden ontbonden in factoren:

(je hebt al gelezen over factoriseren in het onderwerp “”).

De elementaire factoren waarin je een uitdrukking met letters ontleedt, zijn dus analoog aan de eenvoudige factoren waarin je getallen ontleedt. En wij zullen ze op dezelfde manier behandelen.

We zien dat beide noemers een vermenigvuldiger hebben. Het zal tot op zekere hoogte naar de gemeenschappelijke noemer gaan (weet je nog waarom?).

De factor is elementair en ze hebben geen gemeenschappelijke factor, wat betekent dat de eerste breuk er eenvoudig mee moet worden vermenigvuldigd:

Een ander voorbeeld:

Oplossing:

Voordat u deze noemers in paniek vermenigvuldigt, moet u nadenken over hoe u ze in factoren kunt ontbinden? Ze vertegenwoordigen allebei:

Geweldig! Dan:

Een ander voorbeeld:

Oplossing:

Laten we, zoals gewoonlijk, de noemers ontbinden in factoren. In de eerste noemer zetten we het gewoon tussen haakjes; in de tweede - het verschil in vierkanten:

Het lijkt erop dat er geen gemeenschappelijke factoren zijn. Maar als je goed kijkt, lijken ze op elkaar... En het is waar:

Dus laten we schrijven:

Dat wil zeggen, het bleek zo: binnen de haak hebben we de termen verwisseld, en tegelijkertijd veranderde het teken voor de breuk in het tegenovergestelde. Let op, je zult dit vaak moeten doen.

Laten we het nu naar een gemeenschappelijke noemer brengen:

Begrepen? Laten we het nu controleren.

Taken voor onafhankelijke oplossing:

Antwoorden:

Hier moeten we nog één ding onthouden: het verschil in kubussen:

Houd er rekening mee dat de noemer van de tweede breuk niet de formule “kwadraat van de som” bevat! Het kwadraat van de som ziet er als volgt uit: .

A is het zogenaamde onvolledige kwadraat van de som: de tweede term daarin is het product van de eerste en de laatste, en niet hun dubbele product. Het gedeeltelijke kwadraat van de som is een van de factoren bij de uitbreiding van het kubusverschil:

Wat te doen als er al drie breuken zijn?

Ja, hetzelfde! Laten we er allereerst voor zorgen dat het maximale aantal factoren in de noemers hetzelfde is:

Let op: als u de tekens binnen één haakje wijzigt, verandert het teken vóór de breuk in het tegenovergestelde. Wanneer we de tekens in het tweede haakje veranderen, verandert het teken vóór de breuk weer in het tegenovergestelde. Als gevolg hiervan is het (het teken voor de breuk) niet veranderd.

We schrijven de hele eerste noemer uit in de gemeenschappelijke noemer en voegen daar vervolgens alle factoren aan toe die nog niet zijn geschreven, vanaf de tweede en vervolgens vanaf de derde (enzovoort, als er meer breuken zijn). Dat wil zeggen, het komt als volgt uit:

Hmm... Het is duidelijk wat je met breuken moet doen. Maar hoe zit het met de twee?

Het is simpel: je weet hoe je breuken moet optellen, toch? We moeten er dus voor zorgen dat twee een breuk worden! Laten we niet vergeten: een breuk is een delingsoperatie (de teller wordt gedeeld door de noemer, voor het geval je het vergeten bent). En er is niets eenvoudiger dan een getal delen door. In dit geval verandert het getal zelf niet, maar verandert het in een breuk:

Precies wat nodig is!

5. Vermenigvuldigen en delen van breuken.

Nou, het moeilijkste deel is nu voorbij. En voor ons ligt het eenvoudigste, maar tegelijkertijd het belangrijkste:

Procedure

Wat is de procedure voor het berekenen van een numerieke uitdrukking? Onthoud door de betekenis van deze uitdrukking te berekenen:

Heb je geteld?

Het zou moeten werken.

Dus, laat me je eraan herinneren.

De eerste stap is het berekenen van de graad.

De tweede is vermenigvuldigen en delen. Als er meerdere vermenigvuldigingen en delingen tegelijkertijd plaatsvinden, kunnen deze in willekeurige volgorde worden uitgevoerd.

En ten slotte voeren we optellen en aftrekken uit. Nogmaals, in willekeurige volgorde.

Maar: de uitdrukking tussen haakjes wordt om de beurt geëvalueerd!

Als meerdere haakjes met elkaar worden vermenigvuldigd of gedeeld, berekenen we eerst de uitdrukking in elk van de haakjes en vermenigvuldigen of delen we ze vervolgens.

Wat moet ik doen als er meer haakjes in de haakjes zitten? Laten we eens nadenken: er staat een uitdrukking tussen de haakjes. Wat moet u eerst doen als u een uitdrukking berekent? Dat klopt, bereken de haakjes. Nou, we zijn er achter gekomen: eerst berekenen we de binnenste haakjes en dan al het andere.

De procedure voor de bovenstaande uitdrukking is dus als volgt (de huidige actie is rood gemarkeerd, dat wil zeggen de actie die ik nu uitvoer):

Oké, het is allemaal eenvoudig.

Maar dit is niet hetzelfde als een uitdrukking met letters?

Nee, het is hetzelfde! Alleen in plaats van rekenkundige bewerkingen moet u algebraïsche bewerkingen uitvoeren, dat wil zeggen de acties die in de vorige sectie zijn beschreven: soortgelijk brengen, breuken optellen, breuken verkleinen, enzovoort. Het enige verschil is de actie van het ontbinden van polynomen (we gebruiken dit vaak als we met breuken werken). Om te ontbinden in factoren, moet u meestal I gebruiken of eenvoudigweg de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

Meestal is het ons doel om de uitdrukking weer te geven als een product of quotiënt.

Bijvoorbeeld:

Laten we de uitdrukking vereenvoudigen.

1) Eerst vereenvoudigen we de uitdrukking tussen haakjes. Daar hebben we een verschil in breuken, en ons doel is om het als een product of quotiënt te presenteren. Dus brengen we de breuken naar een gemeenschappelijke noemer en voegen toe:

Het is onmogelijk om deze uitdrukking verder te vereenvoudigen; alle factoren hier zijn elementair (weet je nog wat dit betekent?).

2) Wij krijgen:

Breuken vermenigvuldigen: wat is er eenvoudiger?

3) Nu kun je het volgende inkorten:

Oké, het is nu allemaal voorbij. Niets ingewikkelds, toch?

Een ander voorbeeld:

Vereenvoudig de uitdrukking.

Probeer het eerst zelf op te lossen en kijk dan pas naar de oplossing.

Oplossing:

Laten we eerst de volgorde van acties bepalen.

Laten we eerst de breuken tussen haakjes optellen, zodat we in plaats van twee breuken één krijgen.

Dan gaan we breuken delen. Laten we het resultaat met de laatste breuk optellen.

Ik zal de stappen schematisch nummeren:

Nu laat ik je het proces zien, waarbij ik de huidige actie rood kleur:

Tot slot geef ik je nog twee handige tips:

1. Als er soortgelijke zijn, moeten deze onmiddellijk worden gebracht. Op welk moment soortgelijke problemen zich ook in ons land voordoen, het is raadzaam om ze onmiddellijk ter sprake te brengen.

2. Voor het verkleinen van fracties geldt hetzelfde: zodra de mogelijkheid tot verkleinen zich voordoet, moet daarvan gebruik worden gemaakt. De uitzondering geldt voor breuken die u optelt of aftrekt: als ze nu dezelfde noemers hebben, moet de reductie voor later worden bewaard.

Hier zijn enkele taken die u zelf kunt oplossen:

En wat er helemaal aan het begin werd beloofd:

Antwoorden:

Oplossingen (kort):

Als je tenminste de eerste drie voorbeelden hebt behandeld, dan heb je het onderwerp onder de knie.

Nu verder met leren!

UITDRUKKINGEN OMZETTEN. SAMENVATTING EN BASISFORMULES

Basisvereenvoudigingsoperaties:

• Gelijkaardig brengen: om vergelijkbare termen toe te voegen (verminderen), moet u hun coëfficiënten optellen en het lettergedeelte toewijzen.
• Factorisatie: de gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten, toepassen, enz.
• Een fractie verkleinen: De teller en de noemer van een breuk kunnen worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal dat niet nul is, wat de waarde van de breuk niet verandert.
  1) teller en noemer factoriseren
  2) als de teller en de noemer gemeenschappelijke factoren hebben, kunnen deze worden doorgestreept.

  BELANGRIJK: alleen vermenigvuldigers kunnen worden verminderd!

• Breuken optellen en aftrekken:
  ;
• Breuken vermenigvuldigen en delen:
  ;