Alle nummers z. Soorten getallen

De zin " aantal sets' komt vrij vaak voor in wiskundeboeken. Vaak kom je zinnen als deze tegen:

"Blah blah blah, waar behoort tot de reeks natuurlijke getallen."

Vaak kunt u dit bericht zien in plaats van een zin te beëindigen. Het betekent hetzelfde als de tekst, iets hoger: een getal behoort tot de verzameling natuurlijke getallen. Velen besteden vaak geen aandacht aan welke set deze of gene variabele is gedefinieerd. Als gevolg hiervan worden volledig verkeerde methoden gebruikt bij het oplossen van een probleem of het bewijzen van een stelling. Dit komt door het feit dat de eigenschappen van getallen die tot verschillende sets behoren, kunnen verschillen.

Er zijn niet zoveel cijfers. Hieronder ziet u de definities van verschillende nummersets.

De verzameling natuurlijke getallen omvat alle gehele getallen groter dan nul - positieve gehele getallen.

Bijvoorbeeld: 1, 3, 20, 3057. De set bevat niet het getal 0.

Deze getallenset omvat alle gehele getallen groter dan en kleiner dan nul, evenals nul.

Bijvoorbeeld: -15, 0, 139.

Rationele getallen zijn over het algemeen een reeks breuken die niet opheffen (als de breuk opheft, is deze al een geheel getal, en in dit geval is het niet de moeite waard om nog een reeks getallen te introduceren).

Een voorbeeld van getallen in een rationale set: 3/5, 9/7, 1/2.

,

waarbij een eindige reeks cijfers is van het gehele deel van een getal dat tot de verzameling reële getallen behoort. Deze reeks is eindig, dat wil zeggen dat het aantal cijfers in het gehele deel van een reëel getal eindig is.

- een oneindige reeks getallen die zich in het fractionele deel van een reëel getal bevinden. Het blijkt dat er in het fractionele deel een oneindig aantal getallen is.

Dergelijke getallen kunnen niet als een breuk worden weergegeven. Anders zou een dergelijk getal kunnen worden toegeschreven aan de reeks rationale getallen.

Voorbeelden van reële getallen:

Laten we de waarde van de wortel van twee eens nader bekijken. Het gehele deel bevat slechts één cijfer: 1, dus we kunnen schrijven:

In het breukgedeelte (na de punt) volgen de cijfers 4, 1, 4, 2, enzovoort in volgorde. Daarom kunnen we voor de eerste vier cijfers schrijven:

Ik durf te hopen dat nu de definitie van de reeks reële getallen duidelijker is geworden.

Conclusie

Houd er rekening mee dat dezelfde functie totaal verschillende eigenschappen kan vertonen, afhankelijk van tot welke set de variabele behoort. Onthoud dus de basis: je zult ze nodig hebben.

Berichtweergaven: 5 198

De informatie in dit artikel vormt een algemeen idee van hele getallen. Eerst wordt de definitie van gehele getallen gegeven en worden voorbeelden gegeven. Vervolgens wordt gekeken naar de gehele getallen op de getallenlijn, waaruit duidelijk wordt welke getallen positieve gehele getallen worden genoemd, en welke negatieve gehele getallen zijn. Daarna wordt getoond hoe veranderingen in hoeveelheden worden beschreven met behulp van gehele getallen, en hoe negatieve gehele getallen worden beschouwd in de zin van schulden.

Paginanavigatie.

Gehele getallen - definitie en voorbeelden

Definitie.

Hele getallen zijn natuurlijke getallen, het getal nul, maar ook getallen die tegengesteld zijn aan natuurlijke getallen.

De definitie van gehele getallen stelt dat elk van de getallen 1, 2, 3, …, het getal 0, en ook elk van de getallen −1, −2, −3, … een geheel getal is. Nu kunnen we het gemakkelijk meenemen voorbeelden van gehele getallen. Het getal 38 is bijvoorbeeld een geheel getal, het getal 70040 is ook een geheel getal, nul is een geheel getal (onthoud dat nul GEEN natuurlijk getal is, nul is een geheel getal), de getallen −999 , −1 , −8 934 832 zijn ook voorbeelden van gehele getallen.

Het is handig om alle gehele getallen weer te geven als een reeks gehele getallen, die de volgende vorm heeft: 0, ±1, ±2, ±3, … De reeks gehele getallen kan ook als volgt worden geschreven: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Uit de definitie van gehele getallen volgt dat de verzameling natuurlijke getallen een subset is van de verzameling gehele getallen. Daarom elke natuurlijk nummer is een geheel getal, maar niet elk geheel getal is een natuurlijk getal.

Gehele getallen op de coördinatenlijn

Definitie.

Gehele positieve getallen zijn gehele getallen die groter zijn dan nul.

Definitie.

Gehele negatieve getallen zijn gehele getallen die kleiner zijn dan nul.

Gehele positieve en negatieve getallen kunnen ook worden bepaald door hun positie op de coördinatenlijn. Op een horizontale coördinatenlijn liggen punten waarvan de coördinaten positieve gehele getallen zijn, rechts van de oorsprong. Op hun beurt bevinden punten met negatieve gehele coördinaten zich links van het punt O .

Het is duidelijk dat de verzameling van alle positieve gehele getallen de verzameling natuurlijke getallen is. Op zijn beurt is de verzameling van alle negatieve gehele getallen de verzameling van alle getallen die tegengesteld zijn aan natuurlijke getallen.

Daarnaast vestigen we uw aandacht op het feit dat we elk natuurlijk getal veilig een geheel getal kunnen noemen, en dat we GEEN enkel geheel getal een natuurlijk getal kunnen noemen. We kunnen alleen elk positief geheel getal natuurlijk noemen, aangezien negatieve gehele getallen en nul niet natuurlijk zijn.

Niet-positieve gehele getallen en niet-negatieve gehele getallen

Laten we definities geven van niet-positieve gehele getallen en niet-negatieve gehele getallen.

Definitie.

Alle positieve gehele getallen samen met nul worden aangeroepen gehele niet-negatieve getallen.

Definitie.

Gehele niet-positieve getallen zijn allemaal negatieve gehele getallen samen met het getal 0 .

Met andere woorden: het geheel niet-negatief getal is een geheel getal dat groter is dan of gelijk is aan nul, en een niet-positief geheel getal is een geheel getal dat kleiner is dan of gelijk is aan nul.

Voorbeelden van niet-positieve gehele getallen zijn de getallen -511, -10 030, 0, -2, en als voorbeelden van niet-negatieve gehele getallen geven we de getallen 45, 506, 0, 900 321.

Meestal worden kortheidshalve de termen "niet-positieve gehele getallen" en "niet-negatieve gehele getallen" gebruikt. In plaats van de zinsnede "het getal a is een geheel getal, en a is groter dan nul of gelijk aan nul", kun je bijvoorbeeld zeggen "a is een niet-negatief geheel getal".

Beschrijving van veranderende waarden met behulp van gehele getallen

Het is tijd om te praten over waar gehele getallen voor zijn.

Het belangrijkste doel van gehele getallen is dat het met hun hulp handig is om de verandering in het aantal items te beschrijven. Laten we dit met voorbeelden behandelen.

Stel dat er een bepaalde hoeveelheid onderdelen op voorraad is. Als er bijvoorbeeld nog 400 onderdelen naar het magazijn worden gebracht, zal het aantal onderdelen in het magazijn toenemen, en het getal 400 drukt deze verandering in hoeveelheid uit in positieve kant(in de richting van stijging). Als er bijvoorbeeld 100 onderdelen uit het magazijn worden gehaald, zal het aantal onderdelen in het magazijn afnemen en zal het getal 100 de verandering in de hoeveelheid in negatieve richting (in de richting van afname) uitdrukken. Er worden geen onderdelen naar het magazijn gebracht en er worden geen onderdelen uit het magazijn gehaald. Dan kunnen we praten over de onveranderlijkheid van het aantal onderdelen (dat wil zeggen, we kunnen praten over een nulverandering in de hoeveelheid).

In de gegeven voorbeelden kan de verandering in het aantal delen worden beschreven met behulp van respectievelijk de gehele getallen 400 , −100 en 0. Een positief geheel getal 400 duidt op een positieve verandering in de hoeveelheid (toename). Het negatieve gehele getal −100 drukt een negatieve verandering in hoeveelheid uit (afname). Het gehele getal 0 geeft aan dat de hoeveelheid niet is veranderd.

Het gemak van het gebruik van gehele getallen in vergelijking met het gebruik van natuurlijke getallen is dat het niet nodig is expliciet aan te geven of de hoeveelheid toeneemt of afneemt: het gehele getal bepaalt de verandering kwantitatief en het teken van het gehele getal geeft de richting van de verandering aan.

Gehele getallen kunnen ook niet alleen een verandering in de hoeveelheid uitdrukken, maar ook een verandering in een bepaalde waarde. Laten we dit aanpakken aan de hand van het voorbeeld van temperatuurverandering.

Een temperatuurstijging van bijvoorbeeld 4 graden wordt uitgedrukt als een positief geheel getal 4 . Een temperatuurdaling met bijvoorbeeld 12 graden kan worden beschreven door een negatief geheel getal −12. En de onveranderlijkheid van de temperatuur is de verandering ervan, bepaald door het gehele getal 0.

Afzonderlijk moet gezegd worden over de interpretatie van negatieve gehele getallen als het bedrag van de schuld. Als we bijvoorbeeld 3 appels hebben, vertegenwoordigt het positieve gehele getal 3 het aantal appels dat we bezitten. Aan de andere kant, als we iemand 5 appels moeten geven en we hebben ze niet beschikbaar, dan kan deze situatie worden beschreven met een negatief geheel getal −5. In dit geval 'bezitten' we -5 appels, het minteken geeft de schulden aan en het getal 5 kwantificeert de schulden.

Door een negatief geheel getal als een schuld te begrijpen, kan men bijvoorbeeld de regel voor het optellen van negatieve gehele getallen rechtvaardigen. Laten we een voorbeeld nemen. Als iemand 2 appels aan de ene persoon en één appel aan de andere persoon schuldig is, dan is de totale schuld 2+1=3 appels, dus −2+(−1)=−3 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. enz. Wiskunde. Graad 6: leerboek voor onderwijsinstellingen.

NAAR hele getallen omvatten natuurlijke getallen, nul en getallen die tegengesteld zijn aan natuurlijke getallen.

gehele getallen zijn positieve gehele getallen.

Bijvoorbeeld: 1, 3, 7, 19, 23, enz. We gebruiken dergelijke cijfers om te tellen (er liggen 5 appels op tafel, de auto heeft 4 wielen, enz.)

Latijnse letter \mathbb(N) - aangegeven verzameling natuurlijke getallen.

Natuurlijke getallen kunnen geen negatieve getallen bevatten (een stoel kan geen negatief aantal poten hebben) en gebroken getallen (Ivan kon geen 3,5 fietsen verkopen).

Getallen die tegengesteld zijn aan natuurlijke getallen zijn negatieve gehele getallen: -8, -148, -981, ....

Rekenkundige bewerkingen met gehele getallen

Wat kun je met gehele getallen? Ze kunnen worden vermenigvuldigd, opgeteld en van elkaar afgetrokken. Laten we elke bewerking op een specifiek voorbeeld analyseren.

Optelling van gehele getallen

Twee gehele getallen met hetzelfde teken worden als volgt toegevoegd: de modules van deze getallen worden opgeteld en de resulterende som wordt voorafgegaan door het laatste teken:

(+11) + (+9) = +20

Aftrekken van gehele getallen

Twee gehele getallen met verschillende tekens worden als volgt toegevoegd: uit de module meer de modulus van het kleinere wordt afgetrokken en het teken van het grotere modulogetal wordt vóór het ontvangen antwoord geplaatst:

(-7) + (+8) = +1

Vermenigvuldiging met gehele getallen

Om het ene gehele getal met het andere te vermenigvuldigen, moet u de modules van deze getallen vermenigvuldigen en het teken “+” voor het ontvangen antwoord plaatsen als de oorspronkelijke getallen dezelfde tekens hadden, en het teken “-” als de oorspronkelijke getallen hetzelfde waren. met verschillende tekens:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

U moet het volgende onthouden Vermenigvuldigingsregel voor gehele getallen:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Er is een regel voor het vermenigvuldigen van meerdere gehele getallen. Laten we het onthouden:

Het teken van het product is “+” als het aantal factoren met een negatief teken even is en “-” als het aantal factoren met een negatief teken oneven is.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Deling van gehele getallen

De deling van twee gehele getallen wordt als volgt uitgevoerd: de modulus van het ene getal wordt gedeeld door de modulus van het andere, en als de tekens van de getallen hetzelfde zijn, wordt het teken "+" voor het resulterende quotiënt geplaatst , en als de tekens van de originele cijfers verschillend zijn, wordt het teken “-” geplaatst.

(-25) : (+5) = -5

Eigenschappen van optellen en vermenigvuldigen van gehele getallen

Laten we de basiseigenschappen van optellen en vermenigvuldigen analyseren voor alle gehele getallen a , b en c :

1. a + b = b + a - commutatieve eigenschap van optelling;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - de associatieve eigenschap van optellen;
3. a \cdot b = b \cdot a - commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- associatieve eigenschappen van vermenigvuldiging;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c is de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging.

Als we het getal 0 links van een reeks natuurlijke getallen optellen, krijgen we: een reeks positieve gehele getallen:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Gehele negatieve getallen

Overwegen klein voorbeeld. De figuur links toont een thermometer die een temperatuur van 7°C aangeeft. Als de temperatuur met 4° daalt, geeft de thermometer 3° warmte aan. Een temperatuurdaling komt overeen met een aftrekkingsactie:

Als de temperatuur met 7° daalt, geeft de thermometer 0° aan. Een temperatuurdaling komt overeen met een aftrekkingsactie:

Daalt de temperatuur met 8°, dan geeft de thermometer -1° aan (1° vorst). Maar het resultaat van het aftrekken van 7 - 8 kan niet worden geschreven met natuurlijke getallen en nul.

Laten we het aftrekken van een reeks positieve gehele getallen illustreren:

1) We tellen 4 getallen links van het getal 7 en krijgen er 3:

2) We tellen 7 getallen links van het getal 7 en krijgen 0:

Het is onmogelijk om 8 getallen te tellen in een reeks positieve gehele getallen vanaf het getal 7 naar links. Om actie 7 t/m 8 haalbaar te maken, breiden we de reeks positieve gehele getallen uit. Om dit te doen, schrijven we links van nul (van rechts naar links) in volgorde alle natuurlijke getallen, waarbij we aan elk ervan een - teken toevoegen, wat aangeeft dat dit getal links van nul ligt.

De vermeldingen -1, -2, -3, ... lezen min 1 , min 2 , min 3 , enz.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

De resulterende reeks getallen wordt genoemd naast hele getallen. De stippen links en rechts in deze inzending betekenen dat de serie zowel naar rechts als naar links voor onbepaalde tijd kan worden voortgezet.

Rechts van het cijfer 0 in deze rij staan ​​de nummers die worden gebeld natuurlijk of geheel positief(kort - positief).

Links van het cijfer 0 in deze rij staan ​​de nummers die worden gebeld geheel negatief(kort - negatief).

Het getal 0 is een geheel getal, maar is noch positief, noch negatief nummer. Het scheidt positieve en negatieve getallen.

Vandaar, een reeks gehele getallen bestaat uit negatieve gehele getallen, nul en positieve gehele getallen.

Vergelijking van gehele getallen

Vergelijk twee gehele getallen- betekent om erachter te komen welke van hen groter is, welke kleiner is, of om te bepalen dat de getallen gelijk zijn.

Je kunt gehele getallen vergelijken met behulp van een rij gehele getallen, omdat de getallen daarin van klein naar groot zijn gerangschikt als je van links naar rechts langs de rij beweegt. Daarom kunt u in een reeks gehele getallen komma's vervangen door een kleiner dan-teken:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Vandaar, Van twee gehele getallen is degene aan de rechterkant de grootste, en die aan de linkerkant de kleinste., Middelen:

1) Elk positief getal is groter dan nul en groter dan elk negatief getal:

1 > 0; 15 > -16

2) Elk negatief getal kleiner dan nul:

7 < 0; -357 < 0

3) Van de twee negatieve getallen is het getal rechts in de reeks gehele getallen groter.

In dit artikel zullen we een reeks gehele getallen definiëren, waarbij we bekijken welke gehele getallen positief worden genoemd en welke negatief zijn. We zullen ook laten zien hoe gehele getallen worden gebruikt om de verandering in bepaalde hoeveelheden te beschrijven. Laten we beginnen met de definitie en voorbeelden van gehele getallen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hele getallen. Definitie, voorbeelden

Laten we eerst de natuurlijke getallen ℕ in herinnering brengen. De naam zelf doet vermoeden dat dit getallen zijn die van oudsher natuurlijk bij het tellen worden gebruikt. Om het concept van gehele getallen te kunnen omvatten, moeten we de definitie van natuurlijke getallen uitbreiden.

Definitie 1. Gehele getallen

Gehele getallen zijn de natuurlijke getallen, hun tegenpolen en het getal nul.

De reeks gehele getallen wordt aangegeven met de letter ℤ .

De verzameling natuurlijke getallen ℕ is een deelverzameling van de gehele getallen ℤ. Elk natuurlijk getal is een geheel getal, maar niet elk geheel getal is een natuurlijk getal.

Uit de definitie volgt dat elk van de getallen 1, 2, 3 een geheel getal is. . , het getal 0 , evenals de getallen -1 , - 2 , - 3 , . .

Daarom geven we voorbeelden. De getallen 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 zijn hele getallen.

Laat de coördinatenlijn horizontaal tekenen en naar rechts wijzen. Laten we er eens naar kijken om de locatie van gehele getallen op een rechte lijn te visualiseren.

Het referentiepunt op de coördinatenlijn komt overeen met het getal 0, en de punten die aan beide zijden van nul liggen, komen overeen met positieve en negatieve gehele getallen. Elk punt komt overeen met een enkel geheel getal.

Elk punt op een rechte lijn waarvan de coördinaat een geheel getal is, kan worden bereikt door een bepaald aantal eenheidssegmenten vanaf de oorsprong opzij te zetten.

Positieve en negatieve gehele getallen

Van alle gehele getallen is het logisch om onderscheid te maken tussen positieve en negatieve gehele getallen. Laten we hun definities geven.

Definitie 2. Positieve gehele getallen

Positieve gehele getallen zijn gehele getallen met een plusteken.

Het getal 7 is bijvoorbeeld een geheel getal met een plusteken, dat wil zeggen een positief geheel getal. Op de coördinatenlijn ligt dit getal rechts van het referentiepunt, waarvoor het getal 0 wordt genomen. Andere voorbeelden van positieve gehele getallen: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definitie 3. Negatieve gehele getallen

Negatieve gehele getallen zijn gehele getallen met een minteken.

Voorbeelden van negatieve gehele getallen: - 528 , - 2568 , - 1 .

Het getal 0 scheidt positieve en negatieve gehele getallen en is zelf noch positief noch negatief.

Elk getal dat het tegenovergestelde is van een positief geheel getal, is per definitie een negatief geheel getal. Het omgekeerde is ook waar. Het omgekeerde van elk negatief geheel getal is een positief geheel getal.

Het is mogelijk om andere formuleringen van de definities van negatieve en positieve gehele getallen te geven, door hun vergelijking met nul te gebruiken.

Definitie 4. Positieve gehele getallen

Positieve gehele getallen zijn gehele getallen die groter zijn dan nul.

Definitie 5. Negatieve gehele getallen

Negatieve gehele getallen zijn gehele getallen die kleiner zijn dan nul.

Dienovereenkomstig liggen positieve getallen rechts van de oorsprong op de coördinatenlijn, en negatieve gehele getallen links van nul.

Eerder zeiden we dat natuurlijke getallen een subset van gehele getallen zijn. Laten we dit punt verduidelijken. De verzameling natuurlijke getallen zijn positieve gehele getallen. Op zijn beurt is de reeks negatieve gehele getallen de reeks getallen die tegengesteld zijn aan de natuurlijke getallen.

Belangrijk!

Elk natuurlijk getal kan een geheel getal worden genoemd, maar elk geheel getal kan geen natuurlijk getal worden genoemd. Als je de vraag beantwoordt of negatieve getallen natuurlijk zijn, moet je stoutmoedig zeggen: nee, dat is niet zo.

Niet-positieve en niet-negatieve gehele getallen

Laten we definities geven.

Definitie 6. Niet-negatieve gehele getallen

Niet-negatieve gehele getallen zijn positieve gehele getallen en het getal nul.

Definitie 7. Niet-positieve gehele getallen

Niet-positieve gehele getallen zijn negatieve gehele getallen en het getal nul.

Zoals je kunt zien, is het getal nul noch positief, noch negatief.

Voorbeelden van niet-negatieve gehele getallen: 52 , 128 , 0 .

Voorbeelden van niet-positieve gehele getallen: - 52 , - 128 , 0 .

Een niet-negatief getal is een getal groter dan of gelijk aan nul. Dienovereenkomstig is een niet-positief geheel getal een getal kleiner dan of gelijk aan nul.

Kortheidshalve worden de termen "niet-positief getal" en "niet-negatief getal" gebruikt. In plaats van te zeggen dat het getal a een geheel getal groter dan of gelijk aan nul is, kun je bijvoorbeeld zeggen: a is een niet-negatief geheel getal.

Gehele getallen gebruiken bij het beschrijven van veranderingen in waarden

Waar worden gehele getallen voor gebruikt? Allereerst is het met hun hulp handig om de verandering in het aantal objecten te beschrijven en te bepalen. Laten we een voorbeeld nemen.

Laat een bepaald aantal krukassen in het magazijn opslaan. Als er nog eens 500 krukassen naar het magazijn worden gebracht, zal hun aantal toenemen. Het getal 500 drukt alleen de verandering (toename) in het aantal onderdelen uit. Als er dan 200 onderdelen uit het magazijn worden gehaald, zal dit aantal ook de verandering in het aantal krukassen kenmerken. Deze keer in de richting van reductie.

Als er niets uit het magazijn wordt gehaald en er niets wordt gebracht, geeft het cijfer 0 de onveranderlijkheid van het aantal onderdelen aan.

Het voor de hand liggende gemak van het gebruik van gehele getallen, in tegenstelling tot natuurlijke getallen, is dat hun teken duidelijk de richting van de verandering in grootte aangeeft (toenemen of afnemen).

Een temperatuurdaling met 30 graden kan worden gekenmerkt door een negatief getal – 30, en een stijging met 2 graden – door een positief geheel getal 2.

Hier is nog een voorbeeld waarbij gehele getallen worden gebruikt. Laten we ons deze keer voorstellen dat we 5 munten aan iemand moeten geven. Dan kunnen we zeggen dat we - 5 munten hebben. Het cijfer 5 beschrijft het bedrag van de schuld en het minteken geeft aan dat we de munten moeten teruggeven.

Als we 2 munten aan de ene persoon en 3 aan de andere persoon verschuldigd zijn, kan de totale schuld (5 munten) worden berekend door de regel van het optellen van negatieve getallen:

2 + (- 3) = - 5

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter