In het schoolcurriculum voor een cursus stereometrie begint de studie van driedimensionale figuren meestal met een eenvoudig geometrisch lichaam: het veelvlak van een prisma. De rol van de bases wordt vervuld door 2 gelijke polygonen die in parallelle vlakken liggen. Een speciaal geval is een regulier vierhoekig prisma. De basis bestaat uit 2 identieke regelmatige vierhoeken, waarvan de zijkanten loodrecht staan ​​en de vorm hebben van parallellogrammen (of rechthoeken, als het prisma niet schuin staat).

Hoe ziet een prisma eruit?

Een normaal vierhoekig prisma is een zeshoek, waarvan de basis twee vierkanten is en de zijvlakken worden weergegeven door rechthoeken. Een andere naam voor deze geometrische figuur is een recht parallellepipedum.

Hieronder ziet u een tekening van een vierhoekig prisma.

Je kunt het ook op de foto zien essentiële elementen, waaruit het geometrische lichaam bestaat. Deze omvatten:

Soms kun je bij geometrieproblemen het concept van een sectie tegenkomen. De definitie klinkt als volgt: een doorsnede zijn alle punten van een volumetrisch lichaam dat tot een snijvlak behoort. De sectie kan loodrecht zijn (snijdt de randen van de figuur onder een hoek van 90 graden). Voor een rechthoekig prisma wordt ook een diagonale doorsnede overwogen ( maximale hoeveelheid secties die kunnen worden geconstrueerd - 2), die door 2 randen en diagonalen van de basis gaan.

Als de doorsnede zo wordt getekend dat het snijvlak niet evenwijdig is aan de basis of de zijvlakken, is het resultaat een afgeknot prisma.

Om de gereduceerde prismatische elementen te vinden, worden verschillende relaties en formules gebruikt. Sommigen van hen zijn bekend uit de cursus planimetrie (om bijvoorbeeld de oppervlakte van de basis van een prisma te vinden, volstaat het om de formule voor de oppervlakte van een vierkant te onthouden).

Oppervlakte en volume

Om het volume van een prisma te bepalen met behulp van de formule, moet u het gebied van de basis en de hoogte kennen:

V = Sbas h

Omdat de basis van een regulier tetraëdrische prisma een vierkant met zijde is A, U kunt de formule in meer gedetailleerde vorm schrijven:

V = a²·h

Als we het hebben over een kubus - een gewoon prisma met gelijke lengte, breedte en hoogte, wordt het volume als volgt berekend:

Om te begrijpen hoe je het zijoppervlak van een prisma kunt vinden, moet je je de ontwikkeling ervan voorstellen.

Uit de tekening blijkt dat zijvlak bestaande uit 4 gelijke rechthoeken. Het gebied wordt berekend als het product van de omtrek van de basis en de hoogte van de figuur:

Szijde = Posn h

Rekening houdend met het feit dat de omtrek van het vierkant gelijk is aan P = 4a, de formule heeft de vorm:

Zijkant = 4a h

Voor kubus:

Zijkant = 4a²

Om de totale oppervlakte van het prisma te berekenen, moet u 2 basisgebieden aan het laterale gebied toevoegen:

Sfull = Zijkant + 2Shoofd

Met betrekking tot een vierhoekig, regelmatig prisma ziet de formule er als volgt uit:

Stotaal = 4a h + 2a²

Voor de oppervlakte van een kubus:

Svol = 6a²

Als u het volume of de oppervlakte kent, kunt u de afzonderlijke elementen van een geometrisch lichaam berekenen.

Prisma-elementen zoeken

Vaak zijn er problemen waarbij het volume wordt gegeven of de waarde van het zijoppervlak bekend is, waarbij het nodig is om de lengte van de zijkant van de basis of de hoogte te bepalen. In dergelijke gevallen kunnen de formules worden afgeleid:

• lengte basiszijde: a = Zijkant / 4h = √(V / h);
• hoogte of lengte zijrib: h = Z-zijde / 4a = V / a²;
• basisoppervlak: Sbas = V / h;
• zijvlak: Kant gr = Zijkant / 4.

Om te bepalen hoeveel oppervlakte het diagonale gedeelte heeft, moet je de lengte van de diagonaal en de hoogte van de figuur kennen. Voor een vierkant d = a√2. Hieruit volgt:

Sdiag = ah√2

Gebruik de formule om de diagonaal van een prisma te berekenen:

dprijs = √(2a² + h²)

Om te begrijpen hoe u de gegeven relaties kunt toepassen, kunt u verschillende eenvoudige taken oefenen en oplossen.

Voorbeelden van problemen met oplossingen

Hier zijn enkele taken die te vinden zijn op staatseindexamens in wiskunde.

Taak 1.

Zand wordt in een doos gegoten in de vorm van een normaal vierhoekig prisma. De hoogte van het niveau is 10 cm. Wat zal het zandniveau zijn als je het in een container met dezelfde vorm verplaatst, maar met een basis die twee keer zo lang is?

Het moet als volgt worden gemotiveerd. De hoeveelheid zand in de eerste en tweede container veranderde niet, d.w.z. het volume daarin is hetzelfde. De lengte van de basis kunt u aangeven met A. In dit geval is het volume van de stof voor het eerste vak:

V₁ = ha² = 10a²

Voor de tweede doos is de lengte van de basis 2a, maar de hoogte van het zandpeil is onbekend:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Omdat V₁ = V₂, kunnen we de uitdrukkingen gelijkstellen:

10a² = 4ha²

Nadat we beide zijden van de vergelijking met a² hebben gereduceerd, krijgen we:

Het gevolg is dat het nieuwe zandpeil komt te liggen u = 10 / 4 = 2,5 cm.

Taak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ is een correct prisma. Het is bekend dat BD = AB₁ = 6√2. Zoek het totale oppervlak van het lichaam.

Om het gemakkelijker te maken om te begrijpen welke elementen bekend zijn, kunt u een figuur tekenen.

Omdat we het over een gewoon prisma hebben, kunnen we concluderen dat er aan de basis een vierkant is met een diagonaal van 6√2. De diagonaal van het zijvlak heeft dezelfde grootte, daarom heeft het zijvlak ook de vorm van een vierkant gelijk aan de basis. Het blijkt dat alle drie de dimensies - lengte, breedte en hoogte - gelijk zijn. We kunnen concluderen dat ABCDA₁B₁C₁D₁ een kubus is.

De lengte van elke rand wordt bepaald via een bekende diagonaal:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

De totale oppervlakte wordt gevonden met behulp van de formule voor een kubus:

Vol = 6a² = 6 6² = 216

Taak 3.

De kamer wordt gerenoveerd. Het is bekend dat de vloer de vorm heeft van een vierkant met een oppervlakte van 9 m². De hoogte van de kamer is 2,5 m. Wat zijn de laagste kosten voor het behangen van een kamer als 1 m² 50 roebel kost?

Omdat de vloer en het plafond vierkant zijn, d.w.z. regelmatige vierhoeken, en de wanden loodrecht op horizontale oppervlakken staan, kunnen we concluderen dat het een regelmatig prisma is. Het is noodzakelijk om het gebied van het zijoppervlak te bepalen.

De lengte van de kamer bedraagt a = √9 = 3 M.

Het gebied zal worden bedekt met behang Zijkant = 4 3 2,5 = 30 m².

De laagste kosten voor behang voor deze kamer zijn 50·30 = 1500 roebel

Om problemen met een rechthoekig prisma op te lossen, is het dus voldoende om de oppervlakte en omtrek van een vierkant en rechthoek te kunnen berekenen, en om de formules te kennen voor het vinden van het volume en de oppervlakte.

Hoe de oppervlakte van een kubus te vinden

Algemene informatie over recht prisma

Het manteloppervlak van een prisma (meer precies, het laterale oppervlak) wordt genoemd som gebieden van de zijvlakken. Het totale oppervlak van het prisma is gelijk aan de som van het zijoppervlak en de oppervlakten van de bases.

Stelling 19.1. Het zijoppervlak van een recht prisma is gelijk aan het product van de omtrek van de basis en de hoogte van het prisma, dat wil zeggen de lengte van de zijkant.

Bewijs. De zijvlakken van een recht prisma zijn rechthoeken. De basis van deze rechthoeken zijn de zijden van de veelhoek die aan de basis van het prisma liggen, en de hoogten zijn gelijk aan de lengte van de zijranden. Hieruit volgt dat het zijoppervlak van het prisma gelijk is aan

S = een 1 l + een 2 l + ... + een n l = pl,

waarbij a 1 en n de lengtes van de basisranden zijn, p de omtrek van de basis van het prisma is, en I de lengte van de zijranden. De stelling is bewezen.

Praktische taak

Probleem (22) . In een hellend prisma wordt het uitgevoerd sectie, loodrecht op de zijribben en alle zijribben kruisend. Zoek het mantelvlak van het prisma als de omtrek van de doorsnede gelijk is aan p en de zijranden gelijk zijn aan l.

Oplossing. Het vlak van de getekende doorsnede verdeelt het prisma in twee delen (Fig. 411). Laten we een ervan onderwerpen aan een parallelle vertaling, waarbij we de bases van het prisma combineren. In dit geval verkrijgen we een recht prisma, waarvan de basis de dwarsdoorsnede is van het originele prisma, en de zijranden gelijk zijn aan l. Dit prisma heeft hetzelfde zijvlak als het origineel. Het zijoppervlak van het oorspronkelijke prisma is dus gelijk aan pl.

Samenvatting van het behandelde onderwerp

Laten we nu proberen het onderwerp dat we hebben besproken over prisma’s samen te vatten en te onthouden welke eigenschappen een prisma heeft.

Prisma-eigenschappen

Ten eerste heeft een prisma al zijn bases als gelijke veelhoeken;
Ten tweede zijn bij een prisma alle zijvlakken parallellogrammen;
Ten derde zijn in zo'n veelzijdige figuur als een prisma alle zijranden gelijk;

Houd er ook rekening mee dat veelvlakken zoals prisma's recht of schuin kunnen zijn.

Welk prisma wordt een recht prisma genoemd?

Als de zijkant van een prisma loodrecht op het vlak van de basis staat, wordt zo'n prisma een recht prisma genoemd.

Het zou niet overbodig zijn om te onthouden dat de zijvlakken van een recht prisma rechthoeken zijn.

Welk type prisma wordt schuin genoemd?

Maar als de zijkant van een prisma niet loodrecht op het vlak van de basis staat, kunnen we gerust zeggen dat het een hellend prisma is.

Welk prisma wordt correct genoemd?

Als een regelmatige veelhoek aan de basis van een recht prisma ligt, dan is zo'n prisma regelmatig.

Laten we nu de eigenschappen onthouden die een gewoon prisma heeft.

Eigenschappen van een regulier prisma

Ten eerste: altijd redenen juiste prisma dienen regelmatige veelhoeken;
Ten tweede: als we de zijvlakken van een gewoon prisma beschouwen, zijn het altijd gelijke rechthoeken;
Ten derde, als je de afmetingen van de zijribben vergelijkt, dan zijn ze in een gewoon prisma altijd gelijk.
Ten vierde is een correct prisma altijd recht;
Ten vijfde: als in een regelmatig prisma de zijvlakken de vorm van vierkanten hebben, wordt zo'n figuur gewoonlijk een semi-regelmatige veelhoek genoemd.

Dwarsdoorsnede van het prisma

Laten we nu eens kijken naar de dwarsdoorsnede van het prisma:

Huiswerk

Laten we nu proberen het onderwerp dat we hebben geleerd te consolideren door problemen op te lossen.

Laten we een hellend driehoekig prisma tekenen, de afstand tussen de randen zal gelijk zijn aan: 3 cm, 4 cm en 5 cm, en het zijoppervlak van dit prisma zal gelijk zijn aan 60 cm2. Met deze parameters zoekt u de zijkant van dit prisma.

Weet jij dat? geometrische vormen We worden voortdurend omringd, niet alleen in meetkundelessen, maar ook in het dagelijks leven komen we objecten tegen die op een of andere geometrische figuur lijken.

Elk huis, school of werk heeft een computer waarvan de systeemeenheid de vorm heeft van een recht prisma.

Als je een eenvoudig potlood oppakt, zul je zien dat het grootste deel van het potlood een prisma is.

Als we door de centrale straat van de stad lopen, zien we dat onder onze voeten een tegel ligt die de vorm heeft van een zeshoekig prisma.

A. V. Pogorelov, Geometrie voor groep 7-11, Leerboek voor onderwijsinstellingen

Definitie.

Dit is een zeshoek waarvan de basis twee gelijke vierkanten is en de zijvlakken gelijke rechthoeken zijn

Zijrib- is de gemeenschappelijke zijde van twee aangrenzende zijvlakken

Prisma hoogte- dit is een segment loodrecht op de basis van het prisma

Prisma diagonaal- een segment dat twee hoekpunten van de bases verbindt die niet tot hetzelfde vlak behoren

Diagonaal vlak- een vlak dat door de diagonaal van het prisma en de zijranden ervan gaat

Diagonaal gedeelte- de grenzen van het snijpunt van het prisma en het diagonale vlak. De diagonale doorsnede van een normaal vierhoekig prisma is een rechthoek

Loodrechte doorsnede (orthogonale doorsnede)- dit is het snijpunt van een prisma en een vlak loodrecht op de zijkanten

Elementen van een regelmatig vierhoekig prisma

De figuur toont twee regelmatige vierhoekige prisma's, die worden aangegeven met de overeenkomstige letters:

• De bases ABCD en A 1 B 1 C 1 D 1 zijn gelijk en evenwijdig aan elkaar
• Zijvlakken AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C en CC 1 D 1 D, elk rechthoekig
• Zijvlak - de som van de gebieden van alle zijvlakken van het prisma
• Totaal oppervlak - de som van de oppervlakten van alle bases en zijvlakken (som van de oppervlakte van het zijoppervlak en de bases)
• Zijribben AA 1, BB 1, CC 1 en DD 1.
• Diagonaal B 1 D
• Basisdiagonaal BD
• Diagonale doorsnede BB 1 D 1 D
• Loodrechte doorsnede A 2 B 2 C 2 D 2.

Eigenschappen van een regelmatig vierhoekig prisma

• De basissen zijn twee gelijke vierkanten
• De basissen zijn evenwijdig aan elkaar
• De zijvlakken zijn rechthoeken
• De zijranden zijn gelijk aan elkaar
• De zijvlakken staan ​​loodrecht op de basis
• De laterale ribben zijn evenwijdig aan elkaar en gelijk
• Loodrechte doorsnede loodrecht op alle zijribben en evenwijdig aan de basis
• Hoeken van loodrechte doorsnede - recht
• De diagonale doorsnede van een normaal vierhoekig prisma is een rechthoek
• Loodrecht (orthogonale doorsnede) evenwijdig aan de basis

Formules voor een regelmatig vierhoekig prisma

Instructies voor het oplossen van problemen

Bij het oplossen van problemen over het onderwerp " regelmatig vierhoekig prisma"betekent dat:

Correct prisma- een prisma aan de basis waarvan een regelmatige veelhoek ligt, en de zijranden staan ​​loodrecht op de vlakken van de basis. Dat wil zeggen, een normaal vierhoekig prisma bevat aan de basis vierkant. (zie eigenschappen van een normaal vierhoekig prisma hierboven) Opmerking. Dit maakt deel uit van een les met meetkundeproblemen (sectie stereometrie - prisma). Hier zijn problemen die moeilijk op te lossen zijn. Als je een geometrieprobleem moet oplossen dat er niet is, schrijf er dan over op het forum. Om de actie van het ophalen aan te geven vierkantswortel het symbool wordt gebruikt bij het oplossen van problemen√ .

Taak.

In een normaal vierhoekig prisma is het basisoppervlak 144 cm 2 en de hoogte 14 cm. Bereken de diagonaal van het prisma en de totale oppervlakte.

Oplossing.
Een regelmatige vierhoek is een vierkant.
Dienovereenkomstig zal de zijkant van de basis gelijk zijn

√144=12cm.
Vanaf waar de diagonaal van de basis van een normaal rechthoekig prisma gelijk zal zijn
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

De diagonaal van een gewoon prisma vormt een rechthoekige driehoek met de diagonaal van de basis en de hoogte van het prisma. Dienovereenkomstig zal, volgens de stelling van Pythagoras, de diagonaal van een bepaald regelmatig vierhoekig prisma gelijk zijn aan:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Antwoord: 22 cm

Taak

Bepaal de totale oppervlakte van een normaal vierhoekig prisma als de diagonaal 5 cm is en de diagonaal van het zijvlak 4 cm.

Oplossing.
Omdat de basis van een normaal vierhoekig prisma een vierkant is, vinden we de zijkant van de basis (aangeduid als a) met behulp van de stelling van Pythagoras:

Een 2 + een 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

De hoogte van het zijvlak (aangegeven als h) is dan gelijk aan:

H2 + 12,5 = 4 2
u 2 + 12,5 = 16
u2 = 3,5
h = √3,5

De totale oppervlakte zal gelijk zijn aan de som van de laterale oppervlakte en tweemaal de basisoppervlakte

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

Antwoord: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

De basis van het prisma kan elke veelhoek zijn: driehoek, vierhoek, enz. Beide bases zijn absoluut identiek, en dienovereenkomstig zijn de hoeken van evenwijdige randen met elkaar verbonden altijd evenwijdig. Aan de basis van een regelmatig prisma ligt een regelmatige veelhoek, dat wil zeggen een veelhoek waarvan alle zijden gelijk zijn. Bij een recht prisma staan ​​de ribben tussen de zijvlakken loodrecht op de basis. In dit geval kan de basis van een recht prisma een veelhoek bevatten met een willekeurig aantal hoeken. Een prisma waarvan de basis een parallellogram is, wordt een parallellepipedum genoemd. Rechthoek - speciaal geval parallellogram. Als dit figuur aan de basis ligt en de zijvlakken loodrecht op de basis staan, wordt het parallellepipedum rechthoekig genoemd. De tweede naam voor dit geometrische lichaam is rechthoekig.

Hoe ziet ze eruit

Er zijn nogal wat rechthoekige prisma's in de omgeving van de moderne mens. Dit is bijvoorbeeld gewoon karton voor schoenen, computeronderdelen etc. Kijk rond. Zelfs in een kamer zie je waarschijnlijk veel rechthoekige prisma's. Dit omvat een computerkast, een boekenkast, een koelkast, een kledingkast en vele andere items. De vorm is vooral enorm populair omdat je hiermee het meeste uit je ruimte kunt halen, of je nu je interieur aan het inrichten bent of spullen in karton verpakt voordat je gaat verhuizen.

Eigenschappen van een rechthoekig prisma

Een rechthoekig prisma heeft een aantal specifieke eigenschappen. Elk paar vlakken kan als zodanig dienen, aangezien alle aangrenzende vlakken zich onder dezelfde hoek ten opzichte van elkaar bevinden, en deze hoek is 90°. Het volume en de oppervlakte van een rechthoekig prisma zijn gemakkelijker te berekenen dan enig ander prisma. Neem een ​​voorwerp dat de vorm heeft van een rechthoekig prisma. Meet de lengte, breedte en hoogte. Om het volume te vinden, vermenigvuldigt u deze metingen. Dat wil zeggen, de formule ziet er als volgt uit: V=a*b*h, waarbij V het volume is, a en b de zijkanten van de basis zijn, h de hoogte is die samenvalt met de zijkant van dit geometrische lichaam. Het basisoppervlak wordt berekend met de formule S1=a*b. Voor het zijoppervlak moet u eerst de omtrek van de basis berekenen met behulp van de formule P=2(a+b), en deze vervolgens vermenigvuldigen met de hoogte. De resulterende formule is S2=P*h=2(a+b)*h. Om de totale oppervlakte van een rechthoekig prisma te berekenen, telt u tweemaal het basisoppervlak en het zijoppervlak op. De formule is S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Lezing: Prisma, zijn basis, zijribben, hoogte, zijvlak; recht prisma; juiste prisma

Prisma

Als je bij ons hebt geleerd platte figuren uit eerdere vragen betekent dit dat je helemaal klaar bent om driedimensionale figuren te bestuderen. De eerste vaste stof die we zullen leren, zal een prisma zijn.

Prisma is een driedimensionaal lichaam met een groot aantal gezichten.

Deze figuur heeft aan de basis twee polygonen, die zich in evenwijdige vlakken bevinden, en alle zijvlakken hebben de vorm van een parallellogram.

Afb. 1. Afb. 2

Laten we dus eens kijken waaruit een prisma bestaat. Let hiervoor op figuur 1

Zoals eerder vermeld heeft een prisma twee bases die evenwijdig aan elkaar zijn: dit zijn de vijfhoeken ABCEF en GMNJK. Bovendien zijn deze polygonen gelijk aan elkaar.

Alle andere vlakken van het prisma worden laterale vlakken genoemd - ze bestaan ​​uit parallellogrammen. Bijvoorbeeld BMNC, AGKF, FKJE, enz.

Het totale oppervlak van alle zijvlakken wordt genoemd zijvlak.

Elk paar aangrenzende vlakken heeft een gemeenschappelijke zijde. Deze gemeenschappelijke zijde wordt een rand genoemd. Bijvoorbeeld MV, SE, AB, enz.

Als de bovenste en onderste basis van het prisma met elkaar zijn verbonden door een loodlijn, wordt dit de hoogte van het prisma genoemd. In de figuur is de hoogte gemarkeerd als een rechte lijn OO 1.

Er zijn twee hoofdtypen prisma's: schuin en recht.

Als de zijranden van het prisma niet loodrecht op de basis staan, wordt een dergelijk prisma genoemd van plan.

Als alle randen van een prisma loodrecht op de basis staan, wordt een dergelijk prisma genoemd direct.

Als de basis van een prisma regelmatige veelhoeken bevat (die met gelijke zijden), dan wordt zo’n prisma genoemd juist.

Als de bases van een prisma niet evenwijdig aan elkaar zijn, wordt zo'n prisma genoemd afgeknot.

Je kunt het zien in figuur 2

Formules voor het vinden van het volume en de oppervlakte van een prisma

Er zijn drie basisformules voor het vinden van volume. Ze verschillen van elkaar in de toepassing:

Soortgelijke formules voor het vinden van de oppervlakte van een prisma: