Algemene informatie over recht prisma

Het zijoppervlak van een prisma (meer precies: het zijoppervlak) wordt genoemd som gebieden van de zijvlakken. Het totale oppervlak van het prisma is gelijk aan de som van het zijoppervlak en de oppervlakten van de bases.

Stelling 19.1. Het zijoppervlak van een recht prisma is gelijk aan het product van de omtrek van de basis en de hoogte van het prisma, dat wil zeggen de lengte van de zijkant.

Bewijs. De zijvlakken van een recht prisma zijn rechthoeken. De basis van deze rechthoeken zijn de zijden van de veelhoek die aan de basis van het prisma liggen, en de hoogten zijn gelijk aan de lengte van de zijranden. Het volgt dat zijkant oppervlak prisma is gelijk

S = een 1 l + een 2 l + ... + een n l = pl,

waarbij a 1 en n de lengtes van de basisranden zijn, p de omtrek van de basis van het prisma is, en I de lengte van de zijranden. De stelling is bewezen.

Praktische taak

Probleem (22) . In een hellend prisma wordt het uitgevoerd sectie, loodrecht op de zijribben en alle zijribben kruisend. Zoek het zijoppervlak van het prisma als de omtrek van de dwarsdoorsnede gelijk is aan p en de zijranden gelijk zijn aan l.

Oplossing. Het vlak van de getekende doorsnede verdeelt het prisma in twee delen (Fig. 411). Laten we een ervan onderwerpen aan een parallelle vertaling, waarbij we de bases van het prisma combineren. In dit geval verkrijgen we een recht prisma, waarvan de basis de dwarsdoorsnede is van het originele prisma, en de zijranden gelijk zijn aan l. Dit prisma heeft hetzelfde zijvlak als het origineel. Het zijoppervlak van het oorspronkelijke prisma is dus gelijk aan pl.

Samenvatting van het behandelde onderwerp

Laten we nu proberen het onderwerp dat we hebben besproken over prisma’s samen te vatten en te onthouden welke eigenschappen een prisma heeft.

Prisma-eigenschappen

Ten eerste heeft een prisma al zijn bases als gelijke veelhoeken;
Ten tweede zijn bij een prisma alle zijvlakken parallellogrammen;
Ten derde zijn in zo'n veelzijdige figuur als een prisma alle zijranden gelijk;

Houd er ook rekening mee dat veelvlakken zoals prisma's recht of schuin kunnen zijn.

Welk prisma wordt een recht prisma genoemd?

Als de zijkant van een prisma loodrecht op het vlak van de basis staat, wordt zo'n prisma een recht prisma genoemd.

Het zou niet overbodig zijn om eraan te herinneren dat de zijvlakken van een recht prisma rechthoeken zijn.

Welk type prisma wordt schuin genoemd?

Maar als de zijkant van een prisma niet loodrecht op het vlak van de basis staat, kunnen we gerust zeggen dat het een hellend prisma is.

Welk prisma wordt correct genoemd?

Als een regelmatige veelhoek aan de basis van een recht prisma ligt, dan is zo'n prisma regelmatig.

Laten we nu de eigenschappen onthouden die een gewoon prisma heeft.

Eigenschappen van een regulier prisma

Ten eerste: altijd redenen juiste prisma dienen regelmatige veelhoeken;
Ten tweede: als we de zijvlakken van een gewoon prisma beschouwen, zijn het altijd gelijke rechthoeken;
Ten derde, als je de afmetingen van de zijribben vergelijkt, dan zijn ze in een gewoon prisma altijd gelijk.
Ten vierde is een correct prisma altijd recht;
Ten vijfde: als in een regelmatig prisma de zijvlakken de vorm van vierkanten hebben, wordt zo'n figuur gewoonlijk een semi-regelmatige veelhoek genoemd.

Dwarsdoorsnede van het prisma

Laten we nu eens kijken naar de dwarsdoorsnede van het prisma:

Huiswerk

Laten we nu proberen het onderwerp dat we hebben geleerd te consolideren door problemen op te lossen.

Laten we een hellend driehoekig prisma tekenen, de afstand tussen de randen zal gelijk zijn aan: 3 cm, 4 cm en 5 cm, en het zijoppervlak van dit prisma zal gelijk zijn aan 60 cm2. Met deze parameters zoekt u de zijkant van dit prisma.

Weet je dat geometrische figuren We worden voortdurend omringd, niet alleen in meetkundelessen, maar ook in het dagelijks leven komen we objecten tegen die op een of andere geometrische figuur lijken.

Elk huis, school of werk heeft een computer waarvan de systeemeenheid de vorm heeft van een recht prisma.

Als je een eenvoudig potlood oppakt, zul je zien dat het grootste deel van het potlood een prisma is.

Als we door de centrale straat van de stad lopen, zien we dat onder onze voeten een tegel ligt die de vorm heeft van een zeshoekig prisma.

A. V. Pogorelov, Geometrie voor groep 7-11, Leerboek voor onderwijsinstellingen

Definitie 1. Prismatisch oppervlak
Stelling 1. Op evenwijdige doorsneden van een prismatisch oppervlak
Definitie 2. Loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak
Definitie 3. Prisma
Definitie 4. Prismahoogte
Definitie 5. Rechterprisma
Stelling 2. Het gebied van het zijoppervlak van het prisma

Parallellepipedum:
Definitie 6. Parallellepipedum
Stelling 3. Op het snijpunt van de diagonalen van een parallellepipedum
Definitie 7. Rechter parallellepipedum
Definitie 8. Rechthoekig parallellepipedum
Definitie 9. Metingen van een parallellepipedum
Definitie 10. Kubus
Definitie 11. Rhomboëder
Stelling 4. Op de diagonalen van een rechthoekig parallellepipedum
Stelling 5. Volume van een prisma
Stelling 6. Volume van een recht prisma
Stelling 7. Volume van een rechthoekig parallellepipedum

Prisma is een veelvlak waarvan de twee vlakken (bases) in evenwijdige vlakken liggen, en de randen die niet in deze vlakken liggen evenwijdig aan elkaar.
Andere gezichten dan de bases worden genoemd lateraal.
De zijkanten van de zijvlakken en bases worden genoemd prisma ribben, worden de uiteinden van de randen genoemd de hoekpunten van het prisma. Laterale ribben randen die niet tot de bases behoren, worden genoemd. De vereniging van zijvlakken wordt genoemd zijvlak van het prisma, en de vereniging van alle gezichten wordt genoemd het volledige oppervlak van het prisma. Prisma hoogte heet de loodlijn die valt van het punt van de bovenste basis naar het vlak van de onderste basis of de lengte van deze loodlijn. Direct prisma een prisma genoemd waarvan de zijribben loodrecht op de vlakken van de basis staan. Juist een recht prisma genoemd (Fig. 3), aan de basis waarvan een regelmatige veelhoek ligt.

Benamingen:
l - zijrib;
P - basisomtrek;
S o - basisgebied;
H - hoogte;
P^ - loodrechte doorsnedeomtrek;
Sb - lateraal oppervlak;
V-volume;
Sp is de oppervlakte van het totale oppervlak van het prisma.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Definitie 1 . Een prismatisch oppervlak is een figuur gevormd door delen van verschillende vlakken evenwijdig aan één rechte lijn, begrensd door de rechte lijnen waarlangs deze vlakken elkaar achtereenvolgens snijden*; deze lijnen zijn evenwijdig aan elkaar en worden genoemd randen van het prismatische oppervlak.
*Er wordt aangenomen dat elke twee opeenvolgende vlakken elkaar snijden en dat het laatste vlak het eerste snijdt

Stelling 1 . Delen van een prismatisch oppervlak met vlakken evenwijdig aan elkaar (maar niet evenwijdig aan de randen) zijn gelijke veelhoeken.
Laat ABCDE en A"B"C"D"E" gedeelten zijn van een prismatisch oppervlak met twee evenwijdige vlakken. Om er zeker van te zijn dat deze twee veelhoeken gelijk zijn, volstaat het aan te tonen dat de driehoeken ABC en A"B"C" gelijk zijn en dezelfde draairichting hebben en hetzelfde geldt voor de driehoeken ABD en A"B"D", ABE en A"B"E". Maar de overeenkomstige zijden van deze driehoeken zijn evenwijdig (AC is bijvoorbeeld evenwijdig aan AC), zoals de snijlijn van een bepaald vlak met twee evenwijdige vlakken; hieruit volgt dat deze zijden gelijk zijn (AC is bijvoorbeeld gelijk aan A"C"), zoals tegenoverliggende zijden van een parallellogram, en dat de hoeken gevormd door deze zijden gelijk zijn en dezelfde richting hebben.

Definitie 2 . Een loodrechte doorsnede van een prismatisch oppervlak is een doorsnede van dit oppervlak door een vlak loodrecht op de randen ervan. Gebaseerd op de vorige stelling zullen alle loodrechte secties van hetzelfde prismatische oppervlak gelijke polygonen zijn.

Definitie 3 . Een prisma is een veelvlak dat wordt begrensd door een prismatisch oppervlak en twee vlakken evenwijdig aan elkaar (maar niet evenwijdig aan de randen van het prismatische oppervlak)
De gezichten die in deze laatste vlakken liggen, worden opgeroepen prisma-basissen; vlakken die tot het prismatische oppervlak behoren - zijvlakken; randen van het prismatische oppervlak - zijribben van het prisma. Op grond van de vorige stelling is de basis van het prisma dat gelijke veelhoeken. Alle zijvlakken van het prisma - parallellogrammen; alle zijribben zijn gelijk aan elkaar.
Als de basis van het prisma ABCDE en een van de randen AA" in grootte en richting worden gegeven, is het uiteraard mogelijk een prisma te construeren door de randen BB", CC", ... gelijk en evenwijdig aan de rand AA" te tekenen. .

Definitie 4 . De hoogte van een prisma is de afstand tussen de vlakken van zijn basis (HH").

Definitie 5 . Een prisma wordt recht genoemd als de basis ervan loodrechte delen van het prismatische oppervlak zijn. In dit geval is de hoogte van het prisma natuurlijk de hoogte ervan zijrib; de zijranden zullen zijn rechthoeken.
Prisma's kunnen worden geclassificeerd op basis van het aantal zijvlakken dat gelijk is aan het aantal zijden van de veelhoek die als basis dient. Prisma's kunnen dus driehoekig, vierhoekig, vijfhoekig, enz. zijn.

Stelling 2 . Het oppervlak van het zijoppervlak van het prisma is gelijk aan het product van de zijrand en de omtrek van het loodrechte gedeelte.
Laat ABCDEA"B"C"D"E" een gegeven prisma zijn en abcde de loodrechte doorsnede ervan, zodat de segmenten ab, bc, .. loodrecht op de zijranden staan. Het vlak ABA"B" is een parallellogram; de oppervlakte ervan is gelijk aan het product van de basis AA " tot een hoogte die samenvalt met ab; het oppervlak van het vlak ВСВ "С" is gelijk aan het product van de basis ВВ" met de hoogte bc, enz. Bijgevolg is het zijoppervlak (d.w.z. de som van de oppervlakken van de zijvlakken) gelijk aan het product van de zijrand, dat wil zeggen de totale lengte van de segmenten AA", ВВ", .., voor de hoeveelheid ab+bc+cd+de+ea.

De videocursus “Get an A” omvat alle onderwerpen die nodig zijn om succesvol te zijn slagen voor het Unified State Exam in wiskunde voor 60-65 punten. Volledig alle problemen 1-13 Profiel Uniform staatsexamen wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basic Unified State Examination in wiskunde. Als je het Unified State Exam met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het Unified State Exam voor groep 10-11, maar ook voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het Unified State Exam in wiskunde (de eerste 12 problemen) en probleem 13 (trigonometrie) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Exam, en noch een student met 100 punten, noch een student in de geesteswetenschappen kan zonder deze punten.

Alle benodigde theorie. Snelle manieren oplossingen, valkuilen en geheimen van het Unified State Exam. Alle huidige taken van deel 1 uit de FIPI Task Bank zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het Unified State Exam 2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanaf het begin gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden Unified State Exam-taken. Woordproblemen en waarschijnlijkheidstheorie. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten Unified State Examination-taken. Stereometrie. Lastige trucs oplossingen, nuttige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeeldingskracht. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Duidelijke uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Een basis voor het oplossen van complexe problemen van deel 2 van het Unified State Exam.

Prisma. Parallellepipedum

Prisma is een veelvlak waarvan de twee zijden gelijke n-hoeken zijn (bases) , liggend in evenwijdige vlakken, en de overige n vlakken zijn parallellogrammen (zijvlakken) . Laterale rib De zijde van een prisma die niet tot de basis behoort, wordt de zijde van het prisma genoemd.

Een prisma waarvan de zijranden loodrecht op de vlakken van de basis staan, wordt genoemd direct prisma (Fig. 1). Als de zijranden niet loodrecht op de vlakken van de basis staan, wordt het prisma genoemd van plan . Juist Een prisma is een recht prisma waarvan de basis regelmatige veelhoeken is.

Hoogte prisma is de afstand tussen de vlakken van de bases. Diagonaal Een prisma is een segment dat twee hoekpunten verbindt die niet tot hetzelfde vlak behoren. Diagonaal gedeelte wordt een doorsnede van een prisma genoemd door een vlak dat door twee zijranden loopt die niet tot hetzelfde vlak behoren. Loodrechte doorsnede wordt een gedeelte van een prisma genoemd door een vlak loodrecht op de zijkant van het prisma.

Zijdelingse oppervlakte van een prisma is de som van de oppervlakten van alle zijvlakken. Totale oppervlakte wordt de som van de oppervlakten van alle vlakken van het prisma genoemd (d.w.z. de som van de oppervlakten van de zijvlakken en de oppervlakten van de basissen).

Voor een willekeurig prisma zijn de volgende formules waar::

Waar l– lengte van de zijrib;

H- hoogte;

P

Q

S-kant

S vol

S-basis– oppervlakte van de bases;

V– volume van het prisma.

Voor een recht prisma zijn de volgende formules correct:

Waar P– basisomtrek;

l– lengte van de zijrib;

H- hoogte.

parallellepipedum wordt een prisma genoemd waarvan de basis een parallellogram is. Een parallellepipedum waarvan de zijkanten loodrecht op de basis staan, wordt genoemd direct (Fig. 2). Als de zijkanten niet loodrecht op de basis staan, wordt het parallellepipedum genoemd van plan . Een recht parallellepipedum waarvan de basis een rechthoek is, wordt genoemd rechthoekig. Een rechthoekig parallellepipedum waarvan alle randen gelijk zijn, wordt genoemd kubus

De vlakken van een parallellepipedum die geen gemeenschappelijke hoekpunten hebben, worden genoemd tegenovergestelde . De lengtes van randen die uit één hoekpunt komen, worden genoemd afmetingen parallellepipedum. Omdat een parallellepipedum een ​​prisma is, worden de belangrijkste elementen ervan op dezelfde manier gedefinieerd als voor prisma's.

Stellingen.

1. De diagonalen van een parallellepipedum snijden elkaar op één punt en delen het in tweeën.

2. In een rechthoekig parallellepipedum is het kwadraat van de lengte van de diagonaal gelijk aan de som van de vierkanten van de drie dimensies:

3. Alle vier de diagonalen van een rechthoekig parallellepipedum zijn gelijk aan elkaar.

Voor een willekeurig parallellepipedum gelden de volgende formules:

Waar l– lengte van de zijrib;

H- hoogte;

P– loodrechte doorsnedeomtrek;

Q– Loodrecht dwarsdoorsnedeoppervlak;

S-kant– zijoppervlak;

S vol– totale oppervlakte;

S-basis– oppervlakte van de bases;

V– volume van het prisma.

Voor een rechter parallellepipedum zijn de volgende formules correct:

Waar P– basisomtrek;

l– lengte van de zijrib;

H– hoogte van een rechter parallellepipedum.

Voor een rechthoekig parallellepipedum zijn de volgende formules correct:

(3)

Waar P– basisomtrek;

H- hoogte;

D– diagonaal;

abc– metingen van een parallellepipedum.

De volgende formules zijn correct voor een kubus:

Waar A– riblengte;

D- diagonaal van de kubus.

Voorbeeld 1. De diagonaal van een rechthoekig parallellepipedum is 33 dm, en de afmetingen zijn in de verhouding 2: 6: 9. Zoek de afmetingen van het parallellepipedum.

Oplossing. Om de afmetingen van het parallellepipedum te vinden, gebruiken we formule (3), d.w.z. door het feit dat het kwadraat van de hypotenusa van een balk gelijk is aan de som van de kwadraten van zijn afmetingen. Laten we aanduiden met k evenredigheidsfactor. Dan zijn de afmetingen van het parallellepipedum gelijk aan 2 k, 6k en 9 k. Laten we formule (3) schrijven voor de probleemgegevens:

Het oplossen van deze vergelijking voor k, we krijgen:

Dit betekent dat de afmetingen van het parallellepipedum 6 dm, 18 dm en 27 dm zijn.

Antwoord: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Voorbeeld 2. Zoek het volume van een hellend driehoekig prisma, waarvan de basis een gelijkzijdige driehoek is met een zijde van 8 cm, als de zijkant gelijk is aan de zijkant van de basis en onder een hoek van 60 graden met de basis helt.

Oplossing . Laten we een tekening maken (Fig. 3).

Om het volume van een hellend prisma te vinden, moet u het gebied van de basis en de hoogte kennen. De oppervlakte van de basis van dit prisma is de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met een zijde van 8 cm. Laten we het berekenen:

De hoogte van een prisma is de afstand tussen de bases. Vanaf het begin A 1 van de bovenste basis, laat de loodlijn op het vlak van de onderste basis zakken A 1 D. De lengte is de hoogte van het prisma. Denk aan D A 1 ADVERTENTIE: aangezien dit de hellingshoek van de zijkant is A 1 A naar het basisvlak, A 1 A= 8 cm Uit deze driehoek vinden we A 1 D:

Nu berekenen we het volume met behulp van formule (1):

Antwoord: 192cm3.

Voorbeeld 3. De zijrand van een regelmatig zeshoekig prisma is 14 cm, de oppervlakte van het grootste diagonale gedeelte is 168 cm2. Zoek het totale oppervlak van het prisma.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 4)

Het grootste diagonale gedeelte is een rechthoek AA 1 DD 1 sinds diagonaal ADVERTENTIE regelmatige zeshoek ABCDEF is de grootste. Om het laterale oppervlak van het prisma te berekenen, is het noodzakelijk om de zijkant van de basis en de lengte van de zijkant te kennen.

Als we het gebied van het diagonale gedeelte (rechthoek) kennen, vinden we de diagonaal van de basis.

Sindsdien

Sindsdien AB= 6 cm.

De omtrek van de basis is dan:

Laten we het gebied van het zijoppervlak van het prisma vinden:

De oppervlakte van een regelmatige zeshoek met zijde 6 cm is:

Zoek het totale oppervlak van het prisma:

Antwoord:

Voorbeeld 4. De basis van een rechter parallellepipedum is een ruit. De diagonale dwarsdoorsneden bedragen 300 cm2 en 875 cm2. Zoek het gebied van het zijoppervlak van het parallellepipedum.

Oplossing. Laten we een tekening maken (Fig. 5).

Laten we de zijkant van de ruit aangeven met A, diagonalen van een ruit D 1 en D 2, parallellepipedumhoogte H. Om het gebied van het zijoppervlak van een rechter parallellepipedum te vinden, is het noodzakelijk om de omtrek van de basis te vermenigvuldigen met de hoogte: (formule (2)). Basisomtrek p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, omdat ABCD- ruit H = AA 1 = H. Dat. Moet vinden A En H.

Laten we diagonale secties bekijken. AA 1 SS 1 – een rechthoek waarvan één zijde de diagonaal van een ruit is AC = D 1, tweede – zijkant AA 1 = H, Dan

Zo ook voor de sectie BB 1 DD 1 wij krijgen:

Door gebruik te maken van de eigenschap van een parallellogram zodat de som van de kwadraten van de diagonalen gelijk is aan de som van de kwadraten van al zijn zijden, verkrijgen we de gelijkheid. We verkrijgen het volgende.