Phân biệt đối xử tiêu cực có nghĩa là gì? Giải phương trình bậc hai với phân biệt âm

Phương trình bậc hai - dễ giải! *Sau đây gọi là “KU”. Các bạn ơi, có vẻ như trong toán học không có gì đơn giản hơn việc giải một phương trình như vậy. Nhưng có điều gì đó mách bảo tôi rằng nhiều người có vấn đề với anh ấy. Tôi quyết định xem Yandex đưa ra bao nhiêu lần hiển thị theo yêu cầu mỗi tháng. Đây là những gì đã xảy ra, hãy nhìn xem:

Nó có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là có khoảng 70.000 người mỗi tháng đang tìm kiếm thông tin này, mùa hè này có liên quan gì đến nó và điều gì sẽ xảy ra giữa năm học- sẽ có số lượng yêu cầu gấp đôi. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì những chàng trai, cô gái đã tốt nghiệp ra trường từ lâu và đang chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất đang tìm kiếm thông tin này, và các em học sinh cũng cố gắng ôn lại trí nhớ.

Mặc dù thực tế là có rất nhiều trang web hướng dẫn bạn cách giải phương trình này, nhưng tôi vẫn quyết định đóng góp và xuất bản tài liệu này. Đầu tiên, tôi muốn khách truy cập đến trang web của tôi dựa trên yêu cầu này; thứ hai, trong các bài viết khác, khi đề cập đến chủ đề “KU”, tôi sẽ cung cấp đường dẫn đến bài viết này; thứ ba, tôi sẽ cho bạn biết thêm một chút về giải pháp của anh ấy so với những gì thường được nêu trên các trang khác. Bắt đầu nào! Nội dung của bài viết:

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng:

trong đó hệ số a,bvà c là các số tùy ý, với a≠0.

Trong khóa học ở trường, tài liệu được đưa ra dưới dạng sau - các phương trình được chia thành ba lớp:

1. Họ có hai gốc rễ.

2. *Chỉ có một gốc.

3. Họ không có rễ. Điều đặc biệt cần lưu ý ở đây là chúng không có gốc rễ thực sự.

Gốc được tính như thế nào? Chỉ!

Chúng tôi tính toán sự phân biệt đối xử. Bên dưới từ “khủng khiếp” này là một công thức rất đơn giản:

Các công thức gốc như sau:

*Bạn cần phải thuộc lòng các công thức này.

Bạn có thể viết ngay ra và giải:

Ví dụ:

1. Nếu D > 0 thì phương trình có hai nghiệm.

2. Nếu D = 0 thì phương trình có một nghiệm.

3. Nếu D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Chúng ta hãy nhìn vào phương trình:

Về vấn đề này, khi phân biệt đối xử bằng 0, khóa học ở trường nói rằng lấy được một căn, ở đây nó bằng chín. Mọi thứ đều đúng, nó là vậy, nhưng...

Ý tưởng này có phần không đúng. Thực ra có hai gốc. Vâng, vâng, đừng ngạc nhiên, bạn có hai căn bằng nhau, và để chính xác về mặt toán học thì câu trả lời phải viết là hai căn:

x 1 = 3 x 2 = 3

Nhưng điều này là như vậy - một sự lạc đề nhỏ. Ở trường bạn có thể viết nó ra và nói rằng có một gốc.

Bây giờ là ví dụ tiếp theo:

Như chúng ta đã biết, căn nguyên của số âm không thể lấy được nên không có giải pháp nào trong trường hợp này.

Đó là toàn bộ quá trình quyết định.

Hàm bậc hai.

Điều này cho thấy giải pháp trông như thế nào về mặt hình học. Điều này cực kỳ quan trọng để hiểu (trong tương lai, trong một trong các bài viết chúng tôi sẽ phân tích chi tiết giải pháp cho bất đẳng thức bậc hai).

Đây là một chức năng của hình thức:

trong đó x và y là các biến

a, b, c – cho trước các số có a ≠ 0

Đồ thị là một parabol:

Nghĩa là, hóa ra bằng cách giải phương trình bậc hai với “y” bằng 0, chúng ta tìm được giao điểm của parabol với trục x. Có thể có hai trong số các điểm này (điểm phân biệt là dương), một (điểm phân biệt là 0) và không có điểm nào (điểm phân biệt là âm). Thông tin chi tiết về hàm bậc hai Bạn có thể xem bài viết của Inna Feldman.

Hãy xem xét các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Đáp án: x 1 = 8 x 2 = –12

*Có thể chia ngay vế trái và vế phải của phương trình cho 2, nghĩa là đơn giản hóa nó. Việc tính toán sẽ dễ dàng hơn.

Ví dụ 2: Quyết định x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Chúng tôi tìm thấy x 1 = 11 và x 2 = 11

Có thể viết x = 11 vào đáp án.

Đáp án: x = 11

Ví dụ 3: Quyết định x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Phân biệt đối xử là âm, không có giải pháp bằng số thực.

Trả lời: không có giải pháp

Sự phân biệt đối xử là tiêu cực. Có một giải pháp!

Ở đây chúng ta sẽ nói về việc giải phương trình trong trường hợp thu được phân biệt âm. Bạn có biết gì về số phức không? Ở đây tôi sẽ không đi vào chi tiết về lý do và nơi chúng xuất hiện cũng như vai trò và sự cần thiết cụ thể của chúng trong toán học là gì; đây là chủ đề cho một bài viết riêng biệt.

Khái niệm số phức.

Một chút lý thuyết.

Số phức z là số có dạng

z = a + bi

trong đó a và b là số thực, i được gọi là đơn vị ảo.

a+bi – đây là SỐ ĐƠN, không phải là số cộng.

Đơn vị ảo bằng căn của trừ một:

Bây giờ hãy xem xét phương trình:

Chúng ta có được hai rễ liên hợp.

Phương trình bậc hai không đầy đủ.

Hãy xem xét các trường hợp đặc biệt, đây là khi hệ số “b” hoặc “c” bằng 0 (hoặc cả hai đều bằng 0). Chúng có thể được giải quyết dễ dàng mà không có bất kỳ sự phân biệt đối xử nào.

Trường hợp 1. Hệ số b = 0.

Phương trình trở thành:

Hãy chuyển đổi:

Ví dụ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Trường hợp 2. Hệ số c = 0.

Phương trình trở thành:

Hãy biến đổi và nhân tử hóa:

*Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0.

Ví dụ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 hoặc x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Trường hợp 3. Hệ số b = 0 và c = 0.

Ở đây rõ ràng là nghiệm của phương trình sẽ luôn là x = 0.

Các tính chất hữu ích và mô hình hệ số.

Có những tính chất cho phép bạn giải phương trình có hệ số lớn.

MỘTx 2 + bx+ c=0 sự bình đẳng giữ

Một + b+ c = 0, Cái đó

- nếu xét các hệ số của phương trình MỘTx 2 + bx+ c=0 sự bình đẳng giữ

Một+ c =b, Cái đó

Những tính chất này giúp giải quyết một loại phương trình nhất định.

Ví dụ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Tổng tỷ lệ cược là 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, nghĩa là

Ví dụ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Bình đẳng giữ vững Một+ c =b, Có nghĩa

Sự đều đặn của các hệ số.

1. Nếu trong phương trình ax 2 + bx + c = 0, hệ số “b” bằng (a 2 +1) và hệ số “c” bằng hệ số “a” thì nghiệm của nó bằng

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 => x 1 = –a x 2 = –1/a.

Ví dụ. Xét phương trình 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Nếu trong phương trình ax 2 – bx + c = 0, hệ số “b” bằng (a 2 +1), và hệ số “c” bằng hệ số “a” thì nghiệm của nó bằng

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 => x 1 = a x 2 = 1/a.

Ví dụ. Xét phương trình 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Nếu trong phương trình. ax 2 + bx – c = 0 hệ số “b” bằng (a 2 – 1), và hệ số “c” về số lượng bằng hệ số “a”, thì gốc của nó bằng nhau

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 => x 1 = – a x 2 = 1/a.

Ví dụ. Xét phương trình 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Nếu trong phương trình ax 2 – bx – c = 0 hệ số “b” bằng (a 2 – 1), và hệ số c bằng hệ số “a” thì nghiệm của nó bằng

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 => x 1 = a x 2 = – 1/a.

Ví dụ. Xét phương trình 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Định lý Vieta.

Định lý Vieta được đặt theo tên của nhà toán học nổi tiếng người Pháp Francois Vieta. Sử dụng định lý Vieta, chúng ta có thể biểu diễn tổng và tích các nghiệm của một KU tùy ý theo các hệ số của nó.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Tổng cộng, số 14 chỉ cho 5 và 9. Đây là những gốc. Với một kỹ năng nhất định, sử dụng định lý đã trình bày, bạn có thể giải bằng miệng nhiều phương trình bậc hai ngay lập tức.

Ngoài ra còn có định lý Vieta. thuận tiện ở chỗ sau khi giải phương trình bậc hai theo cách thông thường(thông qua phân biệt) các nghiệm kết quả có thể được kiểm tra. Tôi khuyên bạn nên làm điều này luôn.

PHƯƠNG THỨC VẬN CHUYỂN

Với phương pháp này, hệ số “a” được nhân với số hạng tự do, như thể được “ném” vào nó, đó là lý do tại sao nó được gọi là phương pháp “chuyển giao”. Phương pháp này được sử dụng khi có thể dễ dàng tìm thấy nghiệm của phương trình bằng định lý Vieta và quan trọng nhất là khi phân biệt đối xử là một bình phương chính xác.

Nếu như MỘT± b+c≠ 0 thì kỹ thuật truyền được sử dụng, ví dụ:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Áp dụng định lý Vieta vào phương trình (2), dễ dàng xác định được x 1 = 10 x 2 = 1

Các nghiệm kết quả của phương trình phải được chia cho 2 (vì cả hai được “ném” từ x 2), ta có

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Lý do là gì? Hãy nhìn xem chuyện gì đang xảy ra.

Các biệt thức của phương trình (1) và (2) bằng nhau:

Nếu bạn nhìn vào nghiệm của các phương trình, bạn chỉ nhận được các mẫu số khác nhau và kết quả phụ thuộc chính xác vào hệ số x 2:

Cái thứ hai (đã sửa đổi) có rễ lớn gấp 2 lần.

Do đó, chúng tôi chia kết quả cho 2.

*Nếu chúng tôi quay lại ba, chúng tôi sẽ chia kết quả cho 3, v.v.

Đáp án: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie và Kỳ thi Thống nhất.

Tôi sẽ nói ngắn gọn với bạn về tầm quan trọng của nó - BẠN PHẢI CÓ KHẢ NĂNG QUYẾT ĐỊNH nhanh chóng và không cần suy nghĩ, bạn cần thuộc lòng các công thức căn và phân biệt. Nhiều bài toán có trong các nhiệm vụ của Kỳ thi Thống nhất Tiểu bang tập trung vào việc giải phương trình bậc hai (bao gồm cả các phương trình hình học).

Một cái gì đó đáng chú ý!

1. Hình thức viết phương trình có thể là “ẩn”. Ví dụ: có thể nhập mục sau:

15+ 9x 2 - 45x = 0 hoặc 15x+42+9x 2 - 45x=0 hoặc 15 -5x+10x 2 = 0.

Bạn cần phải đưa anh ta đến chế độ xem chuẩn(để không bị nhầm lẫn khi quyết định).

2. Hãy nhớ rằng x là một đại lượng chưa biết và nó có thể được ký hiệu bằng bất kỳ chữ cái nào khác - t, q, p, h và các chữ cái khác.

SỐ PHỨC XI

§ 253. Trích xuất căn bậc hai từ số âm.
Giải phương trình bậc hai với phân biệt âm

Như chúng ta biết,

Tôi 2 = - 1.

Đồng thời

(- Tôi ) 2 = (- 1 Tôi ) 2 = (- 1) 2 Tôi 2 = -1.

Như vậy, có ít nhất hai giá trị căn bậc hai của - 1, đó là Tôi Và - Tôi . Nhưng có lẽ còn có một số số phức khác có bình phương bằng -1?

Để làm rõ câu hỏi này, giả sử rằng bình phương của một số phức một + bi bằng - 1. Khi đó

(một + bi ) 2 = - 1,

MỘT 2 + 2abi - b 2 = - 1

Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và hệ số phần ảo của chúng bằng nhau. Đó là lý do tại sao

{	MỘT 2 - b 2 = - 1 bụng = 0 (1)

Theo phương trình thứ hai của hệ (1), ít nhất một trong các số MỘT Và b phải bằng không. Nếu như b = 0 thì từ phương trình đầu tiên ta có MỘT 2 = - 1. Số MỘT thực tế, và do đó MỘT 2 > 0. Số không âm MỘT 2 không thể bằng số âm- 1. Vì thế bình đẳng b = 0 là không thể trong trường hợp này. Vẫn phải thừa nhận rằng MỘT = 0, nhưng từ phương trình đầu tiên của hệ ta thu được: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Do đó, số phức duy nhất có bình phương bằng -1 là Tôi Và - Tôi , Thông thường, điều này được viết dưới dạng:

√-1 = ± Tôi .

Sử dụng lý luận tương tự, học sinh có thể bị thuyết phục rằng có chính xác hai số có bình phương bằng số âm - MỘT . Những số như vậy là √ Một Tôi và -√ Một Tôi . Thông thường, nó được viết như thế này:

√- MỘT = ± √ Một Tôi .

Dưới √ Một ở đây chúng tôi muốn nói đến một phép tính số học, tức là căn số dương. Ví dụ: √4 = 2, √9 =.3; Đó là lý do tại sao

√-4 = + 2Tôi , √-9 = ± 3 Tôi

Nếu trước đây, khi xét phương trình bậc hai với phân biệt âm, chúng ta nói rằng những phương trình đó không có nghiệm thì bây giờ chúng ta không thể nói như vậy nữa. phương trình bậc hai với những phân biệt đối xử tiêu cực có nguồn gốc phức tạp. Những rễ này thu được theo các công thức mà chúng ta đã biết. Ví dụ, hãy cho phương trình x 2 + 2X + 5 = 0; Sau đó

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 Tôi .

Vì vậy, phương trình này có hai nghiệm: X 1 = - 1 +2Tôi , X 2 = - 1 - 2Tôi . Những rễ này liên hợp lẫn nhau. Thật thú vị khi lưu ý rằng tổng của chúng là - 2 và tích của chúng là 5, nên định lý Vieta đúng.

Bài tập

2022. (Bộ số) Giải các phương trình:

MỘT) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; tại 3 x 2 = - 5.

2023. Tìm tất cả các số phức có bình phương bằng nhau:

MỘT) Tôi ; b) 1/2 - √ 3/2 Tôi ;

2024. Giải phương trình bậc hai:

MỘT) x 2 - 2x + 2 = 0; B 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Giải hệ phương trình (số 2025, 2026):

{	x+y = 6 xy = 45

{	2x- 3y = 1 xy = 1

2027. Chứng minh rằng nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực và phân biệt âm là liên hợp lẫn nhau.

2028. Chứng minh định lý Vieta đúng với mọi phương trình bậc hai, không chỉ đúng với phương trình có phân biệt không âm.

2029. Lập phương trình bậc hai với các hệ số thực có nghiệm là:

Một) X 1 = 5 - Tôi , X 2 = 5 + Tôi ; b) X 1 = 3Tôi , X 2 = - 3Tôi .

2030. Viết phương trình bậc hai với các hệ số thực, một trong các nghiệm của nó bằng (3 - Tôi ) (2Tôi - 4).

2031. Lập phương trình bậc hai với các hệ số thực, một trong các nghiệm của nó bằng 32 - Tôi
1- 3Tôi .

Các bài toán phương trình bậc hai được nghiên cứu cả trong chương trình giảng dạy ở trường và trong các trường đại học. Chúng có nghĩa là các phương trình có dạng a*x^2 + b*x + c = 0, trong đó x- biến, a, b, c – hằng số; Một<>0 . Nhiệm vụ là tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Ý nghĩa hình học của phương trình bậc hai

Đồ thị của hàm số được biểu diễn bằng phương trình bậc hai là một parabol. Nghiệm (gốc) của phương trình bậc hai là giao điểm của parabol với trục hoành (x). Theo sau đó có ba trường hợp có thể xảy ra:
1) parabol không có điểm giao nhau với trục hoành. Điều này có nghĩa là nó nằm ở mặt phẳng phía trên với các nhánh hướng lên hoặc phía dưới với các nhánh hướng xuống. Trong những trường hợp như vậy, phương trình bậc hai không có nghiệm thực (nó có hai nghiệm phức).

2) parabol có một điểm giao nhau với trục Ox. Một điểm như vậy được gọi là đỉnh của parabol và phương trình bậc hai tại điểm đó đạt được giá trị tối thiểu hoặc tối đa. Trong trường hợp này, phương trình bậc hai có một nghiệm thực (hoặc hai nghiệm giống nhau).

3) Trường hợp cuối cùng thú vị hơn trong thực tế - có hai điểm giao nhau của parabol với trục hoành. Điều này có nghĩa là có hai nghiệm thực của phương trình.

Dựa trên việc phân tích các hệ số lũy thừa của các biến, có thể rút ra những kết luận thú vị về vị trí của parabol.

1) Nếu hệ số a lớn hơn 0 thì các nhánh của parabol hướng lên trên, nếu a âm thì các nhánh của parabol hướng xuống dưới.

2) Nếu hệ số b lớn hơn 0 thì đỉnh của parabol nằm ở nửa mặt phẳng bên trái, nếu nó nhận giá trị âm thì nằm ở nửa mặt phẳng bên phải.

Dẫn xuất công thức giải phương trình bậc hai

Hãy chuyển hằng số từ phương trình bậc hai

đối với dấu bằng, ta có biểu thức

Nhân cả hai vế với 4a

Để sang trái ô vuông hoàn hảo thêm b^2 vào cả hai vế và thực hiện phép biến đổi

Từ đây chúng ta tìm thấy

Công thức phân biệt và nghiệm của phương trình bậc hai

Phân biệt là giá trị của biểu thức căn, nếu dương thì phương trình có hai nghiệm thực, được tính theo công thức Khi biệt thức bằng 0, phương trình bậc hai có một nghiệm (hai nghiệm trùng nhau), có thể dễ dàng thu được từ công thức trên với D=0. Khi biệt thức âm, phương trình không có nghiệm thực. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình bậc hai được tìm thấy trong mặt phẳng phức và giá trị của chúng được tính bằng công thức

Định lý Vieta

Chúng ta hãy xem xét hai nghiệm của một phương trình bậc hai và xây dựng một phương trình bậc hai trên cơ sở của chúng. Bản thân định lý Vieta dễ dàng suy ra từ ký hiệu: nếu chúng ta có phương trình bậc hai có dạng khi đó tổng các nghiệm của nó bằng hệ số p lấy với dấu ngược lại, và tích các nghiệm của phương trình bằng số hạng tự do q. Biểu diễn công thức của biểu thức trên sẽ giống như Nếu trong một phương trình cổ điển, hằng số a khác 0, thì bạn cần chia toàn bộ phương trình cho nó rồi áp dụng định lý Vieta.

Phân tích biểu thức phương trình bậc hai

Hãy đặt nhiệm vụ: nhân một phương trình bậc hai. Để làm điều này, trước tiên chúng ta giải phương trình (tìm nghiệm). Tiếp theo, chúng ta thay các nghiệm tìm được vào công thức khai triển của phương trình bậc hai, điều này sẽ giải được bài toán.

Các bài toán về phương trình bậc hai

Nhiệm vụ 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

x^2-26x+120=0 .

Giải pháp: Viết các hệ số và thay chúng vào công thức phân biệt

Gốc rễ của giá trị đã cho bằng 14, rất dễ tìm bằng máy tính hoặc ghi nhớ khi sử dụng thường xuyên, tuy nhiên, để thuận tiện, ở cuối bài tôi sẽ cung cấp cho các bạn danh sách các bình phương các số thường gặp trong các bài toán như vậy.
Chúng tôi thay thế giá trị tìm thấy vào công thức gốc

và chúng tôi nhận được

Nhiệm vụ 2. Giải phương trình

2x2 +x-3=0.

Giải: Ta có phương trình bậc hai đầy đủ, viết các hệ số và tìm phân biệt


Qua công thức đã biết tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai

Nhiệm vụ 3. Giải phương trình

9x 2 -12x+4=0.

Giải: Ta có phương trình bậc hai đầy đủ. Xác định sự phân biệt đối xử

Chúng tôi có một trường hợp gốc trùng nhau. Tìm giá trị của rễ bằng công thức

Nhiệm vụ 4. Giải phương trình

x^2+x-6=0 .

Lời giải: Trong trường hợp x có hệ số nhỏ thì nên áp dụng định lý Vieta. Theo điều kiện của nó ta thu được hai phương trình

Từ điều kiện thứ hai chúng ta thấy rằng tích phải bằng -6. Điều này có nghĩa là một trong các nghiệm âm. Chúng ta có các cặp nghiệm khả thi sau đây (-3;2), (3;-2) . Khi tính đến điều kiện đầu tiên, chúng tôi bác bỏ cặp giải pháp thứ hai.
Các nghiệm của phương trình đều bằng nhau

Bài 5. Tìm độ dài các cạnh của một hình chữ nhật nếu chu vi của nó là 18 cm và diện tích của nó là 77 cm 2.

Lời giải: Một nửa chu vi hình chữ nhật bằng tổng các cạnh kề của nó. Hãy biểu thị x là cạnh lớn hơn, khi đó 18-x là cạnh nhỏ hơn của nó. Diện tích của hình chữ nhật bằng tích của các độ dài sau:
x(18-x)=77;
hoặc
x 2 -18x+77=0.
Hãy tìm phân biệt của phương trình

Tính nghiệm của phương trình

Nếu như x=11, Cái đó 18's=7 ,điều ngược lại cũng đúng (nếu x=7 thì 21’s=9).

Bài 6. Phân tích nhân tử của phương trình bậc hai 10x 2 -11x+3=0.

Giải: Hãy tính nghiệm của phương trình, để làm được điều này chúng ta tìm phân biệt

Chúng tôi thay thế giá trị tìm thấy vào công thức gốc và tính toán

Ta áp dụng công thức phân tích phương trình bậc hai theo nghiệm

Mở ngoặc chúng ta có được một danh tính.

Phương trình bậc hai có tham số

Ví dụ 1. Tại giá trị tham số nào MỘT , phương trình (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 có một nghiệm không?

Giải: Bằng cách thay trực tiếp giá trị a=3 ta thấy rằng nó vô nghiệm. Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng thực tế là với phân biệt bằng 0, phương trình có một nghiệm là bội số 2. Hãy viết ra sự phân biệt

Hãy đơn giản hóa nó và đánh đồng nó bằng 0

Chúng ta đã thu được một phương trình bậc hai đối với tham số a, nghiệm của phương trình này có thể dễ dàng thu được bằng định lý Vieta. Tổng của các nghiệm là 7 và tích của chúng là 12. Bằng cách tìm kiếm đơn giản, chúng tôi xác định được rằng các số 3,4 sẽ là nghiệm của phương trình. Vì chúng ta đã bác bỏ nghiệm a=3 khi bắt đầu tính toán nên nghiệm đúng duy nhất sẽ là - a=4. Vì vậy, với a=4 phương trình có một nghiệm.

Ví dụ 2. Ở giá trị tham số nào MỘT , phương trình a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 có nhiều hơn một gốc?

Giải: Trước tiên chúng ta xét các điểm kỳ dị, chúng sẽ có giá trị a=0 và a=-3. Khi a=0, phương trình sẽ được đơn giản hóa thành dạng 6x-9=0; x=3/2 và sẽ có một gốc. Với a= -3 chúng ta thu được đẳng thức 0=0.
Hãy tính độ phân biệt

và tìm giá trị của a tại đó nó dương

Từ điều kiện đầu tiên chúng ta nhận được a>3. Đối với phần thứ hai, chúng ta tìm ra biệt thức và nghiệm của phương trình


Chúng ta hãy xác định các khoảng trong đó hàm nhận giá trị dương. Thay điểm a=0 ta được 3>0 . Vì vậy, bên ngoài khoảng (-3;1/3) hàm số âm. Đừng quên điểm a=0, nên loại trừ vì phương trình ban đầu có một nghiệm trong đó.
Kết quả ta thu được hai khoảng thỏa mãn điều kiện của bài toán

Sẽ có nhiều nhiệm vụ tương tự trong thực tế, hãy cố gắng tự mình tìm ra các nhiệm vụ và đừng quên tính đến các điều kiện loại trừ lẫn nhau. Nghiên cứu kỹ các công thức giải phương trình bậc hai, chúng thường cần thiết trong tính toán các bài toán và khoa học khác nhau.

Ví dụ: đối với tam thức \(3x^2+2x-7\), phân biệt sẽ bằng \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Và đối với tam thức \(x^2-5x+11\), nó sẽ bằng \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Phân biệt được ký hiệu bằng chữ \(D\) và thường được sử dụng trong việc giải. Ngoài ra, bằng giá trị của phân biệt đối xử, bạn có thể hiểu biểu đồ trông như thế nào (xem bên dưới).

Phân biệt và nghiệm của phương trình

Giá trị phân biệt thể hiện số phương trình bậc hai:
- nếu \(D\) dương thì phương trình sẽ có hai nghiệm;
- nếu \(D\) bằng 0 – chỉ có một nghiệm;
- nếu \(D\) âm thì không có nghiệm.

Điều này không cần phải dạy, không khó để đi đến kết luận như vậy, chỉ cần biết rằng từ phân biệt (tức là \(\sqrt(D)\) được đưa vào công thức tính nghiệm của phương trình : \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) và \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\). Hãy xem xét từng trường hợp chi tiết hơn .

Nếu sự phân biệt là tích cực

Trong trường hợp này, gốc của nó là một số dương nào đó, có nghĩa là \(x_(1)\) và \(x_(2)\) sẽ có ý nghĩa khác nhau, vì trong công thức đầu tiên \(\sqrt(D)\ ) được cộng vào và ở lần thứ hai nó bị trừ đi. Và chúng ta có hai nguồn gốc khác nhau.

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình \(x^2+2x-3=0\)
Giải pháp :

Trả lời : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Nếu giá trị phân biệt bằng 0

Sẽ có bao nhiêu nghiệm nếu biệt thức bằng 0? Hãy lý luận.

Các công thức gốc trông như thế này: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) và \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Và nếu biệt thức bằng 0 thì nghiệm của nó cũng bằng 0. Sau đó hóa ra:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Nghĩa là, các giá trị nghiệm của phương trình sẽ giống nhau, vì việc cộng hoặc trừ số 0 không làm thay đổi gì cả.

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình \(x^2-4x+4=0\)
Giải pháp :

\(x^2-4x+4=0\)		Chúng tôi viết ra các hệ số:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Chúng tôi tính toán phân biệt bằng công thức \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Tìm nghiệm nguyên của phương trình
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Chúng ta có hai gốc giống hệt nhau, vì vậy không có ích gì khi viết chúng riêng biệt - chúng ta viết chúng thành một.

Trả lời : \(x=2\)

Phân biệt đối xử là một thuật ngữ có nhiều giá trị. Trong bài này chúng ta sẽ nói về khả năng phân biệt của đa thức, cho phép bạn xác định xem đa thức đã cho các giải pháp hợp lệ. Công thức của đa thức bậc hai được tìm thấy trong khóa học đại số và giải tích ở trường. Làm thế nào để tìm ra người phân biệt đối xử? Để giải phương trình cần những gì?

Đa thức bậc hai hoặc phương trình bậc hai được gọi là i * w ^ 2 + j * w + k bằng 0, trong đó “i” và “j” lần lượt là hệ số thứ nhất và thứ hai, “k” là một hằng số, đôi khi được gọi là “thuật ngữ bác bỏ” và “w” là một biến. Gốc của nó sẽ là tất cả các giá trị của biến mà tại đó nó biến thành danh tính. Đẳng thức như vậy có thể được viết lại thành tích của i, (w - w1) và (w - w2) bằng 0. Trong trường hợp này, hiển nhiên là nếu hệ số “i” không bằng 0 thì hàm trên phía bên trái sẽ chỉ bằng 0 nếu x nhận giá trị w1 hoặc w2. Các giá trị này là kết quả của việc đặt đa thức bằng 0.

Để tìm giá trị của một biến tại đó đa thức bậc hai biến mất, một cấu trúc phụ trợ được sử dụng, xây dựng trên các hệ số của nó và được gọi là phân biệt. Thiết kế này được tính theo công thức D bằng j*j - 4*i*k. Tại sao nó được sử dụng?

1. Nó cho biết liệu có kết quả hợp lệ hay không.
2. Cô ấy giúp tính toán chúng.

Giá trị này cho thấy sự hiện diện của rễ thực sự như thế nào:

• Nếu nó dương thì có thể tìm thấy hai nghiệm trong vùng số thực.
• Nếu biệt thức bằng 0 thì cả hai nghiệm đều giống nhau. Có thể nói rằng chỉ có một nghiệm duy nhất, đó là từ trường số thực.
• Nếu biệt thức nhỏ hơn 0 thì đa thức không có nghiệm thực.

Các phương án tính toán để cố định vật liệu

Với tổng (7 * w^2; 3 * w; 1) bằng 0 Chúng tôi tính D bằng công thức 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, chúng tôi nhận được -19. Giá trị phân biệt dưới 0 cho biết rằng không có kết quả nào trên dòng thực tế.

Nếu chúng ta coi 2 * w^2 - 3 * w + 1 tương đương với 0, thì D được tính bằng (-3) bình phương trừ tích các số (4; 2; 1) và bằng 9 - 8, tức là 1. Giá trị dương cho biết có hai kết quả trên dòng thực.

Nếu chúng ta lấy tổng (w ^ 2; 2 * w; 1) và đánh đồng nó bằng 0, D được tính bằng hai bình phương trừ đi tích của các số (4; 1; 1). Biểu thức này sẽ đơn giản hóa thành 4 - 4 và tiến về 0. Hóa ra kết quả là như nhau. Nếu bạn nhìn kỹ vào công thức này, bạn sẽ thấy rõ rằng đây là một “hình vuông hoàn chỉnh”. Điều này có nghĩa là đẳng thức có thể được viết lại dưới dạng (w + 1) ^ 2 = 0. Rõ ràng kết quả của bài toán này là “-1”. Trong trường hợp D bằng 0, vế trái của đẳng thức luôn có thể được thu gọn bằng cách sử dụng công thức “bình phương của tổng”.

Sử dụng phân biệt trong tính toán gốc

Công trình phụ trợ này không chỉ hiển thị số lượng giải pháp thực tế mà còn giúp tìm ra chúng. Công thức tính tổng quát của phương trình bậc hai là:

w = (-j +/- d) / (2 * i), trong đó d là phân biệt lũy thừa của 1/2.

Giả sử mức phân biệt đối xử thấp hơn điểm không, thì d là ảo và kết quả là ảo.

D bằng 0 thì d bằng D lũy thừa 1/2 cũng bằng 0. Giải: -j/(2*i). Lại xét 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, ta thấy kết quả tương đương -2 / (2 * 1) = -1.

Giả sử D > 0 thì d là số thực và câu trả lời ở đây chia thành hai phần: w1 = (-j + d) / (2 * i) và w2 = (-j - d) / (2 * i ) . Cả hai kết quả sẽ hợp lệ. Hãy xét 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Ở đây phân biệt và d là một. Hóa ra w1 bằng (3 + 1) chia cho (2 * 2) hoặc 1, và w2 bằng (3 - 1) chia cho 2 * 2 hoặc 1/2.

Kết quả của việc đánh đồng một biểu thức bậc hai về 0 được tính theo thuật toán:

1. Xác định số lượng giải pháp hợp lệ.
2. Tính d = D^(1/2).
3. Tìm kết quả theo công thức (-j +/- d)/(2*i).
4. Thay kết quả thu được vào đẳng thức ban đầu để kiểm chứng.

Một số trường hợp đặc biệt

Tùy thuộc vào các hệ số, lời giải có thể được đơn giản hóa phần nào. Rõ ràng, nếu hệ số của một biến theo lũy thừa bậc hai bằng 0 thì thu được đẳng thức tuyến tính. Khi hệ số của biến lũy thừa bậc nhất bằng 0 thì có thể có hai lựa chọn:

1. đa thức được mở rộng thành hiệu bình phương khi số hạng tự do âm;
2. với hằng số dương thì không thể tìm được nghiệm thực sự.

Nếu số hạng tự do bằng 0 thì nghiệm sẽ là (0; -j)

Nhưng có những trường hợp đặc biệt khác giúp đơn giản hóa việc tìm ra giải pháp.

Phương trình bậc hai rút gọn

Cái đã cho được gọi là một tam thức bậc hai như vậy, trong đó hệ số của số hạng dẫn đầu là một. Đối với tình huống này, định lý Vieta có thể áp dụng được, trong đó nêu rằng tổng các nghiệm bằng hệ số của biến lũy thừa bậc một, nhân với -1 và tích tương ứng với hằng số “k”.

Do đó, w1 + w2 bằng -j và w1 * w2 bằng k nếu hệ số đầu tiên là một. Để xác minh tính đúng đắn của cách biểu diễn này, bạn có thể biểu thị w2 = -j - w1 từ công thức đầu tiên và thay thế nó vào đẳng thức thứ hai w1 * (-j - w1) = k. Kết quả là đẳng thức ban đầu w1^2 + j * w1 + k = 0.

Điều quan trọng cần lưu ý, mà i * w ^ 2 + j * w + k = 0 có thể đạt được bằng cách chia cho “i”. Kết quả sẽ là: w^2 + j1 * w + k1 = 0, trong đó j1 bằng j/i và k1 bằng k/i.

Hãy xem xét 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 đã được giải với kết quả là w1 = 1 và w2 = 1/2. Chúng ta cần chia nó làm đôi, kết quả là w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Hãy kiểm tra xem các điều kiện của định lý có đúng với kết quả tìm được không: 1 + 1/2 = 3/ 2 và 1*1/2 = 1/2.

Yếu tố thứ hai

Nếu hệ số của một biến có lũy thừa bậc nhất (j) chia hết cho 2, khi đó có thể đơn giản hóa công thức và tìm nghiệm thông qua một phần tư phân biệt D/4 = (j / 2)^2 - i * k. hóa ra w = (-j +/- d/2) / i, trong đó d/2 = D/4 lũy thừa 1/2.

Nếu i = 1 và hệ số j chẵn thì nghiệm sẽ là tích của -1 và một nửa hệ số của biến w, cộng/trừ căn bậc hai của nửa này trừ đi hằng số “k”. Công thức: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Thứ tự phân biệt cao hơn

Phân biệt của tam thức bậc hai được thảo luận ở trên là được sử dụng phổ biến nhất trương hợp đặc biệt. Trong trường hợp tổng quát, phân biệt của đa thức là nhân bình phương của hiệu các nghiệm của đa thức này. Do đó, giá trị phân biệt bằng 0 cho biết sự hiện diện của ít nhất hai nghiệm bội.

Xét i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Giả sử giá trị phân biệt vượt quá 0. Điều này có nghĩa là có ba nghiệm trong vùng số thực. Tại số 0 có nhiều giải pháp. Nếu D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Băng hình

Video của chúng tôi sẽ cho bạn biết chi tiết về cách tính phân biệt đối xử.

Không nhận được câu trả lời cho câu hỏi của bạn? Đề xuất một chủ đề cho các tác giả.