Giải quyết so sánh bậc một. Giải các phép so sánh và ứng dụng Tại sao chúng ta cần so sánh các số theo modulo?

Nội dung.

Giới thiệu

§1. So sánh mô-đun

§2. Thuộc tính so sánh

1. Thuộc tính so sánh độc lập với mô-đun
2. Thuộc tính so sánh phụ thuộc vào mô-đun

§3. Hệ thống khấu trừ

1. Hệ thống khấu trừ đầy đủ
2. Giảm hệ thống khấu trừ

§4. Định lý Euler và Fermat

1. Hàm Euler
2. Định lý Euler và Fermat

Chương 2. Lý thuyết so sánh với một biến

§1. Các khái niệm cơ bản liên quan đến giải quyết so sánh

1. Nguồn gốc của sự so sánh
2. Sự tương đương của so sánh
3. Định lý Wilson

§2. So sánh mức độ đầu tiên và giải pháp của họ

1. Phương pháp lựa chọn
2. phương pháp Euler
3. Phương pháp thuật toán Euclid
4. Phương pháp phân số tiếp tục

§3. Hệ thống so sánh bậc 1 với ẩn số

§4. Phân chia so sánh các bậc cao hơn

§5. Rễ và chỉ số chống vi trùng

1. Thứ tự lớp khấu trừ
2. Rễ nguyên thủy modulo nguyên tố
3. Chỉ số modulo nguyên tố

Chương 3. Ứng dụng lý thuyết so sánh

§1. Dấu hiệu của sự phân chia

§2. Kiểm tra kết quả của các phép tính

§3. Chuyển đổi một phân số thông thường thành một phân số cuối cùng

phân số hệ thống thập phân

Phần kết luận

Văn học

Giới thiệu

Trong cuộc sống chúng ta thường xuyên phải giải quyết các số nguyên và các bài toán liên quan đến chúng. Trong luận án này tôi xem xét lý thuyết so sánh các số nguyên.

Hai số nguyên có hiệu là bội của một số tự nhiên cho trước tôi được gọi là có thể so sánh được trong mô đun m.

Từ "mô-đun" xuất phát từ mô-đun Latin, trong tiếng Nga có nghĩa là "đo lường", "cường độ".

Câu “a có thể so sánh được với b modulo m” thường được viết dưới dạng ab (mod m) và được gọi là so sánh.

Định nghĩa về so sánh đã được hình thành trong cuốn sách “Nghiên cứu số học” của K. Gauss. Tác phẩm này viết bằng tiếng Latin bắt đầu được in từ năm 1797, nhưng cuốn sách chỉ được xuất bản vào năm 1801 do quá trình in ấn vào thời điểm đó cực kỳ tốn nhiều công sức và thời gian. Phần đầu tiên trong cuốn sách của Gauss có tên là: “Về việc so sánh các con số nói chung”.

Việc so sánh rất thuận tiện để sử dụng trong trường hợp đủ để biết trong một số nghiên cứu các con số chính xác đến bội số của một số nhất định.

Ví dụ: nếu chúng ta quan tâm đến chữ số nào của khối số nguyên a kết thúc bằng, thì chúng ta chỉ cần biết tối đa bội số của 10 là đủ và chúng ta có thể sử dụng phép so sánh modulo 10.

Mục đích của công việc này là xem xét lý thuyết so sánh và nghiên cứu các phương pháp cơ bản để giải quyết so sánh với ẩn số, cũng như nghiên cứu ứng dụng lý thuyết so sánh vào toán học phổ thông.

Luận án bao gồm ba chương, mỗi chương được chia thành các đoạn văn, và các đoạn văn thành các đoạn văn.

Chương đầu tiên trình bày những vấn đề chung của lý thuyết so sánh. Ở đây chúng ta xem xét khái niệm so sánh modulo, tính chất của so sánh, hệ dư lượng đầy đủ và rút gọn, hàm Euler, định lý Euler và Fermat.

Chương thứ hai dành cho lý thuyết so sánh với những điều chưa biết. Nó nêu các khái niệm cơ bản liên quan đến việc giải so sánh, xem xét các phương pháp giải so sánh bậc một (phương pháp chọn lọc, phương pháp Euler, phương pháp thuật toán Euclide, phương pháp phân số liên tục, sử dụng chỉ số), hệ thống so sánh bậc một. với một ẩn số, so sánh ở mức độ cao hơn, v.v.

Chương thứ ba trình bày một số ứng dụng của lý thuyết số vào toán học phổ thông. Các dấu hiệu chia hết, kiểm tra kết quả của các hành động và chuyển đổi các phân số thông thường thành phân số thập phân có hệ thống được xem xét.

Việc trình bày tài liệu lý thuyết đi kèm với một số lượng lớn các ví dụ tiết lộ bản chất của các khái niệm và định nghĩa được giới thiệu.

Chương 1. Các câu hỏi chung của lý thuyết so sánh

§1. So sánh mô-đun

Cho z là vành các số nguyên, m là một số nguyên cố định, và m·z là tập hợp tất cả các số nguyên là bội số của m.

Định nghĩa 1. Hai số nguyên a và b được gọi là so sánh được theo modulo m nếu m chia hết a-b.

Nếu hai số a và b so sánh được theo modulo m thì viết a b (mod m).

Điều kiện một b (mod m) có nghĩa là a-b chia hết cho m.

a b (mod m)↔(a-b) m

Ta hãy định nghĩa rằng quan hệ so sánh modulo m trùng với quan hệ so sánh modulo (-m) (chia hết cho m tương đương với chia hết cho –m). Do đó, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng m>0.

Ví dụ.

Định lý. (dấu hiệu so sánh được của các số tinh thần modulo m): Hai số nguyên a và b so sánh được theo modulo m khi và chỉ khi a và b có cùng số dư khi chia cho m.

Bằng chứng.

Giả sử số dư khi chia a và b cho m bằng nhau, tức là a=mq₁+r,(1)

B=mq₂+r, (2)

Trong đó 0
m.

Trừ (2) từ (1), ta được a-b= m(q₁- q₂), tức là a-b m hoặc a b (mod m).

Ngược lại, hãy để một b (mod m). Điều này có nghĩa là a-b m hoặc a-b=mt, t z (3)

Chia b cho m; ta được b=mq+r trong (3), ta sẽ có a=m(q+t)+r, nghĩa là khi chia a cho m thì có cùng số dư như khi chia b cho m.

Ví dụ.

5=4·(-2)+3

23=4·5+3

24=3·8+0

10=3·3+1

Định nghĩa 2. Hai hoặc nhiều số có số dư giống nhau khi chia cho m được gọi là số dư bằng nhau hoặc có thể so sánh được với modulo m.

Ví dụ.

Ta có: 2m+1-(m+1)²= 2m+1 - m²-2m-1=- m², và (- m²) chia cho m => so sánh của chúng ta là chính xác.

1. Chứng minh rằng các so sánh sau là sai:

Nếu các số có thể so sánh được theo modulo m thì chúng có cùng gcd với nó.

Ta có: 4=2·2, 10=2·5, 25=5·5

GCD(4,10) = 2, GCD(25,10) = 5 nên so sánh của chúng ta sai.

§2. Thuộc tính so sánh

1. Thuộc tính so sánh độc lập với mô-đun.

Nhiều tính chất của so sánh tương tự như tính chất của đẳng thức.

a) tính phản xạ: aa (mod m) (bất kỳ số nguyên nào Một có thể so sánh được với chính nó theo modulo m);

B) tính đối xứng: nếu a b (mod m), rồi b a (mod m);

C) tính bắc cầu: nếu a b (mod m), và b với (mod m), sau đó a với (mod m).

Bằng chứng.

Theo điều kiện m/(a-b) và m/ (c-d). Do đó, m/(a-b)+(c-d), m/(a+c)-(b+d) => a+c b+d (mod m).

Ví dụ.

Tìm số dư khi chia lúc 13 giờ.

Lời giải: -1 (mod 13) và 1 (mod 13), sau đó (-1)+1 0 (mod 13), tức là phần còn lại của phép chia lúc 13 là 0.

a-c b-d (mod m).

Bằng chứng.

Theo điều kiện m/(a-b) và m/(c-d). Do đó, m/(a-b)-(c-d), m/(a-c)-(b-d) => (a-c) b-d (mod m).

1. (là hệ quả của tính chất 1, 2, 3). Bạn có thể thêm cùng một số nguyên vào cả hai vế của phép so sánh.

Bằng chứng.

Hãy để một b (mod m) và k – bất kỳ số nguyên nào. Theo tính chất phản xạ

k=k (mod m), và theo tính chất 2 và 3 chúng ta có a+k b+k (mod m).

a·c·d (mod m).

Bằng chứng.

Theo điều kiện, a-b є mz, c-d є mz. Do đó a·c-b·d = (a·c - b·c)+(b·c- b·d)=(a-b)·c+b·(c-d) є mz, tức là a·c·d (mod m).

Kết quả. Cả hai vế của phép so sánh có thể được nâng lên cùng lũy ​​thừa số nguyên không âm: nếu ab (mod m) và s là số nguyên không âm thì a s b s (mod m).

Ví dụ.

Lời giải: rõ ràng là 13 1 (mod 3)

2 -1 (mô hình 3)

5 -1 (mod 3), sau đó

- · 1-1 0 (mod 13)

Trả lời: số dư cần tìm bằng 0 và A chia hết cho 3.

Giải pháp:

Hãy chứng minh rằng 1+ 0(mod13) hoặc 1+ 0(mod 13)

1+ =1+ 1+ =

Vì 27 1 (mod 13), nên 1+ 1+1·3+1·9 (mod 13).

vân vân.

3. Tìm số dư khi chia cho số dư lúc 24.

Chúng tôi có: 1 (mod 24), vì vậy

1 (mod 24)

Thêm 55 vào cả hai vế của phép so sánh, chúng ta nhận được:

(mod 24).

Chúng ta có: (mod 24), do đó

(mod 24) với mọi k є N.

Kể từ đây (mod 24). Vì (-8)16(mod 24), số dư cần thiết là 16.

1. Cả hai vế của phép so sánh có thể được nhân với cùng một số nguyên.

2.Tính chất so sánh tùy theo mô-đun.

Bằng chứng.

Vì a b (mod t) nên (a - b) t Và vì t n. , thì do tính bắc cầu của quan hệ chia hết(a - b n), tức là a b (mod n).

Ví dụ.

Tìm số dư khi chia 196 cho 7.

Giải pháp:

Biết rằng 196= , chúng ta có thể viết 196(sửa đổi 14). Hãy sử dụng thuộc tính trước đó, 14 7, ta được 196 (mod 7), tức là 196 7.

1. Cả hai vế của phép so sánh và môđun có thể được nhân với cùng một số nguyên dương.

Bằng chứng.

Giả sử a b (mod t ) và c là số nguyên dương. Khi đó a-b = mt và ac-bc=mtc, hoặc ac bc (mod mc).

Ví dụ.

Xác định xem giá trị của biểu thức có phải là một số nguyên.

Giải pháp:

Hãy biểu diễn các phân số dưới dạng so sánh: 4(mod 3)

1 (mod 9)

31 (mod 27)

Hãy cộng các phép so sánh này theo từng số hạng (thuộc tính 2), chúng ta được 124(mod 27) Ta thấy rằng 124 không phải là số nguyên chia hết cho 27, do đó ý nghĩa của biểu thứccũng không phải là số nguyên.

1. Cả hai vế của phép so sánh có thể được chia cho thừa số chung của chúng nếu nó nguyên tố cùng nhau với môđun.

Bằng chứng.

Nếu ca cb (mod m), tức là m/c(a-b) và số Với nguyên tố cùng nhau với m, (c,m)=1, thì m chia a-b. Kể từ đây, ab (mod t).

Ví dụ.

60 9 (mod 17), sau khi chia cả hai vế so sánh cho 3, chúng ta nhận được:

20 (sửa đổi 17).

Nói chung, không thể chia cả hai vế của phép so sánh cho một số không nguyên tố cùng nhau với môđun, vì sau khi chia, có thể thu được các số không thể so sánh được với một môđun đã cho.

Ví dụ.

8 (mod 4), nhưng 2 (mod 4).

1. Cả hai vế của phép so sánh và mô đun có thể được chia cho ước số chung của chúng.

Bằng chứng.

Nếu ka kb (mod km) thì k(a-b) chia cho km. Do đó, a-b chia hết cho m, tức là ab (mod t).

Bằng chứng.

Giả sử P(x) = c 0 x n + c 1 x n-1 + ... + c n-1 x+ c n. Theo điều kiện a b (mod t) thì

a k b k (mod m) với k = 0, 1, 2, …,n. Nhân cả hai vế của mỗi phép so sánh n+1 thu được với c n-k , chúng tôi nhận được:

c n-k a k c n-k b k (mod m), trong đó k = 0, 1, 2, …,n.

Cộng các so sánh cuối cùng, chúng ta nhận được: P (a) P(b) (mod m). Nếu a (mod m) và c i d i (mod m), 0  i n, thì

(mod m). Do đó, trong so sánh theo modulo m, các số hạng và thừa số riêng lẻ có thể được thay thế bằng các số có thể so sánh được theo modulo m.

Đồng thời, bạn nên chú ý đến thực tế là các số mũ tìm được trong phép so sánh không thể thay thế theo cách này: từ

a n c(mod m) và n k(mod m) nó không tuân theo điều đó a ks (mod m).

Tính chất 11 có một số ứng dụng quan trọng. Đặc biệt, với sự trợ giúp của nó, người ta có thể đưa ra lời giải thích về mặt lý thuyết cho dấu hiệu chia hết. Để minh họa, làm ví dụ, chúng tôi đưa ra đạo hàm của phép thử chia hết cho 3.

Ví dụ.

Mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn dưới dạng số hệ thống: N = a 0 10 n + a 1 10 n-1 + ... + a n-1 10 + a n .

Xét đa thức f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x+a n . Bởi vì

10 1 (mod 3), sau đó theo tính chất 10 f (10) f(1) (mod 3) hoặc

N = a 0 10 n + a 1 10 n-1 + ... + a n-1 10 + a n a 1 + a 2 +…+ a n-1 + a n (mod 3), tức là để N chia hết cho 3 thì điều cần và đủ là tổng các chữ số của số này chia hết cho 3.

§3. Hệ thống khấu trừ

1. Hệ thống khấu trừ đầy đủ.

Các số còn lại bằng nhau, hoặc, giống nhau, có thể so sánh được theo modulo m, tạo thành một lớp các số theo modulo m.

Từ định nghĩa này, suy ra rằng tất cả các số trong lớp tương ứng với cùng phần dư r, và chúng ta nhận được tất cả các số trong lớp nếu, ở dạng mq+r, chúng ta đặt q chạy qua tất cả các số nguyên.

Theo đó, với m giá trị khác nhau của r, ta có m lớp số modulo m.

Bất kỳ số nào của một lớp được gọi là phần dư modulo m đối với tất cả các số thuộc cùng một lớp. Phần dư thu được tại q=0, bằng phần dư r, được gọi là phần dư không âm nhỏ nhất.

Phần dư ρ, giá trị tuyệt đối nhỏ nhất, được gọi là phần dư nhỏ nhất tuyệt đối.

Rõ ràng, với r chúng ta có ρ=r; tại r> chúng ta có ρ=r-m; cuối cùng, nếu m chẵn và r=, thì bất kỳ số nào trong hai số đều có thể được coi là ρ và -m= - .

Chúng ta hãy chọn từ mỗi loại dư lượng modulo T một số tại một thời điểm Chúng tôi nhận được t số nguyên: x 1,…, x m. Tập hợp (x 1,…, x t) được gọi là hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh modulo m.

Vì mỗi lớp chứa vô số dư lượng, nên có thể tạo ra vô số hệ dư lượng hoàn chỉnh khác nhau cho một mô-đun m cho trước, mỗi mô-đun chứa t các khoản khấu trừ.

Ví dụ.

Soạn thảo một số hệ thống khấu trừ modulo hoàn chỉnh T = 5. Ta có các lớp: 0, 1, 2, 3, 4.

0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}

1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}

Hãy tạo một số hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh, lấy một khoản khấu trừ từ mỗi lớp:

0, 1, 2, 3, 4

5, 6, 2, 8, 9

10, -9, -8, -7, -6

5, -4, -3, -2, -1

vân vân.

Phổ biến nhất:

1. Hệ thống đầy đủ các dư lượng không âm nhỏ nhất: 0, 1, t -1 Trong ví dụ trên: 0, 1, 2, 3, 4. Hệ dư lượng này rất dễ tạo: bạn cần viết ra tất cả các số dư không âm thu được khi chia cho m.
2. Hệ thống hoàn chỉnh của dư lượng ít tích cực nhất(số tiền khấu trừ dương nhỏ nhất được lấy từ mỗi lớp):

1, 2, …, m. Trong ví dụ của chúng tôi: 1, 2, 3, 4, 5.

1. Một hệ thống hoàn chỉnh với các khoản khấu trừ tối thiểu.Trong trường hợp m lẻ, các phần dư nhỏ nhất tuyệt đối được biểu diễn cạnh nhau.

- ,…, -1, 0, 1,…, ,

và trong trường hợp m chẵn, một trong hai hàng

1, …, -1, 0, 1,…, ,

, …, -1, 0, 1, …, .

Trong ví dụ đã cho: -2, -1, 0, 1, 2.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các tính chất cơ bản của hệ thống dư lượng hoàn chỉnh.

Định lý 1 . Bất kỳ tập hợp m số nguyên nào:

x l ,x 2 ,…,x m (1)

theo cặp modulo m không thể so sánh được, tạo thành một hệ dư lượng hoàn chỉnh theo modulo m.

Bằng chứng.

1. Mỗi số trong tập hợp (1) thuộc về một lớp nhất định.
2. Hai số bất kỳ x i và x j từ (1) không thể so sánh được với nhau, tức là chúng thuộc các lớp khác nhau.
3. Có m số trong (1), tức là, cùng số với có các lớp modulo T.

x 1, x 2,…, x t - hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh modulo m.

Định lý 2. Đặt (a, m) = 1, b - số nguyên tùy ý; sau đó nếu x 1, x 2,…, x t là một hệ dư lượng đầy đủ modulo m, khi đó tập hợp các số ax 1 + b, ax 2 + b,…, ax m + b cũng là một hệ dư lượng đầy đủ modulo m.

Bằng chứng.

Hãy xem xét

Ax 1+b, ax 2+b,…, ax m+b (2)

1. Mỗi số trong tập hợp (2) thuộc về một lớp nhất định.
2. Hai số bất kỳ ax i +b và ax j + b từ (2) không thể so sánh được với nhau, nghĩa là chúng thuộc các lớp khác nhau.

Thật vậy, nếu trong (2) tồn tại hai số sao cho

ax tôi +b ax j + b (mod m), (i = j), thì ta sẽ nhận được rìu tôi rìu j (mod t). Vì (a,t) = 1 thì tính chất của phép so sánh có thể rút gọn cả hai phần của phép so sánh bằng MỘT . Ta được x i x j (mod m).

Theo điều kiện x i x j (mod t) tại (i = j) , vì x 1, x 2, ..., xm - một hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh.

1. Tập hợp số (2) chứa T số, tức là có bao nhiêu lớp theo modulo m.

Vậy ax 1 + b, ax 2 + b,..., ax m + b - hệ dư lượng đầy đủ modulo m.

Ví dụ.

Cho m = 10, a = 3, b = 4.

Lấy một hệ dư lượng hoàn chỉnh theo modulo 10, ví dụ: 0, 1, 2,…, 9. Hãy soạn các số có dạng rìu + b. Chúng ta nhận được: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31. Tập hợp số thu được là một hệ dư lượng hoàn chỉnh theo modulo 10.

1. Hệ thống khấu trừ nhất định.

Hãy chứng minh định lý sau đây.

Định lý 1.

Các số cùng loại dư lượng modulo m có cùng ước số chung lớn nhất với m: nếu một b (mod m), thì (a, m) = (b, m).

Bằng chứng.

Đặt ab (mod m). Khi đó a = b + mt, ở đâu t є z. Từ đẳng thức này suy ra (a, t) = (b,t).

Thật vậy, cho δ là ước chung của a và m thì aδ, m δ. Vì a = b + mt, thì b=a-mt, do đó bδ. Do đó, ước chung bất kỳ của các số a và m đều là ước chung của m và b.

Ngược lại, nếu m δ và b δ thì a = b +mt chia hết cho δ, và do đó mọi ước chung của m và b đều là ước chung của a và m. Định lý đã được chứng minh.

Định nghĩa 1. Ước số mô đun chung lớn nhất t và bất kỳ số a từ loại khấu trừ này bởi T gọi là ước chung lớn nhất T và loại khấu trừ này.

Định nghĩa 2. Lớp dư lượng a modulo t được gọi là đồng nguyên tố với mô đun tôi , nếu ước chung lớn nhất một và t bằng 1 (nghĩa là nếu m và mọi số từ a đều là số nguyên tố cùng nhau).

Ví dụ.

Hãy để = 6. Dư lượng loại 2 gồm các số (..., -10, -4, 2, 8, 14, ...). Ước chung lớn nhất của bất kỳ số nào trong số này và mô đun 6 là 2. Do đó, (2, 6) = 2. Ước chung lớn nhất của bất kỳ số nào thuộc lớp 5 và mô đun 6 là 1. Do đó, lớp 5 là nguyên tố cùng nhau với mô đun 6 .

Chúng ta hãy chọn một số từ mỗi loại dư lượng nguyên tố cùng nhau với modulo m. Chúng tôi có được một hệ thống khấu trừ là một phần của hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh. Họ gọi cô ấyhệ khử dư lượng modulo m.

Định nghĩa 3. Một tập dư lượng modulo m, được lấy từ mỗi số nguyên tố cùng nhau với T loại dư lượng theo mô-đun này được gọi là hệ thống dư lượng rút gọn.

Từ Định nghĩa 3 tuân theo phương pháp thu được hệ dư lượng modulo rút gọn T: cần phải viết ra một hệ dư lượng hoàn chỉnh nào đó và loại bỏ khỏi nó tất cả các thặng dư không nguyên tố cùng nhau với m. Nhóm các khoản khấu trừ còn lại là hệ thống khấu trừ giảm. Rõ ràng, có thể tạo ra vô số hệ dư lượng modulo m.

Nếu chúng ta lấy hệ ban đầu là hệ hoàn chỉnh có số dư nhỏ nhất không âm hoặc nhỏ nhất tuyệt đối, thì bằng cách sử dụng phương pháp đã chỉ ra, chúng ta thu được, tương ứng, một hệ rút gọn có số dư nhỏ nhất không âm hoặc tuyệt đối nhỏ nhất modulo m.

Ví dụ.

Nếu T = 8 thì 1, 3, 5, 7 là hệ rút gọn các số dư không âm bé nhất, 1, 3, -3, -1- hệ thống giảm các khoản khấu trừ hoàn toàn tối thiểu.

Định lý 2.

Cho phép số lớp nguyên tố cùng nhau với m bằng k.Khi đó tập hợp k số nguyên bất kỳ

theo cặp không thể so sánh được modulo m và nguyên tố cùng nhau với m, là một hệ rút gọn các dư lượng modulo m.

Bằng chứng

A) Mỗi ​​số trong quần thể (1) thuộc một lớp nhất định.

1. Tất cả các số từ (1) đều không thể so sánh được theo cặp theo mô đun T, nghĩa là chúng thuộc về các lớp khác nhau theo modulo m.
2. Mỗi số trong (1) là nguyên tố cùng nhau với T, nghĩa là tất cả các số này thuộc về các lớp khác nhau nguyên tố cùng nhau theo modulo m.
3. Tổng số (1) có sẵn k nghĩa là số lượng mà hệ số dư modulo m rút gọn phải chứa.

Vì vậy, tập hợp số(1) - giảm hệ thống khấu trừ modulo T.

§4. Hàm Euler.

Định lý Euler và Fermat.

1. Hàm Euler.

Hãy ký hiệu bằng φ(T) số lượng các loại dư lượng modulo m nguyên tố cùng nhau với m, nghĩa là số phần tử của hệ dư lượng rút gọn modulo t. Hàm số φ (t) là số. Họ gọi cô ấyHàm Euler.

Hãy chọn đại diện của các lớp dư lượng modulo t số 1, ..., t - 1, t Khi đó φ(t) - số các số nguyên tố cùng nhau với t. Nói cách khác, φ (t) - số các số dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m.

Ví dụ.

1. Hãy để = 9. Hệ thặng dư đầy đủ modulo 9 gồm các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Trong đó các số 1,2,4, 5, 7, 8 là nguyên tố cùng nhau đến 9. Vậy vì số của các số này là 6 nên φ (9) = 6.
2. Đặt t = 12. Hệ số dư đầy đủ gồm các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Trong đó các số 1, 5, 7, 11 là số nguyên tố cùng nhau với 12 . Điều này có nghĩa là

φ(12) = 4.

Tại t = 1, hệ thặng dư hoàn chỉnh gồm có một loại 1. Ước số tự nhiên chung của các số 1 và 1 là 1, (1, 1) = 1. Trên cơ sở này, chúng ta giả sử φ(1) = 1.

Hãy chuyển sang tính hàm Euler.

1) Nếu m = p là số nguyên tố thì φ(p) = p-1.

Bằng chứng.

Các khoản khấu trừ 1, 2, ..., p- 1 và chỉ có chúng là nguyên tố cùng nhau với số nguyên tố R. Do đó φ(р) = р - 1.

2) Nếu t = p k - lũy thừa của số nguyên tố p, thì

φ(t) = (p - 1) . (1)

Bằng chứng.

Hệ thống khấu trừ modulo hoàn chỉnh t = pk gồm các số 1,..., p k - 1, p k Ước số tự nhiên T là độ R. Do đó số MỘTcó thể có ước chung với m khác 1, chỉ trong trường hợp khiMỘTchiaR.Nhưng trong số 1, ... , Pk -1 TRÊNRchỉ có số là chia hếtp, 2p, ... , p2 , ... RĐẾN, số đó bằng nhauRĐẾN: p = pk-1. Điều này có nghĩa là chúng cùng nguyên tố vớit = pĐẾNnghỉ ngơiRĐẾN- Rk-1= pk-l(p-1)những con số. Điều này chứng tỏ rằng

φ (RĐẾN) = pk-1(p-1).

Định lý1.

Hàm Euler có tính nhân, nghĩa là, đối với các số nguyên tố cùng nhau m và n, chúng ta có φ (mn) = φ(m) φ (n).

Bằng chứng.

Yêu cầu đầu tiên trong định nghĩa hàm nhân được đáp ứng một cách tầm thường: hàm Euler được xác định cho mọi số tự nhiên và φ (1) = 1. Ta chỉ cần chứng minh rằng nếukiểucác số nguyên tố cùng nhau thì

φ (tp)= φ (T) φ (P).(2)

Hãy để chúng tôi sắp xếp hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh theo modulotpBẰNGPXT -ma trận

1 2 T

t +1 t +2 2t

………………………………

(P -1) t+1 (P -1) m+2 Thứ Sáu

Bởi vìTVàPlà nguyên tố cùng nhau thì sốXđối ứng chỉ vớitpkhi đó và chỉ khi nàoXđối ứng chỉ vớiTVàXđối ứng chỉ vớiP. Nhưng số lượngkm+tđối ứng chỉ vớiTnếu và chỉ nếutđối ứng chỉ vớiT.Do đó, các số nguyên tố cùng nhau với m nằm trong các cột màtchạy qua hệ thống khử dư lượng moduloT.Số lượng các cột như vậy bằng φ(T).Mỗi cột trình bày hệ thống khấu trừ modulo hoàn chỉnhP.Từ những suy luận này φ(P)đồng nguyên tố vớiP.Điều này có nghĩa là tổng số các số nguyên tố cùng nhau và cóTvà với n, bằng φ(T)φ(n)

(φ (T)cột, trong đó mỗi cột được lấy(P)số). Những số này và chỉ chúng là nguyên tố cùng nhauvân vân.Điều này chứng tỏ rằng

φ (tp)= φ (T) φ (P).

Ví dụ.

№1 . Chứng minh tính đúng của các đẳng thức sau

φ(4n) =

Bằng chứng.

№2 . Giải phương trình

Giải pháp:bởi vì(m)=, Cái đó= , đó là=600, =75, =3·, thì x-1=1, x=2,

y-1=2, y=3

Đáp án: x=2, y=3

Chúng ta có thể tính giá trị của hàm Euler(m), biết biểu diễn chính tắc của số m:

m=.

Do tính nhân bản(m) chúng ta có:

(m)=.

Nhưng theo công thức (1) chúng ta thấy rằng

-1), và do đó

(3)

Đẳng thức (3) có thể được viết lại thành:

Bởi vì=m, vậy thì(4)

Công thức (3) hoặc tương tự, (4) chính là thứ chúng ta đang tìm kiếm.

Ví dụ.

№1 . Giá trị bao nhiêu?

Giải pháp:,

, =18 (1- ) (1- =18 , Sau đó= 1+1+2+2+6+6=18.

№2 . Dựa vào tính chất của hàm số Euler, chứng minh rằng trong dãy số tự nhiên có vô số số nguyên tố.

Giải pháp:Giả sử số lượng các số nguyên tố là một tập hợp hữu hạn, ta giả sử rằng- số nguyên tố lớn nhất và đặt a=là tích của tất cả các số nguyên tố, dựa trên một trong các tính chất của hàm số Euler

Vì a ≥, thì a là hợp số, nhưng vì biểu diễn chính tắc của nó chứa tất cả các số nguyên tố, nên=1. Chúng ta có:

=1 ,

điều này là không thể, và do đó người ta chứng minh rằng tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

№3 .Giải phương trình, trong đó x=Và=2.

Giải pháp:Chúng tôi sử dụng tính chất của hàm số Euler,

,

và theo điều kiện=2.

Hãy bày tỏ từ=2 , chúng tôi nhận được, thay vào

:

(1+ -1=120, =11 =>

Khi đó x=, x=11·13=143.

Trả lời:x= 143

2. Định lý Euler và Fermat.

Định lý Euler đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết so sánh.

Định lý Euler.

Nếu số nguyên a nguyên tố cùng nhau với m thì

(1)

Bằng chứng.Cho phép

(2)

tồn tại một hệ số dư modulo m.

Nếu nhưMộtlà số nguyên nguyên tố cùng nhau với m thì

(3)

Hãy xem xét một so sánh của hình thức x 2 ≡Một(mod Pα), ở đâu P- một số lẻ đơn giản Như đã trình bày trong đoạn 4 của §4, giải pháp cho sự so sánh này có thể được tìm thấy bằng cách giải phương trình so sánh x 2 ≡Một(mod P). Hơn nữa, việc so sánh x 2 ≡Một(mod Pα) sẽ có hai nghiệm nếu Một là thặng dư bậc hai modulo P.

Ví dụ:

Giải so sánh bậc hai x 2 ≡86(mod 125).

125 = 5 3, 5 là số nguyên tố. Hãy kiểm tra xem 86 có phải là bình phương modulo 5 hay không.

So sánh ban đầu có 2 nghiệm.

Hãy tìm giải pháp so sánh x 2 ≡86(mod 5).

x 2 ≡1(mod 5).

Sự so sánh này có thể được giải theo cách đã chỉ ra trong đoạn trước, nhưng chúng ta sẽ sử dụng thực tế là căn bậc hai của 1 modulo là ±1 và phép so sánh có chính xác hai nghiệm. Do đó, nghiệm của mô đun so sánh 5 là

x≡±1(mod 5) hoặc, ngược lại, x=±(1+5 t 1).

Hãy thay nghiệm kết quả vào phép so sánh modulo 5 2 =25:

x 2 ≡86(mod 25)

x 2 ≡11(mod 25)

(1+5t 1) 2 ≡11(mod 25)

1+10t 1 +25t 1 2 ≡11(mod 25)

10t 1 ≡10(mod 25)

2t 1 ≡2(mod 5)

t 1 ≡1(mod 5), hoặc tương tự, t 1 =1+5t 2 .

Khi đó nghiệm của phép so sánh modulo 25 là x=±(1+5(1+5 t 2))=±(6+25 t 2). Hãy thay nghiệm kết quả vào phép so sánh modulo 5 3 =125:

x 2 ≡86(mod 125)

(6+25t 2) 2 ≡86(mod 125)

36+12·25 t 2 +625t 2 2 ≡86(mod 125)

12·25 t 2 ≡50(mod 125)

12t 2 ≡2(mod 5)

2t 2 ≡2(mod 5)

t 2 ≡1(mod 5), hoặc t 2 =1+5t 3 .

Khi đó nghiệm của phép so sánh modulo 125 là x=±(6+25(1+5 t 3))=±(31+125 t 3).

Trả lời: x≡±31(mod 125).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét so sánh về hình thức x 2 ≡Một(mod 2 α). Sự so sánh như vậy không phải lúc nào cũng có hai giải pháp. Đối với một mô-đun như vậy, các trường hợp sau có thể xảy ra:

1) α=1. Khi đó sự so sánh chỉ có nghiệm khi Một≡1(mod 2) và lời giải là x≡1(mod 2) (một giải pháp).

2) α=2. So sánh chỉ có giải pháp khi Một≡1(mod 4), và lời giải là x≡±1(mod 4) (hai nghiệm).

3) α ≥3. So sánh chỉ có giải pháp khi Một≡1(mod 8), và sẽ có bốn nghiệm như vậy. So sánh x 2 ≡Một(mod 2 α) đối với α ≥3 được giải tương tự như so sánh dạng x 2 ≡Một(mod Pα), chỉ có nghiệm modulo 8 đóng vai trò là nghiệm ban đầu: x≡±1(mod 8) và x≡±3(mod 8). Chúng nên được so sánh với modulo 16, sau đó là modulo 32, v.v. cho đến modulo 2 α.

Ví dụ:

Giải quyết so sánh x 2 ≡33(mod 64)

64=2 6 . Hãy kiểm tra xem so sánh ban đầu có giải pháp hay không. 33≡1(mod 8), nghĩa là phép so sánh có 4 nghiệm.

Modulo 8 các giải pháp này sẽ là: x≡±1(mod 8) và x≡±3(mod 8), có thể được biểu diễn dưới dạng x=±(1+4 t 1). Hãy thay biểu thức này bằng phép so sánh modulo 16

x 2 ≡33(mod 16)

(1+4t 1) 2 ≡1(mod 16)

1+8t 1 +16t 1 2 ≡1(mod 16)

8t 1 ≡0 (mod 16)

t 1 ≡0 (mod 2)

Khi đó lời giải sẽ có dạng x=±(1+4 t 1)=±(1+4(0+2 t 2))=±(1+8 t 2). Hãy thay nghiệm kết quả vào phép so sánh modulo 32:

x 2 ≡33(mod 32)

(1+8t 2) 2 ≡1(mod 32)

1+16t 2 +64t 2 2 ≡1(mod 32)

16t 2 ≡0 (mod 32)

t 2 ≡0 (mod 2)

Khi đó lời giải sẽ có dạng x=±(1+8 t 2) =±(1+8(0+2t 3)) =±(1+16 t 3). Hãy thay nghiệm kết quả vào phép so sánh modulo 64:

x 2 ≡33(mod 64)

(1+16t 3) 2 ≡33(mod 64)

1+32t 3 +256t 3 2 ≡33(mod 64)

32t 3 ≡32 (mod 64)

t 3 ≡1 (mod 2)

Khi đó lời giải sẽ có dạng x=±(1+16 t 3) =±(1+16(1+2t 4)) =±(17+32 t 4). Vì vậy, theo modulo 64, phép so sánh ban đầu có bốn nghiệm: x≡±17(mod 64)i x≡±49(mod 64).

Bây giờ chúng ta hãy xem một so sánh chung: x 2 ≡Một(mod tôi), (Một,tôi)=1, - mở rộng kinh điển của mô-đun tôi. Theo Định lý từ đoạn 4 của §4, sự so sánh này tương đương với hệ thống

Nếu mọi so sánh của hệ này đều có thể giải được thì toàn bộ hệ thống cũng có thể giải được. Sau khi tìm ra nghiệm của mỗi phép so sánh của hệ này, ta sẽ thu được một hệ so sánh bậc nhất, giải bằng định lý số dư Trung Hoa ta sẽ thu được nghiệm của phép so sánh ban đầu. Hơn nữa, số nghiệm khác nhau của phép so sánh ban đầu (nếu giải được) là 2 k, nếu α=1, 2 k+1 nếu α=2, 2 k+2 nếu α ≥3.

Ví dụ:

Giải quyết so sánh x 2 ≡4(mod 21).

Dự án toán học theo chủ đề

"So sánh modulo"

Zaripova Aisylu

Quận Sovetsky của Kazan

MBU "Trường trung học số 166", lớp 7a

Người hướng dẫn khoa học: Antonova N.A.

Mục lục

Giới thiệu__________________________________________________________3

So sánh là gì______________________________________________4

1. Khái niệm so sánh modulo__________________________4

   Lịch sử ra đời của khái niệm so sánh modulo_____4

   Tính chất của so sánh__________________________________________4

Áp dụng so sánh để giải quyết vấn đề______________________________6

1. Cách sử dụng so sánh modulo đơn giản nhất là để xác định tính chia hết của các số__________________________6

   Một nhiệm vụ so sánh______________________________8

   Việc sử dụng so sánh modulo trong hoạt động nghề nghiệp________________________________________________9

Kết luận________________________________________________10

Danh sách tài liệu đã sử dụng______________________________________11

Giới thiệu.

Chủ đề: So sánh Modulo.

Bài toán: Nhiều học sinh gặp phải các bài toán khi chuẩn bị cho kỳ thi Olympic, giải bài toán này dựa trên kiến ​​thức về số dư khi chia số nguyên cho số tự nhiên. Chúng tôi quan tâm đến những loại vấn đề này và các phương pháp khả thi để giải quyết chúng. Hóa ra chúng có thể được giải bằng cách sử dụng so sánh modulo.

Mục tiêu: Tìm hiểu bản chất của so sánh modulo, các phương pháp chính để làm việc với so sánh modulo.

Mục tiêu: tìm tài liệu lý thuyết về chủ đề này, xem xét các vấn đề được giải bằng so sánh modulo, chỉ ra các phương pháp phổ biến nhất để giải các vấn đề đó, rút ​​ra kết luận.

Đối tượng nghiên cứu: lý thuyết số.

Đối tượng nghiên cứu: lý thuyết so sánh modulo.

Công trình liên quan đến nghiên cứu lý thuyết và có thể được sử dụng để chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic toán học. Nội dung của nó tiết lộ các khái niệm cơ bản về so sánh modulo và các tính chất chính của chúng, đồng thời cung cấp các ví dụ về cách giải các bài toán về chủ đề này.

TÔI . So sánh là gì?

1. Khái niệm so sánh modulo

Các số và được gọi là có thể so sánh được về mô đun nếu chúng chia hết cho, nói cách khác, a và b có cùng số dư khi chia cho.

chỉ định

Ví dụ:

12 và 32 tương đương với modulo 5, vì 12 chia cho 5 dư 2 và 32 chia cho 2 dư 2. Nó được viết12 ;

101 và 17 tương đương với modulo 21;

1. Lịch sử xuất hiện của khái niệm so sánh modulo.

Lý thuyết chia hết phần lớn được tạo ra bởi Euler. Định nghĩa về so sánh được đưa ra trong cuốn sách “Nghiên cứu số học” của K.F. Tác phẩm này viết bằng tiếng Latin bắt đầu được in từ năm 1797, nhưng cuốn sách chỉ được xuất bản vào năm 1801 do quá trình in ấn vào thời điểm đó cực kỳ tốn nhiều công sức và thời gian. Phần đầu tiên trong cuốn sách của Gauss có tên: “Về việc so sánh các con số”. Chính Gauss là người đã đề xuất biểu tượng của phép so sánh modulo đã được thiết lập trong toán học.

1. Tính chất của so sánh.

Nếu như

Bằng chứng:

1. Nếu chúng ta thêm đẳng thức thứ hai vào đẳng thức thứ nhất, chúng ta sẽ nhận được

là tổng của hai số nguyên nên nó là số nguyên.

Nếu chúng ta trừ đi số thứ hai từ đẳng thức thứ nhất, chúng ta sẽ nhận được

đây là hiệu của hai số nguyên, do đó có nghĩa nó là một số nguyên.

Hãy xem xét biểu thức:

Đây là sự khác biệt của tích của các số nguyên, do đó có nghĩa là nó là một số nguyên.

Đây là hệ quả của tính chất so sánh thứ ba.

Q.E.D.

5) Nếu như.

Bằng chứng: Hãy tìm tổng của hai biểu thức sau:

là tổng của hai số nguyên nên nó là số nguyên, do đó .

Q.E.D.

6) Nếu là số nguyên thì

Chứng minh: , ở đâuP– một số nguyên, nhân đẳng thức này với, ta được: . Vì là tích của các số nguyên nên điều cần chứng minh là

7) Nếu như

Bằng chứng: Cách lập luận tương tự như cách chứng minh tính chất 6.

8) Nếu như - các số nguyên tố cùng nhau thì

Bằng chứng: , chia biểu thức này cho, ta được: - các số nguyên tố cùng nhau, có nghĩa là chúng chia hết cho một số nguyên, tức là =. Và điều này có nghĩa là điều cần phải chứng minh.

II . Vận dụng so sánh để giải quyết vấn đề

2.1. Cách sử dụng so sánh modulo đơn giản nhất là xác định tính chia hết của các số.

Ví dụ. Tìm số dư của 2 2009 vào lúc 7 giờ.

Giải: Xét lũy thừa của 2:

nâng so sánh lên lũy thừa 668 và nhân với, ta được: .

Trả lời: 4.

Ví dụ. Chứng minh rằng 7+7 2 +7 3 +…+7 4 N chia hết cho 100 với mọiNtừ một tập hợp số nguyên.

Giải pháp: Xét sự so sánh

vân vân. Tính chất chu kỳ của số dư được giải thích bằng quy tắc nhân các số trong một cột. Cộng bốn so sánh đầu tiên, chúng tôi nhận được:

Điều này có nghĩa là số tiền này được chia cho 100 mà không có phần còn lại. Tương tự, bằng cách cộng các phép so sánh sau đây về 4, chúng ta nhận được rằng mỗi tổng như vậy chia hết cho 100 mà không có số dư. Điều này có nghĩa là toàn bộ số tiền bao gồm 4Nsố hạng chia hết cho 100 không có số dư. Q.E.D.

Ví dụ. Xác định ở giá trị nàoNbiểu thức chia hết cho 19 không có số dư.

Giải pháp: .

Hãy nhân sự so sánh này với 20. Chúng ta nhận được.

Vậy hãy cộng các so sánh lại. . Như vậy vế phải của phép so sánh luôn chia hết cho 19 đối với mọi số tự nhiênN, có nghĩa là biểu thức ban đầu chia hết cho 19 với tự nhiênN.

Trả lời N - số tự nhiên bất kỳ

Ví dụ. Số đó kết thúc bằng chữ số nào?

Giải pháp. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ chỉ theo dõi chữ số cuối cùng. Xét lũy thừa của số 14:

Bạn có thể nhận thấy rằng nếu số mũ là số lẻ thì giá trị của bậc kết thúc bằng 4 và nếu số mũ là số chẵn thì nó kết thúc bằng 6. Sau đó, nó kết thúc bằng 6, tức là. là một số chẵn Vì vậy, nó sẽ kết thúc sau 6.

Trả lời 6.

2.2. Một nhiệm vụ so sánh

Bài viết của N. Vilenkin “So sánh và các loại dư lượng” trình bày một vấn đề đã được nhà vật lý nổi tiếng người Anh Dirac giải quyết trong những năm sinh viên của ông.

Ngoài ra còn có một giải pháp ngắn gọn cho vấn đề này bằng cách sử dụng so sánh modulo. Nhưng chúng tôi đã gặp phải một số vấn đề tương tự. Ví dụ.

Một người qua đường tìm thấy một đống táo gần gốc cây có một con khỉ đang ngồi. Sau khi đếm chúng, anh nhận ra rằng nếu đưa 1 quả táo cho khỉ thì số táo còn lại sẽ được chia thành N Không một dâu vêt. Sau khi đưa quả táo thừa cho khỉ, nó lấy 1/ N những quả táo còn lại và bỏ đi. Sau đó, người qua đường tiếp theo đến gần đống đổ nát, rồi người tiếp theo, v.v. Mỗi người qua đường sau khi đếm số táo đều nhận thấy rằng số của chúng khi chia cho N đưa phần còn lại 1 và sau khi đưa quả táo thừa cho con khỉ, nó lấy 1/ N những quả táo còn lại và đi tiếp. Sau khi người cuối cùng rời đi, N người qua đường, số táo còn lại trong đống được chia cho N Không một dâu vêt. Hỏi lúc đầu trong đống táo có bao nhiêu quả táo?

Thực hiện lập luận tương tự như Dirac, chúng ta thu được một công thức tổng quát để giải một lớp các bài toán tương tự: , trong đóN- số tự nhiên.

2.3. Ứng dụng so sánh module trong hoạt động chuyên môn.

Lý thuyết so sánh được áp dụng vào lý thuyết mã hóa nên tất cả những người chọn nghề liên quan đến máy tính đều sẽ nghiên cứu và có thể áp dụng so sánh vào hoạt động nghề nghiệp của mình. Ví dụ, một số khái niệm lý thuyết số, bao gồm so sánh modulo, được sử dụng để phát triển các thuật toán mã hóa khóa công khai.

Phần kết luận.

Tác phẩm phác thảo các khái niệm và tính chất cơ bản của so sánh modulo và minh họa việc sử dụng so sánh modulo bằng các ví dụ. Tài liệu này có thể được sử dụng để chuẩn bị cho các kỳ thi Olympic toán học và Kỳ thi Thống nhất cấp Bang.

Danh sách tài liệu tham khảo đã cho cho phép, nếu cần, xem xét một số khía cạnh phức tạp hơn của lý thuyết so sánh modulo và các ứng dụng của nó.

Danh sách tài liệu được sử dụng

Alfutova N.B. Đại số và lý thuyết số./N.B.Alfutova, A.V.Ustinov. M.:MCNMO, 2002, 466 tr.

Bukhshtab A.A. Lý thuyết số. /A.A.Bukhshtab. M.: Giáo dục, 1960.

Vilenkin N. So sánh và phân loại dư lượng./N. Vilenkin.//Quantum. – 1978.- 10.

Fedorova N.E. Nghiên cứu đại số và phân tích toán học. Lớp 10.http:// www. thuận lợi. ru/ sách điện tử/ Fedorova_ Đại số học_10 kl/1/ xht

ru. wikipedia. tổ chức/ wiki/So sánh_modulo.

Tại n họ cho số dư như nhau.

Công thức tương đương: a và b so sánh trong mô-đun n nếu sự khác biệt của họ Một - b chia hết cho n, hoặc nếu a có thể được biểu diễn dưới dạng Một = b + kN , Ở đâu k- một số nguyên. Ví dụ: 32 và −10 tương đương với modulo 7, vì

Câu “a và b so sánh được mod n” được viết như sau:

Thuộc tính đẳng thức Modulo

Mối quan hệ so sánh modulo có các tính chất

Hai số nguyên bất kỳ Một Và b so sánh modulo 1.

Để có những con số Một Và b có thể so sánh được về mô-đun N, điều cần và đủ là hiệu của chúng chia hết cho N.

Nếu các số và có thể so sánh theo cặp theo mô đun N, sau đó là tổng và , cũng như tích của chúng và cũng có thể so sánh được về mô đun N.

Nếu những con số Một Và b so sánh trong mô-đun N, thì bằng cấp của họ Một k Và b k cũng có thể so sánh được về mô-đun N dưới bất kỳ điều kiện tự nhiên nào k.

Nếu những con số Một Và b so sánh trong mô-đun N, Và N chia tôi, Cái đó Một Và b so sánh trong mô-đun tôi.

Để có những con số Một Và b có thể so sánh được về mô-đun N, được trình bày dưới dạng phân rã chính tắc thành các yếu tố đơn giản P Tôi

cần thiết và đủ để

Quan hệ so sánh là quan hệ tương đương và có nhiều tính chất của quan hệ bình đẳng thông thường. Ví dụ: chúng có thể được cộng và nhân: nếu

Tuy nhiên, nói chung, những so sánh không thể được chia cho nhau hoặc cho những con số khác. Ví dụ: tuy nhiên, giảm đi 2 thì ta có một so sánh sai: . Các quy tắc viết tắt để so sánh như sau.

Bạn cũng không thể thực hiện các thao tác so sánh nếu mô đun của chúng không khớp.

Các tài sản khác:

Các định nghĩa liên quan

Các lớp khấu trừ

Tập hợp tất cả các số có thể so sánh được với Một modulo N gọi điện lớp khấu trừ Một modulo N , và thường được ký hiệu là [ Một] N hoặc . Như vậy, việc so sánh tương đương với sự bình đẳng của các lớp dư lượng [Một] N = [b] N .

Vì so sánh modulo N là một quan hệ tương đương trên tập hợp các số nguyên thì các lớp dư lượng theo modulo Nđại diện cho các lớp tương đương; số của chúng bằng nhau N. Tập hợp tất cả các lớp dư lượng modulo N ký hiệu là hoặc.

Các phép tính cộng, nhân bằng cách tạo ra các phép toán tương ứng trên tập hợp:

[Một] N + [b] N = [Một + b] N

Đối với các phép toán này thì tập hợp là một vành hữu hạn và nếu N trường đơn giản - hữu hạn.

Hệ thống khấu trừ

Hệ thống dư lượng cho phép bạn thực hiện các phép tính số học trên một tập hợp số hữu hạn mà không vượt quá giới hạn của nó. Hệ thống khấu trừ đầy đủ modulo n là tập hợp n số nguyên không thể so sánh được modulo n. Thông thường, các số dư không âm nhỏ nhất được coi là một hệ dư lượng hoàn chỉnh theo modulo n

0,1,...,N − 1

hoặc các khoản khấu trừ nhỏ nhất tuyệt đối bao gồm các số

,

trong trường hợp kỳ lạ N và những con số

trong trường hợp thậm chí N .

Giải quyết so sánh

So sánh cấp độ đầu tiên

Trong lý thuyết số, mật mã học và các lĩnh vực khoa học khác, vấn đề tìm lời giải cho phép so sánh cấp một về dạng thường nảy sinh:

Việc giải một phép so sánh như vậy bắt đầu bằng việc tính gcd (a, m)=d. Trong trường hợp này có thể xảy ra 2 trường hợp:

• Nếu như b không phải là bội số d, thì sự so sánh không có nghiệm.
• Nếu như b nhiều d, thì phép so sánh có nghiệm duy nhất modulo tôi / d, hoặc, cái gì giống nhau, d giải pháp modulo tôi. Trong trường hợp này, do giảm so sánh ban đầu bằng d sự so sánh là:

Ở đâu Một 1 = Một / d , b 1 = b / d Và tôi 1 = tôi / d là các số nguyên và Một 1 và tôi 1 là tương đối nguyên tố. Do đó số Một 1 có thể đảo ngược modulo tôi 1, tức là tìm số như vậy c, đó (nói cách khác, ). Bây giờ nghiệm được tìm thấy bằng cách nhân kết quả so sánh với c:

Tính toán thực tế giá trị c có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau: sử dụng định lý Euler, thuật toán Euclid, lý thuyết phân số liên tục (xem thuật toán), v.v. Đặc biệt, định lý Euler cho phép viết giá trị c BẰNG:

Ví dụ

Để so sánh chúng ta có d= 2, vậy modulo 22 phép so sánh có hai nghiệm. Hãy thay 26 bằng 4, tương đương với modulo 22, rồi giảm cả 3 số đi 2:

Vì 2 nguyên tố cùng nhau với modulo 11 nên ta có thể giảm vế trái và vế phải đi 2. Kết quả là ta thu được một nghiệm modulo 11: , tương đương với hai nghiệm modulo 22: .

So sánh bậc hai

Việc giải các phép so sánh bậc hai bắt nguồn từ việc tìm hiểu xem một số đã cho có phải là thặng dư bậc hai hay không (sử dụng luật nghịch đảo bậc hai) và sau đó tính modulo căn bậc hai.

Câu chuyện

Định lý phần dư của Trung Quốc, được biết đến trong nhiều thế kỷ, phát biểu (bằng ngôn ngữ toán học hiện đại) rằng vành thặng dư modulo tích của một số số nguyên tố cùng nhau là

So sánh mức độ thứ nhất với ẩn số có dạng:

f(x) 0 (chế độ tôi); f(X) = Ồ + MỘT. (1)

Giải quyết so sánh- nghĩa là tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn nó. Hai phép so sánh thỏa mãn cùng giá trị của x gọi là tương đương.

Nếu so sánh (1) được thỏa mãn bởi bất kỳ x = x 1 thì (theo 49) tất cả các số có thể so sánh được với x 1, mô-đun tôi: x x 1 (chế độ tôi). Toàn bộ lớp số này được coi là một cách giải quyết. Với sự thỏa thuận như vậy, có thể rút ra kết luận sau đây.

66.C căn chỉnh (1) sẽ có số nghiệm bằng số dư của hệ thống hoàn chỉnh thỏa mãn nó.

Ví dụ. So sánh

6x– 4 0 (mod 8)

Trong các số 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 có hai số thỏa mãn hệ dư lượng đầy đủ modulo 8: X= 2 và X= 6. Do đó phép so sánh này có hai nghiệm:

x 2 (mod 8), X 6 (mod 8).

So sánh bậc một bằng cách di chuyển số hạng tự do (có dấu ngược lại) sang vế phải có thể rút gọn về dạng

cây rìu b(mod tôi). (2)

Hãy xem xét một so sánh thỏa mãn điều kiện ( MỘT, tôi) = 1.

Theo 66, sự so sánh của chúng tôi có nhiều giải pháp cũng như số dư của hệ thống hoàn chỉnh thỏa mãn nó. Nhưng khi x chạy qua hệ thống dư lượng modulo hoàn chỉnh T, Cái đó Ồ chạy qua hệ thống khấu trừ hoàn chỉnh (trong số 60). Vì vậy, với một và chỉ một giá trị X, lấy từ hệ thống hoàn chỉnh, Ồ sẽ sánh ngang với b. Vì thế,

67. Khi (a, m) = 1 trục so sánh b(mod tôi)có một giải pháp.

Hãy để bây giờ ( Một, tôi) = d> 1. Khi đó, để so sánh (2) có nghiệm thì cần thiết (trong số 55) rằng b chia d, mặt khác không thể so sánh (2) với bất kỳ số nguyên x nào . Do đó giả sử b bội số d, chúng ta hãy đặt Một = Một 1 d, b = b 1 d, tôi = tôi 1 d. Khi đó so sánh (2) sẽ tương đương với điều này (viết tắt là d): Một 1 x b 1 (chế độ tôi), trong đó đã có ( MỘT 1 , tôi 1) = 1, và do đó nó sẽ có một nghiệm modulo tôi 1 . Cho phép X 1 – phần dư không âm nhỏ nhất của nghiệm này modulo m 1 , thì mọi số đều là x , tạo thành dung dịch này được tìm thấy ở dạng

x x 1 (chế độ tôi 1). (3)

Modulo m, các số (3) không phải tạo thành một nghiệm mà hơn thế nữa, chính xác bằng nhiều nghiệm như các số (3) trong dãy 0, 1, 2, ..., tôi – 1 dư lượng modulo không âm nhỏ nhất m. Nhưng những con số sau (3) sẽ rơi vào đây:

x 1 , x 1 + tôi 1 , x 1 + 2tôi 1 , ..., x 1 + (d – 1) tôi 1 ,

những thứ kia. Tổng cộng d số (3); do đó so sánh (2) có d các quyết định.

Ta thu được định lý:

68. Đặt (a, m) = d. So sánh ax b ( mod m) không thể xảy ra nếu b không chia hết cho d. Khi b là bội số của d thì phép so sánh có d nghiệm.

69. Phương pháp giải so sánh bậc một dựa trên lý thuyết phân số liên tục:

Khai triển thành một phân số liên tục quan hệ tôi: một,

và nhìn vào hai phân số phù hợp cuối cùng:

theo tính chất của phân số liên tục (theo 30 ) chúng ta có

Vậy phép so sánh có nghiệm

để tìm, đủ để tính toán P n- 1 theo phương pháp quy định ở 30.

Ví dụ. Hãy giải quyết sự so sánh

111x= 75 (mod 321). (4)

Ở đây (111, 321) = 3 và 75 là bội số của 3. Do đó, phép so sánh có ba nghiệm.

Chia cả hai vế so sánh và mô đun cho 3, ta được so sánh

37x= 25 (mod 107), (5)

mà trước tiên chúng ta phải giải quyết. Chúng ta có

q
P 3

Vì vậy, trong trường hợp này N = 4, P n – 1 = 26, b= 25, ta có nghiệm so sánh (5) ở dạng

x–26 ∙ 25 99 (mod 107).

Do đó, nghiệm so sánh (4) được trình bày như sau:

X 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),

X°99; 206; 313 (mod 321).

Tính phần tử nghịch đảo theo modulo đã cho

70.Nếu số là số nguyên Một Và N là nguyên tố cùng nhau thì có một số Một', thỏa mãn sự so sánh a ∙ a′ ≡ 1(chế độ N). Con số Một' gọi điện nghịch đảo nhân của modulo n và ký hiệu được sử dụng cho nó là Một- 1 (chế độ N).

Việc tính các đại lượng nghịch đảo modulo một giá trị nhất định có thể được thực hiện bằng cách giải một phép so sánh bậc một với một ẩn số, trong đó x số được chấp nhận Một'.

Tìm giải pháp so sánh

a∙x≡ 1(mod tôi),

Ở đâu ( là)= 1,

bạn có thể sử dụng thuật toán Euclid (69) hoặc định lý Fermat-Euler, trong đó phát biểu rằng nếu ( là) = 1 thì

Một φ( tôi) ≡ 1(mod tôi).

x ≡ Một φ( tôi)–1 (mod tôi).

Các nhóm và thuộc tính của chúng

Nhóm là một trong những lớp phân loại được sử dụng trong việc phân loại các cấu trúc toán học có đặc tính chung. Các nhóm có hai thành phần: một loạt (G) Và hoạt động() được xác định trên tập hợp này.

Các khái niệm về tập hợp, phần tử và thành viên là những khái niệm cơ bản chưa được xác định của toán học hiện đại. Bất kỳ tập hợp nào cũng được xác định bởi các phần tử có trong nó (do đó, các phần tử này cũng có thể là tập hợp). Vì vậy, chúng ta nói rằng một tập hợp được xác định hoặc cho trước nếu với bất kỳ phần tử nào, chúng ta có thể biết liệu nó có thuộc tập hợp này hay không.

Đối với hai bộ A, B Hồ sơ B MỘT, B MỘT, B∩ MỘT, B MỘT, B \ MỘT, MỘT × B tương ứng có nghĩa là B là tập con của tập hợp MỘT(tức là bất kỳ phần tử nào từ B cũng chứa trong MỘT, chẳng hạn tập hợp số tự nhiên chứa trong tập hợp số thực; ngoài ra, luôn luôn MỘT MỘT), B là tập con đúng của tập hợp MỘT(những thứ kia. B MỘT Và B ≠ MỘT), giao điểm của nhiều B Và MỘT(tức là tất cả các phần tử nằm đồng thời trong MỘT, và trong B, ví dụ giao của số nguyên và số thực dương là tập hợp các số tự nhiên), hợp của các tập hợp B Và MỘT(tức là một tập hợp bao gồm các phần tử nằm trong MỘT, hoặc trong B), đặt chênh lệch B Và MỘT(tức là tập hợp các phần tử nằm trong B, nhưng đừng nói dối MỘT), tích Descartes của tập hợp MỘT Và B(tức là một tập hợp các cặp có dạng ( Một, b), Ở đâu Một MỘT, b B). Qua | MỘT| luôn biểu thị số lượng của tập hợp MỘT, I E. số phần tử trong tập hợp MỘT.

Một phép toán là một quy tắc theo đó hai phần tử bất kỳ của một tập hợp G(Một Và b) được so khớp với phần tử thứ ba từ G: một b.

Rất nhiều yếu tố G với hoạt động được gọi là nhóm, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn.