Vergelijk het fractionele deel van een decimaalteken met één. Vergelijking van eindige en oneindige decimalen: regels, voorbeelden, oplossingen

26.09.2019

In dit artikel behandelen we het onderwerp decimale vergelijking". Laten we eerst bespreken algemeen principe decimalen vergelijken. Daarna zullen we uitzoeken welke decimale breuken gelijk zijn en welke ongelijk zijn. Vervolgens zullen we leren hoe we kunnen bepalen welke decimale breuk groter is en welke kleiner. Om dit te doen, zullen we de regels bestuderen voor het vergelijken van eindige, oneindige periodieke en oneindige niet-periodieke breuken. Laten we de hele theorie voorzien van voorbeelden gedetailleerde beslissingen. Laten we tot slot stilstaan bij de vergelijking van decimale breuken met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde getallen.

Laten we meteen zeggen dat we het hier alleen zullen hebben over het vergelijken van positieve decimale breuken (zie positieve en negatieve getallen). De overige gevallen worden geanalyseerd in de artikelen waarin rationale getallen worden vergeleken vergelijking van reële getallen.

Paginanavigatie.

Algemeen principe voor het vergelijken van decimale breuken

Op basis van dit vergelijkingsprincipe worden de regels voor het vergelijken van decimale breuken afgeleid, die het mogelijk maken om te doen zonder de vergeleken decimale breuken om te zetten in gewone breuken. Deze regels, evenals voorbeelden van hun toepassing, zullen we in de volgende paragrafen analyseren.

Volgens een soortgelijk principe definitief decimalen of oneindige periodieke decimalen met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde getallen: de getallen die worden vergeleken, worden vervangen door de overeenkomstige gewone breuken, waarna de gewone breuken worden vergeleken.

Betreft vergelijkingen van oneindige niet-terugkerende decimalen, dan komt het meestal neer op het vergelijken van de laatste decimale breuken. Om dit te doen, overweeg een dergelijk aantal tekenen van vergeleken oneindige niet-periodieke decimale breuken, waarmee u het resultaat van de vergelijking kunt krijgen.

Gelijke en ongelijke decimalen

Eerst introduceren wij definities van gelijke en ongelijke einddecimalen.

Definitie.

De twee achterliggende decimalen worden genoemd gelijkwaardig als hun overeenkomstige gemeenschappelijke breuken gelijk zijn, anders worden deze decimale breuken genoemd ongelijk.

Op basis van deze definitie is het gemakkelijk om de volgende bewering te rechtvaardigen: als we aan het einde van een gegeven decimale breuk meerdere cijfers 0 toekennen of weggooien, dan krijgen we een decimale breuk die daaraan gelijk is. Bijvoorbeeld 0,3=0,30=0,300=… en 140,000=140,00=140,0=140 .

Het optellen of weglaten van nul aan het einde van de decimale breuk aan de rechterkant komt overeen met het vermenigvuldigen of delen door 10 van de teller en de noemer van de overeenkomstige gewone breuk. En we kennen de basiseigenschap van een breuk, die zegt dat het vermenigvuldigen of delen van de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde natuurlijke getal een breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk. Dit bewijst dat het toevoegen of weggooien van nullen aan de rechterkant in het fractionele deel van een decimale breuk een breuk oplevert die gelijk is aan de oorspronkelijke breuk.

Een decimale breuk 0,5 komt bijvoorbeeld overeen met een gewone breuk 5/10, na het toevoegen van nul aan de rechterkant wordt een decimale breuk 0,50 verkregen, wat overeenkomt met een gewone breuk 50/100, en. Dus 0,5=0,50. Omgekeerd, als we in een decimale breuk 0,50 de 0 aan de rechterkant weggooien, dan krijgen we een breuk 0,5, dus van een gewone breuk 50/100 komen we op een breuk 5/10, maar . Daarom is 0,50=0,5.

Laten we verder gaan naar definitie van gelijke en ongelijke oneindige periodieke decimale breuken.

Definitie.

Twee oneindige periodieke breuken gelijkwaardig, als de gewone breuken die ermee overeenkomen gelijk zijn; als de gewone breuken die ermee corresponderen niet gelijk zijn, dan zijn de vergeleken periodieke breuken dat ook niet gelijk.

Uit deze definitie volgen drie conclusies:

Als de records van periodieke decimale breuken exact hetzelfde zijn, dan zijn zulke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. De periodieke decimalen 0,34(2987) en 0,34(2987) zijn bijvoorbeeld gelijk.
Als de perioden van de vergeleken decimale periodieke breuken vanaf dezelfde positie beginnen, heeft de eerste breuk een punt van 0 , de tweede een punt van 9 en is de waarde van het cijfer voorafgaand aan punt 0 één meer dan de waarde van het cijfer voorgaande periode 9 , dan zijn zulke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. De periodieke breuken 8.3(0) en 8.2(9) zijn bijvoorbeeld gelijk, en de breuken 141,(0) en 140,(9) zijn ook gelijk.
Elke twee andere periodieke breuken zijn niet gelijk. Hier zijn voorbeelden van ongelijke oneindige periodieke decimale breuken: 9.0(4) en 7,(21) , 0,(12) en 0,(121) , 10,(0) en 9.8(9) .

Het blijft om te behandelen gelijke en ongelijke oneindige niet-periodieke decimale breuken. Zoals u weet, kunnen dergelijke decimale breuken niet worden omgezet in gewone breuken (dergelijke decimale breuken vertegenwoordigen irrationele getallen), dus de vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken kan niet worden gereduceerd tot de vergelijking van gewone breuken.

Definitie.

Twee oneindige niet-terugkerende decimalen gelijkwaardig als hun invoer exact overeenkomt.

Maar er is één nuance: het is onmogelijk om het "voltooide" record van oneindige niet-periodieke decimale breuken te zien, daarom is het onmogelijk om zeker te zijn van de volledige samenloop van hun records. Hoe te zijn?

Alleen bij het vergelijken van oneindige niet-periodieke decimale breuken eindig aantal tekenen van vergeleken breuken, waarmee u de nodige conclusies kunt trekken. De vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken wordt dus gereduceerd tot de vergelijking van eindige decimale breuken.

Met deze benadering kunnen we alleen over de gelijkheid van oneindige niet-periodieke decimale breuken praten tot aan het beschouwde cijfer. Laten we voorbeelden geven. Oneindige niet-periodieke decimale breuken 5,45839 ... en 5,45839 ... zijn gelijk tot binnen honderdduizendsten, aangezien de laatste decimale breuken 5,45839 en 5,45839 gelijk zijn; eenmalige decimale breuken 19,54 ... en 19,54810375 ... zijn gelijk aan het dichtstbijzijnde honderdste, aangezien de breuken 19,54 en 19,54 gelijk zijn.

De ongelijkheid van oneindige niet-periodieke decimale breuken wordt met deze benadering vrij definitief vastgesteld. De oneindige niet-periodieke decimale breuken 5,6789... en 5,67732... zijn bijvoorbeeld niet gelijk, omdat de verschillen in hun records duidelijk zijn (de laatste decimale breuken 5,6789 en 5,6773 zijn niet gelijk). De oneindige decimalen 6,49354... en 7,53789... zijn ook niet gelijk.

Regels voor het vergelijken van decimale breuken, voorbeelden, oplossingen

Nadat is vastgesteld dat twee decimale breuken niet gelijk zijn, is het vaak nodig om uit te zoeken welke van deze breuken groter is en welke kleiner dan de andere. Nu zullen we de regels voor het vergelijken van decimale breuken analyseren, waardoor we de gestelde vraag kunnen beantwoorden.

In veel gevallen is het voldoende om de gehele delen van de vergeleken decimalen te vergelijken. Het volgende is waar decimale vergelijkingsregel: groter dan die decimale breuk, hele deel die groter en kleiner is dan die decimale breuk, waarvan het gehele deel kleiner is.

Deze regel is van toepassing op zowel eindige decimalen als oneindige decimalen. Laten we voorbeelden bekijken.

Voorbeeld.

Vergelijk decimalen 9,43 en 7,983023….

Oplossing.

Het is duidelijk dat deze decimale breuken niet gelijk zijn. Het gehele deel van de laatste decimale breuk 9,43 is gelijk aan 9, en het gehele deel van de oneindige niet-periodieke breuk 7,983023 ... is gelijk aan 7. Sinds 9>7 (zie vergelijking van natuurlijke getallen), dan 9,43>7,983023.

Antwoord:

9,43>7,983023 .

Voorbeeld.

Welke van de decimalen 49,43(14) en 1045,45029... is kleiner?

Oplossing.

Het gehele deel van de periodieke breuk 49.43(14) is kleiner dan het gehele deel van de oneindige niet-periodieke decimale breuk 1 045.45029…, dus 49.43(14)<1 045,45029… .

Antwoord:

49,43(14) .

Als de gehele delen van de vergeleken decimale breuken gelijk zijn, moet je, om erachter te komen welke groter en welke kleiner is, de breukdelen vergelijken. Vergelijking van delen van decimale breuken wordt beetje bij beetje uitgevoerd- van de categorie tienden tot de jongere.

Laten we eerst eens kijken naar een voorbeeld van het vergelijken van twee laatste decimale breuken.

Voorbeeld.

Vergelijk de einddecimalen 0,87 en 0,8521.

Oplossing.

De gehele delen van deze decimale breuken zijn gelijk (0=0), dus laten we verder gaan met het vergelijken van de breukdelen. De waarden van de tiendenplaats zijn gelijk (8=8), en de waarde van de honderdstenplaats van de breuk 0,87 is groter dan de waarde van de honderdstenplaats van de breuk 0,8521 (7>5). Daarom 0,87>0,8521.

Antwoord:

0,87>0,8521 .

Soms, om achterliggende decimalen te vergelijken met ander bedrag decimalen moet een breuk met minder decimalen rechts worden toegevoegd met een bepaald aantal nullen. Het is best handig om het aantal decimalen gelijk te maken voordat u begint met het vergelijken van de uiteindelijke decimale breuken, door een bepaald aantal nullen rechts van een ervan toe te voegen.

Voorbeeld.

Vergelijk de volgende decimalen 18.00405 en 18.0040532.

Oplossing.

Het is duidelijk dat deze breuken ongelijk zijn, omdat hun records verschillend zijn, maar ze hebben tegelijkertijd gelijke gehele delen (18=18).

Voordat we de breuken van deze breuken bitsgewijze vergelijken, maken we het aantal decimalen gelijk. Om dit te doen, wijzen we twee cijfers 0 toe aan het einde van de breuk 18.00405, terwijl we de decimale breuk gelijk krijgen aan 18.0040500.

De decimalen van 18.0040500 en 18.0040532 zijn gelijk tot honderdduizendsten, en de waarde van de miljoenste plaats van 18.0040500 is kleiner dan de waarde van de overeenkomstige breukplaats van 18.0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Antwoord:

18,00405<18,0040532 .

Bij het vergelijken van een eindige decimale breuk met een oneindige breuk, wordt de laatste breuk vervangen door een oneindige periodieke breuk die gelijk is aan deze breuk met een periode van 0, waarna een vergelijking wordt gemaakt met cijfers.

Voorbeeld.

Vergelijk het einddecimaal 5,27 met het oneindige eenmalige decimaal 5,270013….

Oplossing.

De gehele delen van deze decimalen zijn gelijk. De waarden van de cijfers van de tienden en honderdsten van deze breuken zijn gelijk, en om verdere vergelijking uit te voeren, vervangen we de laatste decimale breuk door een oneindige periodieke breuk die gelijk is aan een periode van 0 van de vorm 5,270000 .... Vóór de vijfde decimaal zijn de waarden van de decimalen 5.270000... en 5.270013... gelijk, en op de vijfde decimaal hebben we 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Antwoord:

5,27<5,270013… .

Vergelijking van oneindige decimale breuken wordt ook beetje bij beetje uitgevoerd, en eindigt zodra de waarden van een bit verschillend zijn.

Voorbeeld.

Vergelijk de oneindige decimalen 6.23(18) en 6.25181815….

Oplossing.

De gehele delen van deze breuken zijn gelijk, de waarden van de tiende plaats zijn ook gelijk. En de waarde van de honderdsten van de periodieke breuk 6.23(18) is kleiner dan de honderdsten van de oneindige niet-periodieke decimale breuk 6.25181815…, dus 6.23(18)<6,25181815… .

Antwoord:

6,23(18)<6,25181815… .

Voorbeeld.

Welke van de oneindige periodieke decimalen 3,(73) en 3,(737) is groter?

Oplossing.

Het is duidelijk dat 3,(73)=3,73737373… en 3,(737)=3,737737737… . Op de vierde decimaal eindigt de bitsgewijze vergelijking, aangezien we daar 3 hebben<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Antwoord:

3,(737) .

Vergelijk decimalen met natuurlijke getallen, gewone breuken en gemengde getallen.

Om het resultaat te krijgen van het vergelijken van een decimale breuk met een natuurlijk getal, kun je het gehele deel van deze breuk vergelijken met een bepaald natuurlijk getal. In dit geval moeten periodieke breuken met perioden van 0 of 9 eerst worden vervangen door hun gelijke uiteindelijke decimale breuken.

Het volgende is waar regel voor het vergelijken van decimale breuk en natuurlijk getal: als het gehele deel van een decimale breuk kleiner is dan een bepaald natuurlijk getal, dan is de hele breuk kleiner dan dit natuurlijke getal; als het gehele deel van een breuk groter is dan of gelijk is aan een bepaald natuurlijk getal, dan is de breuk groter dan het gegeven natuurlijke getal.

Beschouw voorbeelden van de toepassing van deze vergelijkingsregel.

Voorbeeld.

Vergelijk natuurlijk getal 7 met decimale breuk 8,8329….

Oplossing.

Omdat het gegeven natuurlijke getal kleiner is dan het gehele deel van de gegeven decimale breuk, is dit getal kleiner dan de gegeven decimale breuk.

Antwoord:

7<8,8329… .

Voorbeeld.

Vergelijk het natuurlijke getal 7 en het decimaalteken 7.1.

In dit onderwerp wordt zowel een algemeen schema voor het vergelijken van decimale breuken behandeld als een gedetailleerde analyse van het principe van het vergelijken van eindige en oneindige breuken. Laten we het theoretische gedeelte oplossen door typische problemen op te lossen. We zullen ook met voorbeelden de vergelijking van decimale breuken met natuurlijke of gemengde getallen en gewone breuken analyseren.

Laten we dit even verduidelijken: in de onderstaande theorie worden alleen positieve decimale breuken vergeleken.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algemeen principe voor het vergelijken van decimale breuken

Voor elke eindige decimale en oneindig terugkerende decimale breuk zijn er bepaalde gemeenschappelijke breuken die daarmee overeenkomen. Bijgevolg kan de vergelijking van eindige en oneindige periodieke breuken worden gemaakt als een vergelijking van hun overeenkomstige gewone breuken. Eigenlijk is deze verklaring het algemene principe voor het vergelijken van decimale periodieke breuken.

Op basis van het algemene principe worden de regels voor het vergelijken van decimale breuken geformuleerd, waarbij het mogelijk is om de vergeleken decimale breuken niet in gewone breuken om te zetten.

Hetzelfde kan gezegd worden over de gevallen waarin een periodieke decimale breuk wordt vergeleken met natuurlijke getallen of gemengde getallen, gewone breuken - de gegeven getallen moeten worden vervangen door de overeenkomstige gewone breuken.

Als we het hebben over het vergelijken van oneindige niet-periodieke breuken, wordt dit meestal beperkt tot het vergelijken van eindige decimale breuken. Ter overweging wordt een dergelijk aantal tekens van de vergeleken oneindige niet-periodieke decimale breuken genomen, waardoor het resultaat van de vergelijking kan worden verkregen.

Gelijke en ongelijke decimalen

Definitie 1

Gelijke decimalen- dit zijn twee laatste decimale breuken, die dezelfde gewone breuken hebben die ermee corresponderen. Anders zijn decimalen dat wel ongelijk.

Op basis van deze definitie is het gemakkelijk om een dergelijke uitspraak te rechtvaardigen: als we aan het einde van een bepaalde decimale breuk meerdere cijfers 0 ondertekenen of, omgekeerd, weggooien, dan krijgen we een decimale breuk die daaraan gelijk is. Bijvoorbeeld: 0 , 5 = 0 , 50 = 0 , 500 = ... . Of: 130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. In feite betekent het toevoegen of weggooien van nul aan het einde van de breuk aan de rechterkant het vermenigvuldigen of delen door 10 van de teller en de noemer van de overeenkomstige gewone breuk. Laten we aan wat er is gezegd de belangrijkste eigenschap van breuken toevoegen (door de teller en de noemer van een breuk te vermenigvuldigen of te delen door hetzelfde natuurlijke getal, krijgen we een breuk die gelijk is aan de oorspronkelijke) en we hebben een bewijs van de bovenstaande bewering.

De decimale breuk 0, 7 komt bijvoorbeeld overeen met een gewone breuk 7 10. Als we nul aan de rechterkant toevoegen, krijgen we de decimale breuk 0, 70, wat overeenkomt met de gewone breuk 70 100, 7 70 100: 10 . Dat wil zeggen: 0 , 7 = 0 , 70 . En omgekeerd: door nul in de decimale breuk 0, 70 aan de rechterkant weg te gooien, krijgen we de breuk 0, 7 - dus van de decimale breuk 70 100 gaan we naar de breuk 7 10, maar 7 10 \u003d 70: 10 100 : 10 Dan: 0, 70 \u003d 0 , 7 .

Beschouw nu de inhoud van het concept van gelijke en ongelijke oneindige periodieke decimale breuken.

Definitie 2

Gelijke oneindige periodieke breuken zijn oneindige periodieke breuken die gelijke gewone breuken hebben die ermee corresponderen. Als de gewone breuken die ermee corresponderen niet gelijk zijn, dan zijn de ter vergelijking gegeven periodieke breuken dat ook ongelijk.

Deze definitie laat ons toe de volgende conclusies te trekken:

Als de records van de gegeven periodieke decimale breuken hetzelfde zijn, dan zijn dergelijke breuken gelijk. De periodieke decimalen 0, 21 (5423) en 0, 21 (5423) zijn bijvoorbeeld gelijk;

Als in de gegeven decimale periodieke breuken de punten vanaf dezelfde positie beginnen, heeft de eerste breuk een punt van 0 en de tweede - 9; de waarde van het cijfer voorafgaande aan periode 0 is één groter dan de waarde van het cijfer voorafgaande aan periode 9, dan zijn zulke oneindige periodieke decimale breuken gelijk. Periodieke breuken 91 , 3 (0) en 91 , 2 (9) zijn bijvoorbeeld gelijk, evenals breuken: 135 , (0) en 134 , (9) ;

Elke twee andere periodieke breuken zijn niet gelijk. Bijvoorbeeld: 8 , 0 (3) en 6 , (32) ; 0, (42) en 0, (131) enz.

Rest ons nog rekening te houden met gelijke en ongelijke oneindige niet-periodieke decimale breuken. Dergelijke breuken zijn dat wel irrationele nummers, en ze kunnen niet worden omgezet in gewone breuken. Daarom wordt de vergelijking van oneindige niet-periodieke decimale breuken niet gereduceerd tot de vergelijking van gewone breuken.

Definitie 3

Gelijke oneindige niet-terugkerende decimalen zijn niet-periodieke decimale breuken, waarvan de invoer exact hetzelfde is.

De vraag zou logisch zijn: hoe records te vergelijken als het onmogelijk is om het "voltooide" record van dergelijke breuken te zien? Bij het vergelijken van oneindige niet-periodieke decimale breuken is het noodzakelijk om slechts een bepaald eindig aantal tekens van de ter vergelijking gegeven breuken in aanmerking te nemen, zodat we hieruit een conclusie kunnen trekken. Die. in wezen is het vergelijken van oneindige niet-terugkerende decimalen het vergelijken van eindige decimalen.

Deze benadering maakt het mogelijk om de gelijkheid van oneindige niet-periodieke breuken alleen tot op het beschouwde cijfer te beweren. De breuken 6, 73451 ... en 6, 73451 ... zijn bijvoorbeeld gelijk tot op honderdduizendsten, omdat de einddecimalen 6, 73451 en 6, 7345 zijn gelijk. De breuken 20, 47 ... en 20, 47 ... zijn gelijk aan binnen honderdsten, omdat de breuken 20, 47 en 20, 47 zijn gelijk, enzovoort.

De ongelijkheid van oneindige niet-periodieke breuken wordt vrij concreet vastgesteld, met duidelijke verschillen in de gegevens. De breuken 6, 4135 ... en 6, 4176 ... of 4, 9824 ... en 7, 1132 ... enzovoort zijn bijvoorbeeld ongelijk.

Regels voor het vergelijken van decimale breuken. Oplossing van voorbeelden

Als wordt vastgesteld dat twee decimale breuken niet gelijk zijn, moet meestal ook worden bepaald welke daarvan groter is en welke kleiner. Overweeg de regels voor het vergelijken van decimale breuken, die het mogelijk maken om het bovenstaande probleem op te lossen.

Heel vaak is het voldoende om de gehele delen van de ter vergelijking gegeven decimale breuken te vergelijken.

Definitie 4

Die decimale breuk, die een groter geheel getal heeft, is groter. De kleinere breuk is degene waarvan het gehele deel kleiner is.

Deze regel is van toepassing op zowel eindige decimale breuken als oneindige breuken.

voorbeeld 1

Het is noodzakelijk om decimale breuken te vergelijken: 7, 54 en 3, 97823 ....

Oplossing

Het is vrij duidelijk dat de gegeven decimale breuken niet gelijk zijn. Hun hele delen zijn respectievelijk gelijk: 7 en 3 . Omdat 7 > 3, dan 7, 54 > 3, 97823 … .

Antwoord: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

In het geval dat de gehele delen van de breuken die ter vergelijking worden gegeven gelijk zijn, wordt de oplossing van het probleem beperkt tot het vergelijken van de breukdelen. De fractionele delen worden beetje bij beetje vergeleken - van de tiende plaats tot de lagere.

Beschouw eerst het geval waarin u achterliggende decimale breuken moet vergelijken.

Voorbeeld 2

U wilt de einddecimalen 0,65 en 0,6411 vergelijken.

Oplossing

Het is duidelijk dat de gehele delen van de gegeven breuken (0 = 0) zijn. Laten we de fractionele delen vergelijken: op de tiende plaats zijn de waarden (6 \u003d 6), maar op de honderdste plaats is de waarde van de breuk 0, 65 groter dan de waarde van de honderdste plaats in de fractie 0, 6411 (5 > 4) . Dus 0,65 > 0,6411.

Antwoord: 0 , 65 > 0 , 6411 .

Bij sommige taken voor het vergelijken van laatste decimale breuken met een ander aantal decimalen, is het noodzakelijk om het vereiste aantal nullen rechts toe te kennen aan een breuk met minder decimalen. Het is handig om op deze manier het aantal decimalen in bepaalde breuken gelijk te maken, zelfs vóór het begin van de vergelijking.

Voorbeeld 3

Het is noodzakelijk om de laatste decimalen 67, 0205 en 67, 020542 te vergelijken.

Oplossing

Deze breuken zijn uiteraard niet gelijk, omdat hun gegevens zijn verschillend. Bovendien zijn hun gehele delen gelijk: 67 \u003d 67. Voordat we overgaan tot de bitsgewijze vergelijking van de breukdelen van de gegeven breuken, maken we het aantal decimalen gelijk door nullen aan de rechterkant toe te voegen in breuken met minder decimalen. Dan krijgen we breuken ter vergelijking: 67, 020500 en 67, 020542. We voeren een bitsgewijze vergelijking uit en zien dat op de honderdduizendste plaats de waarde in de breuk 67, 020542 groter is dan de overeenkomstige waarde in de breuk 67, 020500 (4 > 0) . Dus 67,020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Antwoord: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

Als het nodig is om een eindige decimale breuk te vergelijken met een oneindige, dan wordt de laatste breuk vervangen door een oneindige breuk die gelijk is aan de breuk met een periode van 0. Vervolgens wordt een bitsgewijze vergelijking gemaakt.

Voorbeeld 4

Het is noodzakelijk om de laatste decimale breuk 6, 24 te vergelijken met een oneindige niet-periodieke decimale breuk 6, 240012 ...

Oplossing

We zien dat de gehele delen van de gegeven breuken (6 = 6) zijn. Op de tiende en honderdste plaats zijn de waarden van beide breuken ook gelijk. Om een conclusie te kunnen trekken, gaan we verder met de vergelijking, waarbij we de uiteindelijke decimale breuk die daaraan gelijk is, vervangen door een oneindige met een periode van 0 en krijgen: 6, 240000 ... . Als we de vijfde decimaal hebben bereikt, vinden we het verschil: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

Antwoord: 6, 24< 6 , 240012 … .

Bij het vergelijken van oneindige decimale breuken wordt ook een bitsgewijze vergelijking gebruikt, die zal eindigen wanneer de waarden in een bepaald cijfer van de gegeven breuken verschillend blijken te zijn.

Voorbeeld 5

Het is noodzakelijk om de oneindige decimale breuken 7, 41 (15) en 7, 42172 ... te vergelijken.

Oplossing

In de gegeven breuken zijn er gelijke hele delen, de waarden van de tienden zijn ook gelijk, maar op de honderdste plaats zien we het verschil: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Antwoord: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

Voorbeeld 6

Het is noodzakelijk om de oneindige periodieke breuken 4 , (13) en 4 , (131) te vergelijken.

Oplossing:

De gelijkheden zijn duidelijk en correct: 4 , (13) = 4 , 131313 … en 4 , (133) = 4 , 131131 … . We vergelijken gehele delen en bitsgewijze gebroken delen, en fixeren het verschil op de vierde decimaal: 3 > 1 . Vervolgens: 4 , 131313 … > 4 , 131131 … , en 4 , (13) > 4 , (131) .

Antwoord: 4 , (13) > 4 , (131) .

Om het resultaat te krijgen van het vergelijken van een decimale breuk met een natuurlijk getal, moet je het gehele deel van een gegeven breuk vergelijken met een bepaald natuurlijk getal. In dit geval moet er rekening mee worden gehouden dat periodieke breuken met perioden van 0 of 9 eerst moeten worden weergegeven als definitieve decimale breuken die daaraan gelijk zijn.

Definitie 5

Als het gehele deel van een gegeven decimale breuk kleiner is dan een bepaald natuurlijk getal, dan is de hele breuk kleiner ten opzichte van een bepaald natuurlijk getal. Als het gehele deel van een gegeven breuk groter is dan of gelijk is aan een bepaald natuurlijk getal, dan is de breuk groter dan het gegeven natuurlijke getal.

Voorbeeld 7

Het is noodzakelijk om het natuurlijke getal 8 en de decimale breuk 9, 3142 ... te vergelijken.

Oplossing:

Het gegeven natuurlijke getal is kleiner dan het gehele deel van de gegeven decimale breuk (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Antwoord: 8 < 9 , 3142 … .

Voorbeeld 8

Het is noodzakelijk om het natuurlijke getal 5 en de decimale breuk 5, 6 te vergelijken.

Oplossing

Het gehele deel van een gegeven breuk is gelijk aan een bepaald natuurlijk getal en dan, volgens de bovenstaande regel, 5< 5 , 6 .

Antwoord: 5 < 5 , 6 .

Voorbeeld 9

Het is noodzakelijk om het natuurlijke getal 4 en de periodieke decimale breuk 3 , (9) te vergelijken.

Oplossing

De periode van de gegeven decimale breuk is 9, wat betekent dat het vóór het vergelijken noodzakelijk is om de gegeven decimale breuk te vervangen door een eindig of natuurlijk getal dat gelijk is aan deze breuk. In dit geval: 3 , (9) = 4 . De oorspronkelijke gegevens zijn dus gelijk.

Antwoord: 4 = 3, (9) .

Om een decimale breuk te vergelijken met een gewone breuk of een gemengd getal, moet je:

Schrijf een gewone breuk of gemengd getal als decimaal en voer vervolgens een decimale vergelijking uit, of
- schrijf de decimale breuk als een gewone breuk (behalve voor oneindig niet-periodiek), en voer vervolgens een vergelijking uit met een gegeven gewone breuk of gemengd getal.

Voorbeeld 10

Het is noodzakelijk om de decimale breuk 0, 34 en de gewone breuk 1 3 te vergelijken.

Oplossing

Laten we het probleem op twee manieren oplossen.

We schrijven de gegeven gewone breuk 1 3 als een periodieke decimale breuk die gelijk is aan: 0 , 33333 ... . Dan wordt het noodzakelijk om de decimale breuken 0, 34 en 0, 33333… te vergelijken. We krijgen: 0 , 34 > 0 , 33333 ... , wat betekent 0 , 34 > 1 3 .
Laten we de gegeven decimale breuk 0, 34 schrijven in de vorm van een gewoon getal dat daaraan gelijk is. Dat wil zeggen: 0 , 34 = 34 100 = 17 50 . Vergelijk gewone breuken met verschillende noemers en krijg: 17 50 > 1 3 . Dus 0 , 34 > 1 3 .

Antwoord: 0 , 34 > 1 3 .

Voorbeeld 11

Je moet een oneindig, niet-herhalend decimaal 4, 5693 ... en een gemengd getal vergelijken 4 3 8 .

Oplossing

Een oneindig, niet-herhalend decimaalteken kan niet worden weergegeven als een gemengd getal, maar het is wel mogelijk om een gemengd getal om te zetten in onechte breuk en schrijf het op zijn beurt als een decimale breuk die gelijk is aan dit getal. Dan: 4 3 8 = 35 8 en

Die.: 4 3 8 = 35 8 = 4, 375 . Laten we decimale breuken vergelijken: 4, 5693 ... en 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) en krijgen: 4, 5693 ... > 4 3 8 .

Antwoord: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Het segment AB is 6 cm, dat wil zeggen 60 mm. Aangezien 1 cm = dm, dan is 6 cm = dm. AB is dus 0,6 dm. Omdat 1 mm = dm, dan 60 mm = dm. Dus AB = 0,60 dm.
Dus AB = 0,6 dm = 0,60 dm. Dit betekent dat de decimale breuken 0,6 en 0,60 de lengte van hetzelfde segment in decimeters uitdrukken. Deze breuken zijn aan elkaar gelijk: 0,6 = 0,60.

Als nul wordt toegevoegd aan het einde van de decimale breuk of als nul wordt weggegooid, krijgen we fractie, gelijk aan de gegeven.
Bijvoorbeeld,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Laten we twee decimalen 5,345 en 5,36 vergelijken. Laten we het aantal decimalen gelijk maken door nul toe te voegen aan het getal 5,36 aan de rechterkant. We krijgen breuken 5.345 en 5.360.

We schrijven ze als onechte breuken:

Deze breuken hebben dezelfde noemers. Dit betekent dat degene met de grootste teller groter is.
Sinds 5345< 5360, то wat betekent 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Om twee decimale breuken met elkaar te vergelijken, moet je eerst het aantal decimalen gelijk maken door aan een van de breuken aan de rechterkant nullen toe te wijzen. Vervolgens vergelijk je de resulterende breuken, waarbij je de komma weggooit. gehele getallen.

Decimalen kunnen worden weergegeven in coördinaat straal net als gewone breuken.
Om bijvoorbeeld de decimale breuk 0,4 op de coördinatenstraal weer te geven, geven we deze eerst weer als een gewone breuk: 0,4 = Vervolgens zetten we vier tienden van een eenheidssegment opzij vanaf het begin van de straal. We krijgen punt A(0,4) (Fig. 141).

Gelijke decimale breuken worden op hetzelfde punt op de coördinatenstraal weergegeven.

De breuken 0,6 en 0,60 worden bijvoorbeeld weergegeven door één punt B (zie figuur 141).

Het kleinste decimaalteken ligt op coördinaat straal links van de grotere, en de grotere rechts van de kleinere.

Bijvoorbeeld 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Zal een decimaal veranderen als er een nul aan het einde wordt toegevoegd?
A6 nullen?
Formuleer een vergelijkingsregel decimale breuken.

1172. Schrijf een decimale breuk:

a) met vier decimalen, gelijk aan 0,87;
b) met vijf decimalen, gelijk aan 0,541;
c) met drie cijfers na bezet, gelijk aan 35;
d) met twee decimalen, gelijk aan 8,40000.

1173. Nadat u nullen aan de rechterkant hebt toegewezen, maakt u het aantal decimalen in decimale breuken gelijk: 1,8; 13,54 en 0,789.

1174. Schrijf kortere breuken: 2,5000; 3,02000; 20.010.

85,09 en 67,99; 55,7 en 55,7000; 0,5 en 0,724; 0,908 en 0,918; 7,6431 en 7,6429; 0,0025 en 0,00247.

1176. Rangschik de cijfers in oplopende volgorde:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

rangschikken in aflopende volgorde.

a) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Vergelijk de waarden:

a) 98,52 m en 65,39 m; e) 0,605 t en 691,3 kg;
b) 149,63 kg en 150,08 kg; f) 4,572 km en 4671,3 m;
c) 3,55°C en 3,61°C; g) 3.835 ha en 383,7 a;
d) 6,781 uur en 6,718 uur; h) 7.521 l en 7538 cm3.

Is het mogelijk om 3,5 kg en 8,12 m te vergelijken? Geef enkele voorbeelden van hoeveelheden die niet met elkaar te vergelijken zijn.

1185. Mondeling berekenen:

1186. Herstel de keten van berekeningen

1187. Is het mogelijk om te zeggen hoeveel cijfers na de komma in een decimale breuk staan als de naam eindigt met het woord:

a) honderdsten; b) tienduizendste; c) tienden; d) miljoenen?

Inhoud van de les samenvatting van de les ondersteuning frame lespresentatie versnellingsmethoden interactieve technologieën Oefening taken en oefeningen zelfonderzoek workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van studenten Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen, grafieken, tabellen, schema's, humor, anekdotes, grappen, stripverhalen, spreuken, kruiswoordpuzzels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen chips voor nieuwsgierige spiekbriefjes schoolboeken basis- en aanvullende verklarende woordenlijst overige Verbetering van leerboeken en lessenhet corrigeren van fouten in het leerboek het bijwerken van een fragment in de leerboekelementen van innovatie in de les, waarbij verouderde kennis wordt vervangen door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar richtlijnen discussieprogramma's Geïntegreerde lessen

Het doel van de les:

voorwaarden scheppen voor de afleiding van de regel voor het vergelijken van decimale breuken en de mogelijkheid om deze toe te passen;
herhaal het schrijven van gewone breuken als decimalen en rond de decimalen af;
ontwikkelen logisch denken, het vermogen om te generaliseren, onderzoeksvaardigheden, toespraak.

Tijdens de lessen

Jongens, laten we onthouden wat we in de vorige lessen met jullie hebben gedaan?

Antwoord: bestudeerde decimale breuken, schreef gewone breuken als decimalen en vice versa, afgeronde decimale breuken.

Wat zou je vandaag willen doen?

(Studenten antwoorden.)

Maar toch, wat we in de les gaan doen, zul je binnen een paar minuten ontdekken. Open uw notitieboekjes en noteer de datum. Er gaat een student naar het bestuur, die mee gaat werken achterkant planken. Ik bied je taken aan die je mondeling afwerkt. Noteer de antwoorden in een notitieboekje, op een regel gescheiden door een puntkomma. De leerling aan het bord schrijft in een column.

Ik lees taken die vooraf op het bord staan:

Laten we het controleren. Wie heeft andere antwoorden? Onthoud de regels.

Gekregen: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Stel het patroon in en ga door met de resulterende serie voor nog eens 2 nummers. Laten we het controleren.

Neem het transcript en plaats onder elk nummer (de persoon die antwoordt aan het bord een letter naast het nummer) de bijbehorende letter. Lees het woord.

Decryptie:

Dus wat gaan we doen in de klas?

Antwoord: vergelijking.

Ter vergelijking! Nou, ik zal nu bijvoorbeeld beginnen met het vergelijken van mijn handen, 2 schoolboeken, 3 linialen. Wat wil je vergelijken?

Antwoord: decimale breuken.

Wat is het onderwerp van de les?

Ik schrijf het onderwerp van de les op het bord en de leerlingen in het notitieboekje: "Vergelijking van decimale breuken."

Oefening: vergelijk de cijfers (geschreven op het bord)

18.625 en 5.784		15.200 en 15.200
3.0251 en 21.02		7,65 en 7,8
23,0521 en 0,0521		0,089 en 0,0081

Open eerst de linkerkant. Hele delen zijn verschillend. We trekken een conclusie over het vergelijken van decimale breuken met verschillende gehele delen. Open de rechterkant. hele delen - dezelfde cijfers. Hoe vergelijken?

Aanbod: schrijf decimale breuken als gewone breuken en vergelijk.

Schrijf een vergelijking van gewone breuken. Als elke decimaal wordt omgezet in een gewone breuk en de 2 breuken worden vergeleken, duurt het lang. Kunnen we een vergelijkingsregel afleiden? (Studenten suggereren.) Ik heb de regel voor het vergelijken van decimale breuken opgeschreven, wat de auteur suggereert. Laten we vergelijken.

Er zijn 2 regels afgedrukt op een vel papier:

Als de gehele delen van decimale breuken verschillend zijn, dan is die breuk groter, die een groter geheel deel heeft.
Als de gehele delen van de decimale breuken hetzelfde zijn, dan is de grootste breuk degene met de grootste eerste van de niet-overeenkomende cijfers na de komma.

Wij hebben een ontdekking gedaan. En deze ontdekking is de regel voor het vergelijken van decimale breuken. Het viel samen met de regel voorgesteld door de auteur van het leerboek.

Ik heb gemerkt dat de regels zeggen welke van de twee breuken groter is. Kunt u mij vertellen welke van de twee decimalen kleiner is?

Compleet in notitieboekje nr. 785 (1, 2) op pagina 172. De taak wordt op het bord geschreven. De leerlingen geven commentaar en de leraar plaatst bordjes.

Oefening: vergelijken

3,4208 en 3,4028

Dus wat hebben we vandaag geleerd? Laten we onszelf controleren. Werk op vellen papier met carbonpapier.

Leerlingen vergelijken decimalen met behulp van >-tekens.<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Onafhankelijk werk.

(Check-antwoorden op de achterkant van het bord.)

Vergelijken

148,05 en 14,805

6.44806 en 6.44863

35.601 en 35.6010

De eerste die dit doet, krijgt de taak (voert uit vanaf de achterkant van het bord) nr. 786 (1, 2):

Zoek een patroon en noteer het volgende getal in de reeks. In welke volgorde staan de getallen in oplopende volgorde, en in welke volgorde?

Antwoord:

0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) - afnemend
0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) - neemt toe.

Nadat de laatste leerling het werk heeft ingeleverd - controle.

De leerlingen vergelijken hun antwoorden.

Degenen die alles goed hebben gedaan, zullen zichzelf markeren als "5", degenen die 1-2 fouten hebben gemaakt - "4", 3 fouten - "3". Ontdek in welke vergelijkingen fouten zijn gemaakt, voor welke regel.

Schrijf je huiswerk op: nr. 813, nr. 814 (item 4, p. 171). Opmerking. Als er tijd is, voer dan nr. 786(1, 3), nr. 793(a) uit.

Samenvatting van de les.