Irrationeel nummer. Wat zijn rationale en irrationele getallen

14.10.2019

Irrationeel nummer- Dit echt nummer, wat niet rationeel is, dat wil zeggen, niet kan worden weergegeven als een breuk, waarbij gehele getallen zijn, . Een irrationeel getal kan worden weergegeven als een oneindige niet-periodieke decimale breuk.

De reeks irrationele getallen wordt meestal aangegeven met een hoofdletter Latijnse brief in gedurfde stijl zonder schaduw. Dus: , d.w.z. Er zijn veel irrationele getallen verschil tussen de sets van reële en rationale getallen.

Over het bestaan van irrationele getallen, meer precies segmenten die niet vergelijkbaar zijn met een segment van eenheidslengte waren al bekend bij de oude wiskundigen: ze kenden bijvoorbeeld de incommensurabiliteit van de diagonaal en de zijde van het vierkant, wat gelijkwaardig is aan de irrationaliteit van het getal.

Eigenschappen

Elk reëel getal kan worden geschreven als een oneindige decimale breuk, en irrationele nummers en alleen zij worden geschreven als niet-periodieke oneindige decimale breuken.
Irrationele getallen definiëren Dedekind-bezuinigingen in de reeks rationale getallen die niet het grootste getal hebben in de lagere klasse en niet het kleinste getal in de hogere klasse.
Elk reëel transcendentaal getal is irrationeel.
Elk irrationeel getal is algebraïsch of transcendentaal.
De verzameling irrationele getallen is overal op de getallenlijn compact: tussen twee willekeurige getallen bevindt zich een irrationeel getal.
De volgorde van de verzameling irrationele getallen is isomorf met de volgorde van de verzameling reële transcendentale getallen.
De reeks irrationele getallen is ontelbaar en behoort tot de tweede categorie.

Voorbeelden

Irrationele nummers
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Irrationeel zijn:

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven in de vorm van een onherleidbare breuk, waarbij het een geheel getal is en een natuurlijk getal. Laten we de veronderstelde gelijkheid kwadrateren:

Hieruit volgt dat even even en is. Laat het zijn waar het geheel is. Dan

Daarom betekent zelfs zelfs en . We hebben gevonden dat en even zijn, wat in tegenspraak is met de onherleidbaarheid van de breuk . Dit betekent dat de oorspronkelijke aanname onjuist was en dat het een irrationeel getal is.

Binaire logaritme van het getal 3

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Sinds , en kan positief worden gekozen. Dan

Maar even en vreemd. We krijgen een tegenspraak.

e

Verhaal

Het concept van irrationele getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (ca. 750 v.Chr. - ca. 690 v.Chr.) erachter kwam dat wortels sommige natuurlijke cijfers, zoals 2 en 61, kunnen niet expliciet worden uitgedrukt.

Het eerste bewijs van het bestaan van irrationele getallen wordt gewoonlijk toegeschreven aan Hippasus van Metapontus (ca. 500 v.Chr.), een Pythagoreër die dit bewijs vond door de lengtes van de zijden van het pentagram te bestuderen. In de tijd van de Pythagoreeërs geloofde men dat er één enkele lengte-eenheid bestond, voldoende klein en ondeelbaar, die een geheel aantal keren in elk segment terechtkwam. Hippasus voerde echter aan dat er geen enkele lengte-eenheid bestaat, aangezien de aanname van het bestaan ervan tot een tegenstrijdigheid leidt. Hij toonde aan dat als de hypotenusa van een gelijkbenige rechthoekige driehoek een geheel aantal eenheidssegmenten bevat, dit aantal zowel even als oneven moet zijn. Het bewijs zag er als volgt uit:

De verhouding tussen de lengte van de hypotenusa en de lengte van het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek kan worden uitgedrukt als A:B, Waar A En B zo klein mogelijk gekozen.
Volgens de stelling van Pythagoras: A² = 2 B².
Omdat A- zelfs, A moet even zijn (aangezien het kwadraat van een oneven getal oneven zou zijn).
Omdat de A:B onherleidbaar B moet vreemd zijn.
Omdat A zelfs, duiden wij aan A = 2j.
Dan A² = 4 j² = 2 B².
B² = 2 j² dus B- zelfs dan B zelfs.
Het is echter bewezen dat B vreemd. Tegenspraak.

Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensurabele hoeveelheden alogo's(onuitsprekelijk), maar volgens de legenden betoonden ze Hippasus niet het nodige respect. Er is een legende dat Hippasus de ontdekking deed tijdens een zeereis en door andere Pythagoreërs overboord werd gegooid ‘omdat hij een element van het universum had gecreëerd dat de doctrine ontkent dat alle entiteiten in het universum kunnen worden gereduceerd tot gehele getallen en hun verhoudingen’. De ontdekking van Hippasus vormde een ernstig probleem voor de wiskunde van Pythagoras en vernietigde de onderliggende veronderstelling dat getallen en geometrische objecten één en onafscheidelijk waren.

- π

De reeks irrationele getallen is dus het verschil ik = R ∖ Q (\ Displaystyle \ mathbb (I) = \ mathbb (R) \ backslash \ mathbb (Q) ) verzamelingen van reële en rationale getallen.

Het bestaan van irrationele getallen, preciezer: segmenten die niet vergelijkbaar zijn met een segment van eenheidslengte, was al bekend bij oude wiskundigen: ze kenden bijvoorbeeld de incommensurabiliteit van de diagonaal en de zijde van een vierkant, wat gelijkwaardig is aan de irrationaliteit van het nummer 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Eigenschappen

De som van twee positieve irrationele getallen kan een rationaal getal zijn.
Irrationele getallen definiëren Dedekind-secties in de reeks rationale getallen die niet het grootste getal hebben in de lagere klasse en niet het kleinste getal in de hogere klasse.
De verzameling irrationele getallen is overal op de getallenlijn compact: tussen twee afzonderlijke getallen bevindt zich een irrationeel getal.
De volgorde van de verzameling irrationele getallen is isomorf met de volgorde van de verzameling reële transcendentale getallen. [ ]

Algebraïsche en transcendentale getallen

Elk irrationeel getal is algebraïsch of transcendentaal. De verzameling algebraïsche getallen is een telbare verzameling. Omdat de reeks reële getallen ontelbaar is, is de reeks irrationele getallen ook ontelbaar.

De reeks irrationele getallen is een reeks van de tweede categorie.

Laten we de veronderstelde gelijkheid kwadrateren:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Pijl naar rechts 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Pijl naar rechts m^(2)=2n^(2)).

Verhaal

Oudheid

Het concept van irrationele getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (ca. 750-690 voor Christus) erachter kwam dat de vierkantswortels van sommige natuurlijke getallen, zoals 2 en 61, niet expliciet konden worden uitgedrukt. ] .

Het eerste bewijs van het bestaan van irrationele getallen, of beter gezegd het bestaan van incommensurabele segmenten, wordt gewoonlijk toegeschreven aan de Pythagoras Hippasus van Metapontum (ongeveer 470 v.Chr.). In de tijd van de Pythagoreeërs geloofde men dat er één enkele lengte-eenheid bestond, voldoende klein en ondeelbaar, die een geheel aantal keren in elk segment omvatte. ] .

Er zijn geen exacte gegevens over welk getal door Hippasus irrationeel werd bewezen. Volgens de legende vond hij het door de lengtes van de zijden van het pentagram te bestuderen. Daarom is het redelijk om aan te nemen dat dit de gulden snede was, aangezien dit de verhouding is van de diagonaal tot de zijkant in een regelmatige vijfhoek.

Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensurabele hoeveelheden alogo's(onuitsprekelijk), maar volgens de legenden betoonden ze Hippasus niet het nodige respect. Er is een legende dat Hippasus de ontdekking deed tijdens een zeereis en door andere Pythagoreërs overboord werd gegooid ‘omdat hij een element van het universum had gecreëerd dat de doctrine ontkent dat alle entiteiten in het universum kunnen worden gereduceerd tot gehele getallen en hun verhoudingen’. De ontdekking van Hippasus daagde de wiskunde van Pythagoras uit serieus probleem, waardoor de onderliggende aanname van de hele theorie wordt vernietigd dat getallen en geometrische objecten één en onafscheidelijk zijn.

Later ontwikkelde Eudoxus van Cnidus (410 of 408 v.Chr. - 355 of 347 v.Chr.) een theorie van verhoudingen die rekening hield met zowel rationele als irrationele relaties. Dit diende als basis voor het begrijpen van de fundamentele essentie van irrationele getallen. Kwantiteit begon niet als een getal te worden beschouwd, maar als een aanduiding van entiteiten, zoals lijnsegmenten, hoeken, gebieden, volumes, tijdsintervallen - entiteiten die voortdurend kunnen veranderen (in de moderne zin van het woord). Grootheden werden gecontrasteerd met getallen, die alleen kunnen veranderen door “sprongen” van het ene getal naar het volgende, bijvoorbeeld van 4 naar 5. Getallen bestaan uit de kleinste ondeelbare hoeveelheid, terwijl hoeveelheden voor onbepaalde tijd kunnen worden verminderd.

Omdat er geen kwantitatieve waarde gecorreleerd was met de grootte, kon Eudoxus zowel evenredige als incommensurabele grootheden omvatten door een breuk te definiëren als de verhouding van twee grootheden, en proportie als de gelijkheid van twee breuken. Door kwantitatieve waarden (getallen) uit de vergelijkingen te verwijderen, omzeilde hij de valkuil dat hij een irrationele grootheid een getal moest noemen. Dankzij de theorie van Eudoxus konden Griekse wiskundigen ongelooflijke vooruitgang boeken in de meetkunde, waardoor ze de noodzakelijke logische basis kregen om met incommensurabele grootheden te werken. Het tiende boek van Euclides' Elementen is gewijd aan de classificatie van irrationele grootheden.

Middeleeuwen

De middeleeuwen werden gekenmerkt door de adoptie van concepten als nul, negatieve getallen, gehele getallen en breuken, eerst door Indiase en vervolgens door Chinese wiskundigen. Later sloten Arabische wiskundigen zich aan, die als eersten negatieve getallen als algebraïsche objecten beschouwden (samen met gelijke rechten met positieve getallen), waardoor het mogelijk werd de discipline te ontwikkelen die nu algebra wordt genoemd.

Arabische wiskundigen combineerden de oude Griekse concepten van ‘getal’ en ‘omvang’ tot één meer algemeen idee echte getallen. Ze waren kritisch over de ideeën van Euclides over relaties; in tegenstelling hiermee ontwikkelden ze een theorie van relaties tussen willekeurige hoeveelheden en breidden ze het concept van getal uit tot relaties van continue hoeveelheden. In zijn commentaar op Euclides 'Boek 10 Elementen' onderzocht en classificeerde de Perzische wiskundige Al Makhani (ca. 800 CE) kwadratische irrationele getallen (getallen van de vorm) en de meer algemene kubieke irrationele getallen. Hij definieerde rationele en irrationele grootheden, die hij irrationele getallen noemde. Hij opereerde gemakkelijk met deze objecten, maar sprak er bijvoorbeeld over als afzonderlijke objecten:

In tegenstelling tot het concept van Euclides dat hoeveelheden in de eerste plaats lijnsegmenten zijn, beschouwde Al Makhani gehele getallen en breuken als rationele hoeveelheden, en vierkante en derdemachtswortels als irrationeel. Hij introduceerde ook de rekenkundige benadering van de reeks irrationele getallen, aangezien hij het was die de irrationaliteit van de volgende grootheden aantoonde:

De Egyptische wiskundige Abu Kamil (ca. 850 CE - ca. 930 CE) was de eerste die het acceptabel vond om irrationele getallen als oplossingen te erkennen kwadratische vergelijkingen of coëfficiënten in vergelijkingen - voornamelijk in de vorm van vierkante of kubieke wortels, evenals wortels van de vierde graad. In de 10e eeuw produceerde de Iraakse wiskundige Al Hashimi algemene bewijzen (in plaats van visueel geometrische demonstraties) van de irrationaliteit van het product, het quotiënt en de resultaten van andere wiskundige transformaties over irrationele en rationale getallen. Al Khazin (900 n.Chr. – 971 n.Chr.) geeft de volgende definitie van rationele en irrationele kwantiteit:

Laat een eenheidshoeveelheid een of meerdere keren in een bepaalde hoeveelheid voorkomen, dan komt deze [gegeven] hoeveelheid overeen met een geheel getal ... Elke hoeveelheid die de helft, of een derde, of een kwart van een eenheidshoeveelheid is, of, wanneer vergeleken met een eenheidshoeveelheid, is drie vijfde daarvan een rationele hoeveelheid. En in het algemeen is elke hoeveelheid die gerelateerd is aan een eenheid zoals het ene getal aan het andere is, rationeel. Als een grootheid niet kan worden weergegeven als meerdere of een deel (l/n), of meerdere delen (m/n) van een lengte-eenheid, is ze irrationeel, dat wil zeggen, niet uit te drukken behalve met behulp van wortels.

Veel van deze ideeën werden later door Europese wiskundigen overgenomen na de vertaling van Arabische teksten in het Latijn in de 12e eeuw. Al Hassar, een Arabische wiskundige uit de Maghreb die gespecialiseerd was in islamitische erfwetten, introduceerde in de 12e eeuw de moderne symbolische wiskundige notatie voor breuken, waarbij de teller en de noemer werden gedeeld door een horizontale balk. Dezelfde notatie verscheen vervolgens in de werken van Fibonacci in de 13e eeuw. Tijdens de XIV-XVI eeuw. Madhava van Sangamagrama en vertegenwoordigers van de Kerala School of Astronomy and Mathematics onderzochten oneindige reeksen die convergeerden naar bepaalde irrationele getallen, zoals π, en toonden ook de irrationaliteit van bepaalde trigonometrische functies aan. Jestadeva presenteerde deze resultaten in het boek Yuktibhaza. (waarmee tegelijkertijd het bestaan van transcendentale getallen wordt bewezen), waardoor het werk van Euclides over de classificatie van irrationele getallen wordt heroverwogen. Werken over dit onderwerp werden gepubliceerd in 1872

Kettingbreuken, nauw verwant aan irrationele getallen (een kettingbreuk die een bepaald getal vertegenwoordigt is oneindig als en slechts als het getal irrationeel is), werden voor het eerst onderzocht door Cataldi in 1613 en kwamen vervolgens opnieuw onder de aandacht in het werk van Euler, en in begin XIX eeuw - in de werken van Lagrange. Dirichlet heeft ook belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van de theorie van kettingbreuken. In 1761 gebruikte Lambert kettingbreuken om dat aan te tonen π (\ Displaystyle \ pi ) is geen rationeel getal, en ook dat e X (\displaystyle e^(x)) En tg ⁡ X (\displaystyle \operatornaam (tg) x) zijn irrationeel voor elk niet-nul rationeel x (\displaystyle x). Hoewel Lamberts bewijs onvolledig kan worden genoemd, wordt het over het algemeen als behoorlijk rigoureus beschouwd, vooral gezien de tijd waarin het werd geschreven. Legendre toonde dat in 1794 aan, na de introductie van de Bessel-Clifford-functie π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) irrationeel, waar komt irrationaliteit vandaan? π (\ Displaystyle \ pi ) volgt triviaal (een rationeel getal in het kwadraat zou een rationeel getal opleveren).

Het bestaan van transcendentale getallen werd door Liouville in 1844-1851 bewezen. Later toonde Georg Cantor (1873) hun bestaan aan met behulp van een andere methode, en voerde aan dat elk interval van de reële reeks een oneindig aantal transcendentale getallen bevat. Charles Hermite bewees dat in 1873 e transcendentaal, en Ferdinand Lindemann toonde in 1882, op basis van dit resultaat, transcendentie π (\ Displaystyle \ pi ) Literatuur

Het materiaal in dit artikel biedt initiële informatie over irrationele nummers. Eerst zullen we de definitie van irrationele getallen geven en deze uitleggen. Hieronder geven we voorbeelden van irrationele getallen. Laten we tot slot eens kijken naar enkele manieren om uit te zoeken of een bepaald getal irrationeel is of niet.

Paginanavigatie.

Definitie en voorbeelden van irrationele getallen

Bij het bestuderen van decimalen hebben we afzonderlijk rekening gehouden met oneindige niet-periodieke decimalen. Dergelijke breuken ontstaan bij het meten van decimale lengtes van segmenten die niet vergelijkbaar zijn met een eenheidssegment. We hebben ook opgemerkt dat oneindige niet-periodieke decimale breuken niet kunnen worden omgezet in gewone breuken (zie gewone breuken omzetten in decimalen en vice versa). Daarom zijn deze getallen geen rationale getallen, maar vertegenwoordigen ze de zogenaamde irrationele getallen.

Dus wij komen definitie van irrationele getallen.

Definitie.

Getallen die oneindige niet-periodieke decimale breuken in decimale notatie vertegenwoordigen, worden genoemd irrationele nummers.

De uitgesproken definitie stelt ons in staat te geven voorbeelden van irrationele getallen. De oneindige niet-periodieke decimale breuk 4.10110011100011110000... (het aantal enen en nullen neemt elke keer met één toe) is bijvoorbeeld een irrationeel getal. Laten we nog een voorbeeld geven van een irrationeel getal: −22,353335333335... (het aantal drieën dat achten scheidt, neemt elke keer met twee toe).

Opgemerkt moet worden dat irrationele getallen vrij zelden worden aangetroffen in de vorm van eindeloze niet-periodieke decimale breuken. Ze zijn meestal te vinden in de vorm enz., maar ook in de vorm van speciaal ingevoerde letters. De bekendste voorbeelden van irrationele getallen in deze notatie zijn de rekenkundige vierkantswortel van twee, het getal “pi” π=3,141592..., het getal e=2,718281... en gouden getal.

Irrationele getallen kunnen ook worden gedefinieerd in termen van reële getallen, die rationale en irrationele getallen combineren.

Definitie.

Irrationele nummers zijn reële getallen die geen rationale getallen zijn.

Is dit getal irrationeel?

Wanneer het nummer niet in het formulier staat decimale, en in de vorm van een wortel, logaritme, enz., dan is het beantwoorden van de vraag of het irrationeel is in veel gevallen behoorlijk moeilijk.

Bij het beantwoorden van de gestelde vraag is het ongetwijfeld erg nuttig om te weten welke getallen niet irrationeel zijn. Uit de definitie van irrationele getallen volgt dat irrationele getallen geen rationale getallen zijn. Irrationele getallen zijn dus NIET:

eindige en oneindige periodieke decimale breuken.

Bovendien is elke samenstelling van rationale getallen die verbonden zijn door de tekens van rekenkundige bewerkingen (+, −, ·, :) geen irrationeel getal. Dit komt omdat de som, het verschil, het product en het quotiënt van twee rationale getallen een rationaal getal is. De waarden van uitdrukkingen zijn bijvoorbeeld rationale getallen. Hier merken we op dat als dergelijke uitdrukkingen één enkel irrationeel getal onder de rationale getallen bevatten, de waarde van de gehele uitdrukking een irrationeel getal zal zijn. In de uitdrukking is het getal bijvoorbeeld irrationeel en zijn de overige getallen rationeel, daarom is het een irrationeel getal. Als het een rationeel getal zou zijn, zou de rationaliteit van het getal volgen, maar het is niet rationeel.

Als de uitdrukking die het getal specificeert meerdere irrationele getallen, worteltekens, logaritmen, trigonometrische functies, getallen π, e, enz. bevat, dan is het noodzakelijk om de irrationaliteit of rationaliteit van het gegeven getal in elk specifiek geval te bewijzen. Er zijn echter al een aantal resultaten behaald die gebruikt kunnen worden. Laten we de belangrijkste opsommen.

Het is bewezen dat een k-de wortel van een geheel getal alleen een rationeel getal is als het getal onder de wortel de k-de macht is van een ander geheel getal; in andere gevallen specificeert zo'n wortel een irrationeel getal. De getallen en zijn bijvoorbeeld irrationeel, aangezien er geen geheel getal is waarvan het kwadraat 7 is, en er geen geheel getal is waarvan het verheffen tot de vijfde macht het getal 15 oplevert. En de cijfers zijn niet irrationeel, aangezien en .

Wat logaritmen betreft, is het soms mogelijk om hun irrationaliteit te bewijzen met behulp van de methode van tegenspraak. Laten we als voorbeeld bewijzen dat log 2 3 een irrationeel getal is.

Laten we aannemen dat log 2 3 een rationeel getal is en niet een irrationeel getal, dat wil zeggen dat het kan worden weergegeven als gemeenschappelijke fractie m/n. en stellen ons in staat de volgende keten van gelijkheden te schrijven: De laatste gelijkheid is onmogelijk, omdat deze aan de linkerkant ligt oneven nummer , en aan de rechterkant – zelfs. We kwamen dus tot een tegenstrijdigheid, wat betekent dat onze aanname onjuist bleek te zijn, en dit bewees dat log 2 3 een irrationeel getal is.

Merk op dat lna voor elke positieve en niet-één rationele a een irrationeel getal is. En zijn bijvoorbeeld irrationele getallen.

Het is ook bewezen dat het getal ea voor elk rationaal getal dat niet nul is, irrationeel is, en dat het getal π z voor elk geheel getal z dat niet nul is, irrationeel is. Cijfers zijn bijvoorbeeld irrationeel.

Irrationele getallen zijn ook de trigonometrische functies sin, cos, tg en ctg voor elke rationale en niet-nulwaarde van het argument. sin1 , tan(−4) , cos5,7 zijn bijvoorbeeld irrationele getallen.

Er zijn nog andere bewezen resultaten, maar we zullen ons beperken tot de reeds genoemde. Er moet ook worden gezegd dat bij het bewijzen van de bovenstaande resultaten de theorie verband houdt algebraïsche getallen En transcendentale getallen.

Concluderend merken we op dat we geen overhaaste conclusies moeten trekken over de irrationaliteit van de gegeven cijfers. Het lijkt bijvoorbeeld voor de hand te liggen dat een irrationeel getal in zekere zin ook een irrationeel getal is. Dit is echter niet altijd het geval. Om het genoemde feit te bevestigen, presenteren we het diploma. Het is bekend dat - een irrationeel getal is, en het is ook bewezen dat - een irrationeel getal is, maar het is een rationeel getal. Je kunt ook voorbeelden geven van irrationele getallen, waarvan de som, het verschil, het product en het quotiënt rationale getallen zijn. Bovendien is de rationaliteit of irrationaliteit van de getallen π+e, π−e, π·e, π π, π e en vele andere nog niet bewezen.

Bibliografie.

Wiskunde. 6e leerjaar: leerzaam. voor algemeen vormend onderwijs instellingen / [N. Ja, Vilenkin en anderen]. - 22e druk, herz. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: leerboek voor groep 8. algemene educatie instellingen / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; bewerkt door S. A. Teljakovski. - 16e druk. - M.: Onderwijs, 2008. - 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor degenen die naar een technische school gaan): Proc. toelage.- M.; Hoger school, 1984.-351 p., ill.

De oude wiskundigen wisten al van een segment met een lengte-eenheid: ze kenden bijvoorbeeld de incommensurabiliteit van de diagonaal en de zijde van het vierkant, wat overeenkomt met de irrationaliteit van het getal.

Irrationeel zijn:

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven in de vorm van een onherleidbare breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Laten we de veronderstelde gelijkheid kwadrateren:

Hieruit volgt dat even even en is. Laat het zijn waar het geheel is. Dan

Binaire logaritme van het getal 3

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Sinds , en kan positief worden gekozen. Dan

Maar even en vreemd. We krijgen een tegenspraak.

e

Verhaal

Het concept van irrationele getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (ca. 750 voor Christus - ca. 690 voor Christus) erachter kwam dat de vierkantswortels van sommige natuurlijke getallen, zoals 2 en 61, niet expliciet kunnen worden uitgedrukt. .

De verhouding tussen de lengte van de hypotenusa en de lengte van het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek kan worden uitgedrukt als A:B, Waar A En B zo klein mogelijk gekozen.
Volgens de stelling van Pythagoras: A² = 2 B².
Omdat A- zelfs, A moet even zijn (aangezien het kwadraat van een oneven getal oneven zou zijn).
Omdat de A:B onherleidbaar B moet vreemd zijn.
Omdat A zelfs, duiden wij aan A = 2j.
Dan A² = 4 j² = 2 B².
B² = 2 j² dus B- zelfs dan B zelfs.
Het is echter bewezen dat B vreemd. Tegenspraak.

zie ook

Opmerkingen

Numerieke systemen
Tellen sets	Natuurlijke getallen () Gehele getallen ()

Irrationeel zijn:

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Hieruit volgt dat even even en is. Laat het zijn waar het geheel is. Dan

Binaire logaritme van het getal 3

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Sinds , en kan positief worden gekozen. Dan

Maar even en vreemd. We krijgen een tegenspraak.

e

Verhaal

De verhouding tussen de lengte van de hypotenusa en de lengte van het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek kan worden uitgedrukt als A:B, Waar A En B zo klein mogelijk gekozen.
Volgens de stelling van Pythagoras: A² = 2 B².
Omdat A- zelfs, A moet even zijn (aangezien het kwadraat van een oneven getal oneven zou zijn).
Omdat de A:B onherleidbaar B moet vreemd zijn.
Omdat A zelfs, duiden wij aan A = 2j.
Dan A² = 4 j² = 2 B².
B² = 2 j² dus B- zelfs dan B zelfs.
Het is echter bewezen dat B vreemd. Tegenspraak.

zie ook

Opmerkingen

Numerieke systemen
Tellen sets	Natuurlijke getallen () Gehele getallen ()

keer bekeken

VKontakte opslaan

Eigenschappen

Voorbeelden

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Binaire logaritme van het getal 3

e

Verhaal

Eigenschappen

Algebraïsche en transcendentale getallen

Verhaal

Oudheid

Middeleeuwen

Definitie en voorbeelden van irrationele getallen

Is dit getal irrationeel?

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Binaire logaritme van het getal 3

e

Verhaal

zie ook

Opmerkingen

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Binaire logaritme van het getal 3

e

Verhaal

zie ook

Opmerkingen

Dit vind je misschien ook leuk