Een irrationeel getal kan een geheel getal zijn. Irrationele getallen: wat zijn ze en waarvoor worden ze gebruikt

01.10.2019

De oude wiskundigen wisten al van een segment met een lengte-eenheid: ze kenden bijvoorbeeld de incommensurabiliteit van de diagonaal en de zijde van het vierkant, wat overeenkomt met de irrationaliteit van het getal.

Irrationeel zijn:

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven in de vorm van een onherleidbare breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Laten we de veronderstelde gelijkheid kwadrateren:

Hieruit volgt dat even even en is. Laat het zijn waar het geheel is. Dan

Daarom betekent zelfs zelfs en . We hebben gevonden dat en even zijn, wat in tegenspraak is met de onherleidbaarheid van de breuk . Dit betekent dat de oorspronkelijke aanname onjuist was en dat het een irrationeel getal is.

Binaire logaritme van het getal 3

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Sinds , en kan positief worden gekozen. Dan

Maar even en vreemd. We krijgen een tegenspraak.

e

Verhaal

mijn concept rationale getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (ca. 750 voor Christus - ca. 690 voor Christus) erachter kwam dat vierkantswortels sommige natuurlijke getallen, zoals 2 en 61, kunnen niet expliciet worden uitgedrukt.

Het eerste bewijs van het bestaan van irrationele getallen wordt gewoonlijk toegeschreven aan Hippasus van Metapontus (ca. 500 v.Chr.), een Pythagoreër die dit bewijs vond door de lengtes van de zijden van het pentagram te bestuderen. In de tijd van de Pythagoreeërs geloofde men dat er één enkele lengte-eenheid bestond, voldoende klein en ondeelbaar, die een geheel aantal keren in elk segment terechtkwam. Hippasus voerde echter aan dat er geen enkele lengte-eenheid bestaat, aangezien de aanname van het bestaan ervan tot een tegenstrijdigheid leidt. Hij toonde aan dat als de hypotenusa van een gelijkbenige rechthoekige driehoek een geheel aantal eenheidssegmenten bevat, dit aantal zowel even als oneven moet zijn. Het bewijs zag er als volgt uit:

De verhouding tussen de lengte van de hypotenusa en de lengte van het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek kan worden uitgedrukt als A:B, Waar A En B zo klein mogelijk gekozen.
Volgens de stelling van Pythagoras: A² = 2 B².
Omdat A- zelfs, A moet even zijn (aangezien het kwadraat van een oneven getal oneven zou zijn).
Omdat A:B onherleidbaar B moet vreemd zijn.
Omdat A zelfs, duiden wij aan A = 2j.
Dan A² = 4 j² = 2 B².
B² = 2 j² dus B- zelfs dan B zelfs.
Het is echter bewezen dat B vreemd. Tegenspraak.

Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensurabele hoeveelheden alogo's(onuitsprekelijk), maar volgens de legenden betoonden ze Hippasus niet het nodige respect. Er is een legende dat Hippasus de ontdekking deed tijdens een zeereis en door andere Pythagoreërs overboord werd gegooid 'omdat hij een element van het universum had gecreëerd dat de leerstelling ontkent dat alle entiteiten in het universum kunnen worden gereduceerd tot gehele getallen en hun verhoudingen'. De ontdekking van Hippasus daagde de wiskunde van Pythagoras uit serieus probleem, waardoor de onderliggende aanname van de hele theorie wordt vernietigd dat getallen en geometrische objecten één en onafscheidelijk zijn.

Zie ook

Opmerkingen

Numerieke systemen
Tellen sets	Natuurlijke getallen () Gehele getallen ()

Definitie van een irrationeel getal

Irrationele getallen zijn getallen die decimale notatie vertegenwoordigen eindeloos niet-periodiek decimalen.

Getallen die worden verkregen door de wortel uit natuurlijke getallen te nemen, zijn dus bijvoorbeeld irrationeel en geen kwadraten van natuurlijke getallen. Maar niet alle irrationele getallen worden verkregen door extractie vierkantswortels, omdat het getal ‘pi’ dat wordt verkregen door deling ook irrationeel is, en het is onwaarschijnlijk dat je het krijgt als je probeert de vierkantswortel uit een natuurlijk getal te extraheren.

Eigenschappen van irrationele getallen

In tegenstelling tot getallen die als oneindige decimalen worden geschreven, worden alleen irrationele getallen als niet-periodieke oneindige decimalen geschreven.
De som van twee niet-negatieve irrationele getallen kan uiteindelijk een rationeel getal worden.
Irrationele cijfers definieer Dedekind-secties in de reeks rationale getallen, waarvan er in de lagere klasse geen grootste getal is, en in de hogere klasse geen kleiner getal.
Elk reëel transcendentaal getal is irrationeel.
Alle irrationele getallen zijn algebraïsch of transcendentaal.
De reeks irrationele getallen op een lijn bevindt zich dicht bij elkaar, en tussen twee willekeurige getallen bevindt zich zeker een irrationeel getal.
De verzameling irrationele getallen is oneindig, ontelbaar en behoort tot de tweede categorie.
Wanneer u een rekenkundige bewerking op rationale getallen uitvoert, behalve deling door 0, is het resultaat een rationaal getal.
Wanneer je een rationeel getal optelt bij een irrationaal getal, is het resultaat altijd een irrationeel getal.
Wanneer we irrationele getallen optellen, kunnen we eindigen met een rationaal getal.
De reeks irrationele getallen is niet even.

Cijfers zijn niet irrationeel

Soms is het behoorlijk moeilijk om de vraag te beantwoorden of een getal irrationeel is, vooral in gevallen waarin het getal de vorm heeft van een decimale breuk of in de vorm van een numerieke uitdrukking, wortel of logaritme.

Daarom is het niet overbodig om te weten welke getallen niet irrationeel zijn. Als we de definitie van irrationele getallen volgen, weten we al dat rationale getallen niet irrationeel kunnen zijn.

Irrationele getallen zijn niet:

Ten eerste alle natuurlijke getallen;
Ten tweede gehele getallen;
Ten derde, gewone breuken;
Ten vierde: anders gemengde cijfers;
Ten vijfde zijn dit oneindige periodieke decimale breuken.

Naast al het bovenstaande kan een irrationeel getal geen enkele combinatie van rationale getallen zijn die wordt uitgevoerd door de tekens van rekenkundige bewerkingen, zoals +, -, , :, aangezien in dit geval het resultaat van twee rationale getallen ook zal zijn een rationeel getal.

Laten we nu eens kijken welke getallen irrationeel zijn:

Kent u het bestaan van een fanclub, waar fans van dit mysterieuze wiskundige fenomeen op zoek zijn naar steeds meer informatie over Pi, in een poging het mysterie ervan te ontrafelen? Iedereen die een bepaald aantal Pi-getallen achter de komma uit zijn hoofd kent, kan lid worden van deze club;

Wist je dat er in Duitsland, onder de bescherming van UNESCO, het Castadel Monte-paleis staat, dankzij de verhoudingen waarvan je Pi kunt berekenen. Koning Frederik II wijdde het hele paleis aan dit nummer.

Het blijkt dat ze bij de bouw van de Toren van Babel het getal Pi probeerden te gebruiken. Maar helaas leidde dit tot de ineenstorting van het project, omdat de exacte berekening van de waarde van Pi op dat moment niet voldoende was bestudeerd.

Zangeres Kate Bush nam in haar nieuwe schijf een nummer op genaamd “Pi”, waarin honderdvierentwintig nummers uit de bekende nummerreeks 3, 141… te horen waren.

Alle rationale getallen kunnen worden weergegeven als een gemeenschappelijke breuk. Dit geldt voor gehele getallen (bijvoorbeeld 12, –6, 0), en eindige decimale breuken (bijvoorbeeld 0,5; –3,8921) en oneindige periodieke decimale breuken (bijvoorbeeld 0,11(23); –3 ,(87 )).

Echter oneindige niet-periodieke decimalen vertegenwoordigen in de vorm gewone breuken onmogelijk. Dat zijn ze irrationele getallen(dat wil zeggen, irrationeel). Een voorbeeld van zo’n getal is het getal π, dat ongeveer gelijk is aan 3,14. Waar het precies gelijk aan is, kan echter niet worden vastgesteld, omdat er na het getal 4 een eindeloze reeks andere getallen is waarin zich herhalende perioden niet te onderscheiden zijn. Hoewel het getal π niet precies kan worden uitgedrukt, heeft het bovendien een specifieke geometrische betekenis. Het getal π is de verhouding tussen de lengte van een cirkel en de lengte van zijn diameter. Irrationele getallen bestaan dus feitelijk in de natuur, net als rationale getallen.

Een ander voorbeeld van irrationele getallen zijn de vierkantswortels van positieve getallen. Het extraheren van wortels uit sommige getallen geeft rationele waarden, van andere - irrationeel. Bijvoorbeeld: √4 = 2, d.w.z. de wortel van 4 is een rationaal getal. Maar √2, √5, √7 en vele andere resulteren in irrationele getallen, dat wil zeggen dat ze alleen bij benadering kunnen worden geëxtraheerd, waarbij wordt afgerond op een bepaald decimaal. In dit geval wordt de breuk niet-periodiek. Dat wil zeggen, het is onmogelijk om precies en definitief te zeggen wat de wortel van deze cijfers is.

Dus √5 is een getal dat tussen de getallen 2 en 3 ligt, aangezien √4 = 2, en √9 = 3. We kunnen ook concluderen dat √5 dichter bij 2 ligt dan bij 3, aangezien √4 dichter bij √5 ligt dan √9 tot √5. Sterker nog, √5 ≈ 2,23 of √5 ≈ 2,24.

Irrationele getallen worden ook verkregen bij andere berekeningen (en niet alleen bij het extraheren van wortels) en kunnen negatief zijn.

Met betrekking tot irrationele getallen kunnen we zeggen dat ongeacht welk eenheidssegment we nemen om de lengte te meten die door een dergelijk getal wordt uitgedrukt, we deze niet definitief zullen kunnen meten.

Bij rekenkundige bewerkingen kunnen irrationele getallen samen met rationale getallen deelnemen. Tegelijkertijd zijn er een aantal regelmatigheden. Als er bijvoorbeeld alleen rationale getallen bij een rekenkundige bewerking betrokken zijn, is het resultaat altijd een rationaal getal. Als alleen irrationele getallen aan de operatie deelnemen, is het onmogelijk om ondubbelzinnig te zeggen of het resultaat een rationeel of irrationeel getal zal zijn.

Als u bijvoorbeeld twee irrationele getallen √2 * √2 vermenigvuldigt, krijgt u 2 - dit is een rationaal getal. Aan de andere kant is √2 * √3 = √6 een irrationeel getal.

Als bij een rekenkundige bewerking rationale en irrationele getallen betrokken zijn, is het resultaat irrationeel. Bijvoorbeeld 1 + 3,14... = 4,14...; √17 – 4.

Waarom is √17 – 4 een irrationeel getal? Laten we ons voorstellen dat we een rationaal getal x krijgen. Dan is √17 = x + 4. Maar x + 4 is een rationeel getal, omdat we ervan uitgingen dat x rationeel is. Het getal 4 is ook rationeel, dus x + 4 is rationeel. Een rationaal getal kan echter niet gelijk zijn aan het irrationele getal √17. Daarom is de veronderstelling dat √17 – 4 een rationeel resultaat oplevert onjuist. Het resultaat van een rekenkundige bewerking zal irrationeel zijn.

Er bestaat echter een uitzondering op deze regel. Als we een irrationaal getal met 0 vermenigvuldigen, krijgen we het rationale getal 0.

Het begrijpen van getallen, vooral natuurlijke getallen, is een van de oudste wiskundige 'vaardigheden'. Veel beschavingen, zelfs moderne, hebben bepaalde mystieke eigenschappen aan getallen toegeschreven vanwege hun enorme belang bij het beschrijven van de natuur. Hoewel moderne wetenschap en de wiskunde deze ‘magische’ eigenschappen niet bevestigt, valt het belang van de getaltheorie niet te ontkennen.

Historisch gezien verscheen er eerst een verscheidenheid aan natuurlijke getallen, waarna er vrij snel breuken en positieve irrationele getallen aan werden toegevoegd. Nul- en negatieve getallen werden geïntroduceerd na deze subsets van de reeks reële getallen. De laatste reeks, de reeks complexe getallen, verscheen pas met de ontwikkeling van de moderne wetenschap.

In de moderne wiskunde worden getallen niet in historische volgorde geïntroduceerd, hoewel ze er wel dichtbij liggen.

Natuurlijke getallen $\mathbb(N)$

De verzameling natuurlijke getallen wordt vaak aangeduid als $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, en wordt vaak opgevuld met nul om $\mathbb(N)_0$ aan te duiden.

$\mathbb(N)$ definieert de bewerkingen van optellen (+) en vermenigvuldigen ($\cdot$) met de volgende eigenschappen voor elke $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ de verzameling $\mathbb(N)$ wordt gesloten onder de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ commutativiteit
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ associativiteit
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributiviteit
5. $a\cdot 1=a$ is een neutraal element voor vermenigvuldiging

Omdat de set $\mathbb(N)$ een neutraal element bevat voor vermenigvuldigen maar niet voor optellen, zorgt het toevoegen van een nul aan deze set ervoor dat deze een neutraal element voor optellen bevat.

Naast deze twee bewerkingen zijn de “kleiner dan”-relaties ($

1. $a b$ trichotomie
2. als $a\leq b$ en $b\leq a$, dan $a=b$ antisymmetrie
3. als $a\leq b$ en $b\leq c$, dan is $a\leq c$ transitief
4. als $a\leq b$ dan $a+c\leq b+c$
5. als $a\leq b$ dan $a\cdot c\leq b\cdot c$

Gehele getallen $\mathbb(Z)$

Voorbeelden van gehele getallen:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Het oplossen van de vergelijking $a+x=b$, waarbij $a$ en $b$ bekende natuurlijke getallen zijn, en $x$ een onbekend natuurlijk getal is, vereist de introductie van een nieuwe bewerking: aftrekken(-). Als er een natuurlijk getal $x$ is dat aan deze vergelijking voldoet, dan is $x=b-a$. Deze specifieke vergelijking heeft echter niet noodzakelijkerwijs een oplossing voor de verzameling $\mathbb(N)$, dus praktische overwegingen vereisen dat de verzameling natuurlijke getallen wordt uitgebreid met oplossingen voor een dergelijke vergelijking. Dit leidt tot de introductie van een reeks gehele getallen: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Aangezien $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ is het logisch om aan te nemen dat de eerder geïntroduceerde bewerkingen $+$ en $\cdot$ en de relaties $ 1. $0+a=a+0=a$ er is een neutraal element voor toevoeging
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ er is een tegengesteld getal $-a$ voor $a$

Eigenschap 5.:
5. als $0\leq a$ en $0\leq b$, dan $0\leq a\cdot b$

De verzameling $\mathbb(Z)$ wordt ook gesloten onder de aftrekkingsbewerking, dat wil zeggen $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Rationele getallen $\mathbb(Q)$

Voorbeelden van rationale getallen:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Beschouw nu vergelijkingen van de vorm $a\cdot x=b$, waarbij $a$ en $b$ bekende gehele getallen zijn, en $x$ een onbekende. Om de oplossing mogelijk te maken, is het noodzakelijk om de delingsoperatie ($:$) te introduceren, en de oplossing heeft de vorm $x=b:a$, dat wil zeggen $x=\frac(b)(a)$ . Opnieuw doet zich het probleem voor dat $x$ niet altijd tot $\mathbb(Z)$ behoort, en dus moet de reeks gehele getallen worden uitgebreid. Dit introduceert de verzameling rationale getallen $\mathbb(Q)$ met de elementen $\frac(p)(q)$, waarbij $p\in \mathbb(Z)$ en $q\in \mathbb(N)$. De verzameling $\mathbb(Z)$ is een deelverzameling waarin elk element $q=1$, dus $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ en de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen strekken zich uit tot deze verzameling volgens de volgende regels, die alle bovenstaande eigenschappen op de set $\mathbb(Q)$ behouden:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

De indeling wordt als volgt geïntroduceerd:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Op de verzameling $\mathbb(Q)$ heeft de vergelijking $a\cdot x=b$ een unieke oplossing voor elke $a\neq 0$ (delen door nul is niet gedefinieerd). Dit betekent dat er een invers element $\frac(1)(a)$ of $a^(-1)$ is:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

De volgorde van de verzameling $\mathbb(Q)$ kan als volgt worden uitgebreid:
$\frac(p_1)(q_1)

De verzameling $\mathbb(Q)$ heeft er één belangrijk bezit: Tussen twee willekeurige rationale getallen bevinden zich oneindig veel andere rationale getallen. Daarom zijn er geen twee aangrenzende rationale getallen, in tegenstelling tot de sets van natuurlijke getallen en gehele getallen.

Irrationele getallen $\mathbb(I)$

Voorbeelden van irrationele getallen:
$\sqrt(2) \circa 1,41422135...$
$\pi\circa 3,1415926535...$

Omdat er tussen twee rationale getallen oneindig veel andere rationale getallen zitten, kun je gemakkelijk ten onrechte concluderen dat de verzameling rationale getallen zo compact is dat het niet nodig is deze verder uit te breiden. Zelfs Pythagoras maakte in zijn tijd zo’n fout. Zijn tijdgenoten weerlegden deze conclusie echter al bij het bestuderen van oplossingen voor de vergelijking $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) op de reeks rationale getallen. Om zo'n vergelijking op te lossen, is het noodzakelijk om het concept van een vierkantswortel te introduceren, en dan heeft de oplossing van deze vergelijking de vorm $x=\sqrt(2)$. Een vergelijking als $x^2=a$, waarbij $a$ een bekend rationeel getal is en $x$ een onbekend getal, heeft niet altijd een oplossing voor de verzameling rationale getallen, en opnieuw ontstaat de noodzaak om de vergelijking uit te breiden. set. Er ontstaat een reeks irrationele getallen, en getallen zoals $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... behoren tot deze reeks.

Reële getallen $\mathbb(R)$

De vereniging van de verzamelingen van rationele en irrationele getallen is de verzameling van reële getallen. Sinds $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ is het opnieuw logisch om aan te nemen dat de geïntroduceerde rekenkundige bewerkingen en relaties hun eigenschappen behouden op de nieuwe set. Het formele bewijs hiervan is erg moeilijk, dus worden de bovengenoemde eigenschappen van rekenkundige bewerkingen en relaties op de reeks reële getallen als axioma's geïntroduceerd. In de algebra wordt zo'n object een veld genoemd, dus de verzameling reële getallen wordt een geordend veld genoemd.

Om de definitie van de verzameling reële getallen compleet te maken, is het noodzakelijk een aanvullend axioma te introduceren dat de verzamelingen $\mathbb(Q)$ en $\mathbb(R)$ onderscheidt. Stel dat $S$ een niet-lege deelverzameling is van de verzameling reële getallen. Een element $b\in \mathbb(R)$ wordt de bovengrens van een verzameling $S$ genoemd als $\forall x\in S$ $x\leq b$ bevat. Dan zeggen we dat de verzameling $S$ hierboven begrensd is. De kleinste bovengrens van de verzameling $S$ wordt het supremum genoemd en wordt aangeduid met $\sup S$. De concepten ondergrens, hieronder begrensd, en infinum $\inf S$ worden op soortgelijke wijze geïntroduceerd. Nu wordt het ontbrekende axioma als volgt geformuleerd:

Elke niet-lege en bovenbegrensde deelverzameling van de verzameling reële getallen heeft een supremum.
Er kan ook worden bewezen dat het veld van reële getallen dat op de bovenstaande manier is gedefinieerd uniek is.

Complexe getallen$\mathbb(C)$

Voorbeelden van complexe getallen:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ waarbij $i = \sqrt(-1)$ of $i^2 = -1$

De verzameling complexe getallen vertegenwoordigt alle geordende paren reële getallen, dat wil zeggen $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, waarop de bewerkingen van Optellen en vermenigvuldigen worden als volgt gedefinieerd:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Er zijn verschillende manieren om complexe getallen te schrijven, waarvan de meest voorkomende $z=a+ib$ is, waarbij $(a,b)$ een paar reële getallen is, en het getal $i=(0,1)$ wordt de denkbeeldige eenheid genoemd.

Het is gemakkelijk aan te tonen dat $i^2=-1$. Door de verzameling $\mathbb(R)$ uit te breiden naar de verzameling $\mathbb(C)$ kunnen we de wortel bepalen van negatieve getallen, wat de reden was voor de introductie van een reeks complexe getallen. Het is ook gemakkelijk om aan te tonen dat een deelverzameling van de verzameling $\mathbb(C)$, gegeven door $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, voldoet aan alle axioma's voor reële getallen, dus $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, of $R\subset\mathbb(C)$.

De algebraïsche structuur van de verzameling $\mathbb(C)$ met betrekking tot de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen heeft de volgende eigenschappen:
1. commutativiteit van optellen en vermenigvuldigen
2. associativiteit van optellen en vermenigvuldigen
3. $0+i0$ - neutraal element voor optelling
4. $1+i0$ - neutraal element voor vermenigvuldiging
5. Vermenigvuldigen is distributief met betrekking tot optellen
6. Er is een enkele inverse voor zowel optellen als vermenigvuldigen.

Irrationeel zijn:

Voorbeelden van bewijs van irrationaliteit

Wortel van 2

Hieruit volgt dat even even en is. Laat het zijn waar het geheel is. Dan

Binaire logaritme van het getal 3

Laten we het tegenovergestelde aannemen: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Sinds , en kan positief worden gekozen. Dan

Maar even en vreemd. We krijgen een tegenspraak.

e

Verhaal

Het concept van irrationele getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manava (ca. 750 voor Christus - ca. 690 voor Christus) erachter kwam dat de vierkantswortels van sommige natuurlijke getallen, zoals 2 en 61, niet expliciet kunnen worden uitgedrukt. .

De verhouding tussen de lengte van de hypotenusa en de lengte van het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek kan worden uitgedrukt als A:B, Waar A En B zo klein mogelijk gekozen.
Volgens de stelling van Pythagoras: A² = 2 B².
Omdat A- zelfs, A moet even zijn (aangezien het kwadraat van een oneven getal oneven zou zijn).
Omdat A:B onherleidbaar B moet vreemd zijn.
Omdat A zelfs, duiden wij aan A = 2j.
Dan A² = 4 j² = 2 B².
B² = 2 j² dus B- zelfs dan B zelfs.
Het is echter bewezen dat B vreemd. Tegenspraak.

Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensurabele hoeveelheden alogo's(onuitsprekelijk), maar volgens de legenden betoonden ze Hippasus niet het nodige respect. Er is een legende dat Hippasus de ontdekking deed tijdens een zeereis en door andere Pythagoreërs overboord werd gegooid 'omdat hij een element van het universum had gecreëerd dat de leerstelling ontkent dat alle entiteiten in het universum kunnen worden gereduceerd tot gehele getallen en hun verhoudingen'. De ontdekking van Hippasus vormde een ernstig probleem voor de wiskunde van Pythagoras en vernietigde de onderliggende veronderstelling dat getallen en geometrische objecten één en onafscheidelijk waren.