Wiskundige analyse van hoe de limiet van een functie kan worden berekend. Bereken functiegrenzen online

09.12.2023

Laten we eens kijken naar enkele illustratieve voorbeelden.

Laat x een numerieke variabele zijn, X het gebied van zijn verandering. Als elk getal x dat bij X hoort, geassocieerd is met een bepaald getal y, dan zeggen ze dat er een functie is gedefinieerd op de verzameling X, en schrijven ze y = f(x).
De X-set is in dit geval een vlak dat bestaat uit twee coördinaatassen: 0X en 0Y. Laten we bijvoorbeeld de functie y = x 2 weergeven. De 0X- en 0Y-assen vormen X - het gebied van de verandering. De figuur laat duidelijk zien hoe de functie zich gedraagt. In dit geval zeggen ze dat de functie y = x 2 is gedefinieerd op de verzameling X.

De verzameling Y van alle deelwaarden van een functie heet de verzameling waarden f(x). Met andere woorden: de reeks waarden is het interval langs de 0Y-as waar de functie is gedefinieerd. Uit de weergegeven parabool blijkt duidelijk dat f(x) > 0, omdat x2 > 0. Daarom zal het bereik van waarden zijn. We kijken naar veel waarden met 0Y.

De verzameling van alle x wordt het domein van f(x) genoemd. We kijken naar veel definities van 0X en in ons geval is het bereik van acceptabele waarden [-; +].

Een punt a (a behoort tot of X) wordt een grenspunt van de verzameling X genoemd als er in een omgeving van het punt a punten van de verzameling X zijn die verschillen van a.

De tijd is gekomen om te begrijpen wat de limiet van een functie is?

De zuivere b waarnaar de functie neigt zoals x neigt naar het getal a wordt genoemd grens van de functie. Dit is als volgt geschreven:

Bijvoorbeeld f(x) = x 2. We moeten uitzoeken waar de functie naar neigt (niet gelijk aan is) bij x 2. Eerst noteren we de limiet:

Laten we naar de grafiek kijken.

Laten we een lijn trekken evenwijdig aan de 0Y-as door punt 2 op de 0X-as. Het zal onze grafiek snijden op punt (2;4). Laten we vanaf dit punt een loodlijn laten vallen op de 0Y-as en naar punt 4 gaan. Dit is waar onze functie naar streeft bij x 2. Als we nu de waarde 2 vervangen door de functie f(x), zal het antwoord hetzelfde zijn .

Nu voordat we verder gaan berekening van limieten Laten we basisdefinities introduceren.

Geïntroduceerd door de Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy in de 19e eeuw.

Stel dat de functie f(x) is gedefinieerd op een bepaald interval dat het punt x = A bevat, maar het is helemaal niet nodig dat de waarde van f(A) wordt gedefinieerd.

Vervolgens, volgens de definitie van Cauchy, grens van de functie f(x) zal een bepaald getal B zijn waarbij x neigt naar A als er voor elke C > 0 een getal D > 0 is waarvoor

Die. als de functie f(x) bij x A wordt begrensd door limiet B, wordt dit in de vorm geschreven

Sequentielimiet een bepaald getal A wordt aangeroepen als er voor elk willekeurig klein positief getal B > 0 een getal N is waarvoor alle waarden in het geval n > N voldoen aan de ongelijkheid

Deze limiet lijkt op .

Een reeks die een limiet heeft, wordt convergent genoemd; zo niet, dan noemen we deze divergent.

Zoals je al hebt opgemerkt, worden limieten aangegeven door het lim-pictogram, waaronder een voorwaarde voor de variabele wordt geschreven, en vervolgens wordt de functie zelf geschreven. Zo'n verzameling wordt gelezen als "de limiet van een functie onderworpen aan...". Bijvoorbeeld:

- de limiet van de functie als x neigt naar 1.

De uitdrukking ‘1 naderen’ betekent dat x achtereenvolgens waarden aanneemt die 1 oneindig dichtbij benaderen.

Nu wordt het duidelijk dat het voor het berekenen van deze limiet voldoende is om x te vervangen door de waarde 1:

Naast een specifieke numerieke waarde kan x ook naar oneindig neigen. Bijvoorbeeld:

De uitdrukking x betekent dat x voortdurend toeneemt en onbeperkt de oneindigheid nadert. Als we daarom oneindig vervangen in plaats van x, wordt het duidelijk dat de functie 1-x zal neigen naar , maar met het tegenovergestelde teken:

Dus, berekening van limieten komt neer op het vinden van de specifieke waarde ervan of een bepaald gebied waarin de door de limiet begrensde functie valt.

Op basis van het bovenstaande volgt hieruit dat het bij het berekenen van limieten belangrijk is om verschillende regels te gebruiken:

Begrip essentie van limiet en basisregels limietberekeningen, krijgt u belangrijk inzicht in hoe u deze kunt oplossen. Als een limiet u problemen bezorgt, schrijf dan in de reacties en we zullen u zeker helpen.

Opmerking: Jurisprudentie is de wetenschap van wetten, die helpt bij conflicten en andere levensmoeilijkheden.

Functie y = f (X) is een wet (regel) volgens welke elk element x van de verzameling X geassocieerd is met slechts één element y van de verzameling Y.

Element x ∈ X genaamd functie-argument of onafhankelijke variabele.
Element y ∈ Y genaamd functie waarde of afhankelijke variabele.

De verzameling X wordt aangeroepen domein van de functie.
Verzameling elementen y ∈ Y, die voorafbeeldingen hebben in de set X, wordt genoemd gebied of een reeks functiewaarden.

De eigenlijke functie wordt aangeroepen beperkt van bovenaf (van onderen), als er een getal M is zodat de ongelijkheid voor iedereen geldt:
.
De getalfunctie wordt aangeroepen beperkt, als er een getal M is zodat voor iedereen:
.

Bovenrand of exacte bovengrens Een echte functie wordt het kleinste getal genoemd dat het bereik van waarden van bovenaf beperkt. Dat wil zeggen, dit is een getal s waarvoor, voor iedereen en voor iedereen, een argument bestaat waarvan de functiewaarde groter is dan s′: .
De bovengrens van een functie kan als volgt worden aangegeven:
.

Respectievelijk onderrand of exacte ondergrens Een echte functie wordt het grootste getal genoemd dat het bereik van waarden van onderaf beperkt. Dat wil zeggen, dit is een getal i waarvoor, voor iedereen en voor iedereen, een argument bestaat waarvan de functiewaarde kleiner is dan i′: .
Het infimum van een functie kan als volgt worden aangegeven:
.

De limiet van een functie bepalen

Bepaling van de limiet van een functie volgens Cauchy

Eindige functiegrenzen op eindpunten

Laat de functie gedefinieerd worden in een bepaalde buurt van het eindpunt, met de mogelijke uitzondering van het punt zelf. op een gegeven moment als er zoiets bestaat, afhankelijk van , dat voor alle x waarvoor de ongelijkheid geldt
.
De limiet van een functie wordt als volgt aangegeven:
.
Of bij .

Met behulp van de logische symbolen van bestaan en universaliteit kan de definitie van de limiet van een functie als volgt worden geschreven:
.

Eenzijdige grenzen.
Linkerlimiet op een punt (linkerzijdige limiet):
.
Rechterlimiet op een punt (rechterlimiet):
.
De linker- en rechterlimieten worden vaak als volgt aangegeven:
; .

Eindige grenzen van een functie op punten op oneindig

Grenzen op punten op oneindig worden op een vergelijkbare manier bepaald.
.
.
.
Ze worden vaak genoemd:
; ; .

Het concept van de buurt van een punt gebruiken

Als we het concept van een lekke buurt van een punt introduceren, kunnen we een uniforme definitie geven van de eindige limiet van een functie op eindige en oneindig verre punten:
.
Hier voor eindpunten
; ;
.
Elke buurt van punten op oneindig wordt doorboord:
; ; .

Oneindige functielimieten

Definitie
Laat de functie worden gedefinieerd in een doorboorde buurt van een punt (eindig of op oneindig). Functielimiet f (X) als x → x 0 is gelijk aan oneindig, als voor een willekeurig groot getal M > 0 , er is een getal δ M > 0 , afhankelijk van M, dat voor alle x die tot de lekke δ M - buurt van het punt behoren: , de volgende ongelijkheid geldt:
.
De oneindige limiet wordt als volgt aangegeven:
.
Of bij .

Met behulp van de logische symbolen van bestaan en universaliteit kan de definitie van de oneindige limiet van een functie als volgt worden geschreven:
.

Je kunt ook definities introduceren van oneindige limieten van bepaalde tekens gelijk aan en:
.
.

Universele definitie van de limiet van een functie

Door het concept van een buurt van een punt te gebruiken, kunnen we een universele definitie geven van de eindige en oneindige limiet van een functie, toepasbaar zowel voor eindige (tweezijdige en eenzijdige) als oneindig verre punten:
.

Bepaling van de limiet van een functie volgens Heine

Laat de functie worden gedefinieerd op een verzameling X:.
Het getal a wordt de limiet van de functie genoemd op punt:
,
if voor elke reeks die convergeert naar x 0 :
,
waarvan de elementen tot de verzameling X behoren: ,
.

Laten we deze definitie schrijven met behulp van de logische symbolen van bestaan en universaliteit:
.

Als we de linkerzijde van het punt x als een verzameling X nemen 0 , dan verkrijgen we de definitie van de linkerlimiet. Als het rechtshandig is, krijgen we de definitie van de juiste limiet. Als we de omgeving van een punt op oneindig als een verzameling X nemen, krijgen we de definitie van de limiet van een functie op oneindig.

Stelling
De definities van Cauchy en Heine van de limiet van een functie zijn gelijkwaardig.
Bewijs

Eigenschappen en stellingen van de limiet van een functie

Verder nemen we aan dat de beschouwde functies worden gedefinieerd in de overeenkomstige omgeving van het punt, wat een eindig getal is of een van de symbolen: . Het kan ook een eenzijdig grenspunt zijn, dat wil zeggen de vorm of hebben. De buurt is tweezijdig voor een tweezijdige grens en eenzijdig voor een eenzijdige grens.

Basiseigenschappen

Als de waarden van de functie f (X) verander (of maak ongedefinieerd) een eindig aantal punten x 1, x 2, x 3, ... x n, dan heeft deze verandering geen invloed op het bestaan en de waarde van de limiet van de functie op een willekeurig punt x 0 .

Als er een eindige limiet is, dan is er een lekke omgeving van het punt x 0 , waarop de functie f (X) beperkt:
.

Stel dat de functie zich in punt x bevindt 0 eindige niet-nul limiet:
.
Dan is er voor elk getal c uit het interval zo'n lekke buurt van het punt x 0 Waarvoor,
, Als ;
, Als .

Als op een lekke buurt van het punt , een constante is, dan is .

Als er eindige grenzen zijn en en op een lekke buurt van het punt x 0
,
Dat .

Als , en op een bepaalde buurt van het punt
,
Dat .
In het bijzonder als het zich in een bepaalde buurt van een punt bevindt
,
dan als , dan en ;
als, dan en.

Als het zich op een lekke buurt van een punt x bevindt 0 :
,
en er zijn eindige (of oneindige van een bepaald teken) gelijke grenzen:
, Dat
.

Bewijzen van de belangrijkste eigenschappen worden op de pagina gegeven
"Basiseigenschappen van de grenzen van een functie."

Rekenkundige eigenschappen van de limiet van een functie

Laat de functies worden gedefinieerd in een lekke buurt van het punt. En laat er eindige grenzen zijn:
En .
En laat C een constante zijn, dat wil zeggen een bepaald getal. Dan
;
;
;
, Als .

Als dan.

Bewijzen van rekenkundige eigenschappen worden op de pagina gegeven
‘Rekenkundige eigenschappen van de grenzen van een functie’.

Cauchy-criterium voor het bestaan van een limiet van een functie

Stelling
Om een functie te definiëren die is gedefinieerd op een doorboorde buurt van een eindig of oneindig ver punt x 0 , op dit punt een eindige limiet had, is het noodzakelijk en voldoende dat voor elke ε > 0 er was zo'n lekke buurt van het punt x 0 , dat voor alle punten en vanuit deze buurt de volgende ongelijkheid geldt:
.

Limiet van een complexe functie

Stelling over de limiet van een complexe functie
Laat de functie een limiet hebben en wijs een lekke buurt van een punt toe aan een lekke buurt van een punt. Laat de functie voor deze buurt worden gedefinieerd en stel er een limiet voor in.
Hier zijn de laatste of oneindig verre punten: . Buurten en hun bijbehorende grenzen kunnen tweezijdig of eenzijdig zijn.
Dan is er een limiet van een complexe functie en deze is gelijk aan:
.

De limietstelling van een complexe functie wordt toegepast wanneer de functie niet op een punt is gedefinieerd of een andere waarde heeft dan de limiet. Om deze stelling toe te passen, moet er een lekke buurt van het punt zijn waar de reeks waarden van de functie het punt niet bevat:
.

Als de functie continu is op punt , kan het limietteken worden toegepast op het argument van de continue functie:
.
Het volgende is een stelling die overeenkomt met dit geval.

Stelling over de limiet van een continue functie van een functie
Stel dat er een limiet is voor de functie g (T) als t → t 0 , en het is gelijk aan x 0 :
.
Hier is punt t 0 kan eindig of oneindig ver weg zijn: .
En laat de functie f (X) is continu in punt x 0 .
Dan is er een limiet van de complexe functie f (g(t)), en het is gelijk aan f (x0):
.

Bewijzen van de stellingen worden op de pagina gegeven
"Grens en continuïteit van een complexe functie".

Oneindig kleine en oneindig grote functies

Oneindig kleine functies

Definitie
Een functie heet oneindig klein als
.

Som, verschil en product van een eindig aantal oneindig kleine functies op is een oneindig kleine functie op .

Product van een functie begrensd op een lekke buurt van het punt, is een oneindig kleine functie op een oneindig kleine functie.

Om een functie een eindige limiet te laten hebben, is het noodzakelijk en voldoende dat
,
waar is een oneindig kleine functie op .

‘Eigenschappen van oneindig kleine functies’.

Oneindig grote functies

Definitie
Er wordt gezegd dat een functie oneindig groot is als
.

De som of het verschil van een begrensde functie, op een doorboorde buurt van het punt, en een oneindig grote functie op is een oneindig grote functie op .

Als de functie oneindig groot is voor , en de functie wordt begrensd op een lekke buurt van het punt, dan
.

Als de functie , op een lekke buurt van het punt , voldoet aan de ongelijkheid:
,
en de functie is oneindig klein bij:
, en (op een lekke buurt van het punt), dan
.

Bewijzen van de eigenschappen worden in sectie gepresenteerd
"Eigenschappen van oneindig grote functies".

Relatie tussen oneindig grote en oneindig kleine functies

Uit de twee voorgaande eigenschappen volgt het verband tussen oneindig grote en oneindig kleine functies.

Als een functie oneindig groot is bij , dan is de functie oneindig klein bij .

Als een functie oneindig klein is voor , en , dan is de functie oneindig groot voor .

De relatie tussen een oneindig kleine en een oneindig grote functie kan symbolisch worden uitgedrukt:
, .

Als een oneindig kleine functie een bepaald teken heeft bij , dat wil zeggen dat deze positief (of negatief) is op een lekke buurt van het punt , dan kan dit feit als volgt worden uitgedrukt:
.
Op dezelfde manier, als een oneindig grote functie een bepaald teken bij heeft, schrijven ze:
.

Vervolgens kan de symbolische verbinding tussen oneindig kleine en oneindig grote functies worden aangevuld met de volgende relaties:
, ,
, .

Aanvullende formules met betrekking tot oneindigheidssymbolen zijn te vinden op de pagina
"Punten op oneindig en hun eigenschappen."

Grenzen van monotone functies

Definitie
Een functie die is gedefinieerd op een set reële getallen X wordt aangeroepen strikt toenemen, als voor iedereen de volgende ongelijkheid geldt:
.
Dienovereenkomstig, voor strikt afnemend functie geldt de volgende ongelijkheid:
.
Voor niet-afnemend:
.
Voor niet-verhogend:
.

Hieruit volgt dat een strikt stijgende functie ook niet-afnemend is. Een strikt afnemende functie is ook niet-stijgend.

De functie wordt aangeroepen eentonig, als het niet-afnemend of niet-toenemend is.

Stelling
Laat de functie niet afnemen op het interval waar .
Als het hierboven wordt begrensd door het getal M: dan is er een eindige limiet. Als het niet van bovenaf wordt beperkt, dan .
Als het van onderaf wordt begrensd door het getal m: dan is er een eindige limiet. Als het niet van onderaf wordt beperkt, dan .

Als de punten a en b op oneindig liggen, betekenen de limiettekens in de uitdrukkingen dat .
Deze stelling kan compacter worden geformuleerd.

Laat de functie niet afnemen op het interval waar . Dan zijn er eenzijdige grenzen op de punten a en b:
;
.

Een soortgelijke stelling voor een niet-stijgende functie.

Laat de functie niet toenemen op het interval waar . Dan zijn er eenzijdige grenzen:
;
.

Het bewijs van de stelling wordt op de pagina gepresenteerd
‘Grenzen van monotone functies’.

Referenties:
L.D. Kudryavtsev. Cursus wiskundige analyse. Deel 1. Moskou, 2003.
CM. Nikolski. Cursus wiskundige analyse. Deel 1. Moskou, 1983.

In dit onderwerp zullen we alle drie de hierboven genoemde groepen limieten met irrationaliteit beschouwen. Laten we beginnen met limieten die onzekerheid bevatten in de vorm $\frac(0)(0)$.

Openbaarmaking van onzekerheid $\frac(0)(0)$.

De oplossing voor dit soort standaardvoorbeelden bestaat doorgaans uit twee stappen:

We ontdoen ons van de irrationaliteit die onzekerheid veroorzaakte door te vermenigvuldigen met de zogenaamde ‘geconjugeerde’ uitdrukking;
Indien nodig kunt u de uitdrukking ontbinden in de teller of noemer (of beide);
We reduceren de factoren die tot onzekerheid leiden en berekenen de gewenste waarde van de limiet.

De hierboven gebruikte term "conjugaatexpressie" zal in de voorbeelden gedetailleerd worden uitgelegd. Er is vooralsnog geen reden om daar uitgebreid op in te gaan. Over het algemeen kunt u de andere kant op gaan, zonder de geconjugeerde uitdrukking te gebruiken. Soms kan een goedgekozen vervanging de irrationaliteit wegnemen. Dergelijke voorbeelden zijn zeldzaam in standaardtests, dus we zullen slechts één voorbeeld nr. 6 beschouwen voor het gebruik van vervanging (zie het tweede deel van dit onderwerp).

We hebben verschillende formules nodig, die ik hieronder zal opschrijven:

\begin(vergelijking) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(vergelijking) \begin(vergelijking) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(vergelijking) \begin(vergelijking) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(vergelijking) \begin (vergelijking) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(vergelijking)

Daarnaast gaan we ervan uit dat de lezer de formules kent voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Als $x_1$ en $x_2$ de wortels zijn van de kwadratische trinominaal $ax^2+bx+c$, dan kan deze worden ontbonden met behulp van de volgende formule:

\begin(vergelijking) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(vergelijking)

Formules (1)-(5) zijn ruim voldoende voor het oplossen van standaardproblemen, waar we nu verder mee zullen gaan.

Voorbeeld nr. 1

Zoek $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Sinds $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ en $\lim_(x\ tot 3) (x-3)=3-3=0$, dan hebben we binnen de gegeven limiet een onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Het verschil $\sqrt(7-x)-2$ weerhoudt ons ervan deze onzekerheid bloot te leggen. Om dergelijke irrationaliteiten weg te nemen, wordt vermenigvuldiging met de zogenaamde “geconjugeerde uitdrukking” gebruikt. We zullen nu bekijken hoe een dergelijke vermenigvuldiging werkt. Vermenigvuldig $\sqrt(7-x)-2$ met $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Om de haakjes te openen, past u toe, waarbij u $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ vervangt aan de rechterkant van de genoemde formule:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Zoals je kunt zien, zal de wortel (dat wil zeggen de irrationaliteit) in de teller verdwijnen als je de teller vermenigvuldigt met $\sqrt(7-x)+2$. Deze expressie $\sqrt(7-x)+2$ zal zijn conjugeren aan de uitdrukking $\sqrt(7-x)-2$. We kunnen de teller echter niet eenvoudigweg vermenigvuldigen met $\sqrt(7-x)+2$, omdat hierdoor de breuk $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ onder de limiet zal veranderen . Je moet zowel de teller als de noemer tegelijkertijd vermenigvuldigen:

$$ \lim_(x\naar 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\naar 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Onthoud nu dat $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ en open de haakjes. En na het openen van de haakjes en een kleine transformatie $3-x=-(x-3)$, verminderen we de breuk met $x-3$:

$$ \lim_(x\tot 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\tot 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\tot 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\tot 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

De onzekerheid $\frac(0)(0)$ is verdwenen. Nu kunt u eenvoudig het antwoord van dit voorbeeld krijgen:

$$ \lim_(x\tot 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Ik merk op dat de geconjugeerde uitdrukking zijn structuur kan veranderen, afhankelijk van het soort irrationaliteit dat hij moet verwijderen. In voorbeelden nr. 4 en nr. 5 (zie het tweede deel van dit onderwerp) zal een ander type geconjugeerde expressie worden gebruikt.

Antwoord: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Voorbeeld nr. 2

Zoek $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Sinds $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ en $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, dan gaan we hebben te maken met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Laten we de irrationaliteit in de noemer van deze breuk wegwerken. Om dit te doen, voegen we zowel de teller als de noemer van de breuk $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ toe aan de uitdrukking $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ vervoegt aan de noemer:

$$ \lim_(x\tot 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\tot 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Ook hier moet je, net als in voorbeeld nr. 1, haakjes gebruiken om uit te breiden. Door $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ aan de rechterkant van de genoemde formule te vervangen, verkrijgen we de volgende uitdrukking voor de noemer:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ rechts)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Laten we terugkeren naar onze limiet:

$$ \lim_(x\tot 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\tot 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\tot 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

In voorbeeld nr. 1 werd de fractie vrijwel onmiddellijk na vermenigvuldiging met de geconjugeerde uitdrukking verminderd. Hier moet u vóór de reductie de uitdrukkingen $3x^2-5x-2$ en $x^2-4$ ontbinden in factoren, en pas daarna doorgaan met de reductie. Om de uitdrukking $3x^2-5x-2$ te ontbinden, moet je gebruiken. Laten we eerst de kwadratische vergelijking $3x^2-5x-2=0$ oplossen:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(uitgelijnd) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(uitgelijnd) $$

Als we $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ vervangen door , krijgen we:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Nu is het tijd om de uitdrukking $x^2-4$ te ontbinden in factoren. Laten we gebruiken, waarbij we $a=x$, $b=2$ erin vervangen:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Laten we de verkregen resultaten gebruiken. Aangezien $x^2-4=(x-2)(x+2)$ en $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, geldt dan:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Door te verminderen met het haakje $x-2$ krijgen we:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Alle! De onzekerheid is verdwenen. Nog één stap en we komen tot het antwoord:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Antwoord: $\lim_(x\tot 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

Beschouw in het volgende voorbeeld het geval waarin irrationaliteiten aanwezig zullen zijn in zowel de teller als de noemer van de breuk.

Voorbeeld nr. 3

Vind $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Sinds $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ en $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, dan hebben we een onzekerheid van de vorm $ \frac (0)(0)$. Omdat in dit geval de wortels zowel in de noemer als in de teller aanwezig zijn, moet je, om de onzekerheid weg te nemen, met twee haakjes tegelijk vermenigvuldigen. Eerst wordt de uitdrukking $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ geconjugeerd met de teller. En ten tweede, om de uitdrukking $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ te vervoegen tot de noemer.

$$ \lim_(x\tot 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\tot 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2 -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(uitgelijnd) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(uitgelijnd) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Voor de uitdrukking $x^2-8x+15$ krijgen we:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(uitgelijnd) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(uitgelijnd)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Vervanging van de resulterende uitbreidingen $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ en $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ binnen de limiet in behandeling, zal beschikken over:

$$ \lim_(x\tot 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\tot 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\tot 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Antwoord: $\lim_(x\tot 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

In het volgende (tweede) deel zullen we nog een paar voorbeelden bekijken waarin de geconjugeerde uitdrukking een andere vorm zal hebben dan in de voorgaande problemen. Het belangrijkste om te onthouden is dat het doel van het gebruik van een geconjugeerde uitdrukking het wegnemen van de irrationaliteit is die onzekerheid veroorzaakt.

De eerste opmerkelijke grens is de volgende gelijkheid:

\begin(vergelijking)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(vergelijking)

Omdat we voor $\alpha\to(0)$ $\sin\alpha\to(0)$ hebben, zeggen ze dat de eerste opmerkelijke limiet een onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$ onthult. Over het algemeen kan in formule (1) in plaats van de variabele $\alpha$ elke uitdrukking onder het sinusteken en in de noemer worden geplaatst, zolang aan twee voorwaarden wordt voldaan:

De uitdrukkingen onder het sinusteken en in de noemer neigen tegelijkertijd naar nul, d.w.z. er is onzekerheid in de vorm $\frac(0)(0)$.
De uitdrukkingen onder het sinusteken en in de noemer zijn hetzelfde.

Uitvloeisels uit de eerste opmerkelijke grens worden ook vaak gebruikt:

\begin(vergelijking) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(vergelijking) \begin(vergelijking) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(vergelijking) \begin(vergelijking) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \einde(vergelijking)

Op deze pagina worden elf voorbeelden opgelost. Voorbeeld nr. 1 is gewijd aan het bewijs van formules (2)-(4). Voorbeelden nr. 2, nr. 3, nr. 4 en nr. 5 bevatten oplossingen met gedetailleerd commentaar. Voorbeelden nr. 6-10 bevatten oplossingen met vrijwel geen commentaar, omdat in eerdere voorbeelden gedetailleerde uitleg werd gegeven. De oplossing maakt gebruik van enkele trigonometrische formules die kunnen worden gevonden.

Ik wil opmerken dat de aanwezigheid van trigonometrische functies gekoppeld aan de onzekerheid $\frac (0) (0)$ niet noodzakelijkerwijs de toepassing van de eerste opmerkelijke limiet betekent. Soms zijn eenvoudige trigonometrische transformaties voldoende, zie bijvoorbeeld.

Voorbeeld nr. 1

Bewijs dat $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Sinds $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, dan:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Sinds $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ en $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Dat:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Laten we de wijziging $\alpha=\sin(y)$ doorvoeren. Omdat $\sin(0)=0$, hebben we vanuit de voorwaarde $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. Daarnaast is er een buurt van nul waarin $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, dus:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\tot(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\tot(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

De gelijkheid $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ is bewezen.

c) Laten we de vervanging $\alpha=\tg(y)$ maken. Omdat $\tg(0)=0$ zijn de voorwaarden $\alpha\to(0)$ en $y\to(0)$ gelijkwaardig. Bovendien is er een buurt van nul waarin $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, daarom zullen we, gebaseerd op de resultaten van punt a), het volgende hebben:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\tot(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\tot(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

De gelijkheid $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ is bewezen.

Gelijkheden a), b), c) worden vaak gebruikt in combinatie met de eerste opmerkelijke limiet.

Voorbeeld nr. 2

Bereken de limiet $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Sinds $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ en $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, d.w.z. en de teller en de noemer van de breuk neigen tegelijkertijd naar nul, dan hebben we hier te maken met een onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$, d.w.z. klaar. Bovendien is het duidelijk dat de uitdrukkingen onder het sinusteken en in de noemer samenvallen (d.w.z. en er is voldaan):

Er is dus voldaan aan beide voorwaarden die aan het begin van de pagina worden vermeld. Hieruit volgt dat de formule van toepassing is, d.w.z. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Antwoord: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Voorbeeld nr. 3

Zoek $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Omdat $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ en $\lim_(x\to(0))x=0$ hebben we te maken met een onzekerheid van de vorm $\frac (0 )(0)$, d.w.z. klaar. De uitdrukkingen onder het sinusteken en in de noemer vallen echter niet samen. Hier moet u de uitdrukking in de noemer aanpassen aan de gewenste vorm. We hebben de uitdrukking $9x$ nodig om in de noemer te staan, dan wordt deze waar. In wezen missen we een factor $9$ in de noemer, wat niet zo moeilijk is om in te voeren. Vermenigvuldig gewoon de uitdrukking in de noemer met $9$. Om de vermenigvuldiging met $9$ te compenseren, moet je uiteraard onmiddellijk delen door $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\naar(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\naar(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Nu vallen de uitdrukkingen in de noemer en onder het sinusteken samen. Aan beide voorwaarden voor de limiet $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ is voldaan. Daarom is $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. En dit betekent dat:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Voorbeeld nr. 4

Zoek $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Omdat $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ en $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ hebben we hier te maken met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. De vorm van de eerste opmerkelijke grens wordt echter geschonden. Een teller die $\sin(5x)$ bevat, vereist een noemer van $5x$. In deze situatie is de eenvoudigste manier om de teller te delen door $5x$ en dit onmiddellijk te vermenigvuldigen met $5x$. Daarnaast zullen we een soortgelijke bewerking uitvoeren met de noemer, waarbij we $\tg(8x)$ vermenigvuldigen en delen door $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Als we reduceren met $x$ en de constante $\frac(5)(8)$ buiten het limietteken nemen, krijgen we:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Merk op dat $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ volledig voldoet aan de vereisten voor de eerste opmerkelijke limiet. Om $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ te vinden is de volgende formule van toepassing:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Voorbeeld nr. 5

Zoek $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Aangezien $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (onthoud dat $\cos(0)=1$) en $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, dan hebben we te maken met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Om echter de eerste opmerkelijke limiet toe te passen, moet je de cosinus in de teller verwijderen en verder gaan met sinussen (om vervolgens de formule toe te passen) of raaklijnen (om vervolgens de formule toe te passen). Dit kan met de volgende transformatie:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Laten we teruggaan naar de limiet:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

De breuk $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ligt al dicht bij de vorm die vereist is voor de eerste opmerkelijke limiet. Laten we een beetje werken met de breuk $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, en deze aanpassen aan de eerste opmerkelijke limiet (merk op dat de uitdrukkingen in de teller en onder de sinus moeten overeenkomen):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Laten we terugkeren naar de betreffende limiet:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Voorbeeld nr. 6

Zoek de limiet $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Aangezien $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ en $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, dan we hebben te maken met onzekerheid $\frac(0)(0)$. Laten we het onthullen met behulp van de eerste opmerkelijke limiet. Om dit te doen, gaan we van cosinus naar sinus. Aangezien $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, geldt dan:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Als we doorgaan naar sinussen binnen de gegeven limiet, krijgen we:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\tot(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\tot(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Voorbeeld nr. 7

Bereken de limiet $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ onderworpen aan $\alpha\neq \ bèta$.

Gedetailleerde uitleg werd eerder gegeven, maar hier merken we simpelweg op dat er opnieuw sprake is van onzekerheid $\frac(0)(0)$. Laten we van cosinus naar sinus gaan met behulp van de formule

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Met behulp van deze formule krijgen we:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\rechts| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Voorbeeld nr. 8

Zoek de limiet $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Aangezien $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (onthoud dat $\sin(0)=\tg(0)=0$) en $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, dan hebben we hier te maken met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Laten we het als volgt opsplitsen:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Antwoord: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Voorbeeld nr. 9

Zoek de limiet $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Sinds $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ en $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, dan is er onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Voordat u verdergaat met de uitbreiding ervan, is het handig om de variabele zodanig te wijzigen dat de nieuwe variabele naar nul neigt (merk op dat in de formules de variabele $\alpha \to 0$ is). De eenvoudigste manier is om de variabele $t=x-3$ te introduceren. Voor het gemak van verdere transformaties (dit voordeel kun je zien in de loop van de onderstaande oplossing) is het echter de moeite waard om de volgende vervanging uit te voeren: $t=\frac(x-3)(2)$. Ik merk op dat beide vervangingen in dit geval van toepassing zijn, alleen kun je met de tweede vervanging minder met breuken werken. Sinds $x\to(3)$, dan $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\rechts| =\left|\begin(uitgelijnd)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(uitgelijnd)\right| =\lim_(t\tot(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\tot(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\tot(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\tot(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Antwoord: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Voorbeeld nr. 10

Zoek de limiet $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Opnieuw hebben we te maken met onzekerheid $\frac(0)(0)$. Voordat u verdergaat met de uitbreiding ervan, is het handig om de variabele zodanig te wijzigen dat de nieuwe variabele naar nul neigt (merk op dat in de formules de variabele $\alpha\to(0)$ is). De eenvoudigste manier is om de variabele $t=\frac(\pi)(2)-x$ te introduceren. Sinds $x\to\frac(\pi)(2)$, dan $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\links|\frac(0)(0)\rechts| =\left|\begin(uitgelijnd)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(uitgelijnd)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\tot(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\tot(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Antwoord: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Voorbeeld nr. 11

Zoek de limieten $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

In dit geval hoeven we de eerste prachtige limiet niet te gebruiken. Houd er rekening mee dat zowel de eerste als de tweede limiet alleen trigonometrische functies en getallen bevatten. Vaak is het in dit soort voorbeelden mogelijk om de uitdrukking onder het limietteken te vereenvoudigen. Bovendien verdwijnt de onzekerheid na de bovengenoemde vereenvoudiging en reductie van enkele factoren. Ik heb dit voorbeeld slechts voor één doel gegeven: om aan te tonen dat de aanwezigheid van trigonometrische functies onder het limietteken niet noodzakelijkerwijs het gebruik van de eerste opmerkelijke limiet betekent.

Omdat $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (onthoud dat $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) en $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (laat me je eraan herinneren dat $\cos\frac(\pi)(2)=0$), dan hebben we omgaan met onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Dit betekent echter niet dat we de eerste prachtige limiet moeten gebruiken. Om de onzekerheid duidelijk te maken, volstaat het om rekening te houden met het volgende: $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\naar\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\naar\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Er staat een soortgelijke oplossing in het oplossingenboek van Demidovich (nr. 475). Wat de tweede limiet betreft, hebben we, net als in de voorgaande voorbeelden in deze sectie, een onzekerheid van de vorm $\frac(0)(0)$. Waarom ontstaat het? Het ontstaat omdat $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ en $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. We gebruiken deze waarden om de uitdrukkingen in de teller en de noemer te transformeren. Het doel van onze acties is om de som als product in de teller en de noemer op te schrijven. Overigens is het binnen een soortgelijk type vaak handig om een variabele te wijzigen, die zo is gemaakt dat de nieuwe variabele naar nul neigt (zie bijvoorbeeld voorbeelden nr. 9 of nr. 10 op deze pagina). In dit voorbeeld heeft het echter geen zin om te vervangen, hoewel het desgewenst vervangen van de variabele $t=x-\frac(2\pi)(3)$ niet moeilijk te implementeren is.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ naar\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Zoals je kunt zien, hoefden we de eerste prachtige limiet niet toe te passen. Natuurlijk kunt u dit doen als u dat wilt (zie opmerking hieronder), maar het is niet noodzakelijk.

Wat is de oplossing met behulp van de eerste opmerkelijke limiet? laten zien verbergen

Met behulp van de eerste opmerkelijke limiet krijgen we:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ rechts))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Antwoord: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

De theorie van de limieten is een van de takken van de wiskundige analyse. De kwestie van het oplossen van limieten is vrij uitgebreid, omdat er tientallen methoden zijn voor het oplossen van limieten van verschillende typen. Er zijn tientallen nuances en trucs waarmee je deze of gene limiet kunt oplossen. Niettemin zullen we nog steeds proberen de belangrijkste soorten limieten te begrijpen die in de praktijk het vaakst voorkomen.

Laten we beginnen met het concept van een limiet. Maar eerst een korte historische achtergrond. Er leefde in de 19e eeuw een Fransman, Augustin Louis Cauchy, die de basis legde voor de wiskundige analyse en strikte definities gaf, in het bijzonder de definitie van een limiet. Het moet gezegd worden dat dezelfde Cauchy in de nachtmerries was, is en zal zijn van alle studenten natuurkunde en wiskunde, aangezien hij een groot aantal stellingen van wiskundige analyse bewees, en elke stelling walgelijker is dan de andere. In dit opzicht zullen we geen strikte definitie van de limiet overwegen, maar zullen we proberen twee dingen te doen:

1. Begrijp wat een limiet is.
2. Leer de belangrijkste soorten limieten op te lossen.

Mijn excuses voor enkele onwetenschappelijke verklaringen, het is belangrijk dat het materiaal zelfs voor een theepot begrijpelijk is, wat in feite de taak van het project is.

Dus wat is de limiet?

En nog maar een voorbeeld van waarom tegen ruige oma....

Elke limiet bestaat uit drie delen:

1) Het bekende limietpictogram.
2) Invoer onder het limietpictogram, in dit geval . De tekst luidt: “X neigt naar één.” Meestal - precies, hoewel er in de praktijk in plaats van "X" andere variabelen zijn. Bij praktische taken kan de plaats van één absoluut elk getal zijn, evenals oneindig ().
3) Functies onder het limietteken, in dit geval .

De invoer zelf luidt als volgt: "de limiet van een functie aangezien x neigt naar eenheid."

Laten we eens kijken naar de volgende belangrijke vraag: wat betekent de uitdrukking "x"? streeft tot een"? En wat betekent ‘streven’ eigenlijk?
Het concept van een limiet is, om zo te zeggen, een concept, dynamisch. Laten we een reeks bouwen: eerst , dan , , …, , ….
Dat wil zeggen, de uitdrukking “x streeft to one” moet als volgt worden begrepen: “x” neemt consequent de waarden over die de eenheid oneindig dichtbij benaderen en er praktisch mee samenvallen.

Hoe bovenstaand voorbeeld op te lossen? Op basis van het bovenstaande hoeft u er slechts één te vervangen in de functie onder het limietteken:

Dus de eerste regel: Als we een limiet krijgen, proberen we eerst eenvoudigweg het getal in de functie in te voeren.

We hebben de eenvoudigste limiet overwogen, maar deze komen ook in de praktijk voor, en niet zo zelden!

Voorbeeld met oneindig:

Laten we uitzoeken wat het is? Dit is het geval wanneer het onbeperkt toeneemt, dat wil zeggen: eerst, dan, dan, dan, enzovoort tot in het oneindige.

Wat gebeurt er op dit moment met de functie?
, , , …

Dus: als , dan neigt de functie naar min oneindig:

Grof gezegd vervangen we, volgens onze eerste regel, in plaats van “X” oneindigheid in de functie en krijgen we het antwoord.

Nog een voorbeeld met oneindig:

We beginnen opnieuw te stijgen naar oneindig en kijken naar het gedrag van de functie:

Conclusie: wanneer de functie onbeperkt toeneemt:

En nog een reeks voorbeelden:

Probeer het volgende voor uzelf mentaal te analyseren en onthoud de eenvoudigste soorten limieten:

, , , , , , , , ,
Als je twijfelt, kun je een rekenmachine pakken en een beetje oefenen.
In het geval dat , probeer de reeks , , . Als dan , , .

Let op: strikt genomen is deze benadering voor het construeren van reeksen van meerdere getallen onjuist, maar voor het begrijpen van de eenvoudigste voorbeelden is deze redelijk geschikt.

Let ook op het volgende. Zelfs als er een limiet wordt gegeven met een groot getal bovenaan, of zelfs met een miljoen: , dan is het allemaal hetzelfde , aangezien “X” vroeg of laat zulke gigantische waarden zal aannemen dat een miljoen vergeleken met hen een echte microbe zal zijn.

Wat moet u uit het bovenstaande onthouden en begrijpen?

1) Als we een limiet krijgen, proberen we eerst eenvoudigweg het getal in de functie te vervangen.

2) Je moet de eenvoudigste limieten, zoals , , enz. begrijpen en onmiddellijk oplossen.

Nu zullen we de groep limieten beschouwen wanneer , en de functie is een breuk waarvan de teller en de noemer polynomen bevatten

Voorbeeld:

Bereken de limiet

Volgens onze regel zullen we proberen oneindigheid in de functie te vervangen. Wat krijgen we bovenaan? Oneindigheid. En wat gebeurt er hieronder? Ook oneindig. We hebben dus te maken met zogenaamde soortonzekerheid. Je zou kunnen denken dat, en het antwoord klaar is, maar in het algemene geval is dit helemaal niet het geval, en is het noodzakelijk om een oplossingstechniek toe te passen, die we nu zullen bekijken.

Hoe dit soort limieten op te lossen?

Eerst kijken we naar de teller en vinden de hoogste macht:

De leidende macht in de teller is twee.

Nu kijken we naar de noemer en vinden deze ook tot de hoogste macht:

De hoogste graad van de noemer is twee.

Vervolgens kiezen we de hoogste macht van de teller en de noemer: in dit voorbeeld zijn ze hetzelfde en gelijk aan twee.

De oplossingsmethode is dus als volgt: om de onzekerheid bloot te leggen, is het noodzakelijk om de teller en de noemer te delen door de hoogste macht.

Hier is het, het antwoord, en helemaal niet oneindig.

Wat is van fundamenteel belang bij het ontwerp van een besluit?

Ten eerste geven we eventuele onzekerheid aan.

Ten tweede is het raadzaam om de oplossing te onderbreken voor tussentijdse verklaringen. Meestal gebruik ik het teken, het heeft geen enkele wiskundige betekenis, maar betekent dat de oplossing wordt onderbroken voor een tussentijdse uitleg.

Ten derde is het raadzaam om in de limiet te markeren wat waar naartoe gaat. Wanneer het werk met de hand wordt opgesteld, is het handiger om het op deze manier te doen:

Voor aantekeningen is het beter om een eenvoudig potlood te gebruiken.

Natuurlijk hoef je dit allemaal niet te doen, maar misschien wijst de docent dan op tekortkomingen in de oplossing of gaat hij aanvullende vragen stellen over de opdracht. Heb je het nodig?

Voorbeeld 2

Zoek de limiet
Opnieuw vinden we in de teller en de noemer in de hoogste graad:

Maximale graad in teller: 3
Maximale graad in noemer: 4
Kiezen beste waarde, in dit geval vier.
Volgens ons algoritme delen we, om de onzekerheid zichtbaar te maken, de teller en de noemer door .
De volledige opdracht zou er als volgt uit kunnen zien:

Deel de teller en de noemer door

Voorbeeld 3

Zoek de limiet
Maximale graad van “X” in de teller: 2
Maximale graad van “X” in de noemer: 1 (kan geschreven worden als)
Om de onzekerheid zichtbaar te maken, is het noodzakelijk om de teller en de noemer te delen door . De uiteindelijke oplossing zou er als volgt uit kunnen zien:

Deel de teller en de noemer door

Notatie betekent niet delen door nul (je kunt niet delen door nul), maar delen door een oneindig klein getal.

Door de onzekerheid over soorten aan het licht te brengen, kunnen we dat misschien wel doen laatste nummer, nul of oneindig.

Grenzen met onzekerheid over het type en de methode om ze op te lossen

De volgende groep limieten komt enigszins overeen met de zojuist besproken limieten: de teller en de noemer bevatten polynomen, maar “x” neigt niet langer naar oneindig, maar naar eindig aantal.

Voorbeeld 4

Grens oplossen
Laten we eerst proberen -1 in de breuk te vervangen:

In dit geval wordt de zogenaamde onzekerheid verkregen.

Algemene regel: als de teller en de noemer polynomen bevatten, en er onzekerheid bestaat over de vorm, dan moet je deze onthullen je moet de teller en de noemer ontbinden.

Om dit te doen, moet u meestal een kwadratische vergelijking oplossen en/of verkorte vermenigvuldigingsformules gebruiken. Als deze dingen vergeten zijn, bezoek dan de pagina Wiskundige formules en tabellen en lees de lesstof Populaire formules voor de wiskundecursus op school. Het is trouwens het beste om het af te drukken; het is heel vaak nodig en informatie wordt beter van papier opgenomen.

Laten we dus onze limiet oplossen

Factor de teller en de noemer

Om de teller te ontbinden in factoren, moet je de kwadratische vergelijking oplossen:

Eerst vinden we de discriminant:

En de wortel ervan: .

Als de discriminant groot is, bijvoorbeeld 361, gebruiken we een rekenmachine; de functie voor het extraheren van de vierkantswortel is op de eenvoudigste rekenmachine.

! Als de wortel niet in zijn geheel wordt geëxtraheerd (er wordt een breukgetal met een komma verkregen), is het zeer waarschijnlijk dat de discriminant onjuist is berekend of dat er een typefout in de taak is gemaakt.

Vervolgens vinden we de wortels:

Dus:

Alle. De teller is ontbonden.

Noemer. De noemer is al de eenvoudigste factor, en er is geen manier om deze te vereenvoudigen.

Uiteraard kan het worden ingekort tot:

Nu vervangen we -1 in de uitdrukking die onder het limietteken blijft:

Bij een toets, toets of examen wordt de oplossing uiteraard nooit zo gedetailleerd beschreven. In de definitieve versie zou het ontwerp er ongeveer zo uit moeten zien:

Laten we de teller ontbinden in factoren.

Voorbeeld 5