Mediaan van een driehoek. Stellingen met betrekking tot de medianen van een driehoek

Les 1

Medianen van een driehoek. Snijpunt van medianen.

Mediaan van een driehoek is het segment dat het hoekpunt van de driehoek verbindt met het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.

Bewijs:

Het snijpunt van de medianen van een driehoek is zwaartepunt deze driehoek.

Probleem 1 Het snijpunt van de medianen van een driehoek is gescheiden van de hoekpunten door afstanden gelijk aan 4, 6 en 8. Bereken de lengtes van de medianen van de driehoek.

Oplossing. Laat AM, BE en CD de medianen in driehoek ABC zijn, K hun snijpunt, KS=4, KA=6 en KB=8.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image004_34.gif" width="76" height="50">, dat wil zeggen, er zijn 2 delen per segment KA, en één deel per segment KM, dan bestaat de gehele mediaan AM uit drie gelijke delen en https://pandia.ru/text/78/182/images/image006_24.gif" width="104" height="41">.

Insgelijks,

,

Antwoord: 6, 9 en 12

Probleem 2 De medianen AM en SC van driehoek ABC staan ​​onderling loodrecht en zijn respectievelijk gelijk aan 6 en 9. Bereken de lengtes van zijden AB en BC.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image010_15.gif" breedte = "104" hoogte = "41">,

Dat is waarom En

, .

Daarnaast

, .

Met behulp van de stelling van Pythagoras berekenen we de lengtes van de segmenten AK en SM die we verkrijgen

Laten we nu de lengtes van zijden AB en BC berekenen:

AB=2AK=10, BC=2CM=.

Antwoord: 10;.

Zelfcontroletest.

1. De mediaan van een driehoek wordt in tweeën gedeeld (kies een van de antwoordopties)

1) driehoekige hoek

2) zijde van de driehoek

3) twee zijden van de driehoek

2. In welke verhouding verdeelt het snijpunt van de medianen van een driehoek elk van de medianen van de driehoek (select juiste opties antwoorden).

1) 2:1, gerekend vanaf de basis van de driehoek

2) 1:2 geteld vanaf de top van de driehoek

3) 2:1 gerekend vanaf de top van de driehoek

4) 1:2 geteld vanaf de basis van de driehoek

5) in twee gelijke delen

3. Als in driehoek ABC de mediaan AM en P zijn getekend - het snijpunt van de medianen van de driehoek, welk deel van de mediaan AM is dan het segment AP? (kies één van de antwoordmogelijkheden)

4. In driehoek ABC zijn de mediaan AM en P getekend - het snijpunt van de medianen van de driehoek. Welk deel van de mediaan AM is het segment PM? (kies één van de antwoordmogelijkheden)

5. In driehoek ABC zijn de mediaan AM en P getekend - het snijpunt van de medianen van de driehoek. Welk deel van segment AP is segment PM? (kies één van de antwoordmogelijkheden)

Bekijk de juiste antwoorden.

Problemen voor onafhankelijke oplossing.

1. Het snijpunt van de medianen van een driehoek bevindt zich op afstanden gelijk aan 6 cm, 8 cm en 12 cm van de hoekpunten. Bereken de lengtes van de medianen van de driehoek.

Bekijk oplossing.

2. Middellijnen BM en SC van driehoek ABC staan ​​onderling loodrecht en zijn respectievelijk gelijk aan 15 en 36. Bereken de lengtes van de zijden AB en AC.

Bekijk oplossing.

3. De medianen van de driehoek zijn 6, 9 en 12. Op welke afstand van de hoekpunten bevindt zich het snijpunt van de medianen van de driehoek?

Bekijk oplossing.

4. De medianen van de driehoek zijn 9, 12 en 18. Bereken de afstanden vanaf de middelpunten van de zijden van de driehoek tot het zwaartepunt van deze driehoek.

Bekijk oplossing.

5. Het zwaartepunt van een driehoek ligt ver verwijderd van de middelpunten van de zijden. Gelijk aan 5, 6 en 7. Zoek de medianen van deze driehoek.

Bekijk oplossing.

6. Het snijpunt van de medianen van een driehoek wordt verwijderd van de middelpunten van de zijden op afstanden gelijk aan 2, 3 en 4. Op welke afstanden van de hoekpunten van de driehoek bevindt zich dit punt?

Bekijk oplossing.

Mediaan van een driehoek- dit is een segment dat het hoekpunt van een driehoek verbindt met het midden van de tegenoverliggende zijde van deze driehoek.

Eigenschappen van driehoeksmedianen

1. De mediaan verdeelt een driehoek in twee driehoeken van gelijke oppervlakte.

2. De medianen van de driehoek snijden elkaar op één punt, waardoor ze elk in een verhouding van 2:1 worden verdeeld, gerekend vanaf het hoekpunt. Dit punt wordt het zwaartepunt van de driehoek (zwaartepunt) genoemd.

3. De hele driehoek wordt door zijn middellijnen in zes gelijke driehoeken verdeeld.

Lengte van de middenberm naar de zijkant getrokken: ( bewijs door op te bouwen tot een parallellogram en de gelijkheid in een parallellogram te gebruiken van tweemaal de som van de kwadraten van de zijden en de som van de kwadraten van de diagonalen )

T1. De drie medianen van een driehoek snijden elkaar in één punt M, dat elk van hen verdeelt in een verhouding van 2:1, gerekend vanaf de hoekpunten van de driehoek. Gegeven: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - medianen
∆abc. Bewijs: en

D-vo: Zij M het snijpunt van de medianen CC 1, AA 1 van driehoek ABC. Laten we A 2 markeren - het midden van het segment AM en C 2 - het midden van het segment CM. Dan is A 2 C 2 de middenlijn van de driehoek AMS. Middelen, Een 2 C 2|| AC

en A2C2 = 0,5*AC. MET 1 A 1 - de middellijn van driehoek ABC. Dus A 1 MET 1 || AC en A 1 MET 1 = 0,5*wisselstroom.

Vierhoek Een 2 C 1 Een 1 C 2- een parallellogram, omdat de tegenoverliggende zijden A zijn 1 MET 1 En Een 2 C 2 gelijk en parallel. Vandaar, Een 2M= MA 1 En C2M= MC 1 . Dit betekent dat de punten Een 2 En M verdeel de mediaan AA2 in drie gelijke delen, d.w.z. AM = 2MA 2. Hetzelfde als CM = 2MC 1 . Dus punt M van het snijpunt van twee medianen AA2 En CC 2 driehoek ABC verdeelt ze allemaal in een verhouding van 2:1, gerekend vanaf de hoekpunten van de driehoek. Op een volledig vergelijkbare manier wordt bewezen dat het snijpunt van de medianen AA 1 en BB 1 elk van hen verdeelt in de verhouding 2:1, gerekend vanaf de hoekpunten van de driehoek.

Op de mediaan AA 1 is zo'n punt punt M, dus punt M en daar is het snijpunt van de medianen AA 1 en BB 1.

Dus, N

T2. Bewijs dat de segmenten die het zwaartepunt verbinden met de hoekpunten van de driehoek deze in drie gelijke delen verdelen. Gegeven: ∆ABC, - de mediaan.

Bewijzen: S AMB =S BMC =S AMC.Bewijs. IN, ze hebben gemeen. omdat hun bases zijn gelijk en de hoogte vanaf het hoekpunt M, ze hebben gemeen. Dan

Op soortgelijke wijze wordt dat bewezen S AMB = S AMC . Dus, S AMB = S AMC = S CMB.N

Driehoeksstellingen met betrekking tot driehoeksmiddellijnen. Formules voor het vinden van bissectrices

Hoek bissectrice- een straal die begint bij het hoekpunt van een hoek en die de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.

De bissectrice van een hoek is de verzameling punten binnen de hoek die op gelijke afstand liggen van de zijden van de hoek.

Eigenschappen

1. Bissectricestelling: De bissectrice van een binnenhoek van een driehoek verdeelt de tegenoverliggende zijde in een verhouding die gelijk is aan de verhouding van de twee aangrenzende zijden

2. De deellijnen van de binnenhoeken van een driehoek snijden elkaar op één punt - het incenter - het middelpunt van de cirkel die in deze driehoek is ingeschreven.

3. Als twee deellijnen in een driehoek gelijk zijn, dan is de driehoek gelijkbenig (de stelling van Steiner-Lemus).

Berekening van de bissectricelengte

l c - lengte van de bissectrice getrokken naar zijde c,

a,b,c - zijden van de driehoek tegenover respectievelijk de hoekpunten A,B,C,

p is de halve omtrek van de driehoek,

al l , b l - lengtes van de segmenten waarin de bissectrice l c zijde c verdeelt,

α,β,γ - interne hoeken driehoek bij hoekpunten A,B,C respectievelijk,

h c is de hoogte van de driehoek, verlaagd naar zijde c.

Gebiedsmethode.

Kenmerken van de methode. Zoals de naam al doet vermoeden, is het hoofddoel van deze methode oppervlakte. Voor een aantal figuren, bijvoorbeeld voor een driehoek, wordt de oppervlakte heel eenvoudig uitgedrukt door middel van verschillende combinaties van elementen van de figuur (driehoek). Daarom is een zeer effectieve techniek het vergelijken van verschillende uitdrukkingen voor de oppervlakte van een bepaald figuur. In dit geval ontstaat er een vergelijking die de bekende en gewenste elementen van de figuur bevat, door deze op te lossen bepalen we het onbekende. Dit is waar het belangrijkste kenmerk van de gebiedsmethode zich manifesteert: het 'maakt' een algebraïsch probleem van een geometrisch probleem, waarbij alles wordt gereduceerd tot het oplossen van een vergelijking (en soms een systeem van vergelijkingen).

1) Vergelijkingsmethode: geassocieerd met een groot aantal formules S van dezelfde cijfers

2) S-relatiemethode: gebaseerd op traceerondersteuningsproblemen:

De stelling van Ceva

Laat de punten A", B", C" op de lijnen BC, CA, AB van de driehoek liggen. De lijnen AA", BB", CC" snijden elkaar in één punt dan en slechts dan als

Bewijs.

Laten we het snijpunt van de segmenten en aangeven. Laten we de loodlijnen van de punten C en A naar lijn BB 1 verlagen totdat ze deze snijden in respectievelijk de punten K en L (zie figuur).

Omdat driehoeken een gemeenschappelijke zijde hebben, zijn hun oppervlakken gerelateerd als de hoogten die naar deze zijde zijn getrokken, d.w.z. AL en CK:

De laatste gelijkheid is waar, aangezien rechthoekige driehoeken gelijk zijn in scherpe hoeken.

Op dezelfde manier krijgen wij En

Laten we deze drie gelijkheden vermenigvuldigen:

QED

Opmerking. Een segment (of voortzetting van een segment) dat de top van een driehoek verbindt met een punt dat aan de andere kant ligt of het vervolg ervan, wordt ceviana genoemd.

Stelling (omgekeerde van de stelling van Ceva). Laat de punten A", B", C" respectievelijk op de zijden BC, CA en AB van driehoek ABC liggen. Laat aan de relatie voldaan zijn

Vervolgens kruisen de segmenten AA",BB",CC" elkaar op één punt.

De stelling van Menelaüs

De stelling van Menelaüs. Laat een lijn driehoek ABC snijden, waarbij C 1 het snijpunt is met zijde AB, A 1 het snijpunt met zijde BC, en B 1 het snijpunt met het verlengde van zijde AC. Dan

Bewijs . Laten we een lijn trekken evenwijdig aan AB door punt C. Laten we met K het snijpunt met de lijn B 1 C 1 aangeven.

Driehoeken AC 1 B 1 en CKB 1 zijn gelijkvormig (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Vandaar,

Driehoeken BC 1 A 1 en CKA 1 zijn ook gelijkvormig (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Middelen,

Uit elke gelijkheid drukken we CK uit:

Waar QED

Stelling (de omgekeerde stelling van Menelaüs). Laat driehoek ABC gegeven worden. Laat punt C 1 op zijde AB liggen, punt A 1 op zijde BC, en punt B 1 op het vervolg van zijde AC, en laat de volgende relatie gelden:

Dan liggen de punten A 1, B 1 en C 1 op dezelfde lijn.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Door ons verzameld persoonlijke informatie stelt ons in staat contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u openbaar maken als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen – inclusief administratieve, technische en fysieke – om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Bewijs. Laten we bewijzen dat de medianen AA 1 en CC 1 op het snijpunt M verdeeld zijn in de verhouding 2:1. Stelling. De medianen van een driehoek snijden elkaar op één punt en delen zich op dit punt in een verhouding van 2: 1, gerekend vanaf de hoekpunten. Zij D het middelpunt van lijnstuk BA 1. Dan is C 1 D de middellijn van driehoek ABA 1. Daarom zijn de lijnen AA 1 en C 1 D evenwijdig. Omdat CA 1:A 1 D = 2:1, krijgen we volgens de stelling over proportionele segmenten: CM:MC 1 = 2:1. Op soortgelijke wijze is bewezen dat de medianen BB 1 en CC 1 op het snijpunt verdeeld zijn in de verhouding 2:1. Dit betekent dat alle medianen elkaar op één punt snijden en op dit punt verdeeld zijn in een verhouding van 2: 1, gerekend vanaf de hoekpunten. Medianen van een driehoek

BC, dan ligt de mediaan CM dichter bij de zijde AC, d.w.z. hoek ACM is kleiner dan hoek BCM. Oefening 1 Bewijs. Laten we doorgaan met de mediaan CM en het segment MD gelijk aan CM opzij zetten. Driehoeken AMD" title="Bewijs dat als de ongelijkheid AC > BC geldt voor de zijden van driehoek ABC, de mediaan CM dichter bij de zijde AC ligt, dat wil zeggen dat hoek ACM kleiner is dan hoek BCM. Oefening 1 Bewijs. Laten we doorgaan met de mediaan CM en het segment MD uitzetten gelijk aan CM." class="link_thumb"> 2 !} Bewijs dat als de ongelijkheid AC > BC geldt voor de zijden van driehoek ABC, de mediaan CM dichter bij zijde AC ligt, d.w.z. hoek ACM is kleiner dan hoek BCM. Oefening 1 Bewijs. Laten we doorgaan met de mediaan CM en het segment MD gelijk aan CM opzij zetten. Driehoeken AMD en BMC zijn gelijk in twee zijden en de hoek daartussen. Daarom AD = BC. Omdat de kleinere hoek tegenover de kleinere zijde van de driehoek ligt, is hoek ACD kleiner dan hoek ADC. Dit betekent dat hoek ACM kleiner is dan hoek BCM. BC, dan ligt de mediaan CM dichter bij de zijde AC, d.w.z. hoek ACM is kleiner dan hoek BCM. Oefening 1 Bewijs. Laten we de mediaan CM voortzetten en het segment MD gelijk aan CM opzij zetten. Driehoeken AMD"> BC, dan ligt de mediaan CM dichter bij zijde AC, d.w.z. hoek ACM is kleiner dan hoek BCM. Oefening 1 Bewijs. Laten we doorgaan met de mediaan CM en het segment MD opzij zetten dat gelijk is aan CM. Driehoeken AMD en BMC zijn gelijk in twee zijden en de hoek daartussen. Daarom is AD = BC. Omdat de kleinere hoek tegenover de kleinere zijde van de driehoek ligt, is de hoek ACD kleiner dan de hoek ADC. Dit betekent dat de hoek ACM kleiner is dan de hoek BCM ."> BC, dan ligt de mediaan CM dichter bij de zijde AC, d.w.z. . hoek ACM is kleiner dan hoek BCM. Oefening 1 Bewijs. Laten we de mediaan CM voortzetten en het segment MD gelijk aan CM opzij zetten. Driehoeken AMD" title="Bewijs dat als de ongelijkheid AC > BC geldt voor de zijden van driehoek ABC, de mediaan CM dichter bij de zijde AC ligt, dat wil zeggen dat hoek ACM kleiner is dan hoek BCM. Oefening 1 Bewijs. Laten we doorgaan met de mediaan CM en het segment MD uitzetten gelijk aan CM."> title="Bewijs dat als de ongelijkheid AC > BC geldt voor de zijden van driehoek ABC, de mediaan CM dichter bij zijde AC ligt, d.w.z. hoek ACM is kleiner dan hoek BCM. Oefening 1 Bewijs. Laten we de mediaan CM voortzetten en het segment MD gelijk aan CM opzij zetten. Driehoeken AMD"> !}

Bewijs dat de mediaan CM van driehoek ABC kleiner is dan de helft van de som van de zijden AC en BC. Oefening 2 Bewijs. Laten we doorgaan met de mediaan CM en het segment MD gelijk aan CM opzij zetten. Driehoeken AMD en BMC zijn gelijk in twee zijden en de hoek daartussen. Daarom AD = BC. Vanwege de driehoeksongelijkheid is zijde CD kleiner dan de som van de zijden AC en AD. Dit betekent dat de mediaan CM van driehoek ABC kleiner is dan de helft van de som van de zijden AC en BC.

Het bewijs volgt uit het feit dat het middelpunt van de cirkel rond een rechthoekige driehoek het midden van de hypotenusa is. Bewijs dat de mediaan van een rechthoekige driehoek getrokken is vanuit het hoekpunt rechte hoek, is gelijk aan de helft van de hypotenusa. Oefening 4

Stel AB = c, AC = b, BC = a in driehoek ABC. Bewijs dat voor de mediaan mc getrokken uit hoekpunt C de formule geldt. Door de cosinusstelling toegepast op de driehoeken ACD en BCD krijgen we: Door deze gelijkheden op te tellen, verkrijgen we een gelijkheid waaruit de vereiste formule direct volgt. Oefening 5

De oppervlakte van driehoek ABC is 1. Zoek de oppervlakte van een driehoek waarvan de zijden gelijk zijn aan de medianen van driehoek ABC. Oefening 10 Oplossing. Bij de voortzetting van het segment MC 1 tekenen we het segment C 1 D gelijk daaraan. De zijden van de driehoek ADM zijn gelijk aan tweederde van de medianen, en de oppervlakte is gelijk aan een derde. Daarom is de oppervlakte van een driehoek waarvan de zijden gelijk zijn aan de medianen van driehoek ABC driekwart. Antwoord. 0,75.

Stelling. De bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de tegenoverliggende zijde in delen die evenredig zijn met de aangrenzende zijden. Middellijnen van een driehoek Bewijs. Laat CD de bissectrice zijn van driehoek ABC. Laten we bewijzen dat AD: DB = AC: BC. Laten we een rechte lijn BE tekenen, evenwijdig aan CD. In driehoek BEC is hoek B gelijk aan hoek E. Daarom is BC = EC. Volgens de proportionele segmentstelling AD: DB = AC: CE = AC: BC.

Stel AC = b, BC = a in driehoek ABC. Bewijs dat voor de bissectrice l c, getrokken vanuit hoekpunt C, de formule geldt waarbij c, c de segmenten zijn waarin de bissectrice zijde AB verdeelt. Proof. Door de cosinusstelling toegepast op de driehoeken ACD en BCD krijgen we: Vermenigvuldig de eerste gelijkheid met c, de tweede met c en tel de resulterende gelijkheden bij elkaar op. Door identieke transformaties te maken, verkrijgen we gelijkheid. Oefening 3

Bewijs dat de bissectrice van een hoek van een driehoek zijn oppervlakte verdeelt in delen die evenredig zijn met de aangrenzende zijden. Bewijs. Driehoeken AC 1 C en BC 1 C hebben een gemeenschappelijke hoogte, getrokken vanuit hoekpunt C, en zijden AC 1 en BC 1 zijn gerelateerd als zijden AC en BC. Daarom zijn de oppervlakten van driehoeken AC 1 C en BC 1 C gerelateerd als zijden AC en BC. Oefening 8

Stel AB = c, AC = b, BC = a in driehoek ABC. Bewijs dat de bissectrice CC 1 gedeeld wordt door het snijpunt van de bissectrices in de verhouding (a+b):c, gerekend vanaf het hoekpunt. Oefening 10 Bewijs. Laten we een lijn C 1 C tekenen evenwijdig aan AA 1. Dan A 1 C: CB = AC 1: C 1 B = b: a. Stel A 1 C = bx, CB = ax. Omdat CA 1: A 1 B = b: c, dan CA 1: A 1 C = b(a+b)x/c. Daarom CO: OC 1 = (a + b)/c.

Hoogten van een driehoek Stelling. In een rechthoekige driehoek is de loodlijn vanuit de rechte hoek op de hypotenusa het geometrische gemiddelde van de projecties van de benen op de hypotenusa. (Het geometrische gemiddelde van twee positieve getallen a en b is een positief getal c waarvan het kwadraat gelijk is aan ab, d.w.z. c =). Bewijs. Driehoeken ADC en CDB zijn gelijkvormig. Daarom is ofwel CD 2 = AD BD, d.w.z. CD is het geometrische gemiddelde van AD en BD.

Opgave 5 In driehoek ABC zijn de hoogten AA 1 en BB 1 getekend. Bewijs dat de hoeken A 1 AC en B 1 BC gelijk zijn. Bewijs. Een cirkel met diameter AB gaat door de punten A 1 en B 1. De ingeschreven hoeken A 1 AC en B 1 BC rusten op één boog AB 1. Daarom zijn ze gelijk. Om de gelijkheid van hoeken te bewijzen, zou je het feit kunnen gebruiken dat de zijden van deze hoeken loodrecht staan.

Opgave 6 In driehoek ABC zijn de hoogten AA 1 en BB 1 getekend. Bewijs dat de hoeken AA 1 B 1 en ABB 1 gelijk zijn. Bewijs. Een cirkel met diameter AB gaat door de punten A 1 en B 1. De ingeschreven hoeken AA 1 B 1 en ABB 1 rusten op dezelfde boog AB 1. Daarom zijn ze gelijk.

Opgave 7 In driehoek ABC zijn de hoogten AA 1 en BB 1 getekend. Bewijs dat de hoeken BAC en B 1 A 1 C gelijk zijn. Bewijs. Hoek BAC is gelijk aan 90 o min hoek ABB 1. Hoek B 1 A 1 C is gelijk aan 90 o minus hoek AA 1 B 1. Omdat de hoeken AA 1 B 1 en ABB 1 gelijk zijn (zie het vorige probleem), zijn de hoeken BAC en B 1 A 1 C.

Opgave 8 In driehoek ABC zijn de hoogten AA 1 en BB 1 getekend Bewijs dat driehoek ABC gelijkvormig is aan driehoek A 1 B 1 C. Bewijs. Hoeken BAC en B 1 A 1 C zijn gelijk (zie vorige opgave). Hoek C van driehoeken ABC en A 1 B 1 C is gebruikelijk. Daarom zijn deze driehoeken gelijkvormig onder twee hoeken.

Oefening 11 Stelling. Voor de straal r van een cirkel ingeschreven in een driehoek geldt de formule: waarbij ha, h b, h c de hoogten van de driehoek zijn. Bewijs. Laat de zijden van driehoek ABC a, b, c zijn. Voor de oppervlakte S van een driehoek gelden de volgende gelijkheden: Hieruit volgt de benodigde formule.

Opgave 12 Bewijs dat de punten symmetrisch ten opzichte van het snijpunt van de hoogten van een driehoek ten opzichte van de zijden op de omgeschreven cirkel van deze driehoek liggen. Bewijs. Voor een punt C dat symmetrisch is met het punt H van het snijpunt van de hoogten van driehoek ABC, geldt dat punt C dus tot de omgeschreven cirkel behoort. Op dezelfde manier behoren de overige twee symmetrische punten tot de omgeschreven cirkel.

Stelling 1 van Cirkel 1. Een hoek met een hoekpunt binnen de cirkel wordt gemeten door de halve som van de bogen waarop deze hoek en de verticale hoek daarmee rusten. Bewijs. Beschouw de hoek ACB met hoekpunt C binnen de cirkel en de punten A en B op de cirkel. Laat A 1, B 1 de snijpunten zijn met de cirkel van de zijden van de hoek die er verticaal op staan. Laten we het akkoord BB 1 tekenen. Hoek ACB is de buitenhoek van driehoek B 1 CB. Daarom ACB = AB 1 B + B 1 BA 1. De hoeken aan de rechterkant van de gelijkheid worden gemeten door de helften van de overeenkomstige bogen, waarmee het bewijs is voltooid.

Stelling 2 van Cirkel 2. De hoek tussen de raaklijn aan de cirkel en het akkoord dat door het raakpunt wordt getrokken, wordt gemeten door de helft van de boog van de cirkel die binnen deze hoek ligt. Bewijs. Laat de hoek ACB gevormd worden door de raaklijn AC en het koorde BC van de cirkel. Als deze hoek een rechte hoek is, dan is BC de diameter van de cirkel en daarom wordt de hoek ACB gemeten door de helft van de boog van de halve cirkel die zich binnen deze hoek bevindt. Als hoek ACB scherp is, teken dan de diameter CD. We hebben ACB = ACD – BCD. Hoek ACD wordt gemeten door de helft van de boog CBD van een cirkel. Hoek BCD wordt gemeten door de helft van de boog BD van de cirkel. Daarom wordt hun verschil (hoek ACB) gemeten door de helft van de boog CB van de cirkel binnen deze hoek. Overweeg zelf het geval van een stompe hoek.

Stelling 3 van Cirkel 3. Een hoek met een hoekpunt buiten de cirkel, waarvan de zijden de cirkel snijden, wordt gemeten door het halve verschil van de bogen van de cirkel die binnen deze hoek liggen. Bewijs. Beschouw een hoek ACB met hoekpunt C buiten de cirkel en de punten A en B op de cirkel. Laat A 1, B 1 de snijpunten zijn met de cirkel van zijden AC en BC. Laten we het akkoord AB 1 tekenen. Hoek AB 1 B is de buitenhoek van driehoek AB 1 C. Daarom ACB = AB 1 B – B 1 AA 1. De hoeken aan de rechterkant van de gelijkheid worden gemeten door de helften van de overeenkomstige bogen, waarmee het bewijs is voltooid.

Stelling 4 van Cirkel 4. Het product van segmenten van een koorde getrokken door een binnenpunt van de cirkel is gelijk aan het product van segmenten met een diameter getrokken door hetzelfde punt. Bewijs. Laten we een cirkel geven met het middelpunt in punt O, koorde AB en diameter CD snijden elkaar in punt E. Laten we bewijzen dat de driehoeken ACE en DBE gelijkvormig zijn. Daarom betekent het

Opgave 21 Zoek de verzameling punten van waaruit een bepaald lijnstuk AB onder een gegeven hoek zichtbaar is, dat wil zeggen de punten C waarvoor hoek ACB gelijk is aan een gegeven hoek. Antwoord: Bogen van twee cirkels met dezelfde straal op basis van lijnstuk AB, zonder de punten A en B.

Opgave 23 Antwoord: a) HMT's die buiten de cirkel liggen met diameter AB en niet behoren tot de rechte lijn AB; Zoek voor gegeven punten A en B de meetkundige plaats van de punten C waarvoor de hoek ACB: a) scherp is; b) dom. b) HMT's die binnen een cirkel met diameter AB liggen en niet tot segment AB behoren.

Opgave 26 Laat AC en BD akkoorden zijn van een cirkel die elkaar snijdt in punt E. Bewijs dat driehoeken ABE en CDE gelijkvormig zijn. Bewijs: Hoek A van driehoek ABE is gelijk aan hoek D van driehoek CDE, evenals de ingeschreven hoeken die worden ingesloten door dezelfde cirkelboog. Op dezelfde manier is hoek B gelijk aan hoek C. Daarom zijn de driehoeken ABE en CDE in het eerste opzicht gelijkvormig.

Opgave 31 Antwoord: DEK en DLF, DEK en ELK, DLF en ELK, DFK en DLE, DFK en FLK, DLE en FLK. In de figuur is DL de bissectrice van driehoek DEF, ingeschreven in een cirkel. DL snijdt de cirkel in punt K, die door segmenten is verbonden met de hoekpunten E en F van de driehoek. Zoek gelijkvormige driehoeken.

Opgave 32 Antwoord: ABH en ADC, ACH en ADB, ABM en CDM, BMD en AMC. Een scherpe driehoek ABC is ingeschreven in een cirkel, AH is de hoogte ervan, AD is de diameter van de cirkel, die zijde BC snijdt in punt M. Punt D is verbonden met de hoekpunten B en C van de driehoek. Zoek gelijkvormige driehoeken.

Opgave 33 Er worden twee rechte lijnen getrokken door het externe punt E van de cirkel, die de cirkel snijden in respectievelijk de punten A, C en B, D. Bewijs dat de driehoeken ADE en BCE gelijkvormig zijn. Bewijs: Hoek D van driehoek ADE is gelijk aan hoek C van driehoek BCE, evenals de ingeschreven hoeken die worden ingesloten door dezelfde cirkelboog. De hoek E van deze driehoeken is gebruikelijk. Daarom zijn de driehoeken ADE en BCE in het eerste opzicht gelijkvormig.

Opgave 34 Er worden twee rechte lijnen getrokken door het externe punt E van de cirkel, die de cirkel respectievelijk snijden in de punten A, C en B, D. Bewijs dat AE·CE = BE·DE. Bewijs: Driehoeken ADE en BCE zijn gelijkvormig. Dus AE: DE = BE: CE. Daarom AE·CE = BE·DE.
Opgave 36 Er wordt een rechte lijn getrokken door het buitenste punt E van de cirkel, die de cirkel snijdt in de punten A en B, en een raaklijn EC (C is het raakpunt). Bewijs dat de driehoeken EAC en ECB gelijkvormig zijn. Bewijs. Driehoeken EAC en ECB delen hoek E. Hoeken ACE en CBE zijn gelijk, evenals hoeken die door hetzelfde koorde worden ingesloten. Daarom zijn de driehoeken EAC en ECB gelijkvormig.
78 Een rechte lijn raakt cirkels met stralen R en r in de punten A en B. Het is bekend dat de afstand tussen de middelpunten van de cirkels gelijk is aan a, en r

Een trapezium met basis 14 en 40 is ingeschreven in een cirkel met straal 25. Zoek de hoogte van het trapezium. Oplossing. Laat ABCD een trapezium zijn, ingeschreven in een cirkel met middelpunt O en straal 25. Er zijn twee gevallen mogelijk: de bases AB en CD van het trapezium bevinden zich aan één kant van het centrum O, de bases AB en CD bevinden zich op verschillende kanten vanuit het centrum O. In het eerste geval (Fig. 1) trekken we door punt O een lijn loodrecht op AB, en geven P, Q de snijpunten aan met respectievelijk AB en CD. Dan is de hoogte PQ van het trapezium gelijk aan OQ – OP. We hebben OQ = OP = Daarom is PQ = 9. In het tweede geval (figuur 2) trekken we door punt O een lijn loodrecht op AB, en geven P en Q de snijpunten aan met respectievelijk AB en CD. Dan is de hoogte PQ van het trapezium gelijk aan OQ + OP. We hebben OQ = OP = Daarom is PQ = 39. Antwoord. 9 of 39. Oefening 39

Cirkels met middelpunten O 1 en O 2 snijden elkaar in de punten A en B. Het is bekend dat hoek AO 1 B gelijk is aan 90 o, hoek AO 2 B is gelijk aan 60 o, O 1 O 2 = a. Zoek de stralen van de cirkels. Oplossing. Er zijn twee gevallen mogelijk: de punten O 1, O 2 bevinden zich aan weerszijden van lijn AB, de punten O 1, O 2 bevinden zich aan één kant van lijn AB. Laten we met r de straal van de cirkel met middelpunt O 1 aangeven. Dan zal de straal van de cirkel met middelpunt O 2 gelijk zijn. Laat P het snijpunt van de lijnen O 1 O 2 en AB aangeven. Dan O 1 P =, O 2 P =. In het eerste geval (Fig. 1) en dus in het tweede geval (Fig. 2) en dus Antwoord. of oefening 40

Een cirkel met middelpunt O wordt omgeschreven rond driehoek ABC en hoek AOC is 60°. In driehoek ABC is een cirkel met middelpunt M ingeschreven. In het eerste geval (figuur 1) is de som van de hoeken A en C van driehoek ABC gelijk aan 150°. Omdat AM en CM bissectrices zijn van deze hoeken, is de som van de hoeken CAM en ACM gelijk aan 75° en daarom is hoek AMC gelijk aan 105°. Antwoord. 105 o of 165 o. Oplossing. Er zijn twee mogelijke locaties voor hoekpunt B van driehoek ABC. In het tweede geval (figuur 2) is de som van de hoeken A en C van driehoek ABC gelijk aan 30°. Omdat AM en CM bissectrices zijn van deze hoeken, is de som van de hoeken CAM en ACM gelijk aan 15 o en daarom is hoek AMC gelijk aan 165 o. Oefening 41

Driehoek ABC is ingeschreven in een cirkel met straal 12. Het is bekend dat AB = 6 en BC = 4. Zoek AC. Oplossing. Volgens de sinusstelling zijn er twee mogelijke gevallen van de locatie van hoekpunt C van driehoek ABC. Laten we de loodlijn BH op de lijn AC laten vallen. Dan BH = ABsinA = 1. Volgens de stelling van Pythagoras AH = CH = In het eerste geval (Fig. 1) AC = In het tweede geval (Fig. 2) AC = Antwoord. of oefening 42

De lijnen die de hoogten van driehoek ABC bevatten, snijden elkaar in punt H. Het is bekend dat CH = AB. Zoek hoek ACB. In het eerste geval (figuur 1) is hoek C gelijk aan hoek CAA 1, zoals ingeschreven hoeken gebaseerd op gelijke bogen. Daarom is hoek C 45°. In het tweede geval (Fig. 2) is hoek C 135°. Antwoord. 45 o of 135 o. Oplossing. Laat AA 1, BB 1 de hoogten van driehoek ABC zijn. Laten we de cirkels op CH en AB beschrijven als diameters. Ze passeren de punten A 1 en B 1. Er zijn twee mogelijke locaties voor punt H. Oefening 43

In driehoek ABC zijn de hoogten BB 1 en CC 1 getekend, O is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Het is bekend dat BC = 24, B 1 C 1 = 12. Zoek de straal R van de cirkel omgeschreven rond de driehoek BOC. Oplossing. Er zijn twee mogelijke gevallen van de locatie van het segment B 1 C 1. Op BC beschrijven we, net als op de diameter, een cirkel met middelpunt P. De driehoek B 1 C 1 P is gelijkzijdig. Daarom is de som van de hoeken BPB 1 en CPC 1 gelijk aan 120 o. In het eerste geval (figuur 1) zijn de driehoeken BPC 1 en CPB 1 gelijkbenig. Daarom is de som van de hoeken B en C 120°. Omdat BO en CO bissectrices zijn, is de hoek BOC gelijk aan 120°. Met behulp van de sinusstelling vinden we R =. In het tweede geval (figuur 2) is de som van de hoeken B en C gelijk aan 60°. Omdat BO en CO bissectrices zijn, is de hoek BOC 150°. Met behulp van de sinuswet vinden we R = 24. Antwoord. of 24. Oefening 44

Een mediaan is een segment dat wordt getrokken van de top van een driehoek naar het midden van de tegenoverliggende zijde, dat wil zeggen dat het deze op het snijpunt in tweeën deelt. Het punt waarop de mediaan de zijde snijdt tegenover het hoekpunt waaruit deze tevoorschijn komt, wordt de basis genoemd. Elke mediaan van de driehoek gaat door één punt, het snijpunt genoemd. De formule voor de lengte ervan kan op verschillende manieren worden uitgedrukt.

Formules voor het uitdrukken van de lengte van de mediaan

• Vaak hebben leerlingen bij meetkundeproblemen te maken met een segment zoals de mediaan van een driehoek. De formule voor de lengte wordt uitgedrukt in termen van zijden:

waarbij a, b en c de zijden zijn. Bovendien is c de kant waarop de mediaan valt. Zo ziet de eenvoudigste formule eruit. Medianen van een driehoek zijn soms vereist voor hulpberekeningen. Er zijn andere formules.

• Als tijdens de berekening twee zijden van een driehoek en een bepaalde hoek α daartussen bekend zijn, wordt de lengte van de mediaan van de driehoek, verlaagd tot de derde zijde, als volgt uitgedrukt.

Basiseigenschappen

• Alle medianen hebben één gemeenschappelijk snijpunt O en worden daardoor gedeeld in een verhouding van twee op één, geteld vanaf het hoekpunt. Dit punt wordt het zwaartepunt van de driehoek genoemd.
• De mediaan verdeelt de driehoek in twee andere waarvan de oppervlakten gelijk zijn. Dergelijke driehoeken worden gelijke oppervlakte genoemd.
• Als je alle medianen tekent, wordt de driehoek verdeeld in 6 gelijke cijfers, die ook driehoeken zijn.
• Als alle drie de zijden van een driehoek gelijk zijn, dan zal elk van de medianen ook een hoogte en een bissectrice zijn, dat wil zeggen loodrecht op de zijde waarnaar hij wordt getrokken, en doorsnijdt de hoek van waaruit hij tevoorschijn komt.
• In een gelijkbenige driehoek zal de mediaan getrokken uit het hoekpunt dat zich tegenover de zijde bevindt die niet gelijk is aan een andere zijde, ook de hoogte en de bissectrice zijn. De medianen die van andere hoekpunten vallen, zijn gelijk. Dit is ook een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor gelijkbenen.
• Als de driehoek de basis is reguliere piramide, dan wordt de hoogte verlaagd tot een bepaalde basis geprojecteerd op het snijpunt van alle medianen.

• In een rechthoekige driehoek is de mediaan, getrokken naar de langste zijde, gelijk aan de helft van zijn lengte.
• Laat O het snijpunt zijn van de medianen van de driehoek. De onderstaande formule geldt voor elk punt M.

• De mediaan van een driehoek heeft nog een andere eigenschap. De formule voor het kwadraat van de lengte door de vierkanten van de zijkanten wordt hieronder weergegeven.

Eigenschappen van de zijden waarnaar de mediaan wordt getrokken

• Als we twee snijpunten van de medianen verbinden met de zijden waarop ze vallen, dan zal het resulterende segment dat zijn middellijn driehoek en vormt de helft van de zijde van de driehoek waarmee deze geen gemeenschappelijke punten heeft.
• De basissen van de hoogten en medianen in een driehoek, evenals de middelpunten van de segmenten die de hoekpunten van de driehoek verbinden met het snijpunt van de hoogten, liggen op dezelfde cirkel.

Concluderend is het logisch om te zeggen dat een van de belangrijkste segmenten de mediaan van de driehoek is. De formule kan worden gebruikt om de lengtes van de andere zijden te vinden.