Regels voor het openen van haakjes in een vergelijking bij vermenigvuldigen. Hoe een wiskundeleraar het onderwerp “vermenigvuldiging van polynomen” leert

Het uitbreiden van haakjes is een type expressietransformatie. In deze sectie beschrijven we de regels voor het openen van haakjes en kijken we ook naar de meest voorkomende voorbeelden van problemen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wat zijn haakjes openen?

Haakjes worden gebruikt om de volgorde aan te geven waarin acties worden uitgevoerd in numerieke, letterlijke en variabele expressies. Het is handig om van een uitdrukking met haakjes naar een identiek gelijke uitdrukking zonder haakjes te gaan. Vervang bijvoorbeeld de uitdrukking 2 · (3 + 4) door een uitdrukking van de vorm 2 3 + 2 4 zonder haakjes. Deze techniek wordt openingshaakjes genoemd.

Definitie 1

Het uitbreiden van haakjes verwijst naar technieken om haakjes te verwijderen en wordt meestal beschouwd in relatie tot uitdrukkingen die het volgende kunnen bevatten:

• tekens “+” of “-” vóór haakjes die bedragen of verschillen bevatten;
• het product van een cijfer, letter of meerdere letters en een som of verschil, dat tussen haakjes staat.

Dit is hoe we gewend zijn om het proces van het openen van haakjes in het schoolcurriculum te bekijken. Niemand weerhoudt ons er echter van om deze actie breder te bekijken. We kunnen het openen van haakjes de overgang noemen van een uitdrukking die negatieve getallen tussen haakjes bevat naar een uitdrukking die geen haakjes heeft. We kunnen bijvoorbeeld van 5 + (− 3) − (− 7) naar 5 − 3 + 7 gaan. In feite is dit ook een opening tussen haakjes.

Op dezelfde manier kunnen we het product van uitdrukkingen tussen haakjes van de vorm (a + b) · (c + d) vervangen door de som a · c + a · d + b · c + b · d. Deze techniek is ook niet in tegenspraak met de betekenis van het openen van haakjes.

Hier is nog een voorbeeld. We kunnen aannemen dat alle uitdrukkingen in uitdrukkingen kunnen worden gebruikt in plaats van getallen en variabelen. De uitdrukking x 2 · 1 a - x + sin (b) komt bijvoorbeeld overeen met een uitdrukking zonder haakjes van de vorm x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Nog een punt verdient speciale aandacht, namelijk de eigenaardigheden van het opnemen van beslissingen bij het openen van haakjes. We kunnen de initiële uitdrukking tussen haakjes schrijven en het resultaat dat wordt verkregen na het openen van de haakjes als een gelijkheid. Bijvoorbeeld na het uitvouwen van de haakjes in plaats van de uitdrukking 3 − (5 − 7) we krijgen de uitdrukking 3 − 5 + 7 . We kunnen beide uitdrukkingen schrijven als de gelijkheid 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

Voor het uitvoeren van acties met omslachtige uitdrukkingen kan het nodig zijn om tussenresultaten vast te leggen. Dan zal de oplossing de vorm hebben van een keten van gelijkheden. Bijvoorbeeld, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 of 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Regels voor het openen van haakjes, voorbeelden

Laten we eens kijken naar de regels voor het openen van haakjes.

Voor enkele cijfers tussen haakjes

Negatieve getallen tussen haakjes komen vaak voor in uitdrukkingen. Bijvoorbeeld (− 4) en 3 + (− 4) . Positieve getallen tussen haakjes hebben ook een plaats.

Laten we een regel formuleren voor het openen van haakjes die enkele positieve getallen bevatten. Laten we aannemen dat a een willekeurig positief getal is. Dan kunnen we (a) vervangen door a, + (a) door + a, - (a) door – a. Als we in plaats van een een specifiek getal nemen, dan wordt volgens de regel: het getal (5) geschreven als 5 , uitdrukking 3 + (5) zonder haakjes zal de vorm aannemen 3 + 5 , aangezien + (5) wordt vervangen door + 5 , en de uitdrukking 3 + (− 5) is equivalent aan de uitdrukking 3 − 5 , omdat + (− 5) wordt vervangen door − 5 .

Positieve getallen worden meestal zonder haakjes geschreven, aangezien haakjes in dit geval niet nodig zijn.

Bekijk nu de regel voor het openen van haakjes die een enkele bevatten negatief getal. + (- een) wij vervangen door − een, − (− a) wordt vervangen door + a. Als de uitdrukking begint met een negatief getal (-een), dat tussen haakjes staat, worden de haakjes weggelaten en in plaats daarvan (-een) blijft − een.

Hier zijn enkele voorbeelden: (− 5) kan worden geschreven als − 5, (− 3) + 0, 5 wordt − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) wordt 4 − 3 , en − (− 4) − (− 3) na het openen van de haakjes heeft de vorm 4 + 3, aangezien − (− 4) en − (− 3) wordt vervangen door + 4 en + 3 .

Het moet duidelijk zijn dat de uitdrukking 3 · (− 5) niet geschreven kan worden als 3 · − 5. Dit zal in de volgende paragrafen worden besproken.

Laten we eens kijken waar de regels voor het openen van haakjes op zijn gebaseerd.

Volgens de regel is het verschil a − b gelijk aan a + (− b) . Op basis van de eigenschappen van acties met getallen kunnen we een keten van gelijkheden creëren (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a wat eerlijk zal zijn. Deze keten van gelijkheden bewijst, op grond van de betekenis van aftrekken, dat de uitdrukking a + (− b) het verschil is een − b.

Gebaseerd op de eigenschappen van tegengestelde getallen en de regels voor het aftrekken van negatieve getallen, kunnen we stellen dat − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

Er zijn uitdrukkingen die bestaan ​​uit een getal, mintekens en meerdere paren haakjes. Door de bovenstaande regels te gebruiken, kunt u achtereenvolgens haakjes verwijderen, van de binnenste naar de buitenste haakjes of in de tegenovergestelde richting. Een voorbeeld van zo'n uitdrukking zou zijn − (− ((− (5)))) . Laten we de haakjes openen en van binnen naar buiten gaan: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Dit voorbeeld kan ook in de tegenovergestelde richting worden geanalyseerd: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Onder A en b kan niet alleen worden opgevat als getallen, maar ook als willekeurige numerieke of alfabetische uitdrukkingen met een "+" teken ervoor, die geen sommen of verschillen zijn. In al deze gevallen kunt u de regels op dezelfde manier toepassen als voor de afzonderlijke getallen tussen haakjes.

Na het openen van de haakjes wordt bijvoorbeeld de expressie − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) zal de vorm aannemen 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Hoe hebben we het gedaan? We weten dat − (− 2 x) + 2 x is, en aangezien deze uitdrukking eerst komt, kan + 2 x geschreven worden als 2 x, − (x2) = −x2, + (− 1 x) = − 1 x en − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

In producten van twee getallen

Laten we beginnen met de regel voor het openen van haakjes in het product van twee getallen.

Laten we dat aannemen A en b zijn twee positieve getallen. In dit geval het product van twee negatieve getallen − een en − b van de vorm (− a) · (− b) kunnen we vervangen door (a · b) , en de producten van twee getallen met tegengestelde tekens van de vorm (− a) · b en a · (− b) kan worden vervangen door (- een b). Het vermenigvuldigen van een min met een min geeft een plus, en het vermenigvuldigen van een min met een plus, zoals het vermenigvuldigen van een plus met een min een min oplevert.

De juistheid van het eerste deel van de geschreven regel wordt bevestigd door de regel voor het vermenigvuldigen van negatieve getallen. Om het tweede deel van de regel te bevestigen, kunnen we de regels voor het vermenigvuldigen van getallen gebruiken verschillende tekens.

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeeld 1

Laten we een algoritme bekijken voor het openen van haakjes in het product van twee negatieve getallen - 4 3 5 en - 2, van de vorm (- 2) · - 4 3 5. Om dit te doen, vervangt u de oorspronkelijke uitdrukking door 2 · 4 3 5 . Laten we de haakjes openen en 2 · 4 3 5 krijgen.

En als we het quotiënt van negatieve getallen (− 4) nemen: (− 2), dan ziet de invoer na het openen van de haakjes eruit als 4: 2

In plaats van negatieve getallen − een en − b kunnen alle uitdrukkingen zijn met een minteken ervoor die geen sommen of verschillen zijn. Dit kunnen bijvoorbeeld producten, quotiënten, breuken, machten, wortels, logaritmen, trigonometrische functies, enz. Zijn.

Laten we de haakjes openen in de uitdrukking - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Volgens de regel kunnen we de volgende transformaties maken: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Uitdrukking (− 3) 2 kan worden omgezet in de uitdrukking (− 3 2) . Hierna kun je de beugels uitbreiden: − 3 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Het verdelen van getallen met verschillende tekens kan ook een voorlopige uitbreiding van haakjes vereisen: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 en 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

De regel kan worden gebruikt om uitdrukkingen met verschillende tekens te vermenigvuldigen en te delen. Laten we twee voorbeelden geven.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

zonde (x) (- x 2) = (- zonde (x) x 2) = - zonde (x) x 2

In producten van drie of meer getallen

Laten we verder gaan met producten en quotiënten, die een groter aantal getallen bevatten. Voor het openen van haakjes geldt hier de volgende regel. Als er een even aantal negatieve getallen is, kunt u de haakjes weglaten en de getallen vervangen door hun tegengestelde getallen. Hierna moet u de resulterende uitdrukking tussen nieuwe haakjes plaatsen. Als er een oneven aantal negatieve getallen is, laat dan de haakjes weg en vervang de getallen door hun tegengestelde getallen. Hierna moet de resulterende uitdrukking tussen nieuwe haakjes worden geplaatst en moet er een minteken voor worden geplaatst.

Voorbeeld 2

Neem bijvoorbeeld de uitdrukking 5 · (− 3) · (− 2) , die het product is van drie getallen. Er zijn twee negatieve getallen, daarom kunnen we de uitdrukking schrijven als (5 · 3 · 2) en open vervolgens de haakjes, waardoor de uitdrukking 5 · 3 · 2 ontstaat.

In het product (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) zijn vijf getallen negatief. dus (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Nadat we eindelijk de beugels hebben geopend, krijgen we −2,5 3:2 4:1,25:1.

Bovenstaande regel kan als volgt worden gerechtvaardigd. Ten eerste kunnen we dergelijke uitdrukkingen herschrijven als een product, waarbij we de deling vervangen door vermenigvuldiging met het omgekeerde getal. We stellen elk negatief getal voor als het product van een vermenigvuldigingsgetal en - 1 of - 1 wordt vervangen door (− 1) een.

Met behulp van de commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging wisselen we de factoren om en dragen we alle factoren over die gelijk zijn aan − 1 , naar het begin van de expressie. Het product van een even getal minus één is gelijk aan 1, en het product van een oneven getal is gelijk aan − 1 , waardoor we het minteken kunnen gebruiken.

Als we de regel niet zouden gebruiken, zou de reeks acties om de haakjes in de uitdrukking - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 te openen er als volgt uitzien:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

De bovenstaande regel kan worden gebruikt bij het openen van haakjes in uitdrukkingen die producten en quotiënten vertegenwoordigen met een minteken die geen sommen of verschillen zijn. Laten we als voorbeeld de uitdrukking nemen

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Het kan worden herleid tot de uitdrukking zonder haakjes x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Uitbreidende haakjes voorafgegaan door een +-teken

Beschouw een regel die kan worden toegepast om haakjes uit te vouwen die worden voorafgegaan door een plusteken, en de “inhoud” van die haakjes wordt niet vermenigvuldigd of gedeeld door een getal of uitdrukking.

Volgens de regel worden de haakjes, samen met het teken ervoor, weggelaten, terwijl de tekens van alle termen tussen haakjes behouden blijven. Als er geen teken vóór de eerste term tussen haakjes staat, moet u een plusteken plaatsen.

Voorbeeld 3

We geven bijvoorbeeld de uitdrukking (12 − 3 , 5) − 7 . Door de haakjes weg te laten, laten we de tekens van de termen tussen haakjes staan ​​en zetten we een plusteken voor de eerste term. De invoer ziet er als volgt uit (12 − ​​​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. In het gegeven voorbeeld is het niet nodig om een ​​teken voor de eerste term te plaatsen, aangezien + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Voorbeeld 4

Laten we naar een ander voorbeeld kijken. Laten we de uitdrukking x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x nemen en daarmee de acties uitvoeren x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Hier is nog een voorbeeld van het uitbreiden van haakjes:

Voorbeeld 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Hoe worden haakjes voorafgegaan door een minteken uitgebreid?

Laten we gevallen bekijken waarin er een minteken voor de haakjes staat en die niet worden vermenigvuldigd (of gedeeld) met een getal of uitdrukking. Volgens de regel voor het openen van haakjes voorafgegaan door een “-” teken, worden haakjes met een “-” teken weggelaten en worden de tekens van alle termen binnen de haakjes omgedraaid.

Voorbeeld 6

Bijvoorbeeld:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Uitdrukkingen met variabelen kunnen met dezelfde regel worden geconverteerd:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

we krijgen x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Het openen van haakjes bij het vermenigvuldigen van een getal met een haakje, uitdrukkingen met een haakje

Hier zullen we kijken naar gevallen waarin u haakjes moet uitvouwen die worden vermenigvuldigd of gedeeld door een getal of uitdrukking. Formules in de vorm (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) of b · (a 1 ± een 2 ± … ± een n) = (b · een 1 ± b · een 2 ± … ± b · een n), Waar een 1 , een 2 , … , een n en b zijn enkele getallen of uitdrukkingen.

Voorbeeld 7

Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking uitvouwen (3 − 7) 2. Volgens de regel kunnen we de volgende transformaties uitvoeren: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . We krijgen 3 · 2 − 7 · 2 .

Als we de haakjes openen in de uitdrukking 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, krijgen we 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Haakje met haakje vermenigvuldigen

Beschouw het product van twee haakjes van de vorm (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Dit zal ons helpen een regel te verkrijgen voor het openen van haakjes bij het vermenigvuldigen van haakje voor haakje.

Om het gegeven voorbeeld op te lossen, duiden we de uitdrukking aan (b1 + b2) zoals b. Hierdoor kunnen we de regel gebruiken voor het vermenigvuldigen van een haakje met een uitdrukking. We krijgen (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Door een omgekeerde vervanging uit te voeren B met (b 1 + b 2), pas opnieuw de regel toe van het vermenigvuldigen van een uitdrukking met een haakje: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (een 1 b 1 + een 1 b 2) + (een 2 b 1 + een 2 b 2) = = een 1 b 1 + een 1 b 2 + een 2 b 1 + een 2 b 2

Dankzij een aantal eenvoudige technieken kunnen we komen tot de som van de producten van elk van de termen uit de eerste schijf door elk van de termen uit de tweede schijf. De regel kan worden uitgebreid tot een willekeurig aantal termen tussen haakjes.

Laten we de regels formuleren voor het vermenigvuldigen van haakjes met haakjes: om twee sommen met elkaar te vermenigvuldigen, moet je elk van de termen van de eerste som vermenigvuldigen met elk van de termen van de tweede som en de resultaten bij elkaar optellen.

De formule ziet er als volgt uit:

(a 1 + een 2 + . . . + een m) · (b 1 + b 2 + . . + b n) = = een 1 b 1 + een 1 b 2 + . . . + een 1 b n + + een 2 b 1 + een 2 b 2 + . . . + een 2 b n + + . . . + + een m b 1 + een m b 1 + . . . een m b n

Laten we de haakjes in de uitdrukking uitbreiden (1 + x) · (x 2 + x + 6) Het is het product van twee sommen. Laten we de oplossing schrijven: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Het is de moeite waard om afzonderlijk de gevallen te vermelden waarin er een minteken tussen haakjes staat, samen met plustekens. Neem bijvoorbeeld de uitdrukking (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Laten we eerst de uitdrukkingen tussen haakjes als sommen weergeven: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Nu kunnen we de regel toepassen: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Laten we de haakjes openen: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Haakjes uitbreiden in producten van meerdere haakjes en uitdrukkingen

Als er drie of meer uitdrukkingen tussen haakjes in een uitdrukking staan, moeten de haakjes opeenvolgend worden geopend. Je moet de transformatie starten door de eerste twee factoren tussen haakjes te zetten. Binnen deze haakjes kunnen we transformaties uitvoeren volgens de hierboven besproken regels. Bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

De uitdrukking bevat drie factoren tegelijk (2 + 4) , 3 en (5 + 7 8) . We openen de haakjes achtereenvolgens. Laten we de eerste twee factoren in een ander haakje plaatsen, die we voor de duidelijkheid rood maken: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

In overeenstemming met de regel voor het vermenigvuldigen van een haakje met een getal, kunnen we de volgende acties uitvoeren: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .

Vermenigvuldig haakje voor haakje: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Beugel in natura

Graden waarvan de basis enkele uitdrukkingen zijn die tussen haakjes zijn geschreven, met in natura kan worden gezien als het product van verschillende beugels. Bovendien kunnen ze volgens de regels uit de twee voorgaande paragrafen zonder deze haakjes worden geschreven.

Denk eens aan het proces van het transformeren van de uitdrukking (a + b + c) 2 . Het kan worden geschreven als het product van twee haakjes (a + b + c) · (a + b + c). Laten we haakje voor haakje vermenigvuldigen en zo a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c krijgen.

Laten we naar een ander voorbeeld kijken:

Voorbeeld 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Haakjes delen door getal en haakjes door haakjes

Als u een haakje wilt delen door een getal, moeten alle termen die tussen haakjes staan, worden gedeeld door het getal. Bijvoorbeeld (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Delen kan eerst worden vervangen door vermenigvuldigen, waarna je kunt gebruiken geschikte regel haakjes openen in een werk. Dezelfde regel is van toepassing bij het delen van een haakje door een haakje.

We moeten bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking (x + 2) openen: 2 3 . Om dit te doen, vervangt u eerst de deling door te vermenigvuldigen met het omgekeerde getal (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Vermenigvuldig het haakje met het getal (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Hier is nog een voorbeeld van deling door haakjes:

Voorbeeld 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Laten we delen vervangen door vermenigvuldigen: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Laten we de vermenigvuldiging doen: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Volgorde van openingsbeugels

Beschouw nu de volgorde van toepassing van de hierboven besproken regels in de uitdrukkingen algemeen beeld, d.w.z. in uitdrukkingen die sommen met verschillen bevatten, producten met quotiënten, haakjes in de natuurlijke graad.

Procedure:

• de eerste stap is om de haakjes op een natuurlijke macht te zetten;
• in de tweede fase wordt het openen van haakjes in werken en quotiënten uitgevoerd;
• De laatste stap is het openen van de haakjes in de sommen en verschillen.

Laten we de volgorde van acties bekijken aan de hand van het voorbeeld van de uitdrukking (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Laten we transformeren van de uitdrukkingen 3 · (− 2) : (− 4) en 6 · (− 7) , die de vorm zouden moeten aannemen (3 2:4) en (− 6 · 7) . Wanneer we de verkregen resultaten vervangen door de oorspronkelijke uitdrukking, verkrijgen we: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Open de haakjes: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Wanneer u te maken heeft met uitdrukkingen die haakjes tussen haakjes bevatten, is het handig om transformaties uit te voeren door van binnen naar buiten te werken.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

In deze video analyseren we de hele set lineaire vergelijkingen, die worden opgelost met hetzelfde algoritme - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we eerst definiëren: wat is een lineaire vergelijking en welke wordt de eenvoudigste genoemd?

Een lineaire vergelijking is een vergelijking waarin er slechts één variabele is, en alleen tot de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden met behulp van het algoritme tot de eenvoudigste teruggebracht:

1. Vouw eventuele haakjes uit;
2. Verplaats termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en termen zonder variabele naar de andere kant;
3. Geef soortgelijke termen links en rechts van het gelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $x$.

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt van de variabele $x$ gelijk aan nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Wanneer bijvoorbeeld zoiets als $0\cdot x=8$ uitkomt, d.w.z. aan de linkerkant is nul, en aan de rechterkant is een ander getal dan nul. In de onderstaande video bekijken we verschillende redenen waarom deze situatie mogelijk is.
2. De oplossing bestaat uit alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is wanneer de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $0\cdot x=0$. Het is heel logisch dat, ongeacht hoeveel $x$ we vervangen, het nog steeds zal blijken dat “nul gelijk is aan nul”, d.w.z. correcte numerieke gelijkheid.

Laten we nu eens kijken hoe dit allemaal werkt aan de hand van praktijkvoorbeelden.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Tegenwoordig hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. Over het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen tot de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet je de haakjes uitvouwen, als die er zijn (zoals in ons laatste voorbeeld);
2. Combineer dan vergelijkbaar
3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. verplaats alles wat verband houdt met de variabele (de termen waarin deze is vervat) naar de ene kant, en verplaats alles wat er zonder blijft naar de andere kant.

Dan moet je in de regel soortgelijke waarden aan elke kant van de resulterende gelijkheid brengen, en daarna hoef je alleen nog maar te delen door de coëfficiënt van "x", en dan krijgen we het definitieve antwoord.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden er fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het berekenen van de “plus- en minpunten”.

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten in de les van vandaag bekijken. Maar we zullen, zoals je al begreep, beginnen met de eenvoudigste taken.

Schema voor het oplossen van eenvoudige lineaire vergelijkingen

Laat me eerst nogmaals het hele schema voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen schrijven:

1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig.
2. We isoleren de variabelen, d.w.z. We verplaatsen alles dat “X’s” bevat naar de ene kant, en alles zonder “X’s” naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We delen alles door de coëfficiënt van “x”.

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd; er zitten bepaalde subtiliteiten en trucs in, en nu zullen we ze leren kennen.

Echte voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Taak nr. 1

Voor de eerste stap moeten we de haakjes openen. Maar ze staan ​​niet in dit voorbeeld, dus we slaan ze over deze fase. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Let op: waar we het over hebben alleen over individuele termen. Laten we het opschrijven:

We presenteren links en rechts vergelijkbare termen, maar dit is hier al gedaan. Daarom gaan we verder met de vierde stap: delen door de coëfficiënt:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Dus we hebben het antwoord.

Taak nr. 2

We kunnen de haakjes in dit probleem zien, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer hetzelfde ontwerp, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. het scheiden van de variabelen:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Bij welke wortels werkt dit? Antwoord: voor iedereen. Daarom kunnen we schrijven dat $x$ een willekeurig getal is.

Taak nr. 3

De derde lineaire vergelijking is interessanter:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Er zijn hier verschillende haakjes, maar deze worden nergens mee vermenigvuldigd, ze worden eenvoudigweg voorafgegaan door verschillende tekens. Laten we ze opsplitsen:

We voeren de tweede stap uit die ons al bekend is:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Laten we de wiskunde doen:

We voeren de laatste stap uit: deel alles door de coëfficiënt van "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we te eenvoudige taken negeren, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kunnen er nul zijn - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de anderen; je mag er op geen enkele manier tegen discrimineren, of ervan uitgaan dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met het openen van haakjes. Let op: als er een “min” voor staat, verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenovergestelde. En dan kunnen we het openen met behulp van standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen zagen.

Dit begrijpen simpel feit Hiermee kun je voorkomen dat je domme en aanstootgevende fouten maakt op de middelbare school, terwijl het doen van dergelijke acties als vanzelfsprekend wordt beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met complexere vergelijkingen. Nu zullen de constructies complexer worden en bij het uitvoeren van verschillende transformaties zal een kwadratische functie verschijnen. We moeten hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens het plan van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten zeker worden geannuleerd.

Voorbeeld nr. 1

Uiteraard is de eerste stap het openen van de beugels. Laten we dit heel voorzichtig doen:

Laten we nu eens kijken naar privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier zijn enkele soortgelijke:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus we zullen dit in het antwoord schrijven:

\[\varniets\]

of er zijn geen wortels.

Voorbeeld nr. 2

Wij voeren dezelfde acties uit. Eerste stap:

Laten we alles met een variabele naar links verplaatsen, en zonder variabele naar rechts:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus schrijven we deze op deze manier:

\[\varniets\],

of er zijn geen wortels.

Nuances van de oplossing

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Met deze twee uitdrukkingen als voorbeeld waren we er opnieuw van overtuigd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles misschien niet zo eenvoudig is: er kan één zijn, of geen, of oneindig veel wortels. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, beide hebben eenvoudigweg geen wortels.

Maar ik zou uw aandacht willen vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze opent als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat je het opent, moet je alles met "X" vermenigvuldigen. Let op: vermenigvuldigt elke afzonderlijke term. Binnenin zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en vermenigvuldigd.

En pas nadat deze ogenschijnlijk elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kun je het haakje openen vanuit het oogpunt van het feit dat er een minteken achter staat. Ja, ja: pas nu, wanneer de transformaties zijn voltooid, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles daaronder eenvoudigweg van teken verandert. Tegelijkertijd verdwijnen de haakjes zelf en, belangrijker nog, ook de voorste “minus” verdwijnt.

Hetzelfde doen we met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik aandacht besteed aan deze kleine, ogenschijnlijk onbelangrijke feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een opeenvolging van elementaire transformaties is, waarbij het onvermogen om eenvoudige handelingen duidelijk en competent uit te voeren ertoe leidt dat middelbare scholieren naar mij toe komen en opnieuw leren zulke eenvoudige vergelijkingen op te lossen.

Natuurlijk zal er een dag komen waarop je deze vaardigheden zult aanscherpen tot het punt van automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren; je schrijft alles op één regel. Maar terwijl je net aan het leren bent, moet je elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen kan nauwelijks de eenvoudigste opgave worden genoemd, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Taak nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we wat privacy doen:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Laten we de laatste stap voltooien:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier is ons definitieve antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten hadden met een kwadratische functie, heffen ze elkaar op, wat de vergelijking lineair maakt en niet kwadratisch.

Taak nr. 2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Laten we de eerste stap zorgvuldig uitvoeren: vermenigvuldig elk element uit de eerste haak met elk element uit de tweede. Er zouden in totaal vier nieuwe termen moeten zijn na de transformaties:

Laten we nu zorgvuldig de vermenigvuldiging in elke term uitvoeren:

Laten we de termen met “X” naar links verplaatsen, en die zonder – naar rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier zijn vergelijkbare termen:

We hebben wederom het definitieve antwoord ontvangen.

Nuances van de oplossing

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is de volgende: zodra we haakjes beginnen te vermenigvuldigen die meer dan één term bevatten, gebeurt dit volgens de volgende regel: we nemen de eerste term van de eerste en vermenigvuldigen met elk element van de tweede; dan nemen we het tweede element uit het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element uit het tweede. Als gevolg hiervan zullen we vier termijnen hebben.

Over de algebraïsche som

Met dit laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat een algebraïsche som is. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $1-7$ eenvoudig ontwerp: trek zeven van één af. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal “één” voegen we nog een getal toe, namelijk “min zeven”. Dit is hoe een algebraïsche som verschilt van een gewone rekenkundige som.

Zodra je bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging constructies begint te zien die lijken op de hierboven beschreven, zul je eenvoudigweg geen problemen ondervinden in de algebra als je met polynomen en vergelijkingen werkt.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan de voorbeelden waar we zojuist naar hebben gekeken, en om ze op te lossen zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen met breuken oplossen

Om dergelijke taken op te lossen, zullen we nog een stap aan ons algoritme moeten toevoegen. Maar laat me u eerst herinneren aan ons algoritme:

1. Open de beugels.
2. Afzonderlijke variabelen.
3. Neem soortgelijke mee.
4. Deel door de verhouding.

Helaas blijkt dit prachtige algoritme, ondanks al zijn effectiviteit, niet helemaal geschikt te zijn als we breuken voor ons hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we in beide vergelijkingen zowel links als rechts een breuk.

Hoe te werk te gaan in dit geval? Ja, het is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet je nog een stap aan het algoritme toevoegen, wat zowel voor als na de eerste actie kan worden gedaan, namelijk het wegwerken van breuken. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Open de beugels.
3. Afzonderlijke variabelen.
4. Neem soortgelijke mee.
5. Deel door de verhouding.

Wat betekent het om ‘breuken weg te werken’? En waarom kan dit zowel na als vóór de eerste standaardstap? In ons geval zijn alle breuken in feite numeriek in hun noemer, d.w.z. Overal is de noemer slechts een getal. Als we dus beide zijden van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we breuken wegwerken.

Voorbeeld nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Laten we de breuken in deze vergelijking wegwerken:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Let op: alles wordt één keer met “vier” vermenigvuldigd, d.w.z. Het feit dat je twee haakjes hebt, betekent niet dat je ze allemaal met 'vier' moet vermenigvuldigen. Laten we opschrijven:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Laten we nu uitbreiden:

We scheiden de variabele:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\[-4x=-1\links| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

We hebben de uiteindelijke oplossing ontvangen, laten we verder gaan met de tweede vergelijking.

Voorbeeld nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Het probleem is opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik je vandaag wilde vertellen.

Kernpunten

De belangrijkste bevindingen zijn:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je ergens kwadratische functies hebt; deze zullen waarschijnlijk worden verminderd tijdens het proces van verdere transformaties.
• Er zijn drie soorten wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel en helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als iets niet duidelijk is, ga dan naar de site en los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Houd ons in de gaten, er staan ​​je nog veel meer interessante dingen te wachten!

Ik zet de reeks methodologische artikelen over het onderwerp lesgeven voort. Het is tijd om naar de kenmerken te kijken individueel werk wiskundeleraar voor leerlingen van groep 7. Met groot genoegen zal ik mijn gedachten delen over de presentatievormen van een van de belangrijkste onderwerpen in de algebracursus van het 7e leerjaar: 'haakjes openen'. Om niet te proberen de onmetelijkheid te vatten, laten we stoppen bij de beginfase en de methode van de docent analyseren om te werken met het vermenigvuldigen van een polynoom met een polynoom. Hoe wiskunde docent treedt op in moeilijke situaties wanneer zwakke leerling neemt niet waar klassieke vorm uitleg? Welke taken moeten worden voorbereid voor een sterke zevendeklasser? Laten we deze en andere vragen eens bekijken.

Het lijkt erop: wat is hier zo ingewikkeld aan? “Beugels zijn net zo eenvoudig als het pellen van peren”, zal elke uitstekende student zeggen. “Er bestaat een verdelingswet en eigenschappen van bevoegdheden voor het werken met monomials, een algemeen algoritme voor een willekeurig aantal termen. Vermenigvuldig ze allemaal met elkaar en breng soortgelijke.” Niet alles is echter zo eenvoudig bij het werken met achterblijvers. Ondanks de inspanningen van de wiskundeleraar slagen leerlingen erin om zelfs bij de eenvoudigste transformaties fouten van elke omvang te maken. De aard van de fouten valt op door de diversiteit ervan: van kleine weglatingen van letters en tekens tot ernstige doodlopende ‘stopfouten’.

Wat weerhoudt een leerling ervan de transformaties correct uit te voeren? Waarom is misverstand mogelijk?

Er zijn een groot aantal individuele problemen, en een van de belangrijkste obstakels voor de assimilatie en consolidatie van materiaal is de moeilijkheid om tijdig en snel van aandacht te wisselen, de moeilijkheid om een ​​grote hoeveelheid informatie te verwerken. Voor sommigen lijkt het misschien vreemd dat ik het over een groot boekdeel heb, maar een zwakke leerling uit groep 7 heeft misschien niet genoeg geheugen en aandacht, zelfs niet voor vier semesters. Coëfficiënten, variabelen, graden (indicatoren) interfereren. De student verwart de volgorde van de bewerkingen, vergeet welke monomialen al zijn vermenigvuldigd en welke onaangeroerd zijn gebleven, kan zich niet herinneren hoe ze worden vermenigvuldigd, enz.

Numerieke aanpak voor wiskundeleraar

Natuurlijk moet je beginnen met een uitleg van de logica achter de constructie van het algoritme zelf. Hoe dit te doen? We moeten een probleem stellen: hoe kunnen we de volgorde van acties in een expressie veranderen zodat het resultaat niet verandert? Ik geef vaak voorbeelden die uitleggen hoe bepaalde regels werken met behulp van specifieke nummers. En pas dan vervang ik ze door letters. De techniek voor het gebruik van de numerieke benadering zal hieronder worden beschreven.

Motivatie problemen.
Aan het begin van een les is het voor een wiskundeleraar moeilijk om een ​​leerling bijeen te roepen als hij de relevantie van wat er wordt bestudeerd niet begrijpt. In de syllabus voor de groepen 6–7 is het moeilijk om voorbeelden te vinden van het gebruik van de regel voor het vermenigvuldigen van veeltermen. Ik zou de noodzaak om te leren benadrukken verander de volgorde van acties in expressies De student moet weten dat dit helpt bij het oplossen van problemen uit ervaring door het toevoegen van vergelijkbare termen. Hij moest ze bij elkaar optellen bij het oplossen van vergelijkingen. In 2x+5x+13=34 gebruikt hij bijvoorbeeld die 2x+5x=7x. Een wiskundeleraar hoeft alleen maar de aandacht van de leerling hierop te vestigen.

Wiskundeleraren verwijzen vaak naar de techniek van het openen van haakjes als "fontein"-regel.

Deze afbeelding wordt goed onthouden en moet zeker worden gebruikt. Maar hoe wordt deze regel bewezen? Laten we ons de klassieke vorm herinneren, die gebruik maakt van voor de hand liggende identiteitstransformaties:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

Het is voor een wiskundeleraar moeilijk om hier iets over te zeggen. De brieven spreken voor zich. En een sterke leerling uit groep 7 heeft geen gedetailleerde uitleg nodig. Maar wat te doen met de zwakken, die ronduit geen inhoud zien in deze “letterlijke warboel”?

Het belangrijkste probleem dat de perceptie van de klassieke wiskundige rechtvaardiging van de 'fontein' verstoort, is de ongebruikelijke vorm van schrijven van de eerste factor. Noch in het 5e leerjaar, noch in het 6e leerjaar hoefde de leerling de eerste beugel naar elk semester van de tweede te slepen. Kinderen behandelden alleen getallen (coëfficiënten), meestal links van de haakjes, bijvoorbeeld:

Tegen het einde van groep 6 heeft de leerling een visueel beeld gevormd van een object: een bepaalde combinatie van tekens (acties) geassocieerd met haakjes. En elke afwijking van de gebruikelijke kijk op iets nieuws kan een zevendeklasser desoriënteren. Het is het visuele beeld van het getal + haakje dat de wiskundeleraar gebruikt bij het uitleggen.

De volgende verklaring kan worden gegeven. De docent redeneert: “Als er een getal voor het haakje stond, bijvoorbeeld 5, dan zou dat kunnen verander de werkwijze in deze uitdrukking? Zeker. Laten we het dan doen . Bedenk eens of zijn resultaat zal veranderen als we in plaats van het getal 5 de som 2+3 tussen haakjes invoeren? Elke student zal tegen de docent zeggen: “Wat maakt het uit hoe je schrijft: 5 of 2+3.” Prachtig. Je krijgt een opname. De wiskundeleraar neemt een korte pauze, zodat de leerling zich het beeldbeeld van het object visueel herinnert. Vervolgens vestigt hij zijn aandacht op het feit dat het haakje, net als het getal, naar elke term ‘verdeelde’ of ‘sprong’. Wat betekent dit? Dit betekent dat deze bewerking niet alleen met een cijfer kan worden uitgevoerd, maar ook met een haakje. We hebben twee paar factoren en . De meeste studenten kunnen ze gemakkelijk zelf aan en schrijven het resultaat naar de docent. Het is belangrijk om de resulterende paren te vergelijken met de inhoud van de haakjes 2+3 en 6+4 en het zal duidelijk worden hoe ze openen.

Indien nodig voert de wiskundeleraar na het voorbeeld met cijfers een letterproef uit. Het blijkt een fluitje van een cent om dezelfde delen van het vorige algoritme te doorlopen.

Vorming van de vaardigheid om haakjes te openen

Het aanleren van de vaardigheid om haakjes te vermenigvuldigen is een van de de belangrijkste fasen werk van een wiskundeleraar met een onderwerp. En nog belangrijker dan de fase waarin de logica van de ‘fontein’-regel wordt uitgelegd. Waarom? De reden voor de veranderingen zal de volgende dag vergeten worden, maar de vaardigheid zal, als deze op tijd wordt gevormd en geconsolideerd, blijven bestaan. De leerlingen voeren de handeling mechanisch uit, alsof ze een tafel van vermenigvuldiging uit het geheugen halen. Dit is wat bereikt moet worden. Waarom? Als een leerling elke keer dat hij haakjes opent, zich herinnert waarom de haakjes op deze manier worden geopend en niet anders, vergeet hij het probleem dat hij aan het oplossen is. Daarom besteedt de wiskundeleraar de resterende tijd van de les aan het omzetten van begrip in het uit het hoofd leren. Deze strategie wordt vaak gebruikt in andere onderwerpen.

Hoe kan een docent de vaardigheid ontwikkelen om haakjes te openen bij een leerling? Om dit te doen, moet een leerling uit groep 7 een aantal oefeningen voltooien in voldoende hoeveelheden om te consolideren. Dit brengt een ander probleem met zich mee. Een zwakke zevendeklasser kan het toegenomen aantal transformaties niet aan. Zelfs kleine. En fouten vallen de een na de ander. Wat moet een wiskundeleraar doen? Ten eerste wordt aanbevolen om van elke term naar elke term pijlen te tekenen. Als een leerling erg zwak is en niet snel van het ene soort werk naar het andere kan overschakelen, of de concentratie verliest bij het opvolgen van eenvoudige commando's van de leraar, dan tekent de wiskundeleraar zelf deze pijlen. En niet allemaal tegelijk. Eerst verbindt de docent de eerste term tussen haakjes links met elke term tussen haakjes rechts en vraagt ​​hem of haar de bijbehorende vermenigvuldiging uit te voeren. Pas daarna worden de pijlen van de tweede term naar hetzelfde rechterhaakje gericht. Met andere woorden, de docent verdeelt het proces in twee fasen. Het is beter om een ​​korte pauze (5-7 seconden) aan te houden tussen de eerste en tweede handeling.

1) Eén reeks pijlen moet boven de uitdrukkingen worden getekend, en de andere eronder.
2) Het is belangrijk om in ieder geval tussen de regels over te slaan een paar cellen. Anders zal de opname erg compact zijn en zullen de pijlen niet alleen naar de vorige regel klimmen, maar zich ook vermengen met de pijlen uit de volgende oefening.

3) Bij het vermenigvuldigen van haakjes in het formaat 3 bij 2 worden pijlen getrokken van de korte haakjes naar de lange haakjes. Anders zullen er niet twee, maar drie van deze "fonteinen" zijn. De implementatie van de derde is merkbaar ingewikkelder vanwege het gebrek aan vrije ruimte voor de pijlen.
4) pijlen wijzen altijd vanuit hetzelfde punt. Een van mijn studenten probeerde ze steeds naast elkaar te plaatsen en dit is wat hij bedacht:

Deze regeling maakt het niet mogelijk om in elke fase het huidige semester waarmee de student werkt te selecteren en vast te leggen.

Het vingerwerk van de docent

4) Om de aandacht op een afzonderlijk paar vermenigvuldigde termen te houden, legt de wiskundeleraar er twee vingers op. Dit moet zo gebeuren dat het zicht van de student niet wordt belemmerd. Voor de meest onoplettende studenten kun je de ‘pulsatie’-methode gebruiken. De wiskundeleraar plaatst de wijsvinger aan het begin van de pijl (naar een van de termen) en fixeert deze, en met de tweede “klopt” hij op het uiteinde (naar de tweede term). Ripple helpt om de aandacht te vestigen op de term waarmee de student zich vermenigvuldigt. Nadat de eerste vermenigvuldiging met het rechter haakje is voltooid, zegt de wiskundeleraar: “Nu werken we met de andere term.” De docent beweegt de “vaste vinger” ernaartoe en laat de “pulserende” vinger over de termen van het andere haakje glijden. De pulsatie werkt als een “richtingaanwijzer” in een auto en stelt je in staat de aandacht van een verstrooide leerling te vestigen op de handeling die hij uitvoert. Als het kind klein schrijft, worden er twee potloden gebruikt in plaats van vingers.

Optimalisatie van herhaling

Net als bij het bestuderen van elk ander onderwerp in een algebracursus, kunnen en moeten vermenigvuldigingspolynomen worden geïntegreerd met eerder behandeld materiaal. Om dit te doen, gebruikt de wiskundedocent speciale brugtaken waarmee men de toepassing kan vinden van wat er wordt bestudeerd in verschillende wiskundige objecten. Ze verbinden niet alleen onderwerpen tot één geheel, maar organiseren ook zeer effectief de herhaling van de hele wiskundecursus. En hoe meer bruggen de docent bouwt, hoe beter.

Traditioneel integreren algebra-leerboeken van het 7e leerjaar openingshaakjes bij het oplossen van lineaire vergelijkingen. Aan het einde van de lijst met getallen staan ​​altijd taken in de volgende volgorde: de vergelijking oplossen. Bij het openen van de haakjes worden de vierkanten verkleind en kan de vergelijking eenvoudig worden opgelost met behulp van gereedschappen van groep 7. Om de een of andere reden vergeten de auteurs van leerboeken echter gemakshalve een grafiek van een lineaire functie te construeren. Om deze tekortkoming te corrigeren, zou ik wiskundedocenten willen adviseren om haakjes in analytische uitdrukkingen op te nemen lineaire functies, Bijvoorbeeld . Bij dergelijke oefeningen traint de student niet alleen de vaardigheden om identieke transformaties uit te voeren, maar herhaalt hij ook grafieken. Je kunt vragen om het snijpunt van twee "monsters" te vinden, de relatieve positie van de lijnen te bepalen, de snijpunten van hun snijpunten met de assen te vinden, enz.

Kolpakov A.N. Wiskundeleraar in Strogino. Moskou

Nu gaan we verder met het openen van haakjes in uitdrukkingen waarin de uitdrukking tussen haakjes wordt vermenigvuldigd met een getal of uitdrukking. Laten we een regel formuleren voor het openen van haakjes, voorafgegaan door een minteken: de haakjes samen met het minteken worden weggelaten, en de tekens van alle termen tussen haakjes worden vervangen door de tegenovergestelde.

Eén type expressietransformatie is de uitbreiding van haakjes. Numerieke, letterlijke en variabele uitdrukkingen kunnen worden geschreven met behulp van haakjes, die de volgorde van acties kunnen aangeven, een negatief getal kunnen bevatten, enz. Laten we aannemen dat er in de hierboven beschreven uitdrukkingen, in plaats van getallen en variabelen, willekeurige uitdrukkingen kunnen voorkomen.

En laten we aandacht besteden aan nog een punt met betrekking tot de eigenaardigheden van het schrijven van een oplossing bij het openen van haakjes. In de vorige paragraaf hebben we het gehad over zogenaamde openingshaakjes. Om dit te doen, zijn er regels voor het openen van haakjes, die we nu zullen bekijken. Deze regel wordt gedicteerd door het feit dat positieve getallen gewoonlijk zonder haakjes worden geschreven; in dit geval zijn haakjes niet nodig. De uitdrukking (−3.7)−(−2)+4+(−9) kan zonder haakjes worden geschreven als −3.7+2+4−9.

Ten slotte is het derde deel van de regel eenvoudigweg te wijten aan de eigenaardigheden van het schrijven van negatieve getallen aan de linkerkant in de uitdrukking (die we noemden in het gedeelte over haakjes voor het schrijven van negatieve getallen). U kunt uitdrukkingen tegenkomen die bestaan ​​uit een getal, mintekens en meerdere paren haakjes. Als je de haakjes opent, van intern naar extern, dan is de oplossing als volgt: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Hoe haakjes openen?

Hier is een uitleg: −(−2 x) is +2 x, en aangezien deze uitdrukking eerst komt, kan +2 x geschreven worden als 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x en −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Het eerste deel van de geschreven regel voor het openen van haakjes volgt rechtstreeks uit de regel voor het vermenigvuldigen van negatieve getallen. Het tweede deel is een gevolg van de regel voor het vermenigvuldigen van getallen met verschillende tekens. Laten we verder gaan met voorbeelden van het openen van haakjes in producten en quotiënten van twee getallen met verschillende tekens.

Openingshaakjes: regels, voorbeelden, oplossingen.

De bovenstaande regel houdt rekening met de hele keten van deze acties en versnelt het proces van het openen van haakjes aanzienlijk. Met dezelfde regel kunt u haakjes openen in uitdrukkingen die producten zijn, en deeluitdrukkingen met een minteken die geen sommen en verschillen zijn.

Laten we eens kijken naar voorbeelden van de toepassing van deze regel. Laten we de bijbehorende regel geven. Hierboven zijn we al uitdrukkingen tegengekomen van de vorm −(a) en −(−a), die zonder haakjes respectievelijk als −a en a worden geschreven. Bijvoorbeeld −(3)=3, en. Dit zijn speciale gevallen van de genoemde regel. Laten we nu eens kijken naar voorbeelden van het openen van haakjes wanneer deze bedragen of verschillen bevatten. Laten we voorbeelden bekijken van het gebruik van deze regel. Laten we de uitdrukking (b1+b2) noteren als b, waarna we de regel gebruiken om het haakje te vermenigvuldigen met de uitdrukking uit de vorige paragraaf, we krijgen (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

Door inductie kan deze verklaring worden uitgebreid tot een willekeurig aantal termen in elk haakje. Rest ons nog om de haakjes in de resulterende uitdrukking te openen, met behulp van de regels uit de vorige paragrafen, en uiteindelijk krijgen we 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

De regel in de wiskunde is het openen van haakjes als er (+) en (-) voor de haakjes staan.

Deze uitdrukking is het product van drie factoren (2+4), 3 en (5+7·8). U moet de haakjes opeenvolgend openen. Nu gebruiken we de regel voor het vermenigvuldigen van een haakje met een getal, we hebben ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Graden, waarvan de basis bestaat uit enkele uitdrukkingen die tussen haakjes zijn geschreven, met natuurlijke exponenten, kunnen worden beschouwd als het product van verschillende haakjes.

Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking (a+b+c)2 transformeren. Eerst schrijven we het als een product van twee haakjes (a+b+c)·(a+b+c), nu vermenigvuldigen we een haakje met een haakje, we krijgen a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

We zullen ook zeggen dat het raadzaam is om de binomiale formule van Newton te gebruiken om de sommen en verschillen van twee getallen tot een natuurlijke macht te verheffen. Bijvoorbeeld (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Het is niet minder handig om eerst deling te vervangen door vermenigvuldiging en vervolgens de overeenkomstige regel te gebruiken voor het openen van haakjes in een product.

Het blijft nodig om de volgorde van het openen van haakjes te begrijpen aan de hand van voorbeelden. Laten we de uitdrukking (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7) nemen. We vervangen deze resultaten door de oorspronkelijke uitdrukking: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7). Het enige dat overblijft is het openen van de haakjes, het resultaat is −5+3·2:4+6·7. Dit betekent dat bij het verplaatsen van de linkerkant van de gelijkheid naar rechts het openen van de haakjes plaatsvond.

Merk op dat we in alle drie de voorbeelden eenvoudigweg de haakjes hebben verwijderd. Tel eerst 445 op bij 889. Deze actie kan mentaal worden uitgevoerd, maar is niet zo eenvoudig. Laten we de haakjes openen en zien dat de gewijzigde procedure de berekeningen aanzienlijk zal vereenvoudigen.

Hoe haakjes naar een andere graad uit te breiden

Ter illustratie van voorbeeld en regel. Laten we eens naar een voorbeeld kijken: . Je kunt de waarde van een uitdrukking vinden door 2 en 5 bij elkaar op te tellen en vervolgens het resulterende getal met het tegenovergestelde teken te nemen. De regel verandert niet als er niet twee, maar drie of meer termen tussen haakjes staan. Opmerking. De tekens worden alleen vóór de voorwaarden omgedraaid. Om de haakjes te openen, moeten we in dit geval de distributieve eigenschap onthouden.

Voor enkele cijfers tussen haakjes

Jouw fout zit niet in de tekens, maar in het verkeerd omgaan met breuken? In groep 6 leerden we over positieve en negatieve getallen. Hoe gaan we voorbeelden en vergelijkingen oplossen?

Hoeveel staat er tussen haakjes? Wat kun je over deze uitdrukkingen zeggen? Het resultaat van het eerste en tweede voorbeeld is uiteraard hetzelfde, wat betekent dat we er een gelijkteken tussen kunnen zetten: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Wat hebben we met de haakjes gedaan?

Demonstratie van dia 6 met regels voor het openen van haakjes. De regels voor het openen van haakjes zullen ons dus helpen voorbeelden op te lossen en uitdrukkingen te vereenvoudigen. Vervolgens wordt de leerlingen gevraagd om in paren te werken: ze moeten pijlen gebruiken om de uitdrukking met haakjes te verbinden met de overeenkomstige uitdrukking zonder haakjes.

Dia 11 Eenmaal in Sunny City maakten Znayka en Dunno ruzie over wie van hen de vergelijking correct had opgelost. Vervolgens lossen de leerlingen de vergelijking zelf op met behulp van de regels voor het openen van haakjes. Vergelijkingen oplossen” Lesdoelstellingen: educatief (versterking van kennis over het onderwerp: “Haakjes openen.

Lesonderwerp: “Haakjes openen. In dit geval moet u elke term uit de eerste haakjes vermenigvuldigen met elke term uit de tweede haakjes en vervolgens de resultaten optellen. Eerst worden de eerste twee factoren genomen, omsloten door nog een haakje, en binnen deze haakjes worden de haakjes geopend volgens een van de reeds bekende regels.

rawalan.freezeet.ru

Openingshaakjes: regels en voorbeelden (graad 7)

De belangrijkste functie van haakjes is het wijzigen van de volgorde van acties bij het berekenen van waarden numerieke uitdrukkingen . Bijvoorbeeld, in de numerieke uitdrukking \(5·3+7\) wordt eerst de vermenigvuldiging berekend, en daarna de optelling: \(5·3+7 =15+7=22\). Maar in de uitdrukking \(5·(3+7)\) wordt eerst de optelling tussen haakjes berekend, en pas daarna de vermenigvuldiging: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Als we er echter mee te maken hebben algebraïsche uitdrukking bevattend variabel- bijvoorbeeld als volgt: \(2(x-3)\) - dan is het onmogelijk om de waarde tussen haakjes te berekenen, de variabele zit in de weg. Daarom worden in dit geval de haakjes "geopend" met behulp van de juiste regels.

Regels voor het openen van haakjes

Als er een plusteken voor het haakje staat, wordt het haakje eenvoudigweg verwijderd, de uitdrukking daarin blijft ongewijzigd. Met andere woorden:

Hier is het nodig om te verduidelijken dat het in de wiskunde gebruikelijk is om notaties in te korten om het plusteken niet te schrijven als dit als eerste in de uitdrukking voorkomt. Als we bijvoorbeeld twee positieve getallen optellen, bijvoorbeeld zeven en drie, dan schrijven we niet \(+7+3\), maar gewoon \(7+3\), ondanks het feit dat zeven ook een positief getal is . Op dezelfde manier, als je bijvoorbeeld de uitdrukking \((5+x)\) ziet, weet dat dan vóór de beugel staat een plus, die niet is geschreven.

Voorbeeld . Open het haakje en geef soortgelijke termen op: \((x-11)+(2+3x)\).
Oplossing : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Als er een minteken vóór het haakje staat, verandert elke term van de uitdrukking daarbinnen, wanneer het haakje wordt verwijderd, van teken naar het tegenovergestelde:

Hier is het nodig om te verduidelijken dat terwijl er een tussen haakjes stond, er een plusteken stond (ze hebben het gewoon niet geschreven), en na het verwijderen van de haakjes veranderde deze plus in een minteken.

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking \(2x-(-7+x)\).
Oplossing : binnen het haakje staan ​​twee termen: \(-7\) en \(x\), en vóór het haakje staat een minteken. Dit betekent dat de tekens zullen veranderen - en de zeven zullen nu een plus zijn, en de x zal nu een min zijn. Open de beugel en we presenteren vergelijkbare termen .

Voorbeeld. Open het haakje en geef vergelijkbare termen \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Oplossing : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Als er een factor vóór de beugel staat, wordt elk lid van de beugel ermee vermenigvuldigd, dat wil zeggen:

Voorbeeld. Vouw de haakjes \(5(3-x)\) uit.
Oplossing : In het haakje staan ​​\(3\) en \(-x\), en vóór het haakje staat een vijf. Dit betekent dat elk lid van de beugel wordt vermenigvuldigd met \(5\) - ik herinner u daaraan Het vermenigvuldigingsteken tussen een getal en een haakje is in de wiskunde niet geschreven om de invoergrootte te verkleinen.

Voorbeeld. Vouw de haakjes \(-2(-3x+5)\) uit.
Oplossing : Net als in het vorige voorbeeld worden de \(-3x\) en \(5\) tussen haakjes vermenigvuldigd met \(-2\).

Het blijft de laatste situatie overwegen.

Bij het vermenigvuldigen van haakjes met haakjes wordt elke term van de eerste schijf vermenigvuldigd met elke term van de tweede:

Voorbeeld. Vouw de haakjes \((2-x)(3x-1)\) uit.
Oplossing : We hebben een product van beugels en dit kan direct worden uitgebreid met behulp van de bovenstaande formule. Maar om niet in de war te raken, laten we alles stap voor stap doen.
Stap 1. Verwijder de eerste beugel en vermenigvuldig elk lid met de tweede beugel:

Stap 2. Vouw de producten van de haakjes en de factor uit zoals hierboven beschreven:
-Eerste dingen eerst...

Stap 3. Nu vermenigvuldigen we en presenteren we vergelijkbare termen:

Het is niet nodig om alle transformaties zo gedetailleerd te beschrijven; je kunt ze meteen vermenigvuldigen. Maar als je net leert hoe je haakjes opent en in detail schrijft, is de kans kleiner dat je fouten maakt.

Opmerking voor de hele sectie. In feite hoeft u niet alle vier de regels te onthouden, u hoeft er maar één te onthouden, deze: \(c(a-b)=ca-cb\) . Waarom? Want als je één vervangt in plaats van c, krijg je de regel \((a-b)=a-b\) . En als we min één vervangen, krijgen we de regel \(-(a-b)=-a+b\) . Als je een ander haakje vervangt in plaats van c, kun je de laatste regel krijgen.

Haakje binnen een haakje

Soms zijn er in de praktijk problemen met haakjes die in andere haakjes zijn genest. Hier is een voorbeeld van zo'n taak: vereenvoudig de uitdrukking \(7x+2(5-(3x+y))\).

Om dergelijke taken met succes op te lossen, hebt u het volgende nodig:
- Begrijp zorgvuldig het nesten van haakjes - welke zich in welke bevindt;
— open de haakjes achtereenvolgens, bijvoorbeeld beginnend met de binnenste.

Dit is belangrijk bij het openen van een van de beugels raak de rest van de uitdrukking niet aan, herschrijf het gewoon zoals het is.
Laten we de hierboven geschreven taak als voorbeeld bekijken.

Voorbeeld. Open de haakjes en geef vergelijkbare termen \(7x+2(5-(3x+y))\).
Oplossing:

Laten we beginnen met de taak door de binnenste beugel te openen (die aan de binnenkant). Als we het uitbreiden, hebben we alleen te maken met wat er rechtstreeks verband mee houdt - dit is het haakje zelf en de min ervoor (groen gemarkeerd). We herschrijven al het andere (niet gemarkeerd) op dezelfde manier als het was.

Wiskundeproblemen online oplossen

Online rekenmachine.
Een polynoom vereenvoudigen.
Veeltermen vermenigvuldigen.

Met dit wiskundeprogramma kun je een polynoom vereenvoudigen.
Terwijl het programma draait:
- vermenigvuldigt polynomen
- somt monomialen op (geeft soortgelijke)
- opent haakjes
- verheft een polynoom tot een macht

Het polynomiale vereenvoudigingsprogramma geeft niet alleen het antwoord op het probleem, het geeft ook gedetailleerde oplossing met uitleg, d.w.z. geeft het oplossingsproces weer, zodat u uw kennis van wiskunde en/of algebra kunt controleren.

Dit programma kan nuttig zijn voor middelbare scholieren die zich voorbereiden op testen en examens, bij het testen van kennis vóór het Unified State Exam, zodat ouders de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra kunnen controleren. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe schoolboeken te kopen? Of wil je het gewoon zo snel mogelijk gedaan hebben? huiswerk in wiskunde of algebra? In dit geval kunt u ook onze programma's met gedetailleerde oplossingen gebruiken.

Zo kun je zelf trainingen geven en/of trainingen geven aan je jongere broertjes of zusjes, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van het oplossen van problemen omhoog gaat.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek is in de wachtrij geplaatst.
Binnen enkele seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht even.

Een beetje theorie.

Product van een monomiaal en een polynoom. Het concept van een polynoom

Onder de verschillende uitdrukkingen die in de algebra worden beschouwd, zijn belangrijke plaats bezetten sommen monomialen. Hier zijn voorbeelden van dergelijke uitdrukkingen:

De som van monomialen wordt een polynoom genoemd. De termen in een polynoom worden termen van de polynoom genoemd. Monomialen worden ook geclassificeerd als polynomen, waarbij een monomial wordt beschouwd als een polynoom dat uit één lid bestaat.

Laten we alle termen weergeven in de vorm van monomials standaard weergave:

Laten we vergelijkbare termen presenteren in de resulterende polynoom:

Het resultaat is een polynoom, waarvan alle termen monomialen van de standaardvorm zijn, en er zijn geen vergelijkbare. Dergelijke polynomen worden genoemd polynomen van standaardvorm.

Voor graad van polynoom van een standaardformulier de hoogste bevoegdheden van haar leden overneemt. Een binomiaal heeft dus de derde graad en een trinominale heeft de tweede.

Typisch worden de termen van polynomen met een standaardvorm die één variabele bevatten, gerangschikt in aflopende volgorde van exponenten van de graad ervan. Bijvoorbeeld:

De som van verschillende polynomen kan worden omgezet (vereenvoudigd) in een polynoom met standaardvorm.

Soms moeten de termen van een polynoom in groepen worden verdeeld, waarbij elke groep tussen haakjes wordt geplaatst. Omdat haakjes de omgekeerde transformatie zijn van openingshaakjes, is het gemakkelijk te formuleren regels voor het openen van haakjes:

Als er een “+” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen haakjes met dezelfde tekens geschreven.

Als er een “-” teken vóór de haakjes wordt geplaatst, worden de termen tussen de haakjes met tegengestelde tekens geschreven.

Transformatie (vereenvoudiging) van het product van een monomiaal en een polynoom

Met behulp van de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging kunt u het product van een monomiaal en een polynoom transformeren (vereenvoudigen) in een polynoom. Bijvoorbeeld:

Het product van een monomiaal en een polynoom is identiek gelijk aan de som van de producten van dit monomiaal en elk van de termen van het polynoom.

Dit resultaat wordt meestal als regel geformuleerd.

Om een ​​monomiaal met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je dat monomiaal vermenigvuldigen met elk van de termen van het polynoom.

We hebben deze regel al verschillende keren gebruikt om met een som te vermenigvuldigen.

Product van polynomen. Transformatie (vereenvoudiging) van het product van twee polynomen

Over het algemeen is het product van twee polynomen identiek gelijk aan de som van het product van elke term van de ene polynoom en elke term van de andere.

Meestal wordt de volgende regel gebruikt.

Om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet je elke term van de ene polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere en de resulterende producten bij elkaar optellen.

Verkorte vermenigvuldigingsformules. Somkwadraten, verschillen en verschil in kwadraten

Bij algebraïsche transformaties heb je vaker te maken met sommige uitdrukkingen dan met andere. Misschien wel de meest voorkomende uitdrukkingen zijn u, dat wil zeggen het kwadraat van de som, het kwadraat van het verschil en het verschil van de kwadraten. Je hebt gemerkt dat de namen van deze uitdrukkingen onvolledig lijken te zijn. Dit is bijvoorbeeld natuurlijk niet alleen het kwadraat van de som, maar het kwadraat van de som van a en b. Het kwadraat van de som van a en b komt echter in de regel niet vaak voor; in plaats van de letters a en b bevat het verschillende, soms behoorlijk complexe, uitdrukkingen.

Uitdrukkingen kunnen eenvoudig worden omgezet (vereenvoudigd) in polynomen van de standaardvorm; een dergelijke taak bent u zelfs al tegengekomen bij het vermenigvuldigen van polynomen:

Het is nuttig om de resulterende identiteiten te onthouden en toe te passen zonder tussentijdse berekeningen. Korte verbale formuleringen helpen hierbij.

- het kwadraat van de som is gelijk aan de som van de kwadraten en het dubbelproduct.

- het kwadraat van het verschil is gelijk aan de som van de kwadraten zonder het dubbele product.

- het verschil in kwadraten is gelijk aan het product van het verschil en de som.

Deze drie identiteiten maken het mogelijk om bij transformaties de linkerdelen te vervangen door rechtse delen, en vice versa: rechterdelen door linkse delen. Het moeilijkste is om de overeenkomstige uitdrukkingen te zien en te begrijpen hoe de variabelen a en b daarin worden vervangen. Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het gebruik van verkorte vermenigvuldigingsformules.

Boeken (leerboeken) Samenvattingen Unified State Exam en OGE-tests online spellen, puzzels Grafische functies Spellingwoordenboek Russisch Woordenboek van jeugdjargon Catalogus van Russische scholen Catalogus van middelbare onderwijsinstellingen van Rusland Catalogus van Russische universiteiten Lijst met problemen GCD en LCM vinden Een polynoom vereenvoudigen (polynomen vermenigvuldigen) Een polynoom verdelen in een polynoom met een kolom Numerieke breuken berekenen Problemen oplossen waarbij percentages Complexe getallen: som, verschil, product en quotiënt Systemen 2 -x lineaire vergelijkingen met twee variabelen Oplossing kwadratische vergelijking Het kwadraat van een binomiaal isoleren en een kwadraattrinominaal in factoren ontbinden. Ongelijkheden oplossen. Systemen van ongelijkheden oplossen. Een grafiek plotten. kwadratische functie Een grafiek van een lineaire fractionele functie plotten. Rekenkunde oplossen en geometrische progressies Trigonometrische, exponentiële, logaritmische vergelijkingen Berekening van limieten, afgeleide, raaklijn Integraal, primitieve Driehoeken oplossen Berekening van acties met vectoren Berekening van acties met lijnen en vlakken Oppervlakte geometrische vormen Omtrek van geometrische vormen Volume van geometrische lichamen Oppervlakte van geometrische lichamen
Verkeerssituatie Constructeur
Weer - nieuws - horoscopen

www.mathsolution.ru

Haakjes uitbreiden

We blijven de basisprincipes van algebra bestuderen. In deze les leren we hoe we haakjes in uitdrukkingen kunnen uitbreiden. Het uitvouwen van haakjes betekent het verwijderen van de haakjes uit een uitdrukking.

Om haakjes te openen, hoeft u slechts twee regels te onthouden. Door regelmatig te oefenen, kun je de haakjes openen met je ogen dicht, en de regels die je uit je hoofd moest leren, kun je veilig vergeten.

De eerste regel voor het openen van haakjes

Beschouw de volgende uitdrukking:

De waarde van deze uitdrukking is 2 . Laten we de haakjes in deze uitdrukking openen. Het uitbreiden van haakjes betekent dat je ze verwijdert zonder de betekenis van de uitdrukking te beïnvloeden. Dat wil zeggen, na het wegwerken van de haakjes, de waarde van de uitdrukking 8+(−9+3) moet nog steeds gelijk zijn aan twee.

De eerste regel voor het openen van haakjes is als volgt:

Als er bij het openen van haakjes een plusje voor de haakjes staat, dan wordt dit plusje samen met de haakjes weggelaten.

We zien dat dus in de uitdrukking 8+(−9+3) Vóór de haakjes staat een plusteken. Dit plusteken moet samen met de haakjes worden weggelaten. Met andere woorden, de haakjes verdwijnen samen met het plusteken dat ervoor stond. En wat tussen haakjes stond, wordt zonder wijzigingen geschreven:

8−9+3 . Deze uitdrukking is gelijk aan 2 , net als de vorige uitdrukking tussen haakjes, was gelijk aan 2 .

8+(−9+3) En 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Voorbeeld 2. Vouw haakjes in expressie uit 3 + (−1 − 4)

Voor de haakjes staat een plusje, wat betekent dat dit plusje bij de haakjes weggelaten wordt. Wat tussen haakjes stond, blijft ongewijzigd:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Voorbeeld 3. Vouw haakjes in expressie uit 2 + (−1)

IN in dit voorbeeld het openen van de haakjes werd een soort omgekeerde handeling waarbij aftrekking werd vervangen door optelling. Hoe dit te begrijpen?

In expressie 2−1 Aftrekken vindt plaats, maar kan worden vervangen door optelling. Dan krijgen we de uitdrukking 2+(−1) . Maar als in de uitdrukking 2+(−1) Open de haakjes en je krijgt het origineel 2−1 .

Daarom kan de eerste regel voor het openen van haakjes worden gebruikt om uitdrukkingen na enkele transformaties te vereenvoudigen. Dat wil zeggen: verwijder de haakjes en maak het eenvoudiger.

Laten we bijvoorbeeld de uitdrukking vereenvoudigen 2a+a−5b+b .

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunnen soortgelijke termen worden gegeven. Laten we niet vergeten dat u, om vergelijkbare termen te verminderen, de coëfficiënten van vergelijkbare termen moet optellen en het resultaat moet vermenigvuldigen met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

Ik heb een uitdrukking 3a+(−4b). Laten we de haakjes in deze expressie verwijderen. Er staat een plusteken vóór de haakjes, dus we gebruiken de eerste regel voor het openen van haakjes, dat wil zeggen dat we de haakjes weglaten samen met het plusteken dat vóór deze haakjes staat:

Dus de uitdrukking 2a+a−5b+b vereenvoudigt tot 3a−4b .

Nadat u enkele haakjes heeft geopend, kunt u onderweg andere tegenkomen. We passen op hen dezelfde regels toe als op de eerste. Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de volgende expressie uitvouwen:

Er zijn twee plaatsen waar u de haakjes moet openen. In dit geval is de eerste regel voor het openen van haakjes van toepassing, namelijk het weglaten van de haakjes samen met het plusteken dat aan deze haakjes voorafgaat:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Voorbeeld 3. Vouw haakjes in expressie uit 6+(−3)+(−2)

Op beide plaatsen waar haakjes staan, worden deze voorafgegaan door een plusteken. Ook hier geldt de eerste regel voor het openen van haakjes:

Soms wordt de eerste term tussen haakjes zonder teken geschreven. Bijvoorbeeld in de uitdrukking 1+(2+3−4) eerste termijn tussen haakjes 2 zonder teken geschreven. De vraag rijst: welk teken verschijnt er voor de twee nadat de haakjes en het plusteken vóór de haakjes zijn weggelaten? Het antwoord doet zich voor: er zal een plus voor de twee staan.

Zelfs tussen haakjes staat er zelfs een pluspunt voor de twee, maar we zien dit niet omdat het niet is opgeschreven. We hebben al gezegd dat de volledige notatie van positieve getallen eruit ziet +1, +2, +3. Maar volgens de traditie worden plussen niet opgeschreven en daarom zien we de positieve getallen die ons bekend voorkomen 1, 2, 3 .

Daarom moeten de haakjes in de uitdrukking worden uitgebreid 1+(2+3−4) , moet je zoals gebruikelijk de haakjes weglaten, samen met het plusteken vóór deze haakjes, maar schrijf de eerste term die tussen haakjes stond met een plusteken:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Voorbeeld 4. Vouw haakjes in expressie uit −5 + (2 − 3)

Er staat een plusteken vóór de haakjes. Daarom passen we voor het openen van haakjes de eerste regel toe, namelijk dat we de haakjes weglaten samen met het plusteken dat vóór deze haakjes staat. Maar de eerste term, die we tussen haakjes schrijven met een plusteken:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Voorbeeld 5. Vouw haakjes in expressie uit (−5)

Er staat een plusteken vóór de haakjes, maar dit is niet opgeschreven omdat er geen andere cijfers of uitdrukkingen voor stonden. Onze taak is om de haakjes te verwijderen door de eerste regel van het openen van haakjes toe te passen, namelijk: laat de haakjes samen met deze plus weg (zelfs als deze onzichtbaar is)

Voorbeeld 6. Vouw haakjes in expressie uit 2a + (−6a + b)

Voor de haakjes staat een plusje, wat betekent dat dit plusje bij de haakjes weggelaten wordt. Wat tussen haakjes staat, wordt onveranderd geschreven:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Voorbeeld 7. Vouw haakjes in expressie uit 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Er zijn twee plaatsen in deze uitdrukking waar u de haakjes moet uitvouwen. In beide rubrieken staat een plusteken vóór de haakjes, wat betekent dat dit plusje naast de haakjes wordt weggelaten. Wat tussen haakjes staat, wordt onveranderd geschreven:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

De tweede regel voor het openen van haakjes

Laten we nu eens kijken naar de tweede regel voor het openen van haakjes. Het wordt gebruikt als er een minteken vóór de haakjes staat.

Als er een minteken vóór de haakjes staat, wordt dit minteken samen met de haakjes weggelaten, maar de termen die tussen de haakjes stonden, veranderen hun teken in het tegenovergestelde.

Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de volgende expressie uitvouwen

We zien dat er een minteken vóór de haakjes staat. Dit betekent dat u de tweede uitbreidingsregel moet toepassen, namelijk: laat de haakjes samen met het minteken vóór deze haakjes weg. In dit geval veranderen de termen die tussen haakjes staan ​​van teken naar het tegenovergestelde:

We hebben een uitdrukking zonder haakjes 5+2+3 . Deze uitdrukking is gelijk aan 10, net zoals de vorige uitdrukking tussen haakjes gelijk was aan 10.

Dus tussen de uitdrukkingen 5−(−2−3) En 5+2+3 je kunt een gelijkteken plaatsen, omdat ze gelijk zijn aan dezelfde waarde:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Voorbeeld 2. Vouw haakjes in expressie uit 6 − (−2 − 5)

Er staat een minteken vóór de haakjes, dus passen we de tweede regel toe voor het openen van haakjes, namelijk dat we de haakjes weglaten, samen met de min die vóór deze haakjes komt. In dit geval schrijven we de termen tussen haakjes met tegengestelde tekens:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Voorbeeld 3. Vouw haakjes in expressie uit 2 − (7 + 3)

Er staat een minteken vóór de haakjes, dus passen we de tweede regel toe voor het openen van haakjes:

Voorbeeld 4. Vouw haakjes in expressie uit −(−3 + 4)

Voorbeeld 5. Vouw haakjes in expressie uit −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Er zijn twee plaatsen waar u de haakjes moet openen. In het eerste geval moet u de tweede regel toepassen voor het openen van haakjes en voor de uitdrukking +(−9−2) je moet de eerste regel toepassen:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Voorbeeld 6. Vouw haakjes in expressie uit −(−een − 1)

Voorbeeld 7. Vouw haakjes in expressie uit −(4a + 3)

Voorbeeld 8. Vouw haakjes in expressie uit A − (4b + 3) + 15

Voorbeeld 9. Vouw haakjes in expressie uit 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Er zijn twee plaatsen waar u de haakjes moet openen. In het eerste geval moet u de eerste regel toepassen voor het openen van haakjes, en als het om de uitdrukking gaat −(3c+5) je moet de tweede regel toepassen:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Voorbeeld 10. Vouw haakjes in expressie uit −een − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Er zijn drie plaatsen waar u de beugels moet openen. Eerst moet je de tweede regel toepassen voor het openen van haakjes, dan de eerste en dan weer de tweede:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −een + 4a − 6b + 8c − 15

Beugel openingsmechanisme

De regels voor het openen van haakjes die we nu hebben onderzocht, zijn gebaseerd op de distributieve wet van vermenigvuldiging:

In werkelijkheid haakjes openen is de procedure waarbij de gemeenschappelijke factor wordt vermenigvuldigd met elke term tussen haakjes. Als resultaat van deze vermenigvuldiging verdwijnen de haakjes. Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking uitvouwen 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Als u dus een getal moet vermenigvuldigen met een uitdrukking tussen haakjes (of een uitdrukking tussen haakjes moet vermenigvuldigen met een getal), moet u zeggen laten we de haakjes openen.

Maar hoe verhoudt de distributieve wet van vermenigvuldiging zich tot de regels voor het openen van haakjes die we eerder hebben onderzocht?

Feit is dat er vóór elke haakje een gemeenschappelijke factor staat. In het voorbeeld 3×(4+5) de gemeenschappelijke factor is 3 . En in het voorbeeld een(b+c) de gemeenschappelijke factor is een variabele A.

Als er geen getallen of variabelen vóór de haakjes staan, is de gemeenschappelijke factor dat 1 of −1 , afhankelijk van welk teken voor de haakjes staat. Als er een plusteken vóór de haakjes staat, dan is de gemeenschappelijke factor dat 1 . Als er een minteken vóór de haakjes staat, is de gemeenschappelijke deler dat −1 .

Laten we bijvoorbeeld de haakjes in de uitdrukking uitvouwen −(3b−1). Er staat een minteken vóór de haakjes, dus u moet de tweede regel gebruiken voor het openen van haakjes, dat wil zeggen: laat de haakjes weg samen met het minteken vóór de haakjes. En schrijf de uitdrukking tussen haakjes met tegengestelde tekens:

We hebben de haakjes uitgebreid met behulp van de regel voor het uitvouwen van haakjes. Maar deze zelfde haakjes kunnen worden geopend met behulp van de distributieve wet van vermenigvuldiging. Om dit te doen, schrijft u eerst vóór de haakjes de gemeenschappelijke factor 1, die niet is opgeschreven:

Het minteken dat voorheen voor de haakjes stond, verwees naar deze eenheid. Nu kunt u de haakjes openen met behulp van de distributieve wet van vermenigvuldiging. Voor dit doel de gemeenschappelijke factor −1 u moet elke term tussen haakjes vermenigvuldigen en de resultaten bij elkaar optellen.

Voor het gemak vervangen we het verschil tussen haakjes door het bedrag:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Zoals de vorige keer kregen we de uiting −3b+1. Iedereen zal het erover eens zijn dat er deze keer meer tijd is besteed aan het oplossen van zo'n eenvoudig voorbeeld. Daarom is het verstandiger om kant-en-klare regels te gebruiken voor het openen van haakjes, die we in deze les hebben besproken:

Maar het kan geen kwaad om te weten hoe deze regels werken.

In deze les leerden we nog een identieke transformatie. Samen met het openen van de haakjes, het tussen haakjes zetten van het algemene en het plaatsen van soortgelijke termen, kunt u het scala aan op te lossen problemen enigszins uitbreiden. Bijvoorbeeld:

Hier moet je twee acties uitvoeren: open eerst de haakjes en breng dan vergelijkbare termen. Dus, in volgorde:

1) Open de beugels:

2) We presenteren vergelijkbare termen:

In de resulterende uitdrukking −10b+(−1) je kunt de haakjes uitbreiden:

Voorbeeld 2. Open de haakjes en voeg vergelijkbare termen toe in de volgende uitdrukking:

1) Laten we de haakjes openen:

2) Laten we soortgelijke termen presenteren. Om tijd en ruimte te besparen zullen we deze keer niet opschrijven hoe de coëfficiënten worden vermenigvuldigd met het gewone lettergedeelte

Voorbeeld 3. Vereenvoudig een uitdrukking 8m+3m en vind de waarde ervan m=−4

1) Laten we eerst de uitdrukking vereenvoudigen. Om de uitdrukking te vereenvoudigen 8m+3m, kun je de gemeenschappelijke factor eruit halen M buiten haakjes:

2) Zoek de waarde van de uitdrukking m(8+3) bij m=−4. Om dit te doen, in de expressie m(8+3) in plaats van een variabele M vervang het nummer −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

"Haakjes openen" - Wiskundeleerboek, graad 6 (Vilenkin)

Korte beschrijving:

In dit gedeelte leert u hoe u haakjes in voorbeelden uitbreidt. Waar is dit voor? Allemaal voor hetzelfde als voorheen: om het u gemakkelijker te maken en gemakkelijker te tellen, toe te staan minder fouten, en idealiter (de droom van je wiskundeleraar) om alles foutloos op te lossen.
Je weet al dat haakjes in wiskundige notatie worden geplaatst als er twee op een rij staan wiskundig teken, als we de combinatie van getallen willen laten zien, hun hergroepering. Het uitbreiden van haakjes betekent het verwijderen van onnodige tekens. Bijvoorbeeld: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Herinner je je de distributieve eigenschap van vermenigvuldigen ten opzichte van optellen? In dat voorbeeld hebben we inderdaad ook haakjes verwijderd om de berekeningen te vereenvoudigen. De genoemde eigenschap van vermenigvuldiging kan ook worden toegepast op vier, drie, vijf of meer termen. Bijvoorbeeld: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Is het je opgevallen dat wanneer je de haakjes opent, de cijfers daarin niet van teken veranderen als het getal vóór de haakjes positief is? Vijftien is immers een positief getal. En als je dit voorbeeld oplost: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. We hadden een negatief getal min vijftien voor de haakjes, toen we de haakjes openden, begonnen alle getallen hun teken te veranderen in een ander - het tegenovergestelde - van plus naar min.
Op basis van de bovenstaande voorbeelden kunnen twee basisregels voor het openen van haakjes worden gesteld:
1. Als je een positief getal vóór de haakjes hebt staan, veranderen na het openen van de haakjes alle tekens van de cijfers tussen haakjes niet, maar blijven ze precies hetzelfde zoals ze waren.
2. Als er een negatief getal vóór de haakjes staat, wordt na het openen van de haakjes het minteken niet meer geschreven en zijn de tekens van alle absolute getallen tussen de haakjes scherp omgekeerd.
Bijvoorbeeld: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Laten we onze voorbeelden een beetje ingewikkelder maken: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Je merkte dat we bij het openen van de tweede haakjes met 2 vermenigvuldigden, maar de tekens bleven hetzelfde zoals ze waren. Hier is een voorbeeld: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, in dit voorbeeld is het getal twee negatief, het staat vóór de haakjes staan ​​met een minteken, dus toen we ze openden, veranderden we de tekens van de cijfers in het tegenovergestelde (negen was met een plus, werd een min, acht was met een min, werd een plus).